Բուրգի շուրջը շրջափակված գնդակ: Մի գլանով և կոնով շրջագծված գունդը կոչվում է a. Գնդիկի համադրություն կլոր մարմիններով

Թեմա « Տարբեր առաջադրանքներբազմանիստ, գլան, կոն և գնդակի վրա» 11-րդ դասարանի երկրաչափության դասընթացի ամենադժվարներից է: Երկրաչափական խնդիրներ լուծելուց առաջ նրանք սովորաբար ուսումնասիրում են տեսության համապատասխան բաժինները, որոնք հղում են կատարում խնդիրներ լուծելիս։ Ս.Աթանասյանի և այլոց այս թեմայի դասագրքում (էջ 138) կարելի է գտնել միայն գնդերի շուրջ նկարագրված բազմանիստ, գնդում ներգծված բազմանիստ, բազմանկյունի մեջ ներգրված գունդ և շուրջը նկարագրված գունդ: բազմանիստ. IN մեթոդական առաջարկություններայս դասագրքում (տե՛ս Ս.Մ. Սաակյանի և Վ.Ֆ. Բուտուզովի «Երկրաչափության ուսումնասիրությունը 10–11-րդ դասարաններում» գիրքը, էջ 159) ասվում է, թե մարմինների ինչ համակցություններ են դիտարկվում թիվ 629–646 խնդիրները լուծելիս, և ուշադրություն է դարձվում այն ​​փաստին, որ « կոնկրետ խնդիր լուծելիս առաջին հերթին անհրաժեշտ է ապահովել, որ ուսանողները լավ պատկերացնեն պայմանում նշված մարմինների հարաբերական դիրքերը»։ Ստորև ներկայացնում ենք թիվ 638(ա) և թիվ 640 խնդիրների լուծումը.

Հաշվի առնելով վերը նշված բոլորը և այն, որ ուսանողների համար ամենադժվար խնդիրը գնդակի համադրությունն այլ մարմինների հետ է, անհրաժեշտ է համակարգել համապատասխան տեսական սկզբունքները և դրանք փոխանցել ուսանողներին:

Սահմանումներ.

1. Գնդակը կոչվում է մակագրված բազմանկյունի մեջ, իսկ բազմանկյունը նկարագրված է գնդակի շուրջ, եթե գնդակի մակերեսը դիպչում է բազմանկյունի բոլոր երեսներին:

2. Գնդակը կոչվում է շրջագծված բազմանկյունի շուրջ, իսկ բազմանկյունը՝ մակագրված գնդակի մեջ, եթե գնդակի մակերեսն անցնում է բազմանկյունի բոլոր գագաթներով։

3. Գնդակը կոչվում է մակագրված գլանով, կտրված կոն (կոն), իսկ գլան, կտրված կոն (կոն), ասվում է, որ շրջագծված է գնդակի շուրջ, եթե գնդակի մակերեսը դիպչում է հիմքերին (հիմքին) և բոլորին: գլանների գեներատորները, կտրված կոն (կոն):

(Այս սահմանումից հետևում է, որ գնդակի մեծ շրջանը կարող է մակագրվել այս մարմինների ցանկացած առանցքային հատվածում):

4. Գնդակը կոչվում է շրջագծված գլանով, կտրված կոնով (կոն), եթե հիմքերի շրջանակները (հիմնական շրջան և գագաթ) պատկանում են գնդակի մակերեսին։

(Այս սահմանումից հետևում է, որ այս մարմինների ցանկացած առանցքային հատվածի շուրջ կարելի է նկարագրել գնդակի ավելի մեծ շրջանագծի շրջանակը):

Ընդհանուր նշումներ գնդակի կենտրոնի դիրքի վերաբերյալ:

1. Բազմեյդոնի մեջ ներգծված գնդակի կենտրոնը գտնվում է բազմանկյունի բոլոր երկանկյուն անկյունների կիսադիր հարթությունների հատման կետում: Այն գտնվում է միայն պոլիէդրոնի ներսում։

2. Բազմեյդոնի շուրջ շրջագծված գնդակի կենտրոնը գտնվում է բազմակենտրոնի բոլոր եզրերին ուղղահայաց և դրանց միջնակետերով անցնող հարթությունների հատման կետում: Այն կարող է տեղակայվել պոլիէդրոնի ներսում, մակերեսի վրա կամ դրսում:

Գնդի և պրիզմայի համակցություն.

1. Ուղիղ պրիզմայով գրված գնդակ։

Թեորեմ 1. Գունդը կարող է մակագրվել ուղիղ պրիզմայի մեջ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ պրիզմայի հիմքում կարելի է մակագրել շրջան, և պրիզմայի բարձրությունը հավասար է այս շրջանագծի տրամագծին:

Եզրակացություն 1.Աջ պրիզմայով ներգծված գնդիկի կենտրոնը գտնվում է հիմքում գծագրված շրջանագծի կենտրոնով անցնող պրիզմայի բարձրության միջին կետում։

Եզրակացություն 2.Գնդակը, մասնավորապես, կարելի է մակագրել ուղիղ գծերով՝ եռանկյուն, կանոնավոր, քառանկյուն (որում հիմքի հակառակ կողմերի գումարները հավասար են միմյանց) H = 2r պայմանով, որտեղ H-ի բարձրությունն է։ պրիզմա, r-ը հիմքում գրված շրջանագծի շառավիղն է։

2. Պրիզմայով շրջագծված գունդ։

Թեորեմ 2. Գունդը կարելի է նկարագրել պրիզմայի շուրջ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե պրիզման ուղիղ է, իսկ շրջանակը կարելի է նկարագրել դրա հիմքի շուրջ:

Եզրակացություն 1. Ուղիղ պրիզմայով շրջագծված գնդիկի կենտրոնը գտնվում է պրիզմայի բարձրության միջին կետում, որը գծված է հիմքի շուրջը շրջագծված շրջանագծի կենտրոնով:

Եզրակացություն 2.Գնդակը, մասնավորապես, կարելի է նկարագրել՝ ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայի մոտ, կանոնավոր պրիզմայի մոտ, ուղղանկյուն զուգահեռականի մոտ, ուղղանկյուն քառանկյուն պրիզմայի մոտ, որի հիմքի հակառակ անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի։

Լ.Ս.Աթանասյանի դասագրքից կարելի է առաջարկել 632, 633, 634, 637(ա), 639(ա,բ) խնդիրները գնդիկի և պրիզմայի համակցության համար։

Գնդիկի համադրություն բուրգի հետ.

1. Բուրգի մոտ նկարագրված գնդակ:

Թեորեմ 3. Գնդակը կարելի է նկարագրել բուրգի շուրջը, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա հիմքի շուրջը կարելի է նկարագրել շրջան:

Եզրակացություն 1.Բուրգի շուրջ շրջագծված գնդիկի կենտրոնը գտնվում է բուրգի հիմքին ուղղահայաց ուղիղ գծի հատման կետում, որն անցնում է այս հիմքի շուրջ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնով և կողային եզրին ուղղահայաց հարթության միջով, որը գծված է բուրգի միջով: այս եզրը.

Եզրակացություն 2.Եթե ​​բուրգի կողային եզրերը հավասար են միմյանց (կամ հավասարապես թեքված են հիմքի հարթությանը), ապա նման բուրգի շուրջը կարելի է նկարագրել գնդակի կենտրոնն այս դեպքում գտնվում է հատման կետում բուրգի բարձրությունը (կամ դրա երկարացումը) կողային եզրի համաչափության առանցքով, որը ընկած է հարթության կողային եզրին և բարձրությանը:

Եզրակացություն 3.Գնդակը, մասնավորապես, կարելի է բնութագրել՝ մոտ եռանկյուն բուրգ, կանոնավոր բուրգի մոտ, քառանկյուն բուրգի մոտ, որի հակառակ անկյունների գումարը 180 աստիճան է։

2. Բուրգի մեջ գրված գնդակ:

Թեորեմ 4. Եթե ​​բուրգի կողային երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը, ապա այդպիսի բուրգի մեջ կարելի է մակագրել գնդիկ։

Եզրակացություն 1.Բուրգի մեջ ներգծված գնդակի կենտրոնը, որի կողային երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը, գտնվում է բուրգի բարձրության հատման կետում բուրգի հիմքում գտնվող ցանկացած երկուղի անկյան գծային անկյան կիսադիրի հետ, կողմը. որոնցից բուրգի գագաթից գծված կողային երեսի բարձրությունն է։

Եզրակացություն 2.Դուք կարող եք գնդակը տեղավորել սովորական բուրգի մեջ:

Լ.Ս.Աթանասյանի դասագրքից կարելի է առաջարկել բուրգի հետ զուգակցման համար թիվ 635, 637(բ), 638, 639(գ), 640, 641 խնդիրները։

Գնդիկի համակցությունը կտրված բուրգի հետ:

1. Գնդիկ, որը շրջագծված է կանոնավոր կտրված բուրգով:

Թեորեմ 5. Ցանկացած կանոնավոր կտրված բուրգի շուրջ կարելի է նկարագրել գունդ: (Այս պայմանը բավարար է, բայց ոչ անհրաժեշտ)

2. Կանոնավոր կտրված բուրգի մեջ գրված գնդակ:

Թեորեմ 6. Գնդակը կարող է մակագրվել կանոնավոր կտրված բուրգի մեջ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե բուրգի ապոտեմը հավասար է հիմքերի ապոտեմների գումարին:

Լ.Ս. Աթանասյանի դասագրքում (թիվ 636) կա միայն մեկ խնդիր՝ կտրված բուրգի հետ գնդիկի համադրության համար.

Գնդիկի համադրություն կլոր մարմիններով.

Թեորեմ 7. Գունդը կարելի է նկարագրել գլանի, կտրված կոնի (ուղիղ շրջանաձև) կամ կոնի շուրջ։

Թեորեմ 8. Գնդակը կարելի է մակագրել (ուղիղ շրջանաձև) գլան, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գլանը հավասարակողմ է:

Թեորեմ 9. Դուք կարող եք գնդակը տեղավորել ցանկացած կոնի մեջ (ուղիղ շրջանաձև):

Թեորեմ 10. Գնդակը կարելի է մակագրել կտրված կոնի մեջ (ուղիղ շրջանաձև), եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա գեներատորը հավասար է հիմքերի շառավիղների գումարին։

Լ.Ս.Աթանասյանի դասագրքից կարելի է առաջարկել թիվ 642, 643, 645, 646 խնդիրները՝ կլոր մարմիններով գնդակի համադրության համար։

Այս թեմայի վերաբերյալ նյութն ավելի հաջող ուսումնասիրելու համար անհրաժեշտ է դասերին ներառել բանավոր առաջադրանքներ.

1. Խորանարդի եզրը հավասար է a. Գտե՛ք գնդիկների շառավիղները՝ գրված խորանարդի մեջ և շրջագծված նրա շուրջը: (r = a/2, R = a3):

2. Հնարավո՞ր է նկարագրել գունդ (գնդիկ) շուրջը՝ ա) խորանարդի; բ) ուղղանկյուն զուգահեռական; գ) թեք զուգահեռանիպդ, որի հիմքում ուղղանկյուն է. դ) ուղիղ զուգահեռատիպ; ե) թեք զուգահեռ. ա) այո; բ) այո; գ) ոչ; դ) ոչ; դ) ոչ)

3. Ճի՞շտ է, որ գունդ կարելի է նկարագրել ցանկացած եռանկյուն բուրգի շուրջ։ (Այո)

4. Հնարավո՞ր է արդյոք նկարագրել գունդ ցանկացած քառանկյուն բուրգի շուրջ: (Ոչ, ոչ մի քառանկյուն բուրգի մոտ)

5. Ի՞նչ հատկություններ պետք է ունենա բուրգը, որպեսզի նկարագրի իր շուրջը գտնվող գունդը: (Նրա հիմքում պետք է լինի մի բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջան)

6. Բուրգը մակագրված է մի գնդիկի մեջ, որի կողային եզրն ուղղահայաց է հիմքին։ Ինչպե՞ս գտնել ոլորտի կենտրոնը: (Գնդի կենտրոնը տարածության երկու երկրաչափական կետերի հատման կետն է: Առաջինը բուրգի հիմքի հարթությանը ուղղահայաց է, նրա շուրջը շրջագծված շրջանագծի կենտրոնով: Երկրորդը հարթություն է: ուղղահայաց տրված կողային եզրին և գծված դրա միջով)

7. Ի՞նչ պայմաններում կարելի է նկարագրել պրիզմայի շուրջ գունդ, որի հիմքում տրապիզոիդ է: (Նախ՝ պրիզման պետք է լինի ուղիղ, և երկրորդ՝ տրապեզը պետք է լինի հավասարաչափ, որպեսզի նրա շուրջը նկարագրվի շրջան)

8. Ի՞նչ պայմանների պետք է բավարարի պրիզման, որպեսզի նրա շուրջը նկարագրվի գունդ: (Պրիզման պետք է լինի ուղիղ, և դրա հիմքը պետք է լինի բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջան)

9. Եռանկյուն պրիզմայի շուրջ նկարագրված է գունդ, որի կենտրոնը գտնվում է պրիզմայից դուրս։ Ո՞ր եռանկյունին է պրիզմայի հիմքը: (Բութ եռանկյունի)

10. Հնարավո՞ր է նկարագրել մի գունդ թեք պրիզմայի շուրջ: (Ոչ, դուք չեք կարող)

11. Ի՞նչ պայմանով ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայով շրջագծված գնդիկի կենտրոնը կգտնվի պրիզմայի կողային երեսներից մեկի վրա: (Հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է)

12. Բուրգի հիմքը հավասարաչափ տրապիզոիդ է Բուրգի գագաթի ուղղանկյուն ելուստը հիմքի հարթության վրա գտնվող կետն է: Հնարավո՞ր է նման տրապեզիի շուրջ գունդ նկարագրել։ (Այո, կարող եք: Այն, որ բուրգի գագաթի ուղղանկյուն ելուստը գտնվում է դրա հիմքից դուրս, նշանակություն չունի: Կարևորն այն է, որ բուրգի հիմքում ընկած է. isosceles trapezoid- բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջան)

13. Մոտ կանոնավոր բուրգոլորտը նկարագրված է. Ինչպե՞ս է նրա կենտրոնը գտնվում բուրգի տարրերի համեմատ: (Գնդի կենտրոնը գտնվում է հիմքի հարթությանը իր կենտրոնով գծված ուղղահայաց վրա)

14. Ի՞նչ պայմանով է գտնվում ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայի շուրջ նկարագրված գնդիկի կենտրոնը՝ ա) պրիզմայի ներսում. բ) պրիզմայից դուրս. (Պրիզմայի հիմքում. ա) սուր եռանկյուն. բ) բութ եռանկյունի)

15. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի շուրջ նկարագրված է գունդ, որի եզրերը 1 դմ, 2 դմ և 2 դմ են։ Հաշվի՛ր ոլորտի շառավիղը։ (1,5 դմ)

16. Ի՞նչ կտրված կոնի մեջ կարող է տեղավորվել գունդը: (Կտրված կոնի մեջ, որի առանցքային հատվածի մեջ կարելի է մակագրել շրջան։ Կոնի առանցքային հատվածը հավասարաչափ տրապիզոիդ է, դրա հիմքերի գումարը պետք է հավասար լինի կողային կողմերի գումարին։ Այլ կերպ ասած՝ կոնի հիմքերի շառավիղների գումարը պետք է հավասար լինի գեներատորին)

17. Կտրված կոնի մեջ մակագրված է գունդ: Ո՞ր անկյան տակ է կոնի գեներատրիքսը տեսանելի ոլորտի կենտրոնից: (90 աստիճան)

18. Ի՞նչ հատկություն պետք է ունենա ուղիղ պրիզման, որպեսզի դրա մեջ գունդ ներգծվի։ (Նախ, ուղիղ պրիզմայի հիմքում պետք է լինի մի բազմանկյուն, որի մեջ կարելի է մակագրել շրջան, և, երկրորդ, պրիզմայի բարձրությունը պետք է հավասար լինի հիմքում ներգծված շրջանագծի տրամագծին)

19. Բերե՛ք բուրգի օրինակ, որը չի կարող տեղավորվել մի գնդիկի վրա: (Օրինակ՝ քառանկյուն բուրգ, որի հիմքում ուղղանկյուն կամ զուգահեռագիծ է)

20. Ուղիղ պրիզմայի հիմքում ռոմբ է: Հնարավո՞ր է գունդ տեղավորել այս պրիզմայի մեջ։ (Ոչ, դա անհնար է, քանի որ ընդհանուր առմամբ անհնար է նկարագրել ռոմբի շուրջ շրջան)

21. Ի՞նչ պայմանով գունդը կարելի է ներգծել ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայի մեջ: (Եթե պրիզմայի բարձրությունը երկու անգամ գերազանցում է հիմքում գրված շրջանագծի շառավիղը)

22. Ի՞նչ պայմանով գունդը կարելի է մակագրել կանոնավոր քառանկյուն կտրված բուրգի մեջ: (Եթե տվյալ բուրգի խաչմերուկը հարթություն է, որն անցնում է նրան ուղղահայաց հիմքի կողմի միջով, ապա դա հավասարաչափ տրապիզոիդ է, որի մեջ կարելի է շրջանագիծ գծագրել)

23. Եռանկյունաձեւ կտրված բուրգի մեջ մակագրված է գունդ: Բուրգի ո՞ր կետն է ոլորտի կենտրոնը. (Այս բուրգում ներգծված գնդի կենտրոնը գտնվում է բուրգի կողային երեսների կողմից հիմքի հետ ձևավորված անկյունների երեք երկկողմանի հարթությունների հատման կետում)

24. Հնարավո՞ր է արդյոք նկարագրել գլան (աջ շրջանաձև) շուրջը: (Այո, կարող ես)

25. Հնարավո՞ր է նկարագրել գունդը կոնի շուրջ, կտրված կոն (ուղիղ շրջանաձև): (Այո, կարող եք, երկու դեպքում էլ)

26. Հնարավո՞ր է գունդը մակագրվել ցանկացած գլան: Ի՞նչ հատկություններ պետք է ունենա մխոցը, որպեսզի դրա մեջ գունդ տեղավորվի: (Ոչ, ոչ ամեն անգամ. մխոցի առանցքային հատվածը պետք է լինի քառակուսի)

27. Հնարավո՞ր է գունդը ներգծվել ցանկացած կոնի մեջ: Ինչպե՞ս որոշել կոնի մեջ ներգծված գնդիկի կենտրոնի դիրքը: (Այո, միանգամայն: Ներգծված ոլորտի կենտրոնը գտնվում է կոնի բարձրության և հիմքի հարթության նկատմամբ գեներատորի թեքության անկյան կիսադիրի հատման կետում)

Հեղինակը կարծում է, որ պլանավորման երեք դասերից «Տարբեր խնդիրներ բազմաձև, գլան, կոն և գնդակ» թեմայով, նպատակահարմար է երկու դաս նվիրել գնդակը այլ մարմինների հետ համատեղելու խնդիրների լուծմանը: Խորհուրդ չի տրվում ապացուցել վերը տրված թեորեմները՝ դասին անբավարար ժամանակի պատճառով։ Դուք կարող եք հրավիրել ուսանողներին, ովքեր ունեն բավարար հմտություններ դրա համար՝ ապացուցելու դրանք՝ նշելով (ուսուցչի հայեցողությամբ) ապացույցի ընթացքը կամ պլանը:

Երբ խնդրին տրվում է գնդակի մեջ գրված բուրգ, այն լուծելու համար օգտակար կլինի հետևյալ տեսական տեղեկատվությունը.

Եթե ​​բուրգը գրված է գնդակի մեջ, ապա նրա բոլոր գագաթները գտնվում են այս գնդակի մակերեսին (համապատասխանաբար գնդակի վրա, գնդակի կենտրոնից մինչև գագաթները հավասար են գնդակի շառավղին):

Գնդիկի մեջ գրված բուրգի յուրաքանչյուր երեսը որոշակի շրջանով գրված բազմանկյուն է: Դեմքերի հարթության վրա գնդակի կենտրոնից իջած ուղղանկյունների հիմքերը այս շրջագծված շրջանակների կենտրոններն են: Այսպիսով, շրջագծված գնդակի կենտրոնը բուրգի երեսներին ուղղահայացների հատման կետն է, որը գծված է շրջագծերի կենտրոնների միջով:

Ավելի հաճախ, բուրգի մոտ շրջագծված գնդակի կենտրոնը համարվում է որպես հիմքի մոտ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնով դեպի հիմքը գծված ուղղահայաց, իսկ կողային եզրին ուղղահայաց կիսադիրը (ուղղահայացը գտնվում է. այս կողային եզրով և առաջին ուղղահայաց (գծված հիմքին) հարթությունը, եթե անհնար է նկարագրել շրջանագիծը բուրգի հիմքի մոտ, ապա այս բուրգը չի կարող մակագրվել եռանկյունաձև բուրգի մեջ միշտ կարելի է նկարագրել գունդ, բայց մակագրված գնդակի մեջ: քառանկյուն բուրգհիմքում զուգահեռագիծ ունենալով, այն կարող է ունենալ ուղղանկյուն կամ քառակուսի հիմք:

Բուրգի մոտ նկարագրված գնդակի կենտրոնը կարող է ընկած լինել բուրգի ներսում, բուրգի մակերեսին (կողային երեսին, հիմքի վրա) և բուրգից դուրս: Եթե ​​խնդրի հայտարարությունը չի ասում, թե կոնկրետ որտեղ է գտնվում շրջագծված գնդակի կենտրոնը, խորհուրդ է տրվում հաշվի առնել, թե ինչպես կարող են ազդել դրա գտնվելու վայրի տարբեր տարբերակները լուծման վրա:

Գնդակը կարելի է նկարագրել ցանկացած սովորական բուրգի շուրջ: Նրա կենտրոնը բուրգի բարձրությունն ու կողային եզրին ուղղահայաց կիսադիրը պարունակող ուղիղ գծի հատման կետն է։

Գնդակի մեջ գրված բուրգի հետ կապված խնդիրներ լուծելիս առավել հաճախ հաշվի են առնվում որոշ եռանկյուններ:

Սկսենք SO1C եռանկյունից: Այն հավասարաչափ է, քանի որ նրա երկու կողմերը հավասար են գնդակի շառավիղներին՝ SO1=O1С=R։ Հետևաբար, O1F-ը նրա բարձրությունն է, միջինը և կիսորդը:

SOC և SFO1 ուղղանկյուն եռանկյունները նման են S սուր անկյան տակ: Հետևաբար

SO=H-ը բուրգի բարձրությունն է, SC=b-ը՝ կողային եզրի երկարությունը, SF=b/2, SO1=R, OC=r-ը՝ բուրգի հիմքի շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղը։

IN ուղղանկյուն եռանկյուն OO1C գ հիպոթենուզ O1C=R, ոտքեր OC=r, OO1=H-R: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Եթե ​​շարունակենք SO բարձրությունը, ապա կստանանք SM տրամագիծը: Եռանկյունը SCM-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է (քանի որ ներգծված SCM անկյունը հիմնված է տրամագծի վրա): Դրանում OC-ը դեպի հիպոթենուս գծված բարձրությունն է, SO-ն և OM-ը SC-ի և CM-ի ոտքերի պրոյեկցիաներն են դեպի հիպոթենուս: Ըստ ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունների.

Գնդակը կարելի է նկարագրել բուրգի շուրջը, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա հիմքի շուրջը կարելի է նկարագրել շրջան:

Այս գնդակի O կենտրոնը կառուցելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գտի՛ր հիմքի շուրջ շրջագծված շրջանագծի O կենտրոնը:

2. Ուղիղ գիծ գծե՛ք O կետով, հարթությանը ուղղահայացհիմքերը.

3. Քաշեք հարթություն բուրգի ցանկացած կողային եզրի միջով, որն ուղղահայաց է այս եզրին:

4. Գտի՛ր կառուցված ուղիղի և հարթության հատման O կետը:

Հատուկ դեպք՝ բուրգի կողային եզրերը հավասար են։ Ապա.

գնդակը կարելի է նկարագրել;

գնդակի O կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության վրա.

Որտեղ է շրջագծված ոլորտի շառավիղը; - կողային կող; H-ը բուրգի բարձրությունն է:

5.2. Գնդակ և պրիզմա

Գունդը կարելի է նկարագրել պրիզմայի շուրջ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե պրիզման ուղիղ է, իսկ շրջանակը կարելի է նկարագրել դրա հիմքի շուրջ:

Գնդակի կենտրոնը հիմքերի մոտ նկարագրված շրջանակների կենտրոնները միացնող հատվածի կեսն է։

որտեղ է շրջագծված ոլորտի շառավիղը; - բազայի մոտ նկարագրված շրջանագծի շառավիղը. H-ն պրիզմայի բարձրությունն է։

5.3. Գնդիկ և գլան

Գնդակը միշտ կարելի է նկարագրել մխոցի շուրջ: Գնդակի կենտրոնը մխոցի առանցքային հատվածի համաչափության կենտրոնն է:

5.4. Գնդակ և կոն

Գնդակը միշտ կարելի է նկարագրել կոնի շուրջ: Գնդակի կենտրոն; ծառայում է որպես շրջանակի կենտրոն, որը շրջագծված է կոնի առանցքային հատվածով:

Մեզ շրջապատող աշխարհը, չնայած դրանց հետ տեղի ունեցող առարկաների և երևույթների բազմազանությանը, բնության օրենքների հստակ գործողության շնորհիվ լի է ներդաշնակությամբ: Թվացյալ ազատության հետևում, որով բնությունը ուրվագծեր է գծում և ստեղծում իրերի ձևերը, կան հստակ կանոններ և օրենքներ, որոնք ակամա հուշում են արարման գործընթացում ինչ-որ ավելի բարձր ուժի առկայության մասին: Պրագմատիկ գիտության շեմին, որը տալիս է ընթացիկ երևույթների նկարագրությունը մաթեմատիկական բանաձևերի և թեոսոֆիական աշխարհայացքի դիրքերից, կա մի աշխարհ, որը մեզ տալիս է զգացմունքների և տպավորությունների ամբողջ փունջ այն լցնող իրերից և տեղի ունեցող իրադարձություններից: նրանց.

Գնդակը բնության մեջ հայտնաբերված ֆիզիկական մարմինների ամենատարածված ձևն է: Մակրոկոսմի և միկրոտիեզերքի մարմինների մեծ մասն ունեն գնդակի ձև կամ հակված են մոտենալ դրան: Ըստ էության, գնդակը իդեալական ձևի օրինակ է: Գնդակի ընդհանուր ընդունված սահմանումը հետևյալն է. այն երկրաչափական մարմին է, տարածության բոլոր կետերի մի շարք (կոմպլեկտ), որոնք գտնվում են կենտրոնից՝ տրվածը չգերազանցող հեռավորության վրա։ Երկրաչափության մեջ այս հեռավորությունը կոչվում է շառավիղ, իսկ այս ցուցանիշի նկատմամբ՝ գնդակի շառավիղ։ Այլ կերպ ասած, գնդակի ծավալը պարունակում է բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են կենտրոնից շառավղի երկարությունը չգերազանցող հեռավորության վրա:

Գնդակը համարվում է նաև որպես իր տրամագծի շուրջ կիսաշրջանի պտտման արդյունք, որը մնում է անշարժ։ Այս դեպքում այնպիսի տարրերին և բնութագրերին, ինչպիսիք են գնդակի շառավիղը և ծավալը, ավելացվում է գնդակի առանցքը (ֆիքսված տրամագիծը), և դրա ծայրերը կոչվում են գնդակի բևեռներ: Գնդիկի մակերեսը սովորաբար կոչվում է գնդիկ։ Եթե ​​գործ ունենք փակ գնդակի հետ, ապա այն ներառում է այս ոլորտը, եթե բաց գնդակի հետ, ապա դա բացառում է։

Նկատի ունենալով գնդակի հետ կապված լրացուցիչ սահմանումներ՝ պետք է ասել ինքնաթիռներ կտրելու մասին։ Գնդիկի կենտրոնով անցնող կտրող ինքնաթիռը սովորաբար կոչվում է մեծ շրջան։ Գնդակի այլ հարթ հատվածների համար սովորաբար օգտագործվում է «փոքր շրջանակներ» անվանումը: Այս հատվածների մակերեսները հաշվարկելիս օգտագործվում է πR² բանաձեւը։

Գնդի ծավալը հաշվարկելիս մաթեմատիկոսները հանդիպեցին բավականին հետաքրքրաշարժ օրինաչափությունների և առանձնահատկությունների։ Պարզվեց, որ այս արժեքը կամ ամբողջությամբ կրկնօրինակվում է, կամ իր որոշման մեթոդով շատ մոտ է գնդակի շուրջը շրջափակված բուրգի կամ մխոցի ծավալին: Ստացվում է, որ գնդակի ծավալը հավասար է, եթե նրա հիմքը ունի նույն մակերեսը, ինչ գնդակի մակերեսը, իսկ բարձրությունը հավասար է գնդակի շառավղին։ Եթե ​​դիտարկենք գնդակի շուրջը շրջագծված գլան, ապա կարող ենք հաշվարկել մի օրինաչափություն, ըստ որի գնդիկի ծավալը մեկուկես անգամ պակաս է այս մխոցի ծավալից:

Կավալիերիի սկզբունքով գնդակը հեռացնելու մեթոդը գրավիչ և օրիգինալ տեսք ունի: Այն բաղկացած է ցանկացած գործչի ծավալը գտնելուց՝ ավելացնելով նրա խաչմերուկով ստացված տարածքները անսահման թվով, որպեսզի այն ստացվի, եկեք վերցնենք R շառավիղով կիսագնդը և R շառավղով շրջանագծի հիմքով գլան: կիսագնդի և մխոցի հիմքերը գտնվում են նույն հարթության վրա): Այս մխոցի մեջ մենք տեղադրում ենք կոն, որի ծայրը գտնվում է ստորին հիմքի կենտրոնում: Ապացուցելով, որ կիսագնդի ծավալը և կոնից դուրս գտնվող գլանի մասերը հավասար են, մենք հեշտությամբ կարող ենք հաշվարկել գնդակի ծավալը։ Նրա բանաձևն ունի հետևյալ ձևը. չորս երրորդը շառավղով և π (V= 4/3R^3×π) արտադրյալն է։ Դա հեշտ է ապացուցել՝ կիսագնդի և մխոցի միջով ընդհանուր կտրող հարթություն գծելով: Փոքր շրջանի և օղակի մակերեսները, որոնք դրսից սահմանափակված են գլանի և կոնի կողմերից, հավասար են։ Եվ, օգտագործելով Կվալյերիի սկզբունքը, դժվար չէ գալ այն հիմնական բանաձեւի ապացույցին, որի օգնությամբ մենք որոշում ենք գնդակի ծավալը։

Բայց ոչ միայն բնական մարմինների ուսումնասիրության խնդիրը կապված է դրանց տարբեր բնութագրերն ու հատկությունները որոշելու ուղիներ գտնելու հետ։ Ստերեոմետրիկ պատկերը, ինչպիսին է գնդակը, շատ լայնորեն օգտագործվում է գործնական գործունեությունմարդ. Շատ տեխնիկական սարքեր իրենց նախագծման մեջ ունեն ոչ միայն գնդաձև ձևի մասեր, այլև կազմված գնդաձև տարրերից: Հենց իդեալական բնական լուծումների կրկնօրինակումն է մարդու գործունեության գործընթացում, որը տալիս է ամենաբարձր որակի արդյունքներ։

Ողջույն Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք գնդակների հետ կապված խնդիրներին: Ավելի ճիշտ՝ լինելու է մարմինների համադրություն՝ գնդիկ կամ, այլ կերպ ասած, գնդակի շուրջ նկարագրված գլան (որը նույնն է) և գնդակի մեջ գրված խորանարդ։

Բլոգն արդեն անդրադարձել է գնդակների հետ կապված մի խումբ խնդիրների, . Ներկայացված առաջադրանքներում մենք կխոսենք նշված մարմինների ծավալը և մակերեսը գտնելու մասին:որը դուք պետք է իմանաք!

Գնդակի ծավալի բանաձևը.

Գնդակի մակերեսի բանաձևը.

Մխոցի ծավալի բանաձևը.

Մխոցի մակերեսի բանաձևը.

Լրացուցիչ մանրամասներ գլանների կողային մակերեսի մասին.

Այն ուղղանկյուն է «ոլորված» գլանով, որի մի կողմը հավասար է հիմքի շրջագծին, սա 2PiR է, մյուս կողմը հավասար է մխոցի բարձրությանը. Ն.

Ինչն է արժե ուշադրություն դարձնել ներկայացված առաջադրանքների հետ կապված:

1. Եթե գլանով մակագրված է գնդակը, ապա դրանք ունեն ընդհանուր շառավիղ։

2. Գնդիկի շուրջ շրջագծված գլան բարձրությունը հավասար է նրա երկու շառավղին (կամ տրամագծին):

3. Եթե գնդակի մեջ խորանարդ է գրված, ապա այս խորանարդի անկյունագիծը հավասար է գնդակի տրամագծին։

245348. Գնդակի շուրջ նկարագրված է գլան: Գլանի ծավալը 33 է։Գտե՛ք ոլորտի ծավալը։

Գնդակի ծավալի բանաձևը.

Մենք պետք է գտնենք գնդակի շառավիղը:

Գունդն ու գլանն ունեն ընդհանուր շառավիղ։ Գլանի հիմքը R շառավղով շրջան է, գլան բարձրությունը հավասար է երկու շառավիղի։ Սա նշանակում է, որ մխոցի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Պայմանում տրված ծավալը փոխարինենք բանաձևով և արտահայտենք շառավիղը.

Արտահայտությունը թողնենք այս ձևով, անհրաժեշտ չէ արտահայտել շառավիղը (հանելով երրորդ արմատը), քանի որ մեզ անհրաժեշտ կլինի հենց R 3:

Այսպիսով, գնդակի ծավալը հավասար կլինի.

Պատասխան՝ 22

245349. Գնդակի շուրջ նկարագրված է գլան: Գնդի ծավալը 24 է։Գտե՛ք գլանակի ծավալը։

Այս առաջադրանքը նախորդի հակառակն է:

Գնդակի ծավալի բանաձևը.

Մխոցի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Քանի որ գնդակի ծավալը հայտնի է, մենք կարող ենք արտահայտել շառավիղը և այնուհետև գտնել մխոցի ծավալը.

Այսպիսով.

Պատասխան՝ 36

316557. Գնդակը գրված է գլանով: Գնդի մակերեսը 111 է: Գտե՛ք մխոցի ընդհանուր մակերեսը:

Գնդի մակերեսի բանաձևը.

Մխոցի մակերեսի բանաձևը.

Եկեք պարզեցնենք.

Քանի որ գնդակի մակերեսը մեզ տրված է, մենք կարող ենք արտահայտել շառավիղը.

Պատասխան՝ 166.5