کاشی کاری هواپیما الگوهای پن رز و شبه بلورها. موزاییک پنروز دارای خواص است

فکر کردن به چیزهای غیرقابل تصور و متقاعد شدن به اینکه هنوز قابل فکر است، یک پدیده هندسه است.

A.D.Alexandrov

کلاس: 8-9

اهداف:

• شکل گیری و توسعه ایده های دانش آموزان در مورد اشیاء ریاضی جدید و مفاهیم ریاضی.
• توسعه علاقه خلاقانه به ریاضیات.
• گسترش افق های ریاضی دانش آموزان.
• تقویت حسن نیت و کمک متقابل هنگام کار با یکدیگر.

اهداف فعالیت های فوق برنامه:

• کاربرد عملی دانش ریاضی در مطالعه اشیاء جدید ریاضی.
• توسعه تفکر منطقیو مهارت های تحقیق
• مقدمه ای بر کاربرد دانش اکتسابی جدید در علم مدرن.
• طرح سوالات برای مطالعه بیشتر موضوع.

آماده سازی:به صورت گروهی کار کنید، هر گروه مدل هایی از چند ضلعی های منظم و همچنین کپی هایی از مثلث ها و چهارضلعی های دلخواه را تهیه می کند.

اشکال سازماندهی کار دانشجویی:جلویی، گروهی

اشکال سازماندهی کار معلم:رهبری، سازمانی، هماهنگی.

مشخصات:دفتر چند رسانه ای

تجهیزات مورد استفاده:کامپیوتر، پروژکتور، صفحه نمایش، سی دی.

ارائه "پارکت - کاشی کاری هواپیما با چند ضلعی."

پیشرفت درس.

پارکت ها از قدیم الایام توجه مردم را به خود جلب کرده اند. آنها کف را می پوشاندند، دیوارهای اتاق ها را می پوشاندند، نمای ساختمان ها را تزئین می کردند و در هنرهای تزئینی و کاربردی استفاده می شدند.
اگرچه مطالعه پارکت در برنامه درسی ریاضیات مدرسه گنجانده نشده است، اما علاقه به این موضوع پس از حل یک مسئله ساده مدرسه ایجاد شد: "ثابت کنید که از کاشی های یکسان با شکل ذوزنقه متساوی الساقینمی توانید پارکتی درست کنید که هر قسمت از هواپیما را کاملاً بپوشاند.» از چه چند ضلعی های دیگری می توان برای کاشی کاری یک هواپیما استفاده کرد؟

کف پارکت صحیح

پارکتبه این کار کاشی کاری صفحه ای با چند ضلعی گفته می شود که در آن کل صفحه توسط این چند ضلعی ها پوشانده شده است و هر دو چند ضلعی یا یک ضلع مشترک دارند یا یک راس مشترک دارند یا نقاط مشترکی ندارند.

پارکت نامیده می شود درست است، اگر از چند ضلعی های منتظم مساوی تشکیل شده باشد.
نمونه هایی از کفپوش پارکت صحیح برای فیثاغورثی ها شناخته شده بود. آنها صفحه را با: مربع، مثلث متساوی الاضلاع، شش ضلعی منظم پر می کنند.

تکلیف برای دانش آموزان:از مدل های موجود چند ضلعی معمولی، کف پارکت معمولی بسازید.

اجازه دهید مطمئن شویم که هیچ چندضلعی منظم دیگری پارکت را تشکیل نمی دهد. و در اینجا به فرمول مجموع زوایای یک چندضلعی نیاز داریم. اگر پارکت از n-گون ها، سپس در هر رأس پارکت همگرایی k = 360 درجه/ الف n چند ضلعی ها، که در آن الف n – زاویه درست n-گون پیدا کردن آن آسان است الف 3 = 60 درجه، الف 4 = 90 درجه، الف 5 = 108 درجه، الف 6 = 120 درجه و 120 درجه<الف n < 180° при n > 7. بنابراین، 360 درجه به طور مساوی بر تقسیم می شود الف n تنها زمانی که n = 3; 4; 6.
جالب است که در بین مثلث منظم، مربع و شش ضلعی منتظم با توجه به محیط، شش ضلعی بیشترین مساحت را دارد. این شرایط در طبیعت منجر به این واقعیت می شود که لانه زنبور عسل به شکل شش ضلعی منظم است ، زیرا زنبورها هنگام ساخت لانه زنبوری به طور غریزی سعی می کنند تا حد امکان آنها را بزرگ کنند و در عین حال از موم کمتری استفاده می کنند.

کف پارکت نیمه منظم.

اجازه دهید روش‌های ساخت پارکت‌ها از چند ضلعی‌های منظم را گسترش دهیم، و اجازه استفاده از چند ضلعی‌های منظم با تعداد اضلاع متفاوت را می‌دهیم، اما به‌گونه‌ای که در اطراف هر رأس، چند ضلعی‌های منتظم به یک ترتیب چیده شوند. به این گونه پارکت ها می گویند نیمه منظم.

تکلیف دانش آموز: از مدل های موجود چند ضلعی های منظم برای ایجاد کفپوش های پارکت نیمه منظم استفاده کنید.

برای پی بردن به تعداد پارکت های نیمه منظم، لازم است موارد احتمالی چیدمان چند ضلعی های منظم حول یک راس مشترک مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد. برای انجام این کار، اجازه دهید با علامت گذاری کنیم الف 1 ، الف 2 ... زوایای چند ضلعی های منتظم هستند که یک راس مشترک دارند. بیایید آنها را به ترتیب صعودی مرتب کنیم الف 1 < a 2 < … با توجه به اینکه مجموع تمام این زوایای باید برابر با 360 درجه باشد، جدولی شامل مجموعه های احتمالی زاویه تهیه می کنیم و پارکت های مربوطه را نشان می دهیم.
بنابراین در مجموع 11 پارکت معمولی و نیمه منظم وجود دارد.

Planigons

بیایید تعمیم دیگری را در نظر بگیریم - پارکت های ساخته شده از کپی های یک چند ضلعی دلخواه، درست "در امتداد لبه ها" (یعنی که هر کاشی داده شده را به هر کاشی دیگری تبدیل می کند). به چند ضلعی هایی که می توانند در این پارکت ها کاشی باشند گفته می شود پلانگون ها.
واضح است که یک صفحه را می توان با کپی هایی از یک مثلث دلخواه ترسیم کرد، اما کمتر آشکار است که یک چهارضلعی دلخواه یک صفحه ضلعی باشد. همین امر برای هر شش ضلعی که اضلاع مقابل آن مساوی و موازی است صادق است.

تکلیف دانش آموز: از کپی های موجود مثلث و چهارگوش دلخواه پارکت بسازید.

تمام پارکت‌هایی که در بالا مورد بحث قرار گرفت دوره‌ای هستند، یعنی در هر یک از آنها می‌توان ناحیه‌ای متشکل از چندین کاشی را انتخاب کرد (و حتی از جهات مختلف) که کل پارکت با جابجایی موازی از آن به دست می‌آید.
علاقه دانشمندان به چنین ساختارهایی با این واقعیت توضیح داده می شود که کاشی کاری های دوره ای، به ویژه کاشی کاری های فضایی، ساختارهای کریستالی را مدل می کنند.

سوال برای آینده:آیا کاشی کاری های غیر دوره ای وجود دارد؟

به جای نتیجه گیری

ایجاد پارکت های شخصی شما جالب توجه است - برای مثال، با استفاده از تقارن محوری و ترجمه موازی، هواپیما را با شکل های یکسان (عناصر پارکت) پر کنید. نکته اصلی این است که ساخت و ساز بر اساس یک چند ضلعی است که اندازه آن برابر با عنصر پارکت است.

مشق شب.با استفاده از هر وسیله ای پارکت مورد علاقه خود را ایجاد کنید: از کاغذ رنگی گرفته تا فناوری کامپیوتری.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. آتاناسیان ال.اس.و دیگران، 7-9 - آموزش و پرورش، 2010.
2. آتاناسیان ال.اس.و غیره هندسه: اضافه کنید. فصل برای مدرسه کتاب درسی پایه هشتم: کتاب درسی. راهنما برای دانش آموزان مدرسه و cl. با عمق مطالعه کرد ریاضیات - م.: آموزش و پرورش، 1375.
3. آتاناسیان ال.اس.و غیره هندسه: اضافه کنید. فصل برای مدرسه کتاب درسی پایه نهم: کتاب درسی. راهنما برای دانش آموزان مدرسه و cl. با عمق مطالعه کرد ریاضیات - م.: آموزش و پرورش، 1376.
4. کولموگروف A.N.پارکت های ساخته شده از چند ضلعی های منظم.//Kvant، 1970، شماره 3.
5. اسمیرنوف V.A.کامپیوتر به هندسه کمک می کند //ریاضیات: هفتگی آموزشی و روش شناختی. به گاز "اول سپتامبر." – 2003، شماره 21.
6. سورتکوف پی.آی.و دیگران پارکت هندسی روی صفحه کامپیوتر.//انفورماتیک و آموزش، 1379، شماره 9.
7. دایره المعارف برای کودکان. T.11.Mathematics/سریراستار. M.D.Aksenova. - M.: آوانتا +، 2008.

برای کاوش و توصیف حجم، افراد از روش نمایش یک جسم حجمی بر روی صفحه استفاده می کنند. چیزی شبیه این به نظر می رسد:

با دانستن اینکه پیش بینی ها چگونه به نظر می رسند، می توانید یک شی سه بعدی واقعی را تشخیص دهید، کاوش کنید و بسازید.

این یک روش تحقیق رایج در کریستالوگرافی کلاسیک است. محققان ابتدا یک برجستگی یا صفحه را مطالعه می‌کنند، آن را با عناصر محاسبه‌شده به سختی پارکت «آسفالت می‌کنند» و در عین حال تقارن و سایر ویژگی‌ها را در صفحه هموار مطالعه می‌کنند.

سپس کل حجم سه بعدی با این هواپیماها پر می شود، همانطور که کتاب ها یک جعبه بسته بندی مکعبی را پر می کنند. این روش را روش کاشی کاری می نامند.

علاقه به کاشی کاری در ارتباط با ساخت موزاییک ها، زیور آلات و سایر الگوهای مبتنی بر چند وجهی منظم: مثلث، مربع و شش وجهی پدید آمد.

هرگز امکان کاشی کاری هواپیما از یک پنج ضلعی یا پنج ضلعی معمولی وجود نداشته است. شکاف هایی به جا می گذارد - ترک های پر نشده. و بنابراین، در کریستالوگرافی کلاسیک، تقارن پنج ضلعی تا به امروز ممنوع تلقی می شود.

و بالاخره چنین روشی پیدا شد.

در سال 1976، راجر پنروز، ریاضیدان انگلیسی، که فعالانه در زمینه های مختلف ریاضیات، نسبیت عام و نظریه کوانتومی کار می کرد، توصیفی ریاضی از "موزاییک پنروز" به نام او ارائه کرد.

او این امکان را به وجود آورد که تنها با کمک دو کاشی با شکل بسیار ساده، یک هواپیمای بی پایان را با الگوی تکرار نشدنی هموار کرد.

برای درک ماهیت ریاضی "الماس پنروز"، اجازه دهید به پنتاگرام بپردازیم.

در ساده‌ترین شکل، «کاشی‌های پنروز» مجموعه‌ای از دو نوع شکل الماس هستند، برخی با زاویه داخلی 36 درجه و برخی دیگر با زاویه داخلی 72 درجه. هر یک از دو مثلث تشکیل شده است که مدل پنتاگرام مربوطه را پر می کند.

نسبت های عناصر پنتاگرام به طور کامل نسبت طلایی فیبوناچی را منعکس می کند. مبنای آن عدد غیر منطقی = 1.6180339 است...

ایده پنروز برای پر کردن متراکم هواپیما با کمک لوزی های "طلایی" به فضای سه بعدی تبدیل شد.

در این مورد، نقش لوزی‌های پنرز در ساختارهای فضایی جدید را می‌توان به‌وسیله ایکوساهدرون‌ها و دوازده‌وجهی‌ها ایفا کرد.

این یک یافته زیبا بود، تنها یکی از اختراعات ذهن روشن و سرسخت راجر پنروز، که مجذوب پارادوکس های فضایی است. درک بی عیب و نقص او از نسبت طلایی فیبوناچی در اینجا وجود دارد که تحقیقات او را به هنر نزدیک کرد.

و این بود که مبنایی برای تحقیقات بیشتر و کشف شبه بلورها در آزمایشگاه‌های شیمیایی و درک خلاقانه‌تر و جدیدتر از فضای سه‌بعدی، هم برای علم و هم برای هنر بود.

یکی از نمونه‌های بارز کاوش خلاق که توجه من را به خود جلب کرد، هنرمند جوان اسلوونیایی ماتیوشکا تیا کراشک بود.

او مدرک کارشناسی خود را در رشته نقاشی از کالج هنرهای تجسمی (لیوبلیانا، اسلوونی) دریافت کرد. کار نظری و عملی او بر تقارن به عنوان یک مفهوم پل ارتباطی بین هنر و علم متمرکز است.

آثار هنری او در بسیاری از نمایشگاه های بین المللی ارائه شده و در مجلات بین المللی به چاپ رسیده است .

M.T. کراشک در نمایشگاه "عطرهای کالیدوسکوپیک"، لیوبلیانا، 2005

خلاقیت هنری مادر تیا کراشک با انواع مختلف تقارن، کاشی‌ها و لوزی‌های پنروز، شبه بلورها، نسبت طلایی به عنوان عنصر اصلی تقارن، اعداد فیبوناچی و غیره همراه است.

به کمک تأمل، تخیل و شهود سعی در یافتن روابط جدید، سطوح جدید ساختار، انواع نظم جدید و متفاوت در این عناصر و ساختارها دارد.

او در کار خود از گرافیک کامپیوتری به عنوان ابزاری بسیار مفید برای خلق آثار هنری که پیوندی بین علوم، ریاضیات و هنر است، استفاده زیادی می کند.

اگر یکی از اعداد فیبوناچی (مثلاً 21 سانتی‌متر) را برای طول ضلع الماس پنروز در این ترکیب ناپایدار قابل لمس انتخاب کنیم، می‌توانیم مشاهده کنیم که چگونه طول برخی از بخش‌های ترکیب، دنباله فیبوناچی را تشکیل می‌دهد.

تعداد زیادی از ساخته‌های هنری این هنرمند به شبه بلورهای شختمان و شبکه‌های پنروز اختصاص دارد.

در این ترکیبات شگفت انگیز، جلوه هایی از تقارن دایره ای را می توان در رابطه بین لوزی های پنروز مشاهده کرد:

هر دو الماس پنروز مجاور یک ستاره پنج ضلعی تشکیل می دهند. می توانید ده ضلعی را ببینید که از لبه های 10 لوزی پنروز مجاور تشکیل شده است و یک چندوجهی منظم جدید ایجاد می کند.

و در تصویر آخر یک تعامل بی پایان از لوزی های پنروز وجود دارد - پنتاگرام ها، پنج ضلعی ها، که به سمت نقطه مرکزی ترکیب کاهش می یابند. نسبت های طلایی به روش های مختلف در مقیاس های مختلف نشان داده می شوند.

ساخته های هنری مادر تیا کراشک توجه زیادی از نمایندگان علم و هنر را به خود جلب کرد.

موزاییک Penrose یک نمونه عالی از این است که چگونه یک ساخت و ساز زیبا، واقع در تقاطع رشته های مختلف، لزوما کاربرد خاص خود را پیدا می کند.

در مورد کاشی کاری هواپیما صحبت خواهیم کرد. Tessellation پوشش کل یک هواپیما با اشکال غیر همپوشانی است. احتمالاً علاقه به سنگفرش ابتدا در ارتباط با ساخت موزاییک، زیور آلات و سایر نقش ها به وجود آمد. تزیینات بسیاری شناخته شده است که از نقوش تکراری تشکیل شده است. یکی از ساده ترین کاشی کاری ها در شکل 1 نشان داده شده است.

صفحه با متوازی الاضلاع پوشیده شده است و همه متوازی الاضلاع یکسان هستند. هر متوازی الاضلاع این کاشی کاری را می توان از متوازی الاضلاع صورتی با جابجایی دومی توسط یک بردار به دست آورد (بردارها و با لبه های متوازی الاضلاع انتخاب شده تعیین می شوند، n و m اعداد صحیح هستند). لازم به ذکر است که کل کاشی کاری به عنوان یک کل با جابجایی توسط یک بردار (یا) به خود تبدیل می شود. این ویژگی را می توان به عنوان یک تعریف در نظر گرفت: یعنی، کاشی کاری دوره ای با دوره، کاشی کاری است که با جابجایی توسط یک بردار و یک بردار به خود تبدیل می شود. کاشی کاری های دوره ای می تواند کاملاً پیچیده باشد، برخی از آنها بسیار زیبا هستند.

کاشی کاری شبه تناوبی هواپیما

تصاویر جالب و غیر دوره ای از هواپیما وجود دارد. در سال 1974 راجر پنروز، ریاضیدان انگلیسی، کاشی کاری های شبه تناوبی این هواپیما را کشف کرد. خواص این کاشی کاری ها به طور طبیعی خواص کاشی های دوره ای را تعمیم می دهد. نمونه ای از چنین کاشی کاری در شکل 2 نشان داده شده است.

کل هواپیما با لوزی پوشیده شده است. هیچ شکافی بین الماس ها وجود ندارد. هر تسسل لوزی را می توان تنها با استفاده از دو رگه با استفاده از جابجایی و چرخش به دست آورد. این یک لوزی باریک (36 0, 144 0) و یک لوزی پهن (72 0, 108 0) است که در شکل 3 نشان داده شده است. طول اضلاع هر یک از لوزی ها 1 است. این کاشی کاری دوره ای نیست - واضح است. تحت هیچ تغییری به خود تبدیل نمی شود. با این حال، ویژگی مهمی دارد که آن را به کاشی کاری های دوره ای نزدیک می کند و مجبور می کند آن را شبه دوره ای نامید. نکته این است که هر بخش محدودی از یک کاشی کاری شبه دوره ای بارها در کل کاشی کاری اتفاق می افتد. این کاشی کاری دارای محور تقارن درجه 5 است در حالی که چنین محورهایی برای کاشی کاری های دوره ای وجود ندارد.

یکی دیگر از کاشی کاری های شبه تناوبی صفحه، ساخته شده توسط Penrose، در شکل 4 نشان داده شده است. کل صفحه توسط چهار چند ضلعی پوشیده شده است. نوع خاص. این یک ستاره، یک لوزی، یک پنج ضلعی منظم است.

الف) تبدیل تورم و کاهش تورم

هر یک از سه نمونه کاشی کاری شبه تناوبی نشان داده شده در بالا، پوششی از یک صفحه با استفاده از ترجمه و چرخش تعداد محدودی از اشکال است. این پوشش تحت هیچ گونه جابجایی به خود تبدیل نمی شود، هر قسمت محدودی از پوشش در کل پوشش بارها رخ می دهد، علاوه بر این، اغلب به همان اندازه در کل صفحه رخ می دهد. کاشی کاری هایی که در بالا توضیح داده شد دارای خاصیت خاصی هستند که پنروز آن را تورم نامید. مطالعه این ویژگی به ما امکان می دهد ساختار این پوشش ها را درک کنیم. علاوه بر این، از تورم می توان برای ساخت الگوهای پنروز استفاده کرد. تورم را می توان با استفاده از مثال مثلث های رابینسون به وضوح نشان داد. مثلث های رابینسون دو تا هستند مثلث متساوی الساقین P، Q با زوایای (36 0، 72 0، 72 0) و (108 0، 36 0، 36 0) به ترتیب و طول ضلع، مانند شکل 6. در اینجا φ نسبت طلایی است:

این مثلث ها را می توان به صورت کوچکتر برش داد تا هر یک از مثلث های جدید (کوچکتر) شبیه یکی از مثلث های اصلی باشد. برش در شکل 7 نشان داده شده است: خط مستقیم ac نیمساز زاویه dab است و قطعات ae، ab و ac برابر هستند. به راحتی می توان دید که مثلث acb و آس با مثلث P همخوان و شبیه هستند و مثلث cde شبیه مثلث Q است. مثلث Q به این صورت برش داده می شود. طول پاره gh برابر طول پاره ih است (و برابر 1 است). مثلث igh شبیه مثلث P و مثلث igf شبیه مثلث Q است. ابعاد خطی مثلث های جدید t برابر کوچکتر از مثلث های اصلی است. به این برش، باد زدایی می گویند.

تبدیل معکوس - چسباندن - تورم نامیده می شود.

شکل به ما نشان می دهد که از دو مثلث P و یک مثلث Q می توان یک مثلث P و از یک مثلث P و Q می توان یک مثلث Q را چسباند. مثلث های جدید (چسب شده) دارای ابعاد خطی t برابر بزرگتر از مثلث های اصلی هستند.

بنابراین، مفهوم تحولات تورم و کاهش تورم را معرفی کرده ایم. بدیهی است که تغییر تورم می تواند تکرار شود. این منجر به یک جفت مثلث می شود که ابعاد آنها t 2 برابر بزرگتر از مثلث های اصلی است. با اعمال متوالی تبدیل‌های تورمی، می‌توانید یک جفت مثلث با اندازه بزرگ دلخواه به دست آورید. به این ترتیب می توانید کل هواپیما را هموار کنید.

می توان نشان داد که کاشی کاری که در بالا توسط مثلث های رابینسون توضیح داده شد دوره ای نیست

اثبات

بیایید دلیل این گفته را بیان کنیم. بیایید با تناقض بحث کنیم. فرض کنید که کاشی کاری صفحه با مثلث های رابینسون تناوبی با دوره های u و w باشد. بیایید صفحه را با شبکه ای از متوازی الاضلاع با ضلع های u، w بپوشانیم. بیایید عدد q را به روشی مشابه تعریف کنیم. (مثلث های p+q انتخابی، ناحیه به اصطلاح بنیادی یک کاشی کاری دوره ای معین را تشکیل می دهند.) دایره ای با شعاع R با مرکز O در نظر بگیرید. اجازه دهید تعداد مثلث های P را با PR (در واقع QR) نشان دهیم (به ترتیب Q-). مثلث ها) در داخل این دایره قرار دارند.

این را ثابت کنیم

1) در واقع، تعداد مثلث هایی که دایره ای به شعاع R را قطع می کنند با R متناسب است، در حالی که تعداد مثلث های داخل دایره ای به شعاع R متناسب با R2 است. بنابراین، در حد، نسبت تعداد مثلث های P - به تعداد مثلث های Q - در یک دایره برابر است با این نسبت در حوزه اساسی.

حالا بیایید تسلیت خود را بگیریم و تبدیل‌های کاهش قیمت را انجام دهیم. سپس در ناحیه بنیادی اولیه، مثلث های pґ = 2p + q کوچکتر P - و qґ = p + q کوچکتر Q - مثلث وجود خواهد داشت. اجازه دهید با pґR و qґR تعداد مثلث های کوچکتر را در دایره ای به شعاع R نشان دهیم. اکنون به راحتی می توان یک تضاد به دست آورد. در واقع،

= = = = (قانون L'Hopital)

از کجا، حل معادله

p/q=(2p+q)/(p+q)،

در حالی که p و q اعداد صحیح هستند! تناقض نشان می دهد که کاشی کاری با مثلث های رابینسون دوره ای نیست.

به نظر می رسد که این پوشش توسط مثلث های رابینسون تنها یکی نیست. بی نهایت پوشش های شبه تناوبی مختلف هواپیما توسط مثلث های رابینسون وجود دارد. به طور کلی، دلیل این پدیده در این واقعیت نهفته است که در هنگام کاهش قیمت، نیمساز در شکل 7 را می توان از راس b ترسیم کرد، نه از راس a. با استفاده از این خودسری می توان به این نتیجه رسید که مثلاً پوشش مثلثی به پوشش مثلث با لوزی تبدیل شود.

ب) دگرگونی دوگانگی

روش ساخت کاشی‌کاری‌های شبه دوره‌ای که در بالا ارائه شد، شبیه یک حدس است. با این حال، روشی منظم برای ساخت پوشش های شبه تناوبی وجود دارد. این یک روش تبدیل دوگانه است که ایده آن متعلق به ریاضیدان هلندی دی براون است.

اجازه دهید این روش را با استفاده از مثال ساختن جایگزینی یک صفحه با لوزی توضیح دهیم (شکل 3 را ببینید). ابتدا، بیایید یک شبکه G بسازیم. برای این کار، یک پنج ضلعی معمولی بردارید و اضلاع آن را شماره گذاری کنید (j = 1،2،3،4،5؛ شکل 10). بیایید به سمت شماره j نگاه کنیم. بیایید یک مجموعه بی نهایت از خطوط موازی با این طرف بسازیم، به طوری که فاصله بین دو نزدیکترین خط برابر با 1 باشد.

بیایید یک ساختار مشابه برای هر یک از اضلاع پنج ضلعی انجام دهیم. خطوط مستقیم را طوری ترسیم می کنیم که فقط به صورت جفت یکدیگر را قطع کنند. نتیجه مجموعه ای از خطوط است که تناوبی نیست (شکل 9) خطوط در این مجموعه با حروف l نشان داده می شوند. بیایید خطوط را با دو شاخص دوباره شماره گذاری کنیم: l j (n). در اینجا j جهت خط را نشان می دهد (با کدام سمت پنج ضلعی موازی است). عدد صحیح n خطوط موازی متفاوتی را نشان می دهد و از تمام مقادیر صحیح (هم مثبت و هم منفی) عبور می کند. این مجموعه خطوط، صفحه را به مجموعه ای بی نهایت از چندضلعی ها تقسیم می کند. به این چند ضلعی ها وجه های مش می گویند. اضلاع چند ضلعی ها را لبه های مش و رئوس چند ضلعی ها را رئوس مش می نامیم. (به طور مشابه برای پوشش شبه تناوبی Q: لوزی ها وجه های Q، اضلاع لوزی ها لبه های Q، رئوس لوزی ها رئوس Q هستند)

بنابراین، شبکه G ساخته می شود. اجازه دهید اکنون تبدیل دوگانگی را انجام دهیم. هر وجه از مش G با راس پوشش شبه تناوبی Q (راس لوزی) قابل مقایسه است. رئوس را با حروف نشان می دهیم (اینها بردار هستند). ابتدا هر وجه M مش را با پنج عدد صحیح n j = (M), j - 1,2, ....5 مطابق قانون زیر مرتبط می کنیم. نقاط داخلی M بین یک خط l j (n) و یک خط موازی با آن l j (n+1) قرار دارد.

با این عدد صحیح n وجه های M را مطابقت خواهیم داد. از آنجایی که مش دارای خطوط در پنج جهت است، به این ترتیب پنج عدد صحیح n j (M) از هر M مش G را مطابقت خواهیم داد. راس پوشش شبه تناوبی Q ، مربوط به یک وجه معین M از مش G، به صورت زیر ساخته می شود:

(M) = n 1 (M) + + … +

در اینجا یک بردار واحد طول است که از مرکز یک پنج ضلعی منظم به وسط ضلع شماره j هدایت شده است. بنابراین، ما یک راس پوششی را با هر وجه مش مرتبط کردیم. به این ترتیب می توانیم تمام رئوس Q را بسازیم.

حالا بیایید چند رئوس را با پاره های خط مستقیم به هم وصل کنیم. اینها لبه های پوشش Q (دو طرف لوزی ها) خواهند بود. برای این کار یک جفت وجه M1 و M2 را در نظر بگیرید که دارای یک لبه مشترک هستند. ما رئوس پوشش مربوط به این وجوه و با سگمنت ها را به هم وصل می کنیم.

سپس معلوم می شود که تفاوت

شاید از هر ده بردار فقط یکی باشد.

بنابراین، هر لبه مش با یک وجه پوشش Q همراه است. اجازه دهید چهار راس پوشش (M R) مربوط به آنها را در نظر بگیریم. از خاصیت تفاوت (2) نتیجه می شود که لبه های پوششی که از این رئوس عبور می کنند، مرز لوزی را تشکیل می دهند. یک پوشش شبه تناوبی از هواپیما با لوزی ساخته شده است.

ما روش تبدیل دوگانگی را نشان داده ایم. این یک روش کلی برای ساخت روشی برای پوشش های شبه دوره ای است. در این طرح، یک پنج ضلعی معمولی را می توان با هر یک جایگزین کرد چند ضلعی منظم. نتیجه یک پوشش شبه دوره ای جدید خواهد بود. روش تبدیل دوگانگی برای ساخت سازه های شبه تناوبی در فضا نیز قابل استفاده است.

ب) پر شدن شبه دوره ای فضای سه بعدی

یک تعمیم سه بعدی از الگوهای پنروز وجود دارد. فضای سه بعدیرا می توان با متوازی الاضلاع از یک نوع خاص پر کرد. موازی پاها نقاط داخلی مشترکی ندارند و هیچ شکافی بین آنها وجود ندارد. هر متوازی الاضلاع از این پر شدن را می توان تنها از دو متوازی الاضلاع با استفاده از جابجایی و چرخش به دست آورد. اینها به اصطلاح موازی‌پایه‌های امان-مکی هستند. برای تعریف متوازی الاضلاع کافی است که سه یال بیرون آمده از یک راس را مشخص کنیم. برای اولین متوازی الاضلاع آمان-مکی، این بردارها به شکل زیر هستند:

= (0؛ 1؛ φ)، = (-φ؛ 0؛ -1)

و برای متوازی الاضلاع دوم:

= (0; -1;f)، = (f; 0;1)، = (0;1; f)

پر شدن با این متوازی الاضلاع تحت هیچ جابجایی به خود تبدیل نمی شود، با این حال، هر قسمت محدودی از آن در کل پر شدن بارها رخ می دهد. پر شدن فضا با این متوازی الاضلاع با تقارن های ایکو وجهی همراه است. ایکوساهدر یک جامد افلاطونی است. هر یک از وجوه آن یک مثلث منظم است. ایکوساهدر 12 رأس، 20 وجه و 30 لبه دارد

برنامه

مشخص شد که مذاب آلومینیوم- منگنز که به سرعت سرد می شود (کشف شده در سال 1984) دقیقاً این تقارن ها را دارد بنابراین، الگوهای پنروز به درک ساختار ماده تازه کشف شده کمک کردند. و نه تنها این ماده، شبه بلورهای واقعی دیگری نیز یافت شده است، مطالعه تجربی و نظری آنها در خط مقدم علم مدرن قرار دارد.

حسی در دنیای ریاضیات. نوع جدیدی از پنج ضلعی ها کشف شده است که بدون شکستگی و بدون همپوشانی هواپیما را می پوشانند.

این تنها پانزدهمین نوع از این پنج ضلعی ها و اولین نمونه ای است که در 30 سال گذشته کشف شده است.

این هواپیما با مثلث ها و چهار گوش ها به هر شکلی پوشیده شده است، اما با پنج ضلعی همه چیز بسیار پیچیده تر و جالب تر است. پنج ضلعی های منظمنمی تواند یک هواپیما را بپوشاند، اما برخی از پنج ضلعی های نامنظم می توانند. جستجوی چنین ارقامی یکی از جالب ترین مسائل ریاضی برای صد سال بوده است. این جستجو در سال 1918 آغاز شد، زمانی که ریاضیدان کارل راینهارد اولین پنج رقم مناسب را کشف کرد.

برای مدت طولانی اعتقاد بر این بود که راینهارد تمام فرمول های ممکن را محاسبه کرده است و دیگر چنین پنج ضلعی وجود ندارد، اما در سال 1968 ریاضیدان R.B. Kershner سه مورد دیگر را یافت و ریچارد جیمز در سال 1975 تعداد آنها را به 9 رساند. در همان سال، مارجوری رایس، خانه‌دار آمریکایی و علاقه‌مند به ریاضیات 50 ساله، روش نمادگذاری خود را توسعه داد و در عرض چند سال چهار پنج ضلعی دیگر را کشف کرد. سرانجام، در سال 1985، رولف استاین تعداد ارقام را به چهارده افزایش داد.

پنتاگون تنها رقمی است که ابهام و رمز و راز در مورد آن باقی مانده است. در سال 1963 ثابت شد که تنها سه نوع شش ضلعی وجود دارد که هواپیما را می پوشاند. چنین مثلث هایی در بین هفت ضلعی، هشت ضلعی و غیره محدب وجود ندارد. اما در مورد پنتاگون ها، هنوز همه چیز کاملاً مشخص نیست.

تا به امروز، تنها 14 نوع از این پنج ضلعی شناخته شده بود. آنها در تصویر نشان داده شده اند. فرمول هر یک از آنها در لینک آورده شده است.

به مدت 30 سال هیچ کس نتوانست چیز جدیدی بیابد و در نهایت کشف مورد انتظار! این توسط گروهی از دانشمندان دانشگاه واشنگتن ساخته شده است: کیسی مان، جنیفر مک لود و دیوید فون دراو. این پسر خوش تیپ کوچولو به نظر می رسد.

کیسی مان می‌گوید: «ما این شکل را با جستجوی رایانه‌ای از میان تعداد زیادی اما محدود از تغییرات کشف کردیم. - البته ما خیلی هیجان زده و کمی تعجب کردیم که توانستیم باز کنیم ظاهر جدیدپنج ضلعی."

این کشف کاملاً انتزاعی به نظر می رسد، اما در واقع می تواند پیدا کند کاربرد عملی. به عنوان مثال، در تولید کاشی های تکمیلی.

جستجو برای پنج ضلعی های جدید که هواپیما را می پوشانند قطعا ادامه خواهد داشت.

M =\langle \Sigma, Q, \Pi, B \in \Pi, s,\delta: Q \times \Pi \rightarrow Q \times \Pi \times \( \پایین چپ, \downnarrow, \rightarrow \) \ زنگ بزنو کلمه w \in \Sigma^* . برای تعیین اینکه آیا یک MT معین در ورودی w متوقف می شود، لازم است.

برای اثبات حل‌ناپذیری مسئله کاشی‌کاری، برای یک ماشین تورینگ M و یک کلمه w، مجموعه‌ای از پلی‌امینوها را می‌سازیم که اگر MT روی آن متوقف نشود، می‌توان از آنها برای کاشی‌کاری یک چهارم صفحه استفاده کرد. کلمه داده شده. اگر MT متوقف شود، غیرممکن است که یک چهارم هواپیما را با مجموعه حاصل کاشی کنید.

ما فرآیند اجرای MT را در ورودی w \in \Sigma^* با ساخت ردیف‌های عمودی که هر کدام معادل پیکربندی MT در مرحله خاصی از اجرا هستند، شبیه‌سازی می‌کنیم. ردیف اول معادل پیکربندی اولیه MT است و هر ردیف بعدی با پیکربندی بعدی مطابقت دارد. صحبت کردن به زبان ساده، هر ردیف نشان دهنده یک "عکس فوری" از وضعیت ماشین در مرحله مربوطه اجرا است.

تصویر بالا دو ردیف عمودی پلیومینو را نشان می دهد. ردیف اول مربوط به MT و کلمه w است. اولین پلیومینو مربوط به جفت نماد اول و حالت اولیه است، بقیه با نمادهایی از w مطابقت دارد. در ردیف دوم، پلیومینو دوم مربوط به جفت نماد w و حالت q است. یعنی MT این انتقال را انجام داد \delta (s, w) = \langle q, w, \right arrow \rangle.

اکنون بر اساس MT داده شده، مجموعه ای از پلیومینوها را خواهیم ساخت که به شکل زیر خواهد بود:

در هر طرف چنین پلیومینو تعداد مشخصی برآمدگی/دره وجود دارد. هر نماد از حروف الفبا، حالت، و جفت حالت و نماد با یک عدد منحصر به فرد مرتبط است (شما می توانید محدود کنید k \leqslant |\Pi| + |Q| + |\Pi \times Q| + 1) – این تعداد برآمدگی ها/دره های واقع در یک طرف پلیومینو خواهد بود.

ابتدا، بیایید مجموعه ای از polyominoes بسازیم که پیکربندی اولیه را تعریف می کند:

که در آن *i یک عدد منحصر به فرد برای هر جفت پلیومینو مجاور از پیکربندی اولیه است. اولین پلیومینو حالت اولیه را مشخص می کند، مواردی که بعد از آن کلمه ورودی را رمزگذاری می کنند، و پلیومینو نهایی برای کاشی کاری صحیح بقیه سری مورد نیاز است.

در آن تعداد فرورفتگی های سمت چپ با تعداد برجستگی های سمت راست برابر است. این نوع پلیومینو محتویات نوار MT را به ردیف بعدی منتقل می کند.

حالا بیایید یک polyomino برای تابع انتقال بسازیم \delta (q, c) = \langle p, d, D \rangle، کجا q \in Q، p \in Q، c \in \Pi، d \in \Pi، D\in \(\ فلش چپ، \پایین، \پیکان راست \):

شکل (از پایین به بالا) پلیومینوهای مربوط به مقادیر را نشان می دهد D = \(\ فلش چپ، \پایین، \راست فلش\). آنها همراه با نوع بعدی، حرکت سر MT را شبیه سازی می کنند.

این پلیومینوها نماد الفبای c را از ردیف قبلی و حالت p را از پلیومینو همسایه دریافت می کنند و سپس یک جفت حالت و نماد را به ردیف بعدی منتقل می کنند.

بیایید آخرین نوع پلیومینو را بسازیم که حالت های \#_Y و \#_N را مشخص می کند:

چنین پلیومینو دارای تعداد منحصر به فرد برآمدگی در سمت راست است. هیچ پلیومینو دیگری از مجموعه حاصل نمی تواند به آن بپیوندد و کاشی کاری بیشتر امکان پذیر نخواهد بود.

الگوریتم کاهش حاصل یک MT و یک کلمه را به عنوان ورودی دریافت می‌کند و مجموعه‌ای از پلیومینوهای مربوط به آنها را خروجی می‌دهد.

بنابراین، اگر و تنها در صورتی که MT کدگذاری شده در یک ورودی معین متوقف نشود، می توان صفحه یک چهارم را کاشی کرد. به عبارت دیگر، تعداد بی نهایت پیکربندی وجود دارد که به حالت نهایی تبدیل نمی شوند. این به این معنی است که ما می توانیم ردیف به ردیف صفحه را بی نهایت بار کاشی کنیم که در نهایت هواپیما را کاشی می کنیم.

اگر MT متوقف شود، به دلیل اینکه پلیومینو محدود ادامه ندارد، نمی توانیم یک چهارم صفحه را کاشی کنیم. یعنی مشکل کاشی کاری پلیومینوها قابل حل نیست.