Գնդակ 4-չափ տարածության մեջ: Գնդերի քառաչափ պտույտ և փաթեթավորում: Որոշ օգտակար հավելվածներ այլ աղբյուրներից

ՔԱՌՉԱՓ ԳՆԴԱԿԻ ԵՐԿՐԱԶԳԱՅԻՆ ՊԱՏԿԵՐ.

Եգորով Նեստեր Ալեքսանդրովիչ

IV կուրսի ուսանող, Հանրահաշիվ և երկրաչափություն IMI NEFU, Ռուսաստանի Դաշնություն, Յակուտսկ

Ե- փոստ: egrvnester@ փոստ. ru

Պոպով Օլեգ Նիկոլաևիչ

գիտական ​​ղեկավար, բ.գ.թ. տեխ. Գիտություններ, դոցենտ IMI NEFU, Ռուսաստանի Դաշնություն, Յակուտսկ

Այս փաստաթուղթը ներկայացնում է քառաչափ գնդակի պատկերը քառաչափ տարածության մեջ՝ օգտագործելով դրա եռաչափ հատվածները: Քառաչափ տարածության մեջ առարկաների ընկալման հետ կապված դժվարությունները բացատրելու համար օգտագործվում է մի մեթոդ, որը հիմնված է ավելի ցածր չափսերով տարածություններ դիտարկելու վրա: Համապատասխանություն այս մոտեցումըայն է, որ այն թույլ է տալիս հասկանալ քառաչափ տարածության երկրաչափական պատկերների կառուցվածքը, ինչպես նաև նպաստում է տարածական և աբստրակտ մտածողության զարգացմանը: Այս աշխատանքըհետաքրքրում է ավագ դպրոցի աշակերտներին, մաթեմատիկական և բնական գիտություններ, ինչպես նաև մաթեմատիկայի ուսուցիչներ։ Այն ներկայացվում է տեսողական ձևով, առանց բանաձևերի օգտագործման, հիմնվելով միայն դպրոցական դասընթացերկրաչափություն.

Գիտական ​​և հանրամատչելի գրականության մեջ, լրատվամիջոցներում զանգվածային լրատվամիջոցներ, հաճախ հիշատակվում են բազմաչափ տարածություններ ու առարկաներ։ Կան տարբեր տեսություններ մեր Տիեզերքի բազմաչափության մասին: Մարդկային բնույթն է երկրաչափական առարկաները տեսողական տեսքով ներկայացնելը: Հետևաբար, շատերը, լսելով «քառաչափ գնդակ» արտահայտությունը, անմիջապես փորձում են պատկերացնել այն իրենց երևակայության մեջ: Մենք լավ պատկերացնում ենք երկչափ գնդակը (սա հարթության վրա ընկած շրջան է), եռաչափ գնդակը մի առարկա է, որը հաճախ հանդիպում է մեր կյանքում: Բայց քառաչափ դեպքում մենք ոչ մի կերպ չենք կարող մեր երևակայության մեջ կառուցել քառաչափ գնդակի երկրաչափական պատկեր: Դա պայմանավորված է մեզ համար անհասանելի չորրորդ հարթության առաջացմամբ։

Քառաչափ գնդակի երկրաչափական պատկերի մասին ընթերցողի համար ինտուիտիվ հասկանալի պատկերացում կազմելը մեր աշխատանքի նպատակն է: Այն չի օգտագործում խիստ սահմանումներ կամ մաթեմատիկական բանաձևեր: Օգտագործված բոլոր հասկացությունները և տերմինները հասկացվում են միայն ինտուիտիվ կերպով: Ամբողջ նյութը ներկայացված է հանրաճանաչ ձևով:

Աշխատանքի արդիականությունը կայանում է նրանում, որ այն թույլ է տալիս հասկանալ քառաչափ տարածության երկրաչափական պատկերների կառուցվածքը, ինչպես նաև նպաստում է տարածական և աբստրակտ մտածողության զարգացմանը և հետաքրքրում է ավագ դպրոցի աշակերտներին, ֆակուլտետների ուսանողներին: մաթեմատիկայի և բնական գիտությունների, ինչպես նաև մաթեմատիկայի ուսուցիչների։

Նկար 1. ա) Քառաչափ տարածության ուղիղ գիծը հատում է եռաչափ գնդակը միայն մեկ ներքին կետում. բ) հարթության վրա ուղիղ գիծը հատում է երկչափ գնդակը հատվածի երկայնքով. գ) Տիեզերքում գտնվող ուղիղ գիծը հատում է երկչափ գնդակը միայն մեկ կետում

Քառաչափ տարածությունը որոշ չափով անսովոր տարածություն է։ Մենք գիտենք, որ եռաչափ տարածության մեջ ուղիղ գիծը հատում է սահմանափակ եռաչափ ուռուցիկ ծավալը (օրինակ՝ գնդակը) հատվածի երկայնքով։ Բացառություն է, երբ ուղիղ գիծը դիպչում է տվյալ օբյեկտին: Քառաչափ տարածության մեջ ամեն ինչ կարող է այլ կերպ լինել։ Ուղիղ գիծը կարող է «ծակել» եռաչափ գնդակը ուղիղ միջով՝ հարվածելով միայն մեկ ներքին կետին՝ չխանգարելով նրա շրջապատը (նկ. 1, ա)): Սա հնարավորություն է տալիս 4D մարդուն (եթե նա գոյություն ուներ) վերցնել մեր բոլոր իրերը պայուսակից՝ առանց այն բացելու կամ կտրելու, ինչը շատ անսովոր և անբացատրելի է թվում: Սա հասկանալու համար դիտարկենք երկչափ տարածություն (երկչափ տարածությունը եռաչափ տարածության մեջ ներկառուցված հարթություն է): Հարթության վրա ուղիղ գիծը հատում է հարթության մեջ գտնվող շրջանագիծը հատվածի երկայնքով, իսկ հարթ գիծը, որը գտնվում է հարթությունից դուրս, կհատի շրջանագիծը միայն մեկ կետում (նկ. 1, բ), գ)):

Պայուսակից բացակայող իրերի դրվագն ավելի հասկանալի դարձնելու համար գրատախտակին նկարենք երկչափ մարդու, նկարենք նրա երիկամները, երիկամի քարը: Այնուհետև մեր ձեռքերում մի կտոր ենք վերցնում և զգուշությամբ, առանց երկչափ մարդու երիկամներին դիպչելու, սրբում ենք քարը (նկ. 2): Այժմ մենք կարող ենք շնորհավորել ինքներս մեզ այն փաստի համար, որ մենք հենց նոր հաջողությամբ կատարեցինք երիկամի քարի հեռացման վիրահատությունը՝ առանց կտրվածքների, և որ մեր հիվանդը առողջ է։ Այն, ինչը դուրս է երկչափ վիրաբույժի վերահսկողությունից, պարզվում է, որ սովորական եռաչափ մարդու համար պարզ խնդիր է։

Նկար 2. Երկչափ երիկամից քարի հեռացում եռաչափ բժշկի կողմից՝ առանց պահուստների

Հաջորդը, մենք կօգտագործենք այս տեխնիկան, որը կապված է ավելի ցածր հարթության անցման հետ՝ բացատրելու քառաչափ տարածության մեջ գտնվող օբյեկտների ընկալման հետ կապված դժվարությունները: Երկչափ մարդու ընկալման դժվարությունները, երբ նա փորձում է հասկանալ եռաչափ աշխարհը, նման են մերին՝ քառաչափ տարածությունն ընկալելիս, քանի որ դրանք երկու դեպքում էլ կապված են նոր անհասանելի հարթության ի հայտ գալով։

Երկու եռաչափ տարածություն կարող է հատվել կամ զուգահեռ լինել քառաչափ տարածության մեջ: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ դրանք հատվում են։

Նկար 3. Երկու եռաչափ տարածություն հարթության երկայնքով հատվում են քառաչափ տարածության մեջ:

Եթե ​​երկու հարթություններ x և y հատվում են l ուղիղ գծով (նկ. 4), ապա P և Q եռաչափ տարածությունները հատվում են α հարթության երկայնքով (նկ. 3): Երկչափ մարդու համար ուղիղ l-ը (եթե այն անթափանց է) նրա աշխարհը երկու մասի բաժանող պատ կլինի: Իսկ y 1 և y 2 կիսահարթակները նրա համար գոյություն չունեն, քանի որ դրանք գտնվում են երրորդ հարթության մեջ՝ անհասանելի նրա համար։ Եռաչափ մարդու համար նման պատը, որը բաժանում է ամբողջ տարածությունը երկու մասի, կլինի α հարթությունը (նկ. 3):

Հաջորդը, հաշվի առեք երկու հատվող հարթություններ x և y, որոնցից մեկի երկայնքով գլորվում է երկչափ գնդակը (նկ. 4): Նկատի ունեցեք, որ երկչափ մարդը y հարթությունից տեսնում է միայն l ուղիղը, քանի որ այն գտնվում է իր x տարածության մեջ: y 1 և y 2 կիսահարթակները նրա համար անտեսանելի են, ուստի x հարթությունում գտնվող երկչափ անձը կտեսնի մի կետ (հարթ գնդակը դիպավ գծին), որն այնուհետև բաժանվում է (գնդակը հատեց գիծը): Այնուհետև, երբ գնդակը շարժվում է, կետերը կտարվեն այնքան ժամանակ, մինչև ինքնաթիռների հատման ուղիղ գիծը համընկնի գնդակի տրամագծին, ապա ամեն ինչ տեղի կունենա հակառակ հերթականությամբ:

Նկար 4. Երկչափ մարդը տեսնում է միայն շրջանագծի շփման կետը իր հարթության հետ

Հիմա դժվար չէ հասկանալ, թե ինչ ենք տեսնելու՝ գտնվելով P եռաչափ տարածության մեջ, այն դեպքում, երբ Q-ում գտնվող ֆուտբոլիստի ոտքով արձակված գնդակը հատի մեր տարածությունը։ Առաջինը α հարթության վրա: կհայտնվի մի կետ, որն անմիջապես կվերածվի աստիճանաբար աճող շրջանագծի, որը α հարթության և գնդակի հատումն է։ Հասնելով իր առավելագույնին, ֆուտբոլի գնդակի շառավղին հավասար շառավղով, այն աստիճանաբար կսկսի նվազել, մինչև այն նորից վերածվի կետի և անհետանա տեսադաշտից (նկ. 5): Թե ինչ կտեսնենք, երբ ֆուտբոլիստն ինքը վազի գնդակի հետևից, կթողնենք ընթերցողին պատկերացնել։ Զվարճանքի համար եկեք պատկերացնենք, թե ինչ կլինի, եթե ֆուտբոլիստը, ինչ-որ անհավանական ձևով, գտնվելով Q տարածության մեջ, պատահաբար վերածվի մեր P տարածության (տես նկ. 6):

Նկար 5. Դիտորդի տարածությունը դինամիկայով հատող գնդակի տեսք

Նկար 6. Ֆուտբոլիստի տեսքը տիեզերքում Պ տիեզերքից Ք

Երկչափ տարբերակում հեշտ է պատկերացնել երկու զուգահեռ հարթություններ։ Եռաչափ տարածությունը կարող է ներկայացվել որպես զուգահեռ «կցված» հարթությունների անսահման հավաքածու: Այս գաղափարը կարելի է ստանալ՝ նայելով քարտերի տախտակամածին, որտեղ յուրաքանչյուր քարտ կապված է ինքնաթիռի կամ գրքի հետ, որտեղ ինքնաթիռների դերը խաղում են այս գրքի թերթիկները։

Քառաչափ տարածությունը նաև ներկայացնում է «միասին խրված», բայց արդեն եռաչափ զուգահեռ տարածությունների հավաքածու: Փորձեք պատկերացնել ձեր երևակայության մեջ երկու զուգահեռ (միասին կպչուն), այսինքն՝ գտնվում են իրար շատ մոտ, եռաչափ տարածություններ։ Ձեզ չի հաջողվի։ Տարածությունները, որոնք մենք ուզում ենք պատկերացնել մեր երևակայության մեջ, կա՛մ սկսում են հատվել, կա՛մ չենք ուզում մոտենալ՝ հրելով միմյանցից: Եկեք պարզենք մեր ձախողման պատճառը: Դա անելու համար եկեք վերլուծենք, թե ինչպես է x հարթությունում ապրող երկչափ մարդը կփորձի պատկերացնել երկու զուգահեռ հարթություններ y և z՝ իրար շատ մոտ ընկած։ Քանի որ երկչափ մարդու համար չկա երրորդ չափս h (նկ. 7ա), նա ստիպված կլինի դրանք տեղադրել իր տարածության մեջ, թեև իրականում դրանք կտեղակայվեն ուղղահայաց (կամ ինչ-որ անկյան տակ)՝ հատելով x հարթությունը ( Նկար 7բ)): Հիմա միանգամից ակնհայտ է դառնում, թե որն է մեր ձախողման պատճառը։ Մենք փորձում ենք երկու եռաչափ տարածություն տեղադրել մեկ եռաչափ տարածության մեջ, որում մենք գտնվում ենք (նկ. 7c)), երբ դրանք պետք է տարածվեն չորրորդ հարթության երկայնքով՝ մեզ համար անհասանելի: Հասկանալի է, որ նրանք չեն կարողանալու իրար խրված երեւալ։

Նկատի ունեցեք, որ եռաչափ տարածությունը կարող է ներկայացվել որպես հարթության թողած հետք՝ տվյալ ուղղությամբ նրա շարժման արդյունքում (նկ. 8):

Նկար 7. ա) Երկչափ մարդը փորձում է պատկերացնել երկու զուգահեռ հարթություններ. բ) զուգահեռ հարթությունների իրական գտնվելու վայրը. գ) Մենք փորձում ենք երկու եռաչափ տարածություն դնել մեկ եռաչափ տարածության մեջ

Նկար 8. Ինքնաթիռի շարժման արդյունքում ստացված եռաչափ տարածություն

Այժմ, ինչպես նախկինում, դիտարկենք α հարթության երկայնքով հատվող P և Q տարածությունները (նկ. 9a)): Տարածություններից յուրաքանչյուրը կարելի է ստանալ՝ α հարթությունը տեղափոխելով x և t կոորդինատային առանցքների ուղղություններով։ Հաջորդը, եկեք գծենք β հարթությունը P տարածության մեջ α հարթությանը զուգահեռ շատ մոտ հեռավորության վրա: Ակնհայտորեն, β չի լինի Q տարածության մեջ։ Սկսենք այս հարթությունները շարժել t ուղղությամբ, որպեսզի ցանկացած պահի t շարժվող հարթությունները լինեն զուգահեռ և մոտ իրար։ Այնուհետև α և β հարթությունների շարժումով ստացված Q տարածությունը և Q β տարածությունը զուգահեռ են և կլինեն միմյանցից շատ մոտ հեռավորության վրա (հավասար հեռավորության վրա, որը հավասար է α և β հարթությունների միջև եղած հեռավորությանը. x չափի երկայնքով): Այնուհետև երկու եռաչափ մարմիններ, օրինակ՝ երկու գնդակներ, որոնք գտնվում են իրար մոտ բոլորովին տարբեր, բայց զուգահեռ Q և Q β տարածություններում, կարող են շատ մոտ լինել («կպած») (նկ. 9b)):

Նկար 9. ա) Հարթություն β փայլից Պ մոտ է α հարթությանը զուգահեռ և գտնվում է տարածության մեջ Ք ; բ) հարթությունների բազմություններ, որոնք ստացվում են α և β հարթությունների ուղղությամբ շարժման արդյունքում տ , իրար մոտ զուգահեռ տարածություններ են կազմում Ք Եվ Q β Այս բացատներում գտնվող պատկերված գնդակները բոլոր կետերում մոտ են միմյանց («կպչուն» գնդիկներ)

Բոլորը քառաչափ տարածությունկարելի է դիտարկել որպես զուգահեռ, շատ սերտորեն բաժանված («միասին խրված») եռաչափ տարածությունների մի շարք: Եթե ​​որպես չորրորդ հարթություն վերցնենք ժամանակը, ապա ժամանակի մեքենայում մարդու շարժումը կհամապատասխանի մի զուգահեռ տարածությունից մյուսն անցմանը։ Այս դեպքում, ի տարբերություն հատվող տարածությունների, երբ մենք տեսնում ենք միայն երկրորդ տարածության միջով շարժվող առարկայի խաչմերուկ, որն անցնում է մերը, մեր դիմաց հանկարծ կհայտնվի ժամանակի մեքենա, որի մեջ նստած է մարդ, որը կլուծվի։ անցյալը կամ ապագան՝ կախված նրա շարժման ուղղությունից։

Այսպիսով, մենք հասկացանք, որ եռաչափ տարածությունները հատվում են հարթության երկայնքով. քառաչափ տարածությունը կարող է ներկայացվել որպես «միասին խրված» զուգահեռ եռաչափ տարածությունների մի շարք. պատկերացում է կազմել զուգահեռ տարածություններում տեղակայված եռաչափ մարմինների «միասին կպչելու» մասին։

Ի՞նչ է քառաչափ գնդակը: Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք վերլուծենք, թե ինչպես է կառուցված մեր սովորական եռաչափ գնդակը երկչափ մարդու տեսանկյունից: Իհարկե, նա չի կարող տեսնել ամբողջ գնդակը իր տեսադաշտում, կա միայն երկչափ գունդ՝ մի շրջան, որը սահմանակից է երկչափ շրջանակին և հանդիսանում է երկչափ մարդու աշխարհի խաչմերուկը գնդակի հետ. (այն, ինչ գտնվում է շրջանագծի ներսում, նրա համար տեսանելի չէ. նկ. 10 ա)): Զուգահեռ տարածությունների մեջ շարժվելիս շրջանագիծը կնեղանա այնքան, մինչև կվերածվի կետի (նկ. 10 բ)):

Նկար 10. ա) Երկչափ մարդը կարող է տեսնել շրջանագծի միայն մի մասը, որը սահմանակից է հարթության և գնդակի հատման կետով. բ) Երբ մարդը շարժվում է զուգահեռ հարթություններում, շրջանագիծն աստիճանաբար կվերածվի կետի

Քառաչափ գնդակի դեպքում մարդու տեսադաշտը սահմանափակվում է այն տարածությամբ, որտեղ նա գտնվում է: Համեմատությամբ կարելի է ենթադրել, որ նա տեսնում է գնդակին սահմանակից մի գունդ, որը այս եռաչափ տարածության հատումն է քառաչափ գնդակի հետ։ Զուգահեռ տարածություններ շարժվելիս գունդը նույնպես կնվազի շառավիղով, մինչև այն վերածվի կետի (նկ. 11 ա)): Այժմ փորձենք ավելի մանրամասն հասկանալ, թե ինչպիսի գնդակներ ենք մենք տեսնում և ինչպես են դրանք կազմում քառաչափ գնդակ:

Դիտարկենք եռաչափ գնդակը 2 (նկ. 11 բ)) և դրա հատվածները զուգահեռ հարթություններով: Սրանց ամբողջությունը զուգահեռ հարթություններձևավորել y, z, t չափսերով եռաչափ տարածություն, որում գտնվում է ցանկալի գնդակը 2, իր x ուղղությամբ շարժվելով, ձևավորում է «կպչուն» եռաչափ տարածություններ։ Հենց այս տարածություններում են գտնվում եռաչափ գնդիկները (տե՛ս գնդիկ 1), որոնք մենք դիտում ենք զուգահեռ տարածություններ (նկ. 11ա) անցումների (վերևում նկարագրված) անցումների ժամանակ։ Այս գնդակների համակցությունից կստեղծվի քառաչափ գնդակ: Այսպիսով, քառաչափ գնդակը բոլոր կետերում իրար կպած, չափը փոքրացող գնդակների հավաքածու է, որը կազմում է քառաչափ գնդակի երկրաչափական պատկերը։ Այնուամենայնիվ, մենք չենք կարող տեսնել գնդակի ընդհանուր ամբողջական պատկերը, քանի որ մենք չենք կարող տեսնել մեր տարածությունից դուրս:

Նկար 11. ա) Տեսանելի է մարդու կողմից, զուգահեռ տարածություններ անցնելու ժամանակ գնդիկները փոքրանում են չափերով. բ) Քառաչափ գնդակը նվազող «միաձուլված» գնդակների հավաքածու է, որոնք քառաչափ գնդակի հատվածներ են տարածությանը զուգահեռ եռաչափ տարածություններով։ Պ

Եկեք նայենք քառաչափ գնդակին տարբեր կողմերից: Դիտորդը, որը տեղակայված է y, z, t չափսերով P եռաչափ տարածության մեջ և նայելով t ուղղությամբ, կտեսնի մի գնդակ (նկ. 12), որը բաղկացած է քառաչափ գնդակ կազմող գնդակների հատվածներից (նկ. 11-ում սա. գնդակ 2 է):

Դիտորդը, որը գտնվում է Q տարածության մեջ և նայում է x ուղղությամբ, կտեսնի նաև եռաչափ գնդակ (նկ. 12): Այսպիսով, P և Q տարածություններում տեղակայված դիտորդները տեսնում են նույն պատկերը՝ եռաչափ գնդակ: Այնուամենայնիվ, նրանց դիտարկած գնդակները տարբեր երկրաչափական առարկաներ են, որոնք տեղակայված են տարբեր տարածություններում և հատվում են երկչափ շրջանով:

Նկար 12. Դիտորդներ, որոնք տեղակայված են հատվող տարածություններում Պ Եվ Ք տեսեք եռաչափ գնդակ: Սակայն իրականում նրանք դիտում են ճանապարհի երկայնքով հատվող տարբեր գնդակներ

Ցավոք, ինչպես նշվեց վերևում, մեր տեսադաշտը սահմանափակված է եռաչափ տարածությամբ, ուստի մենք չենք կարող տեսնել քառաչափ պատկերները որպես ամբողջություն: Այնուամենայնիվ, բրիտանացի մաթեմատիկոս Չարլզ Հինթոնը (1853-1907) մշակել է մոդելների կառուցման հատուկ մեթոդ. երկրաչափական ձևերքառաչափ տարածության մեջ՝ իրենց եռաչափ հատվածներով։ Այս մեթոդը մանրամասն նկարագրված է նրա երկու մենագրություններում։ Հինթոնը պնդում էր, որ երկար տարիների աշխատանքի արդյունքում, որը հիմնված էր այս հատուկ մեթոդի վրա, նա սովորել է մտավոր կերպով ներկայացնել երկրաչափական պատկերները քառաչափ տարածության մեջ։ Նա նաև հավատում էր, որ այն մարդը, ով բավական լավ տիրապետում է այս մեթոդին, ձեռք կբերի քառաչափ տարածության ինտուիտիվ պատկերացում:

Հղումներ:

1.Հինթոն Չարլզ Հ. Մտքի նոր դարաշրջան, ծագում. 1888, վերահրատարակվել է 1900 թվականին, Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London - p. 240։

Տիեզերքի քառաչափ պտույտ.

Եթե ​​Տիեզերքը փակ է, ուրեմն այն պետք է պտտվի։ Նրա բոլոր կետերը պետք է շարժվեն նույն 4 արագությամբ և նույն անկյունային արագությամբ։

Չի կարելի սովորական գնդակն այդպես պտտել: Պտտման առանցքի մոտ գտնվող գնդակի կետերը շարժվում են ավելի քիչ գծային արագությունքան հասարակածային կետերը։

Բայց փակ Տիեզերքը, պարզվում է, իդեալական է ռոտացիայի առումով։ Պարզվում է, որ տարածականորեն միատարր է և իզոտրոպ։ Ինչպե՞ս կարող է սա լինել:

Այս նկարը իսկապես օգնում է մեզ հասկանալ եռաչափ ոչ էվկլիդեսյան հիպերսֆերայի քառաչափ պտույտը x 2 +y 2 +z 2 +q 2 =r 2ընկղմված էվկլիդեսյան քառաչափ տարածության մեջ: Բայց այս հավասարումը ներառում է տարածական կոորդինատը ք, որը մենք նույնացրել ենք նկարում գույնով:

Փոխարինենք այն ժամանակի t կոորդինատով, որը բազմապատկվում է լույսի արագությամբ՝ ստանալով մետր, և երևակայական i միավորով, քանի որ տարածություն-ժամանակը կեղծ-էվկլիդյան է։ Այսինքն, մենք ստանում ենք հավասարումը. x 2 +y 2 +z 2 +(ict) 2 =r 2, պսեւդոէվկլիդյան հիպերսֆերա։

Դուք կարող եք դիտել այս ռոտացիան (x,ict) հարթության մեջ՝ բացելով իմ ծրագիրը, բայց ներկայումս .exe ֆայլերը չեն վերբեռնվում կայք։ Շուտով կփորձեմ անիմացիոն gif նկարչություն անել։

Նկատի ունեցեք, որ էլեկտրոնը պտտվում է այնտեղ՝ անցնելով աջ և ձախ հիպերբոլայի միջով իր դասական ժամանակում: Այնտեղ տեսնում եք, թե ինչպես է էլեկտրոնի «ստվերը» շրջանագիծ գծում։

Այս շրջանագիծը կստանանք, եթե հիպերբոլայի յուրաքանչյուր տարր բաժանենք համապատասխան հարաբերական գործակցի վրա և ամփոփենք դրանք։ Արդյունքում մենք ստանում ենք 2p ri: (Սա ենթադրում է, որ փակ Տիեզերքում կեղծ շրջանը վերածվում է գրեթե փակ շրջանի ոչ միայն էլեկտրոնի, այլ Տիեզերքի բոլոր մասնիկների, ներառյալ գալակտիկաների համար:Այսպիսով, ուր է գնում ասիմետրիան: Դա անելու համար հիշեք, որ քառակուսի 4 արագությամբ v գ, icg)Վ հատուկ տեսությունհարաբերականությունը անփոփոխ է և հավասար է -

Մենք վերցնում ենք փակ պտտվող Տիեզերքի ցանկացած կետ: Ցանկացած կետ ունի երկու առանցք-հարթություն: Այն գտնվում է մի առանցքի վրա, իսկ մյուս առանցքը ուղղահայաց է։ Երկուսն էլ շրջանակներ են: Առանցքը, որի վրա գտնվում է տվյալ մասնիկը, պարունակում է ժամանակի կոորդինատ և ցանկացած այլ տարածական կոորդինատ: Թող լինի (z,ict): Այս առանցքը շարժվում է c արագությամբ։ Ուսումնասիրվող մեր մասնիկի համար այս արագությունը կլինի զուտ ժամանակավոր, քանի որ այն շարժվում է այս առանցքի հետ միասին և, հետևաբար, այս առանցքի նկատմամբ հանգստի վիճակում է: Առանցքի մյուս կետերը կստանան ավելի մեծ տարածական մաս, որքան հեռու լինեն ուսումնասիրվող կետից: Իսկ 4-արագության ժամանակային բաղադրիչի համաձայն՝ ժամանակի տեմպը նվազում է, որքան շատ, այնքան հեռու է ուսումնասիրվող կետից։ Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք. երկու հակառակ ուղղություններով գալակտիկաները, որոնցում հենվում է այս առանցք-հարթությունը, կունենան լայնակի կարմիր շեղում՝ z կոորդինատի երկայնքով տարածություն-ժամանակ պտույտի պատճառով:

Քանի որ մյուս առանցք-հարթությունը պտտվում է ուղղահայաց ուղղությամբ, այնտեղ նույնպես կնկատվի լայնակի կարմիր տեղաշարժ, բայց այնտեղ դա պայմանավորված է (x,y) հարթության լայնակի շարժմամբ։

Այս պտույտը շատ բան է բացատրում.
յուրաքանչյուր մասնիկի մեջ սպինի առկայությունը;
քվանտային ψ ֆունկցիայի առկայությունը;
աջ-ձախ ասիմետրիա գալակտիկաների ոլորուններում;
Ինչու է Տիեզերքի պայմանական տարիքը 13,34 միլիարդ տարի, միշտ:
գալակտիկաների ծայրամասային մասերի աննորմալ արագ պտույտ;
Տիեզերքի կրիտիկական խտությունը կարող է ավելի քիչ լինել...

Եթե ​​առանցքների երկայնքով պտտման արագությունները փոքր-ինչ տարբեր են, ապա մենք կարող ենք տեսնել բազմաբևեռ կառուցվածք ռելիկտային ֆոնի վրա և մի փոքր անիզոտրոպիա գալակտիկաների կարմիր տեղաշարժերում:

Աշխարհի գծեր.

