Հաշվարկների ռացիոնալ մեթոդներ. Հաշվարկների ռացիոնալ մեթոդներ Ի՞նչ է նշանակում հաշվարկել ավելի ռացիոնալ եղանակով

Կոժինովա Անաստասիա

ՔԱՂԱՔԱՊԵՏԱԿԱՆ ՈՉ ՏԻՊԱԿԱՆ ԲՅՈՒՋԵ

Հանրակրթական ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅՈՒՆ

«Թիվ 76 ճեմարան».

ՈՐՆ Է ՌԱՑԻԱԼ ՀԱՇՎԱՌՄԱՆ ԳԱՂՏՆԻՔԸ:

Ավարտված:

5-րդ «Բ» դասարանի սովորող

Կոժինովա Անաստասիա

Վերահսկիչ:

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Շչիկլինա Տատյանա

Նիկոլաևնա

Նովոկուզնեցկ 2013 թ

Ներածություն…………………………………………………………… 3

Հիմնական մասը………………………………………………………….. 5-13

Եզրակացություն և եզրակացություններ ……………………………………………………………………………………………………………

Հղումներ……………………………………………………………………………………………………………………………

Դիմումներ…………………………………………………………… 16-31 թթ

Ի. Ներածություն

Խնդիր: գտնել թվային արտահայտությունների արժեքները

Աշխատանքի նպատակը.որոնում, ռացիոնալ հաշվառման առկա մեթոդների և տեխնիկայի ուսումնասիրում, դրանք գործնականում կիրառելով:

Առաջադրանքներ.

1. Զուգահեռ դասարանների միջև հետազոտության տեսքով անցկացնել մինի-հետազոտություն:

2. Վերլուծել հետազոտության թեման՝ դպրոցական գրադարանում առկա գրականություն, 5-րդ դասարանի մաթեմատիկայի դասագրքում տեղեկատվություն, համացանցում:

3. Ընտրեք ռացիոնալ հաշվառման ամենաարդյունավետ մեթոդներն ու միջոցները:

4. Դասակարգել արագ բանավոր և գրավոր հաշվելու առկա տեխնիկան:

5. Ստեղծեք հիշեցումներ, որոնք պարունակում են ռացիոնալ հաշվման տեխնիկա՝ 5-րդ դասարանի զուգահեռներում օգտագործելու համար:

Ուսումնասիրության օբյեկտ: ռացիոնալ հաշիվ.

Հետազոտության առարկաՌացիոնալ հաշվման մեթոդներ.

Հետազոտական ​​աշխատանքի արդյունավետությունն ապահովելու համար օգտագործել եմ հետևյալ տեխնիկան՝ տարբեր ռեսուրսներից ստացված տեղեկատվության վերլուծություն, սինթեզ, ընդհանրացում; սոցիոլոգիական հարցում հարցաթերթիկի տեսքով. Հարցաթերթիկը մշակվել է իմ կողմից՝ համաձայն ուսումնասիրության նպատակին և խնդիրներին, հարցվողների տարիքին և ներկայացված է աշխատանքի հիմնական մասում։

Հետազոտական ​​աշխատանքի ընթացքում դիտարկվել են ռացիոնալ հաշվարկի մեթոդների և տեխնիկայի հետ կապված հարցեր, տրվել են առաջարկություններ՝ վերացնելու հաշվողական հմտությունների հետ կապված խնդիրները և ձևավորելու հաշվողական մշակույթ։

II. Հիմնական մասը

Ուսանողների հաշվողական մշակույթի ձևավորում

5-6 դասարաններ.

Ակնհայտ է, որ ռացիոնալ հաշվարկման տեխնիկան յուրաքանչյուր մարդու կյանքում հաշվողական մշակույթի անհրաժեշտ տարրն է, առաջին հերթին իրենց գործնական նշանակությամբ, և ուսանողները դրա կարիքն ունեն գրեթե յուրաքանչյուր դասի ժամանակ:

Հաշվողական մշակույթը մաթեմատիկայի և այլ ակադեմիական առարկաների ուսումնասիրության հիմքն է, քանի որ բացի այն, որ հաշվարկներն ակտիվացնում են հիշողությունն ու ուշադրությունը, օգնում են ռացիոնալ կազմակերպել գործունեությունը և էապես ազդում մարդու զարգացման վրա:

Առօրյա կյանքում, դասարաններում, երբ յուրաքանչյուր րոպեն արժեքավոր է, շատ կարևոր է արագ և ռացիոնալ բանավոր և գրավոր հաշվարկներ կատարել՝ առանց սխալվելու և առանց որևէ լրացուցիչ հաշվողական գործիքի օգտագործման։

Մենք՝ դպրոցականներս, այս խնդրին հանդիպում ենք ամենուր՝ դասարանում, տանը, խանութում և այլն։ Բացի այդ, 9-րդ և 11-րդ դասարաններից հետո մենք պետք է քննություններ հանձնենք IGA-ի և միասնական պետական ​​քննության տեսքով, որտեղ չի թույլատրվում օգտագործել միկրոհաշվիչ: Ուստի չափազանց կարևոր է դառնում յուրաքանչյուր մարդու մոտ հաշվողական մշակույթի ձևավորման խնդիրը, որի տարրը ռացիոնալ հաշվարկի տեխնիկայի տիրապետումն է։

Հատկապես անհրաժեշտ է տիրապետել ռացիոնալ հաշվման տեխնիկային

այնպիսի առարկաների ուսումնասիրության մեջ, ինչպիսիք են մաթեմատիկան, պատմությունը, տեխնոլոգիան, համակարգչային գիտությունը և այլն, այսինքն, ռացիոնալ հաշվարկը օգնում է տիրապետել հարակից առարկաներին, ավելի լավ կողմնորոշվել ուսումնասիրվող նյութը, կյանքի իրավիճակներում: Այսպիսով, ինչ ենք մենք սպասում: Եկեք գնանք ռացիոնալ հաշվելու տեխնիկայի գաղտնիքների աշխարհ!!!

Ի՞նչ խնդիրներ են ունենում աշակերտները հաշվարկներ կատարելիս:

Իմ տարիքի հասակակիցները հաճախ խնդիրներ են ունենում տարբեր առաջադրանքներ կատարելիս, որոնցում պետք է արագ և հարմար հաշվարկներ կատարել . Ինչու???

Ահա մի քանի ենթադրություններ.

1. Աշակերտը լավ չի հասկացել ուսումնասիրված թեման

2. Աշակերտը չի կրկնում նյութը:

3. Աշակերտը վատ է տիրապետում թվերին:

4. Ուսանողը չի ցանկանում ուսումնասիրել այս թեման

5. Աշակերտը կարծում է, որ դա իրեն օգտակար չի լինի։

Այս բոլոր ենթադրությունները ես վերցրել եմ իմ փորձից և իմ դասընկերների ու հասակակիցների փորձից: Այնուամենայնիվ, հաշվողական վարժություններում ռացիոնալ հաշվելու հմտությունները կարևոր դեր են խաղում, ուստի ես ուսումնասիրել եմ, կիրառել և ցանկանում եմ ձեզ ներկայացնել ռացիոնալ հաշվելու մի քանի տեխնիկա:

Բանավոր և գրավոր հաշվարկների ռացիոնալ մեթոդներ.

Աշխատանքային և առօրյա կյանքում անընդհատ տարբեր տեսակի հաշվարկների անհրաժեշտություն է առաջանում։ Մտավոր հաշվարկի ամենապարզ մեթոդների կիրառումը նվազեցնում է հոգնածությունը, զարգացնում ուշադրությունը և հիշողությունը։ Հաշվարկման ռացիոնալ մեթոդների կիրառումը անհրաժեշտ է հաշվարկների աշխատուժը, ճշգրտությունը և արագությունը բարձրացնելու համար: Հաշվարկների արագությունն ու ճշգրտությունը կարելի է ձեռք բերել միայն հաշվարկների մեքենայացման մեթոդների և միջոցների ռացիոնալ օգտագործմամբ, ինչպես նաև մտավոր հաշվարկման մեթոդների ճիշտ կիրառմամբ:

Ի. Թվերի պարզեցված գումարման տեխնիկա

Գոյություն ունեն գումարման չորս հայտնի մեթոդներ, որոնք կարող են արագացնել հաշվարկները:

Հերթական բիթային գումարման մեթոդ օգտագործվում է մտավոր հաշվարկներում, քանի որ այն պարզեցնում և արագացնում է տերմինների գումարումը: Այս մեթոդի կիրառման ժամանակ գումարումը սկսվում է ամենաբարձր թվերից. երկրորդ հավելման համապատասխան թվանշանները ավելացվում են առաջին հավելումին:

Օրինակ. Գտնենք 5287 և 3564 թվերի գումարը՝ օգտագործելով հաջորդական բիթային գումարման մեթոդը։

Լուծում. Մենք հաշվարկը կիրականացնենք հետևյալ հաջորդականությամբ.

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Պատասխան՝ 8 851. (համակցված-փոխադրական օրենք)

Հաջորդական բիթային գումարման մեկ այլ եղանակ բաղկացած է նրանից, որ երկրորդ անդամի ամենաբարձր թվանշանը գումարվում է առաջին անդամի ամենաբարձր թվանշանին, այնուհետև երկրորդ անդամի հաջորդ նիշը գումարվում է առաջին անդամի հաջորդ թվանշանին և այլն:

Դիտարկենք այս լուծումը՝ օգտագործելով տրված օրինակը, ստանում ենք.

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Պատասխան՝ 8851։

Կլոր թվի մեթոդ . Այն թիվը, որն ունի մեկ նշանակալի թվանշան և ավարտվում է մեկ կամ ավելի զրոներով, կոչվում է կլոր թիվ։ Այս մեթոդը օգտագործվում է, երբ երկու կամ ավելի տերմիններից կարող եք ընտրել այնպիսիները, որոնք կարող են լրացվել կլոր համար կազմելու համար: Կլոր թվի և հաշվարկման պայմանում նշված թվի տարբերությունը կոչվում է լրացում։ Օրինակ՝ 1000 - 978 = 22: Այս դեպքում 22 թիվը 978-ի թվաբանական գումարումն է 1000-ին:

Կլոր թվերի մեթոդով գումարում կատարելու համար անհրաժեշտ է կլոր թվերին մոտ մեկ կամ մի քանի անդամներ կլորացնել, կատարել կլոր թվերի գումարում և ստացված գումարից հանել թվաբանական գումարումները:

Օրինակ. Կլոր թվերի մեթոդով գտնենք 1238 և 193 թվերի գումարը։

Լուծում. Կլորացնենք 193 թիվը մինչև 200 և գումարենք հետևյալ կերպ.

Տերմինների խմբավորման մեթոդ . Այս մեթոդը կիրառվում է այն դեպքում, երբ տերմինները միասին խմբավորվելիս տալիս են կլոր թվեր, որոնք հետո գումարվում են։

Օրինակ. Գտնենք 74, 32, 67, 48, 33 և 26 թվերի գումարը։

Լուծում. Ամփոփենք հետևյալ խմբավորված թվերը՝ (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280։

(համակցված-փոխադրական օրենք)

կամ, երբ թվերը խմբավորելը հանգեցնում է հավասար գումարի.

Օրինակ՝1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(համակցված-փոխադրական օրենք)

II. Թվերի պարզեցված հանման տեխնիկա

Հերթական բիթային հանման մեթոդ. Այս մեթոդը հաջորդաբար հանում է մինուենդից հանված յուրաքանչյուր թվանշան: Այն օգտագործվում է, երբ թվերը հնարավոր չէ կլորացնել:

Օրինակ. Գտնենք 721 և 398 թվերի տարբերությունը։

Լուծում. Տրված թվերի տարբերությունը գտնելու քայլերը կատարենք հետևյալ հաջորդականությամբ.

Պատկերացնենք 398 թիվը որպես գումար՝ 300 + 90 + 8 = 398;

Կատարենք բիթային հանում.

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Կլոր թվի մեթոդ . Այս մեթոդը կիրառվում է այն դեպքում, երբ ենթակետը մոտ է կլոր թվին: Հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է մինուենդից հանել ենթահողը՝ որպես կլոր թիվ, և ստացված տարբերությանը ավելացնել թվաբանական գումարումը։

Օրինակ. Կլոր թվերի մեթոդով հաշվարկենք 235 և 197 թվերի տարբերությունը։

Լուծում. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38:

III. Թվերի պարզեցված բազմապատկման տեխնիկա

Բազմապատկել մեկով, որին հաջորդում են զրոները: Թիվը բազմապատկելիս այն թվով, որը ներառում է մեկը, որին հաջորդում են զրոները (10; 100; 1000 և այլն), դրան աջ կողմում գումարվում է այնքան զրո, որքան մեկից հետո գործակիցը:

Օրինակ. Գտնենք 568 և 100 թվերի արտադրյալը։

Լուծում. 568 x 100 = 56,800:

Հաջորդական բիթային բազմապատկման մեթոդ . Այս մեթոդը կիրառվում է ցանկացած միանիշ թվով թիվը բազմապատկելիս։ Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է երկնիշ (եռանիշ, քառանիշ և այլն) թիվը բազմապատկել միանիշ թվով, ապա նախ միանիշ գործակիցը բազմապատկվում է մեկ այլ գործոնի տասնյակով, այնուհետև նրա միավորներով և արդյունքում ստացված ապրանքներն ամփոփվում են:

Օրինակ. Գտնենք 39 և 7 թվերի արտադրյալը։

Լուծում. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (բազմապատկման բաշխիչ օրենք գումարման նկատմամբ)

Կլոր թվի մեթոդ . Այս մեթոդը կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ գործոններից մեկը մոտ է կլոր թվին: Բազմապատկիչը բազմապատկվում է կլոր թվով, այնուհետև թվաբանական գումարումով, իսկ վերջում երկրորդը հանվում է առաջին արտադրյալից։

Օրինակ. Գտնենք 174 և 69 թվերի արտադրյալը։

174 x 69 = 174 x (70-1) = 174 x 70 - 174 x 1 = 12,180 - 174 = 12,006 (բազմապատկման բաշխիչ օրենքը հանման նկատմամբ):

Գործոններից մեկի քայքայման մեթոդ. Այս մեթոդով գործոններից մեկը նախ բաժանվում է մասերի (ավելացնում է), ապա երկրորդ գործակիցը հերթով բազմապատկվում է առաջին գործոնի յուրաքանչյուր մասի վրա, և ստացված արտադրյալները գումարվում են։

Օրինակ. Գտնենք 13 և 325 թվերի արտադրյալը։

Եկեք 13 թիվը բաժանենք անդամների՝ 13 = 10 + 3։ Ստացված անդամներից յուրաքանչյուրը բազմապատկենք 325-ով՝ 10 x 325 = 3250; 3 x 325 = 975: Մենք ամփոփում ենք ստացված արտադրանքները՝ 3250 + 975 = 4225

Ռացիոնալ մտավոր հաշվարկի հմտություններին տիրապետելը ձեր աշխատանքն ավելի արդյունավետ կդարձնի։ Դա հնարավոր է միայն տրված բոլոր թվաբանական գործողություններին լավ տիրապետելու դեպքում: Ռացիոնալ հաշվելու տեխնիկայի օգտագործումը արագացնում է հաշվարկները և ապահովում անհրաժեշտ ճշգրտությունը: Բայց ոչ միայն պետք է կարողանաք հաշվարկել, այլ նաև պետք է իմանաք բազմապատկման աղյուսակը, թվաբանական գործողությունների օրենքները, դասերը և աստիճանները:

Կան մտավոր հաշվելու համակարգեր, որոնք թույլ են տալիս բանավոր հաշվել արագ և ռացիոնալ: Մենք կանդրադառնանք ամենատարածված մեթոդներից մի քանիսին:

1. Երկնիշ թվի բազմապատկումը 11-ով:

Մենք ուսումնասիրել ենք այս մեթոդը, բայց ամբողջությամբ չենք ուսումնասիրել Այս մեթոդի գաղտնիքն այն է, որ այն կարելի է համարել թվաբանական գործողությունների օրենքներ։

Օրինակներ.

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (բազմապատկման բաշխիչ օրենքը գումարման նկատմամբ)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (բաշխման օրենք և կլոր թվերի մեթոդ)

Մենք ուսումնասիրել ենք այս մեթոդը, բայց ուրիշը չգիտեինք Երկնիշ թվերը 11-ով բազմապատկելու գաղտնիքը.

Երկնիշ թվերը 11-ով բազմապատկելիս ստացված արդյունքները դիտարկելիս նկատեցի, որ պատասխանը ստանալու ավելի հարմար տարբերակ կա. Երկնիշ թիվը 11-ով բազմապատկելիս այս թվի թվանշանները իրարից հեռացվում են և այդ թվանշանների գումարը տեղադրվում է մեջտեղում։

ա) 23 11=253, քանի որ 2+3=5;

բ) 45 11=495, քանի որ 4+5=9;

գ) 57 11=627, քանի որ 5+7=12, երկուսը դրվեց մեջտեղում, իսկ մեկը ավելացվեց հարյուրավորներին.

դ) 78 11=858, քանի որ 7+8=15, ապա տասնյակների թիվը կհավասարվի 5-ի, իսկ հարյուրավորների թիվը մեկով կավելանա և կհավասարվի 8-ի։

Ես գտա այս մեթոդի հաստատումը ինտերնետում:

2) Այն երկնիշ թվերի արտադրյալը, որոնք ունեն տասնյակների նույն թիվը և դրանց միավորների գումարը 10 է, այսինքն՝ 23 27; 34 36; 52 58 և այլն:

ԿանոնՏասնյակի թվանշանը բազմապատկվում է բնական շարքի հաջորդ թվանշանով, արդյունքը գրվում և դրան գումարվում է միավորների արտադրյալը։

ա) 23 27=621. Ինչպե՞ս ստացաք 621: 2 թիվը բազմապատկում ենք 3-ով («երկու»-ին հաջորդում է «երեք»-ը), այն դառնում է 6, իսկ կողքին ավելացնում ենք միավորների արտադրյալը՝ 3 7 = 21, ստացվում է 621։

բ) 34 36 = 1224, քանի որ 3 4 = 12, 12 թվին վերագրում ենք 24, սա այս թվերի միավորների արտադրյալն է՝ 4 6։

գ) 52 58 = 3016, քանի որ 5-ի տասնյակ թվանշանը բազմապատկում ենք 6-ով, այն կլինի 30, նշանակում ենք 2-ի և 8-ի արտադրյալը, այսինքն՝ 16-ը:

դ) 61 69=4209։ Պարզ է, որ 6-ը բազմապատկվել է 7-ով և ստացել ենք 42: Որտեղի՞ց է առաջանում զրոն: Միավորները բազմապատկվեցին և ստացանք՝ 1 9 = 9, բայց արդյունքը պետք է լինի երկնիշ, ուստի վերցնում ենք 09։

3) Նույն թվանշաններից բաղկացած եռանիշ թվերի բաժանումը 37 թվի վրա: Արդյունքը հավասար է եռանիշ թվի այս միանման թվանշանների գումարին (կամ այն ​​թիվը, որը հավասար է եռանիշ թվի եռապատիկին):

Օրինակներ՝ ա) 222:37=6. Սա 2+2+2=6 գումարն է; բ) 333:37=9, քանի որ 3+3+3=9.

գ) 777:37=21, այսինքն՝ 7+7+7=21։

դ) 888:37=24, քանի որ 8+8+8=24.

Հաշվի ենք առնում նաև, որ 888:24=37.

III. Եզրակացություն

Իմ աշխատանքի թեմայի հիմնական գաղտնիքը բացահայտելու համար ես ստիպված էի քրտնաջան աշխատել՝ փնտրել, վերլուծել տեղեկատվություն, հարցումներ կատարել դասընկերների հետ, կրկնել վաղ հայտնի մեթոդները և գտնել ռացիոնալ հաշվարկի շատ անծանոթ մեթոդներ և վերջապես հասկանալ. ո՞րն է նրա գաղտնիքը Եվ ես հասկացա, որ գլխավորն իմանալն է և կարողանալը կիրառել հայտնիները, գտնել հաշվման նոր ռացիոնալ մեթոդներ, բազմապատկման աղյուսակը, թվերի կազմը (դասեր և շարքեր), թվաբանական գործողությունների օրենքները։ Բացի սրանից,

փնտրեք նոր ուղիներ.

- Թվերի պարզեցված գումարման տեխնիկա(հաջորդական բիթային գումարման մեթոդ; կլոր թվի մեթոդ; գործոններից մեկի տարրալուծման մեթոդ);

-Թվերի պարզեցված հանման տեխնիկա(հաջորդական բիթային հանման մեթոդ; կլոր թվերի մեթոդ);

-Թվերի պարզեցված բազմապատկման տեխնիկա(բազմապատկում մեկով, որին հաջորդում են զրոները, հաջորդական բիթային բազմապատկման եղանակը, կլոր թվի մեթոդը, գործոններից մեկի տարրալուծման եղանակը. ;

- Արագ մտավոր հաշվարկի գաղտնիքները(երկնիշ թիվը բազմապատկել 11-ով. երկնիշ թիվը 11-ով բազմապատկելիս այս թվի թվանշանները միմյանցից հեռանում են և այդ թվանշանների գումարը դրվում է մեջտեղում. երկնիշ թվերի արտադրյալը, որոնք ունեն Տասնյակների նույն թիվը, իսկ միավորների գումարը 10 է. տարին։

IV. Հղումներ

1. Savin A. P. Mathematical miniatures / A. P. Savin. - Մ.: Մանկական գրականություն, 1991

2. Զուբարևա I.I., Մաթեմատիկա, 5-րդ դասարան: Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար / I.I. Zubareva, A.G. Մորդկովիչ. - M.: Mnemosyne, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. Մաթեմատիկա-կրկնություն. ru

Վ. Դիմումներ

Մինի ուսումնասիրություն (հարցում հարցաթերթիկի տեսքով)

Ռացիոնալ հաշվման վերաբերյալ ուսանողների գիտելիքները պարզելու համար ես հարցաշարի տեսքով հարցում եմ անցկացրել հետևյալ հարցերի շուրջ.

* Գիտե՞ք, թե որոնք են ռացիոնալ հաշվելու տեխնիկան:

* Եթե այո, ապա որտեղի՞ց, և եթե ոչ, ապա ինչու:

* Ռացիոնալ հաշվելու քանի՞ եղանակ գիտեք:

* Դժվարություններ ունե՞ք մտավոր հաշվարկում:

* Ինչպե՞ս եք սովորում մաթեմատիկայից: ա) «5»; բ) «4»; գ) մինչև «3»

*Ի՞նչն է ձեզ ամենաշատը դուր գալիս մաթեմատիկայից:

ա) օրինակներ; բ) առաջադրանքներ; գ) կոտորակներ

* Ձեր կարծիքով, որտե՞ղ կարող է օգտակար լինել մտավոր թվաբանությունը, բացի մաթեմատիկայից: *Հիշու՞մ եք թվաբանական գործողությունների օրենքները, և եթե այո, ապա որո՞նք են:

Հարցում կատարելուց հետո հասկացա, որ իմ դասընկերները բավականաչափ չգիտեն թվաբանական գործողությունների օրենքները, նրանց մեծ մասը ռացիոնալ հաշվելու հետ կապված խնդիրներ ունի, շատ ուսանողներ հաշվում են դանդաղ և սխալներով, և բոլորն ուզում են սովորել արագ, ճիշտ և արագ հաշվել։ հարմար եղանակով։ Ուստի իմ հետազոտական ​​աշխատանքի թեման չափազանց կարևոր է բոլոր ուսանողների համար և ոչ միայն։

1. Հաշվարկների բանավոր և գրավոր հետաքրքիր մեթոդներ, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք մաթեմատիկայի դասերին՝ օգտագործելով «Մաթեմատիկա, 5-րդ դասարան» դասագրքի օրինակներ.

Ահա դրանցից մի քանիսը.

թիվն արագ 5-ով բազմապատկելու համար, բավական է նշել, որ 5=10:2.

Օրինակ՝ 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240:

Թիվը 50-ով բազմապատկելու համար , կարող եք այն բազմապատկել 100-ով և բաժանել 2-ի։

Օրինակ՝ 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Թիվը 25-ով բազմապատկելու համար , կարող եք այն բազմապատկել 100-ով և բաժանել 4-ի,

Օրինակ՝ 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

Թիվը 125-ով բազմապատկելու համար , կարող եք այն բազմապատկել 1000-ով և բաժանել 8-ի,

Օրինակ՝ 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Վերջում երկու 0-ով կլոր թիվը բաժանել 25-ի , կարող եք այն բաժանել 100-ի և բազմապատկել 4-ով։

Օրինակ՝ 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Կլոր թիվը 50-ի բաժանելու համար , կարելի է բաժանել 100-ի և բազմապատկել 2-ով

Օրինակ՝ 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Բայց դուք ոչ միայն պետք է կարողանաք հաշվարկել, այլ նաև պետք է իմանաք բազմապատկման աղյուսակը, թվաբանական գործողությունների օրենքները, թվերի (դասերի և թվանշանների) կազմը և դրանք օգտագործելու հմտություններ ունենաք։

Թվաբանական գործողությունների օրենքները.

ա + բ = բ + ա

Գումարների կոմուտատիվ օրենքը

(ա + բ) + գ = ա + (բ + գ)

Հավելումների համակցված օրենքը

ա · բ = բ · ա

Բազմապատկման կոմուտատիվ օրենքը

(ա · բ) · գ = ա · (բ · գ)

Բազմապատկման համակցված օրենքը

(ա = բ) · գ = ա · գ = բ · գ

Բազմապատկման բաշխման օրենքը (համեմատած գումարման հետ)

Բազմապատկման աղյուսակ.

Ի՞նչ է բազմապատկումը:

Սա խելացի հավելում է:

Ի վերջո, ավելի խելացի է բազմապատկել անգամները,

Ավելի քան մեկ ժամ ավելացրեք ամեն ինչ:

Բազմապատկման աղյուսակ

Կյանքում դա մեզ բոլորիս է պետք:

Եվ դա իզուր չի կոչվում

Նա ԲԱԶՄԱՑՎԵՑ։

Դասակարգը և դասերը

Մեծ արժեքներով թվերը կարդալը և նաև հիշելը հարմար դարձնելու համար դրանք պետք է բաժանել այսպես կոչված «դասերի»՝ սկսած աջից՝ թիվը բաժանվում է բացատով երեք նիշի «առաջին կարգի», այնուհետև մյուսի։ ընտրված է երեք նիշ, «երկրորդ կարգ» և այլն: Կախված թվի իմաստից՝ վերջին դասը կարող է ավարտվել երեք, երկու կամ մեկ թվանշանով։

Օրինակ՝ 35461298 թիվը գրված է հետևյալ կերպ.

Այս թիվը բաժանված է դասերի.

482 - առաջին կարգ (միավորների դաս)

630 - երկրորդ կարգ (հազար դասի)

35 - երրորդ դաս (միլիոնավոր դաս)

Լիցքաթափում

Դասարանում ընդգրկված թվերից յուրաքանչյուրը կոչվում է իր թվանշան, որոնք նույնպես հաշվվում են աջից։

Օրինակ՝ 35,630,482 թիվը կարելի է բաժանել դասերի և աստիճանների.

482 – առաջին դաս

2 - առաջին նիշ (միավոր թվանշան)

8 – երկրորդ նիշ (տասնյակ տեղ)

4 – երրորդ նիշ (հարյուր տեղ)

630 – երկրորդ դաս

0 - առաջին նիշ (հազար նիշ)

3 – երկրորդ նիշ (տասնյակ հազարավոր թվանշան)

6 – երրորդ նիշ (հարյուր հազարավոր թվանշան)

35 - երրորդ դաս

5 - առաջին նիշ (միլիոնավոր նիշ)

3 – երկրորդ նիշ (տասնյակ միլիոնավոր թվանշան)

35.630.482 թիվը կարդացվում է.

Երեսունհինգ միլիոն վեց հարյուր երեսուն հազար չորս հարյուր ութսուներկու։

Խնդիրներ ռացիոնալ հաշվարկի հետ և ինչպես դրանք շտկել

Անգիրության ռացիոնալ մեթոդներ.

Հարցման և դասերի դիտարկումների արդյունքում նկատեցի, որ որոշ սովորողներ լավ չեն լուծում տարբեր խնդիրներ և վարժություններ, քանի որ ծանոթ չեն ռացիոնալ հաշվարկի մեթոդներին։

1. Տեխնիկաներից մեկն ուսումնասիրվող նյութը մտապահելու և հիշողության մեջ պահելու համար հարմար համակարգ բերելն է։

2. Որպեսզի մտապահված նյութը հիշողությամբ պահպանվի որոշակի համակարգում, անհրաժեշտ է որոշակի աշխատանք կատարել դրա բովանդակության վրա։

3. Այնուհետև կարող եք սկսել յուրացնել տեքստի յուրաքանչյուր առանձին հատված՝ վերընթերցելով այն և փորձելով անմիջապես վերարտադրել (կրկնել ինքներդ ձեզ կամ բարձրաձայն) կարդացածը:

4. Նյութի կրկնությունը մեծ նշանակություն ունի մտապահելու համար։ Այս մասին ասում է ժողովրդական ասացվածքը՝ «Կրկնությունը ուսման մայրն է»։ Բայց դա պետք է խելամտորեն ու ճիշտ կրկնել։

Կրկնության աշխատանքը պետք է աշխուժացնել՝ օգտագործելով նկարազարդումներ կամ օրինակներ, որոնք նախկինում չեն եղել կամ արդեն մոռացվել են։

Ելնելով վերոգրյալից՝ մենք կարող ենք հակիրճ ձևակերպել հետևյալ առաջարկությունները ուսումնական նյութի հաջող յուրացման համար.

1. Առաջադրանք դրեք, արագ և ամուր հիշեք ուսումնական նյութը երկար ժամանակ։

2. Կենտրոնացեք այն ամենի վրա, ինչ պետք է սովորել:

3. Լավ հասկանալ ուսումնական նյութը:

4. Անգիր արված տեքստի համար պլան կազմիր՝ դրանում ընդգծելով հիմնական մտքերը, և տեքստը բաժանիր մասերի։

5. Եթե նյութը մեծ է, հաջորդաբար յուրացրեք մասերը մեկը մյուսի հետևից, իսկ հետո ներկայացրեք ամեն ինչ որպես ամբողջություն։

6. Նյութը կարդալուց հետո անհրաժեշտ է այն վերարտադրել (պատմել կարդացածդ):

7. Կրկնեք նյութը, քանի դեռ այն չի մոռացվել:

8. Կրկնությունը բաշխեք ավելի երկար ժամանակով:

9. Անգիր անելիս օգտագործեք հիշողության տարբեր տեսակներ (առաջին հերթին՝ իմաստային) և ձեր հիշողության որոշ անհատական ​​հատկանիշներ (տեսողական, լսողական կամ շարժիչ):

10. Դժվար նյութը պետք է կրկնել քնելուց առաջ, իսկ հետո առավոտյան՝ «թարմ հիշելու համար»։

11. Ձեռք բերած գիտելիքները փորձեք կիրառել գործնականում։ Սա նրանց հիշողության մեջ պահելու լավագույն միջոցն է (անտեղի չէ, որ ասում են. «Ուսուցման իրական մայրը կրկնությունը չէ, այլ կիրառումը»):

12. Պետք է ավելի շատ գիտելիքներ ձեռք բերել, նոր բան սովորել։

Այժմ դուք սովորել եք, թե ինչպես արագ և ճիշտ հիշել ձեր ուսումնասիրած նյութը:

Որոշ թվեր 9-ով բազմապատկելու հետաքրքիր տեխնիկա՝ 2-ից 10-ը հաջորդական բնական թվեր ավելացնելու հետ միասին

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Հետաքրքիր խաղ «Գուշակիր թիվը»

Դուք խաղացե՞լ եք «Գուշակիր համարը» խաղը: Սա շատ պարզ խաղ է: Ենթադրենք, ես մտածում եմ 100-ից փոքր բնական թիվ, գրում եմ թղթի վրա (որպեսզի խաբելու հնարավորություն չլինի), իսկ դու փորձում ես գուշակել՝ տալով հարցեր, որոնց կարելի է պատասխանել միայն «այո»-ով կամ «ոչ»-ով: . Հետո դուք կռահեք մի թիվ, իսկ ես փորձում եմ գուշակել այն: Նա, ով ճիշտ է գուշակում քիչ հարցերում, հաղթում է:

Քանի՞ հարց կպահանջվի, որպեսզի գուշակեք իմ համարը: Չգիտե՞ս: Ես պարտավորվում եմ գուշակել ձեր թիվը՝ տալով ընդամենը յոթ հարց։ Ինչպե՞ս: Ահա թե ինչպես, օրինակ. Թույլ տվեք գուշակել մի թիվ: Հարցնում եմ՝ 64-ից պակաս է՞։ - «Այո»: - «32-ից պակա՞ս»: - «Այո»: - «16-ից պակա՞ս»: - «Այո»: - «8-ից պակա՞ս»: - «Ոչ»: - «12-ից պակա՞ս»: - «Ոչ»: - «14-ից պակա՞ս»: - «Այո»: - «13-ից պակա՞ս»: - «Ոչ»: - «13 համարը նախատեսված է».

Պարզ է? Հնարավոր թվերի բազմությունը կիսում եմ կիսով չափ, հետո մնացած կեսը նորից կիսով չափ և այդպես շարունակ, մինչև մնացորդը պարունակի մեկ թիվ։

Եթե ​​ձեզ դուր եկավ խաղը կամ, ընդհակառակը, ավելին եք ուզում, ապա գնացեք գրադարան և վերցրեք «Ա. Պ.Սավին (Մաթեմատիկական մանրանկարներ). Այս գրքում դուք կգտնեք շատ հետաքրքիր և հուզիչ բաներ: Գրքի պատկեր.

Շնորհակալություն բոլորին ձեր ուշադրության համար

Եվ մաղթում եմ հաջողություն!!!

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Ներկայացման նախադիտումներից օգտվելու համար ստեղծեք Google հաշիվ և մուտք գործեք այն՝ https://accounts.google.com

Սլայդի ենթագրեր.

Ո՞րն է ռացիոնալ հաշվելու գաղտնիքը:

Աշխատանքի նպատակը՝ տեղեկատվության որոնում, ռացիոնալ հաշվառման առկա մեթոդների և տեխնիկայի ուսումնասիրում, դրանք գործնականում կիրառում։

առաջադրանքներ՝ 1. Զուգահեռ դասարանների միջև հետազոտության ձևով անցկացնել մինի-հետազոտություն: 2. Վերլուծել հետազոտության թեման՝ դպրոցական գրադարանում առկա գրականություն, 5-րդ դասարանի մաթեմատիկայի դասագրքում, ինչպես նաև համացանցում առկա տեղեկատվություն: 3. Ընտրեք ռացիոնալ հաշվման ամենաարդյունավետ մեթոդներն ու միջոցները: 4. Դասակարգել արագ բանավոր և գրավոր հաշվելու առկա տեխնիկան: 5. Ստեղծեք Ռացիոնալ հաշվելու տեխնիկա պարունակող հուշագրեր՝ 5-րդ դասարանի զուգահեռներում օգտագործելու համար:

Ինչպես արդեն ասացի, ռացիոնալ հաշվարկի թեման արդիական է ոչ միայն աշակերտների, այլև յուրաքանչյուր մարդու, դրանում համոզվելու համար ես հարցում եմ անցկացրել 5-րդ դասարանի աշակերտների շրջանում։ Հարցման հարցերն ու պատասխանները ձեզ ներկայացված են հավելվածում:

Ի՞նչ է ռացիոնալ հաշվարկը: Ռացիոնալ հաշիվը հարմար հաշիվ է (ռացիոնալ բառը նշանակում է հարմար, ճիշտ)

Ինչու են ուսանողները դժվարություններ ունենում???

Ահա որոշ ենթադրություններ. Ուսանողը. 1. վատ է հասկացել ուսումնասիրված թեման. 2. չի կրկնում նյութը. 3. ունի թվաբանության վատ հմտություններ; 4. կարծում է, որ դա իրեն պետք չի լինի։

Բանավոր և գրավոր հաշվարկների ռացիոնալ մեթոդներ. Աշխատանքային և առօրյա կյանքում անընդհատ տարբեր տեսակի հաշվարկների անհրաժեշտություն է առաջանում։ Մտավոր հաշվարկի ամենապարզ մեթոդների կիրառումը նվազեցնում է հոգնածությունը, զարգացնում ուշադրությունը և հիշողությունը։

Գոյություն ունեն գումարման չորս հայտնի մեթոդներ, որոնք կարող են արագացնել հաշվարկները: I. Թվերի պարզեցված գումարման տեխնիկա

Մտավոր հաշվարկներում կիրառվում է հաջորդական բիթային գումարման մեթոդը, քանի որ այն պարզեցնում և արագացնում է տերմինների գումարումը։ Այս մեթոդի կիրառման ժամանակ գումարումը սկսվում է ամենաբարձր թվերից. երկրորդ հավելման համապատասխան թվանշանները ավելացվում են առաջին հավելումին: Օրինակ. Այս մեթոդով գտնենք 5287 և 3564 թվերի գումարը։ Լուծում. Մենք կիրականացնենք հաշվարկը հետևյալ հաջորդականությամբ՝ 5287 + 3000 = 8287; 8287 + 500 = 8787; 8,787 + 60 = 8,847; 8847 + 4 = 8851։ Պատասխան՝ 8851։

Հերթական բիթային գումարման մեկ այլ եղանակ այն է, որ երկրորդ հավելման ամենաբարձր թվանշանը գումարվում է առաջին հավելման ամենաբարձր թվանշանին, այնուհետև երկրորդ հավելման հաջորդ նիշը ավելացվում է առաջին հավելման հաջորդ թվանշանին և այլն: Դիտարկենք այս լուծումը՝ օգտագործելով տրված օրինակը, ստանում ենք՝ 5000 + 3000 = 8000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Պատասխան՝ 8851։

Կլոր թվի մեթոդ. Մեկ կամ մի քանի զրոներով ավարտվող թիվը կոչվում է կլոր թիվ։ Այս մեթոդը օգտագործվում է, երբ երկու կամ ավելի տերմիններից կարող եք ընտրել այնպիսիները, որոնք կարող են լրացվել կլոր համար կազմելու համար: Կլոր թվի և հաշվարկման պայմանում նշված թվի տարբերությունը կոչվում է լրացում։ Օրինակ՝ 1000 - 978 = 22. Այս դեպքում 22 թիվը 978 թվի թվաբանական գումարումն է 1000-ին: Կլոր թվերի մեթոդով գումարում կատարելու համար անհրաժեշտ է կլոր թվերին մոտ մեկ կամ մի քանի անդամներ կլորացնել, կատարել կլոր թվերի գումարում և ստացված գումարից հանել թվաբանական գումարումները: Օրինակ. Կլոր թվերի մեթոդով գտնենք 1238 և 193 թվերի գումարը։ Լուծում. Կլորացնենք 193 թիվը 200-ի և գումարումը կատարենք հետևյալ կերպ՝ 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431։

Տերմինների խմբավորման մեթոդ. Այս մեթոդը կիրառվում է այն դեպքում, երբ տերմինները միասին խմբավորվելիս տալիս են կլոր թվեր, որոնք հետո գումարվում են։ Օրինակ. Գտե՛ք 74, 32, 67, 48, 33 և 26 թվերի գումարը։ Լուծում։ Ամփոփենք հետևյալ խմբավորված թվերը՝ (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280։

Խմբավորման տերմինների վրա հիմնված գումարման մեթոդ: Օրինակ՝ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Թվերի պարզեցված հանման տեխնիկա

Հերթական բիթային հանման մեթոդ. Այս մեթոդը հաջորդաբար հանում է մինուենդից հանված յուրաքանչյուր թվանշան: Այն օգտագործվում է, երբ թվերը հնարավոր չէ կլորացնել: Օրինակ. Գտնենք 721 և 398 թվերի տարբերությունը։ Տրված թվերի տարբերությունը գտնելու քայլերը կատարենք հետևյալ հաջորդականությամբ՝ պատկերացրեք 398 թիվը որպես գումար՝ 300 + 90 + 8 = 398; Եկեք կատարենք բիթային հանում. 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323։

Կլոր թվի մեթոդ. Այս մեթոդը կիրառվում է այն դեպքում, երբ ենթակետը մոտ է կլոր թվին: Հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է մինուենդից հանել ենթահողը՝ որպես կլոր թիվ, և ստացված տարբերությանը ավելացնել թվաբանական գումարումը։ Օրինակ. Կլոր թվերի մեթոդով հաշվարկենք 235 և 197 թվերի տարբերությունը։ Լուծում. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38:

III. Թվերի պարզեցված բազմապատկման տեխնիկա

Բազմապատկել մեկով, որին հաջորդում են զրոները: Թիվը բազմապատկելիս այն թվով, որը ներառում է մեկը, որին հաջորդում են զրոները (10; 100; 1000 և այլն), դրան աջ կողմում գումարվում է այնքան զրո, որքան մեկից հետո գործակիցը: Օրինակ. Գտնենք 568 և 100 թվերի արտադրյալը Լուծում. 568 x 100 = 56,800:

Հաջորդական բիթային բազմապատկման մեթոդ. Այս մեթոդը կիրառվում է ցանկացած միանիշ թվով թիվը բազմապատկելիս։ Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է երկնիշ (եռանիշ, քառանիշ և այլն) թիվը բազմապատկել միանիշ թվով, ապա սկզբում գործակիցներից մեկը բազմապատկվում է մյուս գործոնի տասնյակով, այնուհետև նրա միավորներով և արդյունքում ստացված ապրանքներն ամփոփվում են: Օրինակ. Գտնենք 39 և 7 թվերի արտադրյալը։ Լուծում. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273:

Կլոր թվի մեթոդ. Այս մեթոդը կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ գործոններից մեկը մոտ է կլոր թվին: Բազմապատկիչը բազմապատկվում է կլոր թվով, այնուհետև թվաբանական գումարումով, իսկ վերջում երկրորդը հանվում է առաջին արտադրյալից։ Օրինակ. Գտնենք 174 և 69 թվերի արտադրյալը։ Լուծում. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12,180 - 174 = 12,006:

Գործոններից մեկի քայքայման մեթոդ. Այս մեթոդով գործոններից մեկը նախ բաժանվում է մասերի (ավելացնում է), ապա երկրորդ գործակիցը հերթով բազմապատկվում է առաջին գործոնի յուրաքանչյուր մասի վրա, և ստացված արտադրյալները գումարվում են։ Օրինակ. Գտնենք 13 և 325 թվերի արտադրյալը։ Լուծում. Եկեք թիվը բաժանենք անդամների՝ 13 = 10 + 3: Ստացված անդամներից յուրաքանչյուրը բազմապատկենք 325-ով՝ 10 x 325 = 3250; 3 x 325 = 975 Մենք ամփոփում ենք ստացված արտադրանքները՝ 3250 + 975 = 4225:

Արագ մտավոր հաշվարկի գաղտնիքները. Կան մտավոր հաշվելու համակարգեր, որոնք թույլ են տալիս բանավոր հաշվել արագ և ռացիոնալ: Մենք կանդրադառնանք ամենատարածված մեթոդներից մի քանիսին:

Երկնիշ թվի բազմապատկումը 11-ով:

Օրինակ. այս մեթոդը, բայց մենք չգիտեինք երկնիշ թվերը 11-ով բազմապատկելու ևս մեկ գաղտնիք:

Դիտարկելով երկնիշ թվերը 11-ով բազմապատկելիս ստացված արդյունքները, ես նկատեցի, որ պատասխանը կարող եք ստանալ ավելի հարմար ձևով. երկնիշ թիվը 11-ով բազմապատկելիս այս թվի թվանշանները իրարից հեռացվում են և դրանց գումարը. թվանշանները դրվում են մեջտեղում: Օրինակներ. ա) 23 11=253, քանի որ 2+3=5; բ) 45 11=495, քանի որ 4+5=9; գ) 57 11=627, քանի որ 5+7=12, երկուսը դրվեց մեջտեղում, իսկ մեկը ավելացվեց հարյուրավորներին. Ես գտա այս մեթոդի հաստատումը ինտերնետում:

2) երկնիշ թվերի արտադրյալը, որոնք ունեն տասնյակների նույն թիվը, իսկ միավորների գումարը 10 է, այսինքն՝ 23 27. 34 36; 52 58 և այլն: Կանոն. տասնյակների թվանշանը բազմապատկվում է բնական շարքի հաջորդ թվով, արդյունքը գրվում և դրան գումարվում է միավորների արտադրյալը: Օրինակներ. ա) 23 27=621. Ինչպե՞ս ստացաք 621: 2 թիվը բազմապատկում ենք 3-ով («երկու»-ին հաջորդում է «երեք»-ը), այն դառնում է 6, իսկ կողքին ավելացնում ենք միավորների արտադրյալը՝ 3 7 = 21, ստացվում է 621։ բ) 34 36 = 1224, քանի որ 3 4 = 12, 12 թվին վերագրում ենք 24, սա այս թվերի միավորների արտադրյալն է՝ 4 6։

3) Նույն թվանշաններից կազմված եռանիշ թվերը բաժանեք 37 թվի վրա: Արդյունքը հավասար է եռանիշ թվի այս միանման թվանշանների (կամ եռանիշ թվի եռակի թվանշանին հավասար թվի) գումարին: Օրինակներ. ա) 222:37=6. Սա 2+2+2=6 գումարն է։ բ) 333:37=9, քանի որ 3+3+3=9. գ) 777:37=21, այսինքն՝ 7+7+7=21։ դ) 888:37=24, քանի որ 8+8+8=24. Հաշվի ենք առնում նաև, որ 888:24=37.

Ռացիոնալ մտավոր հաշվարկի հմտություններին տիրապետելը ձեր աշխատանքն ավելի արդյունավետ կդարձնի։ Դա հնարավոր է միայն տրված բոլոր թվաբանական գործողություններին լավ տիրապետելու դեպքում: Ռացիոնալ հաշվելու տեխնիկայի օգտագործումը արագացնում է հաշվարկները և ապահովում անհրաժեշտ ճշգրտությունը:

Եզրակացություն Իմ աշխատանքի թեմայի հիմնական գաղտնիքը բացահայտելու համար ես ստիպված էի քրտնաջան աշխատել՝ փնտրել, վերլուծել տեղեկատվությունը, հարցումներ կատարել դասընկերների հետ, կրկնել վաղ հայտնի մեթոդները և գտնել ռացիոնալ հաշվարկի շատ անծանոթ մեթոդներ և վերջապես հասկանալ, թե որն է դրա գաղտնիքը: Եվ ես հասկացա, որ գլխավորն իմանալն է և կարողանալը կիրառել հայտնիները, գտնել հաշվելու նոր ռացիոնալ մեթոդներ, իմանալ բազմապատկման աղյուսակը, թվերի (դասեր և աստիճաններ) կազմը, թվաբանական գործողությունների օրենքները: Բացի այդ, փնտրեք նոր ուղիներ.

Թվերի պարզեցված գումարման տեխնիկա. (հաջորդական բիթային գումարման մեթոդ; կլոր թվերի մեթոդ; գործոններից մեկի տարրալուծման մեթոդ); - Թվերի պարզեցված հանման տեխնիկա (հաջորդական բիթհանման մեթոդ; կլոր թվերի մեթոդ); - Թվերի պարզեցված բազմապատկման տեխնիկա (բազմապատկել մեկով, որին հաջորդում են զրոները; հաջորդական բիթային բազմապատկման մեթոդ; կլոր թվի մեթոդ; գործոններից մեկի քայքայման եղանակը; - Արագ մտավոր հաշվարկի գաղտնիքները (երկանիշ թիվը բազմապատկել 11. երկնիշ թիվը 11-ով բազմապատկելիս այս թվի թվանշանները իրարից հեռացնում են և մեջտեղում դնում են նույն թվով երկնիշ թվերի արտադրյալը և գումարը Միավորների 10-ը նույն թվանշաններից կազմված թվերի բաժանումն է 37 թվի վրա: Հավանաբար, կան շատ այլ մեթոդներ, ուստի ես կշարունակեմ աշխատել այս թեմայով:

Եզրափակելով խոսքս ուզում եմ ավարտել հետևյալ խոսքերով.

Շնորհակալ եմ բոլորիդ ուշադրության համար, մաղթում եմ հաջողություն!!!

Հեռավոր անցյալում, երբ թվային համակարգը դեռ հորինված չէր, մարդիկ ամեն ինչ հաշվում էին մատների վրա։ Թվաբանության և մաթեմատիկայի հիմունքների գալուստով շատ ավելի հեշտ և գործնական դարձավ ապրանքների, ապրանքների և կենցաղային իրերի հաշվառումը: Այնուամենայնիվ, ինչպիսի՞ն է ժամանակակից հաշվարկային համակարգը. ի՞նչ տեսակների են բաժանվում գոյություն ունեցող թվերը և ի՞նչ է նշանակում «թվերի ռացիոնալ ձև»: Եկեք պարզենք այն:

Քանի՞ տեսակի թվեր կան մաթեմատիկայի մեջ:

«Թիվ» հասկացությունն ինքնին նշանակում է ցանկացած օբյեկտի որոշակի միավոր, որը բնութագրում է դրա քանակական, համեմատական ​​կամ հերթական ցուցանիշները: Որոշ իրերի թիվը ճիշտ հաշվարկելու կամ թվերով որոշակի մաթեմատիկական գործողություններ կատարելու համար (գումարել, բազմապատկել և այլն), նախ և առաջ պետք է ծանոթանալ այդ նույն թվերի տեսակներին։

Այսպիսով, գոյություն ունեցող թվերը կարելի է բաժանել հետևյալ կատեգորիաների.

1. Բնական թվերն այն թվերն են, որոնցով հաշվում ենք առարկաների թիվը (ամենափոքր բնական թիվը 1-ն է, տրամաբանական է, որ բնական թվերի շարքն անվերջ է, այսինքն՝ ամենամեծ բնական թիվ չկա)։ Բնական թվերի բազմությունը սովորաբար նշվում է N տառով։
2. Ամբողջ թվեր. Այս հավաքածուն ներառում է ամեն ինչ, մինչդեռ դրան ավելացվում են նաև բացասական արժեքներ, ներառյալ «զրո» թիվը: Ամբողջ թվերի բազմության նշանակումը գրվում է որպես լատիներեն Z տառ:
3. Ռացիոնալ թվերն են այն թվերը, որոնք մենք կարող ենք մտովի վերածել կոտորակի, որի համարիչը կպատկանի ամբողջ թվերի բազմությանը, իսկ հայտարարը՝ բնական թվերի բազմությանը։ Ստորև մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք, թե ինչ է նշանակում «ռացիոնալ թիվ» և կբերենք մի քանի օրինակներ:
4. - բազմություն, որը ներառում է բոլոր ռացիոնալները և այս բազմությունը նշվում է R տառով:
5. Կոմպլեքս թվերը պարունակում են իրական թվի մի մասը և փոփոխական թվի մի մասը: Դրանք օգտագործվում են տարբեր խորանարդ հավասարումներ լուծելիս, որոնք, իրենց հերթին, կարող են բացասական արտահայտություն ունենալ բանաձևերում (i 2 = -1):

Ի՞նչ է նշանակում «ռացիոնալ». եկեք նայենք օրինակներին

Եթե ​​այն թվերը, որոնք մենք կարող ենք ներկայացնել որպես սովորական կոտորակ, համարվում են ռացիոնալ, ապա ստացվում է, որ բոլոր դրական և բացասական ամբողջ թվերը նույնպես ներառված են ռացիոնալների բազմության մեջ։ Ի վերջո, ցանկացած ամբողջ թիվ, օրինակ 3 կամ 15, կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ հայտարարը մեկն է։

Կոտորակներ՝ -9/3; 7/5, 6/55 ռացիոնալ թվերի օրինակներ են։

Ի՞նչ է նշանակում «ռացիոնալ արտահայտություն»:

Անցնենք առաջ։ Մենք արդեն քննարկել ենք, թե ինչ է նշանակում թվերի ռացիոնալ ձևը։ Եկեք հիմա պատկերացնենք մաթեմատիկական արտահայտություն, որը բաղկացած է տարբեր թվերի և փոփոխականների գումարից, տարբերությունից, արտադրյալից կամ գործակիցից: Ահա մի օրինակ. կոտորակ, որտեղ համարիչը երկու կամ ավելի ամբողջ թվերի գումարն է, իսկ հայտարարը պարունակում է և՛ ամբողջ թիվ, և՛ որոշ փոփոխական: Հենց այսպիսի արտահայտություն է կոչվում ռացիոնալ։ «Դուք չեք կարող բաժանել զրոյի» կանոնի հիման վրա կարող եք կռահել, որ այս փոփոխականի արժեքը չի կարող այնպիսին լինել, որ հայտարարի արժեքը դառնա զրո: Հետևաբար, ռացիոնալ արտահայտություն լուծելիս նախ պետք է որոշել փոփոխականի տիրույթը։ Օրինակ, եթե հայտարարն ունի հետևյալ արտահայտությունը՝ x+5-2, ապա ստացվում է, որ «x»-ը չի կարող հավասար լինել -3-ի։ Իսկապես, այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը վերածվում է զրոյի, ուստի լուծելիս անհրաժեշտ է բացառել -3 ամբողջ թիվը այս փոփոխականի համար։

Ինչպե՞ս ճիշտ լուծել ռացիոնալ հավասարումները:

Ռացիոնալ արտահայտությունները կարող են պարունակել բավականին մեծ թվով թվեր և նույնիսկ 2 փոփոխական, ուստի երբեմն դրանք լուծելը դժվարանում է։ Նման արտահայտության լուծումը հեշտացնելու համար խորհուրդ է տրվում որոշակի գործողություններ կատարել ռացիոնալ կերպով։ Այսպիսով, ի՞նչ է նշանակում «ռացիոնալ կերպով» և ի՞նչ կանոններ պետք է կիրառել որոշում կայացնելիս։

1. Առաջին տեսակը, երբ բավական է պարզապես պարզեցնել արտահայտությունը։ Դա անելու համար դուք կարող եք դիմել համարիչի և հայտարարի անկրճատելի արժեքի կրճատման գործողության: Օրինակ, եթե համարիչն ունի 18x արտահայտությունը, իսկ հայտարարը՝ 9x, ապա երկու ցուցանիշները կրճատելով 9x-ով, մենք պարզապես ստանում ենք 2-ի հավասար ամբողջ թիվ։
2. Երկրորդ մեթոդը գործնական է, երբ համարիչում ունենք միանդամ, իսկ հայտարարում՝ բազմանդամ։ Դիտարկենք օրինակ՝ համարիչում ունենք 5x, իսկ հայտարարում՝ 5x + 20x 2։ Այս դեպքում ավելի լավ է փակագծերից հանել հայտարարի փոփոխականը, ստանում ենք հայտարարի հետևյալ ձևը՝ 5x(1+4x): Այժմ դուք կարող եք օգտագործել առաջին կանոնը և պարզեցնել արտահայտությունը՝ չեղարկելով 5x համարիչում և հայտարարում: Արդյունքում ստանում ենք 1/1+4x ձևի կոտորակ:

Ի՞նչ գործողություններ կարող եք կատարել ռացիոնալ թվերով:

Ռացիոնալ թվերի բազմությունն ունի իր մի շարք առանձնահատկություններ. Դրանցից շատերը շատ նման են ամբողջ թվերի և բնական թվերի մեջ առկա բնութագրերին՝ պայմանավորված նրանով, որ վերջիններս միշտ ներառված են ռացիոնալների բազմության մեջ։ Ահա ռացիոնալ թվերի մի քանի հատկություններ, որոնք իմանալով, որ դուք հեշտությամբ կարող եք լուծել ցանկացած ռացիոնալ արտահայտություն:

1. Փոխադրական հատկությունը թույլ է տալիս գումարել երկու կամ ավելի թվեր՝ անկախ դրանց հերթականությունից: Պարզ ասած՝ ժամկետների տեղերը փոխելով գումարը չի փոխվում։
2. Բաշխիչ հատկությունը թույլ է տալիս լուծել խնդիրները՝ օգտագործելով բաշխման օրենքը:
3. Եվ վերջապես գումարման և հանման գործողությունները։

Նույնիսկ դպրոցականները գիտեն, թե ինչ է նշանակում «թվերի ռացիոնալ ձև» և ինչպես լուծել խնդիրները՝ հիմնվելով նման արտահայտությունների վրա, ուստի կրթված չափահասը պարզապես պետք է հիշի ռացիոնալ թվերի շարքի առնվազն հիմունքները:

Դասի բնութագրերը

5 «Ա» դասարանը կազմով տարասեռ է, երեխաներից մի քանիսը գիտելիքներով բավականին ուժեղ են, բայց առանձնանում են նաև թույլերը։ Ընդհանուր առմամբ դասարանը եռանդուն է, աշակերտները հետաքրքրված են և պատրաստակամորեն հետևում ուսուցչի նախաձեռնություններին։

Թեմա՝ Հաշվարկման ռացիոնալ մեթոդներ (դասը ամփոփիչ դաս է՝ անցկացված թեմայից հետո՝ «պարզեցնող արտահայտություններ» երկրորդ եռամսյակում, թիվ 3)

Դասի տեսակը՝ նյութի ամփոփում

ա) կրթական

• կրկնել բնական թվերի գումարման, հանման, բազմապատկման հատկությունները
• գործնականում կամրապնդի գիտելիքների տեսությունը
• ցույց տալ առաջադրանքների կատարման ռացիոնալ եղանակների առավելությունը, այսինքն՝ ցույց տալ, որ այս նախագծի ստեղծումը անհրաժեշտ և նշանակալի է հենց երեխաների համար։
• բարելավել մեթոդները գործնականում կիրառելու հմտությունները.

բ) զարգացող

• զարգացնել եզրակացություններ անելու, նյութը համակարգելու, մեթոդները կոնկրետ շենքի հետ համեմատելու, մտքերը հստակ ձևակերպելու ունակություն.
• զարգացնել սեփական ճանաչողական գործունեության վրա արտացոլելու ունակությունը
• ձևավորել ստեղծագործական գիտակցություն, իսկական կիրք աշխատանքի նկատմամբ.

գ) կրթական

• զարգացնել անկախությունը, կոլեկտիվիզմը, միմյանց լսելու, ուրիշների կարծիքը հարգելու կարողությունը, բայց նաև կարողանալ ապացուցել սեփականը:

Սարքավորումներ՝ մագնիսական տախտակ և մագնիսներ, ֆլոմաստերներ, ծառերի տերևներ (ալբոմի թերթիկներ), կատվի Մատրոսկինի և Շարիկի նկարներ, էկրան սլայդների համար։

Դասի փուլ, ժամանակ	Առաջադրանքներ	Ուսուցչի գործունեություն	Ուսանողների գործունեություն	Նշում
Ի Օրգ. Պահ	Հարաբերություններում բարի կամքի ձևավորում	-Բարև, տղերք: Ստուգեք՝ արդյոք ամեն ինչ պատրաստ եք դասի համար։ Ժպտացեք միմյանց, հիմա ժպտացեք ինձ: Տեսնում եմ, որ լավ տրամադրություն ունեք, եկեք սկսենք դասը:	-ժպտա Ընդհանուր վերածնունդ	- էկրանին կա 1 սլայդ՝ «Ժպտա» տեքստով
II Գիտելիքների թարմացում	Հետաքրքիր երեխաներ Աննկատ կերպով տանել դեպի դասի թեման Ամփոփեք բեմը	- Տղերք, այսօր մեզ հետ կաշխատեն Մատրոսկին կատուն ու Շարիկը։ Երեխաներ, դուք պետք է լուծեք 2 օրինակ, Շարիկի խնդրանքով մենք լուծում ենք ամբողջ դասը: (Ես քայլում եմ շարքերով և նայում լուծումը) Ի՞նչ ես անում։ (զարմացած!) Լավ արեցիր։ Անցել է ընդամենը մեկ րոպե։ Տեսնենք, թե ինչպես են կատուն Մատրոսկինն ու Շարիկը լուծել այս օրինակները։ Ահա թե ինչ է որոշել Մատրոսկին կատուն, բայց Շարիկին դժվարանում է։ Ինչպե՞ս որոշեցիք։ Ո՞վ է տարբերվում: Cat Matroskin-ին հետաքրքրում է, թե ինչն է լավ այս մեթոդի մեջ, ինչու է այն օգտագործվել: Այս մեթոդը սեփականություն է: Ինչպե՞ս կարելի է կարդալ այս հատկությունը: Խնդրում եմ պարզաբանել ինչի հետ կապված։ Կրկին ասենք, թե ինչ է մեզ թույլ տալիս այս սեփականությունը	- Ուռա՜ (բացականչություններ տեղից) (ինչ-որ մեկը բազմապատկվում է սյունակով): Ես արդեն որոշել եմ! Տղաների պատասխանները Թույլ է տալիս որոշել. Ավելի արագ, Ավելի հարմար Ավելի հեշտ, ավելի պարզ Խնայում է ժամանակը Բաշխված օրենք Գումարում, հանում Պարզեցնել արտահայտությունները Որոշեք ավելի արագ Ավելի հեշտ, ավելի պարզ	- Նավաստի կատվի և Շարիկի նկարը գրատախտակին Տախտակի վրա 69*27+31*27=22*87-102*87= (սյունակում) 3) 27*(69+31) =2700 2-րդ սլայդը էկրանին
III Նոր հայեցակարգի ներդրում	Ներկայացրե՛ք նոր հայեցակարգ	-Այս բոլոր բառերը կարելի է փոխարինել ռացիոնալ բառով, առօրյա կյանքում որտե՞ղ եք լսել այս բառը։	- հեռուստատեսությամբ, գործարաններում ռացիոնալ գերբնակվածություն, ռացիոնալ սնուցում	3 սլայդ
IV Թեմայի սահմանում	Սահմանեք թեմա	- Տղե՛րք։ Շարիկը նույն մեթոդով փորձում է լուծել մեկ այլ օրինակ։ Ես առաջարկում եմ օգնել նրան Ինչ կոչեմ այս գույքը: Արդյո՞ք սա ռացիոնալ ճանապարհ է: Արդյո՞ք սրանք միակ երկու ուղիներն են, որ մենք գիտենք: Լավ, եկեք ձևակերպենք թեման, հետո թվարկենք, թե ինչ այլ հատկություններ գիտենք: Ո՞րն է դասի թեման: Ձեր ենթադրությունները։ Ո՞ր բառի հետ է կապվելու թեման: Եկեք ամփոփենք! Ի՞նչ է պատահել։	- (որոշում են ուսանողները) (լուծման նկարը կա) Չի կարելի նույն կերպ լուծել Բազմապատկման համակցված հատկություն Թույլ է տալիս որոշել ավելի հեշտ, արագ, պարզ: Ոչ, մենք դեռ չգիտենք ուղիները: «Մեթոդ» բառին կարող եք ավելացնել «ինչ» Հաշվարկի մեթոդներ. Ռացիոնալ Հաշվարկների ռացիոնալ մեթոդներ.	Տախտակի վրա Դասի թեմա
Վ Թիրախավորում	Դասի նպատակների սահմանում	- Տղե՛րք։ Եթե ​​փոխարինեք «ճանապարհ! Հնարավո՞ր է արդյոք նույն հասկացությունները կիրառել «մեթոդների» նկատմամբ «մեթոդների» նկատմամբ՝ «ավելի հեշտ, արագ, ավելի պարզ»: Էլ ի՞նչ կարելի է ասել մեթոդների մասին։ Եկեք ցույց տանք այդ ամենը սլայդի վրա Ի՞նչ առանձնահատուկ բան եք նկատում գծապատկերում: Այսպիսով, որո՞նք են բոլորի նպատակները դասի համար: Ամփոփենք. Հիշեք, թե ինչ մեթոդներ գիտենք և կազմակերպեք այս մեթոդները Հիշեք արտահայտությունները պարզեցնելու տեխնիկան Ուժեղացնել դրանց կիրառումը գործնականում Սովորեք համեմատել մեթոդը կոնկրետ օրինակի հետ	Սրանք են մեր դասի նպատակները կամ գաղափարները -այո Եվ եկեք «որը» փոխարինենք «ինչ» բառով: Որտեղ են դրանք օգտագործվում: «Ի՞նչ» բառը «?»-ի հետ: Հիշեք, թե ինչ մեթոդներ գիտենք, ինչ հատկություններ, կանոններ Հնարավոր է, որ նոր ուղիներ գտնվեն պարզելու համար:	- (ուսանողների հետ միասին)
6 սլայդ VI Գիտելիքների համակարգ ա) 0 փուլի նպատակի սահմանում. 5ր բ) անհատական ​​աշխատանք 1.5 ր գ) աշխատել զույգերով	դ) խմբային աշխատանք Նախագծի ստեղծում Կատարման ինքնավարություն Խոսեք ձեր նշումները	Որոնել ընդհանուր լուծում, եզրակացություններ - Տղե՛րք։ Այսօր մենք պետք է ստեղծենք նախագիծ, որտեղ կգրանցվեն ձեզ հայտնի մեթոդները (առնվազն 8-ը) և այն ամենը, ինչ մենք գիտենք մեթոդների մասին: Նախագիծը լինելու է ծառի տեսքով, որին տերևներ կկցենք։ Շարիկն առաջարկեց՝ 2 րոպե ինքնուրույն մտածիր, հիշիր արտահայտությունները պարզեցնելու ուղիները։ Սատարե՞նք գաղափարին։ Մենք աշխատում ենք զույգերով Իսկ հիմա խմբերով նստում ենք (4 հոգի Շարիկն ու Մատրոսկինը կաշխատեն զույգերով): Քննարկեք ձեր մտքերն ու որոշումները: Ձեր գրասեղաններին տերևներ ունեք, յուրաքանչյուրի վրա գրեք մեկ մեթոդ, այնուհետև մենք դրանք կկցենք ծառին	Իհարկե, օրինակներով ավելի պարզ կլինի Ընտրեք, թե ով կպատասխանի -Ինչպիսի՞ն կլինի այս նախագիծը: (ուսանողները աշխատում են ինքնուրույն, նշումներ անում) - (ձայն) (Յուրաքանչյուր ուսանող արտահայտում է իր միտքը)	(խմբի ներկայացուցիչը գրում է մեթոդները, մնացածը մեկնաբանում են)
Կարո՞ղ եք օրինակներ բերել։ Խմբերը տարածքային մեկուսացված են	VII	Ֆիզիկական-մշակութային-շրջայց-րոպե Ուսանողների հանգիստ «Ծաղիկը քնած էր և հանկարծ արթնացավ Այլևս չէի ուզում քնել	Շարժված, ձգված	Բարձրացա և թռավ» Վարում է երեխաներից մեկը
Սլայդ 8: «Զվարճալի նկարներ»	VIII	- հրավիրված են յուրաքանչյուր խմբի ներկայացուցիչներ: . . (ուսուցիչը ղեկավարում է աշխատանքը) Սա այն ծառն է, որը մենք ստացել ենք, և հիմա եկեք նայենք այն գծապատկերին, որը կատարել է կատուն Մատրոսկինը՝ ձեր ելույթները լսելուց հետո։	Ուսանողների արտահայտություններ. Համաձայն եմ Պետյայի հետ... Մեր խումբը ցանկանում է ավելացնել... Կարելի է գրել նաև տառերով	Տախտակի վրա. Ծառի բունը, երեխաները մագնիսով տերևներ են ամրացնում մագնիսական տախտակին (նույն պատասխանները մեկ մագնիսի համար)

Հավելված 1-ում ներկայացված է նախագծի գծապատկերը:

IX Փորձարկում	Ստուգեք մեթոդների կիրառումը գործնականում	- Տղե՛րք։ Մենք հիշեցինք տեսությունը, և այժմ մենք կստուգենք, թե ինչպես կկիրառեք ձեր գիտելիքները գործնականում Այժմ փոխանակեք նոթատետրեր ձեր հարևանի հետ և ստուգեք նրա աշխատանքը: Գնահատման ստանդարտներ. Սխալներ չկան: «5» 2 սխալ՝ «4» 3 սխալ՝ «3» իսկ եթե 3-ից ավելի, ուրեմն պետք է պարապել	Ինչը կարող է լինել պատճառը.	(ուսանողները որոշում են)
			Սահեցրեք 10-ը տախտակի վրա
			Փորձարկում	B-I
			Բ-2
			1) դա արեք հարմար եղանակով ա) (30-4) *5= բ) 85*137-75*137= 25*296*4= է)	ե) 633-(163+387) = ա) 7*(60-3) = բ) 85*137-75*137= 4*268*25= բ) 78*214-78*204=
			ե) (964+27) -464=
			2) Լուծե՛ք հավասարումը	x+3x+x=30
			x+5x+x=98 (գնահատեք միմյանց) Ես ժամանակ չունեի	Լուծվում է առանց մեթոդների օգտագործման, սյունակներ անելու
Էկրանի վրա սլայդ 11-ը լուծում է X Ամփոփելով 2 րոպե (ինքս)	2 րոպե (ձայն)	Մտածեք ձեր աշխատանքի մասին -Ի՞նչ հիշեցիր: Ի՞նչ հիշեցիր։ Ի՞նչ նոր ես սովորել: Ի՞նչ եք ապահովել: Ի՞նչ եզրակացություն եք արել ինքներդ ձեզ համար:	Լավ արեց տղաներ! Եվ Մատրոսկին կատուն հիշեց շատ մեթոդներ, բայց Շարիկի մտքերը շփոթված էին, եկեք նորից կրկնենք բոլոր մեթոդները. - համախմբեց հատկությունների օգտագործումը լուծելիս Սովորել է համեմատել սեփականությունը կոնկրետ օրինակի հետ Հիշեցի, որ հատկությունը գրվում է փոփոխականների միջոցով Իմացանք, թե ինչ է «ռացիոնալությունը»: Ես հասկացա, որ յուրաքանչյուր օրինակ ունի իր մոտեցումը Ես հասկացա, որ օրենքները երկու տողով էլ գործում են Ես հասկացա, որ rac. ուղիները ամենահարմար ուղիները Այս մեթոդները նաև թույլ են տալիս խնայել ժամանակը, պարզեցնել որոշումն ու կյանքը։
Ես հասկացա, որ մեթոդները թույլ են տալիս լուծել բանավոր, առանց սյունակների	XI	Հրահանգներ տվեք դ/զ - Տղե՛րք։ 1. Տանը խոսեք ձեր ընտանիքի և ընկերների հետ, միգուցե նրանք այլ ուղիներ գիտեն 2. Կազմեք նախագիծ, ձեր սեփական օրինակներով, այն կարող է լինել ամպերի, ծաղիկների և այլնի տեսքով, կարող եք օգտվել համակարգչից. 3. ցույց տվեք կրտսեր քույրերին և եղբայրներին, որպեսզի նրանք հետաքրքրվեն մաթեմատիկայով		4. կազմել նախագծի վերաբերյալ հաշվետվություն՝ ըստ հուշագրի
- հիշեցում տեղադրված է կանգնածի վրա XII		Եզրակացություն		- Մատրոսկին կատուն և Շարիկը ասում են «շնորհակալություն» և հրաժեշտ են տալիս ձեզ, տղաներ: Ես նաև ասում եմ ձեզ «լավ արեցիք դասի համար» և ցտեսություն Սլայդ 12

Տեքստ «լավ արեց» Այս հոդվածում մենք կսկսենք ուսումնասիրել. Այստեղ կտանք ռացիոնալ թվերի սահմանումներ, կտանք անհրաժեշտ բացատրությունները և բերենք ռացիոնալ թվերի օրինակներ։ Դրանից հետո մենք կկենտրոնանանք այն բանի վրա, թե ինչպես կարելի է որոշել՝ տվյալ թիվը ռացիոնալ է, թե ոչ։

Էջի նավարկություն.

Ռացիոնալ թվերի սահմանում և օրինակներ

Այս բաժնում մենք կտանք ռացիոնալ թվերի մի քանի սահմանումներ։ Չնայած ձևակերպումների տարբերությանը, այս բոլոր սահմանումներն ունեն նույն իմաստը. ռացիոնալ թվերը միավորում են ամբողջ թվերն ու կոտորակները, ինչպես ամբողջ թվերը միավորում են բնական թվերը, դրանց հակադիրները և զրո թիվը: Այլ կերպ ասած՝ ռացիոնալ թվերն ընդհանրացնում են ամբողջ և կոտորակային թվերը։

Սկսենք նրանից ռացիոնալ թվերի սահմանումներ, որն ամենաբնական է ընկալվում։

Նշված սահմանումից հետևում է, որ ռացիոնալ թիվը հետևյալն է.

• Ցանկացած բնական թիվ n. Իսկապես, դուք կարող եք ցանկացած բնական թիվ ներկայացնել որպես սովորական կոտորակ, օրինակ՝ 3=3/1։
• Ցանկացած ամբողջ թիվ, մասնավորապես՝ զրո թիվը: Իրականում ցանկացած ամբողջ թիվ կարելի է գրել որպես դրական կոտորակ, բացասական կոտորակ կամ զրո: Օրինակ՝ 26=26/1, .
• Ցանկացած ընդհանուր կոտորակ (դրական կամ բացասական): Դա ուղղակիորեն հաստատվում է ռացիոնալ թվերի տրված սահմանմամբ։
• Ցանկացած խառը թիվ: Իսկապես, դուք միշտ կարող եք խառը թիվը ներկայացնել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ: Օրինակ, և.
• Ցանկացած վերջավոր տասնորդական կոտորակ կամ անվերջ պարբերական կոտորակ: Դա պայմանավորված է նրանով, որ նշված տասնորդական կոտորակները վերածվում են սովորական կոտորակների: Օրինակ՝ , և 0,(3)=1/3։

Պարզ է նաև, որ ցանկացած անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակ ռացիոնալ թիվ ՉԻ, քանի որ այն չի կարող ներկայացվել որպես ընդհանուր կոտորակ:

Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք տալ ռացիոնալ թվերի օրինակներ. 4, 903, 100,321 թվերը ռացիոնալ թվեր են, քանի որ դրանք բնական թվեր են։ 58, −72, 0, −833,333,333 ամբողջ թվերը նույնպես ռացիոնալ թվերի օրինակներ են։ Ընդհանուր 4/9, 99/3 կոտորակները նույնպես ռացիոնալ թվերի օրինակներ են։ Ռացիոնալ թվերը նույնպես թվեր են։

Վերոնշյալ օրինակներից պարզ է դառնում, որ կան և՛ դրական, և՛ բացասական ռացիոնալ թվեր, իսկ ռացիոնալ զրո թիվը ոչ դրական է, ոչ էլ բացասական։

Ռացիոնալ թվերի վերը նշված սահմանումը կարելի է ձևակերպել ավելի հակիրճ ձևով։

Սահմանում.

Ռացիոնալ թվերթվեր են, որոնք կարելի է գրել z/n կոտորակի տեսքով, որտեղ z-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։

Փաստենք, որ ռացիոնալ թվերի այս սահմանումը համարժեք է նախորդ սահմանմանը։ Գիտենք, որ կոտորակի ուղիղը կարող ենք դիտարկել որպես բաժանման նշան, ապա ամբողջ թվերի բաժանման հատկություններից և ամբողջ թվերի բաժանման կանոններից բխում է հետևյալ հավասարումների վավերականությունը և. Այսպիսով, դա ապացույցն է.

Այս սահմանման հիման վրա բերենք ռացիոնալ թվերի օրինակներ։ −5, 0, 3 թվերը և ռացիոնալ թվեր են, քանի որ դրանք կարող են գրվել որպես կոտորակներ ամբողջ թվով և ձևի բնական հայտարարով և համապատասխանաբար։

Ռացիոնալ թվերի սահմանումը կարելի է տալ հետևյալ ձևակերպմամբ.

Սահմանում.

Ռացիոնալ թվերթվեր են, որոնք կարելի է գրել որպես վերջավոր կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ։

Այս սահմանումը համարժեք է նաև առաջին սահմանմանը, քանի որ յուրաքանչյուր սովորական կոտորակ համապատասխանում է վերջավոր կամ պարբերական տասնորդական կոտորակի և հակառակը, և ցանկացած ամբողջ թիվ կարող է կապված լինել տասնորդական կետից հետո զրոներով տասնորդական կոտորակի հետ:

Օրինակ՝ 5, 0, −13 թվերը ռացիոնալ թվերի օրինակներ են, քանի որ դրանք կարող են գրվել որպես հետևյալ տասնորդական կոտորակները՝ 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 և −7, (18):

Ավարտենք այս կետի տեսությունը հետևյալ պնդումներով.

• ամբողջ թվերը և կոտորակները (դրական և բացասական) կազմում են ռացիոնալ թվերի բազմությունը.
• յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ կարող է ներկայացվել որպես կոտորակ ամբողջ համարիչով և բնական հայտարարով, և յուրաքանչյուր այդպիսի կոտորակ ներկայացնում է որոշակի ռացիոնալ թիվ.
• Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ կարող է ներկայացվել որպես վերջավոր կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ, և յուրաքանչյուր այդպիսի կոտորակ ներկայացնում է ռացիոնալ թիվ:

Արդյո՞ք այս թիվը ռացիոնալ է:

Նախորդ պարբերությունում պարզեցինք, որ ցանկացած բնական թիվ, ցանկացած ամբողջ թիվ, ցանկացած սովորական կոտորակ, ցանկացած խառը թիվ, ցանկացած վերջավոր տասնորդական կոտորակ, ինչպես նաև ցանկացած պարբերական տասնորդական կոտորակ ռացիոնալ թիվ է։ Այս գիտելիքը թույլ է տալիս մեզ «ճանաչել» ռացիոնալ թվերը գրված թվերի շարքից:

Բայց ի՞նչ, եթե թիվը տրված է որոշի տեսքով, կամ որպես և այլն, ինչպե՞ս պատասխանել այն հարցին, թե արդյոք այս թիվը ռացիոնալ է: Շատ դեպքերում շատ դժվար է պատասխանել։ Եկեք նշենք մտքի որոշ ուղղություններ.

Եթե ​​թիվը տրվում է որպես թվային արտահայտություն, որը պարունակում է միայն ռացիոնալ թվեր և թվաբանական նշաններ (+, −, · և:), ապա այս արտահայտության արժեքը ռացիոնալ թիվ է։ Սա բխում է նրանից, թե ինչպես են սահմանվում ռացիոնալ թվերով գործողությունները: Օրինակ՝ արտահայտության բոլոր գործողությունները կատարելուց հետո ստանում ենք 18 ռացիոնալ թիվը։

Երբեմն արտահայտությունները պարզեցնելուց և դրանք ավելի բարդացնելուց հետո հնարավոր է դառնում որոշել, թե արդյոք տվյալ թիվը ռացիոնալ է։

Անցնենք առաջ։ 2 թիվը ռացիոնալ թիվ է, քանի որ ցանկացած բնական թիվ ռացիոնալ է։ Ինչ վերաբերում է թվին: Արդյո՞ք դա ռացիոնալ է: Ստացվում է, որ ոչ, դա ռացիոնալ թիվ չէ, դա իռացիոնալ թիվ է (այդ փաստի հակասությամբ ապացույցը տրված է 8-րդ դասարանի հանրահաշվի դասագրքում՝ ստորև թվարկված տեղեկանքների ցանկում)։ Ապացուցված է նաև, որ բնական թվի քառակուսի արմատը ռացիոնալ թիվ է միայն այն դեպքերում, երբ արմատի տակ կա մի թիվ, որը որոշ բնական թվի կատարյալ քառակուսին է։ Օրինակ, և ռացիոնալ թվեր են, քանի որ 81 = 9 2 և 1 024 = 32 2, իսկ թվերը և ռացիոնալ չեն, քանի որ 7 և 199 թվերը բնական թվերի կատարյալ քառակուսիներ չեն:

Թիվը ռացիոնալ է, թե ոչ։ Այս դեպքում հեշտ է նկատել, որ, հետևաբար, այս թիվը ռացիոնալ է։ Արդյո՞ք թիվը ռացիոնալ է: Ապացուցված է, որ ամբողջ թվի k-րդ արմատը ռացիոնալ թիվ է միայն այն դեպքում, եթե արմատի նշանի տակ գտնվող թիվը ինչ-որ ամբողջ թվի k-րդ հզորությունն է։ Հետևաբար, դա ռացիոնալ թիվ չէ, քանի որ չկա մի ամբողջ թիվ, որի հինգերորդ աստիճանը 121 է։

Հակասության մեթոդը թույլ է տալիս ապացուցել, որ որոշ թվերի լոգարիթմները ինչ-ինչ պատճառներով ռացիոնալ թվեր չեն: Օրինակ, ապացուցենք, որ - ռացիոնալ թիվ չէ։

Ենթադրենք հակառակը, այսինքն՝ ասենք, որ ռացիոնալ թիվ է և կարող է գրվել որպես սովորական m/n կոտորակ։ Այնուհետև տալիս ենք հետևյալ հավասարումները. Վերջին հավասարությունն անհնար է, քանի որ ձախ կողմում կա կենտ թիվ 5 n, իսկ աջ կողմում զույգ թիվն է՝ 2 մ։ Հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ է, հետևաբար ոչ ռացիոնալ թիվ:

Եզրափակելով, հարկ է հատկապես նշել, որ թվերի ռացիոնալությունը կամ իռացիոնալությունը որոշելիս պետք է զերծ մնալ հանկարծակի եզրակացություններ անելուց։

Օրինակ, դուք չպետք է անմիջապես պնդեք, որ π և e իռացիոնալ թվերի արտադրյալը իռացիոնալ թիվ է, սա «թվացյալ ակնհայտ է», բայց ապացուցված չէ: Սա հարց է առաջացնում. «Ինչու՞ արտադրանքը կարող է ռացիոնալ թիվ լինել»: Իսկ ինչու ոչ, քանի որ կարելի է իռացիոնալ թվերի օրինակ բերել, որոնց արտադրյալը ռացիոնալ թիվ է տալիս.

Անհայտ է նաև՝ թվերը և շատ այլ թվեր ռացիոնալ են, թե ոչ։ Օրինակ՝ կան իռացիոնալ թվեր, որոնց իռացիոնալ հզորությունը ռացիոնալ թիվ է։ Պատկերազարդման համար ներկայացնում ենք ձևի աստիճանը, այս աստիճանի հիմքը և ցուցիչը ռացիոնալ թվեր չեն, այլ, իսկ 3-ը ռացիոնալ թիվ է:

Հղումներ.

• Մաթեմատիկա. 6-րդ դասարան՝ ուսումնական. հանրակրթության համար հաստատություններ / [Ն. Յա. Վիլենկին և ուրիշներ]: - 22-րդ հրատ., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-00897-2 ։
• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Գուսև Վ. Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

Այս դասը ներառում է ռացիոնալ թվերի գումարում և հանում: Թեման դասակարգվում է որպես բարդ: Այստեղ անհրաժեշտ է օգտագործել նախկինում ձեռք բերված գիտելիքների ողջ զինանոցը։

Ամբողջ թվերի գումարման և հանման կանոնները վերաբերում են նաև ռացիոնալ թվերին։ Հիշեցնենք, որ ռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ ա –սա կոտորակի համարիչն է, բկոտորակի հայտարարն է։ Միևնույն ժամանակ, բչպետք է զրո լինի:

Այս դասում մենք ավելի ու ավելի շատ կկոչենք կոտորակները և խառը թվերը մեկ ընդհանուր արտահայտությամբ. Այս հոդվածում մենք կսկսենք ուսումնասիրել.

Դասի նավարկություն.

Օրինակ 1.Գտեք արտահայտության իմաստը.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին։ Հաշվի ենք առնում, որ արտահայտության մեջ տրված գումարածը գործողության նշան է և չի տարածվում կոտորակի վրա։ Այս կոտորակը ունի իր գումարած նշանը, որն անտեսանելի է այն պատճառով, որ գրված չէ։ Բայց պարզության համար մենք կգրենք.

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվեր ավելացնելու համար հարկավոր է ավելի փոքր մոդուլը հանել ավելի մեծ մոդուլից, և մինչ ստացված պատասխանը դնել այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է:

Ռացիոնալ թվի մոդուլն ավելի մեծ է, քան ռացիոնալ թվի մոդուլը: Հետևաբար, մենք հանեցինք. Պատասխան ստացանք. Այնուհետև այս կոտորակը 2-ով փոքրացնելով ստացանք վերջնական պատասխանը.

Որոշ պարզունակ գործողություններ, ինչպիսիք են թվերը փակագծերում դնելը և մոդուլներ ավելացնելը, կարելի է բաց թողնել: Այս օրինակը կարելի է հակիրճ գրել.

Օրինակ 2.Գտեք արտահայտության իմաստը.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին։ Հաշվի ենք առնում, որ ռացիոնալ թվերի միջև եղած մինուսը գործողության նշան է և չի տարածվում կոտորակի վրա։ Այս կոտորակը ունի իր գումարած նշանը, որն անտեսանելի է այն պատճառով, որ գրված չէ։ Բայց պարզության համար մենք կգրենք.

Փոխարինենք հանումը գումարումով։ Հիշեցնենք, որ դա անելու համար անհրաժեշտ է մինուենդին ավելացնել ենթակետին հակառակ թիվը.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Բացասական ռացիոնալ թվեր ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնել մինուս.

Նշում.Պետք չէ ամեն ռացիոնալ թիվ փակցնել փակագծերում։ Սա արվում է հարմարության համար, որպեսզի հստակ տեսնենք, թե ռացիոնալ թվերն ինչ նշաններ ունեն։

Օրինակ 3.Գտեք արտահայտության իմաստը.

Այս արտահայտության մեջ կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ։ Մեր առաջադրանքը հեշտացնելու համար եկեք այս կոտորակները կրճատենք ընդհանուր հայտարարի: Մենք չենք մանրամասնի, թե ինչպես դա անել: Եթե ​​դժվարություններ եք ունենում, անպայման կրկնեք դասը։

Կոտորակները ընդհանուր հայտարարի կրճատելուց հետո արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Ավելի փոքր մոդուլը հանում ենք մեծ մոդուլից և ստացված պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

Եկեք կարճ գրենք այս օրինակի լուծումը.

Օրինակ 4.Գտեք արտահայտության արժեքը

Հաշվարկենք այս արտահայտությունը հետևյալ կերպ՝ գումարենք ռացիոնալ թվերը և ստացված արդյունքից հանենք ռացիոնալ թիվը։

Առաջին գործողություն.

Երկրորդ գործողություն.

Օրինակ 5. Գտեք արտահայտության իմաստը.

Ներկայացնենք −1 ամբողջ թիվը որպես կոտորակ, իսկ խառը թիվը վերածենք ոչ պատշաճ կոտորակի.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակցնենք իր նշանների հետ միասին.

Ստացանք տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարում։ Ավելի փոքր մոդուլը հանում ենք մեծ մոդուլից և ստացված պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

Պատասխան ստացանք.

Կա երկրորդ լուծում. Այն բաղկացած է ամբողջ մասերը առանձին-առանձին միացնելուց։

Այսպիսով, վերադառնանք սկզբնական արտահայտությանը.

Յուրաքանչյուր թիվ փակցնենք փակագծերում։ Դա անելու համար խառը թիվը ժամանակավոր է.

Հաշվենք ամբողջ թվային մասերը.

(−1) + (+2) = 1

Հիմնական արտահայտության մեջ (−1) + (+2) փոխարեն ստացված միավորը գրում ենք.

Ստացված արտահայտությունն է. Դա անելու համար գրեք միավորը և կոտորակը միասին.

Եկեք լուծումը գրենք այսպես ավելի կարճ ձևով.

Օրինակ 6.Գտեք արտահայտության արժեքը

Խառը թիվը փոխարկենք ոչ պատշաճ կոտորակի։ Մնացածը վերաշարադրենք առանց փոխելու.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակցնենք իր նշանների հետ միասին.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Եկեք կարճ գրենք այս օրինակի լուծումը.

Օրինակ 7.Գտեք արտահայտության արժեքը

Ներկայացնենք −5 ամբողջ թիվը որպես կոտորակ, իսկ խառը թիվը վերածենք ոչ պատշաճ կոտորակի.

Այս կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի. Ընդհանուր հայտարարի վերածվելուց հետո դրանք կստանան հետևյալ ձևը.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակցնենք իր նշանների հետ միասին.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Եկեք գումարենք այս թվերի մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս.

Այսպիսով, արտահայտության արժեքը .

Այս օրինակը լուծենք երկրորդ ճանապարհով. Վերադառնանք սկզբնական արտահայտությանը.

Խառը թիվը գրենք ընդլայնված տեսքով։ Մնացածը վերաշարադրենք առանց փոփոխությունների.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնում ենք իր նշանների հետ միասին.

Հաշվենք ամբողջ թվային մասերը.

Հիմնական արտահայտության մեջ ստացված −7 թիվը գրելու փոխարեն

Արտահայտությունը խառը թիվ գրելու ընդլայնված ձև է։ −7 թիվը և կոտորակը միասին գրում ենք վերջնական պատասխանը կազմելու համար.

Համառոտ գրենք այս լուծումը.

Օրինակ 8.Գտեք արտահայտության արժեքը

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնում ենք իր նշանների հետ միասին.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Եկեք գումարենք այս թվերի մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս.

Այսպիսով, արտահայտության արժեքն է

Այս օրինակը կարելի է լուծել երկրորդ ճանապարհով. Այն բաղկացած է ամբողջական և կոտորակային մասերի առանձին ավելացումից։ Վերադառնանք սկզբնական արտահայտությանը.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակցնենք իր նշանների հետ միասին.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Ավելացնենք այս թվերի մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս։ Բայց այս անգամ կավելացնենք ամբողջ մասերը (−1 և −2), և՛ կոտորակային, և՛

Համառոտ գրենք այս լուծումը.

Օրինակ 9.Գտեք արտահայտչական արտահայտություններ

Եկեք խառը թվերը փոխարկենք ոչ պատշաճ կոտորակների.

Փակագծերում փակցնենք ռացիոնալ թիվ իր նշանի հետ միասին։ Փակագծերում ռացիոնալ թիվ դնելու կարիք չկա, քանի որ այն արդեն փակագծերում է.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Եկեք գումարենք այս թվերի մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս.

Այսպիսով, արտահայտության արժեքն է

Այժմ փորձենք լուծել նույն օրինակը երկրորդ եղանակով, այն է՝ ամբողջ թվային և կոտորակային մասերն առանձին ավելացնելով։

Այս անգամ կարճ լուծում ստանալու համար փորձենք շրջանցել որոշ քայլեր, օրինակ՝ խառը թիվ գրել ընդլայնված ձևով և հանումը փոխարինել գումարումով.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ կոտորակային մասերը կրճատվել են ընդհանուր հայտարարի:

Օրինակ 10.Գտեք արտահայտության արժեքը

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Ստացված արտահայտությունը չի պարունակում բացասական թվեր, որոնք սխալների հիմնական պատճառն են։ Եվ քանի որ բացասական թվեր չկան, մենք կարող ենք հանել ենթագծի դիմացի գումարածը և նաև հեռացնել փակագծերը.

Արդյունքը պարզ արտահայտություն է, որը հեշտ է հաշվարկել: Եկեք հաշվարկենք այն մեզ հարմար ձևով.

Օրինակ 11.Գտեք արտահայտության արժեքը

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Եկեք հանենք ավելի փոքր մոդուլը ավելի մեծ մոդուլից և ստացված պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

Օրինակ 12.Գտեք արտահայտության արժեքը

Արտահայտությունը բաղկացած է մի քանի ռացիոնալ թվերից։ Ըստ՝ նախ և առաջ պետք է քայլերը կատարել փակագծերում։

Նախ հաշվում ենք արտահայտությունը, ապա ավելացնում ստացված արդյունքները։

Առաջին գործողություն.

Երկրորդ գործողություն.

Երրորդ գործողություն.

Պատասխան.արտահայտման արժեքը հավասար է

Օրինակ 13.Գտեք արտահայտության արժեքը

Եկեք խառը թվերը փոխարկենք ոչ պատշաճ կոտորակների.

Փակագծերում ռացիոնալ թիվը դնենք իր նշանի հետ միասին։ Ռացիոնալ թիվը փակագծերում դնելու կարիք չկա, քանի որ այն արդեն փակագծերում է.

Այս կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի. Ընդհանուր հայտարարի վերածվելուց հետո դրանք կստանան հետևյալ ձևը.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Ստացանք տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարում։ Եկեք հանենք ավելի փոքր մոդուլը ավելի մեծ մոդուլից և ստացված պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

Այսպիսով, արտահայտության իմաստը հավասար է

Եկեք նայենք տասնորդականների գումարում-հանումին, որոնք նույնպես ռացիոնալ թվեր են և կարող են լինել կամ դրական կամ բացասական:

Օրինակ 14.Գտե՛ք −3,2 + 4,3 արտահայտության արժեքը

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին։ Հաշվի ենք առնում, որ արտահայտության մեջ տրված գումարածը գործողության նշան է և չի տարածվում 4.3 տասնորդական կոտորակի վրա։ Այս տասնորդական կոտորակն ունի իր գումարած նշանը, որն անտեսանելի է այն պատճառով, որ գրված չէ։ Բայց պարզության համար մենք կգրենք.

(−3,2) + (+4,3)

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվեր ավելացնելու համար հարկավոր է ավելի փոքր մոդուլը հանել ավելի մեծ մոդուլից, և մինչ ստացված պատասխանը դնել այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Եվ որպեսզի հասկանաք, թե որ մոդուլն է ավելի մեծ և որն է ավելի փոքր, դուք պետք է կարողանաք համեմատել այս տասնորդական կոտորակների մոդուլները՝ նախքան դրանք հաշվարկելը.

4.3 թվի մոդուլը մեծ է −3.2 թվի մոդուլից, ուստի 4.3-ից հանեցինք 3.2։ Ստացանք 1.1 պատասխանը. Պատասխանը դրական է, քանի որ պատասխանին պետք է նախորդի այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է։ Իսկ 4.3 թվի մոդուլը մեծ է −3.2 թվի մոդուլից։

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Այսպիսով, −3,2 + (+4,3) արտահայտության արժեքը 1,1 էՕրինակ 15.

Գտե՛ք 3,5 + (−8,3) արտահայտության արժեքը։

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Ինչպես նախորդ օրինակում, մենք ավելի մեծ մոդուլից հանում ենք փոքրը և պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

Այսպիսով, 3,5 + (−8,3) արտահայտության արժեքը −4,8 է

3,5 + (−8,3) = −4,8

Այս օրինակը կարելի է հակիրճ գրել.Գտե՛ք −7,2 + (−3,11) արտահայտության արժեքը։

Սա բացասական ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Բացասական ռացիոնալ թվեր ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնել մինուս:

Դուք կարող եք բաց թողնել մուտքը մոդուլներով, որպեսզի չխառնվի արտահայտությունը.

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Այսպիսով, −7,2 + (−3,11) արտահայտության արժեքը −10,31 է։

Այսպիսով, 3,5 + (−8,3) արտահայտության արժեքը −4,8 է

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Օրինակ 17.Գտե՛ք −0,48 + (−2,7) արտահայտության արժեքը։

Սա բացասական ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Ավելացնենք նրանց մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս։ Դուք կարող եք բաց թողնել մուտքը մոդուլներով, որպեսզի չխառնվի արտահայտությունը.

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Օրինակ 18.Գտե՛ք −4,9 − 5,9 արտահայտության արժեքը

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին։ Հաշվի ենք առնում, որ մինուսը, որը գտնվում է −4,9 և 5,9 ռացիոնալ թվերի միջև, գործողության նշան է և չի պատկանում 5,9 թվին։ Այս ռացիոնալ թիվն ունի իր գումարած նշանը, որն անտեսանելի է՝ գրառված չլինելու պատճառով։ Բայց պարզության համար մենք կգրենք.

(−4,9) − (+5,9)

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

(−4,9) + (−5,9)

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Եկեք ավելացնենք դրանց մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս.

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Այսպիսով, −4,9 − 5,9 արտահայտության արժեքը −10,8 է

−4,9 − 5,9 = −10,8

Օրինակ 19.Գտե՛ք 7 − 9.3 արտահայտության արժեքը

Յուրաքանչյուր թիվ դնենք փակագծերում՝ իր նշանների հետ միասին։

(+7) − (+9,3)

Փոխարինենք հանումը գումարումով

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Այսպիսով, 7 − 9.3 արտահայտության արժեքը −2.3 է

Եկեք կարճ գրենք այս օրինակի լուծումը.

7 − 9,3 = −2,3

Օրինակ 20.Գտե՛ք −0,25 − (−1,2) արտահայտության արժեքը։

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

−0,25 + (+1,2)

Ստացանք տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարում։ Եկեք հանենք ավելի փոքր մոդուլը ավելի մեծ մոդուլից և պատասխանից առաջ դնում ենք այն թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Եկեք կարճ գրենք այս օրինակի լուծումը.

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Օրինակ 21.Գտե՛ք −3,5 + (4,1 − 7,1) արտահայտության արժեքը։

Կատարենք փակագծերում տրված գործողությունները, ապա ստացված պատասխանը գումարենք −3.5 թվով

Առաջին գործողություն.

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Երկրորդ գործողություն.

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Պատասխան.−3,5 + (4,1 − 7,1) արտահայտության արժեքը −6,5 է։

Օրինակ 22.Գտե՛ք (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) արտահայտության արժեքը։

Եկեք կատարենք փակագծերում տրված քայլերը: Այնուհետև առաջին փակագծերի կատարման արդյունքում ստացված թվից հանել երկրորդ փակագծերի կատարման արդյունքում ստացված թիվը.

Առաջին գործողություն.

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Երկրորդ գործողություն.

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Երրորդ գործողություն

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Պատասխան.(3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) արտահայտության արժեքը 6 է։

Օրինակ 23.Գտեք արտահայտության արժեքը −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Հնարավորության դեպքում հանումը փոխարինենք գումարումով.

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Արտահայտությունը բաղկացած է մի քանի տերմիններից. Համաձայն գումարման համակցված օրենքի, եթե արտահայտությունը բաղկացած է մի քանի անդամից, ապա գումարը կախված չի լինի գործողությունների հերթականությունից։ Սա նշանակում է, որ պայմանները կարող են ավելացվել ցանկացած հերթականությամբ:

Եկեք չհորինենք անիվը, այլ ավելացնենք բոլոր տերմինները ձախից աջ՝ իրենց տեսքի հերթականությամբ.

Առաջին գործողություն.

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Երկրորդ գործողություն.

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Երրորդ գործողություն.

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Պատասխան.−3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 արտահայտության արժեքը 1 է։

Օրինակ 24.Գտեք արտահայտության արժեքը

−1,8 տասնորդական կոտորակը փոխարկենք խառը թվի։ Մնացածը վերաշարադրենք առանց փոխելու.