Սերիաների կոնվերգենցիան 1 n 2. Սերիաների կոնվերգենցիան առցանց. Պայմանական կոնվերգենցիայի չափանիշներ

Ինչ է սահմանը: Սահմանափակման հայեցակարգ

Բոլորը, առանց բացառության, ինչ-որ տեղ իրենց հոգու խորքում հասկանում են, թե ինչ է սահմանը, բայց հենց որ լսում են «գործառույթի սահմանը» կամ «հաջորդականության սահմանը», մի փոքր շփոթություն է առաջանում։

Մի վախեցեք, դա ուղղակի անտեղյակություն է։ Հետևյալը 3 րոպե կարդալուց հետո դուք ավելի գրագետ կդառնաք.

Կարևոր է մեկընդմիշտ հասկանալ, թե ինչ նկատի ունեն, երբ խոսում են որոշ սահմանափակող դիրքերի, իմաստների, իրավիճակների մասին և ընդհանրապես, երբ դիմում են կյանքում սահման եզրույթին։

Մեծահասակները դա ինտուիտիվ են հասկանում, և մենք այն կվերլուծենք՝ օգտագործելով մի քանի օրինակ:

Օրինակ մեկ

Հիշենք «Չայֆ» խմբի երգից տողերը՝ «... don't take it to the limit, don't take it to the limit...»:

Օրինակ երկու

Դուք, անշուշտ, լսել եք տիեզերքում օբյեկտի չափազանց կայուն դիրքի մասին արտահայտությունը։

Դուք ինքներդ կարող եք հեշտությամբ նմանակել նման իրավիճակը ձեր ձեռքի տակ եղած իրերով։

Օրինակ, մի փոքր թեքեք պլաստիկ շիշը և բաց թողեք այն: Այն կվերադառնա հատակին:

Բայց կան ծայրահեղ հակված դիրքեր, որոնցից այն պարզապես կընկնի։

Կրկին, այս դեպքում սահմանափակող դիրքորոշումը որոշակի բան է: Կարևոր է հասկանալ սա:

Սահմանափակ տերմինի օգտագործման բազմաթիվ օրինակներ կան մարդկային կարողությունները, նյութի առաձգական ուժը և այլն։

Դե մենք ամեն օր գործ ունենք ապօրինությունների հետ)))

Բայց հիմա մեզ հետաքրքրում է հաջորդականության սահմանը և ֆունկցիայի սահմանը մաթեմատիկայի մեջ։

Սահմանափակում թվերի հաջորդականությունմաթեմատիկայի մեջ

Սահմանը (թվային հաջորդականության) մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացություններից է։ Հարյուրավոր և հարյուրավոր թեորեմներ, որոնք սահմանում են ժամանակակից գիտությունը, հիմնված են սահմանին անցնելու հայեցակարգի վրա:

Անմիջապես կոնկրետ օրինակպարզության համար:

Ենթադրենք կա թվերի անսահման հաջորդականություն, որոնցից յուրաքանչյուրը նախորդի չափի կեսն է՝ սկսած մեկից՝ 1, ½, ¼, ...

Այսպիսով, թվային հաջորդականության սահմանը (եթե այն գոյություն ունի) որոշակի որոշակի արժեք է:

Կրկնակի կրճատման գործընթացում հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ արժեք անորոշորեն մոտենում է որոշակի թվի:

Հեշտ է կռահել, որ այն կլինի զրո։

Կարևոր.

Երբ մենք խոսում ենք սահմանի (սահմանային արժեքի) գոյության մասին, դա չի նշանակում, որ հաջորդականության որոշ անդամ հավասար կլինի այս սահմանային արժեքին։ Նա կարող է միայն ձգտել դրան։

Մեր օրինակից սա ավելի քան պարզ է. Անկախ նրանից, թե քանի անգամ մեկ-երկու անգամ բաժանենք, մենք երբեք զրո չենք ստանա։ Կլինի միայն նախորդից երկու անգամ փոքր թիվ, բայց ոչ զրո:

Ֆունկցիայի սահմանը մաթեմատիկայի մեջ

IN մաթեմատիկական վերլուծությունԱմենակարևորը ֆունկցիայի սահմանի հասկացությունն է:

Առանց տեսության մեջ խորանալու՝ ասենք հետևյալը՝ ֆունկցիայի սահմանափակող արժեքը միշտ չէ, որ կարող է պատկանել բուն ֆունկցիայի արժեքների տիրույթին։

Երբ արգումենտը փոխվում է, ֆունկցիան կձգտի որոշակի արժեքի, բայց կարող է երբեք չընդունել այն:

Օրինակ՝ հիպերբոլիա 1/xչունի զրոյի արժեք որևէ կետում, բայց այն ձգտում է զրոյի առանց սահմանի, քանի որ այն ձգտում է xդեպի անսահմանություն։

Սահմանաչափի հաշվիչ

Մեր նպատակը ձեզ տալը չէ տեսական գիտելիքներ, սրա համար շատ խելացի հաստ գրքեր կան։

Բայց մենք առաջարկում ենք օգտագործել առցանց հաշվիչսահմանները, որոնցով դուք կարող եք համեմատել ձեր լուծումը ճիշտ պատասխանի հետ:

Բացի այդ, հաշվիչը տալիս է սահմանների քայլ առ քայլ լուծում՝ հաճախ կիրառելով L'Hopital-ի կանոնը՝ օգտագործելով մի կետում կամ որոշակի հատվածում շարունակական ֆունկցիայի համարիչի և հայտարարի տարբերակումը։

Սովորաբար երկրորդ ուշագրավ սահմանը գրվում է այս ձևով.

\սկիզբ (հավասարում) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\վերջ (հավասարում)

Հավասարության (1) աջ կողմում նշված $e$ թիվը իռացիոնալ է։ Այս թվի մոտավոր արժեքն է՝ $e\ approx(2(,)718281828459045)$։ Եթե ​​մենք փոխարինում ենք $t=\frac(1)(x)$, ապա բանաձևը (1) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\սկիզբ(հավասարում) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\վերջ (հավասարում)

Ինչպես առաջին ուշագրավ սահմանի դեպքում, կարևոր չէ, թե որ արտահայտությունն է կանգնած $x$ փոփոխականի փոխարեն (1) բանաձևում կամ $t$ փոփոխականի փոխարեն (2): Հիմնական բանը երկու պայմանի կատարումն է.

1. Աստիճանի հիմքը (այսինքն՝ (1) և (2) բանաձևերի փակագծերում արտահայտությունը) պետք է հակված լինի միասնությանը.
2. Ցուցանիշը (այսինքն՝ $x$ (1) բանաձևում կամ $\frac(1)(t)$ (2)) պետք է ձգվի դեպի անսահմանություն։

Նշվում է, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանը բացահայտում է $1^\infty$-ի անորոշությունը: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բանաձևում (1) մենք չենք նշում, թե որ անսահմանության ($+\infty$ կամ $-\infty$) մասին է խոսքը։ Այս դեպքերից որևէ մեկում (1) բանաձևը ճիշտ է: Բանաձևում (2) $t$ փոփոխականը կարող է զրոյի ձգվել ինչպես ձախ, այնպես էլ աջ կողմում:

Նշում եմ, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանից կան նաև մի քանի օգտակար հետևանքներ. Երկրորդ ուշագրավ սահմանի կիրառման օրինակները, ինչպես նաև դրա հետևանքները շատ տարածված են ստանդարտ ստանդարտ հաշվարկների և թեստերի կազմողների շրջանում:

Օրինակ թիվ 1

Հաշվեք $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ սահմանաչափը:

Անմիջապես նշենք, որ աստիճանի հիմքը (այսինքն $\frac(3x+1)(3x-5)$) հակված է միասնության.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

Այս դեպքում ցուցիչը ($4x+7$ արտահայտություն) ձգտում է դեպի անսահմանություն, այսինքն. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$:

Աստիճանի հիմքը հակված է միասնության, ցուցիչը՝ դեպի անսահմանություն, այսինքն. մենք գործ ունենք անորոշության հետ $1^\infty$. Եկեք կիրառենք այս անորոշությունը բացահայտելու բանաձևը. Բանաձևի հզորության հիմքում $1+\frac(1)(x)$ արտահայտությունն է, իսկ մեր դիտարկած օրինակում հզորության հիմքն է՝ $\frac(3x+1)(3x-։ 5) դոլար: Հետևաբար, առաջին գործողությունը կլինի $\frac(3x+1)(3x-5)$ արտահայտության պաշտոնական ճշգրտումը $1+\frac(1)(x)$ ձևին: Նախ, գումարեք և հանեք մեկը.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\աջ)^(4x+7) $$

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դուք չեք կարող պարզապես միավոր ավելացնել: Եթե ​​մեզ ստիպում են ավելացնել մեկը, ապա պետք է նաև հանենք այն, որպեսզի չփոխենք ամբողջ արտահայտության արժեքը։ Լուծումը շարունակելու համար մենք հաշվի ենք առնում, որ

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5): $$

Քանի որ $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, ապա.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ ձախ (1+\frac(6)(3x-5)\աջ)^(4x+7) $$

Շարունակենք ճշգրտումը։ Բանաձևի $1+\frac(1)(x)$ արտահայտության մեջ կոտորակի համարիչը 1 է, իսկ մեր $1+\frac(6)(3x-5)$ համարիչը $6$ է։ Համարիչում $1$ ստանալու համար թողեք $6$ հայտարարի մեջ՝ օգտագործելով հետևյալ փոխարկումը.

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Այսպիսով,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(4x+7) $$

Այսպիսով, աստիճանի հիմքը, այսինքն. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, հարմարեցված բանաձևում պահանջվող $1+\frac(1)(x)$ ձևին: Հիմա եկեք սկսենք աշխատել ցուցիչի հետ: Նկատի ունեցեք, որ բանաձևում ցուցիչների և հայտարարի արտահայտությունները նույնն են.

Սա նշանակում է, որ մեր օրինակում արտահայտիչն ու հայտարարը պետք է բերվեն նույն ձևի։ Ցուցանիշում $\frac(3x-5)(6)$ արտահայտությունը ստանալու համար մենք ուղղակի չափանիշը բազմապատկում ենք այս կոտորակի վրա: Բնականաբար, նման բազմապատկումը փոխհատուցելու համար դուք ստիպված կլինեք անմիջապես բազմապատկել փոխադարձ կոտորակով, այսինքն. $\frac(6)(3x-5)$-ով: Այսպիսով, մենք ունենք.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5) )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Եկեք առանձին դիտարկենք $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ կոտորակի սահմանը, որը գտնվում է հզորության մեջ.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\աջ))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ ֆրակ (4) (3) =8. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.

Օրինակ թիվ 4

Գտեք $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ սահմանաչափը:

Քանի որ $x>0$-ի համար մենք ունենք $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, ապա.

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ ձախ (\frac(x+1)(x)\աջ)\աջ) $$

$\frac(x+1)(x)$ կոտորակն ընդարձակելով $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ կոտորակների գումարի մեջ՝ ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\ձախ (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$:

Օրինակ թիվ 5

Գտեք $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ սահմանաչափը:

Քանի որ $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ և $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, ապա գործ ունենք $1^\infty$ ձևի անորոշության հետ։ Մանրամասն բացատրությունները տրված են թիվ 2 օրինակում, սակայն այստեղ մենք կսահմանափակվենք հակիրճ լուծումով։ Կատարելով $t=x-2$ փոխարինումը, մենք ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\ձախ|\սկիզբ (հավասարեցված)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\աջ)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Այս օրինակը կարող եք լուծել այլ կերպ՝ օգտագործելով փոխարինումը. $t=\frac(1)(x-2)$: Իհարկե, պատասխանը կլինի նույնը.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\ձախ|\սկիզբ (հավասարեցված)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\աջ)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$:

Օրինակ թիվ 6

Գտեք $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ սահմանաչափը:

Եկեք պարզենք, թե ինչի է ձգտում $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ արտահայտությունը $x\to\infty$ պայմանով:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Այսպիսով, տրված սահմանում մենք գործ ունենք $1^\infty$ ձևի անորոշության հետ, որը մենք կբացահայտենք՝ օգտագործելով երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\աջ)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\աջ)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\աջ)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\աջ)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\աջ)^(3x)=1$: