Ի՞նչ է ուժային ֆունկցիան: Հիմնական տարրական գործառույթները՝ դրանց հատկությունները և գրաֆիկները: N-րդ արմատի ֆունկցիայի հատկությունները, n-ը զույգ թիվ է

Ծանո՞թ եք գործառույթներին y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/xև այլն։ Այս բոլոր ֆունկցիաները ուժային ֆունկցիայի հատուկ դեպքեր են, այսինքն՝ ֆունկցիան y=xp, որտեղ p տրված իրական թիվն է։
Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները և գրաֆիկը զգալիորեն կախված են իրական ցուցիչ ունեցող հզորության հատկություններից և, մասնավորապես, այն արժեքներից, որոնց համար xԵվ էջաստիճանը իմաստ ունի x էջ. Եկեք անցնենք տարբեր դեպքերի նմանատիպ դիտարկմանը` կախված նրանից
ցուցիչ էջ

1. Ցուցանիշ p=2n-զույգ բնական թիվ.

y=x2n, Որտեղ n- բնական թիվ, ունի հետևյալը

հատկությունները:

• սահմանման տիրույթ - բոլոր իրական թվերը, այսինքն R բազմությունը;
• արժեքների հավաքածու՝ ոչ բացասական թվեր, այսինքն՝ y-ն մեծ է կամ հավասար է 0-ին.
• ֆունկցիան y=x2nնույնիսկ, քանի որ x 2n=(- x) 2n
• ֆունկցիան նվազում է միջակայքում x<0 և ընդմիջումով ավելանալով x>0.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y=x2nունի նույն ձևը, ինչ, օրինակ, ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x 4.

2. Ցուցանիշ p=2n-1- կենտ բնական թիվ
Այս դեպքում հզորության գործառույթը y=x2n-1, որտեղ բնական թիվ է, ունի հետևյալ հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ - սահմանված R;
• արժեքների հավաքածու - R հավաքածու;
• ֆունկցիան y=x2n-1տարօրինակ, քանի որ (- x) 2n-1=x2n-1;
• ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ իրական առանցքի վրա:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y=x 2n-1-ն ունի նույն ձևը, ինչ, օրինակ, ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x 3 .

3.Ցուցանիշ p=-2n, Որտեղ n-բնական թիվ.

Այս դեպքում իշխանության գործառույթը y=x -2n =1/x 2nունի հետևյալ հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ - բազմություն R, բացառությամբ x=0;
• արժեքների հավաքածու - դրական թվեր y>0;
• ֆունկցիա y =1/x2nնույնիսկ, քանի որ 1/(-x)2n=1/x 2n;
• ֆունկցիան մեծանում է x միջակայքում<0 и убывающей на промежутке x>0.

y ֆունկցիայի գրաֆիկը =1/x2nունի նույն ձևը, ինչ, օրինակ, y ֆունկցիայի գրաֆիկը =1/x 2.

Հզորության ֆունկցիան կոչվում է y=x n ձևի ֆունկցիա (կարդում ենք, որ y-ը հավասար է x-ին n-ի հզորությանը), որտեղ n-ը տրված որևէ թիվ է։ Հզորության ֆունկցիաների հատուկ դեպքեր են y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x և շատ այլ ֆունկցիաներ։ Եկեք ավելին պատմենք նրանցից յուրաքանչյուրի մասին:

Գծային ֆունկցիա y=x 1 (y=x)

Գրաֆիկը Ox առանցքի դրական ուղղությամբ 45 աստիճան անկյան տակ (0;0) կետով անցնող ուղիղ գիծ է։

Գրաֆիկը ներկայացված է ստորև.

Գծային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

• Ֆունկցիան մեծանում է և սահմանվում է ամբողջ թվային տողի վրա:
• Այն չունի առավելագույն կամ նվազագույն արժեքներ:

Քառակուսի ֆունկցիա y=x 2

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է:

Քառակուսային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

• 1. x =0, y=0 և y>0 x0-ում
• 2. Քառակուսային ֆունկցիան հասնում է իր նվազագույն արժեքին իր գագաթին: Ymin x=0-ում; Պետք է նաև նշել, որ ֆունկցիան չունի առավելագույն արժեք։
• 3. Ֆունկցիան նվազում է (-∞;0] միջակայքում և մեծանում է միջակայքի և ուռուցիկության վրա [0, + ∞);
• թեքման կետն ունի կոորդինատներ (0; 0);
• ասիմպտոտներ չկան;
• Կենտ n ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է (- 1 ; - 1), (0 ; 0) և (1 ; 1) կետերով։

Հզորության գործառույթ

Սահմանում 5

Հզորության ֆունկցիան սահմանվում է y = x a բանաձևով:

Գրաֆիկների տեսքը և ֆունկցիայի հատկությունները կախված են ցուցիչի արժեքից։

• երբ հզորության ֆունկցիան ունի a ամբողջ թվային ցուցիչ, ապա հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկի տեսակը և դրա հատկությունները կախված են նրանից, թե արդյոք ցուցանիշը զույգ է, թե՞ կենտ, ինչպես նաև, թե ինչ նշան ունի ցուցանիշը: Այս բոլոր հատուկ դեպքերը ավելի մանրամասն քննարկենք ստորև.
• Ցուցանիշը կարող է լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ. կախված դրանից, ֆունկցիայի գրաֆիկների տեսակը և հատկությունները նույնպես տարբերվում են: Մենք վերլուծելու ենք հատուկ դեպքեր՝ մի քանի պայման դնելով՝ 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• հզորության ֆունկցիան կարող է ունենալ զրոյական ցուցիչ, մենք նաև ավելի մանրամասն կվերլուծենք ստորև:

Եկեք վերլուծենք հզորության ֆունկցիան y = x a, երբ a-ն կենտ դրական թիվ է, օրինակ՝ a = 1, 3, 5...

Պարզության համար մենք նշում ենք նման հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ y = x (գրաֆիկական գույնը սև), y = x 3 ( կապույտգրաֆիկա), y = x 5 (գրաֆիկի կարմիր գույնը), y = x 7 (գրաֆիկական գույնը կանաչ): Երբ a = 1, մենք ստանում ենք գծային ֆունկցիա y = x.

Սահմանում 6

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները, երբ ցուցիչը կենտ դրական է

• ֆունկցիան աճում է x ∈-ի համար (- ∞ ; + ∞);
• ֆունկցիան ունի ուռուցիկություն x ∈-ի համար (- ∞ ; 0 ] և գոգավորություն x ∈ [ 0 ; + ∞) համար (բացառությամբ գծային ֆունկցիայի);
• թեքման կետն ունի կոորդինատներ (0 ; 0) (բացառությամբ գծային ֆունկցիայի);
• ասիմպտոտներ չկան;
• Ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) :

Եկեք վերլուծենք հզորության ֆունկցիան y = x a, երբ a-ն զույգ դրական թիվ է, օրինակ՝ a = 2, 4, 6...

Պարզության համար մենք նշում ենք նման ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները. y = x 2 (գրաֆիկական գույնը սև), y = x 4 (գրաֆիկի կապույտ գույնը), y = x 8 (գրաֆիկի կարմիր գույնը): Երբ a = 2, մենք ստանում ենք քառակուսի ֆունկցիա, որի գրաֆիկը քառակուսային պարաբոլա է:

Սահմանում 7

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները, երբ ցուցիչը նույնիսկ դրական է.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• նվազում է x ∈-ի համար (- ∞ ; 0 ] ;
• ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈-ի համար (- ∞ ; + ∞);
• թեքման կետեր չկան;
• ասիմպտոտներ չկան;
• Ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) :

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս ուժային ֆունկցիայի գրաֆիկների օրինակներ y = x a, երբ a-ն կենտ է բացասական թիվ: y = x - 9 (գրաֆիկական գույնը սև); y = x - 5 (գրաֆիկի կապույտ գույնը); y = x - 3 (գրաֆիկի կարմիր գույնը); y = x - 1 (գրաֆիկական գույնը կանաչ): Երբ a = - 1, մենք ստանում ենք հակադարձ համեմատականություն, որի գրաֆիկը հիպերբոլա է:

Սահմանում 8

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները, երբ ցուցիչը կենտ բացասական է.

Երբ x = 0, մենք ստանում ենք երկրորդ տեսակի ընդհատում, քանի որ lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, …. Այսպիսով, ուղիղ գիծը x = 0 ուղղահայաց ասիմպտոտ է.

• միջակայք՝ y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x);
• ֆունկցիան նվազում է x ∈ - ∞-ի համար; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• ֆունկցիան ունի ուռուցիկություն x ∈-ի համար (- ∞ ; 0) և գոգավորություն x ∈-ի համար (0 ; + ∞) ;
• թեքման կետեր չկան;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, երբ a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• Ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս y = x a հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկների օրինակներ, երբ a-ն զույգ բացասական թիվ է. y = x - 8 (գրաֆիկական գույնը սև); y = x - 4 (գրաֆիկի կապույտ գույնը); y = x - 2 (գրաֆիկի կարմիր գույնը):

Սահմանում 9

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները, երբ ցուցիչը նույնիսկ բացասական է.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Երբ x = 0, մենք ստանում ենք երկրորդ տեսակի ընդհատում, քանի որ lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, …. Այսպիսով, ուղիղ գիծը x = 0 ուղղահայաց ասիմպտոտ է.

• ֆունկցիան զույգ է, քանի որ y(-x) = y(x);
• ֆունկցիան աճում է x ∈-ի համար (- ∞ ; 0) և նվազում է x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
• ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• թեքման կետեր չկան;
• հորիզոնական ասիմպտոտ – ուղիղ գիծ y = 0, քանի որ.

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, երբ a = - 2, - 4, - 6, . . . .

• ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Հենց սկզբից ուշադրություն դարձրեք հետևյալ ասպեկտին. այն դեպքում, երբ a-ն կենտ հայտարարով դրական կոտորակ է, որոշ հեղինակներ որպես այս ուժային ֆունկցիայի սահմանման տիրույթ ընդունում են - ∞ միջակայքը. + ∞ , սահմանելով, որ a ցուցանիշը անկրճատելի կոտորակ է: Միացված է այս պահինշատերի հեղինակներ ուսումնական հրապարակումներՀանրահաշիվում և վերլուծության սկզբունքներում ՉԵՆ ՈՐՈՇՈՒՄ ուժային ֆունկցիաները, որտեղ ցուցիչը փաստարկի բացասական արժեքների համար կենտ հայտարար ունեցող կոտորակ է: Հետագայում մենք հավատարիմ կմնանք հենց այս դիրքորոշմանը. մենք կվերցնենք հավաքածուն [0; + ∞): Առաջարկություն ուսանողներին. պարզեք ուսուցչի տեսակետը այս կետի վերաբերյալ՝ տարաձայնություններից խուսափելու համար:

Այսպիսով, եկեք նայենք ուժային ֆունկցիային y = x a, երբ ցուցիչը ռացիոնալ կամ իռացիոնալ թիվ է, պայմանով, որ 0< a < 1 .

Եկեք պատկերացնենք հզորության ֆունկցիաները գրաֆիկներով y = x a երբ a = 11 12 (գրաֆիկական գույնը սև); a = 5 7 (գրաֆիկի կարմիր գույնը); a = 1 3 (գրաֆիկի կապույտ գույնը); a = 2 5 (գրաֆիկի կանաչ գույնը):

a ցուցիչի այլ արժեքներ (տրամադրված է 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Սահմանում 10

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները 0-ում< a < 1:

• միջակայք՝ y ∈ [ 0 ; + ∞);
• ֆունկցիան մեծանում է x ∈ [0; + ∞);
• ֆունկցիան ուռուցիկ է x ∈-ի համար (0 ; + ∞);
• թեքման կետեր չկան;
• ասիմպտոտներ չկան;

Եկեք վերլուծենք հզորության ֆունկցիան y = x a, երբ ցուցիչը ոչ ամբողջ ռացիոնալ կամ իռացիոնալ թիվ է, պայմանով, որ a > 1:

Եկեք գրաֆիկներով պատկերացնենք հզորության ֆունկցիան y = x a տվյալ պայմաններում օգտագործելով հետևյալ ֆունկցիաները որպես օրինակ՝ y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ, կանաչ գրաֆիկներ):

Ա ցուցիչի այլ արժեքները՝ պայմանով > 1, կտան նմանատիպ գրաֆիկ:

Սահմանում 11

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները a > 1:

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ [ 0 ; + ∞);
• միջակայք՝ y ∈ [ 0 ; + ∞);
• այս գործառույթը- գործառույթ ընդհանուր տեսարան(ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
• ֆունկցիան մեծանում է x ∈ [0; + ∞);
• ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ (0 ; + ∞) համար (երբ 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• թեքման կետեր չկան;
• ասիմպտոտներ չկան;
• Ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, երբ a-ն կենտ հայտարարով բացասական կոտորակ է, որոշ հեղինակների աշխատություններում կա տեսակետ, որ այս դեպքում սահմանման տիրույթը ∞ է; 0 ∪ (0 ; + ∞) նախազգուշացումով, որ a ցուցիչը անկրճատելի կոտորակ է: Ներկայումս հեղինակները ուսումնական նյութերՀանրահաշիվում և վերլուծության սկզբունքներում ՄԻ ՈՐՈՇԵՔ ուժային ֆունկցիաները փաստարկի բացասական արժեքների համար կենտ հայտարար ունեցող կոտորակի տեսքով ցուցիչով: Ավելին, մենք հավատարիմ ենք հենց այս տեսակետին. մենք ընդունում ենք բազմությունը (0 ; + ∞) որպես կոտորակային բացասական ցուցիչներով հզորության ֆունկցիաների սահմանման տիրույթ: Առաջարկություն ուսանողներին. Այս պահին հստակեցրեք ձեր ուսուցչի տեսլականը՝ տարաձայնություններից խուսափելու համար:

Շարունակենք թեման և վերլուծենք ուժային ֆունկցիան y = x a տրամադրվում է՝ - 1< a < 0 .

Ներկայացնենք հետևյալ ֆունկցիաների գրաֆիկները. y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (սև, կարմիր, կապույտ, կանաչ գույնը տողերը, համապատասխանաբար):

Սահմանում 12

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները - 1-ում< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ երբ - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• միջակայք՝ y ∈ 0 ; + ∞ ;
• այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
• թեքման կետեր չկան;

Ստորև բերված գծագրում ներկայացված են y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները (համապատասխանաբար կորերի սև, կարմիր, կապույտ, կանաչ գույները):

Սահմանում 13

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները ա< - 1:

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ երբ a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• միջակայք՝ y ∈ (0 ; + ∞) ;
• այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
• ֆունկցիան նվազում է x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
• ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
• թեքման կետեր չկան;
• հորիզոնական ասիմպտոտ – ուղիղ գիծ y = 0;
• ֆունկցիայի անցման կետ՝ (1; 1) .

Երբ a = 0 և x ≠ 0, մենք ստանում ենք y = x 0 = 1 ֆունկցիան, որը սահմանում է այն ուղիղը, որտեղից բացառվում է (0; 1) կետը (պայմանավորվածություն է ձեռք բերվել, որ 0 0 արտահայտությանը որևէ նշանակություն չի տրվի: )

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան ունի ձև y = a x, որտեղ a > 0 և a ≠ 1, և այս ֆունկցիայի գրաֆիկը տարբերվում է՝ ելնելով a հիմքի արժեքից: Դիտարկենք հատուկ դեպքեր.

Նախ, եկեք նայենք այն իրավիճակին, երբ բազան էքսպոնենցիալ ֆունկցիաունի զրոյից մինչև մեկ արժեք (0< a < 1) . Լավ օրինակ է a = 1 2 (կորի կապույտ գույնը) և a = 5 6 (կորի կարմիր գույնը) ֆունկցիաների գրաֆիկները:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք կունենան բազայի այլ արժեքների համար 0 պայմանով< a < 1 .

Սահմանում 14

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները, երբ հիմքը մեկից փոքր է.

• միջակայք՝ y ∈ (0 ; + ∞) ;
• այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
• էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, որի հիմքը մեկից փոքր է, նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում.
• թեքման կետեր չկան;
• հորիզոնական ասիմպտոտ – ուղիղ գիծ y = 0 x փոփոխականով դեպի + ∞;

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը մեկից մեծ է (a > 1):

Եկեք պատկերացնենք այս հատուկ դեպքը y = 3 2 x (կորի կապույտ գույնը) և y = e x (գրաֆիկի կարմիր գույնը) էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաների գրաֆիկով:

Հիմքի այլ արժեքներ, ավելի մեծ միավորներ, նման տեսք կտան էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Սահմանում 15

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները, երբ հիմքը մեկից մեծ է.

• սահմանման տիրույթ - ամբողջ հավաքածուն իրական թվեր;
• միջակայք՝ y ∈ (0 ; + ∞) ;
• այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
• էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, որի հիմքը մեկից մեծ է, աճում է որպես x ∈ - ∞; + ∞ ;
• ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ - ∞-ում; + ∞ ;
• թեքման կետեր չկան;
• հորիզոնական ասիմպտոտ – ուղիղ գիծ y = 0 x փոփոխականով դեպի - ∞;
• ֆունկցիայի անցման կետ՝ (0; 1) .

Լոգարիթմական ֆունկցիան ունի y = log a (x) ձևը, որտեղ a > 0, a ≠ 1:

Նման գործառույթը սահմանվում է միայն փաստարկի դրական արժեքների համար՝ x ∈ 0-ի համար; + ∞ .

Ժամանակացույց լոգարիթմական ֆունկցիաունի տարբեր տեսակի, հիմնվելով ա բազայի արժեքի վրա։

Նախ դիտարկենք իրավիճակը, երբ 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Հիմքի այլ արժեքները, ոչ ավելի մեծ միավորները, կտան նմանատիպ տիպի գրաֆիկ:

Սահմանում 16

Լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները, երբ հիմքը մեկից փոքր է.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ 0 ; + ∞ . Քանի որ x-ը աջից ձգտում է զրոյի, ֆունկցիայի արժեքները հակված են +∞;
• միջակայք՝ y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
• լոգարիթմական
• ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
• թեքման կետեր չկան;
• ասիմպտոտներ չկան;

Հիմա եկեք նայենք այն հատուկ դեպքին, երբ լոգարիթմական ֆունկցիայի հիմքը մեկից մեծ է. a > 1 . Ստորև բերված գծագրում ներկայացված են y = log 3 2 x և y = ln x լոգարիթմական ֆունկցիաների գրաֆիկները (գրաֆիկների կապույտ և կարմիր գույները համապատասխանաբար):

Մեկից ավելի բազայի այլ արժեքներ կտան նմանատիպ տիպի գրաֆիկ:

Սահմանում 17

Լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները, երբ հիմքը մեկից մեծ է.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ 0 ; + ∞ . Քանի որ x-ը աջից ձգտում է զրոյի, ֆունկցիայի արժեքները ձգտում են դեպի - ∞;
• միջակայք՝ y ∈ - ∞ ; + ∞ (իրական թվերի ամբողջությունը);
• այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
• լոգարիթմական ֆունկցիան աճում է x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
• ֆունկցիան ուռուցիկ է x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
• թեքման կետեր չկան;
• ասիմպտոտներ չկան;
• ֆունկցիայի անցման կետ՝ (1; 0) .

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն են՝ սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս։ Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրի հատկությունները և համապատասխան գրաֆիկան։

Ընդհանուր առմամբ, բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները բնութագրվում են պարբերականության հատկությամբ, այսինքն. երբ ֆունկցիայի արժեքները կրկնվում են ժամը տարբեր իմաստներմիմյանցից տարբերվող արգումենտներ f (x + T) = f (x) (T – ժամկետ): Այսպիսով, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների ցանկին ավելացվում է «ամենափոքր դրական շրջան» կետը։ Բացի այդ, մենք կնշենք այն փաստարկի արժեքները, որոնց դեպքում համապատասխան գործառույթը դառնում է զրո:

1. Սինուսային ֆունկցիա՝ y = sin(x)

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է սինուսային ալիք։

Սահմանում 18

Սինուսի ֆունկցիայի հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ՝ իրական թվերի ամբողջությունը x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ֆունկցիան անհետանում է, երբ x = π · k, որտեղ k ∈ Z (Z-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է);
• ֆունկցիան աճում է x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z և նվազում x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• սինուսի ֆունկցիան ունի տեղային մաքսիմումներ π 2 + 2 π · k կետերում; 1 և տեղական նվազագույնը կետերում - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• սինուսի ֆունկցիան գոգավոր է, երբ x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z և ուռուցիկ, երբ x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• ասիմպտոտներ չկան.

1. Կոսինուսի ֆունկցիա. y = cos(x)

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է կոսինուսային ալիք։

Սահմանում 19

Կոսինուսի ֆունկցիայի հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը `T = 2 π;
• արժեքների միջակայք՝ y ∈ - 1 ; 1 ;
• այս ֆունկցիան զույգ է, քանի որ y (- x) = y (x);
• ֆունկցիան մեծանում է x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z և նվազում x ∈ 2 π · k-ի համար; π + 2 π k, k ∈ Z;
• կոսինուսի ֆունկցիան ունի տեղական մաքսիմումներ 2 π · k կետերում; 1, k ∈ Z և տեղական նվազագույնները π + 2 π · k կետերում; - 1, k ∈ z;
• կոսինուսի ֆունկցիան գոգավոր է, երբ x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z եւ ուռուցիկ, երբ x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• թեքման կետերն ունեն π 2 + π · k կոորդինատներ; 0 , k ∈ Z
• ասիմպտոտներ չկան.

1. Շոշափող ֆունկցիա. y = t գ (x)

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է շոշափող.

Սահմանում 20

Շոշափող ֆունկցիայի հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, որտեղ k ∈ Z (Z-ը ամբողջ թվերի բազմությունն է);
• Սահմանման տիրույթի սահմանի վրա շոշափող ֆունկցիայի վարքագիծը lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Այսպիսով, ուղիղները x = π 2 + π · k k ∈ Z ուղղահայաց ասիմպտոտներ են;
• ֆունկցիան անհետանում է, երբ x = π · k k ∈ Z-ի համար (Z-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է);
• միջակայք՝ y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• այս ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x) ;
• ֆունկցիան աճում է որպես - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• շոշափող ֆունկցիան գոգավոր է x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z և ուռուցիկ x ∈ համար (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• թեքման կետերն ունեն π · k կոորդինատներ; 0, k ∈ Z;

1. Կոտանգենտի ֆունկցիա. y = c t g (x)

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է կոտանգենտոիդ։ .

Սահմանում 21

Կոտանգենս ֆունկցիայի հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ (π · k ; π + π · k) , որտեղ k ∈ Z (Z-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է);

Կոտանգենս ֆունկցիայի վարքագիծը սահմանման տիրույթի սահմանին lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Այսպիսով, ուղիղները x = π · k k ∈ Z ուղղահայաց ասիմպտոտներ են;

• ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը `T = π;
• ֆունկցիան անհետանում է, երբ x = π 2 + π · k k ∈ Z-ի համար (Z-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է);
• միջակայք՝ y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• այս ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x) ;
• ֆունկցիան նվազում է x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• կոտանգենս ֆունկցիան գոգավոր է x ∈-ի համար (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z և ուռուցիկ է x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• թեքման կետերը ունեն π 2 + π · k կոորդինատներ; 0, k ∈ Z;
• Չկան թեք կամ հորիզոնական ասիմպտոտներ:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ– սրանք են արկսինը, արկկոզինը, արկտանգենսը և արկոտանգենսը: Հաճախ անվանման մեջ «arc» նախածանցի առկայության պատճառով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կոչվում են աղեղային ֆունկցիաներ. .

1. Arc sine ֆունկցիա՝ y = a r c sin (x)

Սահմանում 22

Արկսինային ֆունկցիայի հատկությունները.

• այս ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x) ;
• arcsine ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ 0-ում; 1 և ուռուցիկություն x ∈ - 1-ի համար; 0 ;
• թեքության կետերն ունեն կոորդինատներ (0; 0), որը նաև ֆունկցիայի զրո է.
• ասիմպտոտներ չկան.

1. Աղեղի կոսինուսի ֆունկցիա. y = a r c cos (x)

Սահմանում 23

Աղեղի կոսինուսի ֆունկցիայի հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - 1 ; 1 ;
• միջակայք՝ y ∈ 0 ; π;
• այս ֆունկցիան ունի ընդհանուր ձև (ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ);
• ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում.
• աղեղային կոսինուսի ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ - 1-ում; 0 և ուռուցիկություն x ∈ 0-ի համար; 1 ;
• թեքության կետերն ունեն 0 կոորդինատներ; π 2;
• ասիմպտոտներ չկան.

1. Arctangent ֆունկցիա՝ y = a r c t g (x)

Սահմանում 24

Արկտանգենս ֆունկցիայի հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• արժեքների միջակայք՝ y ∈ - π 2 ; π 2;
• այս ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x) ;
• ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում.
• արկտանգենս ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈-ի համար (- ∞ ; 0 ] և ուռուցիկություն x ∈ [ 0 ; + ∞);
• թեքման կետն ունի կոորդինատներ (0; 0), որը նաև ֆունկցիայի զրո է.
• հորիզոնական ասիմպտոտները ուղիղ գծեր են y = - π 2 որպես x → - ∞ և y = π 2 որպես x → + ∞ (նկարում ասիմպտոտները կանաչ գծեր են):

1. Աղեղային շոշափող ֆունկցիա. y = a r c c t g (x)

Սահմանում 25

Արկկոտանգենս ֆունկցիայի հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• միջակայք՝ y ∈ (0; π) ;
• այս ֆունկցիան ունի ընդհանուր ձև.
• ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում.
• աղեղային կոտանգենս ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ [0; + ∞) և ուռուցիկություն x ∈-ի համար (- ∞ ; 0 ] ;
• թեքման կետն ունի 0 կոորդինատներ; π 2;
• Հորիզոնական ասիմպտոտներն են ուղիղ գծեր y = π x → - ∞-ում (կանաչ գիծ գծագրում) և y = 0 x → + ∞-ում:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

y = ax, y = ax 2, y = a/x ֆունկցիաները հզորության ֆունկցիայի հատուկ տեսակներ են. n = 1, n = 2, n = -1 .

Դեպքում nկոտորակային թիվ էջ/ քզույգ հայտարարով քև կենտ համարիչ r, ապա արժեքը կարող է ունենալ երկու նշան, և գրաֆիկն ունի մեկ այլ մաս x առանցքի ստորին մասում X, իսկ վերին մասի սիմետրիկ է։

Մենք տեսնում ենք y = ±2x 1/2 երկարժեք ֆունկցիայի գրաֆիկը, այսինքն. ներկայացված է հորիզոնական առանցքով պարաբոլայով:

Ֆունկցիայի գծապատկերներ y = xnժամը n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Այս գրաֆիկներն անցնում են (1; 1) կետով:

Երբ n = -1 մենք ստանում ենք հիպերբոլիա. ժամը n < - 1 Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկը նախ գտնվում է հիպերբոլայի վերևում, այսինքն. միջեւ x = 0Եվ x = 1, այնուհետև իջեցնել (ժամ x > 1) Եթե n> -1 գրաֆիկը հակառակն է գնում: Բացասական արժեքներ Xև կոտորակային արժեքներ nնմանը դրականի համար n.

Բոլոր գրաֆիկները անորոշ ժամանակով մոտավոր են x-առանցքին X,իսկ օրդինատների առանցքին ժամըառանց դրանց դիպչելու: Հիպերբոլային նմանության պատճառով այս գրաֆիկները կոչվում են հիպերբոլաներ n րդպատվեր.