Ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը: Թվաբանական առաջընթաց. Միասնական պետական ​​քննության և պետական ​​քննության դասագիրք. Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամը գտնելու բանաձևը

Ո՞րն է բանաձևի հիմնական էությունը:

Այս բանաձեւը թույլ է տալիս գտնել ցանկացած ԻՐ ՀԱՄԱՐՈՎ» n" .

Իհարկե, դուք նույնպես պետք է իմանաք առաջին տերմինը ա 1և առաջընթացի տարբերությունը դԴե, առանց այս պարամետրերի դուք չեք կարող գրել որոշակի առաջընթաց:

Այս բանաձևը անգիր անելը (կամ օրորելը) բավարար չէ: Դուք պետք է հասկանաք դրա էությունը և կիրառեք բանաձևը տարբեր խնդիրների մեջ. Ու նաև չմոռանալ ճիշտ պահին, այո...) Ինչպես մի մոռացեք-Չգիտեմ: Բայց ինչպես հիշելԵթե ​​պետք լինի, անպայման խորհուրդ կտամ։ Դասը մինչև վերջ ավարտողների համար։)

Այսպիսով, եկեք նայենք թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևին:

Ի՞նչ է բանաձևը ընդհանրապես: Ի դեպ, եթե չես կարդացել, նայիր։ Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. Մնում է պարզել, թե դա ինչ է n-րդ կիսամյակ.

Առաջընթացը ներս ընդհանուր տեսարանկարելի է գրել որպես թվերի շարք.

ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5, .....

ա 1- նշանակում է թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը, ա 3- երրորդ անդամ, ա 4- չորրորդը և այլն: Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է հինգերորդ ժամկետը, ասենք՝ աշխատում ենք ա 5, եթե հարյուր քսաներորդ - ս ա 120.

Ինչպե՞ս կարող ենք դա սահմանել ընդհանուր տերմիններով: ցանկացածթվաբանական առաջընթացի ժամկետ, հետ ցանկացածհամարը? Շատ պարզ! Այսպես.

a n

Սա այն է Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամը: n տառը թաքցնում է անդամի բոլոր համարները՝ 1, 2, 3, 4 և այլն։

Իսկ ի՞նչ է տալիս մեզ նման գրառումը։ Մտածեք, թվի փոխարեն նամակ են գրել...

Այս նշումը մեզ հզոր գործիք է տալիս թվաբանական առաջընթացի հետ աշխատելու համար: Օգտագործելով նշումը a n, մենք կարող ենք արագ գտնել ցանկացածանդամ ցանկացածթվաբանական առաջընթաց. Եվ լուծեք առաջընթացի մի շարք այլ խնդիրներ: Դուք ինքներդ կտեսնեք հետագան:

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևում.

a n = a 1 + (n-1)d

ա 1- թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը.

n- անդամի համարը.

Բանաձևը միացնում է ցանկացած առաջընթացի հիմնական պարամետրերը. a n ; ա 1; դԵվ n. Բոլոր առաջընթացի խնդիրները պտտվում են այս պարամետրերի շուրջ:

n-րդ տերմինի բանաձևը կարող է օգտագործվել նաև որոշակի առաջընթաց գրելու համար: Օրինակ, խնդիրը կարող է ասել, որ առաջընթացը նշված է պայմանով.

a n = 5 + (n-1) 2.

Նման խնդիրը կարող է փակուղի լինել... Ոչ շարք կա, ոչ էլ տարբերություն... Բայց, պայմանը բանաձեւի հետ համեմատելով, հեշտ է հասկանալ, որ այս պրոգրեսիայի մեջ. a 1 =5, և d=2:

Եվ դա կարող է ավելի վատ լինել:) Եթե վերցնենք նույն պայմանը. a n = 5 + (n-1) 2,Այո, բացեք փակագծերը և բերեք նմանները։ Մենք ստանում ենք նոր բանաձև.

a n = 3 + 2n:

Սա Պարզապես ոչ թե ընդհանուր, այլ կոնկրետ առաջընթացի համար: Ահա թե որտեղ է թաքնված որոգայթը: Ոմանք կարծում են, որ առաջին ժամկետը եռյակ է: Չնայած իրականում առաջին տերմինը հինգն է... Մի փոքր ավելի ցածր մենք կաշխատենք այսպիսի փոփոխված բանաձեւով։

Առաջընթացի խնդիրներում կա մեկ այլ նշում. a n+1. Սա, ինչպես դուք կռահեցիք, առաջընթացի «n գումարած առաջին» տերմինն է: Դրա իմաստը պարզ է և անվնաս:) Սա պրոգրեսիայի անդամ է, որի թիվը մեկով մեծ է n թվից: Օրինակ, եթե ինչ-որ խնդրի մեջ վերցնենք a nայնուհետև հինգերորդ ժամկետը a n+1կլինի վեցերորդ անդամը։ Եվ նման բաներ:

Ամենից հաճախ նշանակումը a n+1հայտնաբերվել է կրկնության բանաձեւերում: Մի վախեցեք այս սարսափելի բառից։) Սա պարզապես թվաբանական առաջընթացի անդամին արտահայտելու միջոց է։ նախորդի միջոցով:Ենթադրենք, մեզ տրված է թվաբանական առաջընթաց այս ձևով՝ օգտագործելով կրկնվող բանաձևը.

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Չորրորդը՝ երրորդի միջով, հինգերորդը՝ չորրորդով և այլն: Ինչպե՞ս կարող ենք անմիջապես հաշվել, ասենք, քսաներորդ ժամկետը։ ա 20? Բայց ոչ մի կերպ:) Քանի դեռ չենք պարզել 19-րդ ժամկետը, մենք չենք կարող հաշվել 20-րդը: Սա հիմնական տարբերությունն է կրկնվող բանաձևի և n-րդ անդամի բանաձևի միջև: Կրկնվող աշխատում է միայն միջոցով նախորդժամկետ, իսկ n-րդ անդամի բանաձևը անցնում է առաջինև թույլ է տալիս անմիջապեսԳտեք որևէ անդամ իր համարով: Առանց թվերի ամբողջ շարքը հերթականությամբ հաշվելու։

Թվաբանական առաջընթացի ժամանակ հեշտ է կրկնվող բանաձևը սովորական բանաձևի վերածել: Հաշվի՛ր մի զույգ հաջորդական անդամ, հաշվի՛ր տարբերությունը դ,անհրաժեշտության դեպքում գտնել առաջին տերմինը ա 1, բանաձևը գրիր սովորական ձևով և աշխատիր դրա հետ։ Նման առաջադրանքներ հաճախ են հանդիպում ԳԱԱ-ում։

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևի կիրառում.

Նախ, եկեք նայենք բանաձևի ուղղակի կիրառմանը: Նախորդ դասի վերջում խնդիր կար.

Տրված է թվաբանական պրոգրեսիա (a n): Գտե՛ք 121 թիվը, եթե a 1 =3 և d=1/6:

Այս խնդիրը կարող է լուծվել առանց որևէ բանաձևի, պարզապես հիմնվելով թվաբանական առաջընթացի իմաստի վրա: Ավելացնել ու ավելացնել... Մեկ-երկու ժամ։)

Իսկ բանաձեւի համաձայն լուծումը կտեւի մեկ րոպեից էլ քիչ։ Կարող եք ժամանակավորել։) Եկեք որոշենք։

Պայմանները ապահովում են բանաձևի օգտագործման բոլոր տվյալները. a 1 =3, d=1/6.Մնում է պարզել, թե ինչն է հավասար n.Հարց չկա։ Մենք պետք է գտնենք ա 121. Այսպիսով, մենք գրում ենք.

Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք. Ցուցանիշի փոխարեն nհայտնվեց կոնկրետ թիվ՝ 121։ Ինչը միանգամայն տրամաբանական է։) Մեզ հետաքրքրում է թվաբանական պրոգրեսիայի անդամը։ թիվ հարյուր քսանմեկ.Սա մերն է լինելու n.Սա է իմաստը n= 121 մենք կփոխարինենք բանաձևի մեջ՝ փակագծերում: Մենք բոլոր թվերը փոխարինում ենք բանաձևով և հաշվարկում.

ա 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

վերջ։ Նույնքան արագ կարելի էր գտնել հինգ հարյուր տասներորդ տերմինը, իսկ հազար երրորդը՝ ցանկացած մեկը։ Մենք դրա փոխարեն դրեցինք nցանկալի թիվը տառի ինդեքսում » ա"և փակագծերում, և մենք հաշվում ենք.

Հիշեցնեմ կետը՝ այս բանաձեւը թույլ է տալիս գտնել ցանկացածթվաբանական առաջընթացի տերմին ԻՐ ՀԱՄԱՐՈՎ» n" .

Եկեք ավելի խորամանկ ձեւով լուծենք խնդիրը։ Եկեք հանդիպենք հետևյալ խնդրին.

Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը (a n), եթե a 17 =-2; դ=-0,5.

Եթե ​​որևէ դժվարություն ունեք, ես ձեզ կասեմ առաջին քայլը։ Գրի՛ր թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը։Այո, այո։ Ձեռքերով գրեք հենց ձեր նոթատետրում.

a n = a 1 + (n-1)d

Իսկ հիմա, նայելով բանաձևի տառերին, հասկանում ենք, թե ինչ տվյալներ ունենք և ի՞նչն է պակասում։ Հասանելի է d=-0.5,կա տասնյոթերորդ անդամ... Արդյո՞ք դա է: Եթե ​​կարծում եք, որ դա այդպես է, ապա խնդիրը չեք լուծի, այո…

Մենք դեռ թիվ ունենք n! Վիճակով ա 17 =-2թաքնված երկու պարամետր.Սա և՛ տասնյոթերորդ անդամի արժեքն է (-2), և՛ նրա համարը (17): Նրանք. n=17.Այս «մանրուքը» հաճախ սահում է գլխի կողքով, և առանց դրա (առանց «մանրուքների», ոչ թե գլխի) խնդիրը հնարավոր չէ լուծել։ Չնայած... ու առանց գլխի էլ։)

Այժմ մենք կարող ենք պարզապես հիմարաբար փոխարինել մեր տվյալները բանաձևով.

a 17 = a 1 + (17-1) · (-0.5)

Օ, այո, ա 17մենք գիտենք, որ դա -2 է: Լավ, եկեք փոխարինենք.

-2 = a 1 + (17-1) · (-0.5)

Դա հիմնականում բոլորն է: Մնում է բանաձևից արտահայտել թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը և հաշվարկել այն։ Պատասխանը կլինի. ա 1 = 6.

Այս տեխնիկան՝ բանաձև գրելը և պարզապես հայտնի տվյալները փոխարինելը, մեծ օգնություն է պարզ առաջադրանքների համար: Դե, իհարկե, դուք պետք է կարողանաք բանաձևից փոփոխական արտահայտել, բայց ի՞նչ անել: Առանց այս հմտության մաթեմատիկան կարող է ընդհանրապես չուսումնասիրվել...

Մեկ այլ հայտնի հանելուկ.

Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը (a n), եթե a 1 =2; ա 15 = 12.

Ի՞նչ ենք մենք անում։ Դուք կզարմանաք, մենք գրում ենք բանաձեւը!)

a n = a 1 + (n-1)d

Դիտարկենք այն, ինչ գիտենք. ա 1 = 2; ա 15 = 12; և (հատկապես ընդգծեմ!) n=15. Ազատորեն փոխարինեք սա բանաձևով.

12=2 + (15-1)դ

Մենք կատարում ենք թվաբանություն)

12=2 + 14դ

դ=10/14 = 5/7

Սա ճիշտ պատասխանն է։

Այսպիսով, առաջադրանքները a n, a 1Եվ դորոշեց. Մնում է միայն սովորել, թե ինչպես գտնել համարը.

99 թիվը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է (a n), որտեղ a 1 =12; d=3. Գտեք այս անդամի համարը:

Մենք մեզ հայտնի մեծությունները փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևով.

a n = 12 + (n-1) 3

Առաջին հայացքից այստեղ երկու անհայտ քանակություն կա. a n և n.Բայց a n- սա թվով առաջընթացի ինչ-որ անդամ է n...Եվ մենք գիտենք պրոգրեսիայի այս անդամին։ 99-ն է։ Մենք չգիտենք դրա թիվը։ n,Այսպիսով, այս թիվը այն է, ինչ դուք պետք է գտնեք: Մենք 99-րդ առաջընթացի տերմինը փոխարինում ենք բանաձևով.

99 = 12 + (n-1) 3

Մենք արտահայտում ենք բանաձևից n, կարծում ենք. Մենք ստանում ենք պատասխանը. n=30.

Եվ հիմա խնդիր նույն թեմայով, բայց ավելի կրեատիվ):

Որոշեք, թե արդյոք 117 թիվը թվաբանական առաջընթացի անդամ է (a n).

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Եկեք նորից գրենք բանաձեւը. Ինչ է, պարամետրեր չկա՞ն։ Հմ... Ինչո՞ւ են մեզ աչք տալիս) պրոգրեսիայի առաջին տերմինը տեսնու՞մ ենք։ Մենք տեսնում ենք. Սա -3,6 է: Դուք կարող եք ապահով գրել. ա 1 = -3,6.Տարբերություն դԿարո՞ղ եք ասել սերիալից: Հեշտ է, եթե գիտեք, թե որն է թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը.

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Այսպիսով, մենք արեցինք ամենապարզ բանը. Մնում է զբաղվել անհայտ թվով nիսկ անհասկանալի թիվը՝ 117. Նախորդ խնդրի մեջ գոնե հայտնի էր, որ տրված էր պրոգրեսիայի ժամկետը։ Բայց այստեղ մենք նույնիսկ չգիտենք ... Ի՞նչ անել: Դե ինչ անել, ինչ անել... Միացրու ստեղծագործականություն!)

Մենք ենթադրենքոր 117-ը, ի վերջո, մեր առաջընթացի անդամն է։ Անհայտ համարով n. Եվ, ինչպես նախորդ խնդրի դեպքում, փորձենք գտնել այս թիվը։ Նրանք. մենք գրում ենք բանաձևը (այո, այո!)) և փոխարինում ենք մեր թվերը.

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Նորից արտահայտում ենք բանաձևիցn, հաշվում ենք և ստանում.

Վա՜յ Թիվը պարզվեց կոտորակային!Հարյուրմեկ ու կես։ Եվ կոտորակային թվերը առաջընթացներում չի լինում.Ի՞նչ եզրակացություն կարող ենք անել։ Այո՛։ Թիվ 117 չէմեր առաջընթացի անդամ։ Այն գտնվում է հարյուր և առաջին և հարյուր և երկրորդ ժամկետների միջև: Եթե ​​թիվը բնական է ստացվել, այսինքն. դրական ամբողջ թիվ է, ապա թիվը կլինի հայտնաբերված թվով առաջընթացի անդամ: Իսկ մեր դեպքում խնդրի պատասխանը կլինի. Ոչ

Առաջադրանքի վրա հիմնված իրական տարբերակ GIA:

Թվաբանական առաջընթացտրված պայմանով.

a n = -4 + 6.8n

Գտե՛ք առաջընթացի առաջին և տասներորդ անդամները:

Այստեղ առաջընթացը դրված է անսովոր ձևով։ Ինչ-որ բանաձև... Պատահում է։) Այնուամենայնիվ, այս բանաձևը (ինչպես գրել եմ վերևում) - նաև թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը։Նա նաև թույլ է տալիս գտեք առաջընթացի որևէ անդամ իր թվով:

Մենք փնտրում ենք առաջին անդամին։ Նա, ով մտածում է. որ առաջին տերմինը մինուս չորս է, դա չարաչար սխալվում է։) Որովհետև խնդրի բանաձևը փոփոխված է։ Դրանում թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը թաքնված.Ոչինչ, մենք հիմա կգտնենք:)

Ինչպես նախորդ խնդիրներում, մենք փոխարինում ենք n=1այս բանաձևի մեջ.

ա 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Այստեղ! Առաջին անդամը 2.8 է, ոչ թե -4:

Մենք փնտրում ենք տասներորդ տերմինը նույն կերպ.

ա 10 = -4 + 6,8 10 = 64

վերջ։

Եվ հիմա, նրանց համար, ովքեր կարդացել են այս տողերը, խոստացված բոնուսը:)

Ենթադրենք, պետական ​​քննության կամ միասնական պետական ​​քննության մարտական ​​բարդ իրավիճակում մոռացել եք թվաբանական առաջընթացի n-րդ կիսամյակի օգտակար բանաձեւը։ Ինչ-որ բան հիշում եմ, բայց ինչ-որ կերպ անորոշ... Կամ nայնտեղ, կամ n+1 կամ n-1...Ինչպես լինել!?

Հանգիստ. Այս բանաձևը հեշտ է ստանալ. Ոչ շատ խիստ, բայց վստահության համար և ճիշտ որոշումմիանշանակ բավական է։) Եզրակացություն անելու համար բավական է հիշել թվաբանական առաջընթացի տարրական նշանակությունը և մի քանի րոպե ժամանակ ունենալ։ Պարզապես պետք է նկարել: Պարզության համար.

Գծե՛ք թվային գիծ և դրա վրա նշե՛ք առաջինը։ երկրորդ, երրորդ և այլն: անդամներ։ Եվ մենք նշում ենք տարբերությունը դանդամների միջև։ Այսպես.

Մենք նայում ենք նկարին և մտածում. ինչի՞ է հավասար երկրորդ անդամը: Երկրորդ մեկ դ:

ա 2 =a 1 + 1 դ

Ո՞րն է երրորդ ժամկետը: Երրորդժամկետը հավասար է առաջին կիսամյակի գումարածին երկու դ.

ա 3 =a 1 + 2 դ

Դուք հասկանու՞մ եք: Իզուր չէ, որ որոշ բառեր առանձնացնում եմ թավով. Լավ, ևս մեկ քայլ):

Ո՞րն է չորրորդ ժամկետը: Չորրորդժամկետը հավասար է առաջին կիսամյակի գումարածին երեք դ.

ա 4 =a 1 + 3 դ

Ժամանակն է գիտակցել, որ բացթողումների քանակը, այսինքն. դ, Միշտ մեկով պակաս ձեր փնտրած անդամի թվից n. Այսինքն՝ թվին n, բացատների քանակըկամք n-1.Հետևաբար, բանաձևը կլինի (առանց տատանումների).

a n = a 1 + (n-1)d

Ընդհանուր առմամբ, տեսողական նկարները շատ օգտակար են մաթեմատիկայի բազմաթիվ խնդիրների լուծման համար: Մի անտեսեք նկարները. Բայց եթե դժվար է նկար նկարել, ապա… միայն բանաձև:) Բացի այդ, n-րդ տերմինի բանաձևը թույլ է տալիս միացնել մաթեմատիկայի ողջ հզոր զինանոցը լուծմանը՝ հավասարումներ, անհավասարություններ, համակարգեր և այլն: Դուք չեք կարող նկար տեղադրել հավասարման մեջ...

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Տաքանալու համար.

1. Թվաբանական առաջընթացում (a n) a 2 =3; ա 5 = 5.1. Գտեք 3.

Հուշում՝ ըստ նկարի, խնդիրը լուծվում է 20 վայրկյանում... Ըստ բանաձեւի՝ ավելի բարդ է ստացվում. Բայց բանաձևը յուրացնելու համար այն ավելի օգտակար է։) 555-րդ բաժնում այս խնդիրը լուծվում է՝ օգտագործելով և՛ նկարը, և՛ բանաձևը։ Զգա տարբերությունը!)

Եվ սա այլևս տաքացում չէ։)

2. Թվաբանական առաջընթացում (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. Գտեք 3-ը:

Ինչ է, դուք չեք ցանկանում նկարել:) Իհարկե: Ավելի լավ է ըստ բանաձևի՝ այո...

3. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով.ա 1 = -5,5; a n+1 = a n +0.5. Գտե՛ք այս առաջընթացի հարյուր քսանհինգերորդ անդամը:

Այս առաջադրանքում առաջընթացը նշվում է պարբերական եղանակով: Բայց հաշվելով մինչև հարյուր քսանհինգերորդ անդամը... Ոչ բոլորն են ընդունակ նման սխրանքի։) Բայց n-րդ անդամի բանաձևը բոլորի ուժերի սահմաններում է։

4. Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Գտե՛ք առաջընթացի ամենափոքր դրական անդամի թիվը:

5. 4-րդ առաջադրանքի պայմանների համաձայն գտի՛ր առաջընթացի ամենափոքր դրական և ամենամեծ բացասական անդամների գումարը։

6. Աճող թվաբանական պրոգրեսիայի հինգերորդ և տասներկուերորդ անդամների արտադրյալը -2,5 է, իսկ երրորդ և տասնմեկերորդ անդամների գումարը՝ զրո։ Գտեք 14-ը:

Ամենահեշտ առաջադրանքը չէ, այո...) «մատնահետքի» մեթոդն այստեղ չի աշխատի: Դուք ստիպված կլինեք գրել բանաձևեր և լուծել հավասարումներ:

Պատասխաններ (խառնաշփոթ).

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Արդյո՞ք դա աշխատեց: Հաճելի է!)

Ամեն ինչ չի ստացվում? Պատահում է. Ի դեպ, վերջին առաջադրանքում կա մեկ նուրբ կետ. Խնդիրը կարդալիս ուշադրություն կպահանջվի: Եվ տրամաբանություն.

Այս բոլոր խնդիրների լուծումը մանրամասնորեն քննարկվում է 555-րդ բաժնում: Եվ չորրորդի համար ֆանտազիայի տարրը, վեցերորդի համար նուրբ կետը, և n-րդ տերմինի բանաձևով պարունակվող ցանկացած խնդրի լուծման ընդհանուր մոտեցումները. ամեն ինչ նկարագրված է: խորհուրդ եմ տալիս:

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Թվաբանական առաջընթացը թվերի մի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ նույնքանով մեծ է (կամ փոքր), քան նախորդը։

Այս թեման հաճախ բարդ և անհասկանալի է թվում: Տառերի ինդեքսները, առաջընթացի n-րդ անդամը, առաջընթացի տարբերությունը - այս ամենը ինչ-որ տեղ շփոթեցնող է, այո... Եկեք պարզենք թվաբանական առաջընթացի իմաստը և ամեն ինչ անմիջապես կլավանա:)

Թվաբանական առաջընթացի հայեցակարգը.

Թվաբանական առաջընթացը շատ պարզ և հստակ հասկացություն է։ Դուք կասկածներ ունե՞ք։ Իզուր։) Ինքներդ տես։

Ես կգրեմ թվերի անավարտ շարք.

1, 2, 3, 4, 5, ...

Կարող եք երկարացնել այս շարքը: Ո՞ր թվերն են լինելու հաջորդ՝ հինգից հետո։ Բոլորը... ըհը..., մի խոսքով, բոլորը կհասկանան, որ հաջորդը լինելու են 6, 7, 8, 9 և այլն թվերը։

Եկեք բարդացնենք խնդիրը. Ես ձեզ տալիս եմ թվերի անավարտ շարք.

2, 5, 8, 11, 14, ...

Դուք կկարողանաք որսալ օրինակը, երկարացնել շարքը և անվանել յոթերորդշարքի համարը?

Եթե ​​հասկացաք, որ այս թիվը 20 է, շնորհավորում ենք։ Ոչ միայն դուք զգացիք թվաբանական առաջընթացի հիմնական կետերը,բայց նաև հաջողությամբ օգտագործեց դրանք բիզնեսում: Եթե ​​չեք հասկացել, կարդացեք:

Այժմ եկեք թարգմանենք հիմնական կետերը սենսացիաներից մաթեմատիկայի:

Առաջին առանցքային կետը.

Թվաբանական առաջընթացը վերաբերում է թվերի շարքին:Սա սկզբում շփոթեցնող է: Մենք սովոր ենք հավասարումներ լուծելու, գրաֆիկներ նկարելու և այդ ամենին... Բայց այստեղ մենք երկարացնում ենք շարքը, գտնում շարքի թիվը...

Դա լավ է: Պարզապես առաջընթացները մաթեմատիկայի նոր ճյուղի հետ առաջին ծանոթությունն են: Բաժինը կոչվում է «Սերիա» և աշխատում է հատուկ թվերի և արտահայտությունների հետ: Ընտելացեք դրան։)

Երկրորդ առանցքային կետը.

Թվաբանական առաջընթացում ցանկացած թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։

Առաջին օրինակում այս տարբերությունը մեկն է. Ինչ թիվ էլ վերցնես, նախորդից մեկով ավելի է։ Երկրորդում `երեք: Ցանկացած թիվ երեքով ավելի է նախորդից։ Փաստորեն, հենց այս պահն է մեզ հնարավորություն ըմբռնելու օրինաչափությունը և հաշվարկելու հաջորդ թվերը։

Երրորդ առանցքային կետը.

Այս պահը աչքի չի ընկնում, այո... Բայց շատ, շատ կարևոր է։ Ահա այն. Յուրաքանչյուր պրոգրեսիայի թիվ իր տեղում է:Կա առաջին համարը, կա յոթերորդը, կա քառասունհինգերորդը և այլն: Եթե ​​դրանք պատահականորեն խառնեք, օրինակը կվերանա: Թվաբանական առաջընթացը նույնպես կվերանա: Մնում է ընդամենը թվերի շարք:

Ամբողջ իմաստը դա է:

Իհարկե, մեջ նոր թեմահայտնվում են նոր տերմիններ և նշանակումներ։ Դուք պետք է իմանաք նրանց: Հակառակ դեպքում դուք չեք հասկանա առաջադրանքը: Օրինակ, դուք պետք է որոշեք նման բան.

Գրեք թվաբանական առաջընթացի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:

Ոգեշնչող?) Նամակներ, որոշ ցուցիչներ... Իսկ առաջադրանքն, ի դեպ, ավելի պարզ լինել չէր կարող։ Պարզապես պետք է հասկանալ տերմինների և նշանակումների իմաստը: Այժմ մենք կյուրացնենք այս գործը և կվերադառնանք առաջադրանքին։

Պայմաններ և նշանակումներ.

Թվաբանական առաջընթացթվերի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։

Այս քանակությունը կոչվում է . Եկեք նայենք այս հայեցակարգին ավելի մանրամասն:

Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունայն գումարն է, որով ցանկացած առաջընթացի թիվ ավելիննախորդը.

Մեկը կարևոր կետ. Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք բառին «ավելին».Մաթեմատիկորեն սա նշանակում է, որ առաջընթացի յուրաքանչյուր թիվ է ավելացնելովթվաբանական առաջընթացի տարբերությունը նախորդ թվին:

Հաշվարկելու համար ասենք երկրորդշարքի համարները, դուք պետք է առաջինհամարը ավելացնելթվաբանական պրոգրեսիայի հենց այս տարբերությունը: Հաշվարկի համար հինգերորդ- տարբերությունն անհրաժեշտ է ավելացնելԴեպի չորրորդ,լավ և այլն:

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունԿարող է լինել դրական,ապա շարքի յուրաքանչյուր թիվ իրական կդառնա ավելի շատ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է աճող։Օրինակ՝

8; 13; 18; 23; 28; .....

Այստեղ ստացվում է յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելովդրական թիվ՝ +5 նախորդին։

Տարբերությունը կարող է լինել բացասական,ապա շարքի յուրաքանչյուր թիվ կլինի ավելի քիչ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է (չեք հավատա!) նվազում է։

Օրինակ՝

8; 3; -2; -7; -12; .....

Այստեղ նույնպես ստացվում է յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելովնախորդին, բայց արդեն բացասական թիվ՝ -5։

Ի դեպ, պրոգրեսիայի հետ աշխատելիս շատ օգտակար է անմիջապես որոշել դրա բնույթը` ավելանում է, թե նվազում: Սա մեծապես օգնում է կողմնորոշվել որոշման մեջ, նկատել ձեր սխալները և ուղղել դրանք, քանի դեռ ուշ չէ:

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունսովորաբար նշվում է տառով դ.

Ինչպես գտնել դ? Շատ պարզ. Շարքի ցանկացած թվից անհրաժեշտ է հանել նախորդհամարը։ հանել. Ի դեպ, հանման արդյունքը կոչվում է «տարբերություն»):

Եկեք սահմանենք, օրինակ. դթվաբանական առաջընթացի ավելացման համար.

2, 5, 8, 11, 14, ...

Վերցնում ենք մեր ուզած շարքի ցանկացած թիվ, օրինակ՝ 11։ Դրանից հանում ենք նախորդ համարըդրանք. 8:

Սա ճիշտ պատասխանն է։ Այս թվաբանական առաջընթացի համար տարբերությունը երեք է:

Դուք կարող եք վերցնել այն առաջընթացի ցանկացած թիվ,քանի որ կոնկրետ առաջընթացի համար դ-միշտ նույնը.Գոնե ինչ-որ տեղ շարքի սկզբում, թեկուզ մեջտեղում, թեկուզ ցանկացած տեղ։ Դուք չեք կարող վերցնել միայն առաջին համարը: Պարզապես այն պատճառով, որ հենց առաջին համարը ոչ մի նախորդ.)

Ի դեպ, դա իմանալով d=3, այս առաջընթացի յոթերորդ թիվը գտնելը շատ պարզ է: Հինգերորդ թվին գումարենք 3 - ստանում ենք վեցերորդը, կլինի 17։ Վեցերորդ թվին գումարենք երեք, ստանում ենք յոթերորդ թիվը՝ քսան։

Եկեք սահմանենք դնվազող թվաբանական առաջընթացի համար.

8; 3; -2; -7; -12; .....

Հիշեցնում եմ, որ, անկախ նշաններից, որոշել դանհրաժեշտ է ցանկացած համարից խլել նախորդը.Ընտրեք առաջընթացի ցանկացած թիվ, օրինակ -7: Նրա նախորդ թիվը -2 է։ Ապա.

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը կարող է լինել ցանկացած թիվ՝ ամբողջ թիվ, կոտորակային, իռացիոնալ, ցանկացած թիվ։

Այլ տերմիններ և նշանակումներ:

Շարքի յուրաքանչյուր թիվ կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ։

Առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ ունի իր համարը.Թվերը խիստ կարգավորված են՝ առանց որևէ հնարքների։ Առաջին, երկրորդ, երրորդ, չորրորդ և այլն: Օրինակ՝ 2, 5, 8, 11, 14, ... երկուսը առաջին անդամն է, հինգը՝ երկրորդը, տասնմեկը՝ չորրորդը, լավ, հասկանում եք...) Խնդրում եմ հստակ հասկացեք. թվերն իրենք ենկարող է լինել բացարձակապես ցանկացած, ամբողջ, կոտորակային, բացասական, ինչ էլ որ լինի, բայց թվերի համարակալում- խիստ կարգով:

Ինչպե՞ս գրել առաջընթաց ընդհանուր ձևով: Հարց չկա։ Շարքի յուրաքանչյուր թիվ գրվում է որպես տառ: Թվաբանական առաջընթացը նշելու համար սովորաբար օգտագործվում է տառը ա. Անդամի համարը նշվում է ներքևի աջ մասում գտնվող ինդեքսով: Մենք գրում ենք տերմիններ՝ բաժանված ստորակետերով (կամ ստորակետերով), այսպես.

ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5, .....

ա 1- սա առաջին համարն է, ա 3- երրորդ և այլն: Ոչ մի շքեղ բան: Այս շարքը կարելի է հակիրճ գրել այսպես. (a n).

Առաջընթացներ են լինում վերջավոր և անսահման.

Վերջնականառաջընթացն ունի սահմանափակ թվով անդամներ: Հինգ, երեսունութ, ինչ էլ որ լինի: Բայց դա վերջավոր թիվ է:

Անսահմանառաջընթաց - ունի անսահման թվով անդամներ, ինչպես կարող եք կռահել:)

Դուք կարող եք գրել վերջնական առաջընթացը նման շարքի միջոցով, բոլոր տերմինները և վերջում մի կետ.

ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5:

Կամ այսպես, եթե անդամները շատ են.

a 1, a 2, ... a 14, a 15:

Կարճ մուտքագրում դուք պետք է լրացուցիչ նշեք անդամների թիվը: Օրինակ (քսան անդամների համար), այսպես.

(a n), n = 20

Անսահման առաջընթացը կարելի է ճանաչել տողի վերջում գտնվող էլիպսիսով, ինչպես այս դասի օրինակներում:

Այժմ դուք կարող եք լուծել առաջադրանքները: Առաջադրանքները պարզ են՝ զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար։

Թվաբանական առաջընթացի առաջադրանքների օրինակներ.

Եկեք մանրամասն նայենք վերը տրված առաջադրանքին.

1. Դուրս գրիր թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:

Մենք առաջադրանքը թարգմանում ենք հասկանալի լեզվով: Տրված է անվերջ թվաբանական պրոգրեսիա։ Այս առաջընթացի երկրորդ թիվը հայտնի է. ա 2 = 5.Առաջընթացի տարբերությունը հայտնի է. դ = -2,5:Մենք պետք է գտնենք այս առաջընթացի առաջին, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ և վեցերորդ անդամները:

Պարզության համար գրեմ մի շարք՝ ըստ խնդրի պայմանների։ Առաջին վեց ժամկետները, որտեղ երկրորդ անդամը հինգն է.

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,...

ա 3 = ա 2 + դ

Փոխարինել արտահայտության մեջ ա 2 = 5Եվ դ = -2,5. Մի մոռացեք մինուսի մասին:

ա 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Երրորդ ժամկետը երկրորդից քիչ է ստացվել։ Ամեն ինչ տրամաբանական է. Եթե ​​թիվը մեծ է նախորդից բացասականարժեքը, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին պակաս կլինի նախորդից: Առաջընթացը նվազում է. Լավ, եկեք հաշվի առնենք:) Մենք հաշվում ենք մեր շարքի չորրորդ անդամը.

ա 4 = ա 3 + դ

ա 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ա 5 = ա 4 + դ

ա 5=0+(-2,5)= - 2,5

ա 6 = ա 5 + դ

ա 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Այսպիսով, հաշվարկվել են երրորդից վեցերորդ ժամկետները։ Արդյունքը հետևյալ շարքն է.

ա 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Մնում է գտնել առաջին տերմինը ա 1ըստ հայտնի երկրորդի. Սա քայլ է մյուս ուղղությամբ՝ դեպի ձախ։) Այսպիսով՝ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը դչպետք է ավելացվի ա 2, Ա խլել:

ա 1 = ա 2 - դ

ա 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

վերջ։ Առաջադրանքի պատասխան.

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Ընդ որում, ուզում եմ նշել, որ մենք լուծել ենք այս խնդիրը կրկնվողճանապարհ. Այս սարսափելի բառը նշանակում է միայն պրոգրեսիայի անդամի որոնում ըստ նախորդ (կից) թվի.Ստորև մենք կքննարկենք առաջընթացի հետ աշխատելու այլ եղանակներ:

Այս պարզ առաջադրանքից կարելի է մեկ կարևոր եզրակացություն անել.

Հիշեք.

Եթե ​​մենք գիտենք առնվազն մեկ անդամ և թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, մենք կարող ենք գտնել այս առաջընթացի ցանկացած անդամ:

Հիշու՞մ ես։ Այս պարզ եզրակացությունը թույլ է տալիս լուծել խնդիրների մեծ մասը դպրոցական դասընթացայս թեմայով։ Բոլոր առաջադրանքները պտտվում են շուրջը երեք հիմնականպարամետրեր: թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ, առաջընթացի տարբերություն, պրոգրեսիայի անդամի թիվ։Բոլորը.

Իհարկե, բոլոր նախորդ հանրահաշիվները չեղյալ չեն հայտարարվում:) Անհավասարությունները, հավասարումները և այլ բաներ կցվում են պրոգրեսիային: Բայց ըստ ինքնին առաջընթացի- ամեն ինչ պտտվում է երեք պարամետրի շուրջ.

Որպես օրինակ, եկեք նայենք այս թեմայի վերաբերյալ հայտնի առաջադրանքներին:

2. Վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիան գրի՛ր շարքով, եթե n=5, d = 0,4 և a 1 = 3,6։

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Ամեն ինչ արդեն տրված է։ Դուք պետք է հիշեք, թե ինչպես են հաշվում թվաբանական առաջընթացի անդամները, հաշվեք դրանք և գրեք դրանք: Առաջադրանքի պայմաններում խորհուրդ է տրվում բաց չթողնել բառերը՝ «վերջնական» և « n=5«Որպեսզի չհաշվես, քանի դեռ դեմքդ ամբողջովին կապտած ես:) Այս առաջընթացում ընդամենը 5 (հինգ) անդամ կա.

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

ա 4 = ա 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

ա 5 = ա 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Մնում է գրել պատասխանը.

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Մեկ այլ խնդիր.

3. Որոշեք, թե արդյոք 7 թիվը կլինի թվաբանական առաջընթացի անդամ (a n), եթե. ա 1 = 4,1; d = 1.2:

Հմմ... Ո՞վ գիտի: Ինչպե՞ս որոշել ինչ-որ բան:

Ո՞նց-ինչպե՞ս... Շարքի տեսքով գրի՛ր պրոգրեսիան ու տես՝ այնտեղ յոթ կլինի՞, թե՞ ոչ։ Մենք հաշվում ենք.

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

ա 4 = ա 3 + դ = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Հիմա պարզ երեւում է, որ մենք ընդամենը յոթն ենք սայթաքել է 6.5-ի և 7.7-ի միջև: Յոթը չի մտնում մեր թվերի շարքի մեջ, և, հետևաբար, յոթը չի լինի տվյալ առաջընթացի անդամ։

Պատասխան՝ ոչ։

Եվ ահա GIA-ի իրական տարբերակի վրա հիմնված խնդիր.

4. Թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.

...; 15; X; 9; 6; ...

Ահա մի շարք գրված առանց վերջի և սկզբի. Անդամների թվեր չկան, տարբերություն չկա դ. Դա լավ է: Խնդիրը լուծելու համար բավական է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի իմաստը։ Եկեք նայենք և տեսնենք, թե ինչ է հնարավոր իմանալայս շարքից? Որո՞նք են երեք հիմնական պարամետրերը:

Անդամների համարներ? Այստեղ ոչ մի թիվ չկա։

Բայց կան երեք թվեր և ուշադրություն: - խոսք «հետևողական»վիճակում։ Սա նշանակում է, որ թվերը խիստ կարգավորված են, առանց բացերի։ Այս շարքում երկուսը կա՞ն: հարեւանհայտնի թվեր? Այո, ես ունեմ: Սրանք 9 և 6 են: Հետևաբար, մենք կարող ենք հաշվարկել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը: Վեցից հանել նախորդհամարը, այսինքն. ինը:

Մնացել են ընդամենը մանրուքներ։ Ո՞ր թիվը կլինի X-ի նախորդը: Տասնհինգ. Սա նշանակում է, որ X-ը կարելի է հեշտությամբ գտնել պարզ գումարման միջոցով: Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացրեք 15-ի.

վերջ։ Պատասխան. x=12

Մենք ինքներս ենք լուծում հետևյալ խնդիրները. Նշում. այս խնդիրները հիմնված չեն բանաձևերի վրա: Զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար:) Մենք պարզապես գրում ենք թվերի և տառերի շարք, նայում և պարզում ենք այն:

5. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին դրական անդամը, եթե a 5 = -3; d = 1.1.

6. Հայտնի է, որ 5.5 թիվը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է (a n), որտեղ a 1 = 1.6; d = 1.3. Որոշե՛ք այս անդամի n թիվը։

7. Հայտնի է, որ թվաբանական առաջընթացում a 2 = 4; ա 5 = 15,1: Գտեք 3.

8. Թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.

...; 15.6; X; 3.4; ...

Գտե՛ք x տառով նշված առաջընթացի տերմինը:

9. Գնացքը սկսեց շարժվել կայարանից՝ միատեսակ արագությունը րոպեում 30 մետրով ավելացնելով։ Որքա՞ն կլինի գնացքի արագությունը հինգ րոպեում: Տվեք ձեր պատասխանը կմ/ժամով:

10. Հայտնի է, որ թվաբանական պրոգրեսիայում a 2 = 5; ա 6 = -5. Գտեք 1-ը.

Պատասխաններ (խառնաշփոթ)՝ 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Ամեն ինչ ստացվե՞ց։ Զարմանալի! Դուք կարող եք տիրապետել թվաբանական առաջընթացին ավելին բարձր մակարդակ, հաջորդ դասերում։

Ամեն ինչ չստացվեց? Խնդիր չկա։ Հատուկ 555 բաժնում այս բոլոր խնդիրները մաս առ մաս բաժանվում են:) Եվ, իհարկե, պարզ. գործնական տեխնիկա, որն անմիջապես ընդգծում է նման խնդիրների լուծումը պարզ, հստակ, մի հայացքով:

Ի դեպ, գնացքի գլուխկոտրուկում կա երկու խնդիր, որոնց վրա մարդիկ հաճախ են սայթաքում. Մեկը զուտ առաջընթացի առումով է, իսկ երկրորդը ընդհանուր է մաթեմատիկայի, և ֆիզիկայի ցանկացած խնդիրների համար: Սա չափերի թարգմանությունն է մեկից մյուսը: Դա ցույց է տալիս, թե ինչպես պետք է լուծվեն այդ խնդիրները։

Այս դասում մենք դիտարկեցինք թվաբանական առաջընթացի տարրական նշանակությունը և դրա հիմնական պարամետրերը: Սա բավական է այս թեմայի շուրջ գրեթե բոլոր խնդիրները լուծելու համար։ Ավելացնել դթվերին, շարք գրեք, ամեն ինչ կլուծվի։

Մատների լուծումը լավ է աշխատում շարքի շատ կարճ կտորների համար, ինչպես այս դասի օրինակներում: Եթե ​​շարքն ավելի երկար է, ապա հաշվարկներն ավելի են բարդանում։ Օրինակ, եթե հարցի 9-րդ խնդիրում փոխարինենք «հինգ րոպե»վրա «երեսունհինգ րոպե»խնդիրը զգալիորեն կվատթարանա։)

Եվ կան նաև առաջադրանքներ, որոնք ըստ էության պարզ են, բայց աբսուրդային՝ հաշվարկների առումով, օրինակ.

Տրված է թվաբանական պրոգրեսիա (a n): Գտե՛ք 121 թիվը, եթե a 1 =3 և d=1/6:

Ուրեմն ի՞նչ, մի՞թե մենք շատ ու շատ անգամ ենք ավելացնելու 1/6-ը։ Դուք կարող եք սպանել ինքներդ!

Դուք կարող եք:) Եթե չգիտեք պարզ բանաձեւ, որը թույլ է տալիս մեկ րոպեում լուծել նման առաջադրանքները։ Այս բանաձևը կլինի հաջորդ դասին։ Եվ այդ խնդիրը լուծված է այնտեղ։ Մի րոպեում։)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Շատերը լսել են թվաբանական առաջընթացի մասին, բայց ոչ բոլորն են լավ պատկերացնում, թե դա ինչ է: Այս հոդվածում մենք կտանք համապատասխան սահմանումը, ինչպես նաև կքննարկենք այն հարցը, թե ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը և կտանք մի շարք օրինակներ:

Մաթեմատիկական սահմանում

Այսպիսով, եթե մենք խոսում ենքթվաբանական կամ հանրահաշվական առաջընթացի մասին (այս հասկացությունները սահմանում են նույն բանը), ապա սա նշանակում է, որ կա որոշ թվերի շարք, որը բավարարում է հետևյալ օրենքը՝ շարքի յուրաքանչյուր երկու հարակից թվերը տարբերվում են նույն արժեքով։ Մաթեմատիկորեն այսպես է գրված.

Այստեղ n-ը նշանակում է a n տարրի թիվը հաջորդականության մեջ, իսկ d թիվը՝ առաջընթացի տարբերությունը (նրա անունը բխում է ներկայացված բանաձեւից)։

Ի՞նչ է նշանակում իմանալ d-ի տարբերությունը: Այն մասին, թե որքանով են «հեռու» հարևան թվերը միմյանցից: Այնուամենայնիվ, դ-ի իմացությունը անհրաժեշտ, բայց ոչ բավարար պայման է ամբողջ պրոգրեսիան որոշելու (վերականգնելու) համար։ Դուք պետք է իմանաք ևս մեկ թիվ, որը կարող է լինել տվյալ շարքի բացարձակապես ցանկացած տարր, օրինակ՝ 4, a10, բայց, որպես կանոն, նրանք օգտագործում են առաջին թիվը, այսինքն՝ 1:

Առաջընթացի տարրերի որոշման բանաձևեր

Ընդհանուր առմամբ, վերը նշված տեղեկատվությունն արդեն բավական է կոնկրետ խնդիրների լուծմանն անցնելու համար։ Այնուամենայնիվ, մինչ թվաբանական առաջընթացը տրվի, և անհրաժեշտ կլինի գտնել դրա տարբերությունը, մենք կներկայացնենք մի քանի օգտակար բանաձևեր՝ դրանով իսկ հեշտացնելով խնդիրների լուծման հետագա գործընթացը։

Հեշտ է ցույց տալ, որ n թվով հաջորդականության ցանկացած տարր կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

a n = a 1 + (n - 1) * դ

Իրոք, յուրաքանչյուր ոք կարող է ստուգել այս բանաձևը պարզ որոնման միջոցով. եթե փոխարինում եք n = 1, ապա ստանում եք առաջին տարրը, եթե փոխարինում եք n = 2, ապա արտահայտությունը տալիս է առաջին թվի և տարբերության գումարը և այլն:

Բազմաթիվ խնդիրների պայմանները կազմված են այնպես, որ հաշվի առնելով թվերի հայտնի զույգը, որոնց թվերը նույնպես տրված են հաջորդականությամբ, անհրաժեշտ է վերակառուցել ամբողջ թվային շարքը (գտնել տարբերությունը և առաջին տարրը): Այժմ մենք այս խնդիրը կլուծենք ընդհանուր տեսքով։

Այսպիսով, թող տրվի n և m թվերով երկու տարր։ Օգտագործելով վերը ստացված բանաձևը, կարող եք ստեղծել երկու հավասարումների համակարգ.

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * դ

Անհայտ մեծություններ գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հայտնիը պարզ հնարքՆման համակարգի լուծումները՝ զույգերով հանեք ձախ և աջ կողմերը, հավասարությունը կմնա վավեր: Մենք ունենք.

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Այսպիսով, մենք բացառել ենք մեկ անհայտ (a 1): Այժմ մենք կարող ենք գրել վերջնական արտահայտությունը d-ի որոշման համար.

d = (a n - a m) / (n - m), որտեղ n > m

Մենք ստացանք շատ պարզ բանաձև՝ խնդրի պայմաններին համապատասխան d տարբերությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է միայն վերցնել իրենց տարրերի և դրանց սերիական համարների միջև եղած տարբերությունների հարաբերակցությունը։ Պետք է ուշադրություն դարձնել մեկ կարևոր կետի վրա. տարբերությունները վերցված են «ավագ» և «կրտսեր» անդամների միջև, այսինքն՝ n > m («ավագ» նշանակում է հաջորդականության սկզբից ավելի հեռու կանգնած, դրա բացարձակ արժեքը կարող է լինել կամ ավելի կամ պակաս ավելի «կրտսեր» տարր):

Տարբերության d առաջընթացի արտահայտությունը պետք է փոխարինվի խնդրի լուծման սկզբում որևէ հավասարումով՝ առաջին անդամի արժեքը ստանալու համար:

Մեր զարգացման դարում համակարգչային տեխնիկաԴպրոցականներից շատերը փորձում են իրենց առաջադրանքների համար լուծումներ գտնել ինտերնետում, ուստի հաճախ նման հարցեր են առաջանում՝ գտնել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը առցանց: Նման խնդրանքի համար որոնիչը կվերադարձնի մի շարք վեբ էջեր, որտեղ գնալով պետք է մուտքագրեք պայմանից հայտնի տվյալները (սա կարող է լինել առաջընթացի երկու տերմին, կամ դրանց որոշակի քանակի գումարը ) և անմիջապես ստացեք պատասխան: Այնուամենայնիվ, խնդրի լուծման այս մոտեցումը անարդյունավետ է աշակերտի զարգացման և իրեն հանձնարարված առաջադրանքի էությունը հասկանալու առումով:

Լուծում առանց բանաձևերի օգտագործման

Եկեք լուծենք առաջին խնդիրը՝ չօգտագործելով տրված բանաձևերից որևէ մեկը։ Տրված լինեն շարքի տարրերը՝ a6 = 3, a9 = 18։ Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը։

Հայտնի տարրերը անընդմեջ կանգնած են միմյանց մոտ: Քանի՞ անգամ պետք է d տարբերությունը գումարել ամենափոքրին՝ ամենամեծը ստանալու համար: Երեք անգամ (առաջին անգամ ավելացնելով d, ստանում ենք 7-րդ տարրը, երկրորդ անգամ՝ ութերորդը, վերջապես, երրորդ անգամը՝ իններորդը)։ Ո՞ր թվին պետք է երեք անգամ գումարել 18-ը ստանալու համար: Սա հինգ թիվն է։ Իրոք.

Այսպիսով, անհայտ տարբերությունը d = 5:

Իհարկե, լուծումը կարող էր իրականացվել համապատասխան բանաձեւով, բայց դա միտումնավոր չի արվել։ Մանրամասն բացատրությունԽնդրի լուծումը պետք է դառնա պարզ և վառ օրինակ, թե ինչ է թվաբանական առաջընթացը:

Առաջադրանք, որը նման է նախորդին

Հիմա եկեք լուծենք նմանատիպ խնդիր, բայց փոխենք մուտքային տվյալները։ Այսպիսով, դուք պետք է գտնեք, եթե a3 = 2, a9 = 19:

Իհարկե, դուք կարող եք կրկին դիմել «գլխավոր» լուծման մեթոդին: Բայց քանի որ տրված են շարքի տարրերը, որոնք համեմատաբար հեռու են միմյանցից, այս մեթոդը լիովին հարմար չի լինի։ Բայց արդյունքում ստացված բանաձևի օգտագործումը մեզ արագ կհանգեցնի պատասխանին.

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

Այստեղ մենք կլորացրել ենք վերջնական թիվը։ Թե որքանով է այս կլորացումը հանգեցրել սխալի, կարելի է դատել՝ ստուգելով արդյունքը.

ա 9 = ա 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Այս արդյունքը տարբերվում է պայմանում նշված արժեքից ընդամենը 0,1%-ով: Հետևաբար, կլորացումը, որն օգտագործվում է մինչև հարյուրերորդական, կարելի է հաջող ընտրություն համարել:

An տերմինի բանաձևի կիրառման հետ կապված խնդիրներ

Եկեք դիտարկենք դասական օրինակ d-ն անհայտը որոշելու առաջադրանքներ. գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, եթե a1 = 12, a5 = 40:

Երբ տրված են անհայտ հանրահաշվական հաջորդականության երկու թվեր, և դրանցից մեկը a 1 տարրն է, ապա երկար մտածելու կարիք չկա, այլ անմիջապես պետք է կիրառել a n անդամի բանաձևը։ Այս դեպքում մենք ունենք.

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Մենք ստացել ենք ճշգրիտ թիվը բաժանելիս, ուստի իմաստ չունի ստուգել հաշվարկված արդյունքի ճշգրտությունը, ինչպես արվեց նախորդ պարբերությունում։

Լուծենք նմանատիպ մեկ այլ խնդիր՝ մենք պետք է գտնենք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը, եթե a1 = 16, a8 = 37:

Մենք օգտագործում ենք նախորդի նման մոտեցում և ստանում ենք.

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Էլ ի՞նչ պետք է իմանաք թվաբանական առաջընթացի մասին:

Ի հավելումն անհայտ տարբերություն գտնելու խնդիրների կամ առանձին տարրեր, հաճախ անհրաժեշտ է լուծել հաջորդականության առաջին անդամների գումարի խնդիրներ։ Այս խնդիրների քննարկումը դուրս է հոդվածի շրջանակներից, այնուամենայնիվ, տեղեկատվության ամբողջականության համար մենք ներկայացնում ենք n թվերի գումարի ընդհանուր բանաձևը մի շարքում.

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Թվային հաջորդականության հասկացությունը ենթադրում է, որ յուրաքանչյուր բնական թիվ համապատասխանում է իրական արժեքի: Նման թվերի շարքը կարող է լինել կամ կամայական կամ ունենալ որոշակի հատկություններ- առաջընթաց. Վերջին դեպքում, հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը (անդամը) կարող է հաշվարկվել նախորդի միջոցով:

Թվաբանական առաջընթացը թվային արժեքների հաջորդականություն է, որում նրա հարևան տերմինները տարբերվում են միմյանցից նույն համարը(շարքի բոլոր տարրերը, սկսած 2-րդից, ունեն նմանատիպ հատկություն): Այս թիվը– նախորդ և հաջորդ անդամների տարբերությունը հաստատուն է և կոչվում է պրոգրեսիայի տարբերություն։

Առաջընթացի տարբերություն. սահմանում

Դիտարկենք j արժեքներից բաղկացած հաջորդականություն՝ A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j պատկանում է բազմությանը: բնական թվեր N. Թվաբանական առաջընթացը, ըստ իր սահմանման, այն հաջորդականությունն է, որտեղ a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) ) – ա(ջ-1) = դ. d արժեքը այս առաջընթացի ցանկալի տարբերությունն է:

d = a(j) – a(j-1).

Ընդգծում.

• Աճող պրոգրեսիա, որի դեպքում d > 0: Օրինակ՝ 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Նվազող պրոգրեսիա, ապա դ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Տարբերության առաջընթացը և դրա կամայական տարրերը

Եթե ​​հայտնի են առաջընթացի 2 կամայական անդամ (i-րդ, k-րդ), ապա տվյալ հաջորդականության տարբերությունը կարող է որոշվել՝ հիմնվելով հարաբերությունների վրա.

a(i) = a(k) + (i – k)*d, որը նշանակում է d = (a(i) – a(k))/(i-k):

Առաջընթացի տարբերությունը և դրա առաջին տերմինը

Այս արտահայտությունը կօգնի որոշել անհայտ արժեքը միայն այն դեպքերում, երբ հայտնի է հաջորդականության տարրի թիվը:

Պրոգրեսիայի տարբերությունը և դրա գումարը

Պրոգրեսիայի գումարը նրա անդամների գումարն է: Նրա առաջին j տարրերի ընդհանուր արժեքը հաշվարկելու համար օգտագործեք համապատասխան բանաձևը.

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, բայց քանի որ a(j) = a(1) + d(j – 1), ապա S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Երբ ուսումնասիրում են հանրահաշիվը միջնակարգ դպրոց(9-րդ դասարան) կարեւոր թեմաներից է ուսումնառությունը թվերի հաջորդականություններ, որոնք ներառում են առաջընթացներ՝ երկրաչափական և թվաբանական։ Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք թվաբանական առաջընթացին և լուծումներով օրինակներին:

Ի՞նչ է թվաբանական առաջընթացը:

Սա հասկանալու համար անհրաժեշտ է սահմանել խնդրո առարկա առաջընթացը, ինչպես նաև տրամադրել հիմնական բանաձևերը, որոնք հետագայում կօգտագործվեն խնդիրների լուծման ժամանակ:

Թվաբանական կամ հանրահաշվական առաջընթացը դասավորված ռացիոնալ թվերի ամբողջություն է, որոնց յուրաքանչյուր անդամ տարբերվում է նախորդից որոշակի հաստատուն արժեքով։ Այս արժեքը կոչվում է տարբերություն: Այսինքն, իմանալով պատվիրված թվերի շարքի ցանկացած անդամի և տարբերությունը, դուք կարող եք վերականգնել ամբողջ թվաբանական առաջընթացը:

Օրինակ բերենք. Թվերի հետևյալ հաջորդականությունը կլինի թվաբանական առաջընթաց՝ 4, 8, 12, 16, ..., քանի որ տարբերությունն այս դեպքում 4 է (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12): Բայց 3, 5, 8, 12, 17 թվերի բազմությունը այլևս չի կարող վերագրվել դիտարկվող առաջընթացի տեսակին, քանի որ դրա տարբերությունը չէ. հաստատուն արժեք (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Կարևոր բանաձևեր

Այժմ ներկայացնենք այն հիմնական բանաձևերը, որոնք անհրաժեշտ կլինեն թվաբանական առաջընթացի միջոցով խնդիրներ լուծելու համար։ a n նշանով նշանակենք հաջորդականության n-րդ անդամը, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է։ Մենք նշում ենք տարբերությունը Լատինական տառդ. Այնուհետև վավեր են հետևյալ արտահայտությունները.

1. n-րդ անդամի արժեքը որոշելու համար հարմար է հետևյալ բանաձևը՝ a n = (n-1)*d+a 1:
2. Առաջին n անդամների գումարը որոշելու համար՝ S n = (a n +a 1)*n/2:

9-րդ դասարանի լուծումներով թվաբանական առաջընթացի օրինակները հասկանալու համար բավական է հիշել այս երկու բանաձևերը, քանի որ քննարկվող տիպի ցանկացած խնդիր հիմնված է դրանց օգտագործման վրա։ Պետք է նաև հիշել, որ առաջընթացի տարբերությունը որոշվում է բանաձևով. d = a n - a n-1:

Օրինակ #1. գտնել անհայտ անդամ

Բերենք թվաբանական առաջընթացի պարզ օրինակ և այն լուծելու համար անհրաժեշտ բանաձևերը:

Թող տրվի 10, 8, 6, 4, ... հաջորդականությունը, դրա մեջ պետք է գտնել հինգ անդամ:

Խնդրի պայմաններից արդեն իսկ հետևում է, որ առաջին 4 տերմինները հայտնի են։ Հինգերորդը կարելի է սահմանել երկու ձևով.

1. Եկեք նախ հաշվարկենք տարբերությունը. Մենք ունենք՝ d = 8 - 10 = -2: Նմանապես, կարելի է ընդունել ցանկացած երկու այլ տերմին, մոտակայքում կանգնածմիմյանց հետ։ Օրինակ, d = 4 - 6 = -2: Քանի որ հայտնի է, որ d = a n - a n-1, ապա d = a 5 - a 4, որից ստանում ենք՝ a 5 = a 4 + d: Եկեք փոխարինենք հայտնի արժեքներ a 5 = 4 + (-2) = 2:
2. Երկրորդ մեթոդը նաև պահանջում է խնդրո առարկա առաջընթացի տարբերության իմացություն, ուստի նախ անհրաժեշտ է որոշել այն, ինչպես ցույց է տրված վերևում (d = -2): Իմանալով, որ առաջին անդամը a 1 = 10, մենք օգտագործում ենք հաջորդականության n թվի բանաձևը: Մենք ունենք՝ a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n: Փոխարինելով n = 5-ը վերջին արտահայտության մեջ՝ մենք ստանում ենք՝ a 5 = 12-2 * 5 = 2:

Ինչպես տեսնում եք, երկու լուծումներն էլ հանգեցրին նույն արդյունքին։ Նկատի ունեցեք, որ այս օրինակում առաջընթացի տարբերությունը d բացասական արժեք է: Նման հաջորդականությունները կոչվում են նվազող, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը փոքր է նախորդից:

Օրինակ #2. առաջընթացի տարբերություն

Հիմա եկեք մի փոքր բարդացնենք առաջադրանքը, եկեք օրինակ բերենք, թե ինչպես

Հայտնի է, որ ոմանց մոտ 1-ին անդամը հավասար է 6-ի, իսկ 7-րդ անդամը հավասար է 18-ի։ Անհրաժեշտ է գտնել տարբերությունը և վերականգնել այս հաջորդականությունը 7-րդ անդամի։

Անհայտ տերմինը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը՝ a n = (n - 1) * d + a 1 : Պայմանից հայտնի տվյալները փոխարինենք դրա մեջ, այսինքն՝ a 1 և a 7 թվերը, ունենք՝ 18 = 6 + 6 * d. Այս արտահայտությունից հեշտությամբ կարող եք հաշվարկել տարբերությունը. d = (18 - 6) /6 = 2: Այսպիսով, մենք պատասխանել ենք խնդրի առաջին մասին:

Հերթականությունը 7-րդ անդամին վերականգնելու համար պետք է օգտագործել հանրահաշվական պրոգրեսիայի սահմանումը, այսինքն՝ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d և այլն։ Արդյունքում մենք վերականգնում ենք ամբողջ հաջորդականությունը՝ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18:

Օրինակ թիվ 3. պրոգրեսիա կազմելը

Խնդիրն էլ ավելի բարդացնենք։ Այժմ մենք պետք է պատասխանենք այն հարցին, թե ինչպես գտնել թվաբանական պրոգրեսիա: Կարելի է բերել հետևյալ օրինակը. տրված է երկու թիվ, օրինակ՝ 4 և 5։ Անհրաժեշտ է ստեղծել հանրահաշվական պրոգրեսիա, որպեսզի դրանց միջև դրվեն ևս երեք անդամ։

Նախքան այս խնդրի լուծումը սկսելը, պետք է հասկանալ, թե տվյալ թվերը ինչ տեղ են գրավելու ապագա առաջընթացում։ Քանի որ նրանց միջև կլինեն ևս երեք տերմիններ, ապա 1 = -4 և 5 = 5: Սա հաստատելով, մենք անցնում ենք խնդրին, որը նման է նախորդին: Կրկին, n-րդ անդամի համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը, մենք ստանում ենք. a 5 = a 1 + 4 * d: Սկսած՝ d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25: Այն, ինչ մենք այստեղ ստացանք, տարբերության ամբողջ արժեք չէ, այլ ռացիոնալ թիվ է, ուստի հանրահաշվական առաջընթացի բանաձևերը մնում են նույնը:

Հիմա եկեք ավելացնենք գտնված տարբերությունը 1-ին և վերականգնենք առաջընթացի բացակայող պայմանները: Մենք ստանում ենք՝ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, որը համընկնում է խնդրի պայմաններով։

Օրինակ թիվ 4. առաջընթացի առաջին ժամկետը

Շարունակենք բերել թվաբանական առաջընթացի օրինակներ՝ լուծումներով։ Նախորդ բոլոր խնդիրներում հայտնի էր հանրահաշվական պրոգրեսիայի առաջին թիվը։ Հիմա եկեք դիտարկենք այլ տեսակի խնդիր. թող տրվի երկու թիվ, որտեղ 15 = 50 և 43 = 37: Պետք է գտնել, թե որ թվով է սկսվում այս հաջորդականությունը:

Մինչ այժմ օգտագործված բանաձևերը ենթադրում են 1-ի և դ-ի իմացություն: Խնդրի հայտարարության մեջ այս թվերի մասին ոչինչ հայտնի չէ։ Այնուամենայնիվ, մենք կգրենք արտահայտություններ յուրաքանչյուր տերմինի համար, թե որ տեղեկատվությունն առկա է. a 15 = a 1 + 14 * d և a 43 = a 1 + 42 * d: Մենք ստացանք երկու հավասարումներ, որոնցում կան 2 անհայտ մեծություններ (a 1 և d): Սա նշանակում է, որ խնդիրը կրճատվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծման վրա:

Այս համակարգը լուծելու ամենահեշտ ձևը յուրաքանչյուր հավասարման մեջ 1 արտահայտելն է, իսկ հետո ստացված արտահայտությունները համեմատելը: Առաջին հավասարումը. a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; երկրորդ հավասարումը. a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Հավասարեցնելով այս արտահայտությունները՝ ստանում ենք՝ 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, որտեղից էլ տարբերությունը d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (տրված է ընդամենը 3 տասնորդական տեղ)։

Իմանալով d-ն, դուք կարող եք օգտագործել վերը նշված 2 արտահայտություններից որևէ մեկը 1-ի համար: Օրինակ, նախ՝ a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496:

Ստացված արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ ունենալու դեպքում կարող եք ստուգել այն, օրինակ՝ որոշել պրոգրեսիայի 43-րդ տերմինը, որը նշված է պայմանում։ Մենք ստանում ենք՝ a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008: Փոքր սխալը պայմանավորված է նրանով, որ հաշվարկներում օգտագործվել է կլորացում մինչև հազարերորդական:

Օրինակ թիվ 5՝ գումար

Այժմ նայենք մի քանի օրինակների՝ թվաբանական առաջընթացի գումարի լուծումներով:

Թող տրվի հետևյալ ձևի թվային առաջընթացը՝ 1, 2, 3, 4, ...,: Ինչպե՞ս հաշվարկել այս թվերից 100-ի գումարը:

Համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ հնարավոր է լուծել այս խնդիրը, այսինքն՝ հաջորդաբար գումարել բոլոր թվերը, որոնք համակարգիչդա կանի հենց որ անձը սեղմի Enter ստեղնը: Այնուամենայնիվ, խնդիրը կարող է լուծվել մտովի, եթե ուշադրություն դարձնեք, որ թվերի ներկայացված շարքը հանրահաշվական պրոգրեսիա է, և դրա տարբերությունը հավասար է 1-ի: Կիրառելով գումարի բանաձևը, մենք ստանում ենք S n = n * (a 1 + ա ն) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050:

Հետաքրքիր է նշել, որ այս խնդիրը կոչվում է «գաուսյան», քանի որ ներս վաղ XVIIIդարում հայտնի գերմանացին, դեռ ընդամենը 10 տարեկանում, մի քանի վայրկյանում կարողացավ լուծել այն իր գլխում։ Տղան չգիտեր հանրահաշվական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը, բայց նա նկատեց, որ եթե հաջորդականության ծայրերում թվերը գումարեք զույգերով, ապա միշտ ստանում եք նույն արդյունքը, այսինքն՝ 1 + 100 = 2 + 99։ = 3 + 98 = ..., և քանի որ այդ գումարները կլինեն ուղիղ 50 (100 / 2), ապա ճիշտ պատասխան ստանալու համար բավական է 50-ը բազմապատկել 101-ով:

Օրինակ թիվ 6. n-ից մինչև m տերմինների գումարը

Թվաբանական առաջընթացի գումարի մեկ այլ տիպիկ օրինակ հետևյալն է՝ տրված թվերի շարքը՝ 3, 7, 11, 15, ..., դուք պետք է գտնեք, թե ինչի է հավասար դրա 8-ից 14 անդամների գումարը։ .

Խնդիրը լուծվում է երկու ճանապարհով. Դրանցից առաջինը ներառում է 8-ից 14-ը անհայտ տերմիններ գտնելը, այնուհետև հաջորդաբար գումարելը: Քանի որ տերմինները քիչ են, այս մեթոդը այնքան էլ աշխատատար չէ: Այնուամենայնիվ, առաջարկվում է լուծել այս խնդիրը երկրորդ մեթոդով, որն ավելի ունիվերսալ է։

Գաղափարն է ստանալ բանաձև m և n տերմինների միջև հանրահաշվական առաջընթացի գումարի համար, որտեղ n > m ամբողջ թվեր են: Երկու դեպքում էլ գումարի համար գրում ենք երկու արտահայտություն.

1. S m = m * (a m + a 1) / 2:
2. S n = n * (a n + a 1) / 2:

Քանի որ n > m, ակնհայտ է, որ 2-րդ գումարը ներառում է առաջինը։ Վերջին եզրակացությունը նշանակում է, որ եթե վերցնենք այս գումարների տարբերությունը և դրան գումարենք a m տերմինը (տարբերությունը վերցնելու դեպքում այն ​​հանվում է S n գումարից), ապա կստանանք խնդրի անհրաժեշտ պատասխանը։ Մենք ունենք՝ S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2): Այս արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է փոխարինել a-ի և a-ի բանաձևերը: Այնուհետև մենք ստանում ենք՝ S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2:

Ստացված բանաձևը որոշ չափով դժվար է, սակայն S mn գումարը կախված է միայն n, m, a 1 և d-ից: Մեր դեպքում a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8: Փոխարինելով այս թվերը, մենք ստանում ենք S mn = 301:

Ինչպես երևում է վերը նշված լուծումներից, բոլոր խնդիրները հիմնված են n-րդ անդամի արտահայտության և առաջին անդամների բազմության գումարի բանաձևի իմացության վրա: Նախքան այս խնդիրներից որևէ մեկի լուծումը սկսելը, խորհուրդ է տրվում ուշադիր կարդալ պայմանը, հստակ հասկանալ, թե ինչ է պետք գտնել, և միայն դրանից հետո շարունակել լուծումը:

Մեկ այլ հուշում է ձգտել պարզության, այսինքն, եթե դուք կարող եք պատասխանել հարցին առանց բարդ մաթեմատիկական հաշվարկներ օգտագործելու, ապա ձեզ հարկավոր է դա անել, քանի որ այս դեպքում սխալվելու հավանականությունն ավելի քիչ է: Օրինակ, թիվ 6 լուծումով թվաբանական առաջընթացի օրինակում կարելի էր կանգ առնել S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m բանաձևի վրա և. ընդմիջում ընդհանուր առաջադրանքառանձին ենթաառաջադրանքների մեջ (այս դեպքում նախ գտե՛ք a n և a m տերմինները):

Ստացված արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ ունենալու դեպքում խորհուրդ է տրվում ստուգել այն, ինչպես արվել է բերված որոշ օրինակներում։ Մենք պարզեցինք, թե ինչպես կարելի է գտնել թվաբանական առաջընթաց: Եթե ​​պարզես, դա այնքան էլ դժվար չէ: