Պյութագորասի եռակի օրինակներ. Պյութագորասյան թվեր. Մեկ երեքը շատ են

» Ուորվիքի համալսարանի մաթեմատիկայի պատվավոր պրոֆեսոր, գիտության հայտնի հանրահռչակող Յան Ստյուարտը, որը նվիրված է թվերի դերին մարդկության պատմության մեջ և դրանց ուսումնասիրության արդիականությանը մեր ժամանակներում:

Պյութագորասի հիպոթենուզա

Պյութագորասի եռանկյուններն ունեն ուղիղ անկյուններ և ամբողջ թվեր: Դրանցից ամենապարզն ունի ամենաերկար կողմը՝ 5, մյուսները՝ 3 և 4։ Ընդհանուր առմամբ կան 5։ կանոնավոր պոլիեդրաներ. Հինգերորդ աստիճանի հավասարումը չի կարող լուծվել հինգերորդ արմատների կամ որևէ այլ արմատների միջոցով: Վանդակներ ինքնաթիռում և ներսում եռաչափ տարածությունչունեն հինգ թերթիկներով պտտվող սիմետրիա, հետևաբար բյուրեղներում այդպիսի համաչափություններ բացակայում են։ Այնուամենայնիվ, դրանք կարող են լինել վանդակաճաղերի մոտ քառաչափ տարածությունև հետաքրքիր կառուցվածքներում, որոնք հայտնի են որպես քվազիկրիստալներ:

Պյութագորասի ամենափոքր եռյակի հիպոթենուզը

Պյութագորասի թեորեմը նշում է, որ ամենաերկար կողմը ուղղանկյուն եռանկյուն(տխրահռչակ հիպոթենուսը) շատ պարզ և գեղեցիկ փոխկապակցված է այս եռանկյան մյուս երկու կողմերի հետ. հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին:

Ավանդաբար, մենք այս թեորեմն անվանում ենք Պյութագորաս անունով, բայց իրականում դրա պատմությունը բավականին անորոշ է: Կավե տախտակները հուշում են, որ հին բաբելոնացիները գիտեին Պյութագորասի թեորեմը հենց Պյութագորասից շատ առաջ; Հայտնաբերողի համբավը նրան բերեց պյութագորացիների մաթեմատիկական պաշտամունքը, որի կողմնակիցները կարծում էին, որ Տիեզերքը հիմնված է թվային օրենքների վրա։ Հին հեղինակները մի շարք մաթեմատիկական թեորեմներ էին վերագրում Պյութագորասին, և, հետևաբար, Պյութագորասին, բայց իրականում մենք պատկերացում չունենք, թե ինչ մաթեմատիկայի մեջ է ներգրավված ինքը Պյութագորասը: Մենք նույնիսկ չգիտենք, թե արդյոք պյութագորացիները կարող էին ապացուցել Պյութագորասի թեորեմը, թե նրանք պարզապես հավատում էին, որ դա ճիշտ է: Կամ, ամենայն հավանականությամբ, նրանք ունեին դրա ճշմարտացիության համոզիչ ապացույցներ, որոնք, այնուամենայնիվ, բավարար չեն լինի այն, ինչ մենք այսօր ապացույց ենք համարում։

Պյութագորասի ապացույցները

Պյութագորասի թեորեմի առաջին հայտնի ապացույցը գտնվում է Էվկլիդեսի տարրերում։ Բավական է բարդ ապացույցօգտագործելով գծանկար, որը վիկտորիանական դպրոցականները անմիջապես կճանաչեն որպես «Պյութագորասյան տաբատ». Գծանկարն իսկապես նման է ներքնաշորերի, որոնք չորանում են գծի վրա: Բառացիորեն կան հարյուրավոր այլ ապացույցներ, որոնցից շատերն ավելի ակնհայտ են դարձնում պնդումը։

// Բրինձ. 33. Պյութագորասյան շալվար

Ամենապարզ ապացույցներից մեկը մի տեսակ մաթեմատիկական գլուխկոտրուկ է։ Վերցրեք ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյուն, պատրաստեք դրա չորս օրինակ և հավաքեք դրանք քառակուսու ներսում: Մեկ դասավորության մեջ մենք տեսնում ենք քառակուսի հիպոթենուսի վրա. մյուսի հետ - քառակուսիներ եռանկյունու մյուս երկու կողմերում: Հասկանալի է, որ երկու դեպքում էլ տարածքները հավասար են։

// Բրինձ. 34. Ձախ՝ քառակուսի հիպոթենուսի վրա (գումարած չորս եռանկյունի): Աջ՝ մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարը (գումարած նույն չորս եռանկյունները): Այժմ վերացրեք եռանկյունները

Պերիգալի հերձումը ևս մեկ հանելուկի ապացույց է:

// Բրինձ. 35. Պերիգալի դիսեկցիա

Կա նաև թեորեմի ապացույց՝ օգտագործելով հարթության վրա քառակուսիների դասավորությունը: Թերևս այսպես են պյութագորացիները կամ նրանց անհայտ նախորդները բացահայտել այս թեորեմը։ Եթե ​​նայեք, թե ինչպես է թեքված քառակուսին համընկնում երկու այլ քառակուսիների վրա, կարող եք տեսնել, թե ինչպես կարելի է մեծ քառակուսի կտորներ կտրել, ապա դրանք միասին դնել երկու փոքր քառակուսիների մեջ: Կարող եք նաև տեսնել ուղղանկյուն եռանկյուններ, որոնց կողմերը տալիս են ներգրավված երեք քառակուսիների չափերը:

// Բրինձ. 36. Ապացուցում սալահատակով

Հետաքրքիր ապացույցներ կան՝ օգտագործելով նմանատիպ եռանկյունները եռանկյունաչափության մեջ: Հայտնի են առնվազն հիսուն տարբեր ապացույցներ։

Պյութագորասյան եռյակներ

Թվերի տեսության մեջ Պյութագորասի թեորեմը դարձավ բեղմնավոր գաղափարի աղբյուր՝ գտնել հանրահաշվական հավասարումների ամբողջ թվային լուծումներ։ Պյութագորասյան եռյակը a, b և c այնպիսի ամբողջ թվերի բազմություն է, որ

Երկրաչափորեն նման եռյակը սահմանում է ամբողջ թվով կողմերով ուղղանկյուն եռանկյուն:

Պյութագորասյան եռյակի ամենափոքր հիպոթենուսը 5-ն է:

Այս եռանկյան մյուս երկու կողմերը 3 և 4 են։ Ահա

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Հաջորդ ամենամեծ հիպոթենուսը 10-ն է, քանի որ

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Այնուամենայնիվ, սա, ըստ էության, նույն եռանկյունն է՝ կրկնակի կողմերով: Հաջորդ ամենամեծ և իսկապես տարբեր հիպոթենուսը 13-ն է, որի համար

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Էվկլիդեսը գիտեր, որ կա անսահման թիվՊյութագորասի եռյակների տարբեր տարբերակներ և տվեց այն, ինչ կարելի է անվանել բոլորին գտնելու բանաձև: Ավելի ուշ Դիոֆանտ Ալեքսանդրացին առաջարկեց մի պարզ բաղադրատոմս, որը հիմնականում նույնական էր Էվկլիդեսին:

Վերցրեք ցանկացած երկու բնական թիվ և հաշվարկեք.

նրանց կրկնակի արտադրանքը;

նրանց քառակուսիների տարբերությունը;

դրանց քառակուսիների գումարը:

Ստացված երեք թվերը կլինեն Պյութագորասի եռանկյունու կողմերը:

Վերցնենք, օրինակ, 2 և 1 թվերը. Հաշվենք.

կրկնակի արտադրանք `2 × 2 × 1 = 4;

քառակուսիների տարբերությունը `22 - 12 = 3;

քառակուսիների գումարը՝ 22 + 12 = 5,

և ստացանք հայտնի 3-4-5 եռանկյունին: Եթե ​​փոխարենը վերցնենք 3 և 2 թվերը, ապա կստանանք.

կրկնակի արտադրանք `2 × 3 × 2 = 12;

քառակուսիների տարբերությունը `32 - 22 = 5;

քառակուսիների գումարը՝ 32 + 22 = 13,

և մենք ստանում ենք հաջորդ ամենահայտնի եռանկյունը 5 - 12 - 13: Փորձենք վերցնել 42 և 23 թվերը և ստանալ.

կրկնակի արտադրանքը `2 × 42 × 23 = 1932;

քառակուսիների տարբերությունը՝ 422 - 232 = 1235;

քառակուսիների գումարը՝ 422 + 232 = 2293,

ոչ ոք երբեք չի լսել 1235–1932–2293 եռանկյունու մասին։

Բայց այս թվերը նույնպես աշխատում են.

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Դիոֆանտինյան կանոնի մեկ այլ հատկանիշ կա, որի մասին արդեն ակնարկվել է՝ ստանալով երեք թիվ՝ մենք կարող ենք մեկ այլ կամայական թիվ վերցնել և բոլորը բազմապատկել դրանով։ Այսպիսով, 3–4–5 եռանկյունին կարելի է վերածել 6–8–10 եռանկյունու՝ բազմապատկելով բոլոր կողմերը 2-ով, կամ 15–20–25 եռանկյունի՝ բոլորը 5-ով բազմապատկելով։

Եթե ​​անցնենք հանրահաշվի լեզվին, ապա կանոնը ստանում է հետևյալ ձևը՝ թող u, v և k լինեն բնական թվեր։ Այնուհետև ուղղանկյուն եռանկյուն՝ կողքերով

2kuv և k (u2 - v2) ունի հիպոթենուզ

Հիմնական գաղափարը ներկայացնելու այլ եղանակներ կան, բայց դրանք բոլորը հանգում են վերը նկարագրվածին: Այս մեթոդը թույլ է տալիս ստանալ բոլոր Պյութագորաս եռյակները:

Կանոնավոր պոլիեդրաներ

Կան ուղիղ հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ։ Կանոնավոր պոլիէդրոնը (կամ բազմանիստը) հարթ երեսների վերջավոր թվով եռաչափ պատկեր է։ Դեմքերը հանդիպում են միմյանց եզրեր կոչվող գծերի վրա; եզրերը հանդիպում են գագաթներ կոչվող կետերում:

Euclidean Principia-ի գագաթնակետը ապացույցն է այն բանի, որ կարող են լինել միայն հինգ կանոնավոր պոլիէդրաներ, այսինքն՝ բազմանիստ, որոնցում յուրաքանչյուր դեմք ներկայացնում է. կանոնավոր բազմանկյուն (հավասար կողմեր, հավասար անկյուններ), բոլոր դեմքերը նույնական են և բոլոր գագաթները շրջապատված են հավասար թվովհավասարապես բաժանված եզրեր: Ահա հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ.

չորս եռանկյուն երեսներով, չորս գագաթներով և վեց եզրերով քառասյուն;

խորանարդ կամ վեցանկյուն, 6 քառակուսի երեսներով, 8 գագաթներով և 12 եզրերով;

ութանիստ 8 եռանկյուն դեմքով, 6 գագաթներով և 12 եզրերով;

12 հնգանկյուն երեսներով, 20 գագաթներով և 30 եզրերով տասներկուանիստ;

20 եռանկյուն դեմքով, 12 գագաթներով և 30 եզրերով իկոսաեդրոն:

// Բրինձ. 37. Հինգ կանոնավոր բազմանիստ

Բնության մեջ կարելի է գտնել նաև կանոնավոր պոլիեդրաներ։ 1904 թվականին Էռնստ Հեկելը հրապարակեց փոքրիկ օրգանիզմների նկարներ, որոնք հայտնի են որպես ռադիոլարերներ. նրանցից շատերը նման են այդ նույն հինգ կանոնավոր բազմաեզրին: Միգուցե, այնուամենայնիվ, նա մի փոքր ուղղեց բնությունը, և գծագրերը լիովին չեն արտացոլում կոնկրետ կենդանի էակների ձևը: Առաջին երեք կառուցվածքները նույնպես դիտվում են բյուրեղներում։ Բյուրեղների մեջ դուք չեք գտնի դոդեկաեդրոններ և իկոսաեդրոններ, չնայած երբեմն այնտեղ հանդիպում են անկանոն դոդեկաեդրոններ և իկոսաեդրոններ։ Իսկական տասներկուանիստները կարող են առաջանալ որպես քվազիկրիստալներ, որոնք բոլոր առումներով նման են բյուրեղներին, բացառությամբ այն, որ դրանց ատոմները պարբերական ցանց չեն կազմում։

// Բրինձ. 38. Haeckel-ի գծագրերը. Radiolarians կանոնավոր պոլիեդրների տեսքով

// Բրինձ. 39. Կանոնավոր բազմանիստ զարգացումները

Կարող է հետաքրքիր լինել թղթից սովորական պոլիեդրների մոդելներ պատրաստելը՝ նախ կտրելով փոխկապակցված դեմքերի մի շարք. մշակումը ծալվում է եզրերի երկայնքով, իսկ համապատասխան եզրերը սոսնձվում են։ Օգտակար է յուրաքանչյուր նման զույգի կողերից մեկին լրացուցիչ սոսնձի բարձիկ ավելացնել, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 39. Եթե նման հարթակ չկա, կարող եք օգտագործել կպչուն ժապավեն:

Հինգերորդ աստիճանի հավասարում

5-րդ աստիճանի հավասարումների լուծման հանրահաշվական բանաձև չկա։

IN ընդհանուր տեսարանՀինգերորդ աստիճանի հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը.

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0:

Խնդիրը նման հավասարման լուծումների բանաձեւ գտնելն է (այն կարող է ունենալ մինչև հինգ լուծում): Փորձ քառակուսի և խորանարդ հավասարումներ, ինչպես նաև չորրորդ աստիճանի հավասարումների դեպքում ենթադրում է, որ հինգերորդ աստիճանի հավասարումների համար պետք է գոյություն ունենա նման բանաձև, և, տեսականորեն, դրանում պետք է հայտնվեն հինգերորդ, երրորդ և երկրորդ աստիճանների արմատներ։ Կրկին, մենք կարող ենք հանգիստ ենթադրել, որ նման բանաձեւը, եթե այն գոյություն ունենա, կլինի շատ, շատ բարդ:

Այս ենթադրությունը, ի վերջո, սխալ դուրս եկավ։ Փաստորեն, նման բանաձև գոյություն չունի. համենայնդեպս, չկա բանաձև, որը բաղկացած է a, b, c, d, e և f գործակիցներից, որոնք կազմված են գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման միջոցով և արմատներ են վերցնում: Այսպիսով, 5 թվի մեջ շատ հատուկ բան կա: Հնգյակի այս անսովոր պահվածքի պատճառները շատ խորն են, և դրանք հասկանալու համար շատ ժամանակ պահանջվեց։

Դժբախտության առաջին նշանն այն էր, որ որքան էլ մաթեմատիկոսները փորձեին գտնել նման բանաձև, որքան էլ նրանք խելացի լինեին, նրանք անփոփոխ ձախողվեցին: Որոշ ժամանակ բոլորը հավատում էին, որ պատճառները բանաձևի անհավանական բարդության մեջ են։ Համարվում էր, որ ոչ ոք պարզապես չի կարող ճիշտ հասկանալ այս հանրահաշիվը: Սակայն ժամանակի ընթացքում որոշ մաթեմատիկոսներ սկսեցին կասկածել, որ նման բանաձև նույնիսկ գոյություն ունի, և 1823 թվականին Նիլս Հենդրիկ Աբելը կարողացավ ապացուցել հակառակը։ Նման բանաձև չկա. Դրանից կարճ ժամանակ անց Էվարիստ Գալուան ճանապարհ գտավ որոշելու, թե այս կամ այն ​​աստիճանի հավասարումը (5-րդ, 6-րդ, 7-րդ, ցանկացած տեսակի) լուծելի է այս տեսակի բանաձևի միջոցով:

Այս ամենից եզրակացությունը պարզ է՝ 5 թիվը առանձնահատուկ է։ Դուք կարող եք որոշել հանրահաշվական հավասարումներ(օգտագործելով n-րդ արմատներըաստիճաններ n-ի տարբեր արժեքների համար) 1, 2, 3 և 4 հզորությունների համար, բայց ոչ 5-րդ աստիճանի համար: Այստեղ ավարտվում է ակնհայտ օրինաչափությունը:

Ոչ ոք չի զարմանում, որ 5-ից ավելի աստիճանների հավասարումները իրենց ավելի վատ են պահում. Մասնավորապես, դրանց հետ կապված է նույն դժվարությունը՝ դրանց լուծման ընդհանուր բանաձեւեր չկան։ Սա չի նշանակում, որ հավասարումները լուծումներ չունեն. Սա նույնպես չի նշանակում, որ անհնար է գտնել շատ ճշգրիտ թվային արժեքներ այս լուծումների համար: Ամեն ինչ վերաբերում է ավանդական հանրահաշվի գործիքների սահմանափակումներին: Սա հիշեցնում է քանոնի և կողմնացույցի միջոցով անկյան եռահատման անհնարինությունը: Պատասխանը կա, բայց թվարկված մեթոդները անբավարար են և թույլ չեն տալիս որոշել, թե դա ինչ է։

Բյուրեղագրական սահմանափակում

Երկու և եռաչափ բյուրեղները չունեն 5 ճառագայթների պտտման համաչափություն:

Բյուրեղի ատոմները կազմում են վանդակ, այսինքն՝ կառուցվածք, որը պարբերաբար կրկնվում է մի քանի անկախ ուղղություններով։ Օրինակ, պաստառի օրինակը կրկնվում է գլանափաթեթի երկարությամբ; բացի այդ, այն սովորաբար կրկնվում է հորիզոնական ուղղությամբ՝ երբեմն պաստառի մի կտորից մյուսը տեղափոխելով: Ըստ էության, պաստառը երկչափ բյուրեղ է:

Ինքնաթիռի վրա կա պաստառի նախշերի 17 տեսակ (տե՛ս Գլուխ 17): Նրանք տարբերվում են սիմետրիայի տեսակներով, այսինքն՝ նախշը կոշտ կերպով շարժելու եղանակներով, որպեսզի այն իր սկզբնական դիրքում հենց իր վրա ընկած լինի։ Համաչափության տեսակները ներառում են, մասնավորապես, պտտվող սիմետրիայի տարբեր տարբերակներ, որտեղ նախշը պետք է պտտվի որոշակի անկյան տակ որոշակի կետի շուրջը` սիմետրիայի կենտրոնը:

Պտտման սիմետրիայի կարգը այն դեպքերի քանակն է, որոնց մարմինը կարող է պտտվել ամբողջական շրջանով, որպեսզի նախշի բոլոր մանրամասները վերադառնան իրենց սկզբնական դիրքերին: Օրինակ, 90° ռոտացիան 4-րդ կարգի ռոտացիայի համաչափություն է*: Բյուրեղային ցանցում պտտվող սիմետրիայի հնարավոր տեսակների ցանկը կրկին մատնանշում է 5 թվի անսովորությունը. այն չկա: Կան 2-րդ, 3-րդ, 4-րդ և 6-րդ կարգի պտտման սիմետրիա ունեցող տարբերակներ, բայց ոչ մի պաստառի նախշ չունի 5-րդ կարգի պտտման սիմետրիա: 6-ից մեծ կարգի պտտման համաչափություն նույնպես գոյություն չունի բյուրեղներում, բայց հաջորդականության առաջին խախտումը դեռ տեղի է ունենում 5-րդ համարի մոտ:

Նույնը տեղի է ունենում եռաչափ տարածության բյուրեղագրական համակարգերի դեպքում։ Այստեղ վանդակաճաղը կրկնվում է երեք անկախ ուղղություններով. Գոյություն ունեն 219 տարբեր տեսակի համաչափություն, կամ 230, եթե մենք հաշվում ենք դիզայնի հայելային պատկերը որպես առանձին տարբերակ, չնայած այն հանգամանքին, որ այս դեպքում հայելու համաչափություն չկա: Կրկին նկատվում են 2, 3, 4 և 6 կարգերի պտտվող համաչափություններ, բայց ոչ 5: Այս փաստը կոչվում է բյուրեղագրական սահմանափակություն:

Քառաչափ տարածության մեջ կան 5-րդ կարգի համաչափությամբ վանդակավորներ. Ընդհանուր առմամբ, բավականաչափ բարձր հարթության վանդակների համար հնարավոր է պտտման համաչափության ցանկացած կանխորոշված ​​կարգ:

// Բրինձ. 40. Բյուրեղյա վանդակսեղանի աղ. Մուգ գնդիկները ներկայացնում են նատրիումի ատոմները, բաց գնդիկները՝ քլորի ատոմները

Քվազիկրիստալներ

Թեև 5-րդ կարգի պտտման համաչափությունը հնարավոր չէ 2D կամ 3D ցանցերում, այն կարող է գոյություն ունենալ մի փոքր ավելի քիչ կանոնավոր կառույցներում, որոնք հայտնի են որպես քվազիկիստալներ: Օգտագործելով Kepler-ի էսքիզները, Ռոջեր Պենրոուզը հայտնաբերեց հարթ համակարգեր ավելին ընդհանուր տեսակհնգապատիկ սիմետրիա. Դրանք կոչվում են քվազիկրիստալներ։

Քվազիկրիստալները գոյություն ունեն բնության մեջ: 1984 թվականին Դանիել Շեխտմանը հայտնաբերեց, որ ալյումինի և մանգանի համաձուլվածքը կարող է ձևավորել քվազիկյուրիստալներ. Սկզբում բյուրեղագետները նրա ուղերձը դիմավորեցին որոշակի թերահավատությամբ, սակայն հետագայում հայտնագործությունը հաստատվեց, և 2011 թվականին Շեխթմանը պարգևատրվեց. Նոբելյան մրցանակքիմիայի մեջ։ 2009 թվականին Լուկա Բինդիի գլխավորած գիտնականների խումբը ռուսական Կորյակ լեռնաշխարհից մի հանքանյութում քվազիկյուրիստներ է հայտնաբերել՝ ալյումինի, պղնձի և երկաթի միացություն: Այսօր այս հանքանյութը կոչվում է icosahedrite: Զանգվածային սպեկտրոմետրի միջոցով հանքանյութում տարբեր թթվածնի իզոտոպների պարունակությունը չափելով՝ գիտնականները ցույց տվեցին, որ այս միներալը Երկրի վրա չի առաջացել։ Այն ձևավորվել է մոտ 4,5 միլիարդ տարի առաջ, այն ժամանակ, երբ արեգակնային համակարգեղել է դեռ մանկության մեջ և իր ժամանակի մեծ մասն անցկացրել է աստերոիդների գոտում՝ պտտվելով Արեգակի շուրջը, մինչև ինչ-որ խանգարումով փոխեց նրա ուղեծիրը և ի վերջո բերեց այն Երկիր:

// Բրինձ. 41. Ձախ՝ ճշգրիտ հնգապատիկ սիմետրիկությամբ երկու քվազիկյուրիստական ​​վանդակներից մեկը: Աջ՝ իկոսաեդրային ալյումին-պալադիում-մանգան քվազիկյուրիստալի ատոմային մոդել

Չերվյակ Վիտալի

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Մրցույթ գիտական ​​նախագծերդպրոցականներ

«Էվրիկա» տարածաշրջանային գիտագործնական կոնֆերանսի շրջանակներում.

Գիտությունների փոքր ակադեմիա Կուբանի ուսանողների համար

Պյութագորասյան թվերի ուսումնասիրություն

Մաթեմատիկայի բաժին.

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ, 9-րդ դասարան

ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց

Կորենովսկի շրջան

Արվեստ. Ժուրավսկայա

Գիտական ​​ղեկավար.

Մանկո Գալինա Վասիլևնա

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ

ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց

Կորենովսկ 2011 թ

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ

Պյութագորասյան թվեր

Անոտացիա.

Հետազոտության թեմա.Պյութագորասյան թվեր

Հետազոտության նպատակները.

Հետազոտության նպատակները.

• Մաթեմատիկական կարողությունների բացահայտում և զարգացում;
• Այս թեմայի վերաբերյալ մաթեմատիկական ներկայացման ընդլայնում;
• Առարկայի նկատմամբ կայուն հետաքրքրության ձևավորում;
• Հաղորդակցման և ընդհանուր ակադեմիական հմտությունների զարգացում ինքնուրույն աշխատանք, քննարկում վարելու, վիճելու և այլնի կարողություն;
• Վերլուծական և տրամաբանական մտածողության ձևավորում և զարգացում;

Հետազոտության մեթոդներ.

• Ինտերնետային ռեսուրսների օգտագործում;
• Անդրադառնալով տեղեկատու գրականությանը;
• Փորձի անցկացում;

Եզրակացություն:

• Այս աշխատանքը կարող է օգտագործվել երկրաչափության դասի ժամանակ որպես լրացուցիչ նյութ, իրականացնել ընտրովի դասընթացներկամ ընտրովի առարկաներ մաթեմատիկայից, ինչպես նաև արտադպրոցական գործունեությունմաթեմատիկայի մեջ;

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ

Կրասնոդարի մարզ, Ժուրավսկայա գյուղ, ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց, 9-րդ դաս.

Պյութագորասյան թվեր

Գիտական ​​ղեկավար՝ Գալինա Վասիլևնա Մանկո, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի, թիվ 14 միջն.

1. Ներածություն…………………………………………………………………………………………… 3
2. Հիմնական մասը

2.1 Պատմական էջ ……………………………………………………………4

2.2 Զույգ և կենտ ոտքերի ապացույց...................................5-6

2.3 Գտնելու համար օրինաչափության ձևավորում

Պյութագորասյան թվեր…………………………………………………………………………………

2.4 Պյութագորասյան թվերի հատկությունները ……………………………………………… 8

3. Եզրակացություն……………………………………………………………………………………9

4. Օգտագործված աղբյուրների և գրականության ցանկ…………………… 10

Դիմումներ ..................................................... .......................................................... ............. ......11

Հավելված I…………………………………………………………………………………………11

Հավելված II……………………………………………………………………………………..13

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ

Կրասնոդարի մարզ, Ժուրավսկայա գյուղ, ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց, 9-րդ դաս.

Պյութագորասյան թվեր

Գիտական ​​ղեկավար՝ Գալինա Վասիլևնա Մանկո, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի, թիվ 14 միջն.

Ներածություն

Ես լսել եմ Պյութագորասի և նրա կյանքի մասին հինգերորդ դասարանի մաթեմատիկայի դասին, և ինձ հետաքրքրեց «Պյութագորասի շալվարները բոլոր ուղղություններով հավասար են» արտահայտությունը։ Պյութագորասի թեորեմն ուսումնասիրելիս սկսեցի հետաքրքրվել իմ դրած Պյութագորասի թվերովուսումնասիրության նպատակըԻմացեք ավելին Պյութագորասի թեորեմի և «Պյութագորասի թվերի» մասին։

Թեմայի արդիականությունը. Պյութագորասի թեորեմի և Պյութագորասի եռյակի արժեքն ապացուցվել է աշխարհի բազմաթիվ գիտնականների կողմից շատ դարերի ընթացքում: Խնդիրը, որը կքննարկվի իմ աշխատանքում, բավականին պարզ է թվում, քանի որ այն հիմնված է մաթեմատիկական հայտարարության վրա, որը բոլորը գիտեն՝ Պյութագորասի թեորեմը. ոտքերը. Այժմ x, y, z բնական թվերի եռապատիկները, որոնց համար x 2 + y 2 = z 2 , սովորաբար կոչվում էՊյութագորասյան եռյակներ. Պարզվում է, որ Բաբելոնում արդեն հայտնի են եղել պյութագորասյան եռյակները։ Աստիճանաբար նրանց գտան նաեւ հույն մաթեմատիկոսները։

Այս աշխատանքի նպատակը

1. Ուսումնասիրեք Պյութագորասի թվերը;
2. Հասկանալ, թե ինչպես են ստացվում Պյութագորասի թվերը.
3. Պարզեք, թե ինչ հատկություններ ունեն Պյութագորասյան թվերը;
4. Փորձնականորեն գետնի վրա ուղղահայաց գծեր կառուցիր՝ օգտագործելով պյութագորասյան թվերը;

Աշխատանքի նպատակին համապատասխան սահմանվել են մի շարք հետևյալները.առաջադրանքներ:

1. Ավելի խորը ուսումնասիրել Պյութագորասի թեորեմի պատմությունը.

2. Պյութագորասյան եռյակների ունիվերսալ հատկությունների վերլուծություն:

3. Պյութագորասյան եռյակների գործնական կիրառման վերլուծություն.

Ուսումնասիրության օբյեկտՊյութագորասյան եռյակներ.

Հետազոտության առարկա: մաթեմատիկա.

Հետազոտության մեթոդներ: - Ինտերնետային ռեսուրսների օգտագործում; - Անդրադառնալով տեղեկատու գրականությանը; - Փորձի անցկացում;

Տեսական նշանակություն.գիտության մեջ Պյութագորասի եռյակների հայտնաբերման դերը. գործնական կիրառությունՊյութագորասի հայտնագործությունները մարդկային կյանքում.

Դիմումի արժեքըհետազոտությունը պետք է վերլուծի գրական աղբյուրներև փաստերի համակարգում։

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ

Կրասնոդարի մարզ, Ժուրավսկայա գյուղ, ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց, 9-րդ դաս.

Պյութագորասյան թվեր

Գիտական ​​ղեկավար՝ Գալինա Վասիլևնա Մանկո, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի, թիվ 14 միջն.

Պյութագորասի թվերի պատմությունից.

• Հին Չինաստան:

Մաթեմատիկայի գիրքՉու-պեյ:[ 2]

«Եթե ուղիղ անկյունը տարրալուծվում է իր բաղկացուցիչ մասերի, ապա նրա կողմերի ծայրերը միացնող գիծը կլինի 5, երբ հիմքը 3 է, իսկ բարձրությունը՝ 4»։

• Հին Եգիպտոս: [2]

Կանտոր (մաթեմատիկայի առաջատար գերմանացի պատմաբանը) կարծում է, որ հավասարությունը 3² + 4² = 5² եգիպտացիներին արդեն հայտնի էր մ.թ.ա. մոտ 2300 թ. ե., թագավորի օրոքԱմենեմեթա (ըստ Բեռլինի թանգարանի 6619 պապիրուսի)։ Ըստ Կանտորիհարպեդոնապտեր, կամ «պարան քաշողներ», որոնք կառուցում են ուղիղ անկյուններ՝ օգտագործելով 3 կողմ ունեցող ուղղանկյուն եռանկյուններ; 4 և 5.

• Բաբելոնիա: [3]

«Առաջին հույն մաթեմատիկոսների՝ Թալեսի, Պյութագորասի և Պյութագորասի վաստակը ոչ թե մաթեմատիկայի բացահայտումն է, այլ դրա համակարգումն ու հիմնավորումը: Նրանց ձեռքում անորոշ գաղափարների վրա հիմնված հաշվողական բաղադրատոմսերը դարձել են ճշգրիտ գիտություն»:

• Պյութագորասի թեորեմի պատմություն.

Չնայած այս թեորեմը կապված է Պյութագորասի անվան հետ, այն հայտնի էր նրանից շատ առաջ։

Բաբելոնյան տեքստերում այն ​​հանդիպում է Պյութագորասից 1200 տարի առաջ։

Ըստ երևույթին, նա առաջինն էր, ով գտավ դրա ապացույցը։ Այս կապակցությամբ արվել է հետևյալ գրառումը. «... երբ նա հայտնաբերեց, որ ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսը համապատասխանում է ոտքերին, զոհաբերեց ցորենի խմորից պատրաստված ցուլ»։

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ

Կրասնոդարի մարզ, Ժուրավսկայա գյուղ, ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց, 9-րդ դաս.

Պյութագորասյան թվեր

Գիտական ​​ղեկավար՝ Գալինա Վասիլևնա Մանկո, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի, թիվ 14 միջն.

Պյութագորասյան թվերի ուսումնասիրություն.

• Յուրաքանչյուր եռանկյուն, որի կողմերը գտնվում են 3:4:5 հարաբերությամբ, ըստ հայտնի Պյութագորասի թեորեմի, ուղղանկյուն է, քանի որ.

3 2 + 4 2 = 5 2.

• Բացի 3,4 և 5 թվերից, կա, ինչպես հայտնի է, a, b և c դրական ամբողջ թվերի անսահման բազմություն, որը բավարարում է հարաբերությունը.
• A 2 + b 2 = c 2.
• Այս թվերը կոչվում ենՊյութագորասյան թվեր

Պյութագորասյան եռյակները հայտնի են շատ վաղուց։ Հին Անտառային Պոտամյան տապանաքարերի ճարտարապետության մեջ հանդիպում է հավասարաչափ եռանկյունի, որը կազմված է երկու ուղղանկյունից՝ 9, 12 և 15 կանգուն կողմերով։ Սնեֆրու փարավոնի բուրգերը (մ.թ.ա. XXVII դ.) կառուցվել են 20, 21 և 29 կողմերով եռանկյուններով, ինչպես նաև 18, 24 և 30 տասնյակ եգիպտական ​​կանգուններով:[ 1 ]

3, 4 ոտքերով և 5 հիպոթենուսով ուղղանկյուն եռանկյունը կոչվում է եգիպտական ​​եռանկյուն: Այս եռանկյունու մակերեսը հավասար է կատարյալ թվին 6: Պարագիծը 12 է, մի թիվ, որը համարվում էր երջանկության և բարգավաճման խորհրդանիշ:

Օգտագործելով պարան, որը բաժանված է հանգույցներով 12 հավասար մասերի, հին եգիպտացիները կառուցել են ուղղանկյուն եռանկյուն և ուղղանկյուն: Հարմար և շատ ճշգրիտ մեթոդ, որն օգտագործվում է գեոդեզիստների կողմից գետնի վրա ուղղահայաց գծեր գծելու համար: Պետք է վերցնել մի լար և երեք ցցիկներ, լարը դասավորել եռանկյունիով, որպեսզի մի կողմը բաղկացած լինի 3 մասից, երկրորդը՝ 4 մասից, իսկ վերջինը՝ հինգ այդպիսի մասերից։ Լարը կդասավորվի եռանկյունու մեջ, որի մեջ կա ուղիղ անկյուն։

Այս հնագույն մեթոդը, ըստ երևույթին, օգտագործվել է հազարավոր տարիներ առաջ շինարարների կողմից Եգիպտական ​​բուրգեր, հիմնված է այն փաստի վրա, որ յուրաքանչյուր եռանկյուն, որի կողմերը գտնվում են 3:4:5 հարաբերությամբ, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, ուղղանկյուն է։

Էվկլիդեսը, Պյութագորասը, Դիոֆանտը և շատ ուրիշներ ներգրավված էին Պյութագորասի եռյակների հայտնաբերման գործում։[ 1]

Հասկանալի է, որ եթե (x, y, z ) պյութագորասյան եռյակ է, ապա ցանկացած բնականի համար k եռակի (kx, ky, kz) կլինի նաև պյութագորասյան եռյակ: Մասնավորապես, (6, 8, 10), (9, 12, 15) և այլն: Պյութագորասյան եռյակներ են։

Քանի որ թվերն աճում են, Պյութագորասի եռյակները դառնում են ավելի ու ավելի քիչ տարածված և դառնում ավելի ու ավելի դժվար գտնելը: Պյութագորացիները հորինել են գտնելու մեթոդ

այդպիսի եռյակներ և, օգտագործելով այն, ապացուցեցին, որ կան անսահման շատ Պյութագորասյան եռյակներ։

Եռյակները, որոնք չունեն 1-ից մեծ ընդհանուր գործակիցներ, կոչվում են ամենապարզ:

Դիտարկենք Պյութագորասի եռյակների որոշ հատկություններ:[ 1]

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ այս թվերը կարող են ծառայել որպես որոշակի ուղղանկյուն եռանկյան երկարություն. հետևաբար, a-ն և b-ն կոչվում են «ոտքեր», իսկ c-ն կոչվում է «հիպոթենուզ»:
Հասկանալի է, որ եթե a, b, c-ն պյութագորասյան թվերի եռապատիկ է, ապա pa, pb, pc, որտեղ p-ն ամբողջ գործակից է, պյութագորասյան թվեր են։
Ճշմարիտ և հակադարձ հայտարարություն!
Հետևաբար, նախ կուսումնասիրենք պյութագորասյան համապարփակ թվերի միայն եռյակները (մնացածները ստացվում են դրանցից՝ բազմապատկելով p ամբողջ գործակցով)։

Եկեք ցույց տանք, որ դրանցից յուրաքանչյուրում եռապատկվում է a, b, c«Ոտքերից» մեկը պետք է լինի զույգ, իսկ մյուսը՝ կենտ: Վիճենք հակասությամբ. Եթե ​​a և b երկու «ոտքերը» զույգ են, ապա a թիվը կլինի զույգ 2 + 2-ում , և, հետևաբար, «հիպոթենուսը»: Բայց սա հակասում է ինչին ա, բ թվերև c-ն ընդհանուր գործակիցներ չունեն, քանի որ ունեն երեք զույգ թվեր ընդհանուր բազմապատկիչ 2. Այսպիսով, a և b «ոտքերից» առնվազն մեկը կենտ է:

Մնում է ևս մեկ հնարավորություն՝ երկու «ոտքերը» կենտ են, իսկ «հիպոթենուզը»՝ զույգ։ Դժվար չէ ապացուցել, որ դա չի կարող լինել, քանի որ եթե «ոտքերը» ունեն 2 x + 1 և 2y + 1 ձև, ապա դրանց քառակուսիների գումարը հավասար է.

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, այսինքն. այն թիվն է, որը 4-ի բաժանելիս թողնում է 2-ի մնացորդ: Մինչդեռ ցանկացածի քառակուսին զույգ թիվառանց մնացորդի պետք է բաժանվի 4-ի:

Սա նշանակում է, որ երկու կենտ թվերի քառակուսիների գումարը չի կարող լինել զույգ թվի քառակուսի. այլ կերպ ասած՝ մեր երեք թվերը պյութագորական չեն։

ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ.

Այսպիսով, ա «ոտքերից» մեկը զույգ է, մյուսը՝ կենտ։ Հետևաբար համարը ա 2 + 2-ում տարօրինակ է, ինչը նշանակում է, որ «հիպոթենուսը» նույնպես կենտ է:

Պյութագորասը գտել է բանաձևեր, որոնք ժամանակակից սիմվոլիզմում կարելի է գրել այսպես՝ a=2n+1, b=2n(n+1), c=2. n 2 +2n+1, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է:

Այս թվերը պյութագորասյան եռյակներ են։

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ

Կրասնոդարի մարզ, Ժուրավսկայա գյուղ, ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց, 9-րդ դաս.

Պյութագորասյան թվեր

Գիտական ​​ղեկավար՝ Գալինա Վասիլևնա Մանկո, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի, թիվ 14 միջն.

Պյութագորասի թվերը գտնելու օրինաչափության ածանցում.

Ահա Պյութագորասի հետևյալ եռյակները.

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Հեշտ է տեսնել, որ երբ մենք Պյութագորասի եռակի թվերից յուրաքանչյուրը բազմապատկում ենք 2, 3, 4, 5 և այլն, ստանում ենք հետևյալ եռյակները.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 և այլն:

Դրանք նաև պյութագորասյան թվեր են/

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ

Կրասնոդարի մարզ, Ժուրավսկայա գյուղ, ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց, 9-րդ դաս.

Պյութագորասյան թվեր

Գիտական ​​ղեկավար՝ Գալինա Վասիլևնա Մանկո, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի, թիվ 14 միջն.

Պյութագորասյան թվերի հատկությունները.

• Պյութագորասի թվերին նայելիս ես տեսա մի շարք հատկություններ.
• 1) Պյութագորասյան թվերից մեկը պետք է լինի երեքի բազմապատիկ.
• 2) մյուսը պետք է լինի չորսի բազմապատիկ.
• 3) Իսկ Պյութագորասի թվերից երրորդը պետք է լինի հինգի բազմապատիկ.

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ

Կրասնոդարի մարզ, Ժուրավսկայա գյուղ, ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց, 9-րդ դաս.

Պյութագորասյան թվեր

Գիտական ​​ղեկավար՝ Գալինա Վասիլևնա Մանկո, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի, թիվ 14 միջն.

Եզրակացություն.

Երկրաչափությունը, ինչպես մյուս գիտությունները, առաջացել է պրակտիկայի կարիքներից։ «Երկրաչափություն» բառն ինքնին հունարեն է և նշանակում է «հողերի ուսումնասիրություն»:

Մարդիկ շատ վաղ բախվեցին հողակտորների չափման անհրաժեշտությանը: Արդեն 3-4 հազար տարի մ.թ.ա. Նեղոսի, Եփրատի և Տիգրիսի հովիտներում և Չինաստանի գետերում պարարտ հողի յուրաքանչյուր կտոր կարևոր էր մարդկանց կյանքի համար: Սա պահանջում էր որոշակի քանակությամբ երկրաչափական և թվաբանական գիտելիքներ:

Աստիճանաբար մարդիկ սկսեցին չափել և ուսումնասիրել ավելի բարդ երկրաչափական ձևերի հատկությունները:

Ե՛վ Եգիպտոսում, և՛ Բաբելոնում կառուցվել են հսկայական տաճարներ, որոնց շինարարությունը հնարավոր է եղել իրականացնել միայն նախնական հաշվարկների հիման վրա։ Կառուցվել են նաև ջրատարներ։ Այս ամենը գծագրեր ու հաշվարկներ էր պահանջում։ Այդ ժամանակ արդեն հայտնի էին Պյութագորասի թեորեմի հատուկ դեպքերը, որ եթե վերցնենք x, y, z կողմերով եռանկյունիները, որտեղ x, y, z այնպիսի ամբողջ թվեր են. x 2 + y 2 = z 2 , ապա այս եռանկյունները կլինեն ուղղանկյուն։

Այս ամբողջ գիտելիքն ուղղակիորեն կիրառվել է մարդկային կյանքի բազմաթիվ ոլորտներում:

Այսպիսով, մինչ օրս հին գիտնական և փիլիսոփա Պյութագորասի մեծ հայտնագործությունը անմիջական կիրառություն է գտնում մեր կյանքում:

Տների, ճանապարհների կառուցում, տիեզերանավեր, մեքենաներ, հաստոցներ, նավթատարներ, ինքնաթիռներ, թունելներ, մետրոներ և շատ ու շատ ավելին: Պյութագորասյան եռյակները անմիջական կիրառություն ունեն մեզ շրջապատող շատ իրերի նախագծման մեջ առօրյա կյանքում:

Իսկ գիտնականների միտքը շարունակում է Պյութագորասի թեորեմն ապացուցելու նոր տարբերակներ փնտրել։

• IN Իմ աշխատանքի արդյունքում ինձ հաջողվեց.
• 1. Իմացեք ավելին Պյութագորասի, նրա կյանքի և Պյութագորաս եղբայրության մասին:
• 2. Ծանոթացեք Պյութագորասի թեորեմի պատմությանը։
• 3. Իմացեք Պյութագորասի թվերի, դրանց հատկությունների մասին, սովորեք գտնել դրանք և կիրառել գործնական գործունեության մեջ:

Չերվյակ Վիտալի Գենադիևիչ

Կրասնոդարի մարզ, Ժուրավսկայա գյուղ, ՄՈԲՈՒ թիվ 14 միջնակարգ դպրոց, 9-րդ դաս.

Պյութագորասյան թվեր

Գիտական ​​ղեկավար՝ Գալինա Վասիլևնա Մանկո, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի, թիվ 14 միջն.

գրականություն.

1. Զվարճալի հանրահաշիվ. Յա.Ի. Պերելման (էջ 117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Անոսով Դ.Վ. Հայացք մաթեմատիկայի և դրանից մի բան: - M.: MTsNMO, 2003:

5. Մանկական հանրագիտարան. - Մ.: ՌՍՖՍՀ մանկավարժական գիտությունների ակադեմիայի հրատարակչություն, 1959 թ.

6. Ստեփանովա Լ.Լ. Տարրական թվերի տեսության ընտրված գլուխներ. - Մ.: Պրոմեթևս, 2001:

7. W. Sierpinski Պյութագորասյան եռանկյունիներ. - M.: Uchpedgiz, 1959. P.111

Հետազոտության առաջընթաց Պատմական էջ; Պյութագորասի թեորեմ; Ապացուցեք, որ «ոտքերից» մեկը պետք է լինի զույգ, իսկ մյուսը՝ կենտ. Պյութագորասյան թվեր գտնելու օրինաչափության ածանցում; Բացահայտել Պյութագորասյան թվերի հատկությունները;

Ներածություն Ես լսեցի Պյութագորասի և նրա կյանքի մասին հինգերորդ դասարանի մաթեմատիկայի դասին, և ինձ հետաքրքրեց «Պյութագորասի շալվարները բոլոր ուղղություններով հավասար են» արտահայտությունը։ Պյութագորասի թեորեմն ուսումնասիրելիս սկսեցի հետաքրքրվել Պյութագորասի թվերով։ Ես իմ հետազոտության նպատակը դրեցի՝ ավելին իմանալ Պյութագորասի թեորեմի և «Պյութագորասի թվերի» մասին։

Կլինեն հավերժական ճշմարտությունՈրքան շուտ թույլ մարդը կճանաչի Նրան: Եվ հիմա Պյութագորասի թեորեմը ճիշտ է, ինչպես նրա հեռավոր դարում

Պյութագորասի թվերի պատմությունից. Հին Չինաստան Չու-պեյ մաթեմատիկական գիրք. «Եթե ուղիղ անկյունը կազմալուծվում է իր բաղադրիչ մասերի, ապա նրա կողմերի ծայրերը միացնող գիծը կլինի 5, երբ հիմքը 3 է, իսկ բարձրությունը՝ 4»։

Պյութագորասյան թվերը հին եգիպտացիների շրջանում Քանտորը (գերմանացի մաթեմատիկայի ամենամեծ պատմաբանը) կարծում է, որ 3² + 4² = 5² հավասարությունն արդեն հայտնի էր եգիպտացիներին մոտ մ.թ.ա. 2300 թվականին: ե., Ամենեմհեթ թագավորի օրոք (ըստ Բեռլինի թանգարանի 6619 պապիրուսի)։ Ըստ Քանտորի՝ հարպեդոնապտները կամ «պարան քաշողները» ուղղանկյուն են կառուցել՝ օգտագործելով 3 կողմ ունեցող ուղղանկյուն եռանկյուններ; 4 և 5.

Պյութագորասի թեորեմը Բաբելոնիայում «Առաջին հույն մաթեմատիկոսների, ինչպիսիք են Թալեսը, Պյութագորասը և Պյութագորասը, վաստակը ոչ թե մաթեմատիկայի բացահայտումն է, այլ դրա համակարգումն ու հիմնավորումը։ Նրանց ձեռքում անորոշ գաղափարների վրա հիմնված հաշվողական բաղադրատոմսերը դարձել են ճշգրիտ գիտություն»:

Յուրաքանչյուր եռանկյուն, որի կողմերը գտնվում են 3:4:5 հարաբերությամբ, ըստ հայտնի Պյութագորասի թեորեմի, ուղղանկյուն է, քանի որ 3 2 + 4 2 = 5 2: Բացի 3,4 և 5 թվերից, կա. , ինչպես հայտնի է, անվերջ թվով a , в և с դրական ամբողջ թվեր, որոնք բավարարում են A 2 + в 2 = с 2 կապը: Այս թվերը կոչվում են պյութագորասյան թվեր:

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ այս թվերը կարող են ծառայել որպես որոշակի ուղղանկյուն եռանկյան երկարություն. հետևաբար, a-ն և b-ն կոչվում են «ոտքեր», իսկ c-ն կոչվում է «հիպոթենուզ»: Հասկանալի է, որ եթե a, b, c-ն պյութագորասյան թվերի եռապատիկ է, ապա pa, pb, pc, որտեղ p-ն ամբողջ գործակից է, պյութագորասյան թվեր են։ Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը։ Հետևաբար, մենք նախ կուսումնասիրենք նույնական պյութագորասյան թվերի միայն եռյակները (մնացածները ստացվում են դրանցից՝ բազմապատկելով p ամբողջ գործակցով):

Եզրակացություն. Այսպիսով, a և b թվերից մեկը զույգ է, մյուսը՝ կենտ, ինչը նշանակում է, որ երրորդ թիվը կենտ է։

Ահա Պյութագորասի հետևյալ եռյակները՝ 3, 4, 5; 9+16=25. 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681 թթ. 12, 35, 37; 144+1225=1369թ. 20, 21, 29; 400+441=841

Հեշտ է տեսնել, որ երբ մենք Պյութագորասի եռակի թվերից յուրաքանչյուրը բազմապատկում ենք 2, 3, 4, 5 և այլն, ստանում ենք հետևյալ եռյակները. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 և այլն: Դրանք նույնպես պյութագորասյան թվեր են

Պյութագորասյան թվերի հատկությունները Պյութագորասյան թվերը դիտարկելիս ես տեսա մի շարք հատկություններ. 1) Պյութագորասի թվերից մեկը պետք է լինի երեքի բազմապատիկ; 2) դրանցից մեկը պետք է լինի չորսի բազմապատիկ. 3) Եվ պյութագորասյան թվերից ևս մեկը պետք է լինի հինգի բազմապատիկ.

Պյութագորասյան թվերի գործնական կիրառում

Եզրակացություն. Իմ աշխատանքի արդյունքում ես կարողացա 1. Իմանալ ավելին Պյութագորասի, նրա կյանքի և Պյութագորաս եղբայրության մասին: 2. Ծանոթացեք Պյութագորասի թեորեմի պատմությանը։ 3. Իմացեք պյութագորասյան թվերի, դրանց հատկությունների մասին, սովորեք գտնել դրանք: Փորձնականորեն ուղղանկյուն գծագրել՝ օգտագործելով Պյութագորասյան թվերը:

Հաջորդիվ, մենք կքննարկենք արդյունավետ Պյութագորաս եռյակներ ստեղծելու հայտնի մեթոդները: Պյութագորասի աշակերտներն առաջինն էին, որ հորինեցին Պյութագորասի եռյակներ ստեղծելու պարզ միջոց՝ օգտագործելով մի բանաձև, որի մասերը ներկայացնում են Պյութագորասի եռյակը.

մ 2 + ((մ 2 − 1)/2) 2 = ((մ 2 + 1)/2) 2 ,

Որտեղ մ- չզույգված, մ>2. Իսկապես,

4մ 2 + մ 4 − 2մ 2 + 1
մ 2 + ((մ 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((մ 2 + 1)/2) 2 .
4

Նմանատիպ բանաձեւ է առաջարկվել հին հույն փիլիսոփաՊլատոն.

(2մ) 2 + (մ 2 − 1) 2 = (մ 2 + 1) 2 ,

Որտեղ մ- ցանկացած թիվ: Համար մ= 2,3,4,5 ստեղծվում են հետևյալ եռյակները.

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Ինչպես տեսնում ենք, այս բանաձեւերը չեն կարող տալ բոլոր հնարավոր պարզունակ եռյակները։

Դիտարկենք հետևյալ բազմանդամը, որը կարող է ընդլայնվել բազմանդամների գումարով.

(2մ 2 + 2մ + 1) 2 = 4մ 4 + 8մ 3 + 8մ 2 + 4մ + 1 =
=4մ 4 + 8մ 3 + 4մ 2 + 4մ 2 + 4մ + 1 = (2մ(մ+1)) 2 + (2մ +1) 2 .

Հետևաբար պարզունակ եռյակներ ստանալու հետևյալ բանաձևերը.

ա = 2մ +1 , բ = 2մ(մ+1) = 2մ 2 + 2մ , գ = 2մ 2 + 2մ + 1.

Այս բանաձևերը առաջացնում են եռյակներ, որոնցում միջին թիվը մեծագույն թվից տարբերվում է ուղիղ մեկով, այսինքն՝ ոչ բոլոր հնարավոր եռյակներն են առաջանում։ Այստեղ առաջին եռյակները հավասար են՝ (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61)։

Որոշելու համար, թե ինչպես ստեղծել բոլոր պարզունակ եռյակները, պետք է ուսումնասիրվեն նրանց հատկությունները: Նախ, եթե ( ա, բ, գ) պարզունակ եռյակ է, ուրեմն աԵվ բ, բԵվ գ, ԱԵվ գ- պետք է լինի համեմատաբար պարզ: Թող աԵվ բբաժանվում են դ. Հետո ա 2 + բ 2 - նույնպես բաժանվում է դ. Համապատասխանաբար, գ 2 և գպետք է բաժանվի դ. Այսինքն՝ սա պարզունակ եռյակ չէ։

Երկրորդ՝ թվերի շարքում ա, բմեկը պետք է զուգակցված լինի, իսկ մյուսը՝ չզույգված: Իսկապես, եթե աԵվ բ- զուգավորված, ուրեմն Հետզուգակցվելու են, և թվերը կարելի է բաժանել առնվազն 2-ի: Եթե երկուսն էլ չզույգացված են, ապա կարող են ներկայացվել որպես 2: կ+1 i 2 լ+1, որտեղ կ,լ- որոշ թվեր. Հետո ա 2 + բ 2 = 4կ 2 +4կ+1+4լ 2 +4լ+1, այսինքն. Հետ 2, նման ա 2 + բ 2-ն ունի 2-ի մնացորդ, երբ բաժանվում է 4-ի:

Թող Հետ- ցանկացած թիվ, այսինքն Հետ = 4կ+ես (ես=0,…,3): Հետո Հետ 2 = (4կ+ես) 2-ն ունի մնացորդ 0 կամ 1 և չի կարող ունենալ մնացորդ 2: Այսպիսով, աԵվ բչի կարող չզուգակցվել, այսինքն ա 2 + բ 2 = 4կ 2 +4կ+4լ 2 +4լ+1 և բաժանման մնացած մասը Հետ 2-ը 4-ը պետք է լինի 1, ինչը նշանակում է, որ Հետպետք է չզուգակցված լինի:

Պյութագորասյան եռյակի տարրերի նման պահանջները բավարարվում են հետևյալ թվերով.

ա = 2մն, բ = մ 2 − n 2 , գ = մ 2 + n 2 , մ > n, (2)

Որտեղ մԵվ n— համեմատաբար պարզ՝ տարբեր զույգերով: Այս կախվածությունները առաջին անգամ հայտնի են դարձել Էվկլիդեսի աշխատություններից, ով ապրել է 2300 ռ. ետ.

Եկեք ապացուցենք կախվածությունների վավերականությունը (2): Թող Ա- զուգավորված, ուրեմն բԵվ գ- չզույգված: Հետո գ + բես գ − բ- զուգակցված: Նրանք կարող են ներկայացվել որպես գ + բ = 2uԵվ գ − բ = 2v, Որտեղ u,v- որոշ ամբողջ թվեր. Ահա թե ինչու

ա 2 = Հետ 2 − բ 2 = (գ + բ)(գ − բ) = 2u· 2 v = 4ուլտրամանուշակագույն

Եվ հետևաբար ( ա/2) 2 = ուլտրամանուշակագույն.

Հակասությամբ կարելի է ապացուցել, որ uԵվ v- փոխադարձ պարզ. Թող uԵվ v- բաժանված է դ. Հետո ( գ + բ) Եվ ( գ − բ) բաժանվում են դ. Եվ այսպես գԵվ բպետք է բաժանվի դ, և դա հակասում է Պյութագորասի եռյակի պայմանին։

Որովհետև ուլտրամանուշակագույն = (ա/2) 2 և uԵվ vհամեմատաբար պարզ են, ապա դա հեշտ է ապացուցել uԵվ vպետք է լինի որոշ թվերի քառակուսիներ:

Այսպիսով, կան դրական ամբողջ թվեր մԵվ n, այնպիսին, որ u = մ 2 և v = n 2. Հետո

Ա 2 = 4ուլտրամանուշակագույն = 4մ 2 n 2 այսպես
Ա = 2մն; բ = u − v = մ 2 − n 2 ; գ = u + v = մ 2 + n 2 .

Որովհետև բ> 0, ապա մ > n.

Մնում է դա ցույց տալ մԵվ nունեն տարբեր զույգեր. Եթե մԵվ n- զուգավորված, ուրեմն uԵվ vպետք է զուգակցվեն, բայց դա անհնար է, քանի որ դրանք համեմատաբար պարզ են: Եթե մԵվ n- չզույգված, ուրեմն բ = մ 2 − n 2 և գ = մ 2 + n 2-ը կզույգվեր, ինչը անհնար է, քանի որ գԵվ բ- փոխադարձ պարզ.

Այսպիսով, Պյութագորասի ցանկացած պարզունակ եռյակ պետք է բավարարի պայմանները (2): Միաժամանակ թվերը մԵվ nկոչվում են թվեր առաջացնելըպարզունակ եռյակներ. Օրինակ, եկեք ունենանք պարզունակ Պյութագորասի եռյակ (120,119,169): Այս դեպքում

Ա= 120 = 2 · 12 · 5, բ= 119 = 144 − 25, և գ = 144+25=169,

Որտեղ մ = 12, n= 5 — թվեր առաջացնող, 12 > 5; 12-ը և 5-ը միմյանց պարզ են և տարբեր զույգերից:

Հակառակը կարելի է ապացուցել, որ թվերը մ, nօգտագործելով (2) բանաձևերը տալիս են պարզունակ Պյութագորասի եռյակ (a,b,c): Իսկապես,

Ա 2 + բ 2 = (2մն) 2 + (մ 2 − n 2) 2 = 4մ 2 n 2 + (մ 4 − 2մ 2 n 2 + n 4) =
= (մ 4 + 2մ 2 n 2 + n 4) = (մ 2 + n 2) 2 = գ 2 ,

այսինքն ( ա,բ,գ) պյութագորասյան եռյակ է։ Փաստենք, որ այս դեպքում ա,բ,գփոխադարձաբար պարզ թվեր են՝ ըստ հակասության: Թող այս թվերը բաժանվեն էջ> 1. Քանի որ մԵվ nունեն տարբեր զույգեր, ապա բԵվ գ- չզույգված, այսինքն էջ≠ 2. Քանի որ rբաժանում է բԵվ գ, Դա rպետք է բաժանել 2 մ 2 և 2 n 2, բայց դա անհնար է, քանի որ էջ≠ 2. Հետեւաբար մ, n- փոխադարձ առաջնային և ա,բ,գ- նույնպես համեմատաբար պարզ են:

Աղյուսակ 1-ը ցույց է տալիս բոլոր պարզունակ Պյութագորասի եռյակները, որոնք ստեղծվել են (2) բանաձևերի միջոցով մ≤10.

Աղյուսակ 1. Նախնադարյան Պյութագորասի եռապատկերները համար մ≤10

մ	n	ա	բ	գ	մ	n	ա	բ	գ
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Այս աղյուսակի վերլուծությունը ցույց է տալիս օրինաչափությունների հետևյալ շարքի առկայությունը.

• կամ ա, կամ բբաժանվում է 3-ի;
• թվերից մեկը ա,բ,գբաժանվում է 5-ի;
• համարը Աբաժանվում է 4-ի;
• աշխատանքը ա· բբաժանվում է 12-ի։

1971 թվականին ամերիկացի մաթեմատիկոսներ Թեյգանը և Հեդվինը առաջարկեցին ուղղանկյուն եռանկյան այնպիսի քիչ հայտնի պարամետրեր, ինչպիսին է նրա բարձրությունը՝ եռյակներ առաջացնելու համար: հ = գ− b և ավելցուկ (հաջողություն) ե = ա + բ − գ. Նկ. 1-ում: այս մեծությունները ցուցադրվում են որոշակի ուղղանկյուն եռանկյունու վրա:

Նկար 1. Ուղղանկյուն եռանկյունը և դրա աճն ու ավելցուկը

«Ավելցուկ» անվանումը առաջացել է նրանից, որ դա այն լրացուցիչ հեռավորությունն է, որը պետք է անցնի եռանկյան ոտքերի երկայնքով մեկ գագաթից դեպի հակառակը, եթե չանցնի դրա անկյունագծով:

Պյութագորասի եռանկյունու կողմերի ավելցուկի և աճի միջոցով կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ.

ե 2 ե 2
ա = հ + ե, բ = ե + ——, գ = հ + ե + ——, (3)
2հ 2հ

Ոչ բոլոր համակցությունները հԵվ եկարող է համապատասխանել Պյութագորասի եռանկյուններին։ Տրվածի համար հհնարավոր արժեքներ եորոշակի քանակի արտադրանք են դ. Այս թիվը դունի աճի անվանումը և վերաբերում է հհետևյալ կերպ. դամենափոքր դրական ամբողջ թիվն է, որի քառակուսին բաժանվում է 2-ի հ. Որովհետև եբազմակի դ, ապա գրվում է այսպես ե = կդ, Որտեղ կդրական ամբողջ թիվ է:

Օգտագործելով զույգեր ( կ,հ) դուք կարող եք ստեղծել ամեն ինչ Պյութագորասյան եռանկյուններներառյալ ոչ պարզունակ և ընդհանրացվածները՝ հետևյալ կերպ.

(դկ) 2 (դկ) 2
ա = հ + դկ, բ = դկ + ——, գ = հ + դկ + ——, (4)
2հ 2հ

Ընդ որում, եռյակը պարզունակ է, եթե կԵվ հհամեմատաբար պարզ են և եթե հ =± ք 2 ժամը ք- չզույգված:
Ավելին, սա կլինի հենց պյութագորասյան եռակի եթե կ> √2· հ/դԵվ հ > 0.

Գտնել կԵվ հսկսած ( ա,բ,գ), կատարել հետևյալ գործողությունները.

• հ = գ − բ;
• գրի առնել հԻնչպես հ = pq 2 որտեղ էջ> 0 և այնպիսին, որը քառակուսի չէ.
• դ = 2pqԵթե էջ- չզույգված և դ = pq, եթե p-ն զուգակցված է;
• կ = (ա − հ)/դ.

Օրինակ՝ եռակի համար (8,15,17) ունենք հ= 17−15 = 2 1, ուրեմն էջ= 2 և ք = 1, դ= 2, և կ= (8 − 2)/2 = 3: Այսպիսով, այս եռապատիկը տրված է ( կ,հ) = (3,2).

Եռակի համար (459,1260,1341) ունենք հ= 1341 − 1260 = 81, ուրեմն էջ = 1, ք= 9 և դ= 18, այստեղից կ= (459 − 81)/18 = 21, ուստի այս եռակի կոդը ( կ,հ) = (21, 81).

Եռյակների կարգավորում՝ օգտագործելով հԵվ կունի մի շարք հետաքրքիր հատկություններ. Պարամետր կհավասար է

կ = 4Ս/(dP), (5)

Որտեղ Ս = աբ/2-ը եռանկյան մակերեսն է, և Պ = ա + բ + գ- դրա պարագիծը. Սա բխում է հավասարությունից eP = 4Ս, որը բխում է Պյութագորասի թեորեմից։

Ուղղանկյուն եռանկյունու համար եհավասար է եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի տրամագծին: Սա բխում է այն փաստից, որ հիպոթենուսը Հետ = (Ա − r)+(բ − r) = ա + բ − 2r, Որտեղ r- շրջանագծի շառավիղը. Այստեղից հ = գ − բ = Ա − 2rԵվ ե = ա − հ = 2r.

Համար հ> 0 և կ > 0, կեռյակների հերթական թիվն է ա-բ-գՊյութագորասի եռանկյունների հաջորդականությամբ՝ աճող հ. Աղյուսակ 2-ից, որը ներկայացնում է զույգերի կողմից ստեղծված եռյակների մի քանի տարբերակներ հ, կ, պարզ է, որ աճի հետ կեռանկյան կողմերի չափերը մեծանում են. Այսպիսով, ի տարբերություն դասական համարակալման, համարակալումը զույգերով հ, կավելի մեծ կարգ ունի եռյակների հաջորդականության մեջ:

Աղյուսակ 2. h, k զույգերով առաջացած պյութագորասյան եռյակներ:

հ	կ	ա	բ	գ	հ	կ	ա	բ	գ
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Համար հ > 0, դբավարարում է 2√ անհավասարությունը հ ≤ դ ≤ 2հ, որի ստորին սահմանը հասնում է ժամը էջ= 1, իսկ վերինը՝ ժամը ք= 1. Հետեւաբար արժեքը դ 2√-ի համեմատ հչափանիշ է, թե որքան է թիվը հորոշակի թվի քառակուսուց հեռու:

«Տարածաշրջանային կրթական կենտրոն»

Մեթոդական մշակում

Օգտագործելով Պյութագորասի եռյակները լուծելիս

Պետական ​​միասնական քննության երկրաչափական խնդիրներ և եռանկյունաչափական առաջադրանքներ

Կալուգա, 2016 թ

I. Ներածություն

Պյութագորասի թեորեմը երկրաչափության հիմնական և, նույնիսկ կարելի է ասել, ամենակարևոր թեորեմներից մեկն է։ Դրա նշանակությունը կայանում է նրանում, որ երկրաչափության թեորեմների մեծ մասը կարելի է դուրս բերել դրանից կամ նրա օգնությամբ։ Պյութագորասի թեորեմը նույնպես ուշագրավ է, քանի որ ինքնին ամենևին էլ ակնհայտ չէ։ Օրինակ, հատկությունները հավասարաչափ եռանկյունկարելի է տեսնել ուղղակիորեն գծագրության վրա: Բայց որքան էլ նայեք ուղղանկյուն եռանկյունին, երբեք չեք տեսնի, որ նրա կողմերի միջև կա այդպիսի պարզ հարաբերություն. a2+b2=գ2. Այնուամենայնիվ, Պյութագորասը չէր, ով հայտնաբերեց իր անունը կրող թեորեմը։ Դա հայտնի էր նույնիսկ ավելի վաղ, բայց թերևս միայն որպես չափումներից ստացված փաստ: Ենթադրաբար, Պյութագորասը գիտեր դա, բայց գտավ ապացույցներ:

Կան անթիվ բնական թվեր ա, բ, գ, բավարարելով հարաբերությունները a2+b2=գ2.. Դրանք կոչվում են պյութագորասյան թվեր: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ նման թվերը կարող են ծառայել որպես որոշակի ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի երկարություն՝ մենք դրանք կանվանենք Պյութագորասի եռանկյունիներ։

Աշխատանքի նպատակը.ուսումնասիրել Պյութագորասի եռյակների օգտագործման հնարավորությունը և արդյունավետությունը խնդիրների լուծման համար դպրոցական դասընթացմաթեմատիկա, միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներ.

Ելնելով աշխատանքի նպատակից՝ սահմանվում են. առաջադրանքներ:

Ուսումնասիրեք Պյութագորաս եռյակների պատմությունը և դասակարգումը: Վերլուծեք խնդիրները՝ օգտագործելով Պյութագորասի եռյակները, որոնք առկա են դպրոցական դասագրքերում և հայտնաբերված թեստային և չափման նյութերում միասնական պետական ​​քննության համար: Գնահատեք Պյութագորասի եռյակների և դրանց հատկությունների օգտագործման արդյունավետությունը խնդիրների լուծման համար:

Ուսումնասիրության օբյեկտՊյութագորասյան թվերի եռյակներ:

Հետազոտության առարկաԵռանկյունաչափության և երկրաչափության դպրոցական դասընթացի խնդիրներ, որոնցում օգտագործվում են Պյութագորասի եռյակները:

Ուսումնասիրության համապատասխանությունը. Պյութագորասյան եռյակները հաճախ օգտագործվում են երկրաչափության և եռանկյունաչափության մեջ, իմանալով դրանք՝ կվերացվեն հաշվարկների սխալները և կխնայեն ժամանակը:

II. Հիմնական մասը. Խնդիրների լուծում՝ օգտագործելով Պյութագորաս եռյակները:

2.1. Պյութագորասյան թվերի եռակի աղյուսակ (ըստ Պերելմանի)

Պյութագորասյան թվերն ունեն ձև ա= m·n, , որտեղ m-ը և n-ը համեմատաբար պարզ կենտ թվեր են:

Պյութագորասյան թվերն ունեն մի շարք հետաքրքիր առանձնահատկություններ.

«Ոտքերից» մեկը պետք է լինի երեքի բազմապատիկ:

«Ոտքերից» մեկը պետք է լինի չորսի բազմապատիկ:

Պյութագորասյան թվերից մեկը պետք է լինի հինգի բազմապատիկ։

«Զվարճալի հանրահաշիվ» գիրքը պարունակում է Պյութագորասի եռյակների աղյուսակ, որը պարունակում է մինչև հարյուր թվեր, որոնք չունեն ընդհանուր գործոններ:

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Պյութագորասյան եռյակների դասակարգումն ըստ Շուստրովի.

Շուստրովը հայտնաբերեց հետևյալ օրինաչափությունը. եթե Պյութագորասի բոլոր եռանկյունները բաշխված են խմբերի, ապա կենտ x, զույգ y և z հիպոթենուսի համար վավեր են հետևյալ բանաձևերը.

x = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n · (n + 2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, որտեղ N-ը ընտանիքի թիվն է, իսկ n-ը՝ ընտանիքի եռանկյունու սերիան:

Փոխարինելով ցանկացած դրական ամբողջ թվեր՝ սկսած մեկից, N և n-ի բանաձևում կարող եք ստանալ բոլոր հիմնական Պյութագորասի եռյակները, ինչպես նաև որոշակի տեսակի բազմապատիկները։ Դուք կարող եք պատրաստել Պյութագորասի բոլոր եռյակների սեղան յուրաքանչյուր ընտանիքի համար:

2.3. Պլանաչափության խնդիրներ

Դիտարկենք խնդիրներ երկրաչափության տարբեր դասագրքերից և պարզենք, թե որքան հաճախ են Պյութագորասի եռյակները հայտնվում այս առաջադրանքներում: Մենք չենք դիտարկի Պյութագորասյան եռյակների աղյուսակից երրորդ տարրը գտնելու աննշան խնդիրները, թեև դրանք հանդիպում են նաև դասագրքերում: Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է նվազեցնել խնդրի լուծումը, որի տվյալները արտահայտված չեն բնական թվեր, պյութագորասյան եռյակներին։

Եկեք նայենք 7-9-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքի խնդիրներին:

№ 000. Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսը՝ օգտագործելով ոտքերը Ա=, բ=.

Լուծում. Ոտքերի երկարությունները բազմապատկենք 7-ով, պյութագորասյան եռյակից ստանում ենք երկու տարր՝ 3 և 4։ Բացակայող տարրը 5-ն է, որը բաժանում ենք 7-ի։ Պատասխան.

№ 000. ABCD ուղղանկյունում գտե՛ք BC, եթե CD=1,5, AC=2,5:

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Լուծում. Լուծեք ACD ուղղանկյուն եռանկյունը: Երկարությունները բազմապատկում ենք 2-ով, պյութագորասյան եռյակից ստանում ենք երկու տարր՝ 3 և 5, բացակայող տարրը 4-ն է, որը բաժանում ենք 2-ի։Պատասխան՝ 2։

Հաջորդ թիվը լուծելիս ստուգեք հարաբերակցությունը a2+b2=գ2Դա լիովին ընտրովի է, բավական է օգտագործել Պյութագորասի թվերը և դրանց հատկությունները:

№ 000. Պարզեք, թե արդյոք եռանկյունը ուղղանկյուն է, եթե նրա կողմերը արտահայտված են թվերով.

ա) 6,8,10 (Պյութագորասյան եռակի 3,4.5) – այո;

Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններից մեկը պետք է բաժանվի 4-ի: Պատասխան՝ ոչ:

գ) 9,12,15 (Պյութագորաս եռակի 3,4.5) – այո;

դ) 10,24,26 (Պյութագորաս եռակի 5,12.13) – այո;

Պյութագորասյան թվերից մեկը պետք է լինի հինգի բազմապատիկ։ Պատասխան՝ ոչ։

է) 15, 20, 25 (Պյութագորասի եռակի 3,4.5) – այո։

Այս բաժնի երեսունինը առաջադրանքներից (Պյութագորասի թեորեմ) քսաներկուսը լուծվում են բանավոր՝ օգտագործելով պյութագորասյան թվերը և դրանց հատկությունների իմացությունը։

Դիտարկենք թիվ 000 առաջադրանքը («Լրացուցիչ առաջադրանքներ» բաժնից).

Գտե՛ք ABCD քառանկյան մակերեսը, որում AB=5 սմ, BC=13 սմ, CD=9 սմ, DA=15 սմ, AC=12 սմ:

Խնդրում դուք պետք է ստուգեք հարաբերությունները a2+b2=գ2և ապացուցել, որ տրված քառանկյունը բաղկացած է երկու ուղղանկյուն եռանկյունից ( փոխադարձ թեորեմ) Իսկ Պյութագորասի եռյակների մասին գիտելիքները՝ 3, 4, 5 և 5, 12, 13, ձեզ փրկում են հաշվարկներից։

Ներկայացնում ենք մի քանի խնդիրների լուծումներ երկրաչափության դասագրքից 7-9-րդ դասարանների համար:

Խնդիր 156 (ը). Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերը 9 և 40 են: Գտե՛ք հիպոթենուսին գծված միջինը:

Լուծում . Հիպոթենուսի վրա գծված միջինը հավասար է դրա կեսին: Պյութագորասի եռյակը 9,40 և 41 է: Հետևաբար, միջինը 20,5 է:

Խնդիր 156 (i). Եռանկյան կողմերը հավասար են. Ա= 13 սմ, բ = 20 սմ և բարձրություն hс = 12 սմ Գտեք հիմքը Հետ.

Առաջադրանք ( KIMS միասնական պետական ​​քննություն) Գտե՛ք ներգծված շրջանագծի շառավիղը սուր եռանկյուն ABC, եթե BH բարձրությունը 12 է և հայտնի է, որ մեղք Ա=,մեղք С=ձախ»>

Լուծում.Լուծում ենք ∆ ASK ուղղանկյունը՝ sin A=, BH=12, հետևաբար՝ AB=13,AK=5 (Պյութագորասյան եռապատիկ 5,12,13): Լուծում ենք ուղղանկյուն ∆ ВСH՝ ВH =12, մեղք С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9. (Պյութագորաս եռակի 3,4,5): Շառավիղը հայտնաբերվում է r ===4 բանաձևով:

2.4. Պյութագորասի եռապատկերը եռանկյունաչափության մեջ

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը Պյութագորասի թեորեմի հատուկ դեպքն է՝ sin2a + cos2a = 1; (ա/գ) 2 + (բ/գ)2 =1. Հետևաբար, որոշ եռանկյունաչափական խնդիրներ կարելի է հեշտությամբ լուծել բանավոր՝ օգտագործելով Պյութագորասի եռյակները:

Խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է գտնել մնացած գործառույթների արժեքները՝ օգտագործելով ֆունկցիայի տվյալ արժեքը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, կարելի է լուծել առանց քառակուսու եւ քառակուսի արմատ վերցնելու։ Մորդկովիչի (թիվ 000-թիվ 000) դպրոցական հանրահաշվի դասագրքում (10-11) այս տիպի բոլոր առաջադրանքները կարող են լուծվել բանավոր՝ իմանալով միայն մի քանի Պյութագորաս եռյակներ. 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Դիտարկենք երկու խնդիրների լուծումներ.

թիվ 000 ա). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Լուծում. Պյութագորասի եռակի՝ 3, 4, 5. Հետևաբար, cos t = -3/5; tan t = -4/3,

Թիվ 000 բ). tan t = 2.4, π< t < 3π/2.

Լուծում. tg t = 2,4 = 24/10 = 12/5: Պյութագորաս եռակի 5,12,13. Հաշվի առնելով նշանները՝ ստանում ենք sin t = -12/13, cos t = -5/13, cot t = 5/12:

3. Միասնական պետական ​​քննության թեստավորման և չափագրման նյութեր

ա) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

բ) մեղք (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

գ) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

դ) ctg (arccos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

ե) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1.

զ) ստուգեք հավասարությունը.

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2:

Լուծում. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

մեղք (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = մեղք (arсcos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Եզրակացություն

IN երկրաչափական խնդիրներՀաճախ դուք պետք է լուծեք ուղղանկյուն եռանկյուններ, երբեմն մի քանի անգամ: Առաջադրանքները վերլուծելուց հետո դպրոցական դասագրքերԵվ Պետական ​​միասնական քննության նյութեր, կարող ենք եզրակացնել, որ հիմնականում օգտագործվում են եռյակներ՝ 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; որոնք հեշտ է հիշել: Եռանկյունաչափական որոշ խնդիրներ լուծելիս դասական լուծումօգտագործելով եռանկյունաչափական բանաձևերիսկ մեծ թվով հաշվարկները ժամանակ են պահանջում, և Պյութագորասի եռյակների իմացությունը կվերացնի հաշվարկների սխալները և կխնայի ժամանակը միասնական պետական ​​քննության ավելի բարդ խնդիրների լուծման համար:

Մատենագիտություն

1. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ. Ժամը 14:00 Մաս 2. Խնդիրների գիրքը համար ուսումնական հաստատություններ/ [եւ այլն]; խմբագրել է . – 8-րդ հրատ., ջնջված։ – M.: Mnemosyne, 2007. – 315 p. : հիվանդ.

2. Պերելմանի հանրահաշիվ. – D.: VAP, 1994. – 200 p.

3. Ռոգանովսկի. Դասագիրք. 7-9-րդ դասարանների համար. խորությամբ մաթեմատիկայի ուսումնասիրություն հանրակրթության մեջ. դպրոց ռուսերենից լեզուն վերապատրաստում, - 3-րդ հրտ. - Մն.; Նար. Ասվետա, 2000. – 574 pp.: ill.

4. Մաթեմատիկա. Պատմության, մեթոդաբանության, դիդակտիկայի ընթերցող: / Կոմպ. . – Մ.: Հրատարակչություն URAO, 2001. – 384 p.

5. Ամսագիր «Մաթեմատիկան դպրոցում» թիվ 1, 1965 թ.

6. Միասնական պետական ​​քննության թեստավորման և չափագրման նյութեր.

7. Երկրաչափություն, 7-9. Դասագիրք. հանրակրթական հաստատությունների համար / և այլն - 13-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2003 թ. – 384 էջ. : հիվանդ.

8. Երկրաչափություն՝ Դասագիրք. 10-11-րդ դասարանների համար. միջին դպրոց/ և այլն – 2-րդ հրտ. – Մ.: Կրթություն, 1993, - 207 էջ: հիվանդ.

Պերելմանի հանրահաշիվ. – D.: VAP, 1994. – 200 p.

Ամսագիր «Մաթեմատիկան դպրոցում» թիվ 1, 1965 թ.

Երկրաչափություն, 7-9. Դասագիրք. հանրակրթական հաստատությունների համար / և այլն - 13-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2003 թ. – 384 էջ. : հիվանդ.

Ռոգանովսկի: Դասագիրք. 7-9-րդ դասարանների համար. խորությամբ մաթեմատիկայի ուսումնասիրություն հանրակրթության մեջ. դպրոց ռուսերենից լեզուն վերապատրաստում, - 3-րդ հրտ. - Մն.; Նար. Ասվետա, 2000. – 574 pp.: ill.

Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ. 2 ժամվա ընթացքում Մաս 2. Խնդիրների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար / [և այլոց]; խմբագրել է . – 8-րդ հրատ., ջնջված։ – M.: Mnemosyne, 2007. – 315 p. : հիվանդ, էջ 18։

Ուսումնականուսումնասիրել Պյութագորասի մի շարք եռյակներ, մշակել դրանց օգտագործման ալգորիթմ տարբեր իրավիճակներ, ստեղծել հիշեցում դրանց օգտագործման վերաբերյալ:

Ուսումնականուսման նկատմամբ գիտակցված վերաբերմունքի ձևավորում, ճանաչողական գործունեության զարգացում, կրթական աշխատանքի մշակույթ:

Զարգացնողերկրաչափական, հանրահաշվական և թվային ինտուիցիայի զարգացում, բանականություն, դիտում, հիշողություն:

Դասի առաջընթաց

I. Կազմակերպչական պահ

II. Նոր նյութի բացատրություն

Ուսուցիչ. Պյութագորաս եռյակների գրավիչ ուժի առեղծվածը վաղուց անհանգստացրել է մարդկությանը: Պյութագորասյան եռյակների յուրահատուկ հատկությունները բացատրում են նրանց հատուկ դերբնության, երաժշտության, մաթեմատիկայի մեջ։ Պյութագորասյան կախարդանքը՝ Պյութագորասի թեորեմը, մնում է միլիոնավոր, եթե ոչ միլիարդավոր մարդկանց ուղեղներում: Սա հիմնարար թեորեմ է, որը յուրաքանչյուր դպրոցական ստիպված է անգիր անել: Թեև Պյութագորասի թեորեմը կարող է հասկանալ տասը տարեկան երեխաներին, այն ոգեշնչող սկիզբ է մի խնդրի, որը մաթեմատիկայի պատմության մեծագույն մտքերը չեն կարողացել լուծել՝ Ֆերմատի թեորեմը: Պյութագորասը Սամոս կղզուց (տես. Հավելված 1 , սլայդ 4) մաթեմատիկայի ամենաազդեցիկ և, այնուամենայնիվ, առեղծվածային դեմքերից մեկն էր: Քանի որ նրա կյանքի և ստեղծագործության մասին ոչ մի հավաստի պատմություն գոյություն չունի, նրա կյանքը պատված է առասպելներով և լեգենդներով, և պատմաբանները կարող են դժվարանալ տարանջատել փաստը գեղարվեստականից: Այնուամենայնիվ, կասկած չկա, որ Պյութագորասը զարգացրել է թվերի տրամաբանության գաղափարը, և որ հենց նրան ենք պարտական ​​մաթեմատիկայի առաջին ոսկե դարաշրջանին: Նրա հանճարի շնորհիվ թվերը դադարեցին օգտագործել միայն հաշվելու և հաշվարկելու համար և առաջին անգամ գնահատվեցին։ Պյութագորասը ուսումնասիրել է թվերի որոշակի դասերի հատկությունները, նրանց և թվեր կազմող թվերի միջև եղած հարաբերությունները։ Պյութագորասը հասկացավ, որ թվերը գոյություն ունեն նյութական աշխարհից անկախ, և, հետևաբար, թվերի ուսումնասիրությունը չի ազդում մեր զգայարանների անճշտության վրա: Սա նշանակում էր, որ Պյութագորասը ձեռք է բերել ճշմարտություններ՝ անկախ ուրիշի կարծիքից կամ նախապաշարմունքներից: Ճշմարտություններ ավելի բացարձակ, քան ցանկացած նախկին գիտելիք: Ելնելով Պյութագորասի եռյակների վերաբերյալ ուսումնասիրված գրականությունից՝ մեզ կհետաքրքրի Պյութագորասի եռյակների կիրառման հնարավորությունը եռանկյունաչափության խնդիրներ լուծելու համար: Հետևաբար, մենք նպատակ ենք դնելու՝ ուսումնասիրել Պյութագորասի մի շարք եռյակներ, մշակել դրանց օգտագործման ալգորիթմ, կազմել հուշագիր դրանց օգտագործման վերաբերյալ և կատարել հետազոտություններ տարբեր իրավիճակներում դրանց օգտագործման վերաբերյալ:

Եռանկյունի ( սլայդ 14), որի կողմերը հավասար են Պյութագորասյան թվերին, ուղղանկյուն է։ Ընդ որում, ցանկացած նման եռանկյունի հերոնյան է, ի. մեկը, որի բոլոր կողմերն ու տարածքը ամբողջ թվեր են: Դրանցից ամենապարզը եգիպտական ​​եռանկյունն է՝ կողմերով (3, 4, 5):

Եկեք ստեղծենք Պյութագորասի եռյակների շարք՝ բազմապատկելով թվերը (3, 4, 5) 2-ով, 3-ով, 4-ով: Մենք կստանանք Պյութագորասի եռյակների շարք, կդասավորենք դրանք առավելագույն թվի աճման կարգով և կընտրենք պարզունակները: .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Դասի առաջընթաց

1. Եկեք շրջենք առաջադրանքների շուրջ.

1) Օգտագործելով նույն արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հարաբերությունները, գտե՛ք, եթե

հայտնի է, որ.

2) Գտե՛ք անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքը., եթե հայտնի է, որ.

3) «Լրացման բանաձևեր» թեմայով ուսումնական առաջադրանքների համակարգ.

իմանալով, որ sin = 8/17, cos = 4/5, և առաջին քառորդի անկյուններն են, գտե՛ք արտահայտության արժեքը.

իմանալով, որ և երկրորդ քառորդի անկյուններն են, sin = 4/5, cos = – 15/17, գտե՛ք.

4) «Կրկնակի անկյան բանաձևեր» թեմայով ուսումնական առաջադրանքների համակարգ.

ա) Թող մեղք = 5/13 լինի երկրորդ քառորդի անկյունը: Գտեք sin2, cos2, tan2, ctg2:

բ) Հայտնի է, որ tg. = 3/4, – երրորդ քառորդ անկյուն։ Գտեք sin2, cos2, tan2, ctg2:

գ) Հայտնի է, որ 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

դ) Հայտնի է, որ , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

ե) Գտե՛ք tan( + ), եթե հայտնի է, որ cos = 3/5, cos = 7/25, որտեղ և են առաջին քառորդի անկյունները:

զ) Գտեք , – երրորդ քառորդ անկյուն։

Մենք խնդիրը լուծում ենք ավանդական եղանակով՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները, իսկ հետո նույն խնդիրները լուծում ենք ավելի ռացիոնալ կերպով։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք խնդիրներ լուծելու ալգորիթմ՝ օգտագործելով Պյութագորաս եռյակները: Եկեք ստեղծենք Պյութագորաս եռյակների միջոցով խնդիրների լուծման ուղեցույց: Դա անելու համար մենք հիշում ենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը, ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը, գծում ենք այն, կախված խնդրի պայմաններից, մենք ճիշտ դասավորում ենք Պյութագորասի եռյակները ուղղանկյուն եռանկյան կողմերում ( բրինձ. 1) Գրում ենք հարաբերակցությունը և դասավորում նշանները։ Ալգորիթմը մշակվել է.

Նկար 1

Խնդիրների լուծման ալգորիթմ

Վերանայել (ուսումնասիրել) տեսական նյութ.

Իմացեք պարզունակ Պյութագորասի եռյակները և, անհրաժեշտության դեպքում, կարողանաք կառուցել նորերը:

Կիրառի՛ր Պյութագորասի թեորեմը ռացիոնալ կոորդինատներով կետերի համար:

Իմանալ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը, կարողանալ ուղղանկյուն եռանկյուն գծել և, կախված խնդրի պայմաններից, ճիշտ տեղադրել Պյութագորասի եռանկյունները եռանկյան կողմերի վրա։

Իմացեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի նշանները՝ կախված դրանց գտնվելու վայրից կոորդինատային հարթություն.

Անհրաժեշտ պահանջներ.

1. իմանալ, թե ինչ նշաններ ունեն սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը, կոտանգենսը կոորդինատային հարթության յուրաքանչյուր քառորդում.
2. իմանալ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը.
3. իմանալ և կարողանալ կիրառել Պյութագորասի թեորեմը.
4. իմանալ հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունները, գումարման բանաձևերը, կրկնակի անկյան բանաձևերը, կես փաստարկների բանաձևերը.
5. իմանալ կրճատման բանաձևերը.

Հաշվի առնելով վերը նշվածը՝ լրացնենք աղյուսակը ( աղյուսակ 1) Այն պետք է լրացվի՝ հետևելով սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանմանը կամ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը ռացիոնալ կոորդինատներով կետերի համար: Այս դեպքում միշտ անհրաժեշտ է հիշել սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի նշանները՝ կախված կոորդինատային հարթությունում դրանց տեղակայությունից։

Աղյուսակ 1

		Թվերի եռապատիկ		մեղք	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I ժամ
		(6, 8, 10)	Մաս II			-	-
		(5, 12, 13)	Մաս III	-	-
		(8, 15, 17)	Մաս IV	-		-	-
		(9, 40, 41)	I ժամ

Համար հաջող աշխատանքԴուք կարող եք օգտագործել Պյութագորաս եռյակների օգտագործման հրահանգները:

Աղյուսակ 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Եկեք միասին որոշենք.

1) Խնդիր՝ գտե՛ք cos, tg և ctg, եթե sin = 5/13, եթե - երկրորդ քառորդի անկյունը: