1 մետր տրամագծով գնդիկի ծավալը։ Գնդակի ծավալը. Գնդիկի պատկերը երկրաչափության մեջ

ԳնդակՍա երկրաչափական մարմին է, որը ձևավորվել է իր տրամագծի առանցքի շուրջ կիսաշրջանի պտույտի արդյունքում։

Հաշվիր գնդակի ծավալը

Գնդակի ծավալըկարելի է հաշվարկել բանաձևով.

R - գնդակի շառավիղը

V - գնդակի ծավալը

Գտե՛ք սանտիմետր շառավղով գնդի ծավալը:

Գնդիկի ծավալը հաշվարկելու համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.

որտեղ է գնդակի պահանջվող ծավալը, – , շառավիղն է:

Այսպիսով, սանտիմետրերի շառավղով գնդակի ծավալը հավասար է.

Վ

3.14×103

= 4186,7

խորանարդ սանտիմետր:

Երկրաչափության մեջ գնդակսահմանվում է որպես որոշակի մարմին, որը տարածության բոլոր կետերի հավաքածու է, որոնք գտնվում են կենտրոնից ոչ ավելի, քան տվյալ մեկից հեռավորության վրա, որը կոչվում է գնդակի շառավիղ:

Գնդիկի մակերեսը կոչվում է գնդիկ, և այն ինքնին ձևավորվում է իր տրամագծի շուրջ կիսաշրջանը պտտելով՝ մնալով անշարժ։

Դիզայնի ինժեներներն ու ճարտարապետները շատ հաճախ են հանդիպում այս երկրաչափական մարմնին, որոնք հաճախ ստիպված են լինում հաշվարկել ոլորտի ծավալը. Օրինակ, ժամանակակից մեքենաների ճնշող մեծամասնության առջևի կախոցի նախագծման մեջ օգտագործվում են այսպես կոչված գնդիկավոր միացումներ, որոնցում, ինչպես հեշտությամբ կարող եք կռահել հենց անունից, գնդակները հիմնական տարրերից են:

Նրանց օգնությամբ միացված են ղեկի անիվների և լծակների հանգույցները: Այն մասին, թե որքան ճիշտ կլինի հաշվարկվածդրանց ծավալը մեծապես կախված է ոչ միայն այդ ստորաբաժանումների ամրությունից և դրանց շահագործման ճիշտությունից, այլև երթևեկության անվտանգությունից:

Տեխնոլոգիայում լայնորեն կիրառվում են այնպիսի դետալներ, ինչպիսիք են գնդիկավոր առանցքակալները, որոնց օգնությամբ առանցքները ամրացվում են տարբեր բաղադրիչների և հավաքույթների ֆիքսված մասերում և ապահովվում դրանց պտույտը։

Հարկ է նշել, որ դրանք հաշվարկելիս դիզայներները պետք է գտնեն գնդակի (ավելի ճիշտ՝ վանդակում տեղադրված գնդերի) ծավալը. բարձր աստիճանճշգրտություն. Ինչ վերաբերում է մետաղական կրող գնդիկների արտադրությանը, ապա դրանք արտադրվում են մետաղալարից՝ օգտագործելով բարդ գործընթաց, որը ներառում է ձևավորման, կարծրացման, կոպիտ հղկման, հարդարման և մաքրման փուլերը:

Ի դեպ, այն գնդերը, որոնք ներառված են բոլոր գնդիկավոր գրիչների դիզայնում, պատրաստված են ճիշտ նույն տեխնոլոգիայով։

Շատ հաճախ, ճարտարապետության մեջ օգտագործվում են գնդակներ, և այնտեղ դրանք ամենից հաճախ են լինում դեկորատիվ տարրերշենքեր և այլ շինություններ.

Շատ դեպքերում դրանք պատրաստված են գրանիտից, որը հաճախ պահանջում է մեծ ձեռքի աշխատանք: Իհարկե, այդ գնդակների արտադրության մեջ չի պահանջվում պահպանել այնպիսի բարձր ճշգրտություն, ինչպիսին դրանք օգտագործվում են տարբեր ագրեգատներում և մեխանիզմներում:

Բիլիարդի նման հետաքրքիր և սիրված խաղն անհնար է պատկերացնել առանց գնդակների: Դրանց արտադրության համար օգտագործվում են տարբեր նյութեր (ոսկոր, քար, մետաղ, պլաստմասսա) և կիրառվում են տարբեր տեխնոլոգիական գործընթացներ։

Բիլիարդի գնդակների հիմնական պահանջներից մեկը նրանց բարձր ամրությունն է և բարձր մեխանիկական բեռներին (առաջին հերթին ցնցումներին) դիմակայելու ունակությունը: Բացի այդ, դրանց մակերեսը պետք է լինի ճշգրիտ գնդիկ, որպեսզի ապահովվի լողավազանի սեղանների մակերեսի վրա հարթ և հարթ գլորում:

Վերջապես, ոչ մի Ամանոր կամ տոնածառ չի կարող անել առանց այնպիսի երկրաչափական մարմինների, ինչպիսիք են գնդակները: Այս զարդերը շատ դեպքերում պատրաստվում են ապակուց՝ օգտագործելով փչման մեթոդը, և դրանց արտադրության մեջ մեծ ուշադրություն է դարձվում ոչ թե չափերի ճշգրտությանը, այլ արտադրանքի գեղագիտությանը:

ԳործընթացըՄիևնույն ժամանակ, Սուրբ Ծննդյան գնդակները գրեթե ամբողջությամբ ավտոմատացված են, իսկ Սուրբ Ծննդյան գնդակները փաթեթավորվում են միայն ձեռքով:

Գունդը ամենապարզ երկրաչափական մարմիններից մեկն է, որի մակերևույթի բոլոր կետերը գտնվում են պատկերի կենտրոնից նույն հեռավորության վրա։ Գնդի կենտրոնից մինչև նրա մակերևույթի ցանկացած կետ հեռավորությունը կոչվում է շառավիղ։

Գնդակի ծավալը

Գնդիկի տրամագիծը կոչվում է երկու անգամ շառավիղ:

Ինչպես գտնել գնդիկի ծավալը իր շառավիղով

Եթե ​​մենք գիտենք գնդիկի շառավիղը, ապա հեշտությամբ կարող ենք հաշվարկել դրա մեծությունը։ Դա անելու համար բազմապատկեք խորանարդը շառավղով և քառապատիկ Pi թվով, որից հետո արդյունքը կբաժանվի երեքի: Գնդիկի ծավալը որոշելու բանաձևը՝ ելնելով նրա շառավղից, հետևյալն է. .
Նրանց համար, ովքեր մոռացել են, մենք հիշում ենք, որ Pi-ն ֆիքսված արժեք է և հավասար է 3.14-ի:

Ինչպես գտնել գնդիկի ծավալն ըստ տրամագծի

Եթե ​​ոլորտի տրամագիծը հայտնի է խնդրի պայմաններից, ապա դրա ծավալը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով. , այսինքն.

Pi թիվը պետք է բազմապատկել տրամագծի տրամագծով, այնուհետև արդյունքը բաժանել 6-ի:

Ինչպես որոշել գնդակի զանգվածը

Մարմնի քաշն է ֆիզիկական քանակություն, նշելով նրա իներցիայի աստիճանը։ Ֆիզիկական մարմնի զանգվածը կախված է զբաղեցրած տարածության ծավալից և այն նյութի խտությունից, որից այն հավաքվում է։ Մարմնի ծավալը ճիշտ ձև(ասենք ծեծել) դժվար չէ հաշվարկել, և եթե հայտնի է նաև այն նյութը, որից այն պատրաստված է, մեծաքանակթույլատրվում է շատ պարզունակ լինել:

հրահանգներ

առաջինՄուտքագրեք գումարը ծեծել .

Ինչպես հաշվարկել գնդակի ծավալը

Դա անելու համար բավական է իմանալ ձեր պարամետրերից մեկը՝ շառավիղը, տրամագիծը, մակերեսը և այլն։ Ասա ինձ, եթե գիտես տրամագիծը։ ծեծելդ), դրա ծավալը (V) թույլատրվում է որոշել որպես Pi թվով խորանարդի մեջ բարձրացող տրամագծով արտադրանքի մեկ վեցերորդը. V = π * d? / 6. Շառավիղով ծեծել(r) ծավալը արտահայտվում է որպես Pi-ի արտադրյալի մեկ երրորդը, որը քառապատկվում է խորանարդի մեջ տեղադրված շառավղով. V = 4 * π * r? / 3.

երկրորդհաշվել մեծաքանակծեծել(m), բազմապատկել դրա ծավալը նյութի հոյակապ խտությամբ (p)՝ m = p * V:

Եթե ​​սա է նյութը ծեծելոչ միատարր, ապա մենք պետք է վերցնենք միջին խտությունը: Այս բանաձեւում մենք փոխարինում ենք ծավալը ծեծելիր հայտնի պարամետրերի միջոցով թույլատրվում է վերցնել հայտնի տրամագիծը ծեծելբանաձեւ m = p * π * դ? / 6 իսկ հիմնական շառավիղի համար m = p * 4 * π * r? / 3.

երրորդՕգտագործեք հաշվարկների համար, օրինակ, սովորական ծրագրային հաշվիչը, որը գալիս է հիմնական Windows օպերացիոն համակարգի հետ, այսօր օգտագործվող ցանկացած ուժեղ տարբերակ:

Սկսելու ամենահեշտ ձևն այն է, որ սեղմեք win + r՝ ծրագիրը գործարկելու համար բնորոշ երկխոսությունը բացելու համար, այնուհետև մուտքագրեք calc հրամանը և սեղմեք OK:

«Հաշվիչ» ընտրացանկում ընդլայնեք «Դիտել» բաժինը և ընտրեք «Ինժեներ» կամ «Գիտնական» տողը (կախված ձեր օգտագործած ՕՀ տարբերակից) - այս ռեժիմի ինտերֆեյսը ունի կոճակ՝ Pi թիվը մեկով մուտքագրելու համար: սեղմեք. Այս հաշվիչի բազմապատկման և բաժանման գործողությունները պարտադիր չէ, որ հարցեր առաջացնեն, այլ որոշվում են զանգվածը հաշվարկելիս. ծեծելկլինեն x^2 և x^3 նշաններով մի քանի կոճակ:

ՋՐԱՅԻՆ ԵՎ ՍԱՆԻՏԱԺԻ ԴԻԶԱՅՆ

Էլ. [էլփոստը պաշտպանված է]

Աշխատանքային ժամեր՝ երկուշաբթի-ուրբաթ 9-00-ից 18-00 (առանց ճաշի)

Գնդի ծավալի հաշվարկ՝ օգտագործելով շառավիղը կամ տրամագիծը

Գնդակը երկրաչափական մարմին է, որը տարածության բոլոր կետերի հավաքածու է, որը գտնվում է կենտրոնից որոշակի հեռավորության վրա:

Ինչպես հաշվարկել գնդակի ծավալը

Գնդիկի հիմնական մաթեմատիկական բնութագիրը նրա շառավիղն է։

Գնդակի համարն է քանակական բնութագիրայս թիվը Տիեզերքում:

Գնդակի ծավալը հաշվարկելու բանաձև.

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * դ 3

r-ը ոլորտի շառավիղն է;
d-ը գնդի տրամագիծն է:

Տես նաև հոդվածը բոլորի մասին երկրաչափական ձևեր(գծային 1D, հարթ 2D և 3D 3D):

Այս էջը ամենապարզ վեբ հաշվիչն է, որի միջոցով կարելի է հաշվարկել ոլորտի ծավալը շառավղով կամ տրամագծով։

Երկրաչափության մեջ գնդակսահմանվում է որպես որոշակի մարմին, որը տարածության բոլոր կետերի հավաքածու է, որոնք գտնվում են կենտրոնից ոչ ավելի, քան տվյալ մեկից հեռավորության վրա, որը կոչվում է գնդակի շառավիղ: Գնդիկի մակերեսը կոչվում է գնդիկ, և այն ինքնին ձևավորվում է իր տրամագծի շուրջ կիսաշրջանը պտտելով՝ մնալով անշարժ։

Դիզայնի ինժեներներն ու ճարտարապետները շատ հաճախ են հանդիպում այս երկրաչափական մարմնին, որոնք հաճախ ստիպված են լինում հաշվարկել ոլորտի ծավալը. Օրինակ, ժամանակակից մեքենաների ճնշող մեծամասնության առջևի կախոցի նախագծման մեջ օգտագործվում են այսպես կոչված գնդիկավոր միացումներ, որոնցում, ինչպես հեշտությամբ կարող եք կռահել հենց անունից, գնդակները հիմնական տարրերից են: Նրանց օգնությամբ միացված են ղեկի անիվների և լծակների հանգույցները: Այն մասին, թե որքան ճիշտ կլինի հաշվարկվածդրանց ծավալը մեծապես կախված է ոչ միայն այդ ստորաբաժանումների ամրությունից և դրանց շահագործման ճիշտությունից, այլև երթևեկության անվտանգությունից:

Տեխնոլոգիայում լայնորեն կիրառվում են այնպիսի դետալներ, ինչպիսիք են գնդիկավոր առանցքակալները, որոնց օգնությամբ առանցքները ամրացվում են տարբեր բաղադրիչների և հավաքույթների ֆիքսված մասերում և ապահովվում դրանց պտույտը։ Պետք է նշել, որ դրանք հաշվարկելիս դիզայներները պետք է գտե՛ք ոլորտի ծավալը(ավելի ճիշտ՝ վանդակում տեղադրված գնդակներ) բարձր ճշգրտությամբ։ Ինչ վերաբերում է մետաղական կրող գնդիկների արտադրությանը, ապա դրանք արտադրվում են մետաղալարից՝ օգտագործելով բարդ գործընթաց, որը ներառում է ձևավորման, կարծրացման, կոպիտ հղկման, հարդարման և մաքրման փուլերը: Ի դեպ, այն գնդերը, որոնք ներառված են բոլոր գնդիկավոր գրիչների դիզայնում, պատրաստված են ճիշտ նույն տեխնոլոգիայով։

