Հոդվածը նվիրված է 15-րդ առաջադրանքների վերլուծությանը պրոֆիլ Միասնական պետական ​​քննությունմաթեմատիկայի 2017 թ. Այս առաջադրանքում դպրոցականներին խնդրում են լուծել անհավասարությունները, առավել հաճախ՝ լոգարիթմական: Թեև կարող են լինել ցուցիչ: Այս հոդվածը տալիս է օրինակների վերլուծություն լոգարիթմական անհավասարություններ, ներառյալ լոգարիթմի հիմքում փոփոխական պարունակողները։ Բոլոր օրինակները վերցված են բաց բանկՄաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքները (պրոֆիլ), այնպես որ նման անհավասարությունները, հավանաբար, կհանդիպեն քննության ժամանակ որպես առաջադրանք 15: Իդեալական է նրանց համար, ովքեր ցանկանում են սովորել, թե ինչպես լուծել առաջադրանքը 15 պրոֆիլի «Միասնական պետական ​​քննության» երկրորդ մասից: մաթեմատիկա կարճ ժամանակահատվածում՝ քննությունից ավելի շատ միավորներ ստանալու համար:

15 առաջադրանքների վերլուծություն պրոֆիլից Միասնական պետական ​​քննություն մաթեմատիկայից

Օրինակ 1. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 15-րդ առաջադրանքներում (պրոֆիլ) հաճախ հանդիպում են լոգարիթմական անհավասարություններ։ Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը սկսվում է ընդունելի արժեքների միջակայքը որոշելով: Այս դեպքում երկու լոգարիթմների հիմքում փոփոխական չկա, կա միայն 11 թիվը, ինչը մեծապես պարզեցնում է խնդիրը։ Այսպիսով, այստեղ մենք ունենք միակ սահմանափակումն այն է, որ երկու արտահայտություններն էլ լոգարիթմի նշանի տակ դրական են.

Title="Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Համակարգում առաջին անհավասարությունն է քառակուսային անհավասարություն. Այն լուծելու համար մենք իսկապես կցանկանայինք ֆակտորիզացնել ձախ կողմը: Կարծում եմ, դուք գիտեք, որ որևէ մեկին քառակուսի եռանկյունբարի ֆակտորացվում է հետևյալ կերպ.

որտեղ և են հավասարման արմատները: Այս դեպքում գործակիցը 1 է (սա թվային գործակիցն է ի դիմաց): Գործակիցը նույնպես հավասար է 1-ի, իսկ գործակիցը կեղծ անդամն է, այն հավասար է -20-ի։ Եռանդամի արմատները ամենահեշտ որոշվում են Վիետայի թեորեմի միջոցով։ Մեր տված հավասարումը նշանակում է, որ արմատների գումարը հավասար կլինի հակառակ նշանով գործակցին, այսինքն՝ -1, իսկ այս արմատների արտադրյալը հավասար կլինի գործակցին, այսինքն՝ -20։ Հեշտ է կռահել, որ արմատները կլինեն -5 և 4:

Այժմ անհավասարության ձախ կողմը կարող է ֆակտորիզացվել՝ title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X-5 և 4 կետերում: Սա նշանակում է, որ անհավասարության պահանջվող լուծումը միջակայքն է: Նրանց համար, ովքեր չեն հասկանում, թե ինչ է գրված այստեղ, մանրամասները կարող եք դիտել տեսանյութում՝ սկսած այս պահից։ Այնտեղ դուք կգտնեք մանրամասն բացատրություն, ինչպես է լուծվում համակարգի երկրորդ անհավասարությունը։ Այն լուծվում է։ Ընդ որում, պատասխանը ճիշտ նույնն է, ինչ համակարգի առաջին անհավասարության դեպքում։ Այսինքն՝ վերևում գրված բազմությունը անհավասարության թույլատրելի արժեքների շրջանն է։

Այսպիսով, հաշվի առնելով գործոնացումը, սկզբնական անհավասարությունը ստանում է ձև.

Օգտագործելով բանաձևը, մենք առաջին լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտության ուժին ավելացնում ենք 11, իսկ երկրորդ լոգարիթմը տեղափոխում ենք անհավասարության ձախ կողմը՝ փոխելով դրա նշանը հակառակը.

Կրճատումից հետո մենք ստանում ենք.

Վերջին անհավասարությունը, ֆունկցիայի մեծացման պատճառով, համարժեք է անհավասարությանը , որի լուծումը միջակայքն է . Մնում է այն հատել անհավասարության ընդունելի արժեքների տարածաշրջանի հետ, և սա կլինի ամբողջ առաջադրանքի պատասխանը։

Այսպիսով, առաջադրանքի պահանջվող պատասխանն ունի հետևյալ տեսքը.

Մենք զբաղվել ենք այս առաջադրանքով, այժմ անցնում ենք մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 15-րդ առաջադրանքի հաջորդ օրինակին (պրոֆիլ):

Օրինակ 2. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Մենք լուծումը սկսում ենք՝ որոշելով այս անհավասարության ընդունելի արժեքների միջակայքը: Յուրաքանչյուր լոգարիթմի հիմքում պետք է լինի դրական թիվ, որը հավասար չէ 1-ի: Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները պետք է դրական լինեն: Կոտորակի հայտարարը չպետք է պարունակի զրո: Վերջին պայմանը համարժեք է այն փաստին, որ , քանի որ հակառակ դեպքում հայտարարի երկու լոգարիթմներն էլ անհետանում են։ Այս բոլոր պայմանները որոշում են այս անհավասարության թույլատրելի արժեքների միջակայքը՝ տրված անհավասարությունների հետևյալ համակարգով.

Title="Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից">!}

Ընդունելի արժեքների միջակայքում մենք կարող ենք օգտագործել լոգարիթմի փոխակերպման բանաձևերը անհավասարության ձախ կողմը պարզեցնելու համար։ Օգտագործելով բանաձև մենք ազատվում ենք հայտարարից.

Այժմ մենք ունենք միայն հիմքով լոգարիթմներ։ Սա արդեն ավելի հարմար է։ Այնուհետև մենք օգտագործում ենք բանաձևը, ինչպես նաև բանաձևը, որպեսզի փառքի արժանի արտահայտությունը հասցնենք հետևյալ ձևին.

Հաշվարկներում մենք օգտագործել ենք այն, ինչ գտնվում է ընդունելի արժեքների միջակայքում։ Օգտագործելով փոխարինումը, մենք հասնում ենք արտահայտությանը.

Եկեք օգտագործենք ևս մեկ փոխարինում. Արդյունքում մենք հասնում ենք հետևյալ արդյունքին.

Այսպիսով, մենք աստիճանաբար վերադառնում ենք սկզբնական փոփոխականներին: Նախ փոփոխականին.

Պետական ​​միասնական քննություն մաթեմատիկայի պրոֆիլի մակարդակում

Աշխատանքը բաղկացած է 19 առաջադրանքից.
Մաս 1:
Հիմնական դժվարության մակարդակի 8 կարճ պատասխան առաջադրանքներ:
Մաս 2:
4 կարճ պատասխան առաջադրանքներ
7 առաջադրանք՝ մանրամասն պատասխաններով բարձր մակարդակբարդություն։

Տևողությունը՝ 3 ժամ 55 րոպե։

Պետական ​​միասնական քննության առաջադրանքների օրինակներ

Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքների լուծում.

Ինքներդ լուծելու համար.

1 կվտ/ժ էլեկտրաէներգիան արժե 1 ռուբլի 80 կոպեկ։
Էլեկտրաէներգիայի հաշվիչը նոյեմբերի 1-ին ցույց է տվել 12625 կվտ/ժամ, իսկ դեկտեմբերի 1-ին՝ 12802 կվտ/ժամ։
Որքա՞ն պետք է վճարեմ նոյեմբեր ամսվա էլեկտրաէներգիայի համար:
Պատասխանեք ռուբլով:

Փոխանակման կետում 1 գրիվնան արժե 3 ռուբլի 70 կոպեկ։
Հանգստացողները ռուբլին փոխանակել են գրիվնայի հետ և գնել 3 կգ լոլիկ՝ 1 կգ-ը 4 գրիվնա գնով։
Քանի՞ ռուբլի է արժեցել նրանց այս գնումը: Կլորացրեք ձեր պատասխանը ամբողջ թվով:

Մաշան ամանորյա շնորհավորանքներով SMS հաղորդագրություններ է ուղարկել իր 16 ընկերներին։
Մեկ SMS հաղորդագրության արժեքը 1 ռուբլի 30 կոպեկ է։ Հաղորդագրությունն ուղարկելուց առաջ Մաշայի հաշվին 30 ռուբլի է եղել։
Քանի՞ ռուբլի կմնա Մաշային բոլոր հաղորդագրություններն ուղարկելուց հետո:

Դպրոցն ունի երեք հոգանոց արշավային վրաններ։
Ո՞րն է վրանների ամենափոքր թիվը, որը դուք պետք է վերցնեք 20 հոգով արշավի ժամանակ:

Նովոսիբիրսկ-Կրասնոյարսկ գնացքը մեկնում է 15:20-ին և ժամանում է հաջորդ օրը 4:20-ին (Մոսկվայի ժամանակով):
Քանի՞ ժամ է գնում գնացքը:

Գիտե՞ք ինչ։

Միևնույն պարագծով բոլոր ֆիգուրներից առավելագույնը կունենա շրջանագիծը մեծ տարածք. Ընդհակառակը, միևնույն տարածք ունեցող բոլոր ձևերի մեջ շրջանագիծը կունենա ամենափոքր պարագիծը:

Լեոնարդո դա Վինչին ստացել է մի կանոն, ըստ որի ծառի բնի տրամագծի քառակուսին հավասար է ընդհանուր ֆիքսված բարձրության վրա վերցված ճյուղերի տրամագծի քառակուսիների գումարին։ Հետագայում ուսումնասիրությունները դա հաստատեցին միայն մեկ տարբերությամբ՝ բանաձևի աստիճանը պարտադիր չէ, որ հավասար լինի 2-ի, այլ գտնվում է 1,8-ից 2,3 միջակայքում: Ավանդաբար համարվում էր, որ այս օրինաչափությունը բացատրվում է նրանով, որ նման կառուցվածք ունեցող ծառն ունի ճյուղեր մատակարարելու օպտիմալ մեխանիզմ: սննդանյութեր. Այնուամենայնիվ, 2010-ին ամերիկացի ֆիզիկոս Քրիստոֆ Ալոյը գտավ երևույթի ավելի պարզ մեխանիկական բացատրություն. եթե ծառը դիտարկենք որպես ֆրակտալ, ապա Լեոնարդոյի օրենքը նվազագույնի է հասցնում քամու ազդեցության տակ ճյուղերի կոտրվելու հավանականությունը:

Լաբորատոր հետազոտությունները ցույց են տվել, որ մեղուները կարողանում են ընտրել օպտիմալ ճանապարհը։ Տարբեր տեղերում տեղադրված ծաղիկները տեղայնացնելուց հետո մեղուն թռիչք է կատարում և հետ է վերադառնում այնպես, որ վերջնական ճանապարհը ամենակարճն է։ Այսպիսով, այս միջատները արդյունավետորեն հաղթահարում են համակարգչային գիտության դասական «ճանապարհորդ վաճառողի խնդիրը», որի լուծման վրա ժամանակակից համակարգիչները, կախված միավորների քանակից, կարող են ծախսել ավելի քան մեկ օր:

Մի տիկին ընկեր խնդրեց Էյնշտեյնին զանգահարել իրեն, բայց զգուշացրեց, որ իր հեռախոսահամարը շատ դժվար է հիշել՝ 24-361: Հիշու՞մ ես։ Կրկնել! Զարմացած Էյնշտեյնը պատասխանեց. «Իհարկե հիշում եմ»: Երկու տասնյակ և 19 քառակուսի:

Սթիվեն Հոքինգը առաջատար տեսական ֆիզիկոսներից է և գիտության հանրահռչակողներից է։ Իր մասին պատմվածքում Հոքինգը նշել է, որ առանց ստանալու է մաթեմատիկայի պրոֆեսոր մաթեմատիկական կրթությունքանի որ ավագ դպրոց. Երբ Հոքինգը սկսեց մաթեմատիկա դասավանդել Օքսֆորդում, նա դասագիրքը կարդաց իր աշակերտներից երկու շաբաթ առաջ:

Առավելագույն թիվը, որը կարելի է գրել հռոմեական թվերով՝ չխախտելով Շվարցմանի կանոնները (հռոմեական թվեր գրելու կանոնները) 3999 է (MMMCMXCIX) - անընդմեջ երեք թվանշանից ավել գրել չեք կարող։

Բազմաթիվ առակներ կան այն մասին, թե ինչպես է մի մարդ հրավիրում մյուսին վճարել իրեն ինչ-որ ծառայության համար հետևյալ կերպ. երկու անգամ ավելի, քան նախորդը: Արդյունքում՝ այս կերպ վճարողը անշուշտ կսնանկանա։ Սա զարմանալի չէ. հաշվարկվում է, որ բրնձի ընդհանուր քաշը կկազմի ավելի քան 460 միլիարդ տոննա։

Շատ աղբյուրներում կա հայտարարություն, որ Էյնշտեյնը ձախողել է մաթեմատիկան դպրոցում կամ, առավել եւս, ընդհանրապես շատ վատ է սովորել բոլոր առարկաներից։ Իրականում ամեն ինչ այդպես չէր. Ալբերտը վաղ տարիքից սկսեց տաղանդ դրսևորել մաթեմատիկայի մեջ և գիտեր դա դպրոցական ծրագրից շատ ավելի հեռու:

Միասնական պետական ​​քննություն 2020 մաթեմատիկայի առաջադրանք 15 լուծումով

Դեմո Պետական ​​միասնական քննության տարբերակ 2020 մաթեմատիկայի ոլորտում

Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննություն 2020 թվական pdf ձևաչափով Հիմնական մակարդակ | Անձնագրի մակարդակը

Մաթեմատիկայի պետական ​​միասնական քննությանը նախապատրաստվելու առաջադրանքներ՝ հիմնական և մասնագիտացված մակարդակ՝ պատասխաններով և լուծումներով.

Մաթեմատիկա: հիմք | պրոֆիլ 1-12 | | | | | | | | Տուն

Միասնական պետական ​​քննություն 2020 մաթեմատիկայի առաջադրանք 15

Միասնական պետական ​​քննություն 2020 մաթեմատիկայի պրոֆիլի մակարդակի առաջադրանք 15 լուծումով

Միասնական պետական ​​քննություն մաթեմատիկայի առաջադրանք 15

Վիճակը:

Լուծել անհավասարությունը.
log 2 ((7 -x 2 - 3) (7 -x 2 +16 -1)) + log 2 ((7 -x 2 -3)/(7 -x 2 +16 - 1)) > log 2 ( 7 7-x 2 - 2) 2

Լուծում:

Եկեք զբաղվենք ODZ-ով.
1. Լոգարիթմի առաջին նշանի տակ արտահայտությունը պետք է զրոյից մեծ լինի.
(7 (-(x 2))-3) (7 (-(x 2) + 16) -1) > 0

Հետևաբար, X 2-ը միշտ փոքր է կամ հավասար է զրոյի
7 (-x 2)< = 1, следовательно,
7 (-x 2) - 3< = -2 < 0

Սա նշանակում է, որ ODZ-ի առաջին պայմանը բավարարելու համար անհրաժեշտ է, որ
7 (-(x 2)+16) - 1< 0
7 (-(x 2)+16)< 1 = 7 0
-(x 2)+16< 0
x 2 > 16
x-ը պատկանում է (-անսահմանություն; -4) U (4, + անսահմանություն)

2. Լոգարիթմի երկրորդ նշանի տակ արտահայտությունը պետք է զրոյից մեծ լինի։ Բայց այնտեղ արդյունքը կլինի նույնը, ինչ առաջին պարբերության մեջ, քանի որ նույն արտահայտությունները փակագծերում են։

3. Լոգարիթմի երրորդ նշանի տակ արտահայտությունը պետք է լինի զրոյից մեծ։
(7 (7-x 2) -2) 2 > 0
Այս անհավասարությունը միշտ ճիշտ է, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ
7 (7-x 2) -2 = 0
7 (7-x 2) = 7 (log_7(2))
7-x 2 = log_7 (2)
x 2 = 7 - log_7 (2)
x = (+-)sqrt(7-log_7(x))

Եկեք գնահատենք, թե ինչին է մոտավորապես հավասար sqrt(7-log_7(x)):
1/3 = log_8 (2)< log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = քառակուսի (4)< sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3

Այսինքն, x պայմանը հավասար չէ (+-)sqrt(7-log_7(x)) արդեն ավելորդ է, քանի որ (1) պարբերությունում մենք արդեն բացառել ենք այս կետերը ներառող միջակայքը ODZ-ից:

Այսպիսով, ևս մեկ անգամ ՕՁ.
x-ը պատկանում է (- անսահմանություն; -4) U (4, + անսահմանություն)

4. Այժմ, օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները, սկզբնական անհավասարությունը կարող է փոխակերպվել այսպես.
log_2 ((7 (-x 2) - 3) 2) > log_2 ((7 (7 - x 2) - 2) 2)

Log_2(x)-ը աճող ֆունկցիա է, ուստի մենք ազատվում ենք լոգարիթմից՝ առանց նշանը փոխելու.
(7 (-x 2) -3) 2 > (7 (7-x 2) -2) 2

Եկեք վերևից և ներքևից գնահատենք արտահայտությունները (7 (-x 2) -3) 2Եվ (7 (7-x 2) -2) 2, հաշվի առնելով ՕՁ.

X 2< -16
0 < 7 (-x 2) < 1
-3 < 7 (-x 2) -3 < -2
4 < (7 (-x 2) -3) 2 < 9

X 2< -16
0 < 7 (7-x 2) < 1
-2 < 7 (-x 2) -2 < -1
1 < (7 (-x 2) -3) 2 < 4

Սա նշանակում է, որ անհավասարությունը գործում է ODZ-ին պատկանող ցանկացած x-ի համար: