چگونه شعاع دایره محاطی را پیدا کنیم؟ دایره محاطی و دایره ای. راهنمای تصویری با مثال (2019)

دایره در داخل مرزها در نظر گرفته شده است چند ضلعی منظم، در صورت قرار گرفتن در داخل آن، با دست زدن به خطوط مستقیمی که از همه طرف می گذرد. بیایید نحوه پیدا کردن مرکز و شعاع یک دایره را بررسی کنیم. مرکز دایره نقطه ای خواهد بود که نیمسازهای گوشه های چندضلعی در آن قطع می شوند. شعاع محاسبه می شود: R=S/P; S مساحت چند ضلعی، P نیمه محیط دایره است.

در یک مثلث

فقط یک دایره در یک مثلث منظم حک شده است که مرکز آن مرکز نامیده می شود. از همه طرف به همان فاصله قرار دارد و محل تقاطع نیمسازها است.

در یک چهار گوش

اغلب باید تصمیم بگیرید که چگونه شعاع دایره محاطی شده را در این شکل هندسی پیدا کنید. باید محدب باشد (اگر خودتقاطع وجود نداشته باشد). فقط در صورتی می توان دایره ای در آن ثبت کرد که مجموع اضلاع مقابل برابر باشد: AB+CD=BC+AD.

در این مورد، مرکز دایره محاط شده، نقاط وسط قطرها، بر روی یک خط مستقیم قرار دارند (طبق قضیه نیوتن). قسمتی که انتهای آن در جایی قرار دارد که اضلاع مقابل یک چهارضلعی منتظم روی یک خط مستقیم قرار دارند که خط مستقیم گاوسی نامیده می شود. مرکز دایره نقطه ای خواهد بود که ارتفاعات مثلث با رئوس و مورب ها قطع می شود (طبق قضیه بروکارد).

در لوزی

متوازی الاضلاع با اضلاع با طول مساوی در نظر گرفته می شود. شعاع دایره محاط شده در آن را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد.

1. برای انجام صحیح این کار، اگر مساحت لوزی و طول ضلع آن مشخص باشد، شعاع دایره محاطی لوزی را پیدا کنید. از فرمول r=S/(2Xa) استفاده شده است. به عنوان مثال، اگر مساحت یک لوزی 200 میلی متر مربع باشد، طول ضلع آن 20 میلی متر است، سپس R = 200/(2X20)، یعنی 5 میلی متر.
2. زاویه تند یکی از رئوس مشخص است. سپس باید از فرمول r=v(S*sin(α)/4) استفاده کنید. به عنوان مثال، با مساحت 150 میلی متر و زغال سنگ شناخته شدهدر 25 درجه، R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0.423/4) ≈ v15.8625 ≈ 3.983 میلی متر.
3. تمام زوایای یک لوزی با هم برابرند. در این حالت شعاع دایره ای که در یک لوزی حک شده است برابر با نصف طول یک ضلع این شکل خواهد بود. اگر طبق اقلیدس استدلال کنیم که مجموع زوایای هر چهارضلعی 360 درجه است، یک زاویه برابر 90 درجه خواهد بود. آن ها معلوم خواهد شد که یک مربع است.

شعاع پاره خطی است که هر نقطه از دایره را به مرکز آن متصل می کند. این یکی از مهمترین ویژگی های این رقم است، زیرا بر اساس آن می توان سایر پارامترها را محاسبه کرد. اگر می دانید چگونه شعاع یک دایره را پیدا کنید، می توانید قطر، طول و مساحت آن را محاسبه کنید. در صورتی که یک شکل معین در اطراف دیگری حک یا توصیف شود، تعدادی از مشکلات دیگر را می توان حل کرد. امروز به فرمول های اساسی و ویژگی های کاربرد آنها خواهیم پرداخت.

مقادیر شناخته شده

اگر می دانید چگونه شعاع یک دایره را که معمولاً با حرف R نشان داده می شود پیدا کنید، می توانید آن را با استفاده از یک مشخصه محاسبه کنید. این مقادیر عبارتند از:

• دور (C)؛
• قطر (D) - یک بخش (یا به عبارت بهتر، یک وتر) که از نقطه مرکزی عبور می کند.
• ناحیه (S) - فضایی که توسط یک شکل معین محدود شده است.

محیط

اگر مقدار C در مسئله مشخص باشد، R = C / (2 * P). این فرمول یک مشتق است. اگر بدانیم دور چقدر است، دیگر لازم نیست آن را به خاطر بسپاریم. فرض کنید در مسئله C = 20 متر شعاع دایره را در این حالت پیدا کنیم؟ ما به سادگی مقدار شناخته شده را در فرمول بالا جایگزین می کنیم. توجه داشته باشید که در چنین مسائلی آگاهی از عدد P همیشه برای راحتی محاسبات، مقدار آن را 3.14 در نظر می گیریم. راه حل در این مورد به نظر می رسد: ما می نویسیم که چه مقادیر داده شده است، فرمول را استخراج می کنیم و محاسبات را انجام می دهیم. در پاسخ می نویسیم که شعاع 20 / (2 * 3.14) = 3.19 متر است. مهم است که آنچه را محاسبه کردیم و نام واحدهای اندازه گیری را ذکر کنیم.

بر حسب قطر

بیایید فوراً تأکید کنیم که این ساده ترین نوع مسئله است که می پرسد چگونه شعاع یک دایره را پیدا کنیم. اگر در یک آزمون با چنین مثالی برخورد کردید، می توانید مطمئن باشید. اینجا حتی نیازی به ماشین حساب ندارید! همانطور که قبلاً گفتیم، قطر یک قطعه یا به عبارت صحیح تر، یک وتر است که از مرکز می گذرد. در این حالت، تمام نقاط دایره با هم فاصله دارند. بنابراین این آکورد از دو نیمه تشکیل شده است. هر یک از آنها یک شعاع است که از تعریف آن به عنوان قطعه ای است که نقطه ای را روی یک دایره و مرکز آن به هم متصل می کند. اگر قطر در مسئله مشخص است، برای پیدا کردن شعاع کافی است این مقدار را بر دو تقسیم کنید. فرمول به شرح زیر است: R = D / 2. برای مثال، اگر قطر در مسئله 10 متر باشد، شعاع آن 5 متر است.

بر اساس مساحت یک دایره

این نوع مشکل معمولاً سخت ترین نامیده می شود. این در درجه اول به دلیل ناآگاهی از فرمول است. اگر می دانید که چگونه شعاع دایره را در این مورد پیدا کنید، بقیه چیزها یک تکنیک است. در ماشین حساب، فقط باید نماد محاسبه ریشه مربع را از قبل پیدا کنید. مساحت دایره حاصل ضرب عدد P و شعاع در خودش است. فرمول به شرح زیر است: S = P * R 2. با جدا کردن شعاع در یک طرف معادله، به راحتی می توانید مسئله را حل کنید. برابر با جذر نصاب مساحت تقسیم بر عدد P خواهد بود. اگر S = 10 متر باشد، R = 1.78 متر است. مانند مسائل قبلی، مهم است که واحدهای اندازه گیری استفاده شده را به خاطر بسپارید.

چگونه شعاع دور دایره را پیدا کنیم

فرض کنید a,b,c اضلاع مثلث هستند. اگر مقادیر آنها را بدانید، می توانید شعاع دایره توصیف شده در اطراف آن را پیدا کنید. برای این کار ابتدا باید نیم محیط مثلث را پیدا کنید. برای درک آسان تر، بیایید آن را با حرف کوچک p نشان دهیم. برابر با نصف مجموع اضلاع خواهد بود. فرمول آن: p = (a + b + c) / 2.

حاصلضرب طول اضلاع را نیز محاسبه می کنیم. برای راحتی، بیایید آن را با حرف S نشان دهیم. فرمول شعاع دایره محدود شده به این صورت خواهد بود: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - ج)).

بیایید به یک کار مثال نگاه کنیم. دایره ای داریم که دور یک مثلث محصور شده است. طول اضلاع آن 5 و 6 و 7 سانتی متر است ابتدا نیم محیط را محاسبه می کنیم. در مشکل ما برابر با 9 سانتی متر خواهد بود. حالا بیایید حاصل ضرب طول اضلاع - 210 را محاسبه کنیم. نتایج محاسبات میانی را در فرمول جایگزین می کنیم و نتیجه را می یابیم. شعاع دایره محدود شده 3.57 سانتی متر است. ما پاسخ را یادداشت می کنیم و واحدهای اندازه گیری را فراموش نمی کنیم.

چگونه شعاع دایره محاطی را پیدا کنیم

فرض کنید a، b، c طول اضلاع مثلث هستند. اگر مقادیر آنها را بدانید، می توانید شعاع دایره محاط شده در آن را پیدا کنید. ابتدا باید نیم محیط آن را پیدا کنید. برای سهولت در درک، بیایید آن را با یک حرف کوچک p نشان دهیم. فرمول محاسبه آن به شرح زیر است: p = (a + b + c) / 2. این نوع مسئله تا حدودی ساده تر از مورد قبلی است، بنابراین نیازی به محاسبات میانی نیست.

شعاع دایره محاط شده با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). بیایید به این نگاه کنیم مثال خاص. فرض کنید مشکل مثلثی با اضلاع 5، 7 و 10 سانتی متری در آن حک شده است که باید شعاع آن را پیدا کرد. ابتدا نیم محیط را پیدا می کنیم. در مسئله ما برابر با 11 سانتی متر خواهد بود و اکنون آن را به فرمول اصلی تبدیل می کنیم. شعاع برابر با 1.65 سانتی متر خواهد بود. پاسخ را یادداشت کنید و فراموش نکنید واحدهای صحیحاندازه گیری ها

دایره و خواص آن

هر شکل هندسی ویژگی های خاص خود را دارد. صحت حل مسئله به درک آنها بستگی دارد. دایره هم آنها را دارد. آنها اغلب هنگام حل مثال هایی با شکل های توصیف شده یا حکاکی شده استفاده می شوند، زیرا تصویر واضحی از چنین وضعیتی ارائه می دهند. از جمله:

• یک خط مستقیم می تواند صفر، یک یا دو نقطه تقاطع با یک دایره داشته باشد. در حالت اول با آن تلاقی ندارد، در حالت دوم مماس است، در حالت سوم قطع است.
• اگر سه نقطه را انتخاب کنیم که روی یک خط قرار نگیرند، فقط یک دایره را می توان از میان آنها رسم کرد.
• یک خط مستقیم می تواند مماس بر دو شکل در آن واحد باشد. در این صورت از نقطه ای عبور می کند که روی قسمتی که مرکز دایره ها را به هم وصل می کند قرار دارد. طول آن برابر است با مجموع شعاع این ارقام.
• تعداد نامتناهی دایره را می توان از یک یا دو نقطه ترسیم کرد.

این مقاله به طور عمومی نحوه یافتن شعاع دایره ای را که در یک مربع محاط شده است توضیح می دهد. مطالب نظری به شما کمک می کند تا تمام تفاوت های ظریف مربوط به موضوع را درک کنید. پس از مطالعه این متن قادر خواهید بود در آینده به راحتی مشکلات مشابه را حل کنید.

نظریه پایه

قبل از حرکت مستقیم به یافتن شعاع دایره ای که در یک مربع حک شده است، ارزش دارد که با برخی از مفاهیم اساسی آشنا شوید. ممکن است خیلی ساده و بدیهی به نظر برسند، اما برای درک موضوع ضروری هستند.

مربع چهار ضلعی است که همه اضلاع آن با هم برابرند و درجه تمام زوایا 90 درجه است.

دایره یک منحنی بسته دو بعدی است که در فاصله معینی از یک نقطه معین قرار دارد. قطعه ای که یک سر آن در مرکز دایره و سر دیگر آن روی هر یک از سطوح آن قرار دارد، شعاع نامیده می شود.

ما با اصطلاحات آشنا شدیم، فقط سوال اصلی باقی ماند. ما باید شعاع دایره ای را که در یک مربع محاط شده است، پیدا کنیم. اما عبارت آخر به چه معناست؟ اینجا هم هیچ چیز پیچیده ای نیست. اگر تمام ضلع های یک چند ضلعی یک خط منحنی را لمس کنند، در این چند ضلعی محاط می شود.

شعاع دایره ای که در یک مربع حک شده است

با مطالب نظریبه پایان رسید. حال باید نحوه عملی کردن آن را بیابیم. بیایید برای این کار از نقاشی استفاده کنیم.

شعاع آشکارا عمود بر AB است. این بدان معنی است که در عین حال موازی با پس از میلاد و قبل از میلاد است. به طور کلی، می توانید آن را در کنار مربع "روکش کنید" تا طول را بیشتر تعیین کنید. همانطور که می بینید، بخش BK با آن مطابقت دارد.

یکی از انتهای آن r در مرکز دایره قرار دارد که نقطه تلاقی قطرها است. دومی ها بر اساس یکی از ویژگی های خود یکدیگر را به دو نیم تقسیم می کنند. با استفاده از قضیه فیثاغورث می توانیم ثابت کنیم که آنها ضلع شکل را نیز به دو قسمت مساوی تقسیم می کنند.

با در نظر گرفتن این استدلال ها، نتیجه می گیریم.

لوزی متوازی الاضلاع است که همه اضلاع آن برابر است. بنابراین تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را به ارث می برد. یعنی:

• مورب های یک لوزی متقابل عمود هستند.
• قطرهای یک لوزی نیمساز زوایای داخلی آن هستند.

یک دایره را می توان در یک چهار ضلعی حک کرد اگر و فقط در صورتی که مجموع اضلاع مقابل برابر باشد.
بنابراین، یک دایره را می توان در هر لوزی حک کرد. مرکز دایره محاطی با مرکز تقاطع مورب های لوزی منطبق است.
شعاع دایره محاطی شده در یک لوزی را می توان به چند روش بیان کرد

1 راه. شعاع دایره محاطی به شکل لوزی در طول ارتفاع

ارتفاع لوزی برابر با قطر دایره محاط است. این از خاصیت مستطیل ناشی می شود که از قطر دایره محاطی و ارتفاع لوزی تشکیل می شود - اضلاع مخالف مستطیل برابر هستند.

بنابراین، فرمول شعاع دایره محاطی شده در یک لوزی بر حسب ارتفاع:

روش 2. شعاع دایره محاط شده در یک لوزی از طریق مورب

مساحت یک لوزی را می توان بر حسب شعاع دایره محاطی بیان کرد
، کجا آر- محیط یک لوزی با دانستن اینکه محیط مجموع تمام اضلاع چهارضلعی است، داریم P= 4×a.سپس
اما مساحت یک لوزی نیز برابر با نصف حاصلضرب قطرهای آن است
با برابر کردن سمت راست فرمول های مساحت، برابری زیر را داریم
در نتیجه، فرمولی به دست می آوریم که به ما امکان می دهد شعاع دایره محاطی شده را در یک لوزی از طریق قطرها محاسبه کنیم.

مثالی از محاسبه شعاع دایره محاط شده در لوزی در صورتی که قطرها مشخص باشند
شعاع دایره ای که در لوزی محاط شده است را بیابید اگر معلوم شود که طول قطرها 30 سانتی متر و 40 سانتی متر است.
اجازه دهید ABCDلوزی، پس A.C.و BDمورب های آن AC= 30 سانتی متر ، BD=40 سانتی متر
بگذارید نکته در مورد– مرکز لوزی است ABCDدایره، سپس نقطه تقاطع مورب های آن نیز خواهد بود و آنها را به نصف تقسیم می کند.


از آنجایی که مورب های یک لوزی در زاویه قائمه همدیگر را قطع می کنند، پس مثلث AOBمستطیل شکل سپس، توسط قضیه فیثاغورث
، مقادیر به دست آمده قبلی را جایگزین فرمول کنید

AB= 25 سانتی متر
با استفاده از فرمول مشتق شده قبلی برای شعاع دایره محدود در یک لوزی، به دست می آوریم

3 راه. شعاع دایره محاطی شده در یک لوزی از طریق قطعات m و n

نقطه اف- نقطه تماس دایره با طرف لوزی که آن را به قطعات تقسیم می کند A.F.و B.F.. اجازه دهید AF=m، BF=n.
نقطه O– مرکز تقاطع مورب های لوزی و مرکز دایره حک شده در آن.
مثلث AOB- مستطیل، زیرا مورب های یک لوزی در زوایای قائمه همدیگر را قطع می کنند.
، زیرا شعاع کشیده شده به نقطه مماس دایره است. از این رو OF- ارتفاع مثلث AOBبه هیپوتانوز. سپس A.F.و B.F.برآمدگی پاها روی هیپوتنوز.
ارتفاع در مثلث قائم الزاویهپایین آمدن به هیپوتنوز میانگین تناسب بین برآمدگی پاها بر روی هیپوتنوز است.

فرمول شعاع دایره محاطی در یک لوزی در میان قطعات برابر است با جذر حاصلضرب این قطعات که نقطه مماس دایره ضلع لوزی را به آنها تقسیم می کند.