سطح یک هرم منظم چقدر است؟ مساحت سطح یک هرم مثلثی منظم را پیدا کنید

قبل از مطالعه سوالات مربوط به این شکل هندسی و ویژگی های آن، باید برخی از اصطلاحات را درک کنید. وقتی شخصی در مورد یک هرم می شنود، ساختمان های عظیمی را در مصر تصور می کند. این همان چیزی است که ساده ترین آنها به نظر می رسد. اما آنها اتفاق می افتد انواع مختلفو اشکال، یعنی فرمول محاسبه برای اشکال هندسی متفاوت خواهد بود.

هرم - شکل هندسی ، نشان دهنده و نشان دهنده چند چهره است. در اصل ، این همان چند وجهی است که در پایه آن یک چند ضلعی قرار دارد و در طرفین مثلث هایی وجود دارد که در یک نقطه به هم متصل می شوند - راس. شکل در دو نوع اصلی ارائه می شود:

• صحیح؛
• کوتاه شده

در مورد اول، اساس نهفته است چند ضلعی منظم. همه چیز اینجاست سطوح جانبیبرابربین خود و خود چهره، چشم یک کمال گرا را خشنود می کند.

در مورد دوم، دو پایه وجود دارد - یکی بزرگ در پایین و دیگری کوچک بین بالا، که شکل اصلی را تکرار می کند. به عبارت دیگر، هرم بریده شده، چند وجهی است که مقطع آن به موازات قاعده شکل گرفته است.

اصطلاحات و نمادها

اصطلاحات کلیدی:

• مثلث منتظم (متساوی الاضلاع).- شکلی با سه زاویه یکسان و اضلاع مساوی. در این حالت تمام زوایا 60 درجه هستند. شکل ساده ترین چند وجهی منظم است. اگر این شکل در پایه قرار داشته باشد، چنین چند وجهی مثلثی منظم نامیده می شود. اگر قاعده مربع باشد، هرم را هرم چهار گوش منتظم می نامند.
• راس- بالاترین نقطه ای که لبه ها به هم می رسند. ارتفاع راس توسط یک خط مستقیم که از راس تا قاعده هرم امتداد دارد تشکیل می شود.
• لبه- یکی از صفحات چند ضلعی. این می تواند به شکل مثلث در مورد هرم مثلثی یا به شکل ذوزنقه باشد. هرم کوتاه شده.
• بخش – شکل تخت، در نتیجه تشریح شکل گرفته است. نباید آن را با یک بخش اشتباه گرفت، زیرا یک بخش همچنین آنچه را که در پشت بخش قرار دارد نشان می دهد.
• آپوتم- قسمتی که از بالای هرم به سمت قاعده آن کشیده شده است. همچنین ارتفاع صورت است که نقطه ارتفاع دوم در آن قرار دارد. این تعریففقط منصفانه چند وجهی منظم. به عنوان مثال، اگر این یک هرم کوتاه نباشد، صورت یک مثلث خواهد بود. در این صورت ارتفاع این مثلث تبدیل به ابهام می شود.

فرمول های مساحت

سطح جانبی هرم را پیدا کنیدهر نوع را می توان به روش های مختلفی انجام داد. اگر شکل متقارن نباشد و چند ضلعی با اضلاع مختلف باشد، در این صورت محاسبه آسان تر است. مساحت کلسطوح از طریق مجموع تمام سطوح. به عبارت دیگر، باید مساحت هر صورت را محاسبه کرده و با هم جمع کنید.

بسته به اینکه چه پارامترهایی شناخته شده است، ممکن است به فرمول هایی برای محاسبه مربع، ذوزنقه، چهارضلعی دلخواه و غیره نیاز باشد. خود فرمول ها در موارد مختلفتفاوت هایی نیز خواهد داشت.

در مورد یک فیگور معمولی، یافتن منطقه بسیار ساده تر است. تنها دانستن چند پارامتر کلیدی کافی است. در بیشتر موارد، محاسبات به طور خاص برای چنین ارقامی مورد نیاز است. بنابراین فرمول های مربوطه در زیر ارائه خواهد شد. در غیر این صورت، باید همه چیز را در چندین صفحه بنویسید، که فقط شما را گیج و سردرگم می کند.

فرمول اساسی برای محاسبهسطح جانبی هرم منظم به شکل زیر خواهد بود:

S=½ Pa (P محیط قاعده است و آپوتم است)

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. چندوجهی دارای یک پایه با قطعات A1، A2، A3، A4 است و همه آنها برابر با 10 سانتی متر هستند. ابتدا باید محیط را پیدا کنید. از آنجایی که هر پنج وجه پایه یکسان هستند، می توانید آن را به این صورت پیدا کنید: P = 5 * 10 = 50 سانتی متر، سپس فرمول اصلی را اعمال می کنیم: S = ½ * 50 * 5 = 125 سانتی متر مربع.

سطح جانبی هرم مثلثی منظمساده ترین محاسبه فرمول به صورت زیر است:

S =½* ab *3، جایی که a مخفف است، b صورت پایه است. ضریب سه در اینجا به معنای تعداد وجوه پایه است و قسمت اول مساحت سطح جانبی است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. با در نظر گرفتن شکلی با آپوتم 5 سانتی متر و لبه پایه 8 سانتی متر محاسبه می کنیم: S = 1/2*5*8*3=60 سانتی متر مربع.

سطح جانبی یک هرم کوتاهمحاسبه آن کمی دشوارتر است. فرمول به این صورت است: S = 1/2*(p_01+ p_02)*a، که در آن p_01 و p_02 محیط پایه ها هستند، و آپوتم است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. فرض کنید برای یک شکل چهارگوش ابعاد اضلاع پایه ها 3 و 6 سانتی متر باشد، آپوتم 4 سانتی متر باشد.

در اینجا ابتدا باید محیط پایه ها را پیدا کنید: р_01 =3*4=12 سانتی متر; р_02=6*4=24 سانتی متر باقی مانده است که مقادیر را در فرمول اصلی جایگزین کنیم و به دست می آوریم: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 سانتی متر.

بنابراین، می توانید سطح جانبی یک هرم منظم با هر پیچیدگی را پیدا کنید. شما باید مراقب باشید و گیج نشویداین محاسبات با مساحت کاملکل چند وجهی و اگر هنوز نیاز به انجام این کار دارید، کافی است مساحت بزرگترین پایه چند وجهی را محاسبه کنید و آن را به مساحت سطح جانبی چند وجهی اضافه کنید.

ویدئو

این ویدیو به شما کمک می کند تا اطلاعاتی را در مورد نحوه یافتن سطح جانبی هرم های مختلف ادغام کنید.

پاسخ سوال خود را دریافت نکردید؟ موضوعی را به نویسندگان پیشنهاد دهید.

سطح هرم. در این مقاله به مشکلات اهرام معمولی خواهیم پرداخت. یادآوری می کنم که هرم منتظم هرمی است که قاعده آن چند ضلعی منتظم است، بالای هرم به مرکز این چند ضلعی برآمده است.

وجه جانبی چنین هرمی یک مثلث متساوی الساقین است.ارتفاع این مثلث که از رأس یک هرم منتظم کشیده شده است، آپوتم نامیده می شود، SF - آپوتم:

در نوع مشکل ارائه شده در زیر، باید سطح کل هرم یا مساحت سطح جانبی آن را پیدا کنید. این وبلاگ قبلاً چندین مشکل در مورد اهرام معمولی را مورد بحث قرار داده است، جایی که سؤال در مورد یافتن عناصر (ارتفاع، لبه پایه، لبه کناری) بود.

در تکالیف آزمون دولتی واحدبه عنوان یک قاعده، اهرام مثلثی، چهار گوش و شش ضلعی منظم در نظر گرفته می شود. من هیچ مشکلی با هرم های پنج ضلعی و هفت ضلعی منظم ندیده ام.

فرمول مساحت کل سطح ساده است - باید مجموع مساحت پایه هرم و مساحت سطح جانبی آن را پیدا کنید:

بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

کناره های پایه درست است هرم چهار گوش 72، لبه های کناری 164 هستند. مساحت سطح این هرم را پیدا کنید.

