Չի վերաբերում ցրման բնութագրերին: Վիճակագրական բաշխման բնութագրերը. Ցանքաշրջանառության մեջ պարարտանյութերի կիրառման համակարգ

Նմուշի համար հնարավոր է որոշել մի շարք թվային բնութագրեր, որոնք նման են հավանականության տեսության մեջ պատահական փոփոխականների հիմնական թվային բնութագրերին (մաթեմատիկական ակնկալիք, ցրվածություն, ստանդարտ շեղում, ռեժիմ, մեդիան) և ինչ-որ առումով (որը կլինի պարզել ավելի ուշ) դրանց մոտավոր արժեքը:

Թող տրվի նմուշի ծավալի վիճակագրական բաշխումը nհաճախականությունների և հարաբերական հաճախությունների համար.

x ես	x 1	x 2		x կ
n ես	n 1	n 2		n կ

x ես	x 1	x 2		x կ
w ես	w 1	w 2		w կ

Նմուշի միջինըԲոլոր տարբերակների միջին թվաբանականը կոչվում է.

Եթե ​​գումարի նշանի տակ գործակից ենք մուտքագրում, ապա հարաբերական հաճախականությամբ ընտրանքային միջինի բանաձև ենք ստանում.

.

Նկատի ունեցեք, որ միջակայքային շարքի դեպքում նմուշի միջինը հաշվարկվում է նույն բանաձևերով, եթե թվերը X 1 , …, X կվերցրեք միջակայքերի միջնակետերը. , … ,.

Նմուշի շեղումնմուշի արժեքների քառակուսի շեղումների թվաբանական միջինն է դրանց ընտրանքի միջինից.

Կրկին գումարի նշանի տակ գործակից ներմուծելով՝ մենք ստանում ենք նմուշի ցրման բանաձև՝ հարաբերական հաճախականությունների առումով.

Պարզ փոխակերպումները հանգեցնում են նմուշի շեղումը հաշվարկելու ավելի հարմար բանաձևի

,

որտեղ է ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականի քառակուսու միջինը, այսինքն.

Եթե ​​նմուշը ներկայացված է ինտերվալային վիճակագրական շարքով, ապա նմուշի շեղման բանաձևերը մնում են նույնը, որտեղ, ինչպես միշտ, որպես թվեր X 1 , …, X կԸնդմիջումների միջնակետերը վերցված են. , … ,.

Նմուշի ստանդարտ շեղումկոչվում է օրինակելի շեղումների քառակուսի արմատ

.

Տատանումների շրջանակը Ռնմուշի առավելագույն և նվազագույն արժեքների տարբերությունն է: Եթե ​​ընտրանքում ընտրանքները դասավորված են (տեղադրված են աճման կարգով), ապա

.

Տատանումների գործակիցըորոշվում է բանաձևով

.

Նորաձևություն Մ Օտատանումների շարքը այն տարբերակն է, որն ունի ամենաբարձր հաճախականությունը (կամ հարաբերական հաճախականությունը):

Միջին Մ ետատանումների շարքի թիվն է, որը նրա միջինն է: Կենտ թվով դիսկրետ շարքի համար միջին տարբերակը հավասար է նրա միջին տարբերակին: Եթե ​​տարբերակի թիվը զույգ է, ապա Մեդինան հավասար է երկու միջին տարբերակների միջինին (այսինքն՝ գումարի կեսին):

Մի շարք չափումների (վարիացիոն շարքի) հիմնական վիճակագրական բնութագրերը ներառում են դիրքի բնութագրերը (միջին բնութագրերը կամ ընտրանքի կենտրոնական միտումը). ցրման բնութագրերը (տարբերակում կամ տատանում) և բաշխման ձևի բնութագրերը:

TO դիրքի բնութագրերըներառել թվաբանական միջինը (միջին), եղանակը և միջինը:

Դեպի ցրման բնութագրերը(տատանումները կամ տատանումները) ներառում են՝ տատանումների միջակայք, ցրվածություն, միջին քառակուսի (ստանդարտ) շեղում, միջին թվաբանականի սխալ (միջին սխալ), տատանումների գործակից և այլն։

Ձևի բնութագրերիններառում են թեքության գործակիցը, թեքության չափումը և քորթոզը:

51. Ընդհանուր բնակչության պարամետրերի գնահատում. Կետերի և միջակայքի գնահատում: Վստահության միջակայք. Նշանակության մակարդակ

Բնակչության պարամետրերի գնահատում

Կան ընդհանուր պարամետրերի կետային և միջակայքային գնահատումներ:

Տեղ մեկ թիվ. Նման գնահատականները ներառում են, օրինակ.

Որպեսզի վիճակագրական գնահատումները գնահատված պարամետրերի «լավ» մոտարկումներ տան, դրանք պետք է լինեն.

չտեղահանված;

արդյունավետ;

հարուստ.

Գնահատումը կոչվում է անաչառ, եթե դրա նմուշի բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը համընկնում է ընդհանուր պարամետրի արժեքի հետ:

Միավոր գնահատականկոչվում է արդյունավետ, եթե այն ունի նմուշառման բաշխման ամենափոքր շեղումը` համեմատած այլ նմանատիպ գնահատումների, այսինքն. ցույց է տալիս ամենափոքր պատահական տատանումները:

Կետային գնահատականը կոչվում է համահունչ, եթե ընտրանքի պոպուլյացիայի չափի մեծացմանը զուգընթաց այն հակված է ընդհանուր պարամետրի արժեքին:

Օրինակ՝Ընտրանքային միջինը ընդհանուր միջինի հետևողական, անաչառ գնահատումն է: Նորմալ բնակչության ընտրանքի համար այս գնահատումը նույնպես արդյունավետ է:

Նմուշի փոքր չափի դեպքում միավորի գնահատումը կարող է զգալիորեն տարբերվել գնահատված պարամետրից, այսինքն. հանգեցնել լուրջ սխալների. Այս պատճառով, եթե նմուշի չափը փոքր է, դուք պետք է օգտագործեք ինտերվալային գնահատականներ.

Ինտերվալկոչվում է նախահաշիվ, որը որոշվում է երկու թիվ– ընդմիջման ծայրերը– վստահության միջակայք.

Ինտերվալային գնահատումները թույլ են տալիս մեզ հաստատել գնահատումների ճշգրտությունն ու հուսալիությունը:

Վստահության միջակայքի միջոցով ընդհանուր պարամետրը գնահատելու համար անհրաժեշտ է երեք արժեք.

Օրինակ, ընդհանուր միջինի համար վստահության միջակայքը հայտնաբերվում է բանաձևով. նշանակության մակարդակում .

Վստահության միջակայք- տերմին, որն օգտագործվում է մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ՝ վիճակագրական պարամետրերի միջակայքային գնահատման համար, որն ավելի նախընտրելի է փոքր ընտրանքի չափի համար, քան կետային գնահատումը։

Նշանակության մակարդակ - սա այն հավանականությունն է, որ մենք տարբերությունները համարել ենք էական, բայց դրանք իրականում պատահական են։

Երբ մենք նշում ենք, որ տարբերությունները նշանակալի են 5% նշանակության մակարդակում, կամ երբ r< 0,05 , ապա նկատի ունենք, որ դրանց անվստահելի լինելու հավանականությունը 0,05 է։

Երբ մենք նշում ենք, որ տարբերությունները նշանակալի են 1% նշանակության մակարդակում, կամ երբ r< 0,01 , ապա նկատի ունենք, որ դրանց անվստահելի լինելու հավանականությունը 0,01 է։

Եթե ​​այս ամենը թարգմանենք ավելի ֆորմալացված լեզվի, ապա նշանակության մակարդակը զրոյական վարկածը մերժելու հավանականությունն է, մինչդեռ դա ճիշտ է։

Զրոյական վարկածի մերժման սխալը, երբ այն ճիշտ է, կոչվում է 1-ին տիպի սխալ: (Տես Աղյուսակ 1)

Աղյուսակ 1. Զուր և այլընտրանքային վարկածներ և փորձարկման հնարավոր պայմաններ:

Նման սխալի հավանականությունը սովորաբար նշվում է որպես α. Ըստ էության, մենք պետք է փակագծերում նշենք ոչ թե p < 0.05 կամ p < 0.01 և α < 0.05 կամ α < 0,01.

Եթե ​​սխալի հավանականությունը α , ապա ճիշտ որոշման հավանականությունը՝ 1-α. Որքան փոքր է α, այնքան մեծ է ճիշտ որոշման հավանականությունը:

Պատմականորեն հոգեբանության մեջ ընդունված է, որ ամենացածր մակարդակըվիճակագրական նշանակությունը 5% մակարդակն է (p≤0.05). բավարար է 1% մակարդակը (p≤0.01), իսկ ամենաբարձրը՝ 0.1% մակարդակը (p≤0.001), հետևաբար կրիտիկական արժեքների աղյուսակներում սովորաբար տրված են վիճակագրական նշանակության p≤0,05 և p≤0,01 մակարդակներին համապատասխանող չափանիշների արժեքները, երբեմն՝ p≤0,001: Որոշ չափանիշների համար աղյուսակները ցույց են տալիս դրանց տարբեր էմպիրիկ արժեքների ճշգրիտ նշանակության մակարդակը: Օրինակ, φ*=1.56-ի համար p=O.06.

Այնուամենայնիվ, քանի դեռ վիճակագրական նշանակության մակարդակը չի հասել p=0.05, մենք դեռ իրավունք չունենք մերժելու զրոյական վարկածը։ Տարբերությունների բացակայությունը (Ho) վարկածը մերժելու և տարբերությունների վիճակագրական նշանակության վարկածն ընդունելու համար մենք կպահպանենք հետևյալ կանոնը (H 1).

	Վիճակագրական վերլուծության անցկացման պատճառներից է ուսումնասիրվող ցուցիչի վրա պատահական գործոնների (խանգարումների) ազդեցությունը հաշվի առնելու անհրաժեշտությունը, որոնք հանգեցնում են տվյալների ցրման (ցրման): Խնդիրների լուծումը, որոնցում առկա են ցրված տվյալներ, կապված է ռիսկի հետ, քանի որ նույնիսկ եթե օգտագործեք առկա ողջ տեղեկատվությունը, չեք կարող.կանխատեսել, թե ինչ կլինի ապագայում. Նման իրավիճակներին համարժեք կերպով վարվելու համար նպատակահարմար է հասկանալ ռիսկի բնույթը և կարողանալ որոշել տվյալների հավաքածուի ցրվածության աստիճանը:Գոյություն ունեն երեք թվային բնութագրեր, որոնք բնութագրում են դիսպերսիայի չափը. ստանդարտ շեղում, տատանումների միջակայք և գործակից (փոփոխականություն):
Ի տարբերություն կենտրոնը բնութագրող բնորոշ ցուցանիշների (միջին, միջին, ռեժիմ), ցույց են տալիս ցրման բնութագրերը	որքան մոտՏվյալների հավաքածուի անհատական ​​արժեքները գտնվում են այս կենտրոնի նկատմամբ Ստանդարտ շեղման սահմանումՍտանդարտ շեղում
	(ստանդարտ շեղում) տվյալների արժեքների միջինից պատահական շեղումների չափումն է: INիրական կյանք nՏվյալների մեծ մասը բնութագրվում է ցրմամբ, այսինքն. անհատական ​​արժեքները գտնվում են միջինից որոշ հեռավորության վրա: Անհնար է ստանդարտ շեղումը օգտագործել որպես ցրման ընդհանուր բնութագիր՝ պարզապես տվյալների շեղումները միջինացնելով, քանի որ շեղումների մի մասը կլինի դրական, իսկ մյուս մասը՝ բացասական, և արդյունքում միջինացման արդյունքը կարող է հավասար լինել. զրո:Բացասական նշանից ազատվելու համար օգտագործեք ստանդարտ տեխնիկան՝ նախ հաշվարկեք ցրվածությունորպես քառակուսի շեղումների գումարը բաժանված է ( n–1), այնուհետև ստացված արժեքից վերցվում է քառակուսի արմատը: n–1), որն ապահովում է ինքնին նմուշի պատահականության ուղղում: 66,7% Երբ տվյալների հավաքածուն սովորաբար բաշխվում է, ստանդարտ շեղումը ստանում է հատուկ նշանակություն: Ստորև բերված նկարում նշանները կատարվում են միջինի երկու կողմերում համապատասխանաբար մեկ, երկու և երեք ստանդարտ շեղումների հեռավորությունների վրա: Նկարը ցույց է տալիս, որ բոլոր արժեքների մոտավորապես 66,7%-ը (երկու երրորդը) ընկնում է միջինի երկու կողմերում մեկ ստանդարտ շեղման, արժեքների 95%-ը՝ միջինի երկու ստանդարտ շեղումների և գրեթե բոլոր տվյալների սահմաններում։ (99.7%) կլինի միջինից երեք ստանդարտ շեղումների սահմաններում: Սովորաբար բաշխված տվյալների համար ստանդարտ շեղման այս հատկությունը կոչվում է «երկու երրորդի կանոն»:
Որոշ իրավիճակներում, ինչպիսիք են արտադրանքի որակի վերահսկման վերլուծությունը, հաճախ այնպիսի սահմաններ են սահմանվում, որ այն դիտարկումները (0.3%), որոնք միջինից երեքից ավելի ստանդարտ շեղումներ են, համարվում են արժանի խնդիր:	Ցավոք, եթե տվյալները չեն հետևում նորմալ բաշխմանը, ապա վերը նկարագրված կանոնը չի կարող կիրառվել: Ներկայումս կա մի սահմանափակում, որը կոչվում է Չեբիշևի կանոն, որը կարող է կիրառվել ասիմետրիկ (շեղված) բաշխումների վրա: Ստեղծեք նախնական տվյալների հավաքածու SV Աղյուսակ 1-ում ներկայացված է 1987 թվականի հուլիսի 31-ից հոկտեմբերի 9-ն ընկած ժամանակահատվածում աշխատանքային օրերին գրանցված բորսայում օրական շահույթի փոփոխության դինամիկան: Ստեղծեք նախնական տվյալների հավաքածու SV Աղյուսակ 1-ում ներկայացված է 1987 թվականի հուլիսի 31-ից հոկտեմբերի 9-ն ընկած ժամանակահատվածում աշխատանքային օրերին գրանցված բորսայում օրական շահույթի փոփոխության դինամիկան: Ստեղծեք նախնական տվյալների հավաքածու SV Աղյուսակ 1-ում ներկայացված է 1987 թվականի հուլիսի 31-ից հոկտեմբերի 9-ն ընկած ժամանակահատվածում աշխատանքային օրերին գրանցված բորսայում օրական շահույթի փոփոխության դինամիկան: -0,006 0,009 0,012 -0,004 -0,015 -0,004 0,008 -0,006 0,002 0,011 0,002 -0,008 -0,001 0,011 -0,010 0,017 0,013 -0,013 0,017 0,002 0,009 -0,004 -0,018 -0,020 0,008 -0,014 -0,003 -0,002 -0,001 -0,001 0,006 -0,001 0,017 -0,017 -0,013 0,001 0,004 0,030 -0,000 0,015 0,007 -0,035 0,001 -0,007 0,001 -0,005 0,001 -0,014
Աղյուսակ 1. Բորսայում օրական շահույթի փոփոխությունների դինամիկան
Ամսաթիվ	Օրական շահույթ
Գործարկել Excel-ը	Ստեղծել ֆայլ
Սեղմեք Պահպանել կոճակը Ստանդարտ գործիքագոտու վրա:	Բացեք վիճակագրություն պանակը երևացող երկխոսության վանդակում և անվանեք ֆայլը Scattering Characteristics.xls:
Սահմանել պիտակը	6. Sheet1-ում, A1 բջիջում, դրեք պիտակը Daily Profit, 7. իսկ A2:A49 միջակայքում մուտքագրեք տվյալները Աղյուսակ 1-ից:
Սահմանեք AVERAGE VALUE ֆունկցիան
8. D1 բջիջում մուտքագրեք Միջին պիտակը: D2 բջիջում միջինը հաշվարկեք՝ օգտագործելով AVERAGE վիճակագրական ֆունկցիան:	Սահմանեք STANDARDEV գործառույթըՄիջին օրական շահույթը կազմել է 0,04% (միջին օրական շահույթը՝ -0,0004)։ Սա նշանակում է, որ դիտարկվող ժամանակաշրջանի միջին օրական շահույթը մոտավորապես զրոյական էր, այսինքն. շուկան պահպանել է միջին փոխարժեքը.
Ստանդարտ շեղումը ստացվել է 0,0118: Սա նշանակում է, որ արժեթղթերի շուկայում ներդրված մեկ դոլարը ($1) փոխվել է օրական միջինը 0,0118 դոլարով, այսինքն. նրա ներդրումը կարող է հանգեցնել $0,0118 շահույթի կամ կորստի: Եկեք ստուգենք, թե արդյոք աղյուսակ 1-ում բերված օրական շահույթի արժեքները համապատասխանում են կանոններին	նորմալ բաշխում

1. Հաշվեք միջինի երկու կողմերում մեկ ստանդարտ շեղմանը համապատասխանող միջակայքը:

2. D7, D8 և F8 բջիջներում համապատասխանաբար սահմանեք պիտակները. Մեկ ստանդարտ շեղում, ստորին սահման, վերին սահման:

3. D9 բջիջում մուտքագրեք բանաձևը = -0.0004 – 0.0118, իսկ F9 բջիջում մուտքագրեք բանաձևը = -0.0004 + 0.0118: 4. Ստացեք արդյունքը ճշգրիտ մինչև չորրորդ տասնորդական թիվը: 5. Որոշեք օրական շահույթի արժեքների քանակը, որոնք գտնվում են մեկ ստանդարտ շեղման սահմաններում: Նախ, զտեք տվյալները՝ թողնելով օրական շահույթի արժեքները [-0,0121, 0,0114] միջակայքում: Դա անելու համար ընտրեք A սյունակի ցանկացած բջիջ օրական շահույթի արժեքներով և գործարկեք հրամանը.

Data®Filter®AutoFilter

Բացեք ընտրացանկը՝ սեղմելով վերնագրի սլաքը Օրական շահույթև ընտրեք (Պայման...): Պատվերով ավտոմատ զտիչ երկխոսության վանդակում սահմանեք ընտրանքները, ինչպես ցույց է տրված ստորև: Սեղմեք OK:

Զտված տվյալների քանակը հաշվելու համար ընտրեք օրական շահույթի արժեքների միջակայքը, աջ սեղմեք կարգավիճակի տողի դատարկ տարածության վրա և համատեքստի ընտրացանկից ընտրեք Արժեքների թիվը: Կարդացեք արդյունքը. Այժմ ցուցադրեք բոլոր բնօրինակ տվյալները՝ գործարկելով հրամանը՝ Data®Filter®Display All և անջատեք ավտոմատ զտիչը՝ օգտագործելով հրամանը՝ Data®Filter®AutoFilter: 6. Հաշվեք օրական շահույթի արժեքների տոկոսը, որը միջինից մեկ ստանդարտ շեղում է հեռու: Դա անելու համար դրեք պիտակը H8 բջիջում, տոկոս, , իսկ H9 բջիջում ծրագրեք տոկոսը հաշվարկելու բանաձևը և ստացեք արդյունքը ճշգրիտ մինչև մեկ տասնորդական թիվը։ 7. Հաշվեք օրական շահույթի արժեքների միջակայքը միջինից երկու ստանդարտ շեղումների սահմաններում: D11, D12 և F12 բջիջներում համապատասխանաբար սահմանեք պիտակները.

8. Որոշեք օրական շահույթի արժեքների քանակը, որոնք գտնվում են երկու ստանդարտ շեղումների սահմաններում՝ նախ զտելով տվյալները:

9. Հաշվարկեք օրական շահույթի արժեքների տոկոսը, որոնք միջինից երկու ստանդարտ շեղումներով հեռու են: Դա անելու համար դրեք պիտակը H12 բջիջում Օրական շահույթ, իսկ H13 բջիջում ծրագրեք տոկոսային հաշվարկի բանաձևը և ստացեք արդյունքը ճշգրիտ մինչև մեկ տասնորդական թիվը։

10. Հաշվեք օրական շահույթի արժեքների միջակայքը միջինից երեք ստանդարտ շեղումների սահմաններում: D15, D16 և F16 բջիջներում համապատասխանաբար սահմանեք պիտակները. Երեք ստանդարտ շեղումներ, տոկոս, , իսկ H9 բջիջում ծրագրեք տոկոսը հաշվարկելու բանաձևը և ստացեք արդյունքը ճշգրիտ մինչև մեկ տասնորդական թիվը։. Մուտքագրեք հաշվարկման բանաձևերը D17 և F17 բջիջներում և ստացեք արդյունքը ճշգրիտ մինչև չորրորդ տասնորդական տեղը:

11. Որոշեք օրական շահույթի արժեքների քանակը, որոնք գտնվում են երեք ստանդարտ շեղումների սահմաններում՝ նախ զտելով տվյալները: Հաշվարկել օրական շահույթի արժեքների տոկոսը: Դա անելու համար դրեք պիտակը H16 բջիջում Օրական շահույթ, իսկ H17 բջիջում ծրագրեք տոկոսը հաշվարկելու բանաձևը և ստացեք արդյունքը ճշգրիտ մինչև մեկ տասնորդական թիվը։

13. Կառուցեք բորսայում բաժնետոմսերի օրական եկամտաբերության հիստոգրամը և տեղադրեք այն հաճախականությունների բաշխման աղյուսակի հետ J1:S20 տարածքում: Հիստոգրամի վրա ցույց տվեք միջինից համապատասխանաբար մեկ, երկու և երեք ստանդարտ շեղումների մոտավոր միջինը և միջակայքերը:

Ընտրանքի արդյունքների մաթեմատիկական և վիճակագրական վերլուծության համար միայն դիրքի բնութագրերի իմացությունը բավարար չէ: Նույն միջին արժեքը կարող է բնութագրել բոլորովին այլ նմուշներ:

Հետեւաբար, նրանցից բացի, վիճակագրությունը նույնպես հաշվի է առնում ցրման բնութագրերը (տատանումներ, կամ տատանումներ ) արդյունքները.

1. Տատանումների շրջանակ

Սահմանում. Ծավալով տատանումները մեծագույն և ամենափոքր նմուշի արդյունքների տարբերությունն է, որը նշվում է Ռև որոշվում է

Ռ=Xառավելագույնը - Xր.

Այս ցուցանիշի տեղեկատվական արժեքը փոքր է, չնայած փոքր նմուշի չափերով հեշտ է գնահատել մարզիկների լավագույն և վատագույն արդյունքների միջև տարբերությունը:

2. Տարբերություն

Սահմանում. Տարբերություն կոչվում է թվաբանական միջինից բնորոշ արժեքների շեղման միջին քառակուսի։

Չխմբավորված տվյալների դեպքում շեղումը որոշվում է բանաձևով

Որտեղ X ես- հատկանիշի արժեքը, - թվաբանական միջին:

Ինտերվալներով խմբավորված տվյալների համար շեղումը որոշվում է բանաձևով

,

Որտեղ X ես- միջին արժեքը ես խմբավորման ընդմիջում, n ես- ինտերվալային հաճախականություններ.

Հաշվարկները պարզեցնելու և արդյունքների կլորացման ժամանակ հաշվարկային սխալներից խուսափելու համար (հատկապես ընտրանքի չափը մեծացնելիս) օգտագործվում են նաև այլ բանաձևեր՝ շեղումը որոշելու համար: Եթե ​​միջին թվաբանականն արդեն հաշվարկված է, ապա չխմբավորված տվյալների համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.

 2 =
,

խմբավորված տվյալների համար՝

.

Այս բանաձևերը ստացվում են նախորդներից՝ գումարի նշանի տակ բացելով տարբերության քառակուսին։

Այն դեպքերում, երբ թվաբանական միջինը և շեղումը հաշվարկվում են միաժամանակ, օգտագործվում են բանաձևերը.

չխմբավորված տվյալների համար՝

 2 =
,

խմբավորված տվյալների համար՝

.

3. Միջին քառակուսի(ստանդարտ)շեղում

Սահմանում. Միջին քառակուսի (ստանդարտ ) շեղում բնութագրում է արդյունքների շեղման աստիճանը միջին արժեքից բացարձակ միավորներով, քանի որ, ի տարբերություն ցրման, այն ունի նույն չափման միավորները, ինչ չափման արդյունքները: Այլ կերպ ասած, ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս խմբում արդյունքների բաշխման խտությունը միջին արժեքի շուրջ կամ խմբի միատարրությունը:

Չխմբավորված տվյալների համար ստանդարտ շեղումը կարող է որոշվել բանաձևերի միջոցով

 =
,

 =
կամ =
.

Ինտերվալներով խմբավորված տվյալների համար ստանդարտ շեղումը որոշվում է բանաձևերով.

,

կամ
.

4. Միջին թվաբանականի սխալ (միջին սխալ)

Թվաբանական միջին սխալ բնութագրում է միջինի տատանումը և հաշվարկվում է բանաձևով.

.

Ինչպես երևում է բանաձևից, ընտրանքի չափի մեծացման հետ մեկտեղ միջինի սխալը նվազում է ընտրանքի չափի քառակուսի արմատին համամասնորեն:

5. Տատանումների գործակից

Տատանումների գործակիցը սահմանվում է որպես ստանդարտ շեղման հարաբերակցություն միջին թվաբանականին` արտահայտված որպես տոկոս.

.

Ենթադրվում է, որ եթե տատանումների գործակիցը չի գերազանցում 10%-ը, ապա ընտրանքը կարելի է համարել միատարր, այսինքն՝ ստացված մեկ ընդհանուր պոպուլյացիայից։

Աշխատանքի նպատակը

Ծանոթացեք ցրման երեւույթին և սովորեք որոշել դրա բնութագրերը:

Սարքավորումներ

1. Գնահատված սկավառակներ Ա 1 .

2. Գնահատված սկավառակներ Ա 2 .

3. Միկրոմետր.

4. Կանգնեք.

1. Ընդհանուր տեղեկություններ

Երբ մասերի խմբաքանակն արտադրվում է նույն տեխնոլոգիական գործընթացով, նույն աշխատողների կողմից, նույն աշխատավայրում, նույն պայմաններում, մասերի ճշգրտության պարամետրերի արժեքների շեղումները իդեալական նախատիպից և միմյանցից են: դիտարկված. Սա երեւույթստացել է անունը ցրում

Բոլոր փուլերում տեխնոլոգիական գործընթացմասի արտադրությունը վավեր է մեծ թվովանընդհատ կամ դիսկրետ փոփոխվող պատահական և համակարգված գործոններ:

Համակարգային գործոններկան՝

– մշտական ​​(օրինակ՝ մշակվող մակերեսի ձևի սխալ, որը առաջացել է խառատահաստոցի ուղեցույցների՝ լիսեռի առանցքին զուգահեռ չլինելու պատճառով, չափման սխալ և այլն);

– փոփոխվում է որոշակի օրենքի համաձայն y = f(x) (օրինակ՝ գործիքի ծավալային մաշվածություն, մեքենայի ջերմային դեֆորմացիա և այլն):

Պատահական գործոններբնութագրվում են դրանց մեծ քանակով, միմյանց հետ կապի բացակայությամբ և անկայունությամբ (օրինակ՝ ՁԻԱՀ-ի համակարգի օղակների առաձգական հրումներով)։

Գործնականում ցանկացած որակի բնութագրիչի ցրման ֆենոմենը ուսումնասիրվում է ցրման դիագրամի միջոցով, որը թույլ է տալիս որոշել բոլոր բնութագրերը:

կառուցելու համար ցրված հողամասաբսցիսայի առանցքի երկայնքով մասերի չափումների սերիական համարներն են, իսկ օրդինատների առանցքի երկայնքով կետերի տեսքով՝ մասերի համապատասխան քանակի չափումների ստացված արժեքները (նկ. 1.1): Չափման առավելագույն և նվազագույն արժեքներին համապատասխանող կետերի միջով գծվում են երկու գիծ՝ միմյանց և աբսցիսայի առանցքին զուգահեռ: Այս տողերի միջև հեռավորությունը արժեքների ցրման առաջին հատկանիշն է և կոչվում է մոլորված դաշտ ω = Անբ –Անմ . Այս բնութագիրը պարտադիր կերպով լրացվում է ցրման դաշտի կենտրոնի կոորդինատով՝ ∆ ω , որը մոլորված դաշտի կենտրոնի և անվանական արժեքի միջև եղած հեռավորությունն է։ Այն որոշում է մոլորված դաշտի դիրքը անվանական արժեքի նկատմամբ:

Ցրման երեւույթի երկրորդ բնութագիրը գործնական ցրման կորն է և այն որոշող պարամետրերը։ Գործնական ցրման կորի կառուցման համար անհրաժեշտ է թափառող դաշտ ω ցրման գծապատկերի վրա աբսցիսայի առանցքին զուգահեռ գծերով բաժանել 7...11 միջակայքի։ Յուրաքանչյուր ընդմիջումով հաշվեք դրանում ներառված չափման արդյունքների քանակը (բացարձակ հաճախականություն Տ)և պատկերիր այս մեծությունը ուղղանկյունների տեսքով, որոնց լայնությունը հավասար է միջակայքի արժեքին և բարձրությունը հավասար է բացարձակ հաճախականությանը Տ.

Ստացված դիագրամը կոչվում է ցրման հիստոգրամ:Բացարձակ հաճախականությունը պատկերելով Տյուրաքանչյուր ինտերվալի մեջտեղում գտնվող ուղիղ գծերի տեսքով (բեռնված օրդինատներ) և դրանց վերին կետերը միացնելով ուղիղ գծերի հատվածներով՝ ստանում ենք. կոտրված գիծ, կանչեց գործնական ցրման կորչափման արժեքները (նկ. 2.1):

Նկ. 1.1. Ցրված սյուժեն և գործնական

չափման արժեքի ցրման կորը

Գործնական ցրման կորը բնութագրող պարամետրերն են.

1. Ցրման կորի հավասարումը y = φ(X). Մեքենաշինության տեխնոլոգիայի ճշտության գնահատման խնդիրների մեծ մասի համար ընթացիկ արժեքների բաշխումը Xես ենթարկվում է նորմալ օրենքին (Գաուսի օրենքը), որի համար

Գաուսի օրենքից բացի, ընթացիկ արժեքները x iկարող է բաշխվել ըստ հավասար հավանականության օրենքի, Սիմփսոնի օրենքի, Չարլիեի օրենքի և այլն։

2. Խմբավորման կենտրոնՊատահական փոփոխականը միջին արժեքն է, որի շուրջ գտնվում են արժեքների ամենամեծ թիվը: Այլ կերպ ասած, խմբավորման կենտրոնը պատահական փոփոխականի արժեքն է, որը պատկանում է խմբաքանակի մասերի մեծամասնությանը: Խմբավորման կենտրոնի դիրքը որոշվում է խմբավորման կենտրոնի կոորդինատով (մաթեմատիկական ակնկալիք) Մ(x).

3. Ստանդարտ շեղում σ,ցույց տալով ընթացիկ արժեքների խմբավորման խտությունը խմբավորման կենտրոնի նկատմամբ Մ(X). Գրաֆիկորեն σ պատկերված է արժեքից հավասար հեռավորության վրա գտնվող երկու աբսցիսների տեսքով Մ(x) չափով σ, Այս հատկանիշը ծառայում է որպես ցրվածության չափանիշ:

4. Հարաբերական անհամաչափության գործակից a,ցույց տալով խմբավորման կենտրոնի տեղաշարժը Մ(X) հարաբերական է թափառող դաշտի կենտրոնին: Համար դիսկրետ քանակություններընթացիկ արժեքը Xես բնութագրերը Մ(x), σ Եվ Աորոշվում են հավասարումներով.

Որտեղ r(x i) = t/n– չափման արժեքների քանակը, որոնք ընկնում են համապատասխան միջակայքում, արտահայտված որպես չափված արժեքների ընդհանուր թվի տոկոս կամ մասնաբաժին (հարաբերական հաճախականություն):

Չափման արժեքների հաշվարկված ցրման բնութագրերը ներկայացված են գրաֆիկորեն՝ հաշվի առնելով այն ժամըմ կացին ≈ 0,4/ σ , y σ ≈ 0.24/σ (նկ. 2.2):

Բրինձ. 2.2. Ցրման երևույթի բնութագրերը. Մ(x); σ ; Ա

2. Աշխատանքային կարգ

Լաբորատոր աշխատանքիրականացվում է երկու թիմերի կողմից: Այս աշխատանքում ցրման ֆենոմենը ուսումնասիրվում է 50 կտորից կազմված մասերի երկու խմբաքանակի օրինակով: Ա 1 , Ա 2 .

Տեղադրեք (50 անգամ) աշխատանքային մասը երեք ծնոտով ճարմանդում և չափեք առանցքի տեղաշարժը:

Տեղադրելիս հատվածը պետք է սերտորեն սեղմված լինի իր ծայրամասային մակերեսով սարքավորմանը, իսկ կրկնակի տեղադրման ժամանակ հատվածը պետք է պտտվի իր առանցքի շուրջ որոշակի անկյան տակ:

Գրանցեք չափման արդյունքները մասի յուրաքանչյուր տեղադրումից հետո:

Չափման արդյունքների հիման վրա կառուցեք ցրման գծապատկեր, հիստոգրամ և ցրման կոր, որը նման է 2-րդ քայլին .

Որոշեք ցրման կորը բնութագրող պարամետրերը, որոնք նման են 3-րդ քայլին .

Համեմատեք փորձերի արդյունքները և եզրակացություններ արեք:

Կառուցեք ցրման երեւույթի այս բնութագրերի դիագրամը (նկ. 2.2):

1. Աշխատանքի անվանումը, նպատակը և սարքավորումը.

2. Անվանական ունեցող մասերի չափումների արդյունքներ Ա 1 .

3. Ցրման դիագրամը և ցրման երեւույթի բնութագրերը.

4. Անվանական ունեցող մասերի չափումների արդյունքներ Ա 2 .

5. Ցրման դիագրամը և ցրման երեւույթի բնութագրերը.

6. Եզրակացություններ.

4. Անվտանգության հարցեր

1. Ո՞րն է ցրման երեւույթը:

2. Ինչի օգնությամբ է ուսումնասիրվում ցրման երեւույթը.

3. Անվանե՛ք ցրման երեւույթի բնութագրերը:

4. Ի՞նչ գործոններ են գործում մասի պատրաստման գործընթացում:

5. Ինչի՞ համար են պատասխանատու սիստեմատիկ գործոնները ցրված սյուժեում:

6. Ինչի՞ համար են պատասխանատու պատահական գործոնները ցրված գծապատկերում:

7. Ինչու՞ պետք է ինտերվալների թիվը կենտ լինի ցրման գործնական կորը կառուցելիս:

8. Ի՞նչ է մոլորված դաշտը:

9. Որքա՞ն է ցրման դաշտի միջին կոորդինատը:

10. Ինչու՞ է մեզ անհրաժեշտ ցրման դաշտի կեսի կոորդինատը:

11. Ի՞նչ է խմբավորման կենտրոնը:

12. Ի՞նչ է մաթեմատիկական ակնկալիքը:

13. Ի՞նչ է ցույց տալիս մաթեմատիկական ակնկալիքը:

14. Ի՞նչ է ընդունվում որպես ցրվածության միջոց։

15. Անվանե՛ք տեխնոլոգիական գործընթացի բնութագրերը:

16. Անվանե՛ք ցրման երեւույթի բնութագրերը մասերի խմբաքանակ մշակելիս:

Ռիսկի ամենահավանական արժեքի հետ մեկտեղ կարևորունի հնարավոր ռիսկային արժեքների տարածում իր կենտրոնական արժեքի նկատմամբ: Սոցիալական և հիգիենիկ մոնիտորինգի խնդիրները լուծելիս անհրաժեշտ է նաև ցուցանիշների տարածվածության հաշվառումը։

Պատահական փոփոխականի տարածման ամենատարածված բնութագրերն են շեղումը և ստանդարտ շեղումը:

ξ պատահական փոփոխականի շեղումը նշվում է որպես Դ(ξ) (նշումը նույնպես օգտագործվում է Վ(ξ) և σ 2(ξ)), բնութագրում է պատահական փոփոխականի քառակուսի շեղման ամենահավանական արժեքը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքից։

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար՝ հաշվի առնելով արժեքները x iհավանականությունների հետ ես,շեղումը սահմանվում է որպես նիտրատների շեղումների կշռված գումար x iξ մաթեմատիկական ակնկալիքից՝ համապատասխան հավանականություններին հավասար կշռման գործակիցներով.

D(ξ) =

Շարունակական պատահական ξ փոփոխականի համար դրա շեղումը որոշվում է բանաձևով.

D(ξ) =

Դիսպերսիան ունի հետևյալ գործնականորեն կարևոր հատկությունները.

1. Ցանկացած պատահական փոփոխականի շեղումը ոչ բացասական է.

D(ξ) ≥ 0

2. Տարբերություն հաստատուն արժեքհավասար է 0:

D(C) = 0

Որտեղ C-ն հաստատուն է:

3. ξ պատահական փոփոխականի շեղումը հավասար է այս պատահական փոփոխականի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքի և մաթեմատիկական ակնկալիքի ξ քառակուսու տարբերությանը.

D(ξ) = M [ξ – M (ξ)] 2 = M(ξ 2) – ( .

4. Պատահական փոփոխականին հաստատուն ավելացնելը չի ​​փոխում շեղումը. Պատահական փոփոխականը a հաստատունով բազմապատկելը հանգեցնում է շեղումը բազմապատկելու ա 2 :

D(aξ + b) = a 2 D(ξ),

Որտեղ ԱԵվ բ- հաստատուններ.

5. Անկախ պատահական փոփոխականների գումարի շեղումը հավասար է դրանց շեղումների գումարին.

որտեղ ξ և η անկախ պատահական փոփոխականներ են:

ξ պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը (օգտագործվում է նաև «ստանդարտ շեղում» տերմինը) համարն է. σ (ξ) հավասար քառակուսի արմատξ տարբերությունից:

Ստանդարտ շեղումը չափում է պատահական փոփոխականի շեղումը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքից նույն քանակներով, որոնցում չափվում է հենց պատահական փոփոխականը (ի տարբերություն շեղման, որի չափը հավասար է սկզբնական պատահական փոփոխականի չափի քառակուսուն) . Նորմալ բաշխման համար ստանդարտ շեղումը հավասար է σ պարամետրին: Այսպիսով, մաթեմատիկական ակնկալիքը և ստանդարտ շեղումը ներկայացնում են նորմալ բաշխման բնութագրերի ամբողջական փաթեթը և եզակիորեն որոշում են բաշխման խտության տեսակը: Նորմալից տարբեր բաշխումների համար այս զույգ ցուցանիշները բաշխման հավասարապես արդյունավետ բնութագիր չեն:

Տատանումների գործակիցը օգտագործվում է նաև որպես պատահական փոփոխականի ցրման հատկանիշ։ Ոչ զրոյական մաթեմատիկական ակնկալիք ունեցող ξ պատահական փոփոխականի փոփոխության գործակիցը թիվն է. Վ(ξ) հավասար է ξ ստանդարտ շեղման հարաբերակցությանը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքին.

Տատանումների գործակիցը չափում է պատահական փոփոխականի ցրվածությունը որպես նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի մասնաբաժին և հաճախ արտահայտվում է որպես վերջինիս տոկոս: Այս հատկանիշը չպետք է օգտագործվի, եթե մաթեմատիկական ակնկալիքը մոտ է 0-ին կամ զգալիորեն փոքր է ստանդարտ շեղումից (այս դեպքում մաթեմատիկական ակնկալիքը որոշելիս փոքր սխալները հանգեցնում են տատանումների գործակցի բարձր սխալի), ինչպես նաև եթե խտության բաշխման տեսակը զգալիորեն տարբերվում է Գաուսից:

Ասիմետրիայի գործակից ( Ինչպես) սահմանում է պատահական փոփոխականի շեղման 3-րդ աստիճանը մաթեմատիկական ակնկալիքից և որոշվում է բանաձևով.

Գործնականում այս ցուցանիշը օգտագործվում է որպես բաշխման համաչափության գնահատում: Ցանկացած սիմետրիկ բաշխման դեպքում այն ​​հավասար է 0-ի: Եթե բաշխման խտությունը ասիմետրիկ է (ինչը հաճախ կարող է պատահել մահվան ռիսկը և ջրի և օդի աղտոտվածության հետ կապված ռիսկերը գնահատելիս), ապա ասիմետրիայի դրական գործակիցը համապատասխանում է այն դեպքին, երբ. խտության կորի ձախ ուսը ավելի կտրուկ է, քան աջը, իսկ բացասականը՝ այն դեպքում, երբ աջ ուսը ձախից ավելի կտրուկ է (Նկար 4.17):

Շեղված բաշխումների դեպքում ստանդարտ շեղումը պատահական փոփոխականի ցրվածության լավ չափանիշ չէ: Այս դեպքում ցրվածությունը բնութագրելու համար կարող եք օգտագործել այնպիսի ցուցանիշներ, ինչպիսիք են քառորդները, քվանտիլները և տոկոսները:

F(x) բաշխման ֆունկցիա ունեցող ξ պատահական փոփոխականի առաջին քառորդը թիվն է Q 1որը հավասարման լուծում է

F(Q 1) = 1/4

այսինքն՝ մի թիվ, որի համար հավանականությունը, որ ξ-ն ավելի քիչ արժեքներ ունի Q 1, հավասար է 1/4-ի, հավանականությունը, որ այն ավելի մեծ արժեքներ է վերցնում Q 1հավասար է 3/4-ի։

Երկրորդ քառորդ ( Q 2Պատահական փոփոխականի մեդիանը կոչվում է, իսկ երրորդը ( Q 3) - հավասարման լուծում

F(Q 3) = 3/4

Քառորդիկները x-առանցքը բաժանում են 4 միջակայքի՝ [-∞, Q 1], [Q 1, Q 2], [Q 2, Q 3] Եվ [ Q 3, + ∞] որոնցից յուրաքանչյուրում պատահական փոփոխականն ընկնում է հավասար հավանականությամբ, իսկ աբսցիսայի առանցքով և բաշխման խտության գրաֆիկով սահմանափակված թիվը ընկնում է նույն մակերեսով 4 տարածքի։ Իսկ առաջին և երրորդ քառորդների միջև ընկած միջակայքը պարունակում է պատահական փոփոխականի բաշխվածության 50%-ը։ Սիմետրիկ բաշխումների դեպքում առաջին և երրորդ քառորդները հավասարապես հեռու են միջինից:

Քվանտիլային պատվեր rպատահական ξ փոփոխականը բաշխման ֆունկցիայով F(x) թիվն է X, որը հավասարման լուծում է

Այսպիսով, քառորդները 0,25, 0,5 և 0,75 կարգի քվանտիլներ են: Եթե ​​p քվանտիլի կարգն արտահայտված է տոկոսով, ապա համապատասխան արժեքները Xկոչվում են տոկոսներ, կամ r- բաշխման տոկոսային միավորներ.

Նկ. Գծապատկեր 4.18-ը քվանտիլների հետ միասին ցույց է տալիս բաշխման 2.5 և 97.5 տոկոսային կետերը: Այս կետերի միջև կենտրոնացված է պատահական փոփոխականի բաշխման 95%-ը, ուստի նրանց միջև եղած միջակայքը կոչվում է միջինի 95% վստահության միջակայք (մասնավորապես, ռիսկերը գնահատելիս՝ ռիսկի 95% վստահության միջակայք):

Առաջադրանք 2.Պատահական ξ փոփոխականի վերաբերյալ հետևյալ տեղեկություններից որն է մեզ թույլ տալիս մերժել այն ենթադրությունը, որ այն բաշխված է սովորական օրենքի համաձայն.

ա) ξ - դիսկրետ պատահական փոփոխական;

բ) մաթեմատիկական ակնկալիքը ξ բացասական է.

գ) ξ-ի բաշխումը միամոդալ է.

դ) ξ-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար չէ նրա միջինին.

ե) անհամաչափության ξ գործակիցը բացասական է.

զ) ξ-ի ստանդարտ շեղումը ավելի մեծ է, քան նրա մաթեմատիկական ակնկալիքը.

է) ξ-ը բնութագրում է ուսումնասիրվող տարածքում սուր շնչառական հիվանդությունների տեւողության բաշխումը.

ը) ξ-ը բնութագրում է կյանքի տեւողության բաշխումը ուսումնասիրվող տարածքում.

թ) միջին ξ-ը չի համընկնում առաջին և երրորդ քառորդների միջև ընկած միջակայքի կենտրոնի հետ:

Պատասխան՝ Ենթադրություն նորմալ օրենքՊատահական փոփոխականի բաշխումն անհամատեղելի է ա), դ), ե), ը), i):

Բրինձ. 4.17.Կախվածություն նշանի միջև Նկ.4.18.Քառորդներ և տոկոսներ.

անհամաչափության գործակից և ձևի նկարազարդում` օգտագործելով ֆունկցիան

բաշխման խտության ֆունկցիաները