Որքա՞ն է երկու թվերի խորանարդների տարբերությունը: Կրճատված բազմապատկման բանաձևեր

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը կամ կանոնները օգտագործվում են թվաբանության մեջ, իսկ ավելի կոնկրետ հանրահաշիվում՝ խոշոր հանրահաշվական արտահայտությունների հաշվման ավելի արագ գործընթացի համար։ Բանաձևերն իրենք բխում են մի քանի բազմանդամների բազմապատկման հանրահաշիվում գոյություն ունեցող կանոններից:

Այս բանաձևերի օգտագործումը բավականին արագ լուծում է տալիս տարբեր մաթեմատիկական խնդիրներին, ինչպես նաև օգնում է պարզեցնել արտահայտությունները: Հանրահաշվական փոխակերպումների կանոնները թույլ են տալիս կատարել որոշ մանիպուլյացիաներ արտահայտություններով, որոնցից հետո կարող եք ստանալ աջ կողմում հավասարության ձախ կողմի արտահայտությունը կամ վերափոխել աջ կողմհավասար է (հավասարի նշանից հետո ձախ կողմի արտահայտությունը ստանալու համար):

Հարմար է իմանալ հիշողությամբ կրճատ բազմապատկման համար օգտագործվող բանաձևերը, քանի որ դրանք հաճախ օգտագործվում են խնդիրներ և հավասարումներ լուծելիս։ Ստորև բերված են հիմնական բանաձևերը, որոնք ներառված են այս ցանկըև նրանց անունը։

գումարի քառակուսի

Գումարի քառակուսին հաշվարկելու համար հարկավոր է գտնել առաջին անդամի քառակուսուց բաղկացած գումարը, առաջին անդամի և երկրորդի արտադրյալի կրկնապատիկը և երկրորդի քառակուսին: Արտահայտության տեսքով այս կանոնը գրված է հետևյալ կերպ՝ (a + c)² = a² + 2ac + c²:

Տարբերության քառակուսին

Տարբերության քառակուսին հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել գումարը, որը բաղկացած է առաջին թվի քառակուսուց, առաջին թվի արտադրյալից երկու անգամ երկրորդով (վերցված հակառակ նշանով) և երկրորդ թվի քառակուսուց։ Արտահայտության տեսքով այս կանոնն ունի հետևյալ տեսքը՝ (a - c)² \u003d a² - 2ac + c²:

Քառակուսիների տարբերություն

Երկու քառակուսի թվերի տարբերության բանաձևը հավասար է այս թվերի գումարի և դրանց տարբերության արտադրյալին: Արտահայտության ձևով այս կանոնն ունի հետևյալ տեսքը՝ a² - c² \u003d (a + c) (a - c):

գումարի խորանարդ

Երկու անդամի գումարի խորանարդը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել առաջին անդամի խորանարդից բաղկացած գումարը, եռապատկել առաջին անդամի և երկրորդ անդամի քառակուսու արտադրյալը, առաջին անդամի և երկրորդ անդամի եռակի արտադրյալը և երկրորդ անդամի խորանարդը: Արտահայտության տեսքով այս կանոնն ունի հետևյալ տեսքը՝ (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³:

Խորանարդների գումարը

Ըստ բանաձևի՝ այն հավասար է այս անդամների գումարի և նրանց տարբերության ոչ լրիվ քառակուսու արտադրյալին։ Արտահայտության տեսքով այս կանոնն ունի հետևյալ տեսքը՝ a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²):

Օրինակ.Անհրաժեշտ է հաշվարկել այն գործչի ծավալը, որը ձևավորվում է երկու խորանարդի ավելացմամբ։ Հայտնի են միայն դրանց կողմերի մեծությունները։

Եթե ​​կողմերի արժեքները փոքր են, ապա հեշտ է կատարել հաշվարկներ:

Եթե ​​կողմերի երկարություններն արտահայտված են ծանր թվերով, ապա այս դեպքում ավելի հեշտ է կիրառել «Խորանարդների գումարը» բանաձեւը, որը մեծապես կհեշտացնի հաշվարկները։

տարբերության խորանարդ

Խորանարդային տարբերության արտահայտությունը հնչում է այսպես. որպես առաջին անդամի երրորդ աստիճանի գումար, եռապատկեք առաջին անդամի քառակուսու բացասական արտադրյալը երկրորդով, եռապատկեք առաջին անդամի արտադրյալը երկրորդ անդամի քառակուսու վրա և երկրորդ անդամի բացասական խորանարդը: Մաթեմատիկական արտահայտության տեսքով տարբերության խորանարդն ունի հետևյալ տեսքը՝ (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³:

Խորանարդների տարբերությունը

Խորանարդների տարբերության բանաձեւը խորանարդների գումարից տարբերվում է միայն մեկ նշանով. Այսպիսով, խորանարդների տարբերությունը բանաձև է. արտադրանքին հավասարտրված թվերի տարբերությունը նրանց գումարի ոչ լրիվ քառակուսու վրա։ Ձևի մեջ խորանարդների տարբերությունը հետևյալն է. a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2):

Օրինակ.Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի ծավալը, որը կմնա կապույտ խորանարդի ծավալը նկարի ծավալից հանելուց հետո: դեղին գույն, որը նույնպես խորանարդ է։ Հայտնի է միայն փոքր ու մեծ խորանարդի կողմի չափը։

Եթե ​​կողմերի արժեքները փոքր են, ապա հաշվարկները բավականին պարզ են: Իսկ եթե կողմերի երկարություններն արտահայտված են զգալի թվերով, ապա արժե օգտագործել «Խորանարդների տարբերությունը» (կամ «Տարբերության խորանարդ») խորագրով բանաձեւը, որը մեծապես կհեշտացնի հաշվարկները։

Նախորդ դասերում մենք դիտարկել ենք բազմանդամի ֆակտորիզացիայի երկու եղանակ՝ ընդհանուր գործակիցը փակագծերից հանելը և խմբավորման մեթոդը:

Այս դասում մենք կանդրադառնանք բազմանդամը ֆակտորիզացնելու մեկ այլ եղանակի օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը.

Խորհուրդ ենք տալիս յուրաքանչյուր բանաձև գրել առնվազն 12 անգամ: Ավելի լավ անգիր անելու համար գրեք բոլոր կրճատված բազմապատկման բանաձևերը ձեզ համար փոքր խաբեության թերթիկի վրա:

Հիշեք, թե ինչ տեսք ունի խորանարդների տարբերության բանաձևը:

a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)

Խորանարդների տարբերության բանաձեւն այնքան էլ հեշտ չէ հիշել, ուստի խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել այն հիշելու հատուկ միջոց։

Կարևոր է հասկանալ, որ ցանկացած կրճատ բազմապատկման բանաձև նույնպես գործում է հակառակ կողմը.

(a − b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Դիտարկենք մի օրինակ։ Անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել խորանարդների տարբերությունը։

Նկատի ունեցեք, որ «27a 3»-ը «(3a) 3» է, ինչը նշանակում է, որ խորանարդների տարբերության բանաձևի համար «a»-ի փոխարեն օգտագործում ենք «3a»:

Մենք օգտագործում ենք խորանարդի տարբերության բանաձեւը. «a 3»-ի փոխարեն մենք ունենք «27a 3», իսկ «b 3»-ի տեղում, ինչպես բանաձևում, կա «b 3»:

Կիրառելով խորանարդի տարբերությունը հակառակ ուղղությամբ

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ. Պահանջվում է բազմանդամների արտադրյալը վերածել խորանարդների տարբերության՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ «(x − 1) (x 2 + x + 1)» բազմանդամների արտադրյալը նման է «» խորանարդների տարբերության բանաձևի աջ կողմին, միայն «a»-ի փոխարեն «x» է, իսկ «b»-ի փոխարեն՝ «1»:

«(x − 1) (x 2 + x + 1)»-ի համար մենք օգտագործում ենք հակառակ ուղղությամբ խորանարդների տարբերության բանաձևը:

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ. Պահանջվում է պարզեցնել բազմանդամների արտադրյալը։

Եթե ​​համեմատենք «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)» խորանարդների տարբերության բանաձեւի աջ կողմի հետ.
« a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)», այնուհետև կարող եք հասկանալ, որ առաջին փակագծի «a»-ի տեղում «y 2» է, իսկ «b»-ի տեղում «1» է:

Կրճատված բազմապատկման բանաձևեր.

