ویژگی های اساسی انتگرال نامعین با مثال. ویژگی های اساسی انتگرال نامعین تغییر ناپذیری اشکال ادغام

مجموع سریال ها

وب سایتبه شما امکان می دهد پیدا کنید مجموع سریال های آنلایندنباله اعداد سرور علاوه بر یافتن مجموع یک سری دنباله اعداد آنلاین، در آن قرار دارد آنلاینپیدا خواهد کرد مجموع جزئی سری. این برای محاسبات تحلیلی مفید است مجموع سریال های آنلاینباید به عنوان راه حلی برای حد توالی نمایش داده شود و پیدا شود مبالغ جزئی سریال. در مقایسه با سایت های دیگر وب سایتیک مزیت غیرقابل انکار دارد، زیرا به شما امکان می دهد پیدا کنید مجموع سریال های آنلایننه تنها عددی، بلکه محدوده عملکردی، که به ما امکان می دهد منطقه همگرایی اصلی را تعیین کنیم ردیفبا استفاده از شناخته شده ترین روش ها طبق نظریه ردیف ها, یک شرط ضروریهمگرایی یک دنباله اعداد برابری با صفر حد یک جمله مشترک است سری اعداد همانطور که متغیر به سمت بی نهایت میل می کند. با این حال، این شرط برای تعیین همگرایی یک سری اعداد آنلاین کافی نیست.. برای تعیین همگرایی سری آنلایننشانه های کافی مختلف از همگرایی یا واگرایی یافت شده است ردیف. معروف ترین و پرکاربردترین آنها علائم دالامبر، کوشی، رابه، مقایسه است. سری اعدادو همچنین علامت جدایی ناپذیر همگرایی سری اعداد. جایگاه ویژه در میان سری اعدادمواردی را که در آنها نشانه های اصطلاحات به شدت متناوب هستند و مقادیر مطلق را اشغال کنند سری اعدادیکنواخت کاهش می یابد. معلوم می شود که برای چنین سری اعدادعلامت لازم همگرایی سریال آنلاین در عین حال کافی است، یعنی برابری حد عبارت کلی به صفر سری اعدادهمانطور که متغیر به سمت بی نهایت میل می کند. سایت های مختلفی وجود دارند که ارائه می دهند سرورهابرای محاسبه مبالغ سریال های آنلاینو همچنین بسط توابع در ردیفآنلاین در نقطه ای از دامنه تعریف این تابع. اگر تابع را به سریال آنلاینبه خصوص در این سرورها دشوار نیست، سپس محاسبه مجموع سری کاربردی آنلاین، که هر یک از اعضای آن بر خلاف عددی ردیف، یک عدد نیست، بلکه یک تابع است، به دلیل کمبود منابع فنی لازم تقریبا غیر ممکن به نظر می رسد. برای www.siteچنین مشکلی وجود ندارد

در مدتی که سپرده در بانک نگهداری می شد، سود ماهانه ابتدا 5% سپس 12% و در نهایت 12.5% ​​در ماه تعلق می گرفت. مشخص است که سپرده به مدت چند ماه مشمول هر نرخ سود جدید بوده و پس از پایان مدت ذخیره، مبلغ اولیه با تعیین مدت ذخیره سپرده افزایش می‌یابد.

راه حل.

شناخته شده:

1. سود سپرده به صورت ماهانه تعلق گرفت.

2. هر درصد افزایش بعدی پس از پایان ماه تقویمی با در نظر گرفتن مبلغ سپرده جدید و با در نظر گرفتن افزایش های قبلی محاسبه شد.

در صورتی که مبلغ سپرده اولیه با نرخ سود 5 درصد ماهانه برای ماه ها ادامه داشته باشد، پس از آن مبلغ سپرده به صورت ماهانه به چند برابر افزایش می یابد و این ضریب تا زمان تغییر نرخ حفظ می شود.

در صورت تغییر نرخ سود از به (نرخ ماه ها طول کشید)، مبلغ سپرده اولیه برای ماه ها چندین برابر افزایش می یابد.

فرض کنید نرخ سود ماه ها و نرخ سود ماه ها ادامه داشت. سپس فاکتورهای افزایش مربوطه به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، ضریب افزایش مبلغ سپرده در کل برای کل دوره ذخیره سپرده در بانک خواهد بود:

از سوی دیگر، با توجه به شرایط مشکل، مبلغ اولیه سپرده در همان زمان افزایش یافته است.

طبق قضیه اساسی حساب، هر عدد طبیعی، بزرگتر از 1 را می توان به عنوان حاصلضرب عوامل اول نشان داد و این نمایش تا ترتیب وقوع آنها منحصر به فرد است. در این مورد:

اجازه دهید این سیستم را با توجه به طبیعی حل کنیم و از آخرین معادله سیستم که داریم: با این مقادیر، سیستم به شکل زیر در می آید:

بنابراین، سپرده در بانک به مدت 7 ماه ذخیره شد. با مقادیر یافت شده و در واقع برابر با صفر است.

جواب: 7.

توجه داشته باشید.

برای یک نسخه ساده تر از این مشکل، اعداد و.

منبع: A. Larin: گزینه آموزشی № 81.

سمیون کوزنتسوف قصد داشت تمام پس انداز خود را در یک حساب پس انداز در بانک Navrode با 500٪ سرمایه گذاری کند، به این امید که ظرف یک سال آن را برداشت کند. الفروبل با این حال، سقوط بانک Navrode برنامه های او را تغییر داد و از یک عمل عجولانه جلوگیری کرد. در نتیجه، آقای کوزنتسوف بخشی از پول را در اولین بانک شهرداری و بقیه را در ظرف ماکارونی گذاشت. یک سال بعد، First Municipal درصد پرداخت را دو و نیم برابر افزایش داد و آقای کوزنتسوف تصمیم گرفت که سپرده را برای یک سال دیگر ترک کند. در نتیجه، مبلغ دریافتی در First Municipal به روبل رسید. اگر سمیون روبل را در یک شیشه پاستا «سرمایه گذاری» کند، مشخص کنید که اولین بانک شهرداری چه سودی برای سال اول به دست آورده است.

راه حل.

بیایید فرض کنیم که پس انداز کوزنتسوف بوده است X r

سمیون قصد داشت در یک سال 6 عدد از بانک نارودا دریافت کند X = الف(ص).

با این حال، آقای کوزنتسوف (ر) پس انداز خود را در یک شیشه ماکارونی و بقیه روبل ها را در اولین بانک شهرداری "سرمایه گذاری" کرد. فرض کنید، در این بانک، سود پرداختی در سال اول ذخیره وجوه به میزان بوده است y٪. سپس در سال دوم این نرخ بهره به درصد تبدیل شد. در طی 2 سال ذخیره در اولین بانک شهرداری، سپرده سمیون به افزایش یافت

و ارزش این عبارت است

بیایید معادله را حل کنیم در.

با هدف کار مطابقت ندارد

اولین بانک شهری 20 درصد به سمیون کوزنتسوف برای اولین سال نگهداری سپرده تعلق گرفت.

جواب: 20 درصد

منبع: الف لارین: گزینه آموزشی شماره 94.

طبقه بندی بخش اصلی: مسائل عملی

و غیره - حداقل دانش در مورد سری اعداد. باید فهمید سریال چیست، بتوانید آن را با جزئیات توصیف کنید و بعد از عبارات "سریال همگرا می شود" ، "سریال واگرا می شود" ، "مجموع سریال" چشمان خود را گشاد نکنید. بنابراین، اگر خلق و خوی شما کاملاً صفر است، لطفاً 5-10 دقیقه برای این مقاله وقت بگذارید ردیف هایی برای آدمک ها(به معنای واقعی کلمه 2-3 صفحه اول)، و سپس به اینجا برگردید و با خیال راحت شروع به حل مثال کنید!

لازم به ذکر است که در اکثر موارد یافتن مجموع یک سری کار آسانی نیست و این موضوع معمولاً از طریق سری کاربردی (زندگی خواهیم کرد، زندگی خواهیم کرد :)). بنابراین، برای مثال، مقدار یک هنرمند محبوب خروجی از طریق سری فوریه. در این راستا، در عمل تقریباً همیشه لازم است که نصب شود خود واقعیت همگرایی، اما نه برای یافتن یک عدد خاص (فکر می کنم بسیاری قبلاً متوجه این موضوع شده اند). با این حال، در میان تنوع زیاد سری های اعداد، تعداد کمی از نمایندگان وجود دارد که حتی یک قوری پر اجازه می دهد تا بدون هیچ مشکلی به مقدسات مقدس دست بزند. و در درس مقدماتی مثالی از یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت آوردم. ، که مقدار آن با استفاده از فرمول معروف مدرسه به راحتی محاسبه می شود.

در این مقاله به بررسی نمونه‌های مشابه ادامه می‌دهیم، به‌علاوه تعریف دقیق مجموع را یاد می‌گیریم و در طول مسیر با برخی از خواص سری آشنا می‌شویم. بیایید گرم شویم ... و بیایید درست روی پیشرفت ها گرم شویم:

مثال 1

مجموع سری را پیدا کنید

راه حل: بیایید سریال خود را به صورت مجموع دو سری تصور کنیم:

چرا در اینآیا امکان انجام این کار وجود دارد؟ اقدامات انجام شده بر اساس دو عبارت ساده است:

1) اگر سری ها همگرا شوند ، سپس سری متشکل از مجموع یا تفاوت عبارت های مربوطه نیز همگرا می شوند: . در این مورد، واقعیت مهم این است که ما در مورد آن صحبت می کنیم همگراردیف ها در مثال ما ما ما از قبل می دانیم، که هر دو پیشروی هندسی همگرا خواهند شد، به این معنی که بدون هیچ شکی، سری اصلی را به دو ردیف تجزیه می کنیم.

2) خاصیت دوم آشکارتر است. ثابت را می توان به خارج از سری منتقل کرد: ، و این تأثیری بر همگرایی یا واگرایی و جمع نهایی آن نخواهد داشت. چرا ثابت را بیرون می آوریم؟ بله، فقط به این دلیل که او "در راهش قرار نگیرد." اما گاهی اوقات انجام ندادن این کار مفید است

مثال تمیز چیزی شبیه به این است:

ما دو بار از فرمول استفاده می کنیم تا مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را بیابیم: , جایی که اولین جمله پیشرفت است و پایه پیشرفت است.

پاسخ دهید: مجموع سری

شروع راه حل را می توان به سبک کمی متفاوت طراحی کرد - مجموعه را مستقیماً بنویسید و اعضای آن را مجدداً مرتب کنید:

بیشتر در امتداد مسیر ضرب و شتم.

مثال 2

مجموع سری را پیدا کنید

این یک مثال برای تصمیم مستقل. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

در اینجا هیچ لذت خاصی وجود ندارد، اما یک روز با سریالی غیرعادی روبرو شدم که می تواند یک فرد بی تجربه را غافلگیر کند. این ... نیز بی نهایت در حال کاهش است پیشرفت هندسی! در واقع، و مقدار فقط در چند لحظه محاسبه می شود: .

و حالا یک جرعه حیات بخش تجزیه و تحلیل ریاضیبرای حل مشکلات بعدی لازم است:

مجموع یک سریال چقدر است؟

یک تعریف دقیق از همگرایی/واگرایی و مجموع یک سری در تئوری از طریق به اصطلاح ارائه شده است. مقادیر جزئیردیف جزئی یعنی ناقص. بیایید مجموع جزئی یک سری اعداد را بنویسیم :

و نقش ویژهمجموع جزئی اعضای "en" سریال بازی می کند:

اگر حد مجموع جزئی یک سری اعداد برابر باشد نهاییشماره: ، سپس چنین سری نامیده می شود همگرا، و خود شماره است مجموع سریال. اگر حد نامحدود باشد یا وجود نداشته باشد، سری فراخوانی می شود واگرا.

بیایید به ردیف دمو برگردیم و مجموع جزئی آن را بنویسید:

حد مجموع جزئی دقیقاً یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش است که مجموع آن برابر است با: . ما به محدودیت مشابهی در درس نگاه کردیم در مورد دنباله های اعداد. در واقع، خود فرمول نتیجه مستقیم محاسبات نظری فوق است (رجوع کنید به جلد دوم متان).

بدین ترتیب ترسیم می شود الگوریتم کلی برای حل مشکل ما: باید nامین مجموع جزئی سری را بسازید و حد را پیدا کنید. بیایید ببینیم که چگونه این کار در عمل انجام می شود:

مثال 3

مجموع یک سری را محاسبه کنید

راه حل: در مرحله اول باید تجزیه شود اصطلاح رایج سریالبه مجموع کسرها استفاده می کنیم روش ضرایب نامشخص:

در نتیجه:

بلافاصلهمفید برای خرج کردن عمل معکوس، بدین ترتیب بررسی را انجام می دهد:

اصطلاح کلی سری به شکل اصلی آن به دست آمد، بنابراین، تجزیه به مجموع کسری با موفقیت انجام شد.

حالا بیایید یک مجموع جزئی از سریال را بسازیم. به طور کلی، این کار به صورت شفاهی انجام می شود، اما یک بار من تا آنجا که ممکن است با جزئیات بیشتر توضیح خواهم داد:

نحوه نوشتن کاملاً واضح است، اما عبارت قبلی برابر است با چیست؟ در اصطلاح رایج سریال به جای"en" را جایگزین می کنیم:

تقریباً همه شرایط جمع جزئی با موفقیت یکدیگر را لغو می کنند:


ما فقط چنین یادداشت هایی را با مداد در یک دفترچه یادداشت می کنیم. لعنتی راحت

باقی مانده است که حد ابتدایی را محاسبه کرده و مجموع سری را دریابیم:

پاسخ دهید:

یک سری مشابه برای یک راه حل مستقل:

مثال 4

مجموع یک سری را محاسبه کنید

یک مثال تقریبی از راه حل نهایی در پایان درس.

بدیهی است که یافتن مجموع یک سری به خودی خود دلیلی بر همگرایی آن است (علاوه بر علائم مقایسه, دالامبر، کوشیو غیره)، که، به ویژه، با عبارت اشاره می کند کار بعدی:

مثال 5

مجموع یک سری را بیابید یا واگرایی آن را مشخص کنید

توسط ظاهراز یک عضو مشترک، می توانید بلافاصله بگویید این رفیق چگونه رفتار می کند. بدون مجتمع با استفاده از معیار محدود کننده برای مقایسهبه راحتی می توان فهمید (حتی به صورت شفاهی) که این سریال با سریال همگرا می شود. اما قبل از ما مورد نادر، زمانی که مبلغ نیز بدون دردسر زیاد محاسبه می شود.

راه حل: بیایید مخرج کسری را به یک محصول بسط دهیم. برای انجام این کار باید تصمیم بگیرید معادله درجه دوم:

بدین ترتیب:

بهتر است عوامل را به ترتیب صعودی مرتب کنید: .

بیایید یک بررسی میانی انجام دهیم:

باشه

بنابراین، اصطلاح کلی این مجموعه عبارت است از:

بدین ترتیب:

بیایید تنبل نباشیم:

چیزی که باید بررسی می شد.

اجازه دهید مجموع جزئی "en" اعضای سریال را یادداشت کنیم، در حالی که به این نکته توجه کنیم که "شمارگر" سریال از عدد شروع به کار می کند. همانطور که در نمونه های قبلی، کشش مار کبری به طول مناسب تر است:

با این حال، اگر آن را در یک یا دو خط بنویسیم، باز هم پیمایش اصطلاحات بسیار دشوار خواهد بود (در هر ترم 3 مورد از آنها وجود دارد). و اینجا... هندسه به کمک ما خواهد آمد. بیایید کاری کنیم که مار با آهنگ ما برقصد:

بله، همینطور یک عبارت زیر دیگری را در دفتر یادداشت می نویسیم و همان طور خط می زنیم. اتفاقا اختراع خودم. همانطور که می دانید، آسان ترین کار در این زندگی نیست =)

در نتیجه سلب کردن، دریافت می کنیم:

و در نهایت جمع سریال:

پاسخ دهید:

مثال 8

مجموع یک سری را محاسبه کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

مشکل مورد بررسی، البته، با تنوع آن ما را خشنود نمی کند - در عمل، یا با یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش یا یک سری با یک جمله مشترک عقلی کسری و یک چند جمله ای تجزیه پذیر در مخرج مواجه می شویم (به هر حال، نه هر چنین چند جمله ای یافتن مجموع سری را ممکن می سازد). اما، با این وجود، گاهی اوقات نمونه های غیرعادی پیش می آید و طبق سنت حسنه ثابت شده، درس را با مشکل جالبی به پایان می برم.

این ویژگی ها برای تبدیل انتگرال به منظور کاهش آن به یکی از انتگرال های ابتدایی و محاسبه بیشتر استفاده می شود.

1. مشتق انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

2. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

3. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع معین برابر است با مجموع این تابع و یک ثابت دلخواه:

4. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

علاوه بر این، یک ≠ 0

5. انتگرال مجموع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرالها:

6. اموال ترکیبی از خواص 4 و 5 است:

علاوه بر این، a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. خاصیت تغییرناپذیری انتگرال نامعین:

اگر، پس

8. اموال:

اگر، پس

در واقع این ملکیک مورد خاص از ادغام با استفاده از روش تغییر متغیر را نشان می دهد که در بخش بعدی با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار می گیرد.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

ابتدا خاصیت 5 و سپس خاصیت 4 را اعمال کردیم و سپس از جدول آنتی مشتق ها استفاده کردیم و به نتیجه رسیدیم.

الگوریتم ماشین حساب انتگرال آنلاین ما از تمام ویژگی های ذکر شده در بالا پشتیبانی می کند و می تواند به راحتی پیدا کند راه حل دقیقبرای انتگرال شما

اجازه دهید تابع y = f(x) در بازه [ الف, ب ], الف < ب. بیایید عملیات زیر را انجام دهیم:

1) بیایید تقسیم کنیم [ الف, ب] نقطه ها الف = x 0 < x 1 < ... < x من- 1 < x من < ... < x n = ب در nبخش های جزئی [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x من- 1 , x من ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) در هر یک از بخش های جزئی [ x من- 1 , x من ], من = 1, 2, ... n، یک نقطه دلخواه انتخاب کنید و مقدار تابع را در این نقطه محاسبه کنید: f(z i ) ;

3) آثار را پیدا کنید f(z i ) · Δ x من ، طول بخش جزئی کجاست [ x من- 1 , x من ], من = 1, 2, ... n;

4) بیایید جبران کنیم جمع انتگرالتوابع y = f(x) در بخش [ الف, ب ]:

با نقطه هندسیاز منظر بصری، این مجموع σ مجموع مساحت مستطیل هایی است که پایه های آنها پاره های جزئی هستند [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x من- 1 , x من ], ..., [x n- 1 , x n ] و ارتفاعات برابر است f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) بر این اساس (شکل 1). اجازه دهید با نشان دادن λ طول طولانی ترین بخش جزئی:

5) حد مجموع انتگرال را پیدا کنید λ → 0.

تعریف.اگر وجود دارد حد نهاییمجموع انتگرال (1) و به روش پارتیشن بندی قطعه بستگی ندارد [ الف, ب] به بخش های جزئی و نه از انتخاب نقاط z iدر آنها، سپس این حد نامیده می شود انتگرال معیناز تابع y = f(x) در بخش [ الف, ب] و نشان داده می شود

بنابراین،

در این مورد تابع f(x) نامیده می شود قابل ادغامدر [ الف, ب]. اعداد الفو ببه ترتیب حد پایین و بالای ادغام نامیده می شوند. f(x) – تابع یکپارچه، f(x ) dx- بیان یکپارچه، x- متغیر ادغام؛ بخش [ الف, ب] فاصله ادغام نامیده می شود.

قضیه 1.اگر تابع y = f(x) در بازه [ الف, ب]، سپس در این بازه قابل ادغام است.

انتگرال معین با همان حدود ادغام برابر با صفر است:

اگر الف > ب، پس طبق تعریف، فرض می کنیم

2. معنای هندسی انتگرال معین

اجازه دهید در بخش [ الف, ب] یک تابع غیر منفی پیوسته مشخص شده است y = f(x ) . ذوزنقه منحنیشکلی است که در بالا با نمودار یک تابع محدود شده است y = f(x، از پایین - در امتداد محور Ox، به سمت چپ و راست - خطوط مستقیم x = aو x = b(شکل 2).

انتگرال معین یک تابع غیر منفی y = f(x) از دیدگاه هندسی برابر مساحتذوزنقه منحنی که در بالا با نمودار تابع محدود شده است y = f(x) ، پاره خط چپ و راست x = aو x = b، از پایین - بخشی از محور Ox.

3. خصوصیات اساسی انتگرال معین

1. مقدار انتگرال معین به تعیین متغیر ادغام بستگی ندارد:

2. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال معین خارج کرد:

3. انتگرال معین مجموع جبری دو تابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های معین این توابع:

4. اگر عملکرد y = f(x) قابل ادغام در [ الف, ب] و الف < ب < ج، آن

5. (قضیه مقدار میانگین). اگر تابع y = f(x) در بازه [ الف, ب]، سپس در این بخش نقطه ای وجود دارد که

4. فرمول نیوتن-لایب نیتس

قضیه 2.اگر تابع y = f(x) در بازه [ الف, ب] و اف(x) هر یک از ضد مشتقات آن در این بخش است، پس فرمول زیر معتبر است:

که نامیده می شود فرمول نیوتن-لایب نیتستفاوت اف(ب) - اف(الف) معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:

که در آن نماد یک علامت دوگانه نامیده می شود.

بنابراین فرمول (2) را می توان به صورت زیر نوشت:

مثال 1.انتگرال را محاسبه کنید

راه حل. برای انتگرال f(x ) = x 2 یک ضد مشتق دلخواه شکل دارد

از آنجایی که هر پاد مشتق را می توان در فرمول نیوتن-لایبنیتس استفاده کرد، برای محاسبه انتگرال، پاد مشتق را می گیریم که ساده ترین شکل را دارد:

5. تغییر متغیر در یک انتگرال معین

قضیه 3.اجازه دهید تابع y = f(x) در بازه [ الف, ب]. اگر:

1) عملکرد x = φ ( تی) و مشتق آن φ "( تی) پیوسته هستند در ;

2) مجموعه ای از مقادیر تابع x = φ ( تی) برای قطعه [ الف, ب ];

3) φ ( الف) = الف, φ ( ب) = ب، پس فرمول معتبر است

که نامیده می شود فرمول تغییر یک متغیر در یک انتگرال معین .

بر خلاف انتگرال نامعین، در این مورد نیازی نیستبرای بازگشت به متغیر ادغام اولیه - کافی است محدودیت های جدید ادغام α و β را پیدا کنید (برای این باید متغیر را حل کنید تیمعادلات φ ( تی) = الفو φ ( تی) = ب).

به جای تعویض x = φ ( تی) می توانید از جایگزینی استفاده کنید تی = g(x) . در این مورد، یافتن محدودیت های جدید ادغام بر روی یک متغیر تیساده می کند: α = g(الف) , β = g(ب) .

مثال 2. انتگرال را محاسبه کنید

راه حل. بیایید با استفاده از فرمول یک متغیر جدید معرفی کنیم. با مجذور دو طرف تساوی، 1 + به دست می آید x = تی 2 ، کجا x = تی 2 - 1, dx = (تی 2 - 1)"dt= 2tdt. ما محدودیت های جدیدی برای ادغام پیدا می کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید محدودیت های قدیمی را در فرمول جایگزین کنیم x = 3 و x = 8. می گیریم: , از کجا تی= 2 و α = 2; ، کجا تی= 3 و β = 3. بنابراین،

مثال 3.محاسبه کنید

راه حل. اجازه دهید تو= ورود x، سپس، v = x. طبق فرمول (4)