Անիմացիոն gif-ում մենք տեսնում ենք գնդակների շարժումը։ Իրականում, երևակայական պատկերը պետք է որոշ չափով բարդանա՝ պատկերացնելով գալակտիկաների համաշխարհային գծերը: (z,ict) հարթությունում պտտվող գալակտիկաների համար մենք ժամանակը նույնացնում ենք գույնի հետ: Եթե ​​նկարի այս կողմի ժամանակը գնում է մեկ ուղղությամբ, ապա նկարի հակառակ կողմում ժամանակը հետ է գնում: Սա չպետք է զարմանալի լինի:ուշանում է կամ առաջ է մյուս մասնիկներից, ապա տարածություն-ժամանակ սինխրոնիզացիայի պահին ստանում է արագության տարրական փոփոխություն, կամ այլ կերպ ասած՝ տարրական շրջադարձ է կատարում տարածաժամանակում։

Նույն տարրական պտույտները կտեսնենք տարածություն-ժամանակում, եթե հետևենք մեր պտտվող նկարի գնդիկների շարժին՝ լրացված մեկ այլ նկարով։

Եկեք տարրական անցում կատարենք այս գործչի կենտրոնից ցանկացած ուղղությամբ։

Միևնույն ժամանակ մենք կհայտնվենք ավելի մոտ ինչ-որ պայմանական սահմանի: Բայց քանի որ Տիեզերքը իզոտրոպ է և միատարր, մենք պետք է փոխակերպումներ կատարենք այլ գալակտիկաների հետ՝ տեղափոխենք դրանք այնպես, որ ուսումնասիրվող մասնիկը նորից լինի կենտրոնում:

Մտավոր կերպով կատարելով այս պրոցեդուրան՝ մենք նկատում ենք, որ այն գալակտիկաները, որոնք ետևում էին հեռավոր սահմանում, փոխակերպումից հետո, կլինեն առջևի սահմանում:

Եթե ​​շարժումը տեղի է ունենում ժամանակի բաղադրիչի երկայնքով, ապա այն գալակտիկաները, որոնք անցյալում եղել են իրադարձությունների հորիզոնին մոտ, անհետանում են և հայտնվում են հեռավոր ապագայում «լույսի կոնի վերևում»:

Գալակտիկաները, որոնք գտնվում են լույսի կոնի մեջ՝ ուսումնասիրվող շարժվող գալակտիկայի և իրադարձությունների հորիզոնի միջև միջանկյալ դիրքում, մի շարք հաջորդական փոխակերպումների շնորհիվ, ստանում են անկման արագություն, որը նման է Տիեզերքի ընդլայնվող մոդելի «նկատվածին»:

Ի լրումն հեռավոր անցյալում իրադարձությունների հորիզոնից այն կողմ նյութի արտանետմանը և, համապատասխանաբար, գալակտիկաների հեռացման արագացման պատճառով մասնիկների կոնցենտրացիայի նվազման գործընթացին, կա մի գործընթաց, որը փոխհատուցում է լույսի ներքո գտնվող գալակտիկաների թիվը: կոն. Գալակտիկաների թիվը հարաբերական հասկացություն է։ Մեր Գալակտիկայի, LMC-ի և MMC-ի մոտ կան արբանյակներ: Միանգամայն հնարավոր է, որ այժմ այլ արբանյակներ են ծնվում՝ աստղերի որոշ կլաստերներ բաժանվում են Գալակտիկայից: Ժամանակի ընթացքում դրանք կլինեն անկախ գալակտիկաներմեծ թվով

աստղեր Հարցն այն է, թե որտեղից է առաջանում նյութը: Նախ՝ նյութը վերևից մտնում է լուսային կոն։ Երկրորդ, գամմա-ճառագայթները պայթում են: Այս գործընթացը նկարագրված է Hoyle Model and 4d Rotation էջում: Ստացվում է, որ Տիեզերքի քառաչափ պտույտը երկուսով փոխադարձ էուղղահայաց հարթություններ ոչ միայն համապատասխանում է դիտարկումներին, այլեւ վերակենդանացնում էՍտացիոնար մոդել

Տիեզերք, որը ստեղծվել է Ֆրեդ Հոյլի, Հերման Բոնդիի և Թոմաս Գոլդի կողմից:

Որոշ օգտակար հավելվածներ այլ աղբյուրներից:

Գնդակների դասավորության խնդիրները խիտ առաջանում են շատ իրավիճակներում, հատկապես կոդավորման տեսության մեջ (գնդիկները ձևավորվում են մուտքերի հավաքածուներից, որոնք սխալի շտկումը կփոխանցի մեկ ծածկագրի մեջ):
Այս ոլորտում ամենակարևոր հարցը Կեպլերի խնդիրն է , որ գրեյպֆրուտի սովորական փաթեթավորումն ամենախիտ փաթեթավորումն է, որում գնդերի կենտրոնները վանդակավոր են։)

Գունավոր անվանումով «Համբուրվելու համարի խնդիրը» վերաբերում է փաթեթների տեղական խտությանը. քանի՞ գնդակ կարող է դիպչել մեկ այլ գնդակի: Սա ինքնին կարող է դիտվել որպես Կեպլերի խնդրի տարբերակ գնդային, այլ ոչ թե էվկլիդեսյան երկրաչափության համար:

Մաթեմատիկայում գնդերի փաթեթավորման խնդիրները վերաբերում են չհամընկնող միանման գնդերի դասավորությանը, որոնք լրացնում են տարածությունը: Սովորաբար ներգրավված տարածությունը եռաչափ էվկլիդյան տարածություն է: Այնուամենայնիվ, գնդերի փաթեթավորման խնդիրները կարող են ընդհանրացվել դեպի երկչափ տարածություն (որտեղ «գնդերը» շրջաններ են), n-չափ տարածություն (որտեղ «գնդերը» հիպերգնդեր են) և ոչ էվկլիդյան տարածություններ, ինչպիսին է հիպերբոլիկ տարածությունը։
Կանոնավոր դասավորությունը (որը նաև կոչվում է պարբերական կամ վանդակավոր դասավորություն) այն դասավորությունն է, որտեղ գնդերի կենտրոնները կազմում են մի շատ սիմետրիկ նախշ, որը կոչվում է վանդակ։ Այն դասավորությունները, որոնցում գնդերը դասավորված չեն ցանցով, կոչվում են անկանոն կամ պարբերական դասավորություններ: Կանոնավոր դասավորություններն ավելի հեշտ են մշակել, քան անկանոնները. նրանց համաչափության բարձր աստիճանը հեշտացնում է դրանք դասակարգելը և դրանց խտությունը չափելը:

Չափերով համարժեք հիպերգնդերի քանակը nորը կարող է դիպչել համարժեք հիպերոլորտին՝ առանց որևէ խաչմերուկի, որը երբեմն կոչվում է նաև Նյուտոնի համար, կոնտակտային համար, կոորդինացիոն համար կամ լիգանիա:

Ցանցային փաթեթավորման ճշգրիտ արժեքները հայտնի են n=1-ից 9-ի և n=24-ի համար (Conway and Sloane 1993, Sloane and Nebe): Odlyzko-ն և Sloane-ը (1979) գտել են 24-D-ի ճշգրիտ արժեքը:

Ընդհանուր փաթեթավորման ճշգրիտ արժեքները հայտնի են n=1, 2, 3, 4, 8 և 24-ի համար: Մուսինը 2003 թվականին մշակել է սահմանային մեթոդ՝ ապացուցելու 24-չափանոց դեպքը, և նրա մեթոդը նաև ապացույցներ է տալիս երեք և չորսի համար: չափերը (Pfender and Ziegler 2004):

SO (4)

Մաթեմատիկայի մեջ SO(4)-ը քառաչափ ռոտացիոն խումբ է. այսինքն քառաչափ Էվկլիդեսյան տարածության ֆիքսված կետի շուրջ պտույտների խումբը։ Անունը գալիս է նրանից, որ այն (իսոմորֆ է) հատուկ 4 կարգի ուղղանկյուն խումբ.

Պարզ պտույտներ
O պտտման կենտրոնի շուրջ R պարզ պտույտը թողնում է A ամբողջ հարթությունը O-ի միջով (առանցք-հարթ) կետային անփոփոխ...

A առանցքի հարթությունում O-ից կիսագծերը տեղաշարժված չեն. O-ի ուղղանկյունից մինչև A կիսագծերը տեղափոխվում են α-ի միջով; մնացած բոլոր կիսագծերը տեղաշարժվում են անկյան միջով< α.

Կրկնակի պտույտներ
O պտտման կենտրոնի շուրջ R կրկնակի պտույտը թողնում է միայն O-ին անփոփոխ: Ցանկացած կրկնակի պտույտ ունի առնվազն մեկ զույգ ամբողջովին ուղղանկյուն հարթություններ A և B-ից մինչև O, որոնք անփոփոխ են որպես ամբողջություն, այսինքն. պտտվել են իրենց մեջ:

Ընդհանուր առմամբ պտտման α անկյունները A հարթությունում և β՝ B հարթությունում տարբեր են:
Այդ դեպքում A-ն և B-ն անփոփոխ հարթությունների միակ զույգն են, և O-ից A-ի կես ուղիղները տեղաշարժվում են α, β-ի միջով, իսկ O-ից կիսագծերը, որոնք չեն A-ում կամ B-ում, տեղաշարժվում են խստորեն α-ի միջև անկյուններով: β. Իզոկլինիկական պտույտներԵթե ​​կրկնակի պտույտի պտտման անկյունները հավասար են, ապա կաներկուսի փոխարեն անվերջ շատ անփոփոխ հարթություններ, և O-ից բոլոր կիսագծերը տեղաշարժվում են միջով նույնըանկյուն. Նման պտույտները կոչվում են իզոկլինիկ կամ հավասարանկյուն պտույտներ կամ Քլիֆորդի տեղաշարժեր։ Զգույշ եղեք. ոչ բոլոր հարթությունները, որոնք անցնում են O-ով, ինվարիանտ են իզոկլինիկական պտույտների ներքո. միայն հարթություններ, որոնք տարածված են կիսագծով

և

համապատասխան տեղաշարժված կիսագծերը անփոփոխ են:

Տարրեր և եղանակ

Գիտություն և տեխնոլոգիա

Անսովոր երեւույթներ

Բնության մոնիտորինգ

Հեղինակային բաժիններ

Պատմության բացահայտում

Ծայրահեղ աշխարհ

Տեղեկատվության հղում

Ֆայլերի արխիվ

Քննարկումներ

Ծառայություններ

Infofront

Տեղեկատվություն NF OKO-ից

RSS արտահանում

Օգտակար հղումներ Կարևոր թեմաներ 1904 թվականին Անրի Պուանկարեն առաջարկեց, որ ցանկացած եռաչափ օբյեկտ

Պուանկարեն ենթադրեց, որ 3-գունդը եզակի է, և ոչ մի այլ կոմպակտ 3-բազմապատկեր (Ոչ կոմպակտ բազմազանությունը անսահման է կամ ունի եզրեր: Ներքևում դիտարկվում են միայն կոմպակտ բազմազանությունները) չունի այն հատկությունները, որոնք դարձնում են այն այդքան պարզ: Ավելի բարդ 3-կոմպլեկտորները ունեն սահմաններ, որոնք կանգնած են աղյուսե պատի պես կամ բազմաթիվ կապեր որոշակի տարածքների միջև, ինչպես անտառային արահետը, որը ճյուղավորվում է և նորից միանում: Ցանկացած եռաչափ օբյեկտ, որն ունի 3 գնդերի հատկություններ, կարող է փոխակերպվել հենց դրա մեջ, ուստի տեղաբաններին թվում է, որ այն պարզապես դրա պատճենն է: Պերելմանի ապացույցը թույլ է տալիս նաև պատասխանել երրորդ հարցին և դասակարգել գոյություն ունեցող բոլոր 3-բազմապատկերները։
Երեք ոլորտ պատկերացնելու համար ձեզ բավականաչափ երևակայություն է պետք: Բարեբախտաբար, այն շատ ընդհանրություններ ունի 2-ոլորտի հետ, որի բնորոշ օրինակն է կլոր օդապարիկի ռետինը՝ այն երկչափ է, քանի որ դրա ցանկացած կետ սահմանվում է ընդամենը երկու կոորդինատներով՝ լայնություն և երկայնություն: Եթե ​​դուք ուսումնասիրեք դրա բավականին փոքր տարածքը հզոր խոշորացույցի տակ, ապա այն կթվա որպես հարթ թերթիկի կտոր: Փուչիկի վրա սողացող փոքրիկ միջատին այն հարթ մակերես կթվա: Բայց եթե բուգերը բավական երկար շարժվի ուղիղ գծով, այն ի վերջո կվերադառնա իր մեկնման կետին: Նույն կերպ, մենք մեր Տիեզերքի մեծությամբ 3 գունդը կընկալեինք որպես «սովորական» եռաչափ տարածություն: Բավականին հեռու թռչելով ցանկացած ուղղությամբ՝ մենք ի վերջո «կշրջեինք» այն և կվերադառնայինք մեր սկզբնակետին:
Ինչպես կռահեցիք, n-չափ գունդը կոչվում է n-գունդ: Օրինակ, 1-ոլորտը բոլորին ծանոթ է՝ այն ընդամենը շրջան է։

Մաթեմատիկոսները, ովքեր ապացուցում են թեորեմները ավելի մեծ տարածությունների մասին, ստիպված չեն պատկերացնել ուսումնասիրության առարկան. նրանք գործ ունեն վերացական հատկությունների հետ՝ առաջնորդվելով ինտուիցիաներով, որոնք հիմնված են ավելի քիչ չափումներ ունեցող անալոգիաների վրա (այդպիսի անալոգիաները պետք է զգուշությամբ վերաբերվեն և չընդունվեն բառացիորեն): Մենք կդիտարկենք նաև 3-ոլորտը՝ ելնելով ավելի քիչ չափսեր ունեցող օբյեկտների հատկություններից։
1. Սկսենք շրջանագծին և նրան շրջապատող շրջանակին նայելուց: Մաթեմատիկոսների համար շրջանագիծը երկչափ գնդակ է, իսկ շրջանագիծը՝ միաչափ գունդ։ Ավելին, ցանկացած հարթության գնդակը լցված առարկա է, որը հիշեցնում է ձմերուկը, իսկ գունդը նրա մակերեսն է, ավելի շուտ փուչիկի նման: Շրջանակը միաչափ է, քանի որ դրա վրա կետի դիրքը կարող է որոշվել մեկ թվով:

