مدار هورنر - مثال ها و الگوریتم هایی برای حل یک چند جمله ای. ارائه با موضوع "مدار هورنر" بسط یک چند جمله ای در توان ها مدار هورنر آنلاین

قضیه بزوتبا وجود سادگی و بدیهی بودن ظاهری، یکی از قضایای اساسی نظریه چند جمله ای است. در این قضیه، ویژگی های جبری چند جمله ای ها (آنها به شما اجازه می دهند با چند جمله ای ها به صورت اعداد صحیح کار کنید) با ویژگی های عملکردی آنها (که به شما امکان می دهد چند جمله ای ها را به عنوان توابع در نظر بگیرید) مرتبط است.

قضیه بزوتبیان می کند که باقیمانده هنگام تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای است.

ضرایب چند جمله ای در یک حلقه جابجایی با وحدت قرار دارند (مثلاً در زمینه اعداد حقیقی یا مختلط).

قضیه بزوت - اثبات.

چند جمله ای را با باقی مانده تقسیم کنید P(x)به یک چند جمله ای (x-a):

بر اساس این واقعیت که درجه R(x)< deg (x-a) = 1 - چند جمله ای درجه ای که بالاتر از صفر نباشد. ما جایگزین می کنیم، از زمانی که می گیریم .

اما این قضیه مهم نیست، بلکه نتیجه قضیه بزوت است:

1. عدد ریشه یک چند جمله ای است P(x)آن وقت و تنها زمانی که P(x)قابل تقسیم بر یک دوجمله ای بدون باقیمانده x-a.

بر این اساس، مجموعه ریشه های چند جمله ای P(x)با مجموعه ریشه های معادله مربوطه یکسان است x-a.

2. جمله آزاد یک چند جمله ای بر هر ریشه صحیح یک چند جمله ای با ضرایب صحیح تقسیم می شود (زمانی که ضریب پیشرو برابر با یک باشد، همه ریشه های گویا عدد صحیح هستند).

3. فرض کنید که ریشه صحیح چند جمله ای کاهش یافته است P(x)با ضرایب صحیح این بدان معنی است که برای هر عدد صحیح عدد بر .

قضیه بزوت با یافتن یک ریشه از یک چند جمله ای، این امکان را فراهم می کند که ریشه های چند جمله ای را که درجه آن از قبل 1 کمتر است جستجو کنیم: اگر، پس این چند جمله ای P(x)به این صورت خواهد بود:

مثال های قضیه بزوت:

هنگام تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای باقیمانده را پیدا کنید.

مثال های قضیه بزوت از راه حل ها:

بر اساس قضیه بزوت، باقیمانده مورد نیاز با مقدار چند جمله ای در نقطه مطابقت دارد. سپس ما را پیدا خواهیم کرد، برای این ما مقدار را به جای عبارت چند جمله ای جایگزین می کنیم. دریافت می کنیم:

پاسخ دهید: باقیمانده = 5.

طرح هورنر

طرح هورنرالگوریتمی برای تقسیم (تقسیم بر اساس طرح هورنر) چندجمله‌ای است که برای حالت خاص نوشته شده است اگر ضریب برابر با یک دوجمله‌ای باشد.

بیایید این الگوریتم را بسازیم:

بیایید فرض کنیم که سود سهام است

ضریب (درجه آن احتمالاً یک کمتر خواهد بود) r- باقی مانده (از آنجایی که تقسیم توسط یک چند جمله ای انجام می شود 1درجه، سپس درجه باقیمانده یک کمتر خواهد بود، یعنی. صفر، پس باقیمانده ثابت است).

با تعریف تقسیم با باقی مانده P(x) = Q(x) (x-a) + r. پس از جایگزینی عبارات چند جمله ای به دست می آید:

پرانتزها را باز می کنیم و ضرایب را در همان توان ها برابر می کنیم و پس از آن ضرایب ضرایب را از طریق ضرایب سود تقسیمی و مقسوم علیه بیان می کنیم:

خلاصه کردن محاسبات در جدول زیر راحت است:

سلول هایی را که محتویات آنها در محاسبات در مرحله بعد نقش دارند را برجسته می کند.

نمونه های طرح هورنر:

فرض کنید باید یک چند جمله ای را بر یک دو جمله ای تقسیم کنیم x-2.

یک جدول با دو ردیف ایجاد می کنیم. در 1 خط ضرایب چند جمله ای خود را می نویسیم. در خط دوم ضرایب ضریب ناقص را طبق طرح زیر به دست می آوریم: ابتدا ضریب پیشرو این چند جمله ای را بازنویسی می کنیم، سپس برای به دست آوردن ضریب بعدی، آخرین ضریب پیدا شده را در ضرب می کنیم. a=2و با ضریب متناظر چند جمله ای جمع کنید F(x). آخرین ضریب باقیمانده و همه ضرایب قبلی ضرایب ضریب ناقص خواهند بود.

1. تقسیم کنید 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 در x − 1با استفاده از طرح هورنر

راه حل:

بیایید یک جدول دو خطی درست کنیم: در خط اول ضرایب چند جمله ای 5 را می نویسیم. x 4 +5x 3 +x 2 −11، به ترتیب نزولی درجه های متغیر مرتب شده اند x. توجه داشته باشید که این چند جمله ای شامل نمی شود xدر درجه اول، یعنی ضریب قبل xبه توان اول برابر با 0 است. از آنجایی که بر آن تقسیم می کنیم x−1، سپس در خط دوم یک می نویسیم:

بیایید شروع به پر کردن سلول های خالی در خط دوم کنیم. در سلول دوم ردیف دوم عدد را می نویسیم 5 ، به سادگی آن را از سلول مربوطه در خط اول حرکت دهید:

بیایید سلول بعدی را طبق این اصل پر کنیم: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

سلول چهارم ردیف دوم را به همین ترتیب پر می کنیم: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

برای سلول پنجم دریافت می کنیم: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

و در نهایت برای آخرین سلول ششم داریم: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

مشکل حل شد، تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است:

همانطور که می بینید، اعدادی که در خط دوم قرار دارند (بین یک و صفر) ضرایب چند جمله ای هستند که پس از تقسیم 5 به دست می آیند. x 4 +5x 3 +x 2-11 در هر x-1. طبیعتاً چون درجه چند جمله ای اصلی 5 است x 4 +5x 3 +x 2-11 برابر با چهار بود، سپس درجه چند جمله ای حاصل 5 است x 3 +10x 2 +11x+11 یک کمتر است، یعنی. برابر با سه آخرین عدد در خط دوم (صفر) به معنای باقیمانده تقسیم چند جمله ای 5 است x 4 +5x 3 +x 2-11 در هر x−1.
در مورد ما، باقیمانده صفر است، یعنی. چند جمله ای ها به طور مساوی قابل تقسیم هستند. این نتیجه را می توان به صورت زیر نیز مشخص کرد: مقدار چند جمله ای 5 است x 4 +5x 3 +x 2-11 در x=1 برابر با صفر است.
نتیجه را می توان به این شکل نیز فرموله کرد: زیرا مقدار چند جمله ای 5 است x 4 +5x 3 +x 2-11 در x=1 برابر با صفر است، سپس واحد ریشه چند جمله ای 5 است x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. ضریب ناقص، باقیمانده تقسیم چند جمله ای را پیدا کنید

الف(X) = X 3 – 2X 2 + 2X- 1 در هر دو جمله ای X – 1.

راه حل:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

پاسخ: س(x) = X 2 – X + 1 , آر(x) = 0.

3. مقدار یک چند جمله ای را محاسبه کنید الف(X) در X = – 1 اگر الف(X) = X 3 – 2 X – 1.

راه حل:

			– 2	– 1
α = - 1		– 1	– 1

پاسخ: الف(– 1) = 0.

4. مقدار یک چند جمله ای را محاسبه کنیدالف(X) در X= 3، نصاب ناقص وباقی مانده، کجا

الف(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

راه حل:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

پاسخ: آر(x) = الف(3) = 535, س(x) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. ریشه های معادله را بیابیدX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

راه حل:

مقسوم علیه جمله آزاد ±1 را پیدا کنید. ± 2; ± 3; ± 6

در اینجا، a = 1 (x – 1 = x – a)، و ضرایب چند جمله ای سود تقسیمی به ترتیب برابر است.
1، 4، 1، - 6. جدولی برای اعمال طرح هورنر می سازیم:

وزارت آموزش و پرورش و سیاست جوانان جمهوری چوواش

BOU DP(PK)S "موسسه آموزش چوواش" وزارت آموزش و پرورش چوواشیا

کار درسی

درس انتخابی « تکنیک ها و روش های حل معادلات درجات بالاتر

توسط معلم ریاضی تکمیل شد

MBOU "دبیرستان شماره 49 با عمیق

مطالعه موضوعات فردی"

چبوکساری

رومیانتسوا یولیا ایزوسیموونا

چبوکساری

موضوع درس: ریشه های یک چند جمله ای طرح هورنر

هدف درس:

آموزش چگونگی یافتن مقدار چند جمله ای و ریشه های آن با استفاده از قضیه بزوت و طرح هورنر.

ایجاد مهارت در یافتن ریشه های چند جمله ای ها.

آموزش خلاصه کردن و منظم کردن مطالب؛

توسعه مهارت های محاسباتی، تمرکز، عملکردهای خودکنترلی؛

خودخواهی و سخت کوشی را پرورش دهید.

طرح درس:

I. لحظه سازمانی

VI. کار مستقل

هشتم. تکلیف خانه

پیشرفت درس

I. لحظه سازمانی

موضوع درس را اطلاع رسانی کنید، اهداف درس را تدوین کنید.

II. به روز رسانی دانش دانش آموزان

1. بررسی تکالیف.

الف) با استفاده از الگوریتم اقلیدسی GCD ((x 6 - 1); (x 8 - 1)) را پیدا کنید. (دانش آموز روی تخته آشپزی می کند).

راه حل:

GCD ((x 6 - 1)؛ (x 8 - 1)) = x 2 - 1.

پاسخ دهید: x 2 – 1 .

ب) دریابید که آیا چند جمله ای قابل بخش است یا خیر f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 on (x – 1)، (x + 1)، (x – 2) (از جلو بررسی شد).

راه حل. با قضیه بزوت، اگر f(1) = 0، آن f(x)تقسیم بر (x – 1). بیایید آن را بررسی کنیم.

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0، f(x) بر (x – 1) بخش پذیر نیست.
f(-1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0، f(x) بر (x – 2) تقسیم می شود.

پاسخ دهید: قابل تقسیم بر (x – 2).

ج) چند جمله‌ای P(x) وقتی بر (x – 1) تقسیم می‌شود، 3 باقی می‌ماند و وقتی بر (x – 2) تقسیم می‌شود. باقیمانده 5 را می دهد. با تقسیم چند جمله ای P(x) بر (x 2 – 3 x + 2) باقیمانده را بیابید.

(راه حل روی صفحه نمایش داده می شود یا از قبل روی تخته نوشته می شود).

راه حل.

P(x) = (x - 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2 (x) + 5 (2)
از (1) و (2) چنین است که P(1) = 3, P(2) = 5.
فرض کنید P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b یا
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)

با جایگزینی متوالی x = 1 و x = 2 به (3)، سیستمی از معادلات را به دست می آوریم که از آن a = 2، b = 1.

پاسخ دهید: 2 x + 1.

د) در چه م و nچند جمله ای x 3 + m x + n برای هر کدام xبدون باقیمانده بر x 2 + 3 x + 10 بخش پذیر است.

راه حل. هنگام تقسیم بر "گوشه" x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)) بدست می‌آید.

چون تقسیم بدون باقی مانده انجام می شود، سپس (m - 1) x + (n + 30) = 0، و این (برای هر x) فقط در صورتی امکان پذیر است که m = 1، n = -30 باشد.

پاسخ دهید: m = 1، n = -30.

2. بررسی نظری

الف) نحوه خواندن قضیه

ب) مثالی بزنید که در آن از قضیه بزوت استفاده شده است؟

ج) از قاعده ضرب دو چند جمله ای چگونه ضریب پیشرو حاصلضرب را به دست آوریم؟

د) آیا چند جمله ای درجه صفر دارد؟

III. آماده شدن برای مطالعه مطالب جدید

در یک چند جمله ای، مانند هر عبارت تحت اللفظی، می توانید اعداد را به جای یک متغیر جایگزین کنید و در نتیجه به یک عبارت عددی، یعنی در نهایت به عدد تبدیل می شود. اجازه دهید دو نکته مهم را برای حل مشکلات بیان کنیم:

معنیf (0)برابر است با جمله آزاد چند جمله ای.

معنیf (1)برابر است با مجموع ضرایب چند جمله ای.

یافتن مقادیر یک چند جمله ای هیچ مشکل اساسی ایجاد نمی کند، اما محاسبات می تواند بسیار دشوار باشد. برای ساده کردن محاسبات، تکنیکی به نام طرح هورنر وجود دارد که به نام ریاضیدان انگلیسی قرن شانزدهم نامگذاری شده است. این طرح شامل پر کردن چند جدول دو ردیفه است.

به عنوان مثال، برای محاسبه مقدار یک چند جمله ای f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 برای x = 7 (یعنی با استفاده از قضیه بزوت متوجه شوید که آیا با (x – 7) بخش پذیر است یا خیر)، باید عدد را جایگزین کنید. x 7 . اگر f(7) = 0، پس f(x) بدون باقی مانده تقسیم می شود. اگر f(7 ) برابر نیست 0، سپس f(x) با یک باقیمانده بر (x – 7) تقسیم می شود. برای سهولت یافتن مقدار f(7)، از طرح هورنر استفاده می کنیم. بیایید با استفاده از الگوریتم زیر یک جدول دو ردیفی را پر کنیم:

1. ابتدا خط ضریب نوشته می شود.
2. ضریب پیشرو در خط دوم کپی می شود و قبل از آن مقدار متغیر (در مورد ما عدد 7) قرار می گیرد که در آن مقدار چند جمله ای را محاسبه می کنیم.

نتیجه جدولی است که خانه های خالی آن باید پر شوند.

جدول 1

3. این کار طبق یک قانون واحد انجام می شود: برای سلول خالی سمت راست، عدد 2 در 7 ضرب می شود و به عدد بالای سلول خالی اضافه می شود. پاسخ در اولین خانه خالی نوشته شده است. این کار برای پر کردن سلول های خالی باقی مانده انجام می شود. بنابراین در خانه خالی اول عدد 2 7 – 9 = 5 قرار می گیرد، در خانه خالی دوم عدد 5 7 – 32 = 3، در خانه سوم عدد 3 7 + 0 = 21 قرار می گیرد و در آخرین 21 7 – 57 = 90. این جدول کاملاً به این صورت است:

جدول 2

آخرین عدد سطر دوم پاسخ است.

نظر:برنامه ای برای محاسبه مقادیر یک چند جمله ای در رایانه مطابق با طرح هورنر کامپایل شده است.

IV. تقویت مطالب آموخته شده

بیایید راه حل تکلیف شماره 1 (ب) را طبق طرح هورنر در نظر بگیریم. بنابراین، با استفاده از طرح هورنر، دریابید که آیا چند جمله ای (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 بر (x – 1)، (x + 1)، (x) بخش پذیر است یا خیر. – 2) . اگر باید چندین مقدار را بررسی کنید، سپس برای ذخیره محاسبات، یک طرح ترکیبی بسازید.

جدول 3

در آخرین ستون در سطرهای سوم، چهارم و پنجم، باقی مانده از تقسیم قرار دارد. سپس f(x) بدون باقیمانده بر (x – 2) تقسیم می شود، زیرا r = 0.

V. یافتن ریشه های چند جمله ای

قضیه بزوت با یافتن یک ریشه از یک چند جمله ای، جستجوی بیشتر برای ریشه های چند جمله ای که درجه آن یک جمله کمتر است، ممکن می سازد. گاهی اوقات با استفاده از این تکنیک - که به آن "کاهش درجه" می گویند - می توانید تمام ریشه های یک چند جمله ای را پیدا کنید.

به طور خاص، با انتخاب یک ریشه از یک معادله مکعب، در نتیجه کاهش درجه، می توان آن را با حل معادله درجه دوم به طور کامل حل کرد.

هنگام حل چنین مشکلاتی، همان طرح هورنر سود زیادی دارد. با این حال، در واقع، طرح هورنر بسیار بیشتر می دهد: اعداد در خط دوم (بدون احتساب آخرین) ضرایب شاخه جزئی در (x - a) هستند.

در جدول 3:

مثال 1.ریشه های چند جمله ای f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3) را بیابید.

راه حل. مقسوم علیه های جمله آزاد: – 1، 1، – 3، 3 می توانند ریشه های یک چند جمله ای باشند. در x = 1، بدیهی است که مجموع ضرایب صفر است. این بدان معنی است که x 1 = 1 یک ریشه است. با استفاده از طرح هورنر، بیایید ریشه عدد - 1 و سایر مقسوم‌گیرنده‌های عبارت آزاد را بررسی کنیم.

جدول 4

x = –1 - ریشه
بار دوم x = –1 یک ریشه نیست
بیایید x = 3 را بررسی کنیم
x = 3 - ریشه.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1)، x 2 + x – 1 = 0،

نظر دهید. هنگام یافتن ریشه های یک چند جمله ای، در مواردی که تخمین های تقریبی آشکار منجر به نتیجه مطلوب می شود، نباید محاسبات دقیق غیر ضروری را انجام دهید.
به عنوان مثال، طرح هورنر برای آزمایش مقادیر 31 و - 31 به عنوان "ریشه های نامزد" چند جمله ای x 5 - 41 x 4 + 32 x 2 - 4 x + 31 ممکن است به این صورت باشد:

جدول 5

31 و – 31 ریشه های چند جمله ای x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 نیستند.

مثال 2.ریشه های چند جمله ای f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55 را بیابید.

راه حل. مقسوم علیه های 55: – 1، 1، – 5، 5، – 11، 11، – ​​55، 55. توجه داشته باشید که – 1 و 1 ریشه های چند جمله ای نیستند. مقسوم علیه های باقی مانده باید بررسی شوند.

نظر دهید. تسلط دانش آموزان بر طرح هورنر "طولانی" بسیار مهم است. در این مثال، طرح "طولانی" راحت است.

جدول 6

x 2 + 57 x + 3 129 = 0، بدون ریشه.

پاسخ: بدون ریشه

VI. کار مستقل

در هیئت مدیره، سه نفر برای بررسی بعدی تصمیم می گیرند.

ریشه های چند جمله ای را با استفاده از طرح هورنر پیدا کنید:

الف) f (x) = x 3 + 2 x 2 - 5 x - 6;

پاسخ: – 1; 2; – 3.

ب) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;

پاسخ: 1; 2; 3.

ج) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 - 8 x - 4.

پاسخ:

(آزمون به صورت جفت انجام می شود، نمرات داده می شود).

VII. کار پژوهشی دانشجویی

– بچه ها، متوجه نشدید که بیشتر کدام چند جمله ای ها را در کلاس مطالعه می کردیم؟

(پاسخ دانش آموزان).

– بله، اینها چند جمله ای با ضرایب صحیح و با عبارت اصلی k = 1 هستند.

– پاسخ ها به چه تعداد بوده است؟

(پاسخ دانش آموزان).

– درست است، ریشه های یک چند جمله ای با ضرایب صحیح و با عبارت اول k = 1 یا صحیح هستند یا غیر منطقی یا صحیح و غیر منطقی هستند یا ریشه ندارند. نتیجه گیری را در دفترچه یادداشت خود ثبت کنید.

هشتم. تکلیف خانه

1. شماره 129 (1، 3، 5، 6) - N. Ya.
2. تئوری این درس را بیاموزید.

IX جمع بندی درس و نمره دادن

ادبیات

M.L. گالیتسکی. مطالعه عمیق جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی. // روشنگری، 1376

G.V. دوروفیف چند جمله ای با یک متغیر // سن پترزبورگ. ادبیات ویژه، 1376

N.Ya. ویلنکین. جبر و تحلیل ریاضی. پایه دهم // آموزش و پرورشه

یادداشت توضیحی.

این دوره برای دانش آموزان پایه دهم فیزیک و ریاضی با سطح آمادگی ریاضی مناسب طراحی شده است و برای کمک به آمادگی برای مسابقات و المپیادهای مختلف ریاضی و کمک به ادامه آموزش جدی ریاضی طراحی شده است. این درس ریاضیات پایه را گسترش می دهد، موضوعی خاص است و به دانش آموزان این فرصت را می دهد تا با سؤالات جالب و غیر استاندارد در ریاضیات و روش های حل معادلات مرتبه بالاتر آشنا شوند. این دوره شامل امکان یادگیری متمایز است.

معلم با هدایت دانش آموزان به جستجوی راه حل های زیبا و ظریف برای معادلات درجات بالاتر، از این طریق به آموزش زیبایی شناختی دانش آموزان و بهبود فرهنگ ریاضی آنها کمک می کند. این دوره ادامه کتاب درسی است که به دانش آموزان آموزش می دهد که چگونه مستقل کار کنند و چگونه معادلات درجات بالاتر را حل کنند. هنگام آموزش هدفمند حل معادلات درجات بالاتر به دانش‌آموزان، باید مشاهده، استفاده از قیاس، استقراء، مقایسه و نتیجه‌گیری مناسب را به آنها آموزش داد. لازم است از طریق معادلات درجات بالاتر، نه تنها مهارت های استدلال منطقی، بلکه مهارت های تفکر اکتشافی قوی نیز در دانش آموزان ایجاد شود.

اهداف و مقاصد دوره.

توسعه علاقه به ریاضیات، تفکر اکتشافی.

ترویج ادامه آموزش جدی ریاضی.

آموزش نحوه انتخاب روش منطقی برای حل مسائل و توجیه انتخاب انجام شده.

کمک به شکل گیری یک سبک تفکر علمی.

برای آزمون یکپارچه دولتی آماده شوید.

این درس انتخابی شامل 34 درس موضوعی می باشد.

دانش آموزان از هدف و هدف درس انتخابی مطلع می شوند. کلاس ها شامل بخش های نظری و عملی - سخنرانی، کارگاه های مشاوره، کار مستقل و پژوهشی می باشد.

مطالعه اصول اولیه نظریه چند جمله ای ها به ما امکان می دهد که قضیه ویتا را برای معادلات با هر درجه تعمیم دهیم. توانایی انجام عملیات تقسیم چندجمله‌ای، حل مسائل از تحلیل ریاضی را در آینده آسان‌تر می‌کند.

مطالعه طرح هورنر و قضیه ریشه های گویا چند جمله ای ها روشی کلی برای فاکتورگیری هر عبارت جبری ارائه می دهد. به نوبه خود، توانایی حل معادلات درجات بالاتر دامنه معادلات و نابرابری های نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و غیرمنطقی را به میزان قابل توجهی گسترش می دهد.

ادبیات

1. Galitsky M.L.، Goldman A.M.، Zvavich L.I. مجموعه مسائل جبر برای پایه های 8-9.

2 واویلوف V.V.، Melnikov I.I.، Olehnik S.N.، Pasichenko P.I. مسائل ریاضی جبر.

3 Olehnik S.N.، Pasichenko P.I. روش های غیر استاندارد برای حل معادلات و نابرابری ها.

4 ..Vavilov V.V.، Melnikov I.I.، Olehnik S.N.، Pasichenko P.I. معادلات و نابرابری ها

5. شاریگین I.F. درس اختیاری ریاضی.

اهداف و مقاصد دوره 1

ادبیات 4

پیوست 6

چند جمله ای شکل
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
می تواند فاکتورسازی شود طبق طرح هورنر،اگر حداقل 1 ریشه آن شناخته شده باشد.

بیایید با استفاده از یک مثال به تقسیم بندی بر اساس طرح هورنر نگاه کنیم:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

ابتدا باید یک ریشه را با استفاده از روش انتخاب پیدا کنید. معمولاً مقسوم کننده عبارت آزاد است. در این حالت مقسوم علیه های اعداد -10 هستند 1±، 2±، 5±، 10±.بیایید یک به یک آنها را جایگزین کنیم:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ عدد 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ عدد -1 ریشه چند جمله ای است

ما 1 تا از ریشه های چند جمله ای را پیدا کرده ایم. ریشه چند جمله ای است -1, یعنی چند جمله ای اصلی باید بر آن بخش پذیر باشد x+1. برای انجام تقسیم چندجمله ای ها از طرح هورنر استفاده می کنیم:

	2	9	-10	-27	-10
-1

ضرایب چند جمله ای اصلی در خط بالایی نمایش داده می شود. ریشه ای که پیدا کردیم در خانه اول ردیف دوم قرار می گیرد -1. خط دوم شامل ضرایب چند جمله ای است که از تقسیم حاصل می شود. آنها به این صورت شمارش می شوند:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	در سلول دوم ردیف دوم عدد را می نویسیم 2, به سادگی با انتقال آن از سلول مربوطه ردیف اول.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

آخرین عدد باقیمانده تقسیم است. اگر برابر 0 باشد، همه چیز را به درستی محاسبه کرده ایم.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

اما این پایان کار نیست. می توانید به همین ترتیب سعی کنید چند جمله ای را گسترش دهید 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

باز هم ما به دنبال ریشه ای در میان مقسوم کننده های عبارت آزاد هستیم. همانطور که قبلاً متوجه شدیم، مقسوم علیه اعداد -10 هستند 1±، 2±، 5±، 10±.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ عدد 1 ریشه یک چند جمله ای نیست

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ عدد -1 ریشه یک چند جمله ای نیست

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ عدد 2 ریشه چند جمله ای است

بیایید ریشه یافت شده را در طرح هورنر خود بنویسیم و شروع به پر کردن سلول های خالی کنیم:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	در سلول دوم ردیف سوم عدد را می نویسیم 2, به سادگی با انتقال آن از سلول مربوطه ردیف دوم.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

بنابراین، ما چند جمله ای اصلی را فاکتور گرفتیم:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (x - 2) (2x 2 + 11x + 5)

چند جمله ای 2x 2 + 11x + 5را نیز می توان فاکتورسازی کرد. برای این کار می توانید معادله درجه دوم را از طریق ممیز حل کنید یا می توانید ریشه را در بین مقسوم علیه های اعداد جستجو کنید. 5. به هر شکلی به این نتیجه خواهیم رسید که ریشه این چند جمله ای عدد است -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	در خانه دوم ردیف چهارم عدد را می نویسیم 2, به سادگی با انتقال آن از سلول مربوطه ردیف سوم.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

بنابراین، ما چند جمله ای اصلی را به عوامل خطی تجزیه کردیم.

به طور معمول یک چند جمله ای به صورت زیر نمایش داده می شود:

$f(x)=\sum\limits_(k=0)^(n) a_k x^k$

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k

کجا یک کاینها اعداد واقعی هستند که ضرایب چند جمله ای و را نشان می دهند
x kاینها متغیرهای چند جمله ای هستند.

چند جمله ای فوق را چند جمله ای درجه n می گویند deg(f(x)) = n، کجا nبالاترین درجه متغیر را نشان می دهد.

طرح هورنر برای تقسیم یک چند جمله ای الگوریتمی برای ساده کردن محاسبه مقدار یک چند جمله ای است. f(x)در یک مقدار مشخص x = x 0روش تقسیم یک چند جمله ای به تک جمله ها (چندجمله ای های درجه 1). هر مونومی حداکثر شامل یک فرآیند ضرب و یک فرآیند جمع است. نتیجه به دست آمده از یک مونومی به نتیجه حاصل از تک جملات بعدی اضافه می شود و به صورت تجمعی ادامه می یابد. به این فرآیند شکافت، شکافت مصنوعی نیز می گویند.

برای توضیح موارد فوق، اجازه دهید چند جمله ای را به صورت بسط یافته بازنویسی کنیم.

f(x 0) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + ... + a n x 0 n

این را نیز می توان به صورت زیر نوشت:

f(x 0) = a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + ... + (a n-1 + a n x 0)....)

الگوریتم ارائه شده توسط این طرح مبتنی بر یافتن مقادیر تک‌جملاتی است که در بالا شکل گرفته‌اند، از آن‌هایی که در براکت‌های بیشتری محصور شده‌اند شروع می‌شود و برای یافتن مقادیر تک‌جملات در براکت‌های بیرونی به سمت بیرون حرکت می‌کند.

الگوریتم با دنبال کردن مراحل زیر وارد عمل می شود:

1. داده شده است k = n
2. اجازه دهید b k = a k
3. اجازه دهید b k - 1 = a k - 1 + b k x 0
4. اجازه دهید k = k - 1
5. اگر k ≥ 0، سپس به مرحله 3 برگردید
در غیر این صورت پایان

با در نظر گرفتن این چند جمله ای درجه 5، می توان این الگوریتم را به صورت گرافیکی نیز مشاهده کرد:

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5

که مقدار آن به عنوان یافت می شود x = x 0، با تنظیم مجدد آن به صورت زیر:

f(x 0) = a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + x 0 (a 4 + a 5 x 0))))

روش دیگری برای ارائه نتایج با استفاده از این الگوریتم در قالب جدول زیر است:

بنابراین f(2) = 83.

چرا باید این کار را انجام دهیم؟

معمولاً هنگام یافتن مقادیر یک چند جمله ای برای مقدار مشخصی از یک متغیر، عادت داریم که این مقدار را در چند جمله ای جایگزین کرده و محاسبات را انجام دهیم. ما همچنین می‌توانیم یک برنامه کامپیوتری برای محاسبات ریاضی ایجاد کنیم، که زمانی که با چندجمله‌ای پیچیده با درجات بالا سروکار داریم، ضروری است.

روشی که در آن یک کامپیوتر یک مشکل را مدیریت می کند تا حد زیادی به نحوه توصیف شما به عنوان یک برنامه نویس برای کامپیوتر بستگی دارد. شما می توانید برنامه خود را برای یافتن مقدار چند جمله ای با جایگزینی مستقیم مقدار یک متغیر توسعه دهید یا از تقسیم مصنوعی ارائه شده در طرح هورنر استفاده کنید. تنها تفاوت بین این دو رویکرد سرعتی است که کامپیوتر با آن یک راه حل برای یک مورد خاص پیدا می کند.

مزیت مدار هورنر این است که تعداد عملیات ضرب را کاهش می دهد. با توجه به اینکه زمان پردازش هر فرآیند ضرب 5 تا 20 برابر بیشتر از زمان پردازش فرآیند جمع است، می توانید استدلال کنید که ساخت برنامه ای برای یافتن مقدار یک چند جمله ای با استفاده از طرح هورنر به طور قابل توجهی زمان محاسباتی را کاهش می دهد. کامپیوتر