Ինչպես գտնել ապոտեմ կանոնավոր քառանկյուն բուրգում: Բուրգի ապոթեմ. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի ապոտեմի բանաձևեր. Տեսեք, թե ինչ է «ապոթեմը» այլ բառարաններում

Բուրգը տարածական պոլիէդրոն է կամ պոլիէդրոն, որը տեղի է ունենում ներսում երկրաչափական խնդիրներՕ՜ Այս գործչի հիմնական հատկությունները նրա ծավալն ու մակերեսն են, որոնք հաշվարկվում են նրա ցանկացած երկու գծային բնութագրերի իմացությունից: Այդ բնութագրիչներից մեկը բուրգի ապոտեմն է։ Նրա մասին մենք կխոսենքհոդվածում։

Բուրգի գործիչ

Մինչև բուրգի ապոտեմի սահմանումը տալը, եկեք ծանոթանանք բուն պատկերին։ Բուրգը բազմանկյուն է, որը ձևավորվում է մեկ n-անկյունային հիմքով և n եռանկյունով, որոնք կազմում են կողային մակերեսթվեր.

Յուրաքանչյուր բուրգ ունի գագաթ՝ բոլոր եռանկյունների միացման կետը: Այս գագաթից դեպի հիմքը գծված ուղղահայացը կոչվում է բարձրություն։ Եթե ​​բարձրությունը հատում է հիմքը երկրաչափական կենտրոնում, ապա պատկերը կոչվում է ուղիղ գիծ: Հավասարակողմ հիմքով ուղիղ բուրգը կոչվում է կանոնավոր: Նկարում պատկերված է վեցանկյուն հիմքով բուրգ՝ դիտված կողմերից և եզրերից։

Կանոնավոր բուրգի ապոտեմ

Այն նաև կոչվում է ապոթեմ։ Այն հասկացվում է որպես ուղղահայաց, որը գծված է բուրգի գագաթից դեպի նկարի հիմքի կողմը: Իր սահմանմամբ այս ուղղահայացը համապատասխանում է եռանկյան բարձրությանը, որը կազմում է բուրգի կողային երեսը։

Քանի որ մենք դիտարկում ենք n-անկյունային հիմքով կանոնավոր բուրգ, ապա դրա համար բոլոր n ապոտեմները նույնն են լինելու, քանի որ սրանք նկարի կողային մակերեսի հավասարաչափ եռանկյուններն են: Նկատի ունեցեք, որ նույնական ապոտեմները սեփականություն են կանոնավոր բուրգ. Ֆիգուրի համար ընդհանուր տեսակ(անկանոն n-անկյունով թեք) բոլոր n ապոտեմները տարբեր կլինեն:

Կանոնավոր բուրգի ապոտեմի մեկ այլ հատկություն այն է, որ այն միաժամանակ համապատասխան եռանկյան բարձրությունն է, միջնագիծը և կիսորդը: Սա նշանակում է, որ այն բաժանում է երկու նույնական ուղղանկյուն եռանկյունների։

և դրա ապոտեմը որոշելու բանաձևերը

Ցանկացած կանոնավոր բուրգում կարևոր գծային բնութագրերն են նրա հիմքի կողմի երկարությունը, կողային եզրը b, բարձրությունը h և h b ապոտեմը: Այս մեծությունները միմյանց հետ կապված են համապատասխան բանաձեւերով, որոնք կարելի է ստանալ՝ բուրգ գծելով եւ հաշվի առնելով անհրաժեշտ ուղղանկյուն եռանկյունները։

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգը բաղկացած է 4 եռանկյուն երեսից, և դրանցից մեկը (հիմքը) պետք է լինի հավասարակողմ։ Մնացածները ընդհանուր դեպքում հավասարաչափ են։ Ապաթեմ եռանկյուն բուրգկարելի է որոշել այլ քանակներով՝ օգտագործելով հետևյալ բանաձևերը.

h b = √(b 2 - a 2 /4);

h b = √(a 2 /12 + h 2)

Այս արտահայտություններից առաջինը ճիշտ է ցանկացած կանոնավոր հիմք ունեցող բուրգի համար: Երկրորդ արտահայտությունը բնորոշ է բացառապես եռանկյունաձև բուրգի համար։ Դա ցույց է տալիս, որ ապոտեմը միշտ է ավելի շատ բարձրությունթվեր.

Բուրգի ապոտեմը չպետք է շփոթել բազմանիստի հետ: Վերջին դեպքում, ապոտեմը ուղղահայաց հատված է, որը գծված է պոլիէդրոնի կողքին նրա կենտրոնից: Օրինակ՝ ապոտեմ հավասարակողմ եռանկյունհավասար է √3/6*a-ի:

Ապոթեմի հաշվարկման խնդիր

Եկեք մեզ տրվի կանոնավոր բուրգ, որի հիմքում եռանկյուն է: Անհրաժեշտ է հաշվարկել դրա ապոտեմը, եթե հայտնի է, որ այս եռանկյան մակերեսը 34 սմ 2 է, իսկ բուրգն ինքնին բաղկացած է 4 նույնական դեմքերից։

Խնդրի պայմաններին համապատասխան՝ գործ ունենք հավասարակողմ եռանկյուններից կազմված քառանիստի հետ։ Մեկ դեմքի տարածքի բանաձևը հետևյալն է.

Որտեղի՞ց ենք ստանում a կողմի երկարությունը.

h b ապոտեմը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձև, որը պարունակում է կողային b եզր: Քննարկվող դեպքում դրա երկարությունը հավասար է հիմքի երկարությանը, ունենք.

h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a

Փոխարինելով a-ի արժեքը S-ով, մենք ստանում ենք վերջնական բանաձևը.

h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

Մենք ստացանք պարզ բանաձեւ, որում բուրգի ապոտեմը կախված է միայն նրա հիմքի մակերեսից։ Եթե ​​խնդրի պայմաններից փոխարինենք S-ի արժեքը, ապա կստանանք պատասխան՝ h b ≈ 7,674 սմ։

Այստեղ դուք կարող եք գտնել հիմնական տեղեկություններ բուրգերի և հարակից բանաձևերի և հասկացությունների մասին: Բոլորն էլ սովորում են մաթեմատիկայի կրկնուսույցի մոտ՝ նախապատրաստվելով միասնական պետական ​​քննությանը։

Դիտարկենք հարթություն, բազմանկյուն , դրա մեջ պառկած և մի կետ S, ոչ պառկած դրա մեջ: Միացնենք S-ը բազմանկյան բոլոր գագաթներին։ Ստացված բազմանիստը կոչվում է բուրգ: Հատվածները կոչվում են կողային կողիկներ: Բազմանկյունը կոչվում է հիմք, իսկ S կետը բուրգի գագաթն է։ Կախված n թվից՝ բուրգը կոչվում է եռանկյուն (n=3), քառանկյուն (n=4), հնգանկյուն (n=5) և այլն։ Եռանկյուն բուրգի այլընտրանքային անվանումն է քառաեդրոն. Բուրգի բարձրությունը նրա գագաթից դեպի հիմքի հարթությունն իջնող ուղղահայացն է։

Բուրգը կոչվում է կանոնավոր եթե կանոնավոր բազմանկյուն, իսկ բուրգի բարձրության հիմքը (ուղղահայաց հիմքը) նրա կենտրոնն է։

Ուսուցչի մեկնաբանությունը:
Մի շփոթեք «կանոնավոր բուրգ» և «կանոնավոր քառաեդրոն» հասկացությունները: Կանոնավոր բուրգում կողային եզրերը պարտադիր չէ, որ հավասար լինեն հիմքի եզրերին, սակայն կանոնավոր քառանիստում բոլոր 6 եզրերը հավասար են։ Սա նրա սահմանումն է։ Հեշտ է ապացուցել, որ հավասարությունը ենթադրում է, որ բազմանկյան P կենտրոնը համընկնում է հիմքի բարձրությամբ, ուստի կանոնավոր քառաեդրոնը կանոնավոր բուրգ է։

Ի՞նչ է ապոտեմը:
Բուրգի ապոտեմը նրա կողային երեսի բարձրությունն է: Եթե ​​բուրգը կանոնավոր է, ապա նրա բոլոր ապոտեմները հավասար են։ Հակառակը ճիշտ չէ։

Մաթեմատիկայի դասախոսը իր տերմինաբանության մասին. բուրգերի հետ աշխատանքի 80%-ը կառուցված է երկու տեսակի եռանկյունների միջոցով.
1) ՍԿ ապոտեմ և ՍՊ բարձրություն պարունակող
2) պարունակող կողային եզրը SA և դրա պրոյեկցիոն ՊԱ

Այս եռանկյունների հղումները պարզեցնելու համար մաթեմատիկայի դասավանդողի համար ավելի հարմար է զանգահարել դրանցից առաջինը. ապոթեմիկ, և երկրորդը ծովափնյա. Ցավոք, դասագրքերից ոչ մեկում չեք գտնի այս տերմինաբանությունը, և ուսուցիչը ստիպված է այն միակողմանի ներմուծել:

Բուրգի ծավալի բանաձև:
1) , որտեղ է բուրգի հիմքի մակերեսը և բուրգի բարձրությունն է
2) որտեղ է ներգծված ոլորտի շառավիղը և բուրգի ընդհանուր մակերեսի մակերեսն է:
3) , որտեղ MN-ը ցանկացած երկու հատվող եզրերի միջև հեռավորությունն է, և այն զուգահեռագծի տարածքն է, որը ձևավորվում է մնացած չորս եզրերի միջնակետերով:

Բուրգի բարձրության հիմքի հատկությունը.

P կետը (տես նկարը) համընկնում է բուրգի հիմքում գտնվող ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, եթե բավարարված է հետևյալ պայմաններից մեկը.
1) Բոլոր ապոթեմները հավասար են
2) Բոլոր կողային երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր ապոտեմները հավասարապես հակված են դեպի բուրգի բարձրությունը
4) Բուրգի բարձրությունը հավասարապես թեքված է բոլոր կողային երեսներին

Մաթեմատիկայի դասախոսի մեկնաբանությունըԽնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բոլոր կետերն ունեն մեկ ընդհանուր բան ընդհանուր սեփականությունԱյսպես թե այնպես, ամենուր կողային դեմքերը ներգրավված են (ապոթեմները դրանց տարրերն են): Հետևաբար, դասավանդողը կարող է առաջարկել ավելի քիչ ճշգրիտ, բայց սովորելու համար ավելի հարմար ձևակերպում. P կետը համընկնում է ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, բուրգի հիմքի հետ, եթե դրա կողային երեսների մասին որևէ հավասար տեղեկատվություն կա: Դա ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ բոլոր ապոտեմ եռանկյունները հավասար են։

P կետը համընկնում է բուրգի հիմքի մոտ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, եթե ճիշտ է երեք պայմաններից մեկը.
1) Բոլոր կողային եզրերը հավասար են
2) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի բարձրությունը

Երկրաչափության խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար դուք պետք է հստակ հասկանաք այն տերմինները, որոնք օգտագործում է այս գիտությունը: Օրինակ, սրանք են «ուղիղ», «հարթություն», «բազմաթև», «բուրգ» և շատ ուրիշներ: Այս հոդվածում մենք կպատասխանենք այն հարցին, թե ինչ է ապոթեմը:

«Ապոթեմ» տերմինի կրկնակի օգտագործում.

Երկրաչափության մեջ «ապոթեմա» կամ «ապոթեմա» բառի իմաստը, ինչպես նաև կոչվում է, կախված է այն առարկայից, որի վրա այն կիրառվում է։ Հիմնականում երկուսն են տարբեր դասերթվեր, որոնցում դա նրանց բնութագրիչներից մեկն է:

Առաջին հերթին դրանք հարթ բազմանկյուններ են: Ի՞նչ է բազմանկյունի ապոտեմը: Սա պատկերի երկրաչափական կենտրոնից մինչև նրա ցանկացած կողմ քաշված բարձրությունն է:

Որպեսզի ավելի պարզ լինի, թե ինչ նկատի ունենք մենք խոսում ենք, հաշվի առեք կոնկրետ օրինակ. Ենթադրենք, որ մենք ունենք կանոնավոր վեցանկյուն, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում:

l նշանը նշանակում է նրա կողմի երկարությունը, իսկ a տառը՝ ապոտեմը։ Նշված եռանկյունու համար դա ոչ միայն բարձրությունն է, այլև կիսադիրը և միջինը: Հեշտ է ցույց տալ, որ l-ի միջոցով այն կարելի է հաշվարկել հետևյալ կերպ.

Ապոթեմը սահմանվում է նույն կերպ ցանկացած n-gon-ի համար:

Երկրորդ՝ սրանք բուրգեր են։ Ո՞րն է ապոտեմը նման գործչի համար: Այս հարցը ավելի մանրամասն քննարկում է պահանջում։

Թեմայի շուրջ. Ինչպե՞ս ձեր թարթիչները երկար և հաստ դարձնել ընդամենը մեկ ամսում։

Բուրգերը և դրանց ապոտեմները

Նախ, եկեք սահմանենք բուրգը երկրաչափական տեսանկյունից: Այս պատկերը եռաչափ մարմին է, որը ձևավորվում է մեկ n-gon (հիմք) և n եռանկյուններից (կողմերից): Վերջիններս միացված են մի կետում, որը կոչվում է գագաթ։ Նրանից մինչև հիմքի հեռավորությունը գործչի բարձրությունն է: Եթե ​​այն ընկնում է n-gon-ի երկրաչափական կենտրոնի վրա, ապա բուրգը կոչվում է ուղիղ գիծ։ Եթե, բացի այդ, n-գոնն ունի հավասար անկյուններ և կողմեր, ապա գործիչը կոչվում է կանոնավոր: Ստորև բերված է բուրգի օրինակ:

Ո՞րն է ապոտեմը նման գործչի համար: Սա այն ուղղահայացն է, որը կապում է n-անկյունի կողմերը նկարի գագաթին: Ակնհայտ է, որ այն ներկայացնում է եռանկյան բարձրությունը, որը բուրգի կողմն է:

Apothem-ը հարմար է օգտագործել կանոնավոր բուրգերով երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս։ Փաստն այն է, որ նրանց համար բոլոր կողային դեմքերը հավասար են միմյանց հավասարաչափ եռանկյուններ. Վերջին փաստնշանակում է, որ բոլոր n ապոթեմները հավասար են, ուստի կանոնավոր բուրգի համար մենք կարող ենք խոսել մեկ և միակ այդպիսի ուղիղ գծի մասին:

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի ապոտեմ

Թերևս այս գործչի ամենաակնառու օրինակը կլինի աշխարհի հայտնի առաջին հրաշքը՝ Քեոպսի բուրգը: Նա գտնվում է Եգիպտոսում։

Կանոնավոր n-անկյունային հիմք ունեցող ցանկացած նման գործչի համար կարող ենք տալ բանաձևեր, որոնք թույլ են տալիս որոշել դրա ապոտեմը բազմանկյան կողմի a երկարության, b կողային եզրի և h բարձրության միջով: Այստեղ մենք գրում ենք քառակուսի հիմք ունեցող ուղիղ բուրգի համապատասխան բանաձևերը։ h b ապոտեմը դրա համար հավասար կլինի.

Թեմայի շուրջ. Բաշկիրիայի դրոշ - նկարագրություն, սիմվոլիկա և պատմություն

h b = √(b 2 - a 2 /4);

h b = √(h 2 + a 2 /4)

Այս արտահայտություններից առաջինը վավեր է ցանկացած կանոնավոր բուրգի համար, երկրորդը՝ միայն քառանկյունի համար։

Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է օգտագործել այս բանաձեւերը խնդիրը լուծելու համար:

Երկրաչափական խնդիր

Թող տրվի քառակուսի հիմքով ուղիղ բուրգ: Անհրաժեշտ է հաշվարկել դրա բազայի տարածքը: Բուրգի ապոտեմը 16 սմ է, իսկ բարձրությունը՝ հիմքի կողմի 2 անգամ։

Յուրաքանչյուր դպրոցական գիտի. քառակուսու տարածքը, որը հանդիսանում է խնդրո առարկա բուրգի հիմքը, գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա կողմը ա. Այն գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ապոտեմի հետևյալ բանաձևը.

h b = √(h 2 + a 2 /4)

Ապոթեմի իմաստը հայտնի է խնդրի պայմաններից։ Քանի որ h բարձրությունը երկու անգամ մեծ է a կողմի երկարությունից, այս արտահայտությունը կարող է փոխակերպվել հետևյալ կերպ.

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա կողմերի արտադրյալին։ Ստացված արտահայտությունը փոխարինելով a-ով՝ ունենք.

S = a 2 = 4/17 * h b 2

Մնում է խնդրի պայմաններից ապոթեմի արժեքը փոխարինել բանաձևով և գրել պատասխանը՝ S ≈ 60,2 սմ 2:

Կարդացեք նաև.

Նշում. Սա երկրաչափության խնդիրներով դասի մի մասն է (հատվածի ստերեոմետրիա, բուրգի հետ կապված խնդիրներ): Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել երկրաչափության խնդիր, որն այստեղ չկա, գրեք այդ մասին ֆորումում: Առաջադրանքներում «քառակուսի արմատ» նշանի փոխարեն օգտագործվում է sqrt() ֆունկցիան, որում sqrt խորհրդանիշն է։ քառակուսի արմատ, իսկ արմատական ​​արտահայտությունը նշված է փակագծերում.Պարզ արմատական ​​արտահայտությունների համար կարելի է օգտագործել «√» նշանը.

Տեսական նյութերի և բանաձևերի համար տե՛ս գլուխը « Ճիշտ բուրգ ".

Առաջադրանք

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի ապոտեմը 4 սմ է, իսկ հիմքում երկնիստ անկյունը 60 աստիճան է։ Գտեք բուրգի ծավալը:

Լուծում.

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, հաշվի առեք հետևյալը.

• Բուրգի բարձրությունը նախագծված է հիմքի կենտրոնի վրա
• Ըստ խնդրի՝ կանոնավոր բուրգի հիմքի կենտրոնը հավասարակողմ եռանկյուն է
• Հավասարակողմ եռանկյան կենտրոնը և՛ ներգծված, և՛ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնն է:
• Բուրգի բարձրությունը հիմքի հարթության հետ ուղիղ անկյուն է կազմում

Բուրգի ծավալը կարելի է գտնել բանաձևով.
V = 1/3 Շ

Քանի որ կանոնավոր բուրգի ապոտեմը բուրգի բարձրության հետ միասին կազմում է ուղղանկյուն եռանկյուն, բարձրությունը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք սինուսների թեորեմը: Բացի այդ, մենք հաշվի կառնենք.

• Թեմայի առաջին ոտքը ուղղանկյուն եռանկյունբարձրությունն է, երկրորդ ոտքը՝ ներգծված շրջանագծի շառավիղը (կանոնավոր եռանկյունու մեջ կենտրոնը միաժամանակ ներգծված և շրջագծված շրջանի կենտրոնն է), հիպոթենուսը՝ բուրգի ապոտեմը։
• Ուղղանկյուն եռանկյան երրորդ անկյունը հավասար է 30 աստիճանի (եռանկյան անկյունների գումարը 180 աստիճան է, 60 աստիճանի անկյունը տրված է պայմանով, երկրորդ անկյունը ուղիղ գիծ է՝ ըստ բուրգի հատկությունների. երրորդը 180-90-60 = 30)
• սինուս 30 աստիճանհավասար է 1/2-ի
• 60 աստիճանի սինուսը հավասար է երեքի կեսի արմատին
• 90 աստիճանի սինուսը 1 է

Համաձայն սինուսների թեորեմի.
4 / sin (90) = h / sin (60) = r / sin (30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
որտեղ
r = 2
h = 2√3

Բուրգի հիմքում ընկած է կանոնավոր եռանկյունի, որի մակերեսը կարելի է գտնել բանաձևով.
S կանոնավոր եռանկյուն = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2:
S = 12√3:

Հիմա եկեք գտնենք բուրգի ծավալը.
V = 1/3 Շ
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 սմ 3:

Պատասխանել 24 սմ 3:

Առաջադրանք

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքի բարձրությունը և կողմը համապատասխանաբար 24 և 14 են: Գտե՛ք բուրգի ապոտեմը:

Լուծում.

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, դրա հիմքում ընկած է կանոնավոր քառանկյուն՝ քառակուսի: Բացի այդ, բուրգի բարձրությունը նախագծված է հրապարակի կենտրոնում: Այսպիսով, ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը, որը ձևավորվում է բուրգի ապոտեմով, բարձրությամբ և դրանք միացնող հատվածով, հավասար է կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքի երկարության կեսին։

Որտեղ, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, ապոթեմի երկարությունը կգտնվի հավասարումից.

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Պատասխան՝ 25 սմ