مساحت فرمول هرم چهار گوش. نحوه پیدا کردن سطح جانبی هرم

مساحت سطح جانبی هرم دلخواه برابر است با مجموع مساحت وجوه جانبی آن. منطقی است که فرمول خاصی برای بیان این ناحیه در مورد ارائه شود هرم منظم. بنابراین، اجازه دهید یک هرم منتظم به ما داده شود، که در قاعده آن یک n-ضلعی منتظم با ضلع برابر با a قرار دارد. فرض کنید h ارتفاع صورت کناری باشد که به آن نیز گفته می شود حکماهرام مساحت یک طرف هرم برابر با 1/2ah است و کل سطح جانبی هرم مساحتی برابر با n/2ha دارد، از آنجایی که na محیط قاعده هرم است، می‌توانیم فرمول پیدا شده را بنویسیم در قالب:

سطح جانبییک هرم منتظم برابر است با حاصلضرب آپوتم آن و نصف محیط قاعده.

در رابطه با سطح کل، سپس به سادگی مساحت پایه را به کناری اضافه می کنیم.

کره و گوی کتیبه و محصور. لازم به ذکر است که مرکز کره حک شده در هرم در محل تلاقی صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم قرار دارد. مرکز کره توصیف شده در نزدیکی هرم در تقاطع صفحاتی قرار دارد که از نقاط میانی لبه های هرم و عمود بر آنها عبور می کنند.

هرم کوتاه شده.اگر یک هرم توسط صفحه ای موازی با قاعده آن بریده شود، آنگاه قسمت محصور بین صفحه برش و پایه نامیده می شود. هرم کوتاه شدهشکل یک هرم را نشان می دهد که بخشی از آن را که بالای صفحه برش قرار دارد دور می اندازد، یک هرم کوتاه به دست می آید. واضح است که هرم کوچک دور ریخته شده با هرم بزرگی که مرکز همتگی در راس آن قرار دارد، یکسان است. ضریب تشابه برابر با نسبتارتفاع: k=h 2 /h 1، یا لبه های جانبی، یا سایر ابعاد خطی متناظر هر دو هرم. می دانیم که مساحت های شکل های مشابه مانند مربع هایی با ابعاد خطی به هم مرتبط هستند. بنابراین مساحت قاعده های هر دو هرم (یعنی مساحت پایه های هرم ناقص) به صورت مرتبط است.

در اینجا S 1 مساحت پایه پایینی است و S 2 ناحیه قاعده بالایی هرم کوتاه شده است. در همین رابطه هستند سطوح جانبیاهرام یک قانون مشابه برای حجم ها وجود دارد.

حجم اجسام مشابهمانند مکعب هایی از ابعاد خطی خود مرتبط هستند. به عنوان مثال، حجم اهرام به عنوان حاصل ضرب ارتفاع آنها و مساحت پایه ها به هم مربوط می شود، که قانون ما بلافاصله از آن به دست می آید. ماهیت کاملاً کلی دارد و مستقیماً از این واقعیت ناشی می شود که حجم همیشه دارای بعد قدرت سوم طول است. با استفاده از این قانون، فرمولی استخراج می کنیم که حجم یک هرم کوتاه را از طریق ارتفاع و مساحت پایه ها بیان می کند.

اجازه دهید یک هرم کوتاه با ارتفاع h و مساحت پایه S 1 و S 2 داده شود. اگر تصور کنیم که آن را به یک هرم کامل بسط می دهیم، آنگاه ضریب شباهت بین هرم کامل و هرم کوچک را می توان به راحتی به عنوان ریشه نسبت S 2 / S 1 یافت. ارتفاع یک هرم کوتاه به صورت h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) بیان می شود. اکنون برای حجم یک هرم ناقص داریم (V 1 و V 2 حجم هرم پر و کوچک را نشان می دهد)

فرمول حجم یک هرم کوتاه

اجازه دهید فرمول مساحت S سطح جانبی یک هرم منقطع منظم را از طریق محیط‌های P 1 و P 2 قاعده‌ها و طول آپوتم a استخراج کنیم. ما دقیقاً به همان روشی که فرمول حجم را استخراج می کنیم، استدلال می کنیم. هرم را با قسمت بالایی تکمیل می کنیم، P 2 = kP 1، S 2 = k 2 S 1 داریم که k ضریب شباهت، P 1 و P 2 محیط پایه ها و S 1 و S 2 هستند. نواحی سطوح جانبی کل هرم حاصل و بر این اساس قسمت بالایی آن است. برای سطح جانبی که پیدا می کنیم (a 1 و a 2 آپوتم های اهرام هستند، a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

فرمول سطح جانبی یک هرم منقطع منظم

تعریف. لبه کناری- این مثلثی است که در آن یک زاویه در بالای هرم قرار دارد و ضلع مقابل با ضلع پایه (چند ضلعی) منطبق است.

تعریف. دنده های کناری- اینها اضلاع مشترک وجه های جانبی هستند. هرم به اندازه زوایای یک چندضلعی لبه دارد.

تعریف. ارتفاع هرم- این یک عمود است که از بالا به پایه هرم پایین آمده است.

تعریف. آپوتم- این یک عمود بر وجه جانبی هرم است که از بالای هرم به سمت پایه پایین آمده است.

تعریف. بخش مورب- این بخشی از یک هرم است که توسط صفحه ای که از بالای هرم و مورب قاعده عبور می کند.

تعریف. هرم درستهرمی است که قاعده آن چند ضلعی منتظم است و ارتفاع آن تا مرکز قاعده پایین می آید.

حجم و سطح هرم

فرمول. حجم هرماز طریق مساحت و ارتفاع پایه:

خواص هرم

اگر تمام لبه های کناری با هم برابر باشند، می توان یک دایره در اطراف پایه هرم رسم کرد و مرکز پایه با مرکز دایره منطبق است. همچنین، یک عمود رها شده از بالا از مرکز پایه (دایره) عبور می کند.

اگر تمام لبه های جانبی با هم برابر باشند، آنها در همان زوایای به صفحه پایه متمایل می شوند.

لبه های جانبی وقتی با صفحه قاعده زوایای مساوی تشکیل می دهند یا اگر بتوان دور قاعده هرم دایره ای را توصیف کرد، برابر هستند.

اگر وجوه جانبی با همان زاویه به صفحه قاعده متمایل شوند، می توان دایره ای را در قاعده هرم حک کرد و بالای هرم را به مرکز آن بیرون زد.

اگر وجوه جانبی در یک زاویه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه آپوتم های وجوه جانبی با هم برابرند.

ویژگی های یک هرم منظم

1. بالای هرم از تمام زوایای قاعده فاصله دارد.

2. تمام لبه های جانبی برابر هستند.

3. همه دنده های جانبی در زوایای مساوی نسبت به پایه متمایل هستند.

4. آپوتم های تمام وجوه جانبی با هم برابرند.

5. مساحت تمام وجوه جانبی برابر است.

6. همه وجوه دارای زوایای دو وجهی (مسطح) یکسانی هستند.

7. یک کره را می توان در اطراف هرم توصیف کرد. مرکز کره محصور، نقطه تلاقی عمودهایی خواهد بود که از وسط لبه ها می گذرند.

8. می توانید یک کره را در یک هرم قرار دهید. مرکز کره محاط شده، نقطه تقاطع نیمسازها خواهد بود که از زاویه بین لبه و قاعده سرچشمه می گیرد.

9. اگر مرکز کره محاطی شده با مرکز کره محصور منطبق باشد، مجموع زوایای صفحه در راس برابر است با π یا بالعکس، یک زاویه برابر است با π/n که n عدد است. زوایای قاعده هرم

ارتباط بین هرم و کره

زمانی می توان یک کره را در اطراف یک هرم توصیف کرد که در قاعده هرم یک چندوجهی وجود داشته باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (شرط لازم و کافی). مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که به طور عمود از نقاط میانی لبه های جانبی هرم عبور می کنند.

همیشه می توان یک کره را در اطراف هرم مثلثی یا منظم توصیف کرد.

اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در یک نقطه همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. این نقطه مرکز کره خواهد بود.

رابطه بین هرم و مخروط

مخروط در صورتی در یک هرم محاط می شود که رئوس آنها بر هم منطبق باشد و قاعده مخروط در قاعده هرم حک شده باشد.

در صورتی می توان مخروط را در هرم حک کرد که اثاثیه های هرم با یکدیگر برابر باشند.

مخروط به دور هرم احاطه شده است که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط دور قاعده هرم احاطه شده باشد.

یک مخروط را می توان در اطراف هرم توصیف کرد اگر تمام لبه های جانبی هرم با یکدیگر برابر باشند.

رابطه بین هرم و استوانه

در صورتی که بالای هرم روی یک پایه استوانه باشد و قاعده هرم در قاعده دیگر استوانه حک شده باشد، هرم را در یک استوانه محاط می گویند.

اگر بتوان دایره ای را در اطراف قاعده هرم توصیف کرد، می توان یک استوانه را در اطراف یک هرم توصیف کرد.

تعریف. هرم بریده شده (منشور هرمی)- این یک چند وجهی است که بین قاعده هرم و صفحه مقطع قرار دارد، به موازات پایه. بنابراین هرم دارای یک پایه بزرگ و یک پایه کوچکتر است که شبیه به بزرگتر است. صورت های جانبی ذوزنقه ای هستند.

تعریف. هرم مثلثی (چهار ضلعی)هرمی است که سه وجه و قاعده آن مثلث های دلخواه هستند.

چهار وجهی دارای چهار وجه و چهار راس و شش یال است که هر دو یال دارای رئوس مشترک نیستند اما با هم تماس ندارند.

هر رأس از سه وجه و یال تشکیل شده است که تشکیل می شوند زاویه مثلثی.

قطعه ای که راس یک چهار وجهی را به مرکز وجه مقابل متصل می کند نامیده می شود میانه چهار وجهی(GM).

دو میانیقطعه ای نامیده می شود که نقاط میانی لبه های مخالف را که با یکدیگر تماس ندارند (KL) را به هم متصل می کند.

همه دومیان ها و میانه های یک چهار وجهی در یک نقطه (S) قطع می شوند. در این مورد، دوسطح ها به نصف تقسیم می شوند و میانه ها با شروع از بالا به نسبت 3:1 تقسیم می شوند.

تعریف. هرم مایلهرمی است که در آن یکی از لبه‌های آن با قاعده زاویه منفرد (β) تشکیل می‌دهد.

تعریف. هرم مستطیلیهرمی است که یکی از وجوه کناری آن عمود بر قاعده است.

تعریف. هرم زاویه دار حاد- هرمی که در آن آپوتم بیش از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. هرم مات- هرمی که در آن آپوتم کمتر از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. چهار وجهی منظم- چهار وجهی با هر چهار ضلع - مثلث های متساوی الاضلاع. او یکی از این پنج نفر است چند ضلعی های منظم. در یک چهار وجهی منظم، تمام زوایای دو وجهی (بین وجهی) و زوایای سه وجهی (در رأس) برابر هستند.

تعریف. چهار وجهی مستطیلیچهار ضلعی نامیده می شود که در آن یک زاویه قائمه بین سه یال در راس وجود دارد (لبه ها عمود هستند). سه چهره تشکیل می شود زاویه مثلثی مستطیلیو لبه ها هستند مثلث های قائم الزاویه، و پایه یک مثلث دلخواه است. آپوتم هر صورت برابر است با نصف ضلع پایه ای که آپوتم روی آن می افتد.

تعریف. چهار وجهی ایزوهدرالچهار ضلعی نامیده می شود که وجوه جانبی آن با یکدیگر برابر و قاعده آن مثلثی منتظم است. چنین چهار وجهی دارای وجوهی است که مثلث متساوی الساقین هستند.

تعریف. چهار وجهی ارتوسنتریکچهار ضلعی نامیده می شود که در آن تمام ارتفاعات (عمود) که از بالا به طرف مقابل پایین می آیند در یک نقطه تلاقی می کنند.

تعریف. هرم ستارهچندوجهی که قاعده آن ستاره است نامیده می شود.

تعریف. دو هرم- یک چندوجهی متشکل از دو هرم مختلف (اهرام را نیز می توان قطع کرد)، دارای یک پایه مشترک، و رئوس در طرفین مخالف صفحه پایه قرار دارند.

شکلی چند وجهی است که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده با مثلث هایی با راس مشترک نشان داده می شوند.

اگر قاعده مربع باشد، هرم نامیده می شود چهار گوش، اگر یک مثلث - پس مثلثی. ارتفاع هرم از بالای آن عمود بر قاعده کشیده شده است. همچنین برای محاسبه مساحت استفاده می شود حکم- ارتفاع صورت کناری، از بالای آن پایین آمده است.
فرمول مساحت سطح جانبی هرم، مجموع مساحت وجوه جانبی آن است که با یکدیگر برابر هستند. با این حال، این روش محاسبه بسیار به ندرت استفاده می شود. اساساً مساحت هرم از طریق محیط قاعده و آپوتم محاسبه می شود:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم را در نظر بگیریم.

اجازه دهید یک هرمی با پایه ABCDE و بالای F به ما داده شود. AB = BC = DE = 3 سانتی متر a = 5 سانتی متر مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
بیایید محیط را پیدا کنیم. از آنجایی که تمام لبه های پایه برابر هستند، محیط پنج ضلعی برابر است با:
اکنون می توانید پیدا کنید ناحیه جانبیاهرام:

مساحت یک هرم مثلثی منظم

درست است هرم مثلثیاز یک پایه تشکیل شده است که در آن یک مثلث منظم و سه وجه ضلعی که مساحت آنها برابر است قرار دارد.
فرمول سطح جانبی هرم مثلثی منظم را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد. می توانید فرمول محاسبه معمول را با استفاده از محیط و آپوتم اعمال کنید یا می توانید مساحت یک وجه را پیدا کنید و آن را در سه ضرب کنید. از آنجایی که صورت هرم یک مثلث است، فرمول مساحت مثلث را اعمال می کنیم. به یک آپوتم و طول پایه نیاز دارد. بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را در نظر بگیریم.

یک هرم با آپوتم a = 4 سانتی متر و وجه پایه b = 2 سانتی متر در نظر گرفته می شود، مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
ابتدا مساحت یکی از وجه های کناری را پیدا کنید. در این صورت خواهد بود:
مقادیر را در فرمول جایگزین کنید:
از آنجایی که در یک هرم معمولی همه اضلاع یکسان هستند، مساحت سطح جانبی هرم برابر با مجموع مساحت سه وجه خواهد بود. به ترتیب:

مساحت یک هرم ناقص

کوتاه شدههرم چند وجهی است که توسط یک هرم و سطح مقطع آن موازی با قاعده تشکیل شده است.
فرمول سطح جانبی هرم کوتاه بسیار ساده است. مساحت برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع محیط قاعده ها و آپوتم:

مساحت کل سطح جانبی هرم از مجموع مساحت وجوه جانبی آن تشکیل شده است.

در هرم چهار گوش، دو نوع صورت وجود دارد - یک چهارگوش در قاعده و مثلث هایی با یک راس مشترک، که سطح جانبی را تشکیل می دهند.
ابتدا باید مساحت صورت های جانبی را محاسبه کنید. برای این کار می توانید از فرمول مساحت یک مثلث یا فرمول سطح یک هرم چهار گوش (فقط در صورتی که چند وجهی منظم باشد) استفاده کنید. اگر هرم منظم باشد و طول یال a قاعده و آپوتم h کشیده شده به آن مشخص باشد، آنگاه:

اگر با توجه به شرایط، طول لبه c یک هرم منظم و طول ضلع قاعده a داده شود، می توانید مقدار را با استفاده از فرمول زیر پیدا کنید:

اگر طول لبه در قاعده و زاویه حاد مقابل آن در بالا داده شود، مساحت سطح جانبی را می توان با نسبت مربع ضلع a به کسینوس دوگانه نصف محاسبه کرد. زاویه α:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک هرم چهار گوش از لبه جانبی و ضلع پایه را در نظر بگیریم.

مشکل: اجازه دهید یک هرم چهارگوش منظم داده شود. طول لبه b = 7 سانتی متر، طول ضلع پایه a = 4 سانتی متر، مقادیر داده شده را در فرمول جایگزین کنید.

ما محاسبات مساحت یک طرف صورت را برای یک هرم منظم نشان دادیم. به ترتیب. برای پیدا کردن مساحت کل سطح، باید نتیجه را در تعداد وجوه ضرب کنید، یعنی در 4. اگر هرم دلخواه است و وجه های آن با یکدیگر برابر نیستند، باید مساحت را محاسبه کرد. برای هر طرف جداگانه اگر پایه یک مستطیل یا متوازی الاضلاع باشد، ارزش آن را دارد که خواص آنها را به خاطر بسپارید. اضلاع این شکل ها به صورت جفت موازی هستند و بر این اساس وجه های هرم نیز به صورت جفت یکسان خواهند بود.
فرمول مساحت قاعده هرم چهار گوش به طور مستقیم به این بستگی دارد که کدام چهار ضلعی در پایه قرار دارد. اگر هرم درست باشد، مساحت پایه با استفاده از فرمول محاسبه می شود، اگر پایه یک لوزی است، باید به یاد داشته باشید که چگونه قرار دارد. اگر یک مستطیل در پایه وجود داشته باشد، پیدا کردن مساحت آن بسیار ساده خواهد بود. کافی است طول اضلاع پایه را بدانید. بیایید مثالی از محاسبه مساحت قاعده یک هرم چهار گوش را در نظر بگیریم.

مسئله: بگذارید یک هرم داده شود که در قاعده آن مستطیلی با اضلاع a = 3 سانتی متر، b = 5 سانتی متر از بالای هرم به هر یک از اضلاع پایین آمده است. h-a = 4 سانتی متر، h-b = 6 سانتی متر، بالای هرم روی همان خطی قرار دارد که نقطه تلاقی مورب ها است. پیدا کنید مساحت کاملاهرام
فرمول مساحت یک هرم چهار گوش از مجموع مساحت تمام وجوه و مساحت قاعده تشکیل شده است. ابتدا بیایید مساحت پایه را پیدا کنیم:


حالا بیایید به طرفین هرم نگاه کنیم. آنها به صورت جفت یکسان هستند، زیرا ارتفاع هرم نقطه تقاطع مورب ها را قطع می کند. یعنی در هرم ما دو مثلث با قاعده a و وجود دارد ارتفاع h-a، و همچنین دو مثلث با پایه b و ارتفاع h-b. حالا بیایید مساحت مثلث را با استفاده از فرمول معروف پیدا کنیم:


حالا بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک هرم چهار گوش را انجام دهیم. در هرم ما با یک مستطیل در قاعده، فرمول به صورت زیر است:

هرم مثلثیچندوجهی است که قاعده آن مثلثی منظم است.

در چنین هرمی، لبه های پایه و لبه های اضلاع با یکدیگر برابر هستند. بر این اساس، مساحت وجوه جانبی از مجموع مساحت سه مثلث یکسان به دست می آید. با استفاده از فرمول می توانید سطح جانبی یک هرم معمولی را پیدا کنید. و می توانید محاسبه را چندین برابر سریعتر انجام دهید. برای این کار باید فرمول سطح جانبی هرم مثلثی را اعمال کنید:

جایی که p محیط قاعده است که همه اضلاع آن برابر با b است، a آپوتم است که از بالا به این پایه پایین آمده است. بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک هرم مثلثی را در نظر بگیریم.

مشکل: بگذارید یک هرم منظم داده شود. ضلع مثلث در قاعده b = 4 سانتی متر است.
از آنجایی که با توجه به شرایط مسئله، طول تمام عناصر لازم را می دانیم، محیط را پیدا خواهیم کرد. به یاد می آوریم که در یک مثلث منظم همه اضلاع برابر هستند و بنابراین، محیط با فرمول محاسبه می شود:

بیایید داده ها را جایگزین کنیم و مقدار را پیدا کنیم:

اکنون، با دانستن محیط، می توانیم مساحت سطح جانبی را محاسبه کنیم:

برای اعمال فرمول مساحت یک هرم مثلثی برای محاسبه مقدار کامل، باید مساحت قاعده چند وجهی را پیدا کنید. برای این کار از فرمول استفاده کنید:

فرمول مساحت قاعده هرم مثلثی ممکن است متفاوت باشد. می توان از هر گونه محاسبه پارامتر برای یک رقم معین استفاده کرد، اما اغلب این مورد نیاز نیست. بیایید مثالی از محاسبه مساحت قاعده یک هرم مثلثی را در نظر بگیریم.

مشکل: در هرم منظم، ضلع مثلث در قاعده a = 6 سانتی متر است.
برای محاسبه فقط به طول ضلع مثلث منظم واقع در قاعده هرم نیاز داریم. بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

اغلب شما باید مساحت کل یک چند وجهی را پیدا کنید. برای انجام این کار، باید مساحت سطح جانبی و پایه را اضافه کنید.

بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک هرم مثلثی را در نظر بگیریم.

مشکل: بگذارید یک هرم مثلثی منظم داده شود. ضلع پایه b = 4 سانتی متر است، آپوتم a = 6 سانتی متر است مساحت کل هرم را بیابید.
ابتدا بیایید مساحت سطح جانبی را با استفاده از فرمول از قبل شناخته شده پیدا کنیم. بیایید محیط را محاسبه کنیم:

داده ها را با فرمول جایگزین کنید:
حالا بیایید مساحت پایه را پیدا کنیم:
با دانستن مساحت پایه و سطح جانبی، مساحت کل هرم را پیدا می کنیم:

هنگام محاسبه مساحت یک هرم منظم، نباید فراموش کنید که پایه یک مثلث منظم است و بسیاری از عناصر این چند وجهی با یکدیگر برابر هستند.