Համառոտ բազմապատկման բանաձևերի ուսումնասիրություն՝ գումարի քառակուսի և երկու արտահայտությունների տարբերության քառակուսի; երկու արտահայտությունների քառակուսիների տարբերություն; գումարի խորանարդը և երկու արտահայտությունների տարբերության խորանարդը. երկու արտահայտությունների խորանարդների գումարներն ու տարբերությունները.

Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի կիրառում օրինակներ լուծելիս.

Արտահայտությունները պարզեցնելու համար բազմանդամները ֆակտորիզացրեք, բազմանդամները կրճատեք մինչև ստանդարտ ձևօգտագործվում են կրճատված բազմապատկման բանաձևեր. Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը, որոնք դուք պետք է անգիր իմանաք.

Թող a, b R. Ապա.

1. Երկու արտահայտությունների գումարի քառակուսին էառաջին արտահայտության քառակուսին գումարած երկու անգամ առաջին արտահայտության արտադրյալը և երկրորդին գումարած երկրորդ արտահայտության քառակուսին:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Երկու արտահայտությունների տարբերության քառակուսին էառաջին արտահայտության քառակուսին հանած երկու անգամ առաջին արտահայտության արտադրյալը և երկրորդին գումարած երկրորդ արտահայտության քառակուսին:

(ա - բ) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Քառակուսիների տարբերություներկու արտահայտությունը հավասար է այս արտահայտությունների տարբերության և դրանց գումարի արտադրյալին:

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. գումարի խորանարդերկու արտահայտությունը հավասար է առաջին արտահայտության խորանարդին գումարած առաջին արտահայտության քառակուսու եռապատիկը, երկրորդին գումարած երեք անգամ առաջին արտահայտության արտադրյալը, երկրորդի քառակուսին գումարած երկրորդ արտահայտության խորանարդը:

(ա + բ) 3 = ա 3 + 3 ա 2 բ + 3աբ 2 + բ 3

5. տարբերության խորանարդերկու արտահայտությունը հավասար է առաջին արտահայտության խորանարդին` հանած երեք անգամ առաջին արտահայտության քառակուսու արտադրյալը և երկրորդին գումարած երեք անգամ առաջին արտահայտության արտադրյալը և երկրորդի քառակուսին հանած երկրորդ արտահայտության խորանարդը:

(ա - բ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Խորանարդների գումարըերկու արտահայտությունը հավասար է առաջին և երկրորդ արտահայտությունների գումարի արտադրյալին այս արտահայտությունների տարբերության թերի քառակուսու վրա։

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Խորանարդների տարբերությունըերկու արտահայտությունները հավասար են առաջին և երկրորդ արտահայտությունների տարբերության արտադրյալին այս արտահայտությունների գումարի թերի քառակուսու վրա:

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի կիրառում օրինակներ լուծելիս.

Օրինակ 1

Հաշվիր

ա) Օգտագործելով երկու արտահայտությունների գումարի քառակուսու բանաձևը, ունենք

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681 թ.

բ) Օգտագործելով երկու արտահայտությունների քառակուսի տարբերության բանաձևը, մենք ստանում ենք

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Օրինակ 2

Հաշվիր

Օգտագործելով երկու արտահայտությունների քառակուսիների տարբերության բանաձևը, մենք ստանում ենք

Օրինակ 3

Պարզեցնել արտահայտությունը

(x - y) 2 + (x + y) 2

Մենք օգտագործում ենք երկու արտահայտությունների գումարի քառակուսու և տարբերության քառակուսու բանաձևերը

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը մեկ աղյուսակում.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(ա - բ) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(ա + բ) 3 = ա 3 + 3 ա 2 բ + 3աբ 2 + բ 3
(ա - բ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Քառակուսիների տարբերություն

Մենք ստանում ենք $a^2-b^2$ քառակուսիների տարբերության բանաձևը:

Դա անելու համար հիշեք հետևյալ կանոնը.

Եթե ​​արտահայտությանը ավելացվի որևէ միանուն և հանվի նույն միանդամը, ապա մենք ստանում ենք ճիշտ նույնականությունը:

Ավելացնենք մեր արտահայտությանը և դրանից հանենք $ab$ միանդամը.

Ընդհանուր առմամբ, մենք ստանում ենք.

Այսինքն՝ երկու միանդամների քառակուսիների տարբերությունը հավասար է նրանց տարբերության և դրանց գումարի արտադրյալին։

Օրինակ 1

Արտահայտեք որպես $(4x)^2-y^2$-ի արտադրյալ

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\ձախ(2x-y\աջ)(2x+y)\]

Խորանարդների գումարը

Մենք ստանում ենք $a^3+b^3$ խորանարդների գումարի բանաձևը:

Եկեք փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնները.

Փակագծերից հանենք $\left(a+b\right)$.

Ընդհանուր առմամբ, մենք ստանում ենք.

Այսինքն՝ երկու միանդամների խորանարդների գումարը հավասար է նրանց գումարի արտադրյալին նրանց տարբերության ոչ լրիվ քառակուսու վրա։

Օրինակ 2

Արտահայտեք որպես արտադրանք $(8x)^3+y^3$

Այս արտահայտությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ ձևով.

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը, մենք ստանում ենք.

\[((2x))^3+y^3=\ձախ(2x+y\աջ)(4x^2-2xy+y^2)\]

Խորանարդների տարբերությունը

Մենք ստանում ենք $a^3-b^3$ խորանարդների տարբերության բանաձևը:

Դա անելու համար մենք կօգտագործենք նույն կանոնը, ինչպես վերը նշված է:

Ավելացնենք մեր արտահայտությանը և դրանից հանենք $a^2b\ և\ (ab)^2$ միանունները.

Եկեք փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնները.

Փակագծերից հանենք $\left(a-b\right)$.

Ընդհանուր առմամբ, մենք ստանում ենք.

Այսինքն՝ երկու միանդամների խորանարդների տարբերությունը հավասար է նրանց տարբերության արտադրյալին դրանց գումարի ոչ լրիվ քառակուսու վրա։

Օրինակ 3

Արտահայտեք որպես $(8x)^3-y^3$-ի արտադրյալ

Այս արտահայտությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ ձևով.

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը, մենք ստանում ենք.

\[((2x))^3-y^3=\ձախ(2x-y\աջ)(4x^2+2xy+y^2)\]

Քառակուսիների տարբերության և խորանարդների գումարի ու տարբերության բանաձևերի օգտագործման առաջադրանքների օրինակ

Օրինակ 4

Բազմապատկել.

ա) $((a+5))^2-9$

գ) $-x^3+\frac(1)(27)$

Լուծում:

ա) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Կիրառելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը՝ ստանում ենք.

\[((a+5))^2-3^2=\ձախ(a+5-3\աջ)\ձախ(a+5+3\աջ)=\ձախ(a+2\աջ)(a+8)\]

Այս արտահայտությունը գրենք ձևով.

Եկեք կիրառենք խորանարդի խորանարդի բանաձևը.

գ) $-x^3+\frac(1)(27)$

Այս արտահայտությունը գրենք ձևով.

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\ձախ(\frac(1)(3)\աջ))^3-x^3\]

Եկեք կիրառենք խորանարդի խորանարդի բանաձևը.

\[(\left(\frac(1)(3)\աջ))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)(9)+\frac(x)(3)+x^2\աջ)\]