مساحت سطح هرم برابر است با مجموع مساحت سطح جانبی و قاعده:

*سطح جانبی از چهار مثلث با مساحت مساوی تشکیل شده است. قاعده هرم مربع است.

می توانیم مساحت ضلع هرم را با استفاده از موارد زیر محاسبه کنیم:

بنابراین، سطح هرم عبارت است از:

جواب: 28224

اضلاع قاعده یک هرم شش ضلعی منتظم برابر با 22، لبه های جانبی برابر با 61 است. مساحت سطح جانبی این هرم را پیدا کنید.

قاعده هرم شش ضلعی منتظم یک شش ضلعی منتظم است.

سطح جانبی این هرم از شش ناحیه مثلث مساوی با ضلع های 61،61 و 22 تشکیل شده است:

بیایید مساحت مثلث را با استفاده از فرمول هرون پیدا کنیم:

بنابراین، سطح جانبی عبارت است از:

جواب: 3240

*در مشکلات ارائه شده در بالا، مساحت وجه جانبی را می توان با استفاده از فرمول مثلث دیگری پیدا کرد، اما برای این کار باید ابهام را محاسبه کنید.

27155. مساحت یک هرم چهار گوش منتظم را پیدا کنید که اضلاع قاعده آن 6 و ارتفاع آن 4 است.

برای یافتن سطح هرم باید مساحت قاعده و مساحت سطح جانبی را بدانیم:

مساحت پایه 36 است زیرا مربعی با ضلع 6 است.

سطح جانبی شامل چهار چهره، که مثلث های متجانس هستند. برای پیدا کردن مساحت چنین مثلثی، باید قاعده و ارتفاع آن (آپوتم) را بدانید:

*مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع کشیده شده به این قاعده است.

پایه معلوم است، برابر با شش است. بیایید ارتفاع را پیدا کنیم. در نظر بگیریم مثلث قائم الزاویه(با رنگ زرد مشخص شده است):

یک پا برابر است با 4، زیرا این ارتفاع هرم است، دیگری برابر با 3 است، زیرا برابر با نیمی از لبه پایه است. می توانیم فرضیه را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنیم:

این بدان معنی است که مساحت سطح جانبی هرم عبارت است از:

بنابراین، سطح کل هرم عبارت است از:

جواب: 96

27069. اضلاع قاعده یک هرم چهار گوش منتظم برابر با 10، لبه های کناری برابر با 13 است. مساحت این هرم را پیدا کنید.

27070. اضلاع قاعده هرم شش ضلعی منتظم برابر با 10، لبه های جانبی برابر با 13 است. مساحت سطح جانبی این هرم را بیابید.

همچنین فرمول هایی برای سطح جانبی هرم معمولی وجود دارد. در یک هرم منظم، پایه است طرح ریزی متعامدسطح جانبی، بنابراین:

پ- محیط پایه، ل- شعار هرم

*این فرمول بر اساس فرمول مساحت یک مثلث است.

اگر می خواهید در مورد نحوه استخراج این فرمول ها بیشتر بدانید، آن را از دست ندهید، انتشار مقالات را دنبال کنید.همین. موفق باشید برای شما!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S. اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی به من بگویید ممنون می شوم.

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای موفقیت است قبولی در آزمون دولتی یکپارچهدر ریاضیات برای 60-65 امتیاز. به طور کامل تمام مشکلات 1-13 نمایه آزمون یکپارچه ایالتیدر ریاضیات همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد در ریاضیات (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی بدون آن نمی توانند انجام دهند.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها کار آزمون دولتی یکپارچه. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. نظریه، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون یکپارچه دولتی. استریومتری. راه حل های مشکل، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مسائل پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.

مساحت سطح جانبی هرم دلخواه برابر است با مجموع مساحت وجوه جانبی آن. ارائه یک فرمول خاص برای بیان این ناحیه در مورد هرم منظم منطقی است. بنابراین، اجازه دهید یک هرم منتظم به ما داده شود که در قاعده آن یک n-ضلعی منتظم با ضلع برابر با a قرار دارد. فرض کنید h ارتفاع صورت کناری باشد که به آن نیز گفته می شود حکماهرام مساحت یک طرف هرم برابر با 1/2ah است و کل سطح جانبی هرم مساحتی برابر با n/2ha دارد، از آنجایی که na محیط قاعده هرم است، می‌توانیم فرمول پیدا شده را بنویسیم در قالب:

سطح جانبییک هرم منتظم برابر است با حاصلضرب آپوتم آن و نصف محیط قاعده.

در رابطه با سطح کل، سپس به سادگی مساحت پایه را به کناری اضافه می کنیم.

کره و گوی کتیبه و محصور. لازم به ذکر است که مرکز کره حک شده در هرم در محل تلاقی صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم قرار دارد. مرکز کره توصیف شده در نزدیکی هرم در تقاطع صفحاتی قرار دارد که از نقاط میانی لبه های هرم و عمود بر آنها عبور می کنند.

هرم کوتاه شده.اگر یک هرم توسط صفحه ای موازی با قاعده آن بریده شود، آنگاه قسمت محصور بین صفحه برش و پایه نامیده می شود. هرم کوتاه شدهشکل یک هرم را نشان می دهد که قسمت آن را که بالای صفحه برش قرار دارد دور می اندازد. واضح است که هرم کوچک دور ریخته شده با هرم بزرگی که مرکز همتگی در راس آن قرار دارد، یکسان است. ضریب تشابه برابر با نسبتارتفاع: k=h 2 /h 1، یا لبه های جانبی، یا سایر ابعاد خطی متناظر هر دو هرم. می دانیم که مساحت های شکل های مشابه مانند مربع هایی با ابعاد خطی به هم مرتبط هستند. بنابراین مساحت قاعده های هر دو هرم (یعنی مساحت پایه های هرم ناقص) به صورت مرتبط است.

در اینجا S 1 مساحت قاعده پایینی است و S 2 مساحت قاعده بالایی هرم کوتاه شده است. سطوح جانبی اهرام در یک رابطه هستند. قانون مشابهی برای حجم ها وجود دارد.

حجم اجسام مشابهمانند مکعب هایی از ابعاد خطی خود مرتبط هستند. به عنوان مثال، حجم اهرام به عنوان حاصل ضرب ارتفاع آنها و مساحت پایه ها به هم مربوط می شود، که قانون ما بلافاصله از آن به دست می آید. ماهیت کاملاً کلی دارد و مستقیماً از این واقعیت ناشی می شود که حجم همیشه دارای بعد قدرت سوم طول است. با استفاده از این قانون، فرمولی استخراج می کنیم که حجم یک هرم کوتاه را از طریق ارتفاع و مساحت پایه ها بیان می کند.

اجازه دهید یک هرم کوتاه با ارتفاع h و مساحت پایه S 1 و S 2 داده شود. اگر تصور کنیم که ادامه دارد هرم کامل، سپس ضریب شباهت بین هرم کامل و هرم کوچک به راحتی به عنوان ریشه نسبت S 2 /S 1 یافت می شود. ارتفاع یک هرم کوتاه به صورت h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) بیان می شود. اکنون برای حجم یک هرم ناقص داریم (V 1 و V 2 حجم هرم کامل و کوچک را نشان می دهد)

فرمول حجم یک هرم کوتاه

اجازه دهید فرمول مساحت S سطح جانبی یک هرم منقطع منظم را از طریق محیط‌های P 1 و P 2 قاعده‌ها و طول آپوتم a استخراج کنیم. ما دقیقاً به همان روشی که فرمول حجم را استخراج می کنیم، استدلال می کنیم. هرم را با قسمت بالایی تکمیل می کنیم، P 2 = kP 1، S 2 = k 2 S 1 داریم که k ضریب تشابه، P 1 و P 2 محیط پایه ها و S 1 و S 2 هستند. نواحی سطوح جانبی کل هرم حاصل و بر این اساس قسمت بالایی آن است. برای سطح جانبی که پیدا می کنیم (a 1 و a 2 اهرام اهرام هستند، a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

فرمول مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم

در این درس:

• مسئله 1. مساحت کل هرم را پیدا کنید
• مسئله 2. مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را پیدا کنید

همچنین به مطالب مرتبط مراجعه کنید:
.

توجه داشته باشید . اگر نیاز به حل یک مسئله هندسه دارید که اینجا نیست، در مورد آن در انجمن بنویسید. در وظایف به جای نماد "ریشه مربع" از تابع sqrt() استفاده می شود که در آن sqrt نماد است. ریشه مربع، و عبارت رادیکال در پرانتز نشان داده شده است. برای عبارات رادیکال ساده، می توان از علامت "√" استفاده کرد.

مشکل 1. مساحت کل یک هرم منظم را پیدا کنید

ارتفاع قاعده هرم مثلثی منظم 3 سانتی متر و زاویه بین وجه جانبی و قاعده هرم 45 درجه است.
مساحت کل هرم را پیدا کنید

راه حل.

در قاعده یک هرم مثلثی منظم قرار دارد مثلث متساوی الاضلاع.
بنابراین برای حل مشکل از خواص یک مثلث منظم استفاده می کنیم:

ما ارتفاع مثلث را می دانیم، از جایی که می توانیم مساحت آن را پیدا کنیم.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

از آنجایی که مساحت پایه برابر خواهد بود با:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

برای یافتن مساحت وجه جانبی، ارتفاع کیلومتر را محاسبه می کنیم. با توجه به مشکل، زاویه OKM 45 درجه است.
بدین ترتیب:
OK / MK = cos 45
بیایید از جدول مقادیر توابع مثلثاتی استفاده کنیم و جایگزین کنیم ارزش های شناخته شده.

OK / MK = √2/2

بیایید در نظر بگیریم که OK برابر با شعاع دایره محاط است. سپس
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

سپس
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

سپس مساحت وجه جانبی برابر با نصف حاصلضرب ارتفاع و قاعده مثلث است.
ساید = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

بنابراین، مساحت کل هرم برابر خواهد بود
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

پاسخ دهید: 3√3 + 18/√6

مشکل 2. مساحت سطح جانبی یک هرم منظم را پیدا کنید

در هرم مثلثی منظم ارتفاع 10 سانتی متر و ضلع قاعده 16 سانتی متر است. . مساحت سطح جانبی را پیدا کنید .

راه حل.

از آنجایی که قاعده یک هرم مثلثی منظم یک مثلث متساوی الاضلاع است، AO شعاع دایره ای است که اطراف قاعده محصور شده است.
(این نتیجه از)

شعاع دایره ای را که به دور مثلث متساوی الاضلاع احاطه شده است را از ویژگی های آن می یابیم

از این رو طول لبه های یک هرم مثلثی منظم برابر خواهد بود با:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ارتفاع هرم با شرط (10 سانتی متر)، AO = 16√3/3 شناخته می شود.
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

هر ضلع هرم یک مثلث متساوی الساقین است. مربع مثلث متساوی الساقینما از اولین فرمول ارائه شده در زیر می یابیم

S = 1/2 * 16 مربع ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 متر مربع ((556/3) - 64)
S = 8 متر مربع (364/3)
S = 16 متر مربع (91/3)

از آنجایی که هر سه وجه هرم منظم با هم برابر هستند، سطح جانبی برابر خواهد بود
3S = 48 √(91/3)

پاسخ: 48 √(91/3)

مسئله 3. مساحت کل یک هرم منظم را پیدا کنید

ضلع هرم مثلثی منظم 3 سانتی متر و زاویه بین وجه جانبی و قاعده هرم 45 درجه است. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.
از آنجایی که هرم منظم است، یک مثلث متساوی الاضلاع در قاعده آن وجود دارد. بنابراین مساحت پایه است


بنابراین = 9 * √3/4

برای یافتن مساحت وجه جانبی، ارتفاع کیلومتر را محاسبه می کنیم. با توجه به مشکل، زاویه OKM 45 درجه است.
بدین ترتیب:
OK / MK = cos 45
بهره ببریم