Եթե ​​կայունության երեւույթը միջինտեղի է ունենում իրականում, ապա մաթեմատիկական մոդելում, որի օգնությամբ մենք ուսումնասիրում ենք պատահական երևույթները, պետք է լինի այս փաստն արտացոլող թեորեմ։
Այս թեորեմի պայմաններում մենք սահմանափակումներ ենք մտցնում պատահական փոփոխականների վրա X 1 , X 2 , …, X n:

ա) յուրաքանչյուր պատահական փոփոխական X iունի մաթեմատիկական ակնկալիք

Մ(X i) = ա;

բ) յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականի շեղումը վերջավոր է, կամ կարող ենք ասել, որ շեղումները վերևից սահմանափակված են նույն թվով, օրինակ. ՀԵՏ, այսինքն.

Դ(X i) < C, i = 1, 2, …, n;

գ) պատահական փոփոխականները զույգերով անկախ են, այսինքն՝ ցանկացած երկուսը X iԵվ X ժժամը ես¹ ժանկախ.

Հետո ակնհայտորեն

Դ(X 1 + X 2 + … + X n)=Դ(X 1) +D(X 2) + ... + Դ(X n).

Չեբիշևյան ձևով ձևակերպենք մեծ թվերի օրենքը.

Չեբիշևի թեորեմ.քանակի անսահմանափակ աճով nանկախ թեստեր» Պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը հակված է նրա մաթեմատիկական ակնկալիքին «, այսինքն՝ ցանկացած դրականի համար ε

Ռ(| –ա| < ε ) = 1. (4.1.1)

Արտահայտության իմաստը «միջին թվաբանական = հավանականությամբ համընկնում է a-ին դա է հավանականությունը, որ կտարբերվի որքան հնարավոր է քիչ ա, մոտենում է 1-ին առանց սահմանի, քանի որ թիվը մեծանում է n.

Ապացույց.Վերջավոր թվի համար nանկախ թեստեր, մենք կիրառում ենք Չեբիշևի անհավասարությունը պատահական փոփոխականի համար = :

Ռ(|– Մ()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

Հաշվի առնելով a – b սահմանափակումները՝ հաշվարկում ենք Մ( ) Եվ Դ( ):

Մ( ) = = = = = = Ա;

Դ( ) = = = = = = .

Փոխարինող Մ( ) Եվ Դ( ) անհավասարության մեջ (4.1.2), մենք ստանում ենք

Ռ(| –ա| < ε )≥1 – .

Եթե ​​անհավասարության մեջ (4.1.2) վերցնենք կամայականորեն փոքր ε >0i n® ¥, ապա մենք ստանում ենք

որն ապացուցում է Չեբիշևի թեորեմը.

Դիտարկված թեորեմից բխում է կարևոր գործնական եզրակացություն. մենք իրավունք ունենք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի անհայտ արժեքը փոխարինել բավականին մեծ թվով փորձերից ստացված թվաբանական միջին արժեքով: Ավելին, որքան շատ փորձեր լինեն հաշվարկելու համար, այնքան ավելի հավանական (հուսալի) կարելի է ակնկալել, որ այս փոխարինման հետ կապված սխալը ( - Ա) չի գերազանցի նշված արժեքը ε .

Բացի այդ, դուք կարող եք լուծել այլ գործնական խնդիրներ։ Օրինակ՝ ըստ հավանականության (հուսալիության) արժեքների Ռ=Ռ(| – ա|< ε ) և առավելագույն թույլատրելի սխալը ε որոշել փորձերի անհրաժեշտ քանակը n; Ըստ ՌԵվ nսահմանել ε; Ըստ ε Եվ nորոշել իրադարձության հավանականության սահմանը | – ա |< ε.

Հատուկ դեպք. Թույլ տվեք nդիտարկված թեստեր nպատահական փոփոխական արժեքներ X,ունենալով մաթեմատիկական ակնկալիք Մ(X) և շեղում Դ(X). Ստացված արժեքները կարող են դիտվել որպես պատահական փոփոխականներ X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,Xn,. Սա պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ nթեստերն իրականացվում են բազմիցս, ուստի արդյունքում ես-րդ թեստը ես= l, 2, 3, ..., n, թեստերի յուրաքանչյուր շարքում կհայտնվի պատահական փոփոխականի մեկ կամ մի այլ արժեք X, նախապես հայտնի չէ։ Հետևաբար, ես-e արժեքը x iստացված պատահական փոփոխականը ես-րդ թեստը, պատահականորեն փոխվում է, եթե անցնում եք թեստերի մի շարքից մյուսը: Այսպիսով, յուրաքանչյուր արժեք x iկարելի է համարել պատահական փոփոխական Սի.

Ենթադրենք, որ թեստերը բավարարում են հետևյալ պահանջները.

1. Թեստերն անկախ են: Սա նշանակում է, որ արդյունքները X 1 , X 2 ,
X 3 , ..., Xnթեստեր – անկախ պատահական փոփոխականներ:

2. Թեստերն իրականացվում են նույն պայմաններով. սա նշանակում է, հավանականությունների տեսության տեսանկյունից, որ պատահական փոփոխականներից յուրաքանչյուրը. X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,Xnունի բաշխման նույն օրենքը, ինչ սկզբնական արժեքը X, Ահա թե ինչու Մ(X i) = Մ(X) Եվ Դ(X i) = Դ(X), ես = 1, 2, .... էջ

Հաշվի առնելով վերը նշված պայմանները՝ մենք ստանում ենք

Ռ(| –ա| < ε )≥1 – . (4.1.3)

Օրինակ 4.1.1. Xհավասար է 4-ի: Քանի՞ անկախ փորձ է պահանջվում, որպեսզի առնվազն 0,9 հավանականությամբ կարելի է ակնկալել, որ այս պատահական փոփոխականի միջին թվաբանական արժեքը կտարբերվի մաթեմատիկական ակնկալիքից 0,5-ից պակաս:

Լուծում.Ըստ խնդրի պայմանների ε = 0,5; Ռ(| – ա|< 0,5) ≥ 0.9. Կիրառելով բանաձևը (4.1.3) պատահական փոփոխականի համար X, ստանում ենք

Պ(|– Մ(X)| < ε ) ≥ 1 – .

Հարաբերությունից

1 – = 0,9

սահմանենք

n= = = 160.

ՊատասխանելՊահանջվում է 160 անկախ փորձ:

Եթե ​​ենթադրենք, որ թվաբանական միջինը սովորաբար բաշխվում է, մենք ստանում ենք.

Ռ(| – ա|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

Որտեղից, օգտագործելով Laplace ֆունկցիայի աղյուսակը, ստանում ենք ≥
≥ 1,645, կամ ≥ 6,58, այսինքն. n ≥49.

Օրինակ 4.1.2.Պատահական փոփոխականի շեղում Xհավասար է D ( X) = 5. Կատարվել է 100 անկախ փորձ, որոնցից էլ հաշվարկվել է . Մաթեմատիկական ակնկալիքի անհայտ արժեքի փոխարեն Աընդունված . Որոշեք սխալի առավելագույն արժեքը՝ առնվազն 0,8 հավանականությամբ:

Լուծում.Ըստ խնդրի պայմանների n= 100, Ռ(| –ա|< ε ) ≥0.8. Եկեք կիրառենք բանաձևը (4.1.3)

Ռ(| –ա|< ε ) ≥1 – .

Հարաբերությունից

1 – = 0,8

սահմանենք ε :

ε 2 = = = 0,25.

Հետևաբար, ε = 0,5.

Պատասխանել: առավելագույն սխալի արժեքը ε = 0,5.

4.2. Բեռնուլիի ձևով մեծ թվերի օրենքը

Չնայած բոլոր վիճակագրական եզրակացությունների հիմքում ընկած է հավանականության հայեցակարգը, կան միայն մի քանի դեպքեր, երբ մենք կարող ենք ուղղակիորեն որոշել իրադարձության հավանականությունը: Երբեմն այս հավանականությունը կարող է սահմանվել համաչափության, հավասար հնարավորությունների և այլնի նկատառումներից ելնելով, սակայն չկա համընդհանուր մեթոդ, որը թույլ կտա նշել իր հավանականությունը կամայական իրադարձության համար: Բեռնուլիի թեորեմը հնարավորություն է տալիս մոտավորել հավանականությունը, եթե մեզ հետաքրքրող իրադարձության համար. Ակարող են կրկնվել անկախ թեստեր: Թող արտադրվի nանկախ փորձարկումներ, որոնցից յուրաքանչյուրում ինչ-որ իրադարձության առաջացման հավանականությունը Ահաստատուն է և հավասար r.

Բեռնուլիի թեորեմը.Անկախ թեստերի քանակի անսահմանափակ աճով nիրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը Ահամընկնում է հավանականությանը հավանականությանը էջիրադարձության առաջացում Ա,Տ. ե.

Պ(½ - էջ½≤ ε) = 1, (4.2.1)

Որտեղ ε – կամայականորեն փոքր դրական թիվ:

Եզրափակչի համար nպայմանով, որ Չեբիշևի անհավասարությունը պատահական փոփոխականի համար կունենա հետևյալ ձևը.

Պ(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

Ապացույց.Կիրառենք Չեբիշևի թեորեմը. Թող X i- իրադարձության դեպքերի քանակը ԱՎ ես-րդ թեստը, ես= 1, 2, . . . , n. Քանակներից յուրաքանչյուրը X iկարող է վերցնել միայն երկու արժեք.

X i= 1 (իրադարձություն Ատեղի է ունեցել) հավանականությամբ էջ,

X i= 0 (իրադարձություն Աչի եղել) հավանականությամբ ք= 1-էջ

Թող Y n= . Գումար X 1 + X 2 + … + X nթվին հավասար միրադարձության դեպքերը ԱՎ nթեստեր (0 մ n), ինչը նշանակում է Y n= – Իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը ԱՎ nթեստեր. Ակնկալիքներ և շեղումներ X iհամապատասխանաբար հավասար են.

Մ( ) = 1∙էջ + 0∙ք = էջ,

Օրինակ 4.2.1.Արտադրանքի թերությունների տոկոսը որոշելու համար 1000 միավոր ստուգվել է վերադարձի նմուշառման սխեմայի միջոցով: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այս նմուշով որոշված ​​թերությունների մասնաբաժինը բացարձակ արժեքով կտարբերվի ամբողջ խմբաքանակի թերությունների համամասնությունից ոչ ավելի, քան 0,01, եթե հայտնի է, որ միջինում յուրաքանչյուր 10000 ապրանքի համար կա 500 թերի:

Լուծում.Ըստ խնդրահարույց պայմանների՝ անկախ փորձարկումների քանակ n= 1000;

էջ= = 0,05; ք= 1 – էջ= 0,95; ε = 0,01.

Կիրառելով բանաձևը (4.2.2)՝ ստանում ենք

Պ(| –p|< 0,01) ≥ 1 – = 1 – = 0,527.

ՊատասխանելԱռնվազն 0,527 հավանականությամբ, մենք կարող ենք ակնկալել, որ թերությունների ընտրանքի համամասնությունը (թերությունների հարաբերական հաճախականությունը) կտարբերվի բոլոր ապրանքների թերությունների համամասնությունից (թերությունների հավանականությունը) ոչ ավելի, քան 0,01:

Օրինակ 4.2.2.Մասերը դրոշմելու ժամանակ թերությունների հավանականությունը 0,05 է։ Քանի՞ մաս պետք է ստուգվի, որպեսզի առնվազն 0,95 հավանականությամբ կարելի է ակնկալել, որ թերի արտադրանքի հարաբերական հաճախականությունը կտարբերվի 0,01-ից պակաս թերի արտադրանքի հավանականությունից:

Լուծում.Ըստ խնդրի պայմանների r= 0,05; ք= 0,95; ε = 0,01;

Պ(| – p|<0,01) ≥ 0,95.

Հավասարությունից 1 – = մենք գտնում ենք 0,95 n:

n= = =9500.

Պատասխանել 9500 մասերը պետք է ստուգվեն:

Մեկնաբանություն.Բեռնուլիի (կամ Չեբիշևի) թեորեմի կիրառմամբ ստացված դիտարկումների անհրաժեշտ քանակի գնահատականները խիստ չափազանցված են։ Կան ավելի ճշգրիտ գնահատականներ, որոնք առաջարկել են Բերնշտեյնը և Խինչինը, բայց դրանք պահանջում են ավելի