قدرت اعداد: تعاریف، تعیین، مثال ها. توان یک عدد: تعاریف، علامت گذاری، مثال ها قدرت با توان طبیعی، مربع یک عدد، مکعب یک عدد

"درجه مقایسه ای" - یک فرت در همان سوراخ زندگی می کرد. N.f. هوشمند + MORE - هوشمندتر N.f. هوشمند + کمتر - کمتر هوشمند. نقش در جمله سگ‌های کمتر زیرک ما برای تشویق موش‌ها در مسابقات می‌روند. شهرداری موسسه آموزشی"الگای اصلی دبیرستان" همستر زیرک تر از توله سگ است. به نحوی کفش ما توسط توله سگ همسایه کمتر زیرکتر کشیده شد.

"درجه با یک شاخص طبیعی" - مدرک با یک شاخص طبیعی و عدد صحیح. (-1)2k=1، (-1)2k-1=-1. ویژگی های یک درجه با توان طبیعی. تعیین درجه با شاخص طبیعی. 1 به هر توانی برابر است با 1 1n=1. مدرک چیست؟ چگونه به طور خلاصه بنویسیم. ضرب توان با بر همین اساس. N شرایط 10n=100000…0.

"درجه با توان عدد صحیح" - محاسبه کنید. بیان را به عنوان یک قدرت بیان کنید. اگر یک عامل مشخص باشد عبارت x-12 را به صورت حاصل ضرب دو توان با پایه x بیان کنید. به ترتیب نزولی مرتب کنید. ساده کردن. برای چه مقادیری از x برابری درست است.

"معادلات درجه سوم" - (در مورد سوم - حداقل، در چهارم - حداکثر). در حالت اول و دوم می گوییم که تابع در نقطه x = یکنواخت است. فرمول ما نتیجه می دهد: "هنر بزرگ". بنابراین، تارتالیا به خود اجازه داد که متقاعد شود. لما در حالت سوم و چهارم می گوییم که تابع در نقطه x = منتهی دارد. باز کردن پرانتز.

"خواص یک مدرک" - تعمیم دانش و مهارت در به کارگیری ویژگی های یک مدرک با یک شاخص طبیعی. ویژگی های یک درجه با توان طبیعی. طوفان فکری. مکعب چه عددی 64 است؟ مکث محاسباتی ویژگی های یک درجه با توان طبیعی. توسعه پشتکار، فعالیت ذهنی و فعالیت خلاق.

"ریشه درجه نهم" - تعریف 2: الف). بیایید هر دو طرف معادله را مکعب کنیم: - بیان رادیکال. معادله x را در نظر بگیرید؟ = 1. بیایید هر دو طرف معادله را به توان چهارم برسانیم: بیایید توابع y = x را رسم کنیم؟ و y = 1. مفهوم ریشه n ام عدد واقعی. اگر n فرد باشد، یک ریشه: بیایید نمودارهایی از توابع y = x بسازیم؟ و y = 1.

لطفاً توجه داشته باشید که در این بخش مفهوم مورد بحث قرار می گیرد درجه فقط با توان طبیعیو صفر

مفهوم و ویژگی های توان ها با توان های گویا (با توان های منفی و کسری) در درس های کلاس 8 مورد بحث قرار خواهد گرفت.

بنابراین، بیایید بفهمیم که توان یک عدد چیست.برای نوشتن حاصل ضرب یک عدد به تنهایی چندین بار از علامت اختصاری استفاده می شود.

به جای حاصل ضرب شش عامل یکسان 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 ، 4 6 بنویسید و بگویید "چهار به توان ششم".

4 4 4 4 4 4 = 4 6

عبارت 4 6 را توان یک عدد می نامند که در آن:

• 4 — پایه درجه;
• 6 — توان.

در نمای کلیدرجه با پایه "a" و توان "n" با استفاده از عبارت نوشته می شود:

به خاطر بسپار!

توان یک عدد "a" با توان طبیعی "n" بزرگتر از 1 حاصل ضرب "n" عوامل یکسان است که هر کدام از آنها برابر عدد"الف".

ورودی "a n" به این صورت خوانده می شود: "a به توان n" یا "nامین توان عدد a".

استثناها ورودی های زیر هستند:

• a 2 - می توان آن را به عنوان "یک مربع" تلفظ کرد.
• a 3 - می توان آن را به عنوان "مکعب" تلفظ کرد.

• a 2 - "a به قدرت دوم"؛
• a 3 - "الف به توان سوم."

موارد خاص در صورت توان ایجاد می شود برابر با یکیا صفر (n = 1؛ n = 0).

به خاطر بسپار!

توان عدد "a" با توان n = 1 خود این عدد است:
a 1 = a

هر عدد به توان صفر برابر با یک است.
a 0 = 1

صفر به هر توان طبیعی برابر با صفر است.
0 n = 0

یک به هر توانی برابر است با 1.
1 n = 1

بیان 0 0 ( توان صفر به صفر) بی معنی تلقی می شوند.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

هنگام حل مثال ها، باید به خاطر داشته باشید که افزایش به توان، یافتن یک مقدار عددی یا حرفی پس از افزایش آن به توان است.

مثال. بالا بردن به یک قدرت.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 2.5 = 6.25
• ( · = = 81

  256

افزایش یک عدد منفی به توان

پایه (عددی که به توان افزایش می یابد) می تواند هر عددی باشد - مثبت، منفی یا صفر.

به خاطر بسپار!

افزایش یک عدد مثبت به توان یک عدد مثبت تولید می کند.

وقتی صفر به توان طبیعی افزایش یابد، نتیجه صفر می شود.

هنگامی که به یک قدرت بالا می رود عدد منفینتیجه می تواند یک عدد مثبت یا یک عدد منفی باشد. بستگی به این دارد که این توان یک عدد زوج باشد یا فرد.

بیایید به نمونه هایی از افزایش اعداد منفی به توان نگاه کنیم.

از مثال های در نظر گرفته شده مشخص می شود که اگر یک عدد منفی را به توان فرد برسانیم، یک عدد منفی به دست می آید. از آنجایی که حاصل ضرب تعداد فرد از عوامل منفی منفی است.

اگر یک عدد منفی به توان زوج افزایش یابد، به عدد مثبت تبدیل می شود.

به خاطر بسپار!

از آنجایی که حاصل ضرب تعداد زوج از عوامل منفی مثبت است.

یک عدد منفی که به توان زوج افزایش یابد یک عدد مثبت است.

یک عدد منفی که به توان فرد افزایش یابد یک عدد منفی است.

مربع هر عدد یک عدد مثبت یا صفر است، یعنی:

• a 2 ≥ 0 برای هر a.
• 2 · (-3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18

-5 · (-2) 3 = -5 · (-8) = 40

توجه کن!

هنگام حل مثال‌هایی از قدرت، اغلب اشتباهاتی رخ می‌دهد و فراموش می‌کنیم که ورودی‌های (-5) 4 و -5 4 عبارات متفاوتی هستند. نتایج افزایش این عبارات به قدرت متفاوت خواهد بود.

محاسبه (-5) 4 به معنای یافتن مقدار توان چهارم یک عدد منفی است.

(-5) 4 = (-5) · (-5) · (-5) · (-5) = 625

1. در حالی که یافتن "-5 4" به این معنی است که مثال باید در 2 مرحله حل شود:
   عدد مثبت 5 را به توان چهارم برسانید.
2. 5 4 = 5 5 5 5 = 625
   −5 4 = −625

جلوی نتیجه به دست آمده علامت منفی قرار دهید (یعنی عمل تفریق را انجام دهید).

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. مثال. محاسبه کنید: −6 2 − (−1) 4
2. −6 2 = −36
3. 6 2 = 6 6 = 36
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

(-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1

رویه در مثال هایی با درجه

به خاطر بسپار!

محاسبه یک مقدار، عمل توان نامیده می شود. این اقدام مرحله سوم است. در عبارات با قدرت که حاوی پرانتز نیستند، ابتدا انجام دهیدتوانمندی ، سپسضرب و تقسیم ، و در پایان.

جمع و تفریق

اگر عبارت حاوی پرانتز است، ابتدا اقدامات داخل پرانتز را به ترتیبی که در بالا نشان داده شده است انجام دهید و سپس اعمال باقی مانده را به همان ترتیب از چپ به راست انجام دهید.

مثال. محاسبه کنید:

برای سهولت در حل مثال ها، دانستن و استفاده از جدول درجات که می توانید به صورت رایگان در وب سایت ما دانلود کنید مفید است.

برای بررسی نتایج خود، می توانید از ماشین حساب موجود در وب سایت ما استفاده کنید " در این مقاله خواهیم فهمید که چیستقدرت یک عدد

. در اینجا ما تعاریفی از توان یک عدد ارائه می دهیم، در حالی که همه توان های ممکن را به تفصیل در نظر می گیریم، از توان طبیعی شروع می کنیم و با توان غیر منطقی خاتمه می دهیم. در مطالب شما نمونه های زیادی از درجات را خواهید یافت که تمام ظرافت هایی را که به وجود می آید را پوشش می دهد.

پیمایش صفحه.

توان با توان طبیعی، مربع یک عدد، مکعب یک عدد بیایید با شروع کنیم. با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که تعریف توان یک عدد a با توان طبیعی n برای a داده شده است که آن را می نامیم.پایه مدرک ، و n که آنها را فرا خواهیم خواند. همچنین توجه می کنیم که درجه ای با توان طبیعی از طریق یک محصول تعیین می شود، بنابراین برای درک مطالب زیر باید درک درستی از ضرب اعداد داشته باشید.

تعریف.

توان عددی با توان طبیعی nعبارتی از شکل a n است که مقدار آن برابر حاصل ضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است، یعنی .
به طور خاص، توان یک عدد a با توان 1، خود عدد a است، یعنی a 1 =a.

شایان ذکر است فوراً در مورد قوانین خواندن مدارک تحصیلی ذکر شود. روش جهانی برای خواندن نماد a n این است: "a به توان n". در برخی موارد، گزینه های زیر نیز قابل قبول است: "الف به توان n ام" و "نام قدرت a". برای مثال، بیایید توان 8 12 را در نظر بگیریم، این "هشت به توان دوازده" یا "هشت به توان دوازدهم" یا "دوازدهمین توان از هشت" است.

توان دوم یک عدد و همچنین توان سوم یک عدد نام های خاص خود را دارند. توان دوم یک عدد نامیده می شود مربع عددبه عنوان مثال، 7 2 به عنوان "هفت مربع" یا "مربع عدد هفت" خوانده می شود. توان سوم یک عدد نامیده می شود اعداد مکعبیبه عنوان مثال، 5 3 را می توان به عنوان "پنج مکعب" خواند یا می توانید بگویید "مکعب عدد 5".

وقت آوردن است نمونه هایی از درجه با توان طبیعی. بیایید با درجه 5 7 شروع کنیم، در اینجا 5 پایه درجه است و 7 توان است. بیایید مثال دیگری بزنیم: 4.32 پایه است، و عدد طبیعی 9 – توان (4.32) 9.

لطفا توجه داشته باشید که در مثال آخر، پایه توان 4.32 در پرانتز نوشته شده است: برای جلوگیری از مغایرت، تمام پایه های توان را که با اعداد طبیعی متفاوت هستند را در پرانتز قرار می دهیم. به عنوان مثال، درجات زیر را با توان های طبیعی می آوریم ، پایه های آنها اعداد طبیعی نیستند، بنابراین در پرانتز نوشته می شوند. خوب، برای وضوح کامل، در این مرحله تفاوت موجود در رکوردهای فرم (-2) 3 و -2 3 را نشان خواهیم داد. عبارت (-2) 3 توان 2- با توان طبیعی 3 است و عبارت -2 3 (می توان آن را به صورت -(2 3) نوشت) با عدد، مقدار توان 2 3 مطابقت دارد. .

توجه داشته باشید که یک نماد برای توان یک عدد a با توان n به شکل a^n وجود دارد. علاوه بر این، اگر n یک عدد طبیعی چند مقداری باشد، توان در پرانتز گرفته می شود. به عنوان مثال، 4^9 نماد دیگری برای توان 4 9 است. و در اینجا چند نمونه دیگر از نوشتن درجه با استفاده از نماد "^" وجود دارد: 14^(21) , (−2,1)^(155) . در موارد زیر، ما در درجه اول از نماد درجه به شکل a n استفاده خواهیم کرد.

یکی از مشکلات معکوس افزایش توان با توان طبیعی، مشکل یافتن پایه توان توسط ارزش شناخته شدهدرجه و شاخص شناخته شده این وظیفه منجر به .

مشخص است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری تشکیل شده است و هر عدد کسری را می توان مثبت یا منفی نشان داد. کسر مشترک. ما در پاراگراف قبل یک درجه را با توان عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین برای تکمیل تعریف درجه با توان گویا، باید به توان عدد a با توان کسری m/n معنی دهیم، در جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. بیایید این کار را انجام دهیم.

بیایید درجه ای را با یک توان کسری شکل در نظر بگیریم. برای اینکه ویژگی قدرت به قدرت معتبر باقی بماند، برابری باید برقرار باشد . اگر برابری حاصل و نحوه تعیین مان را در نظر بگیریم، منطقی است که آن را بپذیریم، مشروط بر اینکه با توجه به m، n و a، عبارت معنا پیدا کند.

به راحتی می توان بررسی کرد که همه ویژگی های یک درجه با توان صحیح معتبر هستند (این کار در بخش خصوصیات یک درجه با توان گویا انجام شد).

استدلال فوق به ما اجازه می دهد تا موارد زیر را بیان کنیم نتیجه گیری: اگر عبارت m، n و a معنی داشته باشد، توان a با توان کسری m/n را ریشه n ام به توان m می نامند.

این عبارت ما را به تعریف درجه با توان کسری نزدیک می کند. تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که توصیف کنیم که عبارت در چه چیزی m، n و a معنا دارد. بسته به محدودیت هایی که بر روی m، n و a اعمال می شود، دو رویکرد اصلی وجود دارد.

ساده ترین راه این است که با گرفتن a≥0 برای m مثبت و a>0 برای m منفی، یک محدودیت بر a اعمال کنیم (زیرا برای m≤0 درجه 0 m تعریف نشده است). سپس تعریف زیر را از درجه با توان کسری بدست می آوریم.

تعریف.

توان یک عدد مثبت a با توان کسری m/n، جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است، ریشه n عدد a به توان m نامیده می شود، یعنی .

توان کسری صفر نیز با این نکته مشخص می شود که نشانگر باید مثبت باشد.

تعریف.

توان صفر با توان مثبت کسری m/n، که در آن m یک عدد صحیح مثبت و n یک عدد طبیعی است، به صورت تعریف می شود .
وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه عدد صفر با توان منفی کسری معنی ندارد.

لازم به ذکر است که با این تعریف از یک درجه با توان کسری، یک اخطار وجود دارد: برای برخی منفی a و برخی m و n، عبارت معنا پیدا می کند و ما با ارائه شرط a≥0 این موارد را کنار گذاشتیم. به عنوان مثال، ورودی ها منطقی هستند یا، و تعریف ارائه شده در بالا ما را مجبور می کند بگوییم که توان هایی با یک توان کسری شکل منطقی نیست، زیرا پایه نباید منفی باشد.

روش دیگر برای تعیین درجه با توان کسری m/n، در نظر گرفتن مجزا نماهای زوج و فرد ریشه است. این رویکرد مستلزم شرط اضافی: توان عدد a که توان آن است، توان عدد a در نظر گرفته می شود که توان آن کسری تقلیل ناپذیر مربوطه است (اهمیت این شرط در زیر توضیح داده خواهد شد). یعنی اگر m/n کسری غیر قابل تقلیل باشد، برای هر عدد طبیعی k درجه ابتدا با .

برای n زوج و m مثبت، عبارت برای هر غیرمنفی a معنی دارد (ریشه مدرک حتیاز یک عدد منفی معنی ندارد)، برای منفی m عدد a باید همچنان با صفر متفاوت باشد (در غیر این صورت تقسیم بر صفر خواهد بود). و برای n فرد و m مثبت، عدد a می تواند هر باشد (ریشه یک درجه فرد برای هر عدد واقعی تعریف می شود) و برای m منفی، عدد a باید غیر صفر باشد (به طوری که تقسیم بر وجود نداشته باشد. صفر).

استدلال فوق ما را به این تعریف از درجه با توان کسری می رساند.

تعریف.

فرض کنید m/n یک کسری تقلیل ناپذیر، m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی باشد. برای هر کسر قابل تقلیل، درجه با . توان عددی با توان کسری تقلیل ناپذیر m/n برابر است



اجازه دهید توضیح دهیم که چرا درجه ای با توان کسری تقلیل پذیر ابتدا با درجه ای با توان تقلیل ناپذیر جایگزین می شود. اگر صرفاً درجه را به صورت تعریف کنیم و در مورد تقلیل ناپذیری کسر m/n قید نکنیم، با موقعیت‌هایی مشابه موارد زیر مواجه می‌شویم: از آنجایی که 6/10 = 3/5 است، پس برابری باید برقرار باشد. ، اما ، A.