2. Երկու շրջանագծից կարող ենք կառուցել երկչափ գունդ՝ դրանցից մեկը վերածելով հյուսիսային կիսագնդի, իսկ մյուսը՝ Հարավային կիսագնդի։ Մնում է դրանք սոսնձել, իսկ 2-գունդը պատրաստ է։

3. Պատկերացրեք, որ մրջյունը սողում է Հյուսիսային բևեռից մի մեծ շրջանով, որը ձևավորվում է հիմնական և 180-րդ միջօրեականներով (ձախ կողմում): Եթե ​​նրա ուղին քարտեզագրենք երկու սկզբնական շրջանների վրա (աջ կողմում), ապա կտեսնենք, որ միջատը ուղիղ գծով (1) շարժվում է դեպի հյուսիսային շրջանագծի եզրը (ա), այնուհետև անցնում է սահմանը և հարվածում է համապատասխան կետին։ հարավային շրջանը և շարունակում է հետևել ուղիղ գծին (2 և 3): Այնուհետև մրջյունը կրկին հասնում է եզրին (բ), անցնում է այն և կրկին հայտնվում հյուսիսային շրջանի վրա՝ շտապելով դեպի մեկնարկային կետը՝ Հյուսիսային բևեռը (4): Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ընթացքում ճանապարհորդություն աշխարհով մեկ 2-ոլորտի երկայնքով, մի շրջանից մյուսը շարժվելիս շարժման ուղղությունը փոխվում է հակառակը:

4. Հիմա հաշվի առեք մեր 2-գունդը և դրա մեջ պարունակվող ծավալը (եռաչափ գնդակ) և նրանց հետ արեք նույնը, ինչ շրջանագծի և շրջանագծի դեպքում՝ վերցրեք գնդակի երկու օրինակ և կպցրեք դրանց սահմանները։ Անհնար է և անհրաժեշտ չէ հստակ ցույց տալ, թե ինչպես են գնդակները աղավաղվում չորս հարթություններում և վերածվում կիսագնդերի անալոգի: Բավական է իմանալ, որ մակերեսների վրա համապատասխան կետերը, այսինքն. 2-գնդերը միմյանց հետ կապված են այնպես, ինչպես շրջանագծերի դեպքում։ Երկու գնդակների միացման արդյունքը 3 գունդ է՝ քառաչափ գնդակի մակերես։ (Չորս հարթություններում, որտեղ գոյություն ունեն 3-գնդիկ և 4-գնդիկ, առարկայի մակերեսը եռաչափ է:) Եկեք մի գնդակն անվանենք հյուսիսային կիսագնդ, իսկ մյուսը` հարավային: Շրջանակների անալոգիայով բևեռներն այժմ գտնվում են գնդակների կենտրոններում:

5. Պատկերացրեք, որ խնդրո առարկա գնդակները տարածության մեծ դատարկ տարածքներ են: Ենթադրենք, տիեզերագնացը հրթիռով ճանապարհ է ընկնում Հյուսիսային բևեռից։ Ժամանակի ընթացքում այն ​​հասնում է հասարակածին (1), որն այժմ մի գունդ է, որը շրջապատում է հյուսիսային գնդակը։ Անցնելով այն՝ հրթիռը խփում է Հարավային կիսագնդումև ուղիղ գծով շարժվում է իր կենտրոնով - Հարավային բևեռ- դեպի հասարակածի հակառակ կողմը (2 և 3): Այնտեղ կրկին տեղի է ունենում անցում դեպի հյուսիսային կիսագունդ, և ճանապարհորդը վերադառնում է այնտեղ Հյուսիսային բևեռ, այսինքն. դեպի մեկնարկային կետ (4): Սա 4-չափ գնդակի մակերեսով աշխարհով մեկ ճանապարհորդելու սցենարն է: Համարվող եռաչափ ոլորտը այն տարածությունն է, որի մասին մենք խոսում ենք Poincare-ի ենթադրության մեջ. Միգուցե մեր Տիեզերքը հենց 3-գունդ է:

Պատճառաբանությունը կարելի է ընդլայնել հինգ հարթության վրա և կառուցել 4-ոլորտ, բայց դա չափազանց դժվար է պատկերացնել: Եթե ​​երկու n-գնդիկ կպցնեք դրանք շրջապատող (n-1)-գնդերի երկայնքով, ապա կստանաք (n+1)-գնդակը սահմանափակող n-գնդիկ:

Կես դար անցավ, մինչև Պուանկարեի ենթադրության հարցը հարթվեց։ 60-ական թթ XX դար Մաթեմատիկոսներն ապացուցել են նմանատիպ պնդումներ հինգ և ավելի չափերի ոլորտների համար: Յուրաքանչյուր դեպքում n-ոլորտը իսկապես միակ և ամենապարզ n-բազմապատկերն է: Տարօրինակ կերպով, պարզվեց, որ ավելի հեշտ է արդյունքներ ստանալ բազմաչափ ոլորտների համար, քան 3- և 4-գնդերի համար: Չորս չափումների ապացույցը հայտնվեց 1982 թվականին: Եվ միայն Պուանկարեի նախնական ենթադրությունը 3-ոլորտի մասին մնաց չհաստատված:
Վճռական քայլն արվեց 2002 թվականի նոյեմբերին, երբ Սանկտ Պետերբուրգի մասնաճյուղի մաթեմատիկոս Գրիգորի Պերելմանը. մաթեմատիկական ինստիտուտնրանց. Ստեկլովը հոդվածն ուղարկել է www.arxiv.org կայքէջին, որտեղ ֆիզիկոսներն ու մաթեմատիկոսները ամբողջ աշխարհից քննարկում են իրենց աշխատանքի արդյունքները։ գիտական ​​գործունեություն. Տոպոլոգները անմիջապես ըմբռնեցին ռուս գիտնականի աշխատանքի և Պուանկարեի ենթադրության միջև կապը, թեև հեղինակն ուղղակիորեն չի նշել դա:

Փաստորեն, Պերելմանի ապացույցը, որի ճշգրտությունը դեռ ոչ ոք չի կարողացել կասկածի տակ առնել, լուծում է հարցերի շատ ավելի լայն շրջանակ, քան հենց Պուանկարեի ենթադրությունը։ Քորնելի համալսարանից Ուիլյամ Փ. Թերսթոնի կողմից առաջարկված երկրաչափական ընթացակարգը թույլ է տալիս 3-բազմապատկերների ամբողջական դասակարգում, որը հիմնված է 3-ոլորտի վրա, որը եզակի է իր վեհ պարզությամբ: Եթե ​​Պուանկարեի ենթադրությունը կեղծ էր, այսինքն. Եթե ​​լինեին գնդիկի պես պարզ տարածություններ, ապա 3-բազմապատկերների դասակարգումը կվերածվեր անսահման ավելի բարդ բանի: Փերելմանի և Թերսթոնի շնորհիվ մենք ունենք եռաչափ տարածության բոլոր մաթեմատիկորեն հնարավոր ձևերի ամբողջական կատալոգ, որը կարող է վերցնել մեր Տիեզերքը (եթե դիտարկենք միայն տարածությունն առանց ժամանակի):

Պուանկարեի ենթադրությունը և Պերելմանի ապացույցը ավելի լավ հասկանալու համար պետք է ավելի մոտիկից նայել տոպոլոգիան: Մաթեմատիկայի այս ճյուղում առարկայի ձևը նշանակություն չունի, կարծես այն պատրաստված լինի խմորից, որը կարելի է ամեն կերպ ձգվել, սեղմել և թեքել։ Ինչո՞ւ պետք է մտածենք երևակայական խմորից պատրաստված իրերի կամ տարածությունների մասին: Փաստն այն է, որ օբյեկտի ճշգրիտ ձևը` նրա բոլոր կետերի միջև եղած հեռավորությունը, վերաբերում է կառուցվածքային մակարդակին, որը կոչվում է երկրաչափություն: Ուսումնասիրելով առարկան թեստից՝ տոպոլոգները նույնացնում են այն հիմնարար հատկություններ, անկախ երկրաչափական կառուցվածքից։ Տոպոլոգիան ուսումնասիրելը նման է ամենատարածված հատկանիշները գտնելուն, մարդկանց բնորոշ, «պլաստիլինե մարդ» համարելու մեթոդով, որը կարող է վերածվել ցանկացած կոնկրետ անհատի։
Ժողովրդական գրականության մեջ հաճախ կա մի ապշեցուցիչ հայտարարություն, որ տոպոլոգիական տեսանկյունից բաժակը ոչնչով չի տարբերվում բլիթից: Բանն այն է, որ մի բաժակ խմորը կարելի է վերածել բլիթ՝ պարզապես տրորելով նյութը, այսինքն. առանց որևէ բան կուրացնելու կամ անցքեր անելու: Մյուս կողմից, գնդակից բլիթ պատրաստելու համար անպայման պետք է դրա վրա անցք անել կամ գլան գլանել ու ծայրերը ձուլել, այնպես որ գունդն ամենևին էլ բլիթ չէ։
Տոպոլոգներին ամենաշատը հետաքրքրում է գնդաձևը և բլիթային մակերեսները։ Ուստի պինդ մարմինների փոխարեն պետք է պատկերացնել փուչիկներ։ Նրանց տոպոլոգիան դեռ տարբեր է, քանի որ գնդաձև փուչիկը չի կարող վերածվել օղակաձևի, որը կոչվում է տորուս: Նախ, գիտնականները որոշեցին պարզել, թե տարբեր տոպոլոգիաներով քանի առարկա կա և ինչպես կարելի է դրանք բնութագրել: 2 կոլեկտորների համար, որոնք մենք նախկինում անվանում էինք մակերեսներ, պատասխանը նրբագեղ և պարզ է՝ ամեն ինչ որոշվում է «անցքերի» կամ, նույնը, բռնակների քանակով։ 19-րդ դարի վերջի դրությամբ։ Մաթեմատիկոսները պարզեցին, թե ինչպես կարելի է դասակարգել մակերեսները և որոշեցին, որ դրանցից ամենապարզը գունդն է: Բնականաբար, տոպոլոգները սկսեցին մտածել 3-բազմազանության մասին. արդյո՞ք 3-ոլորտը եզակի է իր պարզությամբ: Պատասխան փնտրելու դարավոր պատմությունը լի է սխալ քայլերով և թերի ապացույցներով:
Անրի Պուանկարեն մոտիկից անդրադարձավ այս հարցին։ Նա 20-րդ դարասկզբի երկու ամենահզոր մաթեմատիկոսներից մեկն էր։ (մյուսը Դեյվիդ Գիլբերտն էր): Նրան անվանում էին վերջին բազմակողմանի – նա հաջողությամբ աշխատեց բոլոր հատվածներում՝ թե մաքուր, թե կիրառական մաթեմատիկա. Բացի այդ, Պուանկարեն հսկայական ներդրում է ունեցել երկնային մեխանիկայի, էլեկտրամագնիսականության տեսության, ինչպես նաև գիտության փիլիսոփայության զարգացման մեջ, որի մասին նա գրել է մի քանի հանրաճանաչ գրքեր։
Պուանկարեն դառնում է հանրահաշվական տոպոլոգիայի հիմնադիրը և, օգտագործելով դրա մեթոդները, 1900 թվականին ձևակերպում է օբյեկտի տոպոլոգիական բնութագիրը, որը կոչվում է հոմոտոպիա։ Բազմազանության հոմոտոպիան որոշելու համար հարկավոր է մտավոր փակ օղակ ընկղմել դրա մեջ: Այնուհետև դուք պետք է պարզեք, թե արդյոք միշտ հնարավոր է հանգույցը սեղմել մինչև մի կետ՝ այն տեղափոխելով բազմակի ներս: Տորուսի դեպքում պատասխանը բացասական կլինի. եթե օղակ դնեք տորուսի շրջագծի շուրջ, ապա չեք կարողանա այն մինչև մի կետ ձգել, քանի որ. բլիթի «անցքը» կխոչընդոտի: Հոմոտոպիան տարբեր ուղիների քանակն է, որոնք կարող են կանխել հանգույցի կծկումը:

n-ոլորտի վրա ցանկացած օղակ, նույնիսկ խճճված ոլորված օղակը, միշտ կարող է լուծարվել և իրար միացնել մինչև մի կետ: (Օղակը թույլատրվում է անցնել ինքն իր միջով:) Պուանկարեն ենթադրում էր, որ 3-ոլորտը միակ 3-բազմազանությունն է, որի վրա ցանկացած օղակ կարող է կծկվել մինչև մի կետ: Ցավոք, նա երբեք չկարողացավ ապացուցել իր ենթադրությունը, որը հետագայում հայտնի դարձավ որպես Պուանկարեի ենթադրություն։

Պերելմանի 3-բազմապատկերների վերլուծությունը սերտորեն կապված է երկրաչափականացման ընթացակարգի հետ։ Երկրաչափությունը վերաբերում է առարկաների և բազմազանության իրական ձևին, որոնք այլևս պատրաստված են ոչ թե խմորից, այլ կերամիկայից: Օրինակ՝ գավաթն ու բլիթը երկրաչափորեն տարբեր են, քանի որ դրանց մակերեսները տարբեր են թեքված։ Ասում են, որ բաժակը և բլիթը տոպոլոգիական տորուսի երկու օրինակ են, որոնց տրված են տարբեր երկրաչափական ձևեր։
Հասկանալու համար, թե ինչու է Պերելմանը օգտագործել երկրաչափությունը, դիտարկենք 2-բազմապատկերների դասակարգումը: Յուրաքանչյուր տոպոլոգիական մակերեսին հատկացվում է յուրահատուկ երկրաչափություն, որի կորությունը հավասարաչափ բաշխված է բազմազանության վրա: Օրինակ, գնդիկի համար սա կատարյալ գնդաձեւ մակերես է։ Տոպոլոգիական ոլորտի մեկ այլ հնարավոր երկրաչափություն ձուն է, բայց դրա կորությունն ամենուր հավասարաչափ բաշխված չէ. սուր ծայրը ավելի կոր է, քան բութ ծայրը:
2-կոմպլեկտորները կազմում են երեք երկրաչափական տիպ. Գունդը բնութագրվում է դրական կորությամբ։ Երկրաչափական տորսը հարթ է և ունի զրոյական կորություն: Երկու և ավելի «անցքերով» մնացած բոլոր 2 բազմաբնույթները ունեն բացասական կորություն։ Դրանք համապատասխանում են թամբի նման մակերևույթի, որը թեքվում է առջևից և հետևից դեպի վեր, իսկ ձախից և աջից դեպի ներքև։ Պուանկարեն մշակել է 2-բազմապատկերների այս երկրաչափական դասակարգումը (երկրաչափականացումը) Փոլ Կոեբիի և Ֆելիքս Քլայնի հետ միասին, որոնց անունով էլ կոչվում է Քլայնի շիշը։

Նմանատիպ մեթոդ կիրառելու բնական ցանկություն կա 3-մանիֆոլդների նկատմամբ։ Հնարավո՞ր է նրանցից յուրաքանչյուրի համար գտնել եզակի կոնֆիգուրացիա, որի դեպքում կորությունը հավասարաչափ բաշխված կլինի ամբողջ բազմազանության վրա:
Պարզվեց, որ 3-բազմապատկերները շատ ավելի բարդ են, քան իրենց երկչափ նմանակները, և նրանցից շատերին չի կարելի միատարր երկրաչափություն վերագրել: Նրանք պետք է բաժանվեն մասերի, որոնք համապատասխանում են ութ կանոնական երկրաչափություններից մեկին: Այս ընթացակարգը հիշեցնում է մի շարք պարզ գործոնների տարրալուծում:

Ինչպե՞ս կարելի է բազմազանությունը երկրաչափականացնել և ամենուր միատեսակ կորություն տալ: Դուք պետք է վերցնեք կամայական երկրաչափություն տարբեր ելուստներով և խորշերով, այնուհետև հարթեք բոլոր անկանոնությունները: 90-ականների սկզբին. XX դար Հեմիլթոնը սկսեց վերլուծել 3 բազմազանությունը՝ օգտագործելով Ռիչիի հոսքի հավասարումը, որն անվանվել է մաթեմատիկոս Գրեգորիո Ռիչի-Կուրբաստրոյի պատվին: Այն ինչ-որ չափով նման է ջերմային հաղորդման հավասարմանը, որը նկարագրում է ջերմային հոսքերը, որոնք հոսում են անհավասար տաքացած մարմնում, մինչև նրա ջերմաստիճանը ամենուր նույնը դառնա: Նույն կերպ, Ricci-ի հոսքի հավասարումը սահմանում է բազմազանության կորության փոփոխություն, որը հանգեցնում է բոլոր ելուստների և խորշերի հավասարեցմանը: Օրինակ, եթե սկսեք ձվից, այն աստիճանաբար գնդաձեւ կդառնա:

Պերելմանը նոր տերմին է ավելացրել Ռիչիի հոսքի հավասարմանը։ Այս փոփոխությունը չվերացրեց յուրահատկության խնդիրը, բայց թույլ տվեց շատ ավելի խորը վերլուծություն իրականացնել։ Ռուս գիտնականը ցույց է տվել, որ «վիրաբուժական» վիրահատություն կարելի է կատարել համրաձև կոլեկտորի վրա՝ առաջացող կծկման երկու կողմերում կտրել բարակ խողովակը և գնդաձև գլխարկներով փակել գնդերից դուրս եկող բաց խողովակները։ Այնուհետև պետք է շարունակել փոխել «շահագործվող» բազմազանությունը՝ համաձայն Ռիչիի հոսքի հավասարման, և կիրառել վերը նշված ընթացակարգը բոլոր առաջացող սեղմումների նկատմամբ: Պերելմանը նաև ցույց է տվել, որ սիգարի տեսքով դիմագծեր չեն կարող առաջանալ։ Այսպիսով, ցանկացած 3 բազմաբնույթ կարող է կրճատվել միատարր երկրաչափությամբ մասերի մի շարքի:
Երբ Ricci հոսքը և «վիրահատությունը» կիրառվում են բոլոր հնարավոր 3-բազմազանությունների վրա, նրանցից որևէ մեկը, եթե այն նույնքան պարզ է, որքան 3-ոլորտը (այլ կերպ ասած, բնութագրվում է նույն հոմոտոպիայով), անպայմանորեն վերածվում է նույն միատարր երկրաչափության: որպես և 3-ոլորտ. Սա նշանակում է, որ տոպոլոգիական տեսակետից քննարկվող բազմազանությունը 3-գունդ է։ Այսպիսով, 3-ոլորտը յուրահատուկ է.

Պերելմանի հոդվածների արժեքը ոչ միայն Պուանկարեի ենթադրության ապացույցն է, այլ նաև վերլուծության նոր մեթոդները։ Աշխարհի գիտնականներն արդեն օգտագործում են ռուս մաթեմատիկոսի ստացած արդյունքներն իրենց աշխատանքում և կիրառում են նրա մշակած մեթոդները այլ ոլորտներում։ Պարզվել է, որ Ricci հոսքը կապված է, այսպես կոչված, վերանորմալացման խմբի հետ, որը որոշում է, թե փոխազդեցությունների ուժգնությունը ինչպես է փոխվում՝ կախված մասնիկների բախման էներգիայից։ Օրինակ, ցածր էներգիաների դեպքում էլեկտրամագնիսական փոխազդեցության ուժը բնութագրվում է 0,0073 թվով (մոտավորապես 1/137): Այնուամենայնիվ, երբ երկու էլեկտրոնները դեմ առ դեմ բախվում են գրեթե արագությամբ հավասար արագությունլույս, այս ուժի արժեքը մոտենում է 0,0078-ին: Ֆիզիկական ուժերի փոփոխությունը նկարագրող մաթեմատիկան շատ նման է այն մաթեմատիկային, որը նկարագրում է բազմազանությունների երկրաչափականացումը։
Բախման էներգիայի ավելացումը համարժեք է ավելի փոքր հեռավորությունների վրա ուժի ուսումնասիրությանը: Հետևաբար, վերանորմալացման խումբը նման է փոփոխական խոշորացման գործակցով մանրադիտակի, որը թույլ է տալիս ուսումնասիրել գործընթացը մանրամասների տարբեր մակարդակներում: Նմանապես, Ricci հոսքը մանրադիտակ է բազմազանությունը դիտելու համար: Մի խոշորացումով տեսանելի ելուստներն ու իջվածքները անհետանում են մյուսի դեպքում: Հավանական է, որ Պլանկի երկարության սանդղակի վրա (մոտ 10 -35 մ) տարածությունը, որտեղ մենք ապրում ենք, նման է բարդ տոպոլոգիական կառուցվածքով փրփուրի: Բացի այդ, ընդհանուր հարաբերականության հավասարումները, որոնք նկարագրում են ձգողականության բնութագրերը և Տիեզերքի լայնածավալ կառուցվածքը, սերտորեն կապված են Ռիչիի հոսքի հավասարման հետ։ Պարադոքսալ կերպով, Հեմիլթոնի օգտագործած արտահայտությանը ավելացված Պերելման տերմինը հայտնվում է լարերի տեսության մեջ, որը պնդում է, որ քվանտային տեսությունձգողականություն. Հնարավոր է, որ հոդվածներում Ռուս մաթեմատիկոսգիտնականները շատ ավելին կգտնեն օգտակար տեղեկատվությունոչ միայն վերացական 3-բազմազանությունների, այլև այն տարածության մասին, որտեղ մենք ապրում ենք։

Դեռ, երբ առաջին կուրսի ուսանող էի, բուռն վիճաբանություն ունեցա դասընկերներիցս մեկի հետ։ Նա ասաց, որ քառաչափ խորանարդչի կարելի պատկերացնել որևէ ձևով, բայց վստահեցրի, որ կարելի է բավականին պարզ ներկայացնել։ Հետո ես նույնիսկ հիպերխորանարդի պրոյեկցիա արեցի մեր եռաչափ տարածության վրա թղթի սեղմակներից... Բայց եկեք ամեն ինչի մասին խոսենք կարգով:

Ինչ է հիպերխորանարդը և քառաչափ տարածությունը

Մեր սովորական տարածքն ունի եռաչափ. ՀԵՏ երկրաչափական կետՏեսողության առումով դա նշանակում է, որ դրանում կարելի է նշել երեք փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղ գծեր։ Այսինքն՝ ցանկացած տողի համար կարելի է գտնել առաջինին ուղղահայաց երկրորդ տողը, իսկ զույգի համար՝ առաջին երկուսին ուղղահայաց երրորդ տողը։ Այլևս հնարավոր չի լինի գտնել գոյություն ունեցող երեքին ուղղահայաց չորրորդ տող։

Քառաչափ տարածությունմեզնից տարբերվում է միայն նրանով, որ ունի ևս մեկը լրացուցիչ ուղղություն. Եթե ​​դուք արդեն ունեք երեք փոխադարձ ուղղահայաց գծեր, ապա կարող եք գտնել չորրորդը, այնպես, որ այն ուղղահայաց լինի բոլոր երեքին:

Hypercubeդա ընդամենը մի խորանարդ է քառաչափ տարածության մեջ:

Հնարավո՞ր է պատկերացնել քառաչափ տարածություն և հիպերխորանարդ:

Այս հարցը նման է այն հարցին. «Հնարավո՞ր է պատկերացնել Վերջին ընթրիքը՝ նայելով Լեոնարդո դա Վինչիի (1452-1519) համանուն նկարին (1495-1498):

Մի կողմից, դուք, իհարկե, չեք պատկերացնի, թե ինչ է տեսել Հիսուսը (նա նստած է դեպի դիտողը), մանավանդ որ պատուհանից դուրս այգու հոտը չեք առնի և սեղանի վրայի կերակուրը չեք համտեսի, թռչուններին չեք լսի։ երգելով... Դուք չեք ստանա ամբողջական պատկերացում այն ​​մասին, թե ինչ է տեղի ունեցել այդ ժամի երեկոյան, բայց չի կարելի ասել, որ նոր բան չեք սովորի, և որ նկարը չի հետաքրքրում։

Իրավիճակը նման է հիպերխորանարդի հարցում: Անհնար է դա ամբողջությամբ պատկերացնել, բայց կարող ես ավելի մոտենալ հասկանալուն, թե ինչպիսին է այն։

Հիպերկուբի կառուցում

0-չափ խորանարդ

Սկսենք սկզբից՝ 0-ից չափված խորանարդ. Այս խորանարդը պարունակում է 0 միմյանց ուղղահայաց դեմքեր, այսինքն՝ այն ընդամենը կետ է։

1-չափ խորանարդ

Միաչափ տարածության մեջ մենք միայն մեկ ուղղություն ունենք. Կետը տեղափոխում ենք այս ուղղությամբ և ստանում հատված։

Սա միաչափ խորանարդ է:

2 ծավալային խորանարդ

Ունենք երկրորդ հարթություն, մեր միաչափ խորանարդը (հատվածը) տեղափոխում ենք երկրորդ չափման ուղղությամբ և ստանում ենք քառակուսի։

Այն խորանարդ է երկչափ տարածության մեջ։

3 ծավալային խորանարդ

Երրորդ հարթության գալուստով մենք նույնն ենք անում՝ տեղափոխում ենք քառակուսին և ստանում սովորական եռաչափ խորանարդ։

4-չափ խորանարդ (հիպերխորանարդ)

Այժմ մենք ունենք չորրորդ հարթություն: Այսինքն՝ մեր տրամադրության տակ կա բոլոր երեք նախորդներին ուղղահայաց ուղղություն։ Եկեք օգտագործենք այն ճիշտ նույն կերպ: Քառաչափ խորանարդը կունենա այսպիսի տեսք.

Բնականաբար, եռաչափ և քառաչափ խորանարդները չեն կարող պատկերվել երկչափ էկրանի հարթության վրա: Այն, ինչ ես նկարեցի, կանխատեսումներ են: Կանխատեսումների մասին կխոսենք մի փոքր ուշ, բայց առայժմ մի քանի պարզ փաստեր և թվեր:

Գագաթների, եզրերի, դեմքերի քանակը

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ հիպերխորանարդի երեսը մեր սովորական եռաչափ խորանարդն է: Եթե ​​ուշադիր նայեք հիպերխորանարդի գծագրին, ապա իրականում կարող եք գտնել ութ խորանարդ:

Քառաչափ տարածության բնակչի կանխատեսումներ և տեսլական

Մի քանի խոսք տեսողության մասին

Մենք ապրում ենք եռաչափ աշխարհում, բայց այն տեսնում ենք որպես երկչափ: Դա պայմանավորված է նրանով, որ մեր աչքերի ցանցաթաղանթը գտնվում է մի հարթության մեջ, որն ունի ընդամենը երկու չափս: Ահա թե ինչու մենք կարողանում ենք ընկալել երկչափ նկարները և գտնել դրանք իրականությանը նման։

(Իհարկե, հարմարեցման շնորհիվ աչքը կարող է գնահատել օբյեկտի հեռավորությունը, բայց սա մեր աչքերի մեջ ներկառուցված օպտիկայի հետ կապված կողմնակի ազդեցություն է):

Քառաչափ տարածության բնակչի աչքերը պետք է ունենան եռաչափ ցանցաթաղանթ։ Նման արարածը կարող է անմիջապես տեսնել ամբողջ եռաչափ կերպարը՝ նրա բոլոր դեմքերը և ինտերիերը: (Նույն ձևով մենք կարող ենք տեսնել երկչափ գործիչ, նրա բոլոր դեմքերը և ինտերիերը):

Այսպիսով, մեր տեսողության օրգանների օգնությամբ մենք չենք կարողանում ընկալել քառաչափ խորանարդը, ինչպես այն կընկալեր քառաչափ տարածության բնակիչը: Ավաղ. Մնում է միայն ապավինել ձեր մտքի աչքին և երևակայությանը, որոնք, բարեբախտաբար, ֆիզիկական սահմանափակումներ չունեն:

Սակայն, երբ պատկերում եմ հիպերխորանարդը հարթության վրա, ես պարզապես ստիպված եմ դրա պրոյեկցիան կատարել երկչափ տարածության վրա: Նկարներն ուսումնասիրելիս հաշվի առեք այս հանգամանքը։

Եզրային խաչմերուկներ

Բնականաբար, հիպերկուբի եզրերը չեն հատվում։ Խաչմերուկները հայտնվում են միայն գծագրերում: Սակայն դա չպետք է զարմանա, քանի որ նկարներում պատկերված սովորական խորանարդի եզրերը նույնպես հատվում են։

Եզրերի երկարությունները

Հարկ է նշել, որ քառաչափ խորանարդի բոլոր երեսներն ու եզրերը հավասար են: Նկարում դրանք հավասար չեն միայն այն պատճառով, որ դրանք գտնվում են տեսողության ուղղության տարբեր անկյուններում: Այնուամենայնիվ, հնարավոր է պտտել հիպերխորանարդը, որպեսզի բոլոր կանխատեսումները ունենան նույն երկարությունը:

Ի դեպ, այս նկարում հստակ երևում են ութ խորանարդներ, որոնք հիպերխորանարդի դեմքեր են։

Հիպերկուբը ներսից դատարկ է

Դժվար է հավատալ, բայց հիպերխորանարդը կապող խորանարդների միջև կա որոշակի տարածություն (քառաչափ տարածության մի հատված):

Սա ավելի լավ հասկանալու համար եկեք դիտարկենք սովորական եռաչափ խորանարդի երկչափ պրոյեկցիան (ես միտումնավոր այն որոշ չափով սխեմատիկ դարձրեցի):

Կարո՞ղ եք դրանից կռահել, որ խորանարդի ներսում ինչ-որ տեղ կա: Այո, բայց միայն օգտագործելով ձեր երևակայությունը: Աչքը չի տեսնում այս տարածությունը:

Դա տեղի է ունենում, քանի որ երրորդ հարթությունում գտնվող եզրերը (որոնք չեն կարող պատկերվել հարթ գծագրում) այժմ վերածվել են գծագրի հարթությունում ընկած հատվածների: Դրանք այլեւս ծավալ չեն տալիս։

Խորանարդի տարածությունը ընդգրկող քառակուսիները համընկնում էին միմյանց: Բայց կարելի է պատկերացնել, որ սկզբնական պատկերում (եռաչափ խորանարդ) այս քառակուսիները գտնվում էին տարբեր հարթություններում, և ոչ թե մեկը մյուսի վրա՝ նույն հարթության վրա, ինչպես եղավ նկարում։

Իրավիճակը ճիշտ նույնն է հիպերկուբի դեպքում: Հիպերխորանարդի խորանարդիկ-դեմքերը իրականում չեն համընկնում, ինչպես մեզ թվում է պրոյեկցիայի վրա, այլ գտնվում են քառաչափ տարածության մեջ:

ավլում

Այսպիսով, քառաչափ տարածության բնակիչը կարող է միաժամանակ բոլոր կողմերից տեսնել եռաչափ առարկա: Կարո՞ղ ենք միաժամանակ բոլոր կողմերից եռաչափ խորանարդ տեսնել: Աչքով - ոչ: Սակայն մարդիկ գտել են մի միջոց՝ հարթ գծագրի վրա միաժամանակ պատկերելու եռաչափ խորանարդի բոլոր դեմքերը: Նման պատկերը կոչվում է սկան:

Եռաչափ խորանարդի մշակում

Հավանաբար բոլորը գիտեն, թե ինչպես է ձևավորվում եռաչափ խորանարդի զարգացումը։ Այս գործընթացը ցուցադրվում է անիմացիայի մեջ:

Պարզության համար, խորանարդի երեսների եզրերը կատարվում են կիսաթափանցիկ:

Հարկ է նշել, որ այս երկչափ պատկերը մենք կարողանում ենք ընկալել միայն մեր երեւակայության շնորհիվ։ Եթե ​​ծավալվող փուլերը դիտարկենք զուտ երկչափ տեսանկյունից, ապա գործընթացը կթվա տարօրինակ և ամենևին էլ պարզ:

Կարծես սկզբում աղավաղված քառակուսիների ուրվագծերի աստիճանական տեսքն է, իսկ հետո դրանք սողում են տեղում՝ միաժամանակ ստանալով անհրաժեշտ ձևը:

Եթե ​​նայեք բացվող խորանարդին նրա երեսներից մեկի ուղղությամբ (այս տեսանկյունից խորանարդը քառակուսու տեսք ունի), ապա բացվող խորանարդի առաջացման գործընթացը նույնիսկ ավելի քիչ պարզ է: Ամեն ինչ կարծես սկզբնական հրապարակից դուրս սողացող քառակուսի լինի (ոչ թե բացված խորանարդը):

Բայց ոչ տեսողականսկանավորել միայն աչք.

Ինչպե՞ս հասկանալ 4-չափ տարածությունը:

Ձեր երևակայության շնորհիվ է, որ դուք կարող եք շատ տեղեկություններ քաղել դրանից:

Քառաչափ խորանարդի մշակում

Պարզապես անհնար է հիպերխորանարդի բացման անիմացիոն գործընթացը գոնե որոշ չափով տեսողական դարձնել: Բայց այս գործընթացը կարելի է պատկերացնել։ (Դա անելու համար հարկավոր է դրան նայել քառաչափ էակի աչքերով):

Սկանավորումն այսպիսի տեսք ունի.

Այստեղ տեսանելի են բոլոր ութ խորանարդները, որոնք սահմանակից են հիպերկուբին:

Այն եզրերը, որոնք պետք է հարթվեն, երբ ծալվում են, ներկված են նույն գույներով: Դեմքերը, որոնց համար զույգերը տեսանելի չեն, մնացել են մոխրագույն: Ծալելուց հետո վերին խորանարդի ամենավերին երեսը պետք է համապատասխանի ներքևի խորանարդի ստորին եզրին: (Եռաչափ խորանարդի բացվելը նույն կերպ փլուզվում է):

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ոլորումից հետո ութ խորանարդների բոլոր երեսները կկապվեն՝ փակելով հիպերկուբը: Եվ վերջապես, երբ պատկերացնում եք ծալման գործընթացը, մի մոռացեք, որ ծալելիս տեղի է ունենում ոչ թե խորանարդների համընկնումը, այլ դրանց փաթաթումը որոշակի (հիպերկուբիկ) քառաչափ տարածքի շուրջ։

Սալվադոր Դալին (1904-1989) բազմիցս պատկերել է խաչելությունը, և նրա շատ նկարներում խաչեր են երևում։ «Խաչելություն» (1954) նկարում օգտագործվում է հիպերխորանարդային սկանավորում:

Տարածություն-ժամանակ և Էվկլիդեսյան քառաչափ տարածություն

Հուսով եմ, որ դուք կարողացաք պատկերացնել հիպերխորանարդը: Բայց ձեզ հաջողվե՞լ է մոտենալ հասկանալու, թե ինչպես է աշխատում քառաչափ տարածություն-ժամանակը, որում մենք ապրում ենք: Ավաղ, ոչ այնքան:

Այստեղ խոսեցինք Էվկլիդեսյան քառաչափ տարածության մասին, սակայն տարածություն-ժամանակը բոլորովին այլ հատկություններ ունի։ Մասնավորապես, ցանկացած պտույտի ժամանակ հատվածները միշտ մնում են թեքված դեպի ժամանակի առանցքը՝ կա՛մ 45 աստիճանից պակաս անկյան տակ, կա՛մ 45 աստիճանից մեծ անկյան տակ։

Ես մի շարք նշումներ նվիրեցի տարածություն-ժամանակի հատկություններին:

Պատկերի եռաչափություն

Աշխարհը եռաչափ է. Նրա պատկերը երկչափ է։ Կարևոր խնդիրգեղանկարչությունը և այժմ լուսանկարչությունը տարածության եռաչափությունը փոխանցելու համար է: Հռոմեացիներն արդեն տիրապետում էին որոշ տեխնիկայի, հետո մոռացության մատնվեցին և Վերածննդի հետ սկսեցին վերադառնալ դասական նկարչությանը:

Նկարչության մեջ եռաչափ տարածություն ստեղծելու հիմնական տեխնիկան հեռանկարային է: Երկաթուղային ռելսերը, հեռանալով դիտողից, տեսողականորեն նեղանում են։ Նկարչության մեջ ռելսերը կարող են ֆիզիկապես նեղանալ: Լուսանկարչության մեջ հեռանկարը տեղի է ունենում ավտոմատ կերպով. տեսախցիկը կնկարի ռելսերը այնքան նեղ, որքան աչքը տեսնում է դրանք: Այնուամենայնիվ, թույլ մի տվեք, որ այն գրեթե փակվի. այն այլևս հեռանկարային տեսք չի ունենա, այլ տարօրինակ կերպարանք; Ռելսերի, փողոցի կողմերի և գետի ափերի միջև պետք է լինի նկատելի բաց:

Կարևոր է հասկանալ, որ գծային հեռանկարը աշխարհը փոխանցելու ամենապրիմիտիվ, իրատեսական միջոցն է:

Փոստի նավարկություն

Պատահական չէ, որ դրա տեսքը կապված է թատերական դեկորացիայի հետ (Ֆլորենսկի, «Հակադարձ հեռանկար»): Փոքր խորությամբ թատերական տեսարան փոխանցելու պայմանականությունն ու պարզությունը շատ հարմար է լուսանկարչության համար, որը բացակայում է գեղանկարչության մեջ առկա տեխնիկայի բազմազանությունից:

Կան հեռանկարներ, որոնք շատ ավելի հետաքրքիր են, քան գծայինը։ Չինացի վարպետների ստեղծագործություններում կա լողացող հեռանկար, երբ առարկաները պատկերվում են միաժամանակ ներքևից, վերևից և առջևից։ Դա ոչ կոմպետենտ արվեստագետների տեխնիկական սխալն էր. այս տեխնիկայի լեգենդար հեղինակ Գուո Սին գրել է, որ նման ցուցադրությունը թույլ է տալիս գիտակցել աշխարհն իր ամբողջության մեջ: Նմանատիպ է ռուսական պատկերապատման տեխնիկան, որում դիտողը կարող է միաժամանակ տեսնել կերպարի դեմքն ու մեջքը: Սրբապատկերների նկարչության հետաքրքիր տեխնիկան, որը հայտնաբերվել է նաև արևմտաեվրոպական նկարիչների մոտ, հակադարձ հեռանկարն էր, որում հեռավոր առարկաները, ընդհակառակը, ավելի մեծ են, քան մոտերը՝ ընդգծելով կարևորությունը: Միայն մեր օրերում է հաստատվել, որ նման հեռանկարը ճիշտ է. ի տարբերություն հեռավոր օբյեկտների, մոտիկն իրականում ընկալվում է հակառակ տեսանկյունից (Ռաուշենբախ): Օգտագործելով Photoshop-ը, դուք կարող եք հասնել հակառակ տեսանկյունից՝ ընդլայնելով ֆոնային օբյեկտները: Լուսանկարչության օրենքներին սովոր հեռուստադիտողի համար նման պատկերը տարօրինակ կթվա։

Շենքի անկյունը շրջանակի մեջ մտցնելը, որից պատերը շեղվում են երկու ուղղություններով, ստեղծում է իզոմետրիկ հեռանկարի տեսք: Ուղեղը հասկանում է, որ պատերը գտնվում են ուղիղ անկյան տակ և համապատասխանաբար դասավորում է պատկերի մնացած մասը։ Այս տեսանկյունն ավելի դինամիկ է, քան ճակատայինը և ավելի բնական՝ խոշոր պլանի համար: Պարզապես շրջանակի մեջ մտցրեք առարկաների և մոտակա շենքերի ծայրային անկյունները:

Ընդլայնման շնորհիվ իզոմետրիկ հեռանկարը մեծ է, ինչը հազվադեպ է հարմար դասական դիմանկարի համար: Գծային հեռանկարը, նեղացման շնորհիվ, ավելի լավ է փոխանցում աննշան զգացմունքները:

Նկարահանման փուլում լուսանկարիչը մի շարք գործիքներ ունի՝ հեռանկարն ընդգծելու համար։ Հեռավորության վրա տարածվող հավասար լայնությամբ առարկաները (հետքեր, փողոցներ, սյուներ, ակոսներ) նեղանալով և նույնիսկ պարզապես հեռանալով, դիտողին ցույց են տալիս տարածության եռաչափությունը: Էֆեկտն ավելի ուժեղ է, եթե նկարում եք ցածր անկյան տակ՝ հեռանկարային աղավաղումը մեծացնելու համար: Սա բավական է լանդշաֆտային լուսանկարչության համար, սակայն ինտերիերի լուսանկարչության համար մակերեսային պատկերի խորության դեպքում էֆեկտը հազիվ նկատելի է: Այն կարող է մի փոքր ընդլայնվել հետմշակման ժամանակ՝ նեղացնելով պատկերի վերին մասը (Transform Perspective): Այնուամենայնիվ, լանդշաֆտում չափազանցված հեռանկարը կարող է հետաքրքիր թվալ:

Խորությունը կարող է ակնհայտ լինել պատկերի իմաստով՝ շենքերը բաժանված են փողոցով կամ գետով։ Անկյունագիծն ընդգծում է եռաչափությունը. օրինակ՝ կամուրջ գետի վրա։

Հետին պլանում դիտողին հայտնի չափսի առարկաները սահմանում են սանդղակը և, համապատասխանաբար, ձևավորում հեռանկարը: Լանդշաֆտային լուսանկարչության մեջ այս առարկան կարող է լինել մեքենա, սակայն դիմանկարային լուսանկարչության մեջ փորձեք թեքել ձեր ոտքը (տեսախցիկից հեռու) աթոռի տակ, որպեսզի այն ավելի փոքր երևա՝ միաժամանակ տեսանելի մնալով: Դուք նույնիսկ կարող եք այս ոտքը մի փոքր փոքրացնել հետմշակման ժամանակ:

Զարդանախշը փոխանցում է հեռանկարը՝ տեսողականորեն նվազեցնելով տարրերը: Օրինակ կարող են լինել հատակին մեծ սալիկները, որոնք նշում են ճանապարհի գծերը:

Կա մի տեխնիկա, որը կոչվում է հիպերտրոֆացված առաջին պլան: Անհամաչափ մեծ է, այն ստեղծում է պատկերի խորություն: Համեմատելով առաջին պլանի և մոդելի մասշտաբները՝ աչքը գալիս է այն եզրակացության, որ մոդելը շատ ավելի հեռու է, քան թվում է։ Չափազանցությունը պետք է մնա նուրբ, որպեսզի պատկերը չընկալվի որպես սխալ։ Այս տեխնիկան աշխատում է ոչ միայն հետմշակման, այլև նկարահանման համար՝ խեղաթյուրեք համամասնությունները՝ նկարելով 35 կամ 50 մմ ոսպնյակով: Լայնանկյուն ոսպնյակով նկարելը ձգում է տարածությունը՝ մեծացնելով դրա եռաչափությունը՝ խախտելով համամասնությունները: Էֆեկտն ավելի ուժեղ է, եթե նկարահանում եք մոդելը մոտ տարածությունից, բայց զգուշացեք գրոտեսկային համամասնություններից. միայն կրոնական պատկերների հեղինակները կարող են պատկերել շենքից մեծ մարդու:

Խաչմերուկը հիանալի է աշխատում։ Եթե ​​խնձորը մասամբ ծածկում է տանձը, ապա ուղեղը չի սխալվի՝ խնձորը տանձի դիմաց է։ Մոդելը մասամբ ծածկում է կահույքը՝ դրանով իսկ խորություն ստեղծելով ինտերիերում։

Պատկերին խորություն է հաղորդում նաեւ բաց ու մուգ բծերի հերթափոխը։ Ուղեղը փորձից գիտի, որ մոտակա առարկաները լուսավորվում են մոտավորապես հավասարապես, ուստի տարբեր լուսավորված առարկաները մեկնաբանում է որպես տարբեր հեռավորությունների վրա գտնվող առարկաներ: Այս էֆեկտի համար բծերը հերթափոխվում են հեռանկարային առանցքի ուղղությամբ՝ պատկերի խորքում, և ոչ թե դրա վրայով: Օրինակ՝ ֆոտոխցիկից հեռու պառկած մոդելին մուգ շրջանակում նկարահանելիս, ընդգծեք հետույքի մոտ և ոտքերի մոտ: Դուք կարող եք լուսավորել/մթնել տարածքները հետմշակման ընթացքում:

Գնալով ավելի մութ օբյեկտների հաջորդականությունը նվազում է: Աստիճանաբար ստվերելով օբյեկտները ակտիվ գծի երկայնքով, դուք կարող եք ձեռք բերել հեռանկարի նուրբ զգացողություն: Նմանապես, խորությունը փոխանցվում է լույսի թուլացման միջոցով. լույսի շերտ գցեք կահույքի վրա կամ հատակին:

Եռաչափ պատկեր կարելի է ստանալ ոչ միայն լույսի, այլեւ գունային հակադրության շնորհիվ։ Այս տեխնիկան հայտնի էր ֆլամանդացի նկարիչներին, ովքեր վառ գունավոր բծեր էին դնում իրենց նատյուրմորտների վրա։ Կարմիր նուռն ու դեղին կիտրոնը իրար կողքի եռաչափ տեսք կունենան նույնիսկ հարթ ճակատային լուսավորության դեպքում։ Նրանք հատկապես լավ կառանձնանան մանուշակագույն խաղողի ֆոնի վրա՝ տաք գույն սառը ֆոնի վրա։ Վառ գույնի մակերեսները լավ են դուրս գալիս մթությունից նույնիսկ թույլ լույսով, որը բնորոշ է նատյուրմորտին: Գույնի հակադրությունն ավելի լավ է աշխատում հիմնական գույների հետ՝ կարմիր, դեղին, կապույտ, այլ ոչ թե երանգներ:

Սև ֆոնի վրա, դեղինքայլ առաջ, կապույտը թաքնվում է հետ: Սպիտակ ֆոնի վրա հակառակն է: Գույնի հագեցվածությունը ուժեղացնում է այս ազդեցությունը: Ինչու է դա տեղի ունենում: Դեղին գույնը երբեք մուգ չէ, ուստի ուղեղը հրաժարվում է հավատալ, որ դեղին առարկան կարող է ընկղմվել մուգ ֆոնի մեջ, այլ ոչ թե լուսավորվել: Կապույտը, ընդհակառակը, մուգ է:

Հետմշակման ընթացքում հեռանկարի ընդլայնումը հանգում է մթնոլորտային ընկալման մոդելավորմանը. հեռավոր առարկաները ավելի թեթև են, ավելի մշուշոտ, պայծառության, հագեցվածության և տոնայնության նվազեցված հակադրությամբ:

Բացի երկար տարածություններից, մթնոլորտային էֆեկտները բնական են թվում առավոտյան մշուշի, մառախուղի կամ ծխախոտի վրա: Հաշվի առեք եղանակը. ամպամած օրը կամ մթնշաղին կարող է էական տարբերություն չլինել առաջին պլանի և հետին պլանի միջև:

Ամենաուժեղ գործոնը պայծառության հակադրությունն է: Պարամետրերում սա սովորական հակադրություն է: Նվազեցրեք հեռավոր օբյեկտների հակադրությունը, բարձրացրեք առաջին պլանի հակադրությունը, և պատկերը կդառնա ուռուցիկ: Խոսքը ոչ թե առաջին պլանի և ֆոնի կոնտրաստի մասին է, այլ ֆոնի կոնտրաստի մասին, որը պետք է ավելի ցածր լինի առաջին պլանի կոնտրաստից։ Այս մեթոդը հարմար է ոչ միայն լանդշաֆտների և ժանրային լուսանկարչության, այլ նաև ստուդիական դիմանկարների համար՝ բարձրացնել դեմքի առջևի կոնտրաստը, նվազեցնել մազերի, այտոսկրերի և հագուստի կոնտրաստը: Դիմանկարային ֆիլտրերը նման բան են անում՝ պղտորելով մոդելի մաշկը և կոպիտ թողնելով աչքերն ու շուրթերը:

Կոնտրաստի կարգավորումը 3D պատկերի հետմշակման ամենահեշտ ձևն է: Ի տարբերություն այլ գործընթացների, դիտողը դժվար թե նկատի փոփոխություններ, ինչը թույլ կտա պահպանել առավելագույն բնականությունը։

Լղոզումը նման է հակադրության նվազեցմանը, բայց դրանք տարբեր գործընթացներ են: Պատկերը կարող է լինել ցածր հակադրություն, մինչդեռ մնում է սուր: Դաշտի սահմանափակ խորության պատճառով հեռավոր առարկաները լղոզելը մնում է լուսանկարչության մեջ եռաչափություն փոխանցելու ամենատարածված միջոցը, և այն հեշտությամբ կարող է բարելավվել՝ հետարտադրության ընթացքում հեռավոր առարկաները լղոզելով: Հետևաբար, ավելի քիչ մանրամասներ պետք է տեղադրվեն հետին պլանում՝ ուղեղը չի ակնկալում տարբերվող առարկաներ հեռավորության վրա: Մինչդեռ կոնտրաստի նվազեցումը ավելի լավ է համապատասխանում բնական ընկալմանը. հեռավոր լեռները տեսանելի են ցածր կոնտրաստով, և ոչ լղոզված, քանի որ լանդշաֆտը սկանավորելիս աչքն անընդհատ վերակենտրոնանում է, իսկ դաշտի խորության խնդիրը խորթ է դրան: Լղոզելով ֆոնը, դուք կարող եք միաժամանակ սրել առաջին պլանը: Բացի այդ, առաջին պլանում դուք կարող եք բարելավել պատկերի գծերը (High Pass Filter կամ Clarity): Դա առաջին պլանի բարձր հստակությունն է, որը բացատրում է բարձրորակ ոսպնյակների պատկերի բնորոշ բախումը: Զգույշ եղեք. հանուն եռաչափության մի փոքր աճի, դուք կարող եք պատկերը չափազանց կոշտ դարձնել:

Ավելի թեթև առարկաներ հայտնվում են ավելի հեռու: Դա պայմանավորված է նրանով, որ բնության մեջ մենք տեսնում ենք հեռավոր առարկաներ լույս ցրող օդի հաստությամբ; հեռավոր լեռները լույս են թվում: Հետևաբար, լանդշաֆտային լուսանկարչության մեջ դուք պետք է զգույշ լինեք լուսային առարկաների առաջին պլանում տեղադրելու հարցում:

Պայծառացրեք հեռավոր առարկաները: Որքան հեռու են նրանք, այնքան ավելի են միախառնվում երկնքի պայծառությանն ու տոնայնությանը: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ հորիզոնական առարկաները (գետնին, ծովը) ավելի լավ են լուսավորված, քան ուղղահայացները (պատերը, ծառերը), այնպես որ մի չափազանցեք դա վերջիններիս լուսավորությամբ: Ամեն դեպքում, առարկաները պետք է մնան նկատելիորեն ավելի թեթեւ, քան երկինք:

Դե, եթե նկատում եք, որ խուսափելը ֆոնի պայծառության հակադրությունը նվազեցնելու ևս մեկ միջոց է: Մի փոքր մգացրեք առաջին պլանը, որպեսզի ուժեղացնեք բախման էֆեկտը:

Թվում է, թե ինտերիերում ամեն ինչ հակառակն է։ Եթե ​​փողոցում աչքը սովոր է, որ հեռավորությունը պայծառ է, ապա սենյակում լույսը հաճախ կենտրոնանում է մարդու վրա, իսկ ինտերիերն ընկղմվում է մթության մեջ. ուղեղը սովոր է առաջին պլանի լուսավորությանը, ոչ թե ֆոնային լուսավորությանը:

Տեսարանի մակերեսային խորությամբ ինտերիերի պատկերներում, ի տարբերություն լանդշաֆտային պատկերների, լուսավորված մոդելը դուրս է ցցված մուգ ֆոնից: Բայց կա նաև հակառակ գործոն. իր էվոլյուցիայի 99%-ի ընթացքում մարդը դիտել է հեռանկարը բաց տարածքներում, և սենյակների հայտնվելով ուղեղը դեռևս ժամանակ չի ունեցել վերակազմավորվելու: Վերմեերն իր դիմանկարների համար նախընտրում էր բաց ֆոն, և նրա դիմանկարներն իսկապես աչքի են ընկնում։ Լուսանկարչության մեջ առաջարկվող ուղղահայաց ֆոն լուսավորելը ոչ միայն առանձնացնում է մոդելը դրանից, այլև ֆոնը լուսավորելով՝ պատկերին տալիս է մի փոքր եռաչափություն։ Այստեղ մենք բախվում ենք այն փաստի հետ, որ ուղեղը վերլուծում է առարկաների գտնվելու վայրը մի քանի գործոնների համաձայն, և դրանք կարող են հակասական լինել։

Հետաքրքիր է թվում ստուդիայի լուսավորությունը, որտեղ լուսային բծերը ընկած են մոդելի տեսախցիկից հեռու գտնվող հատվածներում: Օրինակ՝ ընդգծված է տեսախցիկից ամենահեռու կուրծքը։

Կրճատել գունային հագեցվածությունը հեռավոր օբյեկտների վրա. մեզ բաժանող օդի հաստության պատճառով հեռավոր լեռները գրեթե մինչև մոնոխրոմի մակարդակը անջրանցիկ են և ծածկված կապույտ մշուշով: Առաջնային պլանի հագեցվածությունը կարող է մեծանալ:

Քանի որ դեղինը բաց է, իսկ կապույտն ու կարմիրը մուգ են, գույնի հակադրությունը նաև պայծառության հակադրություն է:

Հեռավոր ֆոնը չհագեցնելիս թույլ մի տվեք, որ այն անհետանա տեսադաշտից։ Հաճախ, ընդհակառակը, անհրաժեշտ է մեծացնել ֆոնի հագեցվածությունը՝ այն բացահայտելու համար։ Սա ավելի կարևոր է, քան եռաչափությունը:

3D լուսանկարչության վերաբերյալ շատ խորհուրդներ կենտրոնանում են ջերմաստիճանի հակադրության վրա: Իրականում, այս էֆեկտը շատ թույլ է և հեշտությամբ ընդհատվում է պայծառության հակադրությամբ: Բացի այդ, ջերմաստիճանի հակադրությունը նյարդայնացնում է և նկատելի:

Շատ հեռավոր առարկաները ավելի սառը գույնի են թվում, քանի որ օդը կլանում է տաք նարնջագույն լույսը: Լողափում մոդելը լուսանկարելիս հորիզոնում նավերի հետին պլանում իջեցրեք հեռավոր ծովի և նավերի գունային ջերմաստիճանը հետմշակման ընթացքում: Կապույտ ծովից դուրս է գալիս կարմիր լողազգեստով մոդելը, իսկ կապտավուն մթնշաղից՝ փողոցի լամպի դեղին լույսի ներքո։

Սա է առանձին տոնայնացման էությունը՝ մոդելը դարձնում ենք ավելի տաք, ֆոնը՝ ավելի սառը։ Ուղեղը հասկանում է, որ նույն հարթությունում տարբեր գույների ջերմաստիճաններ չկան, և ընկալում է այնպիսի եռաչափ պատկեր, որում մոդելը դուրս է ցցված ֆոնից։ Պառակտված երանգավորումն ավելի խորություն է հաղորդում լանդշաֆտներին. առաջին պլանը դարձրեք ավելի տաք, իսկ ֆոնն ավելի սառը:

Կարևոր բացառություն առանձին տոնայնացման համար. արևածագի և մայրամուտի ժամանակ հեռավոր ֆոնն ամենևին էլ սառը չէ, այլ տաք է, դեղին և կարմիր-նարնջագույն երանգներով: Ակնհայտ լուծումը՝ սպիտակ մոդելի օգտագործումը մանուշակագույն լողազգեստով, չի աշխատում, քանի որ մայրամուտի լույսը տաք երանգ է հաղորդում նաև մոդելի մարմնին:

Ամփոփենք՝ մթնոլորտային էֆեկտների հիման վրա լուսանկարին եռաչափություն տալու համար անհրաժեշտ է հակադրել առաջին պլանն ու հետին պլանը։ Հիմնական հակադրությունը հիմնված է սովորական կոնտրաստի վրա՝ առաջին պլանը բարձր կոնտրաստ է, ֆոնը՝ ցածր կոնտրաստ։ Երկրորդ հակադրությունը սրության առումով է՝ առաջին պլանը սուր է, ֆոնը՝ լղոզված։ Երրորդ հակադրությունը թեթևության առումով է՝ առաջին պլանը մուգ է, ֆոնը՝ բաց։ Չորրորդ հակադրությունը հագեցվածության առումով է՝ առաջին պլանի գույները հագեցված են, ֆոնային գույները՝ չհագեցած։ Հինգերորդ հակադրությունը ջերմաստիճանում է՝ առաջին պլանը տաք է, ֆոնը՝ սառը։

Թվարկված գործոնները հաճախ բազմակողմանի են: Դեղինը ավելի վառ է, քան կապույտը, իսկ թեթև առարկաները ավելի հեռու են հայտնվում մուգներից: Բնական կլիներ ակնկալել, որ դեղինը կնվազի, իսկ կապույտը կմոտենա դիտողին: Իրականում դա հակառակն է՝ սառը ֆոնից տաք գույն է առաջանում: Այսինքն, գույնը պարզվում է, որ ավելի ուժեղ գործոն է, քան պայծառությունը: Ինչը, անդրադառնալով, զարմանալի չէ. դեղինն ու կարմիրը հստակորեն տարբերվում են միայն մոտ տարածությունից, և հեռուստադիտողը չի ակնկալում տեսնել դրանք մեծ հեռավորության վրա:

Ներքևի գիծ. ֆոնը ցածր կոնտրաստ պահեք, լվացված, բաց, չհագեցած, կապտավուն: Եվ պատրաստ եղեք այն փաստին, որ դիտողը, որը սովոր է ֆիլմերի հիպերտրոֆիկ 3D-ին, կգտնի, որ ձեր ստեղծած եռաչափությունը հազիվ նկատելի կամ բացակայում է:

Դիմանկարային լուսանկարչության մեջ ավելի լավ է ապավինել ապացուցված chiaroscuro էֆեկտին՝ մոդելի դեմքին լույսի և ստվերի խաղին, որը պատկերը բավականին ցայտուն կդարձնի: Ժանրային լուսանկարչության մեջ հեռանկարը տալիս է առավել նկատելի եռաչափ էֆեկտ: Նատյուրմորտում հիմնական գործոնը լինելու է առարկաների խաչմերուկը (համընկնումը):

Մի տարվեք հեռանկարով. դա պարզապես ֆոն է ճակատային հարթության համար, որի վրա ձեր պատկերը թռչում է: Ժամանակակից գեղանկարչության մեջ, որը հեռու է ռեալիզմից, հեռանկարը բարձր չի գնահատվում։

Ներբեռնեք ամբողջ գիրքը՝ pdfepubazw3mobifb2litContents

Վերջերս ես պատրաստեցի 3D տեսարանների պարզ ճառագայթների հետագծում: Այն գրված էր JavaScript-ով և այնքան էլ արագ չէր: Պարզապես զվարճանալու համար ես գրեցի ճառագայթների հետագծում C-ով և նրան տվեցի 4D-արտադրման ռեժիմ. այս ռեժիմում այն ​​կարող է նախագծել 4D տեսարան հարթ էկրանի վրա: Կտրվածքի տակ դուք կգտնեք մի քանի տեսանյութ, մի քանի նկար և ճառագայթների հետագծման ծածկագիր:

Ինչու՞ գրել առանձին ծրագիր 4D տեսարան նկարելու համար: Դուք կարող եք սովորական ճառագայթների հետագծում վերցնել, տալ նրան 4D տեսարան և ստանալ հետաքրքիր նկար, բայց այս նկարը չի լինի ամբողջ տեսարանի պրոյեկցիան էկրանի վրա: Խնդիրն այն է, որ տեսարանն ունի 4 չափ, բայց էկրանն ունի ընդամենը 2, և երբ ճառագայթների հետագծիչը ճառագայթներ է արձակում էկրանի միջով, այն ընդգրկում է միայն եռաչափ ենթատարածություն և միայն 4 ծավալային տեսարանի եռաչափ հատվածը: տեսանելի լինել էկրանին. Պարզ անալոգիա. փորձեք եռաչափ տեսարան նախագծել 1 ծավալային հատվածի վրա:

Ստացվում է, որ երկչափ տեսողությամբ եռաչափ դիտորդը չի կարող տեսնել ամբողջ քառաչափ տեսարանը, լավագույն դեպքում նա կտեսնի միայն մի փոքր հատված: Տրամաբանական է ենթադրել, որ ավելի հարմար է 4-չափ տեսարան դիտել եռաչափ տեսողությամբ. որոշակի 4-չափ դիտորդ նայում է ինչ-որ առարկայի, և նրա ցանցաթաղանթի եռաչափ անալոգի վրա ձևավորվում է եռաչափ պրոյեկցիա։ . Իմ ծրագիրն այս 3D պրոյեկցիայի ճառագայթներով կհետագավորի: Այլ կերպ ասած, իմ ճառագայթների հետագծումը պատկերում է այն, ինչ տեսնում է 4D դիտորդն իր 3D տեսլականով:

3D տեսողության առանձնահատկությունները

Պատկերացրեք, որ դուք նայում եք թղթի շրջանակին, որը գտնվում է հենց ձեր աչքերի առջև, այս դեպքում դուք կտեսնեք շրջան: Եթե ​​այս շրջանակը դնեք սեղանի վրա, կտեսնեք էլիպս: Եթե ​​հեռվից նայեք այս շրջանին, այն ավելի փոքր կթվա: Նմանապես եռաչափ տեսողության դեպքում՝ քառաչափ գնդակը դիտողին կհայտնվի որպես եռաչափ էլիպսոիդ: Ստորև բերված են մի քանի օրինակներ: Առաջինի վրա պտտվում են 4 նույնական փոխադարձ ուղղահայաց բալոններ։ Երկրորդի վրա պտտվում է 4 ծավալային խորանարդի շրջանակը։

Անցնենք մտորումների։ Երբ նայում եք ռեֆլեկտիվ մակերեսով գնդակին (միացված Տոնածառի խաղալիք, օրինակ), արտացոլանքը ասես գծված է ոլորտի մակերեսին։ Նաև 3D տեսլականի համար. դուք նայում եք 4D գնդակին, և արտացոլումները գծված են կարծես դրա մակերեսին: Միայն 4-չափ գնդակի մակերեսն է եռաչափ, այնպես որ, երբ մենք նայում ենք գնդակի եռաչափ պրոյեկցիան, արտացոլումները կլինեն ներսում, և ոչ թե մակերեսի վրա: Եթե ​​մենք ստիպենք հետագծողին նկարահանել ճառագայթ և գտնել մոտակա խաչմերուկը գնդակի եռաչափ պրոյեկցիայի հետ, ապա մենք կտեսնենք սև շրջանակ. եռաչափ պրոյեկցիայի մակերեսը կլինի սև (սա բխում է Ֆրենսելի բանաձևերից): Այն կարծես այսպիսին է.

3D տեսողության համար դա խնդիր չէ, քանի որ դրա համար այս ամբողջ 3D գնդակը տեսանելի է, և ներքին կետերը տեսանելի են, ինչպես նաև մակերեսի վրա, բայց ես պետք է ինչ-որ կերպ փոխանցեմ այս էֆեկտը հարթ էկրանին, ուստի ես լրացուցիչ պատրաստեցի: ռեժիմ ճառագայթների հետագծման համար, երբ այն համարում է, որ եռաչափ առարկաները կարծես ծխագույն են. ճառագայթն անցնում է դրանց միջով և աստիճանաբար կորցնում է էներգիան: Ստացվում է այսպես.

Նույնը վերաբերում է ստվերներին. դրանք ընկնում են ոչ թե մակերեսի վրա, այլ եռաչափ պրոյեկցիաների ներսում: Ստացվում է, որ եռաչափ գնդակի ներսում՝ 4 ծավալային գնդակի պրոյեկցիա, կարող է լինել մգացած տարածք՝ 4 ծավալային խորանարդի պրոյեկցիայի տեսքով, եթե այս խորանարդը ստվեր է գցում գնդակի վրա։ Ես չէի կարողանում հասկանալ, թե ինչպես փոխանցել այս էֆեկտը հարթ էկրանին:

Օպտիմալացումներ

4D տեսարանի ճառագայթների հետագծումը ավելի դժվար է, քան 3D-ը. 4D-ի դեպքում պետք է գտնել ոչ թե հարթ, այլ 3D տարածքի գույները: Եթե ​​դուք ուղիղ գրեք ճառագայթային ցուցիչ, ապա դրա արագությունը չափազանց ցածր կլինի: Կան մի քանի պարզ օպտիմալացումներ, որոնք կարող են նվազեցնել 1000x1000 չափսի պատկերի ցուցադրման ժամանակը մի քանի վայրկյանի:

Առաջին բանը, որ գրավում է ձեր ուշադրությունը նման նկարներ դիտելիս, սև պիքսելների մի փունջ է։ Եթե ​​դուք պատկերում եք այն տարածքը, որտեղ ճառագայթների հետագծման ճառագայթը հարվածում է առնվազն մեկ առարկայի, ապա այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Կարելի է տեսնել, որ մոտավորապես 70%-ը սև պիքսելներ են, և դա սպիտակ տարածքհամահունչ է (այն համահունչ է, քանի որ 4-չափ տեսարանը համահունչ է): Դուք կարող եք հաշվարկել պիքսելների գույները ոչ ըստ հերթականության, այլ գուշակել մեկ սպիտակ պիքսել և դրանից լցրել: Սա թույլ կտա ճառագայթային հետևել միայն սպիտակ պիքսելներին + որոշ սև պիքսելներին, որոնք ներկայացնում են սպիտակ տարածքի 1 պիքսել սահմանը:

Երկրորդ օպտիմիզացումը պայմանավորված է նրանով, որ թվերը՝ գնդերը և գլանները, ուռուցիկ են: Սա նշանակում է, որ նման պատկերի ցանկացած երկու կետի համար դրանք միացնող հատվածը նույնպես ամբողջությամբ գտնվում է նկարի ներսում: Եթե ​​ճառագայթը հատում է ուռուցիկ առարկան, որտեղ A կետը գտնվում է օբյեկտի ներսում, իսկ B կետը դրսում, ապա B կողմի ճառագայթի մնացորդը չի հատի առարկան:

Եվս մի քանի օրինակ

Այստեղ խորանարդը պտտվում է կենտրոնի շուրջ: Գնդակը չի դիպչում խորանարդին, բայց եռաչափ պրոյեկցիայի վրա դրանք կարող են հատվել:

Այս տեսանյութում խորանարդը անշարժ է, և 4-չափ դիտորդը թռչում է խորանարդի միջով: Եռաչափ խորանարդը, որն ավելի մեծ է թվում, ավելի մոտ է դիտորդին, իսկ փոքրը՝ ավելի հեռու։

Ստորև ներկայացված է դասական պտույտը 1-2 և 3-4 առանցքների հարթություններում: Այս պտույտը տրվում է երկու Givens մատրիցների արտադրյալով։

Ինչպե՞ս է աշխատում իմ ճառագայթների որոնիչը:

Կոդը գրված է ANSI C 99-ում։ Կարող եք ներբեռնել այն։ Ես փորձարկել եմ ICC+Windows-ի և GCC+Ubuntu-ի վրա:

Որպես մուտքագրում, ծրագիրն ընդունում է տեսարանի նկարագրությամբ տեքստային ֆայլ:

Տեսարան = ( օբյեկտներ = -- տեսարանի օբյեկտների ցանկ ( խումբ - օբյեկտների խումբը կարող է ունենալ նշանակված աֆինային փոխակերպում ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), լույսեր = -- լույսերի ցանկ (լույս((0.2, | 2, 0, 0, 0), առանցք, նյութ = (գույն = (1, 0, 0)) ) առանցք 2 = գլան ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), առանցք, նյութ = (գույն = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = գլան ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), առանցք, նյութ = (գույն = (0) , 0, 1)) ) axiscyl4 = գլան ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), axiscylr, նյութ = (գույն = (1, 1, 0)) )

Որից հետո այն վերլուծում է այս նկարագրությունը և դրա ներքին ներկայացման մեջ ստեղծում տեսարան: Կախված տարածության չափից՝ այն ներկայացնում է տեսարանը և ստանում կամ քառաչափ պատկեր, ինչպես վերը նշված օրինակներում, կամ սովորական եռաչափ: 4-չափ ճառագայթների հետագծիչը եռաչափի վերածելու համար vector.h ֆայլում vec_dim պարամետրը պետք է փոխեք 4-ից 3-ի: Կարող եք նաև սահմանել այն կոմպիլյատորի հրամանի տող պարամետրերում: Կազմում GCC-ում.

CD /տուն/ օգտվողի անունը/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt

Փորձնական վազք.

/տուն/ օգտվողի անունը/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp

Եթե ​​դուք կազմեք ճառագայթների հետագծում vec_dim = 3-ով, այն կստեղծի սովորական խորանարդ cube3d.scene տեսարանի համար:

Ինչպես է պատրաստվել տեսանյութը

Դա անելու համար ես Լուա լեզվով սցենար գրեցի, որը հաշվարկում էր պտտման մատրիցը յուրաքանչյուր կադրի համար և ավելացնում այն ​​հղումային տեսարանին:

Առանցքներ = ( (0,933, 0,358, 0, 0), -- առանցք 1 (-0,358, 0,933, 0, 0), -- առանցք 2 (0, 0, 0,933, 0,358), -- առանցք 3 (0, 0) , -0,358, 0,933) -- առանցք 4 ) տեսարան = ( առարկաներ = ( խումբ ( առանցքներ = առանցքներ, առանցք1, առանցք 2, առանցք 3, առանցք 4 ) ), )

Խմբային օբյեկտը, բացի օբյեկտների ցանկից, ունի երկու աֆինային փոխակերպման պարամետր՝ առանցքներ և ծագում։ Փոխելով առանցքները, դուք կարող եք պտտել խմբի բոլոր օբյեկտները:

Սցենարն այնուհետև անվանեց կազմված ճառագայթների հետագծիչ: Երբ բոլոր կադրերը ներկայացվեցին, սցենարը կոչվեց mencoder և այն հավաքեց տեսանյութ առանձին նկարներից: Տեսանյութը ստեղծվել է այնպես, որ այն կարող է տեղադրվել ավտոմատ կրկնության վրա, այսինքն. Տեսանյութի վերջը համընկնում է սկզբի հետ։ Սցենարն աշխատում է այսպես.

Խաղացեք animate.lua

Եվ վերջապես, այս արխիվը պարունակում է 1000×1000 4 avi ֆայլ։ Դրանք բոլորը ցիկլային են. կարող եք կարգավորել դրանք ավտոմատ կրկնելու համար, և դուք ստանում եք նորմալ անիմացիա:

Tags:

• ճառագայթների հետագծող
• քառաչափ տարածություն

Ավելացնել պիտակներ