Սահմանաչափերի և դրանց բացահայտման հիմնական անորոշությունները: L'Hopital-ի կանոն. տեսություն և լուծումների օրինակներ Անսահման հզորության ցանկացած թիվ

Տեսակի և տեսակների անորոշությունը ամենատարածված անորոշություններն են, որոնք պետք է բացահայտվեն սահմանները լուծելիս:

Ուսանողների հանդիպած սահմանային խնդիրների մեծ մասը պարունակում է հենց այդպիսի անորոշություններ: Դրանք բացահայտելու կամ, ավելի ճիշտ, անորոշություններից խուսափելու համար գոյություն ունեն մի քանի արհեստական ​​տեխնիկա սահմանային նշանի տակ արտահայտման տեսակը փոխակերպելու համար։ Այս տեխնիկան հետևյալն է. համարիչի և հայտարարի տերմինային բաժանում փոփոխականի ամենաբարձր հզորությամբ, բազմապատկում զուգորդված արտահայտությամբ և ֆակտորիզացիա՝ հետագա կրճատման համար՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարումների լուծումները և կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:

Տեսակների անորոշություն

Օրինակ 1.

nհավասար է 2-ի։ Հետևաբար, համարիչն ու հայտարարը անդամով բաժանում ենք.

.

Մեկնաբանեք արտահայտության աջ կողմը. Սլաքները և թվերը ցույց են տալիս, թե ինչի են հակված կոտորակները փոխարինումից հետո nնշանակում է անսահմանություն: Այստեղ, ինչպես օրինակ 2-ում, աստիճանը nՀայտարարում ավելի շատ կա, քան համարիչում, ինչի հետևանքով ամբողջ կոտորակը հակված է անվերջ փոքր կամ «գերփոքր»:

Մենք ստանում ենք պատասխանը՝ այս ֆունկցիայի սահմանը դեպի անսահմանություն հակված փոփոխականով հավասար է .

Օրինակ 2. .

Լուծում. Այստեղ փոփոխականի ամենաբարձր հզորությունը xհավասար է 1-ի։ Հետևաբար, համարիչն ու հայտարարը անդամով բաժանում ենք x:

.

Որոշման ընթացքի մեկնաբանություն. Համարիչում մենք «x»-ը քշում ենք երրորդ աստիճանի արմատի տակ, և որպեսզի դրա սկզբնական աստիճանը (1) մնա անփոփոխ, նրան վերագրում ենք նույն աստիճանը, ինչ արմատը, այսինքն՝ 3: Չկան սլաքներ կամ լրացուցիչ թվեր։ այս մուտքում, այնպես որ մտովի փորձեք, բայց նախորդ օրինակի համեմատությամբ որոշեք, թե ինչի են հակված համարիչի և հայտարարի արտահայտությունները «x»-ի փոխարեն անսահմանությունը փոխարինելուց հետո:

Ստացանք պատասխանը՝ դեպի անսահմանություն հակված փոփոխականով այս ֆունկցիայի սահմանը հավասար է զրոյի։

Տեսակների անորոշություն

Օրինակ 3.Բացահայտեք անորոշությունը և գտեք սահմանը:

Լուծում. Համարիչը խորանարդների տարբերությունն է։ Եկեք այն գործոնացնենք՝ օգտագործելով դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի կրճատված բազմապատկման բանաձևը.

Հայտարարը պարունակում է քառակուսի եռանկյուն, որը մենք կգործադրենք՝ լուծելով քառակուսի հավասարումը (ևս մեկ հղում դեպի քառակուսի հավասարումներ).

Գրենք փոխակերպումների արդյունքում ստացված արտահայտությունը և գտնենք ֆունկցիայի սահմանը.

Օրինակ 4.Բացեք անորոշությունը և գտեք սահմանը

Լուծում. Քաղորդի սահմանային թեորեմն այստեղ կիրառելի չէ, քանի որ

Հետևաբար, մենք կոտորակը փոխակերպում ենք նույն ձևով. համարիչն ու հայտարարը բազմապատկելով երկանդամ խոնարհվածով հայտարարին և կրճատում ենք x+1. Համաձայն 1-ին թեորեմի հետևության՝ ստանում ենք արտահայտություն, որը լուծելով` գտնում ենք ցանկալի սահմանը.

Օրինակ 5.Բացեք անորոշությունը և գտեք սահմանը

Լուծում. Ուղղակի արժեքի փոխարինում x= 0-ը տվյալ ֆունկցիայի մեջ հանգեցնում է 0/0 ձևի անորոշության: Այն բացահայտելու համար մենք կատարում ենք նույնական փոխակերպումներ և, ի վերջո, ստանում ենք ցանկալի սահմանը.

Օրինակ 6.Հաշվիր

Լուծում:Եկեք օգտագործենք սահմանների թեորեմները

Պատասխան. 11

Օրինակ 7.Հաշվիր

Լուծում:Այս օրինակում համարիչի և հայտարարի սահմանները հավասար են 0-ի.

; . Մենք ստացել ենք, հետևաբար, քանորդի սահմանի թեորեմը չի կարող կիրառվել։

Եկեք գործոնացնենք համարիչն ու հայտարարը, որպեսզի կոտորակը կրճատենք զրոյի ձգվող ընդհանուր գործակցով և, հետևաբար, հնարավոր դարձնենք կիրառել թեորեմ 3։

Մենք ընդլայնում ենք քառակուսի եռանկյունը համարիչում՝ օգտագործելով բանաձևը, որտեղ x 1 և x 2 եռանդամի արմատներն են։ Ունենալով գործոնավորում և հայտարար՝ կոտորակը փոքրացնում ենք (x-2-ով), այնուհետև կիրառում ենք 3-րդ թեորեմը։

Պատասխան.

Օրինակ 8.Հաշվիր

Լուծում:Երբ համարիչն ու հայտարարը հակված են դեպի անսահմանություն, հետևաբար, 3-րդ թեորեմն ուղղակիորեն կիրառելիս մենք ստանում ենք արտահայտությունը, որը ներկայացնում է անորոշություն: Այս տեսակի անորոշությունից ազատվելու համար պետք է համարիչը և հայտարարը բաժանել փաստարկի ամենաբարձր հզորության վրա: Այս օրինակում դուք պետք է բաժանեք X:

Պատասխան.

Օրինակ 9.Հաշվիր

Լուծում: x 3:

Պատասխան. 2

Օրինակ 10.Հաշվիր

Լուծում:Երբ համարիչն ու հայտարարը հակված են դեպի անսահմանություն: Եկեք համարիչն ու հայտարարը բաժանենք փաստարկի ամենաբարձր հզորության վրա, այսինքն. x 5:

=

Կոտորակի համարիչը հակված է 1-ի, հայտարարը՝ 0-ի, ուստի կոտորակը դեպի անվերջություն:

Պատասխան.

Օրինակ 11.Հաշվիր

Լուծում:Երբ համարիչն ու հայտարարը հակված են դեպի անսահմանություն: Եկեք համարիչն ու հայտարարը բաժանենք փաստարկի ամենաբարձր հզորության վրա, այսինքն. x 7:

Պատասխան. 0

Ածանցյալ.

y = f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը x փաստարկի նկատմամբկոչվում է նրա y աճի հարաբերության սահման x փաստարկի x ավելացմանը, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի. Եթե ​​այս սահմանը վերջավոր է, ապա ֆունկցիան y = f(x)ասում են, որ տարբերակելի է x-ում: Եթե ​​այս սահմանը կա, ապա ասում են, որ ֆունկցիան y = f(x) x կետում ունի անվերջ ածանցյալ:

Հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ.

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Տարբերակման կանոններ.

ա)

V)

Օրինակ 1.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում:Եթե ​​երկրորդ անդամի ածանցյալը գտնում ենք կոտորակների տարբերակման կանոնով, ապա առաջին անդամը բարդ ֆունկցիա է, որի ածանցյալը գտնում ենք բանաձևով.

, Որտեղ , Հետո

Լուծելիս օգտագործվել են հետևյալ բանաձևերը՝ 1,2,10,a,c,d.

Պատասխան.

Օրինակ 21.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում:երկու տերմիններն էլ բարդ ֆունկցիաներ են, որտեղ առաջինի համար , , իսկ երկրորդի համար , , ապա

Պատասխան.

Ածանցյալ հավելվածներ.

1. Արագություն և արագացում

Թող s(t) ֆունկցիան նկարագրի պաշտոնըօբյեկտ որոշ կոորդինատային համակարգում t ժամանակում: Այդ դեպքում s(t) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը ակնթարթային է արագությունօբյեկտ:
v=s′=f′(t)
s(t) ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը ներկայացնում է ակնթարթայինը արագացումօբյեկտ:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Շոշափող հավասարում
y−y0=f′(x0)(x−x0),
որտեղ (x0,y0) շոշափող կետի կոորդինատներն են, f′(x0)՝ f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքն է շոշափող կետում:

3. Նորմալ հավասարում
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

որտեղ (x0,y0) այն կետի կոորդինատներն են, որտեղ գծված է նորմալը, f′(x0) այս կետում f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքն է:

4. Աճող և նվազող գործառույթ
Եթե ​​f′(x0)>0, ապա ֆունկցիան մեծանում է x0 կետում: Ստորև բերված նկարում ֆունկցիան աճում է որպես x x2.
Եթե ​​f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Եթե ​​f′(x0)=0 կամ ածանցյալը գոյություն չունի, ապա այս չափանիշը թույլ չի տալիս որոշել x0 կետում ֆունկցիայի միապաղաղության բնույթը։

5. Ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղություն
f(x) ֆունկցիան ունի տեղական առավելագույնը x1 կետում, եթե կա x1 կետի այնպիսի հարևանություն, որ այս հարևանության բոլոր x-երի համար պահպանվի f(x1)≥f(x) անհավասարությունը:
Նմանապես, f(x) ֆունկցիան ունի տեղական նվազագույնը x2 կետում, եթե կա x2 կետի այնպիսի հարևանություն, որ այս հարևանության բոլոր x-երի համար գործում է f(x2)≤f(x) անհավասարությունը:

6. Կրիտիկական կետեր
x0 կետն է կրիտիկական կետ f(x), եթե դրա մեջ f′(x0) ածանցյալը հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի։

7. Էքստրեմի գոյության առաջին բավարար նշանը
Եթե ​​f(x) ֆունկցիան մեծանում է (f′(x)>0) բոլոր x-ի համար ինչ-որ միջակայքում (a,x1] և նվազում է (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) բոլոր x-ի համար ընդմիջումից )