Ո՞րն է սինուսային բանաձևը: Եռանկյունաչափության բոլոր բանաձևերը. Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում

Որոշ խնդիրներ լուծելու համար օգտակար կլինի եռանկյունաչափական ինքնությունների աղյուսակը, որը շատ ավելի հեշտ կդարձնի ֆունկցիայի փոխակերպումները.

Ամենապարզ եռանկյունաչափական ինքնությունները

Ալֆայի անկյան սինուսը նույն անկյան կոսինուսի վրա բաժանելու գործակիցը հավասար է այս անկյան շոշափողին (բանաձև 1): Տես նաև պարզագույն եռանկյունաչափական ինքնությունների փոխակերպման ճիշտության ապացույցը։
Ալֆա անկյան կոսինուսը նույն անկյան սինուսի վրա բաժանելու գործակիցը հավասար է նույն անկյան կոտանգենսին (բանաձև 2)
Անկյունի կտրվածք մեկին հավասարբաժանված է նույն անկյան կոսինուսով (Բանաձև 3)
Նույն անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի (բանաձև 4): տե՛ս նաև կոսինուսի և սինուսի քառակուսիների գումարի ապացույցը։
Անկյան միավորի և շոշափողի գումարը հավասար է այս անկյան միավորի և կոսինուսի քառակուսու հարաբերությանը (Բանաձև 5)
Միավորը գումարած անկյան կոտանգենսը հավասար է միավորը այս անկյան սինուսի քառակուսու վրա բաժանելու գործակցին (Բանաձև 6)
Նույն անկյան շոշափողի և կոտանգենսի արտադրյալը հավասար է մեկի (Բանաձև 7):

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բացասական անկյունների փոխակերպում (զույգ և կենտ)

Սինուսը, կոսինուսը կամ շոշափողը հաշվարկելիս անկյան աստիճանի չափման բացասական արժեքից ազատվելու համար կարող եք օգտագործել զույգ կամ կենտ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սկզբունքների հիման վրա հետևյալ եռանկյունաչափական փոխակերպումները (ինքնությունները):

Ինչպես երևում է, կոսինուսիսկ սեկանտն է նույնիսկ գործառույթ, սինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը կենտ ֆունկցիաներ են.

Բացասական անկյան սինուսը հավասար է նույն դրական անկյան սինուսի բացասական արժեքին (հանած ալֆայի սինուսը):
Կոսինուսը «մինուս ալֆա» կտա նույն արժեքը, ինչ անկյան ալֆայի կոսինուսը:
Շոշափող մինուս ալֆան հավասար է մինուս շոշափող ալֆային:

Կրկնակի անկյան կրճատման բանաձևեր (կրկնակի անկյան սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս)

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է անկյունը կիսով չափ բաժանել, կամ հակառակը, կրկնակի անկյունից անցնել մեկին, կարող եք օգտագործել հետևյալ եռանկյունաչափական նույնականությունները.

Կրկնակի անկյան փոխարկում (կրկնակի անկյան սինուս, երկանկյան կոսինուս և կրկնակի անկյան շոշափող) մեկում առաջանում է հետևյալ կանոնների համաձայն.

Կրկնակի անկյան սինուսհավասար է մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի արտադրյալի երկու անգամ

Կրկնակի անկյան կոսինուս հավասար է տարբերությանըմեկ անկյան կոսինուսի քառակուսին և այդ անկյան սինուսի քառակուսին

Կրկնակի անկյան կոսինուսհավասար է մեկ անկյան կոսինուսի քառակուսու կրկնապատիկին՝ հանած մեկ

Կրկնակի անկյան կոսինուսհավասար է մեկին հանած մեկ անկյան կրկնակի սինուսի քառակուսին

Կրկնակի անկյան շոշափողհավասար է կոտորակի, որի համարիչը երկու անգամ մեծ է մեկ անկյան շոշափողից, և որի հայտարարը հավասար է մեկ անկյան քառակուսու շոշափողին հանած։

Կրկնակի անկյան կոտանգենսհավասար է կոտորակի, որի համարիչը հավասար է մեկ անկյան կոտանգենսի քառակուսին մինուս մեկ, իսկ հայտարարը հավասար է մեկ անկյան կոտանգենսի երկու անգամ

Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևեր

Ստորև բերված փոխակերպման բանաձևերը կարող են օգտակար լինել, երբ անհրաժեշտ է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արգումենտը (sin α, cos α, tg α) բաժանել երկուսի և արտահայտությունը հասցնել անկյան կեսի արժեքին։ α-ի արժեքից ստանում ենք α/2 .

Այս բանաձեւերը կոչվում են համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևեր. Դրանց արժեքը կայանում է նրանում, որ եռանկյունաչափական արտահայտությունը նրանց օգնությամբ կրճատվում է մինչև կես անկյան շոշափողի արտահայտում, անկախ նրանից, թե որ եռանկյունաչափական ֆունկցիան է ( մեղք cos tg ctg) ի սկզբանե եղել են արտահայտության մեջ: Դրանից հետո կես անկյան շոշափողով հավասարումը շատ ավելի հեշտ է լուծել։

Եռանկյունաչափական կիսանկյուն փոխակերպման ինքնություններ

Ստորև բերված են անկյան կես արժեքի եռանկյունաչափական փոխակերպման բանաձևերը նրա ամբողջ արժեքին:
α/2 եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկի արժեքը նվազեցվում է α եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկի արժեքին։

Անկյուններ ավելացնելու եռանկյունաչափական բանաձևեր

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Անկյունների գումարի շոշափող և կոտանգենսալֆա և բետա կարող են փոխակերպվել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխակերպման հետևյալ կանոնների համաձայն.

Անկյունների գումարի շոշափողհավասար է կոտորակի, որի համարիչը առաջին անկյան շոշափողի և երկրորդ անկյան շոշափողի գումարն է, իսկ հայտարարը մեկ հանած առաջին անկյան շոշափողի և երկրորդ անկյան շոշափողի արտադրյալը։

Անկյունների տարբերության շոշափողհավասար է կոտորակի, որի համարիչը հավասար է կրճատվող անկյան շոշափողի և հանվող անկյան շոշափողի տարբերությանը, իսկ հայտարարը մեկ գումարած այս անկյունների շոշափումների արտադրյալն է։

Անկյունների գումարի կոտանգենսհավասար է այն կոտորակի հետ, որի համարիչը հավասար է արտադրանքինայս անկյունների կոտանգենսներին գումարած մեկ, իսկ հայտարարը հավասար է երկրորդ անկյան կոտանգենսի և առաջին անկյան կոտանգենսի տարբերությանը:

Անկյունների տարբերության կոտանգենսհավասար է կոտորակի, որի համարիչը այս անկյունների կոտանգենսների արտադրյալն է՝ հանած մեկ, իսկ հայտարարը հավասար է այս անկյունների կոտանգենսների գումարին։

Այս եռանկյունաչափական նույնականությունները հարմար են օգտագործել, երբ անհրաժեշտ է հաշվարկել, օրինակ, 105 աստիճանի շոշափողը (tg 105): Եթե ​​այն ներկայացված է tg (45 + 60), ապա կարող եք օգտագործել անկյունների գումարի շոշափողի տրված նույնական փոխակերպումները, որից հետո պարզապես փոխարինել 45-ի շոշափողի և 60 աստիճանի շոշափողի աղյուսակային արժեքները:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը կամ տարբերությունը փոխակերպելու բանաձևեր

sin α + sin β ձևի գումարը ներկայացնող արտահայտությունները կարող են փոխարկվել հետևյալ բանաձևերի միջոցով.

Եռակի անկյունային բանաձևեր - sin3α cos3α tg3α փոխակերպեք sinα cosα tgα

Երբեմն անհրաժեշտ է փոխակերպել անկյան եռակի արժեքը, որպեսզի α անկյունը 3α-ի փոխարեն դառնա եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկ։
Այս դեպքում եռակի անկյան փոխակերպման համար կարող եք օգտագործել բանաձևերը (ինքնությունները).

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի փոխակերպման բանաձևեր

Եթե ​​անհրաժեշտ է դառնում փոխակերպել տարբեր անկյունների կոսինուսների տարբեր անկյունների սինուսների արտադրյալը կամ նույնիսկ սինուսի և կոսինուսի արտադրյալը, ապա կարող եք օգտագործել հետևյալ եռանկյունաչափական նույնականությունները.


Այս դեպքում տարբեր անկյունների սինուսի, կոսինուսի կամ շոշափող ֆունկցիաների արտադրյալը կվերածվի գումարի կամ տարբերության։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կրճատման բանաձևեր

Դուք պետք է օգտագործեք ձուլման աղյուսակը հետևյալ կերպ. Տողում ընտրեք մեզ հետաքրքրող ֆունկցիան։ Սյունակը անկյուն է: Օրինակ, առաջին շարքի և առաջին սյունակի հատման կետում գտնվող անկյան (α+90) սինուսը պարզում ենք, որ sin (α+90) = cos α .

|ԲԴ| - A կետում կենտրոնացած շրջանագծի աղեղի երկարությունը:
α-ն ռադիաններով արտահայտված անկյունն է։

Շոշափող ( tgα) - Սա եռանկյունաչափական ֆունկցիա, կախված α անկյունից հիպոթենուսի և ոտքի միջև ուղղանկյուն եռանկյուն, հավասար է հակառակ ոտքի երկարության |մ.թ.ա.| հարակից ոտքի երկարությանը |AB| .
Կոտանգենս ( ctgα) եռանկյունաչափական ֆունկցիա է՝ կախված ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյունից, հավասար է հարակից ոտքի երկարության |AB| հակառակ ոտքի երկարությամբ |Ք.ա.| .

Շոշափող

Որտեղ n- ամբողջ.

Արևմտյան գրականության մեջ շոշափողը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
;
;
.

Շոշափող ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = tg x

Կոտանգենս

Որտեղ n- ամբողջ.

Արևմտյան գրականության մեջ կոտանգենսը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Ընդունվել է նաև հետևյալ նշումը.
;
;
.

Կոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = ctg x

Տանգենսի և կոտանգենսի հատկությունները

Պարբերականություն

y= ֆունկցիաներ tg xև y= ctg xՊարբերական են՝ π ժամանակահատվածով։

Պարիտետ

Շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաները կենտ են:

Սահմանման և արժեքների տիրույթներ՝ աճող, նվազող

Շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաները շարունակական են իրենց սահմանման տիրույթում (տե՛ս շարունակականության ապացույցը): Տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում ( n- ամբողջ թիվ):

	y= tg x	y= ctg x
Շրջանակ և շարունակականություն
Արժեքների տիրույթ	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Աճող		-
Նվազող	-
Ծայրահեղություններ	-	-
Զրոներ, y= 0
y առանցքի հետ հատման կետերը, x = 0	y= 0	-

Բանաձևեր

Արտահայտություններ սինուսով և կոսինուսներով

; ;
; ;
;

Գումարի և տարբերության շոշափողի և կոտանգենսի բանաձևերը

Մնացած բանաձևերը հեշտ է ձեռք բերել, օրինակ

շոշափողների արտադրյալ

Շոշափողների գումարի և տարբերության բանաձևը

Այս աղյուսակը ցույց է տալիս շոշափողների և կոտանգենսների արժեքները փաստարկի որոշ արժեքների համար:

Արտահայտություններ կոմպլեքս թվերով

Արտահայտություններ հիպերբոլիկ ֆունկցիաների առումով

;
;

Ածանցյալներ

; .

.
n-րդ կարգի ածանցյալը ֆունկցիայի x փոփոխականի նկատմամբ.
.
> > > շոշափողի բանաձևերի ստացում; կոտանգենտի համար > > >

Ինտեգրալներ

Ընդլայնումներ շարքերի մեջ

X-ի ուժերով տանգենսի ընդլայնումը ստանալու համար անհրաժեշտ է ֆունկցիաների համար ընդունել ուժային շարքի ընդլայնման մի քանի անդամ. մեղք xԵվ cos xև այս բազմանդամները բաժանե՛ք միմյանց, . Սա հանգեցնում է հետևյալ բանաձևերի.

ժամը .

ժամը .
Որտեղ B n- Բեռնուլիի թվեր. Դրանք որոշվում են կամ կրկնվող հարաբերությունից.
;
;
Որտեղ.
Կամ ըստ Լապլասի բանաձևի.

Հակադարձ գործառույթներ

Տանգենսին և կոտանգենսին հակադարձ ֆունկցիաները համապատասխանաբար արկտանգենս և արկոտանգենս են:

Arctangent, arctg

, Որտեղ n- ամբողջ.

Arc tangent, arcctg

, Որտեղ n- ամբողջ.

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.
G. Korn, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ հետազոտողների և ճարտարագետների համար, 2012 թ.

Տես նաեւ:

Զորավարժություններ.
Գտե՛ք x-ի արժեքը:

Լուծում.
Գտնել ֆունկցիայի արգումենտի արժեքը, որի դեպքում այն ​​հավասար է որոշ արժեքի, նշանակում է որոշել, թե որ արգումենտների համար սինուսի արժեքը կլինի ճիշտ նույնը, ինչ նշված է պայմանում:
Այս դեպքում մենք պետք է պարզենք, թե ինչ արժեքներով սինուսի արժեքը հավասար կլինի 1/2-ի: Դա կարելի է անել մի քանի եղանակով.
Օրինակ, օգտագործեք, որով կարելի է որոշել, թե x-ի որ արժեքների դեպքում սինուսի ֆունկցիան հավասար կլինի 1/2-ի:
Մեկ այլ միջոց է օգտագործել. Հիշեցնեմ, որ սինուսների արժեքները գտնվում են Oy առանցքի վրա:
Ամենատարածված ձևը հղում կատարելն է, հատկապես, եթե մենք խոսում ենքայս ֆունկցիայի համար այնպիսի ստանդարտ արժեքների մասին, ինչպիսին է 1/2:
Բոլոր դեպքերում չպետք է մոռանալ սինուսի ամենակարեւոր հատկություններից մեկի՝ նրա շրջանի մասին։
Եկեք աղյուսակում գտնենք սինուսի 1/2 արժեքը և տեսնենք, թե ինչ արգումենտներ են դրան համապատասխանում։ Մեզ հետաքրքրող փաստարկներն են Pi / 6 և 5Pi / 6:
Գրի՛ր տրված հավասարմանը բավարարող բոլոր արմատները։ Դա անելու համար մենք գրում ենք մեզ հետաքրքրող x անհայտ արգումենտը և աղյուսակից ստացված փաստարկի արժեքներից մեկը, այսինքն՝ Pi / 6: Եկեք դրա համար գրենք՝ հաշվի առնելով սինուսային շրջանը, փաստարկի բոլոր արժեքները.

Վերցնենք երկրորդ արժեքը և կատարենք նույն քայլերը, ինչ նախորդ դեպքում.

Սկզբնական հավասարման ամբողջական լուծումը կլինի.
Եվ
քկարող է վերցնել ցանկացած ամբողջ թվի արժեքը:

Սինուսային արժեքները գտնվում են [-1; 1], այսինքն. -1 ≤ sin α ≤ 1. Հետեւաբար, եթե |a| > 1, ապա sin x = a հավասարումը արմատներ չունի: Օրինակ, sin x = 2 հավասարումը արմատներ չունի:

Անդրադառնանք որոշ առաջադրանքներին.

Լուծե՛ք sin x = 1/2 հավասարումը:

Լուծում.

Նկատի ունեցեք, որ sin x-ը միավոր շրջանագծի կետի օրդինատն է, որը ստացվում է Р (1; 0) կետի պտտման արդյունքում x անկյան տակ սկզբնաղբյուրի շուրջ։

M 1 և M 2 շրջանագծի երկու կետերում ½-ի հավասար օրդինատ կա:

Քանի որ 1/2 = sin π/6, ապա M 1 կետը ստացվում է P կետից (1; 0) պտտվելով x 1 = π/6 անկյան միջով, ինչպես նաև x = π/6 + 2πk անկյուններով, որտեղ k = +/-1, +/-2, ...

M 2 կետը ստացվում է P կետից (1; 0) x 2 = 5π/6, ինչպես նաև x = 5π/6 + 2πk անկյուններով պտտվելու արդյունքում, որտեղ k = +/-1, +/-2, ..., այսինքն. x = π – π/6 + 2πk անկյուններում, որտեղ k = +/-1, +/-2, ….

Այսպիսով, sin x = 1/2 հավասարման բոլոր արմատները կարելի է գտնել x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk բանաձեւերով, որտեղ k € Z:

Այս բանաձևերը կարելի է միավորել մեկի մեջ՝ x \u003d (-1) n π / 6 + πn, որտեղ n € Z (1):

Իսկապես, եթե n զույգ թիվ, այսինքն. n = 2k, ապա (1) բանաձեւից ստանում ենք х = π/6 + 2πk, իսկ եթե n-ը կենտ թիվ է, այսինքն. n = 2k + 1, ապա (1) բանաձեւից ստանում ենք х = π – π/6 + 2πk:

Պատասխանել. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, որտեղ n € Z.

Լուծե՛ք sin x = -1/2 հավասարումը:

Լուծում.

-1/2 օրդինատն ունի M 1 և M 2 միավոր շրջանագծի երկու կետ, որտեղ x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6: Այսպիսով, sin x = -1/2 հավասարման բոլոր արմատները կարելի է գտնել x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z բանաձեւերով:

Մենք կարող ենք միավորել այս բանաձևերը մեկի մեջ՝ x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2):

Իսկապես, եթե n = 2k, ապա (2) բանաձևով մենք ստանում ենք x = -π/6 + 2πk, իսկ եթե n = 2k – 1, ապա (2) բանաձևով մենք գտնում ենք x = -5π/6 + 2πk:

Պատասխանել. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.

Այսպիսով, sin x = 1/2 և sin x = -1/2 հավասարումներից յուրաքանչյուրն ունի անսահման թվով արմատներ:

-π/2 ≤ x ≤ π/2 հատվածի վրա այս հավասարումներից յուրաքանչյուրն ունի միայն մեկ արմատ.
x 1 \u003d π / 6 - sin x \u003d 1/2 հավասարման արմատը և x 1 \u003d -π / 6 - sin x \u003d -1/2 հավասարման արմատը:

π/6 թիվը կոչվում է 1/2 թվի աղեղնաշար և գրվում է՝ arcsin 1/2 = π/6; -π/6 թիվը կոչվում է -1/2 թվի արկսին և գրում են՝ arcsin (-1/2) = -π/6:

Ընդհանուր առմամբ, sin x \u003d a հավասարումը, որտեղ -1 ≤ a ≤ 1, -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 հատվածում ունի միայն մեկ արմատ: Եթե ​​a ≥ 0, ապա արմատը կցվում է միջակայքում; Եթե< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Այսպիսով, a € թվի արկսինը [–1; 1] նման թիվը կոչվում է € [–π/2; π/2], որի սինուսը ա.

arcsin a = α, եթե sin α = a և -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3):

Օրինակ՝ arcsin √2/2 = π/4, քանի որ sin π/4 = √2/2 և – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, քանի որ sin (-π/3) = -√3/2 և – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

Ինչպես դա արվեց 1-ին և 2-րդ խնդիրները լուծելիս, կարելի է ցույց տալ, որ հավասարման արմատները sin x = a, որտեղ |a| ≤ 1-ն արտահայտվում են բանաձևով

x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4):

Մենք կարող ենք նաև ապացուցել, որ ցանկացած € [-1; 1] arcsin (-a) = -arcsin a բանաձեւը վավեր է:

Բանաձևից (4) հետևում է, որ հավասարման արմատները
sin x \u003d a a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1-ի համար կարելի է գտնել ավելի պարզ բանաձևերի միջոցով.

sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)

sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)

sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Եռանկյունաչափության մեջ շատ բանաձևեր ավելի հեշտ է եզրակացնել, քան անգիր անել: Կրկնակի անկյան կոսինուսը հրաշալի բանաձև է։ Այն թույլ է տալիս ստանալ կրճատման բանաձևեր և կես անկյունային բանաձևեր:

Այսպիսով, մեզ անհրաժեշտ է կրկնակի անկյան կոսինուս և եռանկյունաչափական միավոր.

Դրանք նույնիսկ նման են՝ կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևում՝ կոսինուսի և սինուսի քառակուսիների տարբերությունը, իսկ եռանկյունաչափական միավորում՝ դրանց գումարը։ Եթե ​​արտահայտենք կոսինուսը եռանկյունաչափական միավորից.

և այն փոխարինելով կրկնակի անկյան կոսինուսով, ստանում ենք.

Սա կրկնակի անկյան կոսինուսի ևս մեկ բանաձև է.

Այս բանաձևը նվազեցման բանաձևը ստանալու բանալին է.

Այսպիսով, սինուսի աստիճանի իջեցման բանաձևը հետևյալն է.

Եթե ​​դրանում ալֆա անկյունը փոխարինվում է կիսանկյան ալֆայով կիսով չափ, իսկ երկու ալֆա անկյունը փոխարինվում է ալֆա անկյունով, ապա մենք ստանում ենք սինուսի կես անկյան բանաձևը.

Այժմ, եռանկյունաչափական միավորից, մենք արտահայտում ենք սինուսը.

Փոխարինեք այս արտահայտությունը կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևով.

Կրկնակի անկյան կոսինուսի մեկ այլ բանաձև ստացանք.

Այս բանաձևը կոսինուսի կրճատման և կես անկյան բանաձևի հայտնաբերման բանալին է:

Այսպիսով, կոսինուսի աստիճանի իջեցման բանաձևը հետևյալն է.

Եթե ​​նրանում α/2-ով փոխարինենք, իսկ 2α-ը՝ α-ով, ապա կստանանք կոսինուսի կես փաստարկի բանաձևը.

Քանի որ շոշափողը սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցությունն է, տանգենսի բանաձևը հետևյալն է.

Կոտանգենսը կոսինուսի և սինուսի հարաբերակցությունն է: Այսպիսով, կոտանգենսի բանաձևը հետևյալն է.

Իհարկե, եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցման գործընթացում իմաստ չունի ամեն անգամ կիսանկյունային բանաձևեր դուրս բերել կամ աստիճանը իջեցնել։ Շատ ավելի հեշտ է բանաձևերի թերթիկ դնել ձեր առջև։ Եվ պարզեցումն ավելի արագ կառաջանա, և տեսողական հիշողությունը կմիանա անգիր անելու համար:

Բայց դեռ արժե մի քանի անգամ դուրս բերել այս բանաձեւերը։ Այնուհետև դուք լիովին վստահ կլինեք, որ քննության ժամանակ, երբ հնարավոր չէ օգտագործել cheat sheet, դուք հեշտությամբ կարող եք դրանք ստանալ, եթե անհրաժեշտություն առաջանա: