Ի՞նչ տեսք ունի բազմանկյունը: Բազմանկյունները և դրանց հատկությունները. Բազմանկյունը պարզ փակ է

Բազմանկյուներկրաչափական պատկեր է՝ սահմանափակված փակ բեկված գծով, որը չունի ինքնահատումներ։

Բազմանգծի կապերը կոչվում են բազմանկյունի կողմերըև դրա գագաթները - բազմանկյան գագաթները.

ԱնկյուններԲազմանկյունը հարակից կողմերից կազմված ներքին անկյուններն են: Բազմանկյունի անկյունների թիվը հավասար է նրա գագաթների և կողմերի թվին։

Բազմանկյունները անվանվում են ըստ կողմերի քանակի: Ամենափոքր կողմերով բազմանկյունը կոչվում է եռանկյուն, այն ունի միայն երեք կողմ: Չորս կողմ ունեցող բազմանկյունը կոչվում է քառանկյուն, հինգ կողմերով՝ հնգանկյուն և այլն։

Բազմանկյունի նշանակումը կազմված է տառերից, որոնք կանգնած են նրա գագաթներում՝ անվանելով դրանք հերթականությամբ (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ կամ հակառակ ուղղությամբ): Օրինակ ասում են կամ գրում՝ հնգանկյուն ABCDE :

Պենտագոնում ABCDEմիավորներ Ա, Բ, Գ, ԴԵվ Եհնգանկյան գագաթներն են, իսկ հատվածները ԱԲ, Ք.ա., CD, ԴԵԵվ Է.Ա.- հնգանկյունի կողմերը.

Ուռուցիկ և գոգավոր

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե նրա կողմերից ոչ մեկը, ձգված դեպի ուղիղ գիծ, ​​չի հատում այն։ Հակառակ դեպքում, բազմանկյունը կոչվում է գոգավոր:

Պարագծային

Բազմանկյունի բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է իր պարագծային.

Բազմանկյուն պարագիծ ABCDEհավասար է.

ԱԲ + Ք.ա.+ CD + ԴԵ + Է.Ա.

Եթե ​​բազմանկյունն ունի բոլոր կողմերը և բոլոր անկյունները հավասար, ապա այն կոչվում է ճիշտ. Միայն ուռուցիկ բազմանկյունները կարող են լինել կանոնավոր բազմանկյուններ:

Շեղանկյուն

Բազմանկյունի անկյունագիծ- սա մի հատված է, որը կապում է երկու անկյունների գագաթները, որոնք չունեն ընդհանուր կողմ: Օրինակ, հատված մ.թանկյունագիծն է.

Միակ բազմանկյունը, որը չունի մեկ անկյունագիծ, եռանկյունն է, քանի որ այն չունի ընդհանուր կողմեր ​​չունեցող անկյուններ։

Եթե ​​բազմանկյան ցանկացած գագաթից գծենք բոլոր հնարավոր անկյունագծերը, նրանք բազմանկյունը կբաժանեն եռանկյունների.

Կլինեն ուղիղ երկու եռանկյուններ, քան կողմերը.

տ = n - 2

Որտեղ տեռանկյունների թիվն է և n- կողմերի քանակը.

Բազմանկյունը եռանկյունների բաժանելը անկյունագծերի միջոցով օգտագործվում է բազմանկյունի տարածքը գտնելու համար, քանի որ բազմանկյունի մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է այն բաժանել եռանկյունների, գտնել այդ եռանկյունների մակերեսը և ավելացնել ստացված արդյունքները..

Բազմանկյունների տեսակները.

Քառանկյուններ

Քառանկյուններ, համապատասխանաբար, բաղկացած են 4 կողմերից և անկյուններից։

Իրար հակառակ կողմերն ու անկյունները կոչվում են հակառակը.

Շեղանկյունները ուռուցիկ քառանկյունները բաժանում են եռանկյունների (տես նկարը):

Ուռուցիկ քառանկյան անկյունների գումարը 360° է (օգտագործելով բանաձևը՝ (4-2)*180°):

Զուգահեռագրեր

Զուգահեռագիծուռուցիկ քառանկյուն է՝ հակառակ զուգահեռ կողմերով (թիվ 1 նկարում)։

Զուգահեռագծի հակառակ կողմերն ու անկյունները միշտ հավասար են:

Իսկ հատման կետի անկյունագծերը կիսով չափ կիսով չափ են բաժանվում:

Trapeze

Trapezoid- սա նույնպես քառանկյուն է, և ներս trapezoidsՄիայն երկու կողմերն են զուգահեռ, որոնք կոչվում են պատճառները. Մյուս կողմերն են կողմերը.

Նկարում տրապիզոիդը համարակալված է 2 և 7 համարներով:

Ինչպես եռանկյունու մեջ.

Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա trapezoid է հավասարաչափ;

Եթե ​​անկյուններից մեկն ուղղաձիգ է, ապա տրապեզոիդն է ուղղանկյուն.

Trapezoid-ի միջին գիծը հավասար է հիմքերի գումարի կեսին և զուգահեռ է նրանց:

Ռոմբուս

Ռոմբուսզուգահեռագիծ է, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Բացի զուգահեռագծի հատկություններից, ռոմբուսներն ունեն իրենց հատուկ հատկությունը. Ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց ենմիմյանց և ռոմբուսի անկյունները կիսել.

Նկարում 5 համարի ռոմբն է։

Ուղղանկյուններ

Ուղղանկյունզուգահեռագիծ է, որում յուրաքանչյուր անկյուն ուղիղ է (տե՛ս նկար թիվ 8):

Բացի զուգահեռագծի հատկություններից, ուղղանկյուններն ունեն իրենց հատուկ հատկությունը. ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են.

Քառակուսիներ

Քառակուսիբոլոր կողմերից հավասար ուղղանկյուն է (թիվ 4):

Այն ունի ուղղանկյան և ռոմբի հատկություններ (քանի որ բոլոր կողմերը հավասար են):

§ 1 Եռանկյունի հասկացությունը

Այս դասում դուք կծանոթանաք այնպիսի ձևերի, ինչպիսիք են եռանկյունները և բազմանկյունները:

Եթե ​​երեք կետեր, որոնք միևնույն գծի վրա չեն գտնվում, միացված են հատվածներով, ստացվում է եռանկյուն: Եռանկյունն ունի երեք գագաթ և երեք կողմ:

Նախքան ABC եռանկյունը, այն ունի երեք գագաթ (կետ A, B և C կետ) և երեք կողմ (AB, AC և CB):

Ի դեպ, այս նույն կողմերը կարելի է այլ կերպ անվանել.

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Եռանկյան կողմերը եռանկյան գագաթներում կազմում են երեք անկյուն։ Նկարում տեսնում եք անկյուն A, B անկյուն, C անկյուն:

Այսպիսով, եռանկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը ձևավորվում է երեք հատվածներով, որոնք միացնում են երեք կետեր, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա:

§ 2 Բազմանկյուն հասկացությունը և դրա տեսակները

Եռանկյուններից բացի կան քառանկյուններ, հնգանկյուններ, վեցանկյուններ և այլն։ Մի խոսքով, դրանք կարելի է անվանել բազմանկյուններ։

Նկարում տեսնում եք DMKE քառանկյունը:

D, M, K և E կետերը քառանկյան գագաթներն են:

DM, MK, KE, ED հատվածները այս քառանկյան կողմերն են։ Ինչպես եռանկյան դեպքում, այնպես էլ քառանկյունի կողմերը գագաթներում կազմում են չորս անկյուն, ինչպես կռահեցիք, այստեղից էլ կոչվում է քառանկյուն: Այս քառանկյունի համար նկարում տեսնում եք D անկյուն, M անկյուն, K անկյուն և E անկյուն:

Ի՞նչ քառանկյուններ արդեն գիտեք:

Քառակուսի և ուղղանկյուն! Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի չորս անկյուն և չորս կողմ:

Բազմանկյունների մեկ այլ տեսակ հնգանկյունն է։

O, P, X, Y, T կետերը հնգանկյան գագաթներն են, իսկ TO, OP, PX, XY, YT հատվածները՝ այս հնգանկյան կողմերը։ Պենտագոնն ունի համապատասխանաբար հինգ անկյուն և հինգ կողմ:

Ձեր կարծիքով քանի՞ անկյուն և քանի՞ կողմ ունի վեցանկյունը: Ճիշտ է, վեց! Նմանապես պատճառաբանելով՝ մենք կարող ենք ասել, թե կոնկրետ բազմանկյունը քանի կողմ, գագաթ կամ անկյուն ունի: Եվ կարող ենք եզրակացնել, որ եռանկյունը նույնպես բազմանկյուն է, որն ունի ուղիղ երեք անկյուն, երեք կողմ և երեք գագաթ։

Այսպիսով, այս դասում դուք ծանոթացաք այնպիսի հասկացություններին, ինչպիսիք են եռանկյունը և բազմանկյունը: Իմացանք, որ եռանկյունն ունի 3 գագաթ, 3 կողմ և 3 անկյուն, քառանկյունը՝ 4 գագաթ, 4 կողմ և 4 անկյուն, հնգանկյունը՝ 5 կող, 5 գագաթ, 5 անկյուն և այլն։

Օգտագործված գրականության ցանկ.

1. Մաթեմատիկա 5-րդ դասարան. Վիլենկին Ն.Յ., Ժոխով Վ.Ի. եւ ուրիշներ 31-րդ հրատ., ջնջված. - M: 2013 թ.
2. Դիդակտիկ նյութերմաթեմատիկա 5-րդ դասարանում. Հեղինակ - Պոպով Մ.Ա. - 2013 թ
3. Մենք հաշվարկում ենք առանց սխալների. Աշխատեք ինքնաթեստով մաթեմատիկայի 5-6-րդ դասարաններում: Հեղինակ - Մինաևա Ս.Ս. - 2014 թ
4. Դիդակտիկ նյութեր մաթեմատիկայի 5-րդ դասարանի համար. Հեղինակներ՝ Դորոֆեև Գ.Վ., Կուզնեցովա Լ.Վ. - 2010 թ
5. Վերահսկում և ինքնուրույն աշխատանքմաթեմատիկա 5-րդ դասարանում. Հեղինակներ - Պոպով Մ.Ա. - 2012 թ
6. Մաթեմատիկա. 5-րդ դասարան՝ ուսումնական. հանրակրթության ուսանողների համար. հաստատություններ / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemosyne, 2009

Տերմինաբանության տիրապետում, ինչպես նաև տարատեսակների հատկությունների իմացություն երկրաչափական ձևերկօգնի լուծել բազմաթիվ երկրաչափական խնդիրներ: Երբ ուսումնասիրում է այնպիսի բաժին, ինչպիսին է պլանաչափությունը, ուսանողը հաճախ հանդիպում է «բազմանկյուն» տերմինին: Ի՞նչ գործիչ է բնութագրում այս հայեցակարգը:

Բազմանկյուն - երկրաչափական գործչի սահմանում

Փակված է կոտրված գիծ, որի բոլոր հատվածները գտնվում են նույն հարթության վրա և չունեն ինքնահատման հատվածներ, կազմում է երկրաչափական պատկեր, որը կոչվում է բազմանկյուն։ Կտրված գծի հղումների թիվը պետք է լինի առնվազն 3: Այլ կերպ ասած, բազմանկյունը սահմանվում է որպես հարթության մի մաս, որի սահմանը փակ բեկված գիծ է:

Բազմանկյունի հետ կապված խնդիրներ լուծելիս այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են.

• Բազմանկյունի կողմը. Այս տերմինը բնութագրում է ցանկալի գործչի կոտրված շղթայի հատվածը (կապը):
• Բազմանկյուն անկյուն (ներքին) – անկյուն, որը ձևավորվում է կոտրված գծի 2 հարակից օղակներով:
• Բազմանկյունի գագաթը սահմանվում է որպես բազմագծի գագաթ:
• Բազմանկյուն շեղանկյունը մի հատված է, որը կապում է բազմանկյուն գործչի ցանկացած 2 գագաթ (բացառությամբ հարակից գագաթների):

Այս դեպքում մեկ բազմանկյունի մեջ շղթաների և կոտրված գծի գագաթների թիվը համընկնում են։ Կախված անկյունների քանակից (համապատասխանաբար բազմագծային հատվածներ) որոշվում է բազմանկյան տեսակը.

• 3 անկյուն - եռանկյուն:
• 4 անկյուն՝ քառանկյուն:
• 5 անկյուն - հնգանկյուն և այլն:

Եթե ​​բազմանկյուն պատկերն ունի հավասար անկյուններ և կողմեր, ապա բազմանկյունն ասում են կանոնավոր:

Բազմանկյունների տեսակները

Բոլոր բազմանկյուն երկրաչափական ձևերը բաժանվում են 2 տեսակի՝ ուռուցիկ և գոգավոր։

• Եթե ​​բազմանկյան կողմերից որևէ մեկը, ուղիղ գիծը շարունակելուց հետո, հատման կետեր չի կազմում բուն պատկերի հետ, դուք ունեք ուռուցիկ բազմանկյուն պատկեր:
• Եթե ​​կողմը (ցանկացած մեկը) շարունակելուց հետո ստացված ուղիղը հատում է բազմանկյունը, մենք խոսում ենքգոգավոր բազմանկյունի մասին։

Բազմանկյունի հատկություններ

Անկախ նրանից՝ ուսումնասիրվող բազմանկյուն պատկերը կանոնավոր է, թե ոչ, այն ունի հետևյալ հատկությունները. Այսպիսով.

• Նրա ներքին անկյունները կազմում են ընդհանուր (p – 2)*π, որտեղ

π – պտտվող անկյան ճառագայթային չափումը, համապատասխանում է 180°,

p – բազմանկյուն գործչի անկյունների (գագաթների) թիվը (p-gon):

• Ցանկացած բազմանկյուն պատկերի անկյունագծերի թիվը որոշվում է p*(p – 3) / 2 հարաբերակցությամբ, որտեղ

p – p-անկյունի կողմերի թիվը:

Այս դասում մենք կսկսենք նոր թեմաև ներմուծել մեզ համար նոր հայեցակարգ՝ «բազմանկյուն»։ Մենք կդիտարկենք բազմանկյունների հետ կապված հիմնական հասկացությունները՝ կողմեր, գագաթային անկյուններ, ուռուցիկություն և ոչ ուռուցիկություն: Այնուհետև մենք կապացուցենք ամենակարևոր փաստերը, ինչպիսիք են բազմանկյան ներքին անկյունների գումարի թեորեմը, բազմանկյան արտաքին անկյունների գումարի թեորեմը: Արդյունքում մենք կմոտենանք բազմանկյունների հատուկ դեպքերի ուսումնասիրությանը, որոնք կքննարկվեն հետագա դասերում։

Թեմա՝ Քառանկյուններ

Դաս՝ Բազմանկյուններ

Երկրաչափություն դասընթացում մենք ուսումնասիրում ենք երկրաչափական պատկերների հատկությունները և արդեն ուսումնասիրել ենք դրանցից ամենապարզը՝ եռանկյունները և շրջանները։ Միևնույն ժամանակ, մենք քննարկեցինք նաև այս պատկերների հատուկ հատուկ դեպքեր, ինչպիսիք են ուղղանկյուն, հավասարաչափ և կանոնավոր եռանկյունները: Հիմա ժամանակն է խոսել ավելի ընդհանուր և բարդ թվերի մասին. բազմանկյուններ.

Հատուկ գործով բազմանկյուններմենք արդեն ծանոթ ենք - սա եռանկյուն է (տես նկ. 1):

Բրինձ. 1. Եռանկյուն

Անունն ինքնին արդեն շեշտում է, որ սա երեք անկյուն ունեցող գործիչ է։ Հետևաբար, մեջ բազմանկյունդրանցից շատերը կարող են լինել, այսինքն. ավելի քան երեք. Օրինակ, եկեք նկարենք հնգանկյուն (տես նկ. 2), այսինքն. գործիչ հինգ անկյուններով:

Բրինձ. 2. Պենտագոն. Ուռուցիկ բազմանկյուն

Սահմանում.Բազմանկյուն- մի քանի կետերից (ավելի քան երկու) և դրանք հաջորդաբար միացնող հատվածների համապատասխան քանակից բաղկացած գործիչ: Այս կետերը կոչվում են գագաթներըբազմանկյուն, իսկ հատվածներն են կուսակցություններ. Այս դեպքում երկու կից կողմեր ​​չեն ընկած նույն ուղիղ գծի վրա և երկու ոչ հարակից կողմեր ​​չեն հատվում:

Սահմանում.Կանոնավոր բազմանկյունուռուցիկ բազմանկյուն է, որի բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են։

Ցանկացած բազմանկյունինքնաթիռը բաժանում է երկու հատվածի՝ ներքին և արտաքին: Ներքին տարածքը նաև կոչվում է բազմանկյուն.

Այսինքն, օրինակ, երբ խոսում են հնգագոնի մասին, նկատի ունեն և՛ նրա ամբողջ ներքին շրջանը, և՛ սահմանը։ Իսկ ներքին շրջանը ներառում է բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են պոլիգոնի ներսում, այսինքն. կետը վերաբերում է նաև հնգանկյունին (տե՛ս նկ. 2):

Բազմանկյունները երբեմն կոչվում են նաև n-անկյուններ՝ ընդգծելու, որ դիտարկվում է որոշ անհայտ թվով անկյունների (n կտոր) առկայության ընդհանուր դեպքը։

Սահմանում. Բազմանկյուն պարագիծ- բազմանկյունի կողմերի երկարությունների գումարը:

Այժմ մենք պետք է ծանոթանանք բազմանկյունների տեսակներին։ Նրանք բաժանված են ուռուցիկԵվ ոչ ուռուցիկ. Օրինակ, Նկ.-ում ներկայացված բազմանկյունը: 2-ը ուռուցիկ է, իսկ Նկ. 3 ոչ ուռուցիկ.

Բրինձ. 3. Ոչ ուռուցիկ բազմանկյուն

Սահմանում 1. Բազմանկյունկանչեց ուռուցիկ, եթե նրա ցանկացած կողմի միջով ուղիղ գիծ գծելիս ամբողջը բազմանկյունընկած է այս ուղիղ գծի միայն մի կողմում: Ոչ ուռուցիկմնացած բոլորն են բազմանկյուններ.

Հեշտ է պատկերացնել, որ հնգանկյան ցանկացած կողմը երկարացնելիս Նկ. 2 այն ամենը կլինի այս ուղիղ գծի մի կողմում, այսինքն. այն ուռուցիկ է. Բայց քառանկյունի միջով ուղիղ գիծ գծելիս Նկ. 3 մենք արդեն տեսնում ենք, որ այն բաժանում է երկու մասի, այսինքն. այն ուռուցիկ չէ.

Բայց կա բազմանկյան ուռուցիկության մեկ այլ սահմանում.

Սահմանում 2. Բազմանկյունկանչեց ուռուցիկ, եթե նրա ներքին ցանկացած երկու կետեր ընտրելիս և դրանք մի հատվածի հետ կապելիս, հատվածի բոլոր կետերը նույնպես բազմանկյան ներքին կետեր են։

Այս սահմանման օգտագործման ցուցադրումը կարելի է տեսնել Նկարում հատվածներ կառուցելու օրինակում: 2 և 3.

Սահմանում. ՇեղանկյունԲազմանկյունը ցանկացած հատված է, որը կապում է երկու ոչ հարակից գագաթները:

Բազմանկյունների հատկությունները նկարագրելու համար կան երկու ամենակարևոր թեորեմները դրանց անկյունների վերաբերյալ. ուռուցիկ բազմանկյունի ներքին անկյունների գումարի թեորեմԵվ ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունների գումարի թեորեմ. Եկեք նայենք նրանց:

Թեորեմ. Ուռուցիկ բազմանկյունի ներքին անկյունների գումարի վրա (n-գոն):

Որտեղ է նրա անկյունների (կողմերի) թիվը:

Ապացույց 1. Եկեք պատկերենք Նկ. 4 ուռուցիկ n-gon.

Բրինձ. 4. Ուռուցիկ n-gon

Գագաթից մենք գծում ենք բոլոր հնարավոր անկյունագծերը։ Նրանք n-գոնը բաժանում են եռանկյունների, քանի որ Բազմանկյան կողմերից յուրաքանչյուրը կազմում է եռանկյուն, բացառությամբ գագաթին հարող կողմերի: Նկարից հեշտ է տեսնել, որ այս բոլոր եռանկյունների անկյունների գումարը ճիշտ հավասար կլինի n-անկյունի ներքին անկյունների գումարին։ Քանի որ ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը , ուրեմն n-անկյունի ներքին անկյունների գումարը հավասար է.

Ք.Ե.Դ.

Ապացույց 2. Այս թեորեմի ևս մեկ ապացույց հնարավոր է։ Նկարում գծենք նմանատիպ n-անկյուն: 5 և միացրեք դրա ներքին կետերից որևէ մեկը բոլոր գագաթներով:

Բրինձ. 5.

Մենք ստացել ենք n-gon-ի բաժանումը n եռանկյունիների (այնքան կողմ, որքան եռանկյունիները): Նրանց բոլոր անկյունների գումարը հավասար է բազմանկյան ներքին անկյունների գումարին և ներքին կետի անկյունների գումարին, և սա անկյունն է։ Մենք ունենք.

Ք.Ե.Դ.

Ապացուցված է.

Ըստ ապացուցված թեորեմի՝ պարզ է, որ n-անկյունի անկյունների գումարը կախված է նրա կողմերի թվից (n-ի վրա)։ Օրինակ՝ եռանկյան մեջ, իսկ անկյունների գումարը . Քառանկյունում, իսկ անկյունների գումարը և այլն:

Թեորեմ. Ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունների գումարի վրա (n-գոն):

Որտեղ է նրա անկյունների (կողմերի) թիվը, իսկ , … արտաքին անկյուններն են:

Ապացույց. Եկեք պատկերենք ուռուցիկ n-անկյուն Նկ. 6 և նշեք դրա ներքին և արտաքին անկյունները:

Բրինձ. 6. Ուռուցիկ n-gon՝ նշանակված արտաքին անկյուններով

Որովհետև Արտաքին անկյունը միացված է ներքինին որպես կից, ապա և նմանապես մնացած արտաքին անկյունների համար: Ապա.

Փոխակերպումների ժամանակ օգտագործեցինք n-անկյունի ներքին անկյունների գումարի մասին արդեն իսկ ապացուցված թեորեմը։

Ապացուցված է.

Ապացուցված թեորեմից հետևում է հետաքրքիր փաստ, որ արտաքին անկյունների գումարը ուռուցիկ n-gonհավասար է նրա անկյունների (կողմերի) քանակի վրա։ Ի դեպ, ի տարբերություն ներքին անկյունների գումարի.

Հղումներ

1. Ալեքսանդրով Ա.Դ. և ուրիշներ, 8-րդ դաս. - Մ.: Կրթություն, 2006 թ.
2. Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Պրասոլով Վ.Վ. Երկրաչափություն, 8-րդ դաս. - Մ.: Կրթություն, 2011:
3. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Ս.Մ. Երկրաչափություն, 8-րդ դաս. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 թ.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Տնային աշխատանք