Օստրոգրադ Գաուսի թեորեմը էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի համար: Գաուսի թեորեմ. Գաուսի թեորեմի կիրառում

Էլեկտրաստատիկայի հիմնական կիրառական խնդիրը տարբեր սարքերում և սարքերում ստեղծված էլեկտրական դաշտերի հաշվարկն է։ Ընդհանուր առմամբ, այս խնդիրը լուծվում է Կուլոնի օրենքի և սուպերպոզիցիայի սկզբունքի միջոցով։ Այնուամենայնիվ, այս խնդիրը շատ բարդ է դառնում, երբ հաշվի ենք առնում մեծ թվով կետային կամ տարածական բաշխված գանձումներ: Նույնիսկ ավելի մեծ դժվարություններ են առաջանում, երբ տիեզերքում կան դիէլեկտրիկներ կամ հաղորդիչներ, երբ արտաքին E 0 դաշտի ազդեցության տակ տեղի է ունենում միկրոսկոպիկ լիցքերի վերաբաշխում՝ ստեղծելով իրենց սեփական լրացուցիչ դաշտը: օգտագործվում է, որն օգտագործում է բարդ մաթեմատիկական ապարատ: Մենք կդիտարկենք ամենապարզ մեթոդը՝ հիմնված Օստրոգրադսկի-Գաուսի թեորեմի կիրառման վրա։ Այս թեորեմը ձևակերպելու համար մենք ներկայացնում ենք մի քանի նոր հասկացություններ.

Ա) լիցքի խտությունը

Եթե ​​լիցքավորված մարմինը մեծ է, ապա դուք պետք է իմանաք լիցքերի բաշխումը մարմնի ներսում։

Ծավալի լիցքավորման խտությունը– չափվում է մեկ միավորի ծավալի լիցքով.

Մակերեւութային լիցքավորման խտությունը- չափվում է մարմնի միավորի մակերեսի լիցքով (երբ լիցքը բաշխվում է մակերեսի վրա).

Գծային լիցքավորման խտություն(լիցքի բաշխում դիրիժորի երկայնքով).

բ) էլեկտրաստատիկ ինդուկցիոն վեկտոր

Էլեկտրաստատիկ ինդուկցիայի վեկտոր (էլեկտրական տեղաշարժի վեկտոր) էլեկտրական դաշտը բնութագրող վեկտորային մեծություն է։

Վեկտոր հավասար է վեկտորի արտադրյալին տվյալ կետում միջավայրի բացարձակ դիէլեկտրական հաստատունի վրա.

Եկեք ստուգենք չափը Դ SI միավորներով.

, քանի որ
,

ապա D և E չափերը չեն համընկնում, և դրանց թվային արժեքները նույնպես տարբեր են:

Սահմանումից հետևում է, որ վեկտորային դաշտի համար նույն սուպերպոզիցիոն սկզբունքը կիրառվում է, ինչ դաշտի համար :

Դաշտ գրաֆիկորեն ներկայացված է ինդուկցիոն գծերով, ինչպես դաշտը . Ինդուկցիոն գծերը գծված են այնպես, որ յուրաքանչյուր կետում շոշափողը համընկնի ուղղության հետ , և տողերի թիվը հավասար է D-ի թվային արժեքին տվյալ վայրում։

Ներածության իմաստը հասկանալու համար Դիտարկենք մի օրինակ։

	է> 1	Դիէլեկտրիկի հետ խոռոչի սահմանին, կապված բացասական լիցքերն են կենտրոնացված և Դաշտը նվազում է  գործակցով, իսկ խտությունը կտրուկ նվազում է։
Նույն դեպքի համար՝ D = Eee 0	, ապա՝ տողեր շարունակել շարունակաբար. Գծեր սկսել անվճար վճարներից (ժամ ցանկացածի վրա՝ կապված կամ ազատ), իսկ դիէլեկտրական սահմանի վրա դրանց խտությունը մնում է անփոփոխ։ Այսպիսով– ինդուկցիոն գծերի շարունակականությունը մեծապես հեշտացնում է հաշվարկը , և, իմանալով կապը Հետ դուք կարող եք գտնել վեկտորը .

V) էլեկտրաստատիկ ինդուկցիոն վեկտորի հոսք

Դիտարկենք S մակերեսը էլեկտրական դաշտում և ընտրեք նորմալի ուղղությունը

1. Եթե դաշտը միատարր է, ապա S մակերևույթի միջով դաշտային գծերի քանակը.

2. Եթե դաշտը անհավասար է, ապա մակերեսը բաժանվում է անվերջ փոքր տարրերի dS, որոնք համարվում են հարթ, իսկ նրանց շուրջը միատեսակ է։ Հետևաբար, մակերևութային տարրի միջով հոսքը հետևյալն է. dN = D n dS,

և ցանկացած մակերեսով ընդհանուր հոսքը հետևյալն է.

(6)

Ինդուկցիոն հոսքը N-ը սկալային մեծություն է. կախված -ից կարող է լինել > 0 կամ< 0, или = 0.

Եկեք դիտարկենք, թե ինչպես է E վեկտորի արժեքը փոխվում երկու միջավայրերի միջերեսում, օրինակ՝ օդի (ε 1) և ջրի (ε = 81): Ջրում դաշտի ուժգնությունը կտրուկ նվազում է 81 գործակցով։ Այս վեկտորի վարքագիծը Եստեղծում է որոշակի անհարմարություններ տարբեր միջավայրերում դաշտերը հաշվարկելիս: Այս անհարմարությունից խուսափելու համար ներդրվում է նոր վեկտոր Դ– դաշտի ինդուկցիայի կամ էլեկտրական տեղաշարժի վեկտոր: Վեկտորային կապ ԴԵվ Եկարծես

Դ = ε ε 0 Ե.

Ակնհայտ է, որ կետային լիցքի դաշտի համար էլեկտրական տեղաշարժը հավասար կլինի

Հեշտ է տեսնել, որ էլեկտրական տեղաշարժը չափվում է C/m2-ով, կախված չէ հատկություններից և գրաֆիկորեն ներկայացված է լարվածության գծերի նման գծերով:

Դաշտային գծերի ուղղությունը բնութագրում է դաշտի ուղղությունը տարածության մեջ (դաշտային գծեր, իհարկե, գոյություն չունեն, դրանք ներկայացվում են նկարազարդման հարմարության համար) կամ դաշտի ուժգնության վեկտորի ուղղությունը։ Օգտագործելով լարվածության գծերը, դուք կարող եք բնութագրել ոչ միայն ուղղությունը, այլև դաշտի ուժի մեծությունը: Դա անելու համար պայմանավորվել է դրանք իրականացնել որոշակի խտությամբ, որպեսզի լարվածության գծերին ուղղահայաց միավոր մակերեսը ծակող լարման գծերի թիվը համաչափ լինի վեկտորային մոդուլին: Ե(նկ. 78): Այնուհետև տարրական տարածք թափանցող տողերի քանակը dS, որի նորմալը nվեկտորի հետ կազմում է α անկյուն Ե, հավասար է E dScos α = E n dS,

որտեղ E n-ը վեկտորի բաղադրիչն է Ենորմալ ուղղությամբ n. dФ E = E n dS = արժեքը Եդ Սկանչեց լարվածության վեկտորի հոսքը տեղանքովդ Ս(դ Ս= dS n).

S կամայական փակ մակերեսի համար վեկտորի հոսքը Եայս մակերեսի միջով հավասար է

Նմանատիպ արտահայտություն ունի Ֆ D էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի հոսքը

.

Օստրոգրադսկի-Գաուսի թեորեմ

Այս թեորեմը թույլ է տալիս որոշել E և D վեկտորների հոսքը ցանկացած քանակությամբ լիցքերից: Վերցնենք Q կետային լիցք և սահմանենք վեկտորի հոսքը Ե r շառավղով գնդաձև մակերևույթի միջով, որի կենտրոնում այն ​​գտնվում է։

Գնդաձև մակերեսի համար α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 և

Ф E = E · 4 πr 2:

E արտահայտությունը փոխարինելով՝ ստանում ենք

Այսպիսով, յուրաքանչյուր կետային լիցքից առաջանում է F E վեկտորի հոսք Եհավասար է Q/ ε 0-ին: Ընդհանրացնելով այս եզրակացությունը կամայական թվով կետային լիցքերի ընդհանուր դեպքին, մենք տալիս ենք թեորեմի ձևակերպումը. վեկտորի ընդհանուր հոսքը. Եկամայական ձևի փակ մակերևույթի միջոցով թվայինորեն հավասար է այս մակերևույթի ներսում պարունակվող էլեկտրական լիցքերի հանրահաշվական գումարին, որը բաժանված է ε 0-ի, այսինքն.

Էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորային հոսքի համար Դդուք կարող եք ստանալ նմանատիպ բանաձև

Ինդուկցիոն վեկտորի հոսքը փակ մակերևույթի միջով հավասար է այս մակերեսով ծածկված էլեկտրական լիցքերի հանրահաշվական գումարին:

Եթե ​​վերցնենք փակ մակերես, որը լիցք չի պարունակում, ապա յուրաքանչյուր տող ԵԵվ Դկանցնի այս մակերեսը երկու անգամ՝ մուտքի և ելքի մոտ, այնպես որ ընդհանուր հոսքը զրո է: Այստեղ անհրաժեշտ է հաշվի առնել մուտքի և ելքի տողերի հանրահաշվական գումարը։

Օստրոգրադսկի-Գաուսի թեորեմի կիրառումը հարթությունների, գնդերի և գլանների կողմից ստեղծված էլեկտրական դաշտերը հաշվարկելու համար

R շառավղով գնդաձև մակերեսը կրում է Q լիցք, որը հավասարաչափ բաշխված է մակերևույթի վրա մակերևույթի խտությամբ σ

Վերցնենք A կետը ոլորտից դուրս՝ կենտրոնից r հեռավորության վրա և մտովի գծենք r շառավղով սիմետրիկ լիցքավորված գունդ (նկ. 79): Նրա մակերեսը S = 4 πr 2 է: E վեկտորի հոսքը հավասար կլինի

Օստրոգրադսկի-Գաուսի թեորեմի համաձայն
, հետևաբար,
հաշվի առնելով, որ Q = σ 4 πr 2, մենք ստանում ենք

Գնդի մակերևույթի վրա գտնվող կետերի համար (R = r)

Դ Սնամեջ գնդի ներսում գտնվող կետերի համար (գնդիկի ներսում լիցք չկա) E = 0:

2 . R շառավղով և երկարությամբ խոռոչ գլանաձև մակերես լլիցքավորված մշտական ​​մակերեսային լիցքի խտությամբ
(նկ. 80): Եկեք գծենք r > R շառավղով համակցված գլանաձև մակերես:

Հոսքի վեկտոր Եայս մակերեսի միջով

Գաուսի թեորեմով

Հավասարեցնելով վերը նշված հավասարումների աջ կողմերը՝ մենք ստանում ենք

.

Եթե ​​տրված է մխոցի (կամ բարակ թելի) գծային լիցքի խտությունը
Դա

3. Ս մակերեւութային լիցքի խտությամբ անսահման հարթությունների դաշտ (նկ. 81):

Դիտարկենք անսահման հարթության ստեղծած դաշտը։ Համաչափության նկատառումներից հետևում է, որ ինտենսիվությունը դաշտի ցանկացած կետում ունի հարթությանը ուղղահայաց ուղղություն:

Սիմետրիկ կետերում E-ն մեծությամբ նույնն է, իսկ ուղղությամբ՝ հակառակ:

Եկեք մտովի կառուցենք ΔS հիմքով մխոցի մակերեսը: Այնուհետև մխոցի հիմքերից յուրաքանչյուրի միջով հոսք դուրս կգա

F E = E ΔS, իսկ ընդհանուր հոսքը գլանաձեւ մակերեսով հավասար կլինի F E = 2E ΔS:

Մակերեւույթի ներսում կա լիցք Q = σ · ΔS: Ըստ Գաուսի թեորեմի՝ այն պետք է ճիշտ լինի

որտեղ

Ստացված արդյունքը կախված չէ ընտրված մխոցի բարձրությունից: Այսպիսով, E դաշտի ուժգնությունը ցանկացած հեռավորության վրա նույնն է մեծությամբ:

Միևնույն մակերևութային լիցքի խտությամբ σ երկու տարբեր լիցքավորված ինքնաթիռների համար, ըստ սուպերպոզիցիայի սկզբունքի, հարթությունների միջև տարածությունից դուրս դաշտի ուժգնությունը զրո է E = 0, իսկ հարթությունների միջև ընկած տարածության մեջ.
(նկ. 82ա): Եթե ​​հարթությունները լիցքավորված են նույն մակերևութային լիցքի խտությամբ նման լիցքերով, ապա նկատվում է հակառակ պատկերը (նկ. 82բ): Ինքնաթիռների միջև ընկած տարածության մեջ E = 0, իսկ հարթություններից դուրս տարածության մեջ
.

Ներկայացնենք էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի հոսքի հայեցակարգը: Դիտարկենք անսահման փոքր տարածք։ Շատ դեպքերում անհրաժեշտ է իմանալ ոչ միայն կայքի չափը, այլև դրա կողմնորոշումը տարածության մեջ: Ներկայացնենք վեկտոր-տարածք հասկացությունը: Համաձայնենք, որ տարածքի վեկտոր ասելով հասկանում ենք տարածքին ուղղահայաց և տարածքի չափին թվայինորեն հավասար վեկտոր։

Նկար 1 - Դեպի սահմանման վեկտոր - կայքը

Եկեք անվանենք վեկտորային հոսք հարթակի միջոցով
վեկտորների կետային արտադրյալ Եվ
. Այսպիսով,

Հոսքի վեկտոր կամայական մակերեսի միջոցով հայտնաբերվում է բոլոր տարրական հոսքերը ինտեգրելու միջոցով

(4)

Եթե ​​դաշտը միատարր է, իսկ մակերեսը՝ հարթ գտնվում է դաշտին ուղղահայաց, ապա.

. (5)

Տրված արտահայտությունը որոշում է տեղանքը ծակող ուժի գծերի քանակը ժամանակի միավորի համար:

Օստրոգրադսկի-Գաուսի թեորեմ. Էլեկտրական դաշտի ուժի շեղում

Էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի հոսքը կամայական փակ մակերեսով հավասար է ազատ էլեկտրական լիցքերի հանրահաշվական գումարին , ծածկված այս մակերեսով

(6)

Արտահայտությունը (6) ներկայացնում է O-G թեորեմը ինտեգրալ ձևով: 0-Г թեորեմը գործում է ինտեգրալ (ընդհանուր) էֆեկտով, այսինքն. Եթե
Անհայտ է, թե դա նշանակում է լիցքերի բացակայություն տիեզերքի ուսումնասիրված մասի բոլոր կետերում, թե՞ այս տարածության տարբեր կետերում տեղակայված դրական և բացասական լիցքերի գումարը հավասար է զրոյի:

Տվյալ դաշտում տեղակայված լիցքերը և դրանց մեծությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է կապ, որը կապում է էլեկտրական ինդուկցիայի վեկտորի հետ տվյալ կետում նույն կետում լիցքավորմամբ:

Ենթադրենք, մենք պետք է որոշենք լիցքի առկայությունը մի կետում Ա(նկ.2)

Նկար 2 – Վեկտորային դիվերգենցիան հաշվարկելու համար

Կիրառենք O-G թեորեմը։ Էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի հոսքը կամայական մակերևույթի միջով, որը սահմանափակում է այն ծավալը, որում գտնվում է կետը Ա, հավասար է

Հատորի լիցքերի հանրահաշվական գումարը կարելի է գրել որպես ծավալային ինտեգրալ

(7)

Որտեղ - լիցքավորում մեկ միավորի ծավալի համար ;

- ծավալի տարր.

Դաշտի և լիցքի միջև կապը մի կետում ձեռք բերելու համար Ամենք կնվազեցնենք ծավալը՝ մակերեսը մի կետի կծկելով Ա. Այս դեպքում մենք մեր հավասարության երկու կողմերն էլ բաժանում ենք արժեքի վրա . Անցնելով սահմանին, մենք ստանում ենք.

.

Ստացված արտահայտության աջ կողմը, ըստ սահմանման, ծավալային լիցքի խտությունն է տարածության դիտարկված կետում։ Ձախ կողմը ներկայացնում է փակ մակերևույթի միջով էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի հոսքի հարաբերակցության սահմանը այս մակերեսով սահմանափակված ծավալին, երբ ծավալը ձգտում է զրոյի: Այս սկալյար մեծությունը էլեկտրական դաշտի կարևոր բնութագիրն է և կոչվում է վեկտորային դիվերգենցիա .

Այսպիսով.

,

հետևաբար

, (8)

Որտեղ - ծավալային լիցքավորման խտություն.

Օգտագործելով այս հարաբերությունը, էլեկտրաստատիկության հակադարձ խնդիրը պարզապես լուծվում է, այսինքն. գտնել բաշխված գանձումներ հայտնի դաշտի վրա:

Եթե ​​վեկտորը տրված է, ինչը նշանակում է, որ դրա կանխատեսումները հայտնի են
,
,
կոորդինատների առանցքների վրա՝ որպես կոորդինատների ֆունկցիա, և հաշվարկելու համար տրված դաշտը ստեղծած լիցքերի բաշխված խտությունը, պարզվում է, որ բավական է գտնել այդ կանխատեսումների երեք մասնակի ածանցյալների գումարը՝ համապատասխան փոփոխականների նկատմամբ: Այն կետերում, որոնց համար
ոչ մի մեղադրանք: Այն կետերում, որտեղ
դրական, կա դրական լիցք, որի ծավալի խտությունը հավասար է
, և այն կետերում, որտեղ
կունենա բացասական արժեք, կա բացասական լիցք, որի խտությունը նույնպես որոշվում է դիվերգենցիայի արժեքով։

Արտահայտությունը (8) ներկայացնում է 0-Г թեորեմը դիֆերենցիալ տեսքով: Այս ձևով թեորեմը ցույց է տալիս, որ որ էլեկտրական դաշտի աղբյուրները ազատ էլեկտրական լիցքեր են.էլեկտրական ինդուկցիոն վեկտորի դաշտային գծերը սկսվում և ավարտվում են համապատասխանաբար դրական և բացասական լիցքերով:

Գաուսի թեորեմ էլեկտրական ինդուկցիայի համար (էլեկտրական տեղաշարժ)

Դիէլեկտրիկ միջավայրում գտնվող դաշտի համար Գաուսի էլեկտրաստատիկ թեորեմը կարելի է գրել այլ կերպ (այլընտրանքային եղանակով)՝ էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի հոսքի միջոցով (էլեկտրական ինդուկցիա)։ Այս դեպքում թեորեմի ձևակերպումը հետևյալն է. էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի հոսքը փակ մակերեսով համաչափ է այս մակերեսի ներսում պարունակվող ազատ էլեկտրական լիցքին.

Դիֆերենցիալ ձևով.

Գաուսի թեորեմը մագնիսական ինդուկցիայի համար

Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը ցանկացած փակ մակերեսով զրոյական է.

կամ դիֆերենցիալ ձևով

Սա համարժեք է այն փաստին, որ բնության մեջ չկան «մագնիսական լիցքեր» (մոնոպոլներ), որոնք կստեղծեն մագնիսական դաշտ, ինչպես էլեկտրական լիցքերն են ստեղծում էլեկտրական դաշտ: Այլ կերպ ասած, Գաուսի մագնիսական ինդուկցիայի թեորեմը ցույց է տալիս, որ մագնիսական դաշտը (ամբողջովին) հորձանուտ.

Գաուսի թեորեմ Նյուտոնի գրավիտացիայի համար

Նյուտոնյան գրավիտացիայի դաշտի ուժի համար (գրավիտացիոն արագացում) Գաուսի թեորեմը գործնականում համընկնում է էլեկտրաստատիկայում, բացառությամբ միայն հաստատունների (սակայն, կախված է միավորների համակարգի կամայական ընտրությունից) և, ամենակարևորը, նշանից.

Որտեղ է- գրավիտացիոն դաշտի ուժ, Մ- գրավիտացիոն լիցք (այսինքն՝ զանգված) մակերեսի ներսում Ս, ρ - զանգվածային խտություն, Գ- Նյուտոնյան հաստատուն.

Հաղորդիչներ էլեկտրական դաշտում. Դաշտ դիրիժորի ներսում և դրա մակերեսի վրա:

Հաղորդիչները մարմիններ են, որոնց միջոցով էլեկտրական լիցքերը կարող են լիցքավորված մարմնից անցնել չլիցքավորված մարմնին:Հաղորդավարների՝ իրենց միջով էլեկտրական լիցքեր փոխանցելու ունակությունը բացատրվում է դրանցում ազատ լիցքակիրների առկայությամբ։ Հաղորդիչներ - մետաղական մարմիններ պինդ և հեղուկ վիճակում, էլեկտրոլիտների հեղուկ լուծույթներ։ Էլեկտրական դաշտ մտցված հաղորդիչի ազատ լիցքերը սկսում են շարժվել նրա ազդեցության տակ։ Լիցքերի վերաբաշխումն առաջացնում է էլեկտրական դաշտի փոփոխություն։ Երբ էլեկտրական դաշտի ուժգնությունը հաղորդիչում դառնում է զրո, էլեկտրոնները դադարում են շարժվել: Էլեկտրական դաշտում տեղադրված հաղորդիչում ի տարբերություն լիցքերի տարանջատման երևույթը կոչվում է էլեկտրաստատիկ ինդուկցիա։ Հաղորդավարի ներսում էլեկտրական դաշտ չկա: Սա օգտագործվում է էլեկտրաստատիկ պաշտպանության համար՝ էլեկտրական դաշտից մետաղական հաղորդիչների օգտագործմամբ պաշտպանություն: Էլեկտրական դաշտում ցանկացած ձևի հաղորդիչ մարմնի մակերեսը հավասարազոր մակերես է:

Կոնդենսատորներ

Սարքեր ձեռք բերելու համար, որոնք միջինի համեմատ ցածր պոտենցիալով իրենց վրա նկատելի լիցքեր են կուտակել (խտացնել), նրանք օգտագործում են այն փաստը, որ հաղորդիչի էլեկտրական հզորությունը մեծանում է, երբ մյուս մարմինները մոտենում են դրան: Իրոք, լիցքավորված հաղորդիչների կողմից ստեղծված դաշտի ազդեցության տակ նրան բերված մարմնի վրա առաջանում են ինդուկտացված (հաղորդիչի վրա) կամ կապված (դիէլեկտրիկի վրա) լիցքերը (նկ. 15.5): Հաղորդավար q-ի լիցքին հակառակ նշանով լիցքերը գտնվում են հաղորդիչին ավելի մոտ, քան q-ով համանուն լիցքերը և, հետևաբար, մեծ ազդեցություն ունեն դրա ներուժի վրա:

Հետևաբար, երբ որևէ մարմին մոտեցնում են լիցքավորված հաղորդիչին, դաշտի ուժգնությունը նվազում է, և, հետևաբար, հաղորդիչի ներուժը նվազում է։ Ըստ հավասարման՝ սա նշանակում է հաղորդիչի հզորության ավելացում։

Կոնդենսատորը բաղկացած է երկու հաղորդիչից (ափսեներ) (նկ. 15.6), որոնք բաժանված են դիէլեկտրական շերտով։ Երբ հաղորդիչի վրա կիրառվում է որոշակի պոտենցիալ տարբերություն, նրա թիթեղները լիցքավորվում են հակառակ նշանի հավասար լիցքերով: Կոնդենսատորի էլեկտրական հզորությունը հասկացվում է որպես ֆիզիկական մեծություն, որը համամասն է q լիցքին և հակադարձ համեմատական ​​է թիթեղների միջև պոտենցիալ տարբերությանը:

Եկեք որոշենք հարթ կոնդենսատորի հզորությունը:

Եթե ​​ափսեի մակերեսը S է, իսկ դրա լիցքը q է, ապա թիթեղների միջև դաշտի ուժգնությունը

Մյուս կողմից, թիթեղների միջև պոտենցիալ տարբերությունը գալիս է

Կետային լիցքերի համակարգի, լիցքավորված հաղորդիչի և կոնդենսատորի էներգիա:

Լիցքավորման ցանկացած համակարգ ունի որոշակի պոտենցիալ փոխազդեցության էներգիա, որը հավասար է այս համակարգի ստեղծման վրա ծախսված աշխատանքին։ Կետային լիցքերի համակարգի էներգիա ք 1 , ք 2 , ք 3 ,… ք Նսահմանվում է հետևյալ կերպ.

Որտեղ φ 1 – էլեկտրական դաշտի ներուժը, որը ստեղծվում է բոլոր լիցքերով, բացառությամբ ք 1 այն կետում, որտեղ գտնվում է լիցքը ք 1 և այլն: Եթե ​​փոխվում է լիցքերի համակարգի կոնֆիգուրացիան, ապա փոխվում է նաև համակարգի էներգիան։ Համակարգի կոնֆիգուրացիան փոխելու համար պետք է աշխատանք կատարվի:

Կետային լիցքերի համակարգի պոտենցիալ էներգիան կարելի է հաշվարկել այլ կերպ։ Երկու կետային լիցքերի պոտենցիալ էներգիա ք 1 , ք 2-ը միմյանցից հեռավորության վրա հավասար են: Եթե ​​կան մի քանի լիցքեր, ապա լիցքերի այս համակարգի պոտենցիալ էներգիան կարող է սահմանվել որպես բոլոր զույգ լիցքերի պոտենցիալ էներգիաների գումար, որոնք կարող են կազմվել այս համակարգի համար: Այսպիսով, երեք դրական լիցքերից բաղկացած համակարգի համար համակարգի էներգիան հավասար է

Կետային լիցքի էլեկտրական դաշտ ք 0 նրանից հեռավորության վրա դիէլեկտրական հաստատուն ունեցող միջավայրում ε (Տե՛ս Նկար 3.1.3): Նկար 3.1.3	; Պոտենցիալը սկալյար է, նրա նշանը կախված է դաշտը ստեղծող լիցքի նշանից։
Նկար 3.1.4. Միատեսակ լիցքավորված շառավիղի էլեկտրական դաշտը C կետում իր մակերեսից հեռավորության վրա (Նկար 3.1.4): Գնդի էլեկտրական դաշտը նման է կետային լիցքի դաշտին, որը հավասար է ոլորտի լիցքին քսֆ և կենտրոնացած իր կենտրոնում։ Հեռավորությունը դեպի այն կետը, որտեղ որոշվում է լարվածությունը (+Ռ)	ա ; Շրջանակից դուրս. , Ոլորտի ներսում ներուժը հաստատուն է և հավասար
իսկ ոլորտի ներսում լարվածությունը զրո է σ Մակերեւութային խտությամբ հավասարաչափ լիցքավորված անսահման հարթության էլեկտրական դաշտը (Տե՛ս Նկար 3.1.5):	Նկար 3.1.5. Դաշտը, որի ուժը բոլոր կետերում նույնն է, կոչվում է. միատարր σ Մակերեւույթի խտությունը
– լիցքավորում մեկ միավոր մակերեսի համար (որտեղ են գտնվում համապատասխանաբար ինքնաթիռի լիցքը և մակերեսը): Մակերեւութային լիցքի խտության չափը. Հարթ կոնդենսատորի էլեկտրական դաշտը՝ հավասար մեծությամբ, բայց հակառակ նշանով սալերի լիցքերով (տես Նկար 3.1.6):	Նկար 3.1.6 Ե=0. Լարվածություն զուգահեռ ափսեի կոնդենսատորի թիթեղների միջև, կոնդենսատորից դուրս Պոտենցիալ տարբերություն u կոնդենսատորի թիթեղների (սալերի) միջև՝ , որտեղդ – թիթեղների միջև հեռավորությունը, – կոնդենսատորի թիթեղների միջև տեղադրված դիէլեկտրիկի դիէլեկտրական հաստատունը.

Կոնդենսատորի թիթեղների վրա մակերևութային լիցքի խտությունը հավասար է դրա վրա լիցքավորման քանակի հարաբերակցությանը ափսեի մակերեսին.

Լիցքավորված միայնակ հաղորդիչի և կոնդենսատորի էներգիա Եթե ​​մեկուսացված հաղորդիչն ունի q լիցք, ապա նրա շուրջ կա էլեկտրական դաշտ, որի պոտենցիալը հաղորդիչի մակերեսի վրա հավասար է , իսկ տարողությունը՝ C։ Եկեք ավելացնենք լիցքը dq չափով։ Լիցք dq-ն անսահմանությունից փոխանցելիս աշխատանքը պետք է կատարվի հավասար

. Բայց տվյալ հաղորդիչի էլեկտրաստատիկ դաշտի պոտենցիալը անսահմանության ժամանակ զրոյական է։ Հետո

Լիցքը dq հաղորդիչից անվերջություն տեղափոխելիս նույն աշխատանքը կատարվում է էլեկտրաստատիկ դաշտի ուժերով։ Հետևաբար, երբ հաղորդիչի լիցքը մեծանում է dq չափով, դաշտի պոտենցիալ էներգիան մեծանում է, այսինքն.

Այս արտահայտությունը ինտեգրելով՝ մենք գտնում ենք լիցքավորված հաղորդիչի էլեկտրաստատիկ դաշտի պոտենցիալ էներգիան, երբ նրա լիցքը զրոյից բարձրանում է q.

Կիրառելով հարաբերությունը՝ մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ արտահայտությունները W պոտենցիալ էներգիայի համար.

Ընդհանուր ձևակերպում. Էլեկտրական դաշտի ուժգնության վեկտորի հոսքը ցանկացած կամայականորեն ընտրված փակ մակերևույթի միջով համաչափ է այս մակերեսի ներսում պարունակվող էլեկտրական լիցքին:

SGSE համակարգում.

SI համակարգում.

էլեկտրական դաշտի ուժգնության վեկտորի հոսքն է փակ մակերեսով։

- մակերեսը սահմանափակող ծավալի մեջ պարունակվող ընդհանուր լիցքը:

- էլեկտրական հաստատուն.

Այս արտահայտությունը ներկայացնում է Գաուսի թեորեմն ինտեգրալ ձևով։

Դիֆերենցիալ ձևով Գաուսի թեորեմը համապատասխանում է Մաքսվելի հավասարումներից մեկին և արտահայտվում է հետևյալ կերպ.

SI համակարգում.

,

SGSE համակարգում.

Ահա ծավալային լիցքի խտությունը (միջավայրի առկայության դեպքում՝ ազատ և կապված լիցքերի ընդհանուր խտությունը) և հանդիսանում է nabla օպերատոր։

Գաուսի թեորեմի համար գործում է սուպերպոզիցիայի սկզբունքը, այսինքն՝ ինտենսիվության վեկտորի հոսքը մակերեսով կախված չէ մակերևույթի ներսում լիցքի բաշխումից։

Գաուսի թեորեմի ֆիզիկական հիմքը Կուլոնի օրենքն է կամ, այլ կերպ ասած, Գաուսի թեորեմը Կուլոնի օրենքի անբաժանելի ձևակերպումն է։

Գաուսի թեորեմը էլեկտրական ինդուկցիայի համար (էլեկտրական տեղաշարժ):

Նյութի դաշտի համար Գաուսի էլեկտրաստատիկ թեորեմը կարող է գրվել այլ կերպ՝ էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի հոսքի միջոցով (էլեկտրական ինդուկցիա): Այս դեպքում թեորեմի ձևակերպումը հետևյալն է. էլեկտրական տեղաշարժի վեկտորի հոսքը փակ մակերեսով համաչափ է այս մակերեսի ներսում պարունակվող ազատ էլեկտրական լիցքին.

Եթե ​​դիտարկենք նյութի դաշտի ուժի թեորեմը, ապա որպես լիցք Q անհրաժեշտ է վերցնել մակերևույթի ներսում գտնվող ազատ լիցքի և դիէլեկտրիկի բևեռացման (առաջացված, կապված) լիցքի գումարը.

,

Որտեղ ,
դիէլեկտրիկի բևեռացման վեկտորն է։

Գաուսի թեորեմը մագնիսական ինդուկցիայի համար

Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի հոսքը ցանկացած փակ մակերեսով զրոյական է.

.

Սա համարժեք է այն փաստին, որ բնության մեջ չկան «մագնիսական լիցքեր» (մոնոպոլներ), որոնք կստեղծեն մագնիսական դաշտ, ինչպես էլեկտրական լիցքերն են ստեղծում էլեկտրական դաշտ։ Այլ կերպ ասած, մագնիսական ինդուկցիայի Գաուսի թեորեմը ցույց է տալիս, որ մագնիսական դաշտը հորձանուտ է։

Գաուսի թեորեմի կիրառում

Էլեկտրամագնիսական դաշտերը հաշվարկելու համար օգտագործվում են հետևյալ քանակությունները.

Ծավալային լիցքի խտությունը (տես վերևում):

Մակերեւութային լիցքավորման խտությունը

որտեղ dS-ը անվերջ փոքր մակերես է:

Գծային լիցքավորման խտություն

որտեղ dl-ը անվերջ փոքր հատվածի երկարությունն է:

Դիտարկենք անսահման միատեսակ լիցքավորված հարթության ստեղծած դաշտը։ Թող հարթության մակերևութային լիցքի խտությունը լինի նույնը և հավասար ս. Եկեք պատկերացնենք մի գլան՝ հարթությանը ուղղահայաց գեներատորներով և ΔS հիմքով, որը գտնվում է հարթության նկատմամբ սիմետրիկորեն։ Համաչափության շնորհիվ. Լարվածության վեկտորի հոսքը հավասար է . Կիրառելով Գաուսի թեորեմը՝ ստանում ենք.

,

որից

ՍԱՊԾ համակարգում

Կարևոր է նշել, որ չնայած իր ունիվերսալությանը և ընդհանրությանը, Գաուսի թեորեմն ինտեգրալ ձևով համեմատաբար սահմանափակ կիրառություն ունի՝ ինտեգրալի հաշվարկման անհարմարության պատճառով։ Սակայն սիմետրիկ խնդրի դեպքում դրա լուծումը դառնում է շատ ավելի պարզ, քան սուպերպոզիցիայի սկզբունքի օգտագործումը։