Բավականին հաճախ գնդակները օգտագործվում են ճարտարապետության մեջ, որտեղ դրանք առավել հաճախ շենքերի և այլ կառույցների դեկորատիվ տարրեր են: Շատ դեպքերում դրանք պատրաստված են գրանիտից, որը հաճախ պահանջում է մեծ ձեռքի աշխատանք: Իհարկե, այդ գնդակների արտադրության մեջ չի պահանջվում պահպանել այնպիսի բարձր ճշգրտություն, ինչպիսին դրանք օգտագործվում են տարբեր ագրեգատներում և մեխանիզմներում:

Բիլիարդի նման հետաքրքիր և սիրված խաղն անհնար է պատկերացնել առանց գնդակների: Դրանց արտադրության համար օգտագործվում են տարբեր նյութեր (ոսկոր, քար, մետաղ, պլաստմասսա) և կիրառվում են տարբեր տեխնոլոգիական գործընթացներ։ Բիլիարդի գնդակների հիմնական պահանջներից մեկը նրանց բարձր ամրությունն է և բարձր մեխանիկական բեռներին (առաջին հերթին ցնցումներին) դիմակայելու ունակությունը: Բացի այդ, դրանց մակերեսը պետք է լինի ճշգրիտ գնդիկ, որպեսզի ապահովվի լողավազանի սեղանների մակերեսի վրա հարթ և հարթ գլորում:

Վերջապես, ոչ մի Ամանոր կամ տոնածառ չի կարող անել առանց այնպիսի երկրաչափական մարմինների, ինչպիսիք են գնդակները: Այս զարդերը շատ դեպքերում պատրաստվում են ապակուց՝ օգտագործելով փչման մեթոդը, և դրանց արտադրության մեջ մեծ ուշադրություն է դարձվում ոչ թե չափերի ճշգրտությանը, այլ արտադրանքի գեղագիտությանը: Տեխնոլոգիական գործընթացը գրեթե ամբողջությամբ ավտոմատացված է, և Սուրբ Ծննդյան գնդակները փաթեթավորվում են միայն ձեռքով:

Նախքան սկսեք ուսումնասիրել գնդակի հայեցակարգը, թե որն է գնդակի ծավալը և հաշվի առնել դրա պարամետրերը հաշվարկելու բանաձևերը, դուք պետք է հիշեք շրջանագծի հայեցակարգը, որն ավելի վաղ ուսումնասիրվել է երկրաչափության դասընթացում: Ի վերջո, եռաչափ տարածության գործողությունների մեծ մասը նման է կամ հետևում է երկչափ երկրաչափությանը, որը հարմարեցված է երրորդ կոորդինատի և երրորդ աստիճանի տեսքին:

Ի՞նչ է շրջանագիծը:

Շրջանակը պատկեր է Դեկարտյան ինքնաթիռ(ցուցադրված է Նկար 1-ում); առավել հաճախ սահմանումը հնչում է որպես «հարթության բոլոր կետերի երկրաչափական դիրքը, հեռավորությունը, որից մինչև տրված կետ(կենտրոնը) չի գերազանցում որոշակի ոչ բացասական թիվ, որը կոչվում է շառավիղ»։

Ինչպես տեսնում ենք նկարից, O կետը նկարի կենտրոնն է, և բացարձակապես բոլոր կետերի բազմությունը, որոնք լրացնում են շրջանագիծը, օրինակ՝ A, B, C, K, E, գտնվում են տվյալ շառավղից ոչ ավելի: (Նկար .2-ում ցուցադրված շրջանագծից այն կողմ մի անցեք):

Եթե ​​շառավիղը զրո է, ապա շրջանագիծը վերածվում է կետի։

Հասկանալու հետ կապված խնդիրներ

Ուսանողները հաճախ շփոթում են այս հասկացությունները: Հեշտ է հիշել նմանությամբ: Այն օղակը, որը երեխաները պտտում են դասարանում ֆիզիկական կուլտուրա, - շրջան. Սա հասկանալով կամ հիշելով, որ երկու բառերի առաջին տառերն էլ «O» են, երեխաները հիշողության մեջ կհասկանան տարբերությունը:

«Գնդակ» հասկացության ներդրում

Գնդակը մարմին է (նկ. 3), որը սահմանափակված է որոշակի գնդաձև մակերեսով։ Թե ինչ է «գնդաձև մակերեսը», պարզ կդառնա դրա սահմանումից. սա մակերեսի բոլոր կետերի երկրաչափական տեղն է, որից մինչև տվյալ կետ (կենտրոն) հեռավորությունը չի գերազանցում որոշակի ոչ բացասական թիվը, որը կոչվում է շառավիղ: Ինչպես տեսնում եք, շրջան և գնդաձև մակերես հասկացությունները նման են, տարբերվում են միայն այն տարածությունները, որոնցում դրանք գտնվում են: Եթե ​​գնդակը պատկերենք երկչափ տարածության մեջ, ապա կստանանք շրջան, որի սահմանը շրջանագիծ է (գնդիկի սահմանը գնդաձեւ մակերես է): Նկարում մենք տեսնում ենք գնդաձև մակերես OA = OB շառավղով:

Գնդակը փակ և բաց

Վեկտորային և մետրային տարածություններում դիտարկվում են նաև գնդաձև մակերեսի հետ կապված երկու հասկացություններ։ Եթե ​​գնդակը ներառում է այս գունդը, ապա այն կոչվում է փակ, իսկ եթե ոչ, ապա գնդակը բաց է։ Սրանք ավելի «առաջադեմ» հասկացություններ են, որոնք ուսումնասիրվում են ինստիտուտներում՝ որպես վերլուծության ներդրման մաս: Պարզ, նույնիսկ ամենօրյա օգտագործման համար 10-11-րդ դասարանների ստերեոմետրիայի դասընթացում ուսումնասիրված բանաձևերը բավարար կլինեն: Սրանք են, որոնք հասանելի են գրեթե յուրաքանչյուր միջին մարդու համար: կրթված մարդհայեցակարգերը կքննարկվեն հետագա:

Հայեցակարգեր, որոնք դուք պետք է իմանաք հետևյալ հաշվարկների համար

Շառավիղը և տրամագիծը:

Գնդիկի շառավիղը և դրա տրամագիծը որոշվում են այնպես, ինչպես շրջանագծի համար:

Շառավիղը մի հատված է, որը կապում է գնդակի սահմանի ցանկացած կետ և այն կետը, որը գնդակի կենտրոնն է:

Տրամագիծը մի հատված է, որը կապում է գնդակի սահմանի երկու կետերը և անցնում նրա կենտրոնով։ Նկար 5ա-ն հստակ ցույց է տալիս, թե որ հատվածներն են գնդակի շառավիղները, իսկ 5b-ում ներկայացված են ոլորտի տրամագիծը (O կետով անցնող հատվածները):

Գնդի հատվածներ (գնդիկ)

Գնդի ցանկացած հատված շրջանագիծ է: Եթե ​​այն անցնում է գնդակի կենտրոնով, այն կոչվում է մեծ շրջան (AB տրամագծով շրջան), մնացած հատվածները կոչվում են փոքր շրջաններ (շրջանակ DC տրամագծով):

Այս շրջանակների տարածքը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևերով.

Այստեղ S-ը տարածքի նշանակումն է, R՝ շառավիղը, D՝ տրամագիծը: Կա նաև հաստատուն, որը հավասար է 3,14-ի։ Բայց մի շփոթեք, որ մեծ շրջանի տարածքը հաշվարկելու համար օգտագործվում է հենց գնդակի (ոլորտի) շառավիղը կամ տրամագիծը, իսկ տարածքը որոշելու համար պահանջվում են փոքր շրջանի շառավիղի չափերը:

Անսահման թվով այդպիսի հատվածներ, որոնք անցնում են գնդակի սահմանի վրա ընկած նույն տրամագծով երկու կետերով, կարելի է նկարել։ Որպես օրինակ՝ մեր մոլորակը՝ երկու կետ հյուսիսում և Հարավային բևեռներ, որոնք երկրագնդի առանցքի ծայրերն են և ներս երկրաչափական իմաստ- տրամագծի ծայրերը և այս երկու կետերով անցնող միջօրեականները (Նկար 7): Այսինքն՝ գնդերի վրա մեծ շրջանակների թիվը ձգտում է դեպի անսահմանություն։

Գնդակի մասեր

Եթե ​​դուք կտրեք «կտորը» գնդից՝ օգտագործելով որոշակի հարթություն (Նկար 8), այն կկոչվի գնդաձև կամ գնդաձև հատված: Այն կունենա բարձրություն՝ կտրող հարթության կենտրոնից դեպի գնդաձև մակերևույթ O 1 K ուղղահայաց: Գնդաձև մակերեսի K կետը, որի վրա հասնում է բարձրությունը, կոչվում է գնդաձև հատվածի գագաթ: Եվ O 1 T շառավղով փոքր շրջան (այս դեպքում, ըստ նկարի, հարթությունը չի անցել ոլորտի կենտրոնով, բայց եթե հատվածն անցնում է կենտրոնով, ապա խաչմերուկի շրջանակը կլինի. մեծ), որը ձևավորվել է գնդաձև հատվածը կտրելով, կոչվելու է մեր կտոր գնդակի հիմքը՝ գնդաձև հատված:

Եթե ​​գնդաձև հատվածի յուրաքանչյուր բազային կետ միացնենք ոլորտի կենտրոնին, ապա կստանանք մի պատկեր, որը կոչվում է «գնդաձև հատված»:

Եթե ​​երկու հարթություններ անցնում են գնդի միջով և զուգահեռ են միմյանց, ապա գնդի այն հատվածը, որը պարփակված է նրանց միջև, կոչվում է գնդաձև շերտ (Նկար 9, որը ցույց է տալիս գունդը երկու հարթություններով և առանձին գնդաձև շերտ)։

Գնդի այս մասի մակերեսը (ընդգծված մասը Նկար 9-ում աջ կողմում) կոչվում է գոտի (կրկին, ավելի լավ հասկանալու համար, կարելի է անալոգիա անել դրա հետ. երկրագունդը, այն է՝ իր կլիմայական գոտիներով՝ արկտիկական, արևադարձային, բարեխառն և այլն), իսկ խաչմերուկային շրջանագծերը կլինեն գնդաձև շերտի հիմքերը։ Շերտի բարձրությունը հիմքերի կենտրոններից կտրող հարթություններին ուղղահայաց գծված տրամագծի մի մասն է։ Գոյություն ունի նաև գնդաձև ոլորտ հասկացությունը։ Այն ձևավորվում է, երբ միմյանց զուգահեռ հարթությունները չեն հատում գունդը, այլ դիպչում են նրան յուրաքանչյուր կետում։

Գնդիկի ծավալը և դրա մակերեսը հաշվարկելու բանաձևեր

Գնդակը ձևավորվում է կիսաշրջանի կամ շրջանի ֆիքսված տրամագծով պտտվելով: Հաշվարկների համար տարբեր պարամետրեր այս օբյեկտիՇատ տվյալներ չեն պահանջվում:

Գնդի ծավալը, հաշվարկման բանաձևը, որը տրված է վերևում, ստացվում է ինտեգրման միջոցով: Եկեք կետ առ կետ պարզենք:

Մենք դիտարկում ենք շրջանագիծ երկչափ հարթության մեջ, քանի որ, ինչպես նշվեց վերևում, հենց այդ շրջանն է ընկած գնդակի կառուցման հիմքում։ Մենք օգտագործում ենք միայն դրա չորրորդ մասը (Նկար 10):

Վերցնում ենք միավորի շառավղով և սկզբնակետով կենտրոնով շրջան: Նման շրջանագծի հավասարումը հետևյալն է՝ X 2 + Y 2 = R 2: Մենք այստեղից Y ենք արտահայտում՝ Y 2 = R 2 - X 2:

Համոզվեք, որ նկատեք, որ ստացված ֆունկցիան ոչ բացասական է, շարունակական և նվազում է X հատվածի վրա (0; R), քանի որ X-ի արժեքը այն դեպքում, երբ մենք դիտարկում ենք շրջանագծի քառորդը, գտնվում է զրոյից մինչև արժեքը: շառավիղը, այսինքն՝ մեկին։

Հաջորդ բանը, որ մենք անում ենք, մեր քառորդ շրջանը x առանցքի շուրջ պտտելն է: Արդյունքում մենք ստանում ենք կիսագնդ: Դրա ծավալը որոշելու համար մենք կդիմենք ինտեգրացիոն մեթոդներին։

Քանի որ սա միայն կիսագնդի ծավալն է, մենք կրկնապատկում ենք արդյունքը, որից հայտնաբերում ենք, որ գնդակի ծավալը հավասար է.

Փոքր նրբերանգներ

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել գնդակի ծավալը նրա տրամագծի միջոցով, հիշեք, որ շառավիղը տրամագծի կեսն է, և այս արժեքը փոխարինեք վերը նշված բանաձևով:

Նաև գնդակի ծավալի բանաձևին կարելի է հասնել նրա սահմանամերձ մակերևույթի տարածքով՝ գունդ: Հիշեցնենք, որ գնդիկի մակերեսը հաշվարկվում է S = 4πr 2 բանաձևով, որն ինտեգրելով՝ հանգում ենք նաև ոլորտի ծավալի վերը նշված բանաձևին։ Նույն բանաձևերից կարող եք արտահայտել շառավիղը, եթե խնդրի հայտարարությունը պարունակում է ծավալի արժեք:

WikiHow-ն ուշադիր հետևում է իր խմբագիրների աշխատանքին, որպեսզի համոզվի, որ յուրաքանչյուր հոդված համապատասխանում է մեր չափանիշներին: բարձր չափանիշներորակ.

Գնդիկի շառավիղը (նշվում է որպես r կամ R) այն հատվածն է, որը կապում է գնդակի կենտրոնը նրա մակերեսի ցանկացած կետի հետ։ Ինչպես շրջանագծի դեպքում, գնդակի շառավիղը կարևոր մեծություն է, որն անհրաժեշտ է գնդակի տրամագիծը, շրջագիծը, մակերեսի մակերեսը և/կամ ծավալը գտնելու համար: Բայց գնդակի շառավիղը կարելի է գտնել նաև տրամագծի, շրջագծի և այլ քանակի տրված արժեքից: Օգտագործեք բանաձև, որով կարող եք փոխարինել այս արժեքները:

Քայլեր

Շառավիղը հաշվարկելու բանաձևեր

Հաշվիր շառավիղը տրամագծից:Շառավիղը հավասար է տրամագծի կեսին, այնպես որ օգտագործեք բանաձևը g = D/2. Սա նույն բանաձևն է, որն օգտագործվում է շրջանագծի շառավիղը և տրամագիծը հաշվարկելու համար:

• Օրինակ, տրված է 16 սմ տրամագծով գնդակ: Այս գնդակի շառավիղը` r = 16/2 = 8 սմ. Եթե ​​տրամագիծը 42 սմ է, ապա շառավիղը 21 սմ (42/2=21).

1. Հաշվիր շառավիղը շրջագծից:Օգտագործեք բանաձևը. r = C/2π. Քանի որ շրջանագծի շրջագիծը C = πD = 2πr է, ապա շրջագիծը հաշվարկելու բանաձևը բաժանեք 2π-ի և ստացեք շառավիղը գտնելու բանաձևը։

   • Օրինակ, տրված է 20 սմ շրջագծով գնդակ: Այս գնդակի շառավիղը հետևյալն է. r = 20/2π = 3,183 սմ.
   • Նույն բանաձևն օգտագործվում է շրջանագծի շառավիղը և շրջագիծը հաշվարկելու համար։

2. Հաշվի՛ր ոլորտի ծավալից շառավիղը։Օգտագործեք բանաձևը. r = ((V/π) (3/4)) 1/3. Գնդակի ծավալը հաշվարկվում է V = (4/3)πr 3 բանաձևով: Մեկուսացնելով r-ը հավասարման մի կողմում՝ ստացվում է բանաձևը ((V/π)(3/4)) 3 = r, այսինքն՝ շառավիղը հաշվարկելու համար գնդակի ծավալը բաժանեք π-ի, արդյունքը բազմապատկեք. 3/4, և ստացված արդյունքը բարձրացրեք մինչև 1/3 հզորություն (կամ վերցրեք խորանարդի արմատը):

   • Օրինակ, տրվում է 100 սմ 3 ծավալով գնդակ: Այս գնդակի շառավիղը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31.83) (3/4)) 1/3 = ռ
     • (23.87) 1/3 = ռ
     • 2,88 սմ= r

3. Հաշվեք շառավիղը մակերեսի մակերեսից:Օգտագործեք բանաձևը. g = √(A/(4 π)). Գնդակի մակերեսը հաշվարկվում է A = 4πr 2 բանաձևով: Մեկուսացնելով r-ը հավասարման մի կողմում՝ ստանում եք √(A/(4π)) = r բանաձևը, այսինքն՝ շառավիղը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հանել քառակուսի արմատմակերեսի մակերեսից՝ բաժանված 4π-ով: Արմատ վերցնելու փոխարեն (A/(4π)) արտահայտությունը կարելի է հասցնել 1/2-ի։

   • Օրինակ, տրված է 1200 սմ 3 մակերեսով գունդ: Այս գնդակի շառավիղը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95.49) = r
     • 9,77 սմ= r

   Հիմնական քանակությունների որոշում

   1. Հիշեք հիմնական մեծությունները, որոնք համապատասխանում են գնդակի շառավիղը հաշվարկելուն:Գնդիկի շառավիղը այն հատվածն է, որը գնդակի կենտրոնը կապում է նրա մակերեսի ցանկացած կետի հետ: Գնդիկի շառավիղը կարելի է հաշվարկել տրամագծի, շրջագծի, ծավալի կամ մակերեսի տրված արժեքներից:

      Օգտագործեք այս մեծությունների արժեքները շառավիղը գտնելու համար:Շառավիղը կարող է հաշվարկվել տրամագծի, շրջագծի, ծավալի և մակերեսի տրված արժեքներից: Ավելին, նշված արժեքները կարելի է գտնել տվյալ շառավիղի արժեքից: Շառավիղը հաշվարկելու համար պարզապես փոխակերպեք բանաձևերը՝ ցույց տրված արժեքները գտնելու համար: Ստորև բերված են տրամագծի, շրջագծի, ծավալի և մակերեսի մակերեսը հաշվարկելու բանաձևերը (որոնք ներառում են շառավիղը):

   Գտեք շառավիղը երկու կետերի միջև ընկած հեռավորությունից

   1. Գտե՛ք գնդակի կենտրոնի կոորդինատները (x,y,z):Գնդիկի շառավիղը հավասար է նրա կենտրոնի և գնդակի մակերևույթի վրա գտնվող ցանկացած կետի հեռավորությանը: Եթե ​​հայտնի են գնդակի կենտրոնի և նրա մակերեսին ընկած ցանկացած կետի կոորդինատները, ապա կարող եք գտնել գնդակի շառավիղը՝ օգտագործելով հատուկ բանաձև՝ հաշվարկելով երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը: Նախ գտեք գնդակի կենտրոնի կոորդինատները: Հիշեք, որ քանի որ գնդակը եռաչափ պատկեր է, կետը կունենա երեք կոորդինատ (x, y, z), այլ ոչ թե երկու (x, y):

      • Դիտարկենք մի օրինակ։ Տրվում է կենտրոնական կոորդինատներով գնդակ (4,-1,12) . Օգտագործեք այս կոորդինատները՝ գտնելու գնդակի շառավիղը:

   2. Գտեք գնդակի մակերեսին ընկած կետի կոորդինատները:Այժմ մենք պետք է գտնենք կոորդինատները (x,y,z) ցանկացածկետը ընկած է գնդակի մակերեսին: Քանի որ գնդակի մակերեսին ընկած բոլոր կետերը գտնվում են գնդակի կենտրոնից նույն հեռավորության վրա, կարող եք ընտրել ցանկացած կետ՝ գնդակի շառավիղը հաշվարկելու համար:

      • Մեր օրինակում ենթադրենք, որ գնդակի մակերեսին ընկած ինչ-որ կետ ունի կոորդինատներ (3,3,0) . Հաշվելով այս կետի և գնդակի կենտրոնի միջև եղած հեռավորությունը՝ դուք կգտնեք շառավիղը:

   3. Հաշվե՛ք շառավիղը՝ օգտագործելով d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 բանաձեւը։Պարզելով գնդակի կենտրոնի կոորդինատները և դրա մակերեսին ընկած կետը, կարող եք գտնել նրանց միջև հեռավորությունը, որը հավասար է գնդակի շառավղին: Երկու կետերի միջև հեռավորությունը հաշվարկվում է d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 բանաձևով, որտեղ d-ը կետերի միջև հեռավորությունն է: , (x 1, y 1 ,z 1) գնդակի կենտրոնի կոորդինատներն են, (x 2 ,y 2 ,z 2) գնդակի մակերեսին ընկած կետի կոորդինատներն են։

      • Քննարկվող օրինակում (x 1,y 1,z 1) փոխարինել (4,-1,12) և (x 2,y 2,z 2) փոխարեն փոխարինել (3,3,0).
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • դ = 12,69. Սա գնդակի ցանկալի շառավիղն է:

   4. Նկատի ունեցեք, որ ընդհանուր դեպքերում r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2):Գնդակի մակերեսին ընկած բոլոր կետերը գտնվում են գնդակի կենտրոնից նույն հեռավորության վրա: Եթե ​​երկու կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու բանաձևում «d»-ը փոխարինվում է «r»-ով, ապա գնդակի կենտրոնի հայտնի կոորդինատներից (x 1,y 1,z 1) ստանում եք գնդակի շառավիղը հաշվարկելու բանաձև: և կոորդինատները (x 2,y 2,z 2) գնդակի մակերեսին ընկած ցանկացած կետ:

      • Այս հավասարման երկու կողմերն էլ քառակուսի դարձրեք և կստանաք r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2: Նկատի ունեցեք, որ այս հավասարումը համապատասխանում է գնդիկի հավասարմանը r 2 = x 2 + y 2 + z 2 իր կենտրոնով կոորդինատներով (0,0,0):
   • Մի մոռացեք մաթեմատիկական գործողություններ կատարելու կարգի մասին։ Եթե ​​դուք չեք հիշում այս կարգը, և ձեր հաշվիչը կարող է աշխատել փակագծերով, օգտագործեք դրանք:
   • Այս հոդվածում խոսվում է գնդակի շառավիղը հաշվարկելու մասին: Բայց եթե դժվարանում եք սովորել երկրաչափություն, ավելի լավ է սկսել գնդակի հետ կապված քանակները հաշվարկելով՝ օգտագործելով հայտնի արժեքշառավիղը.
   • π (Pi) տառն է Հունական այբուբեն, որը նշանակում է հաստատուն, հարաբերակցությանը հավասարշրջանագծի տրամագիծը նրա շրջագծին: Pi-ն իռացիոնալ թիվ է, որը չի գրվում որպես հարաբերակցություն իրական թվեր. Կան բազմաթիվ մոտարկումներ, օրինակ, 333/106 հարաբերակցությունը թույլ կտա ձեզ գտնել Pi-ն չորս տասնորդական թվերի սահմաններում: Որպես կանոն, նրանք օգտագործում են Pi-ի մոտավոր արժեքը, որը 3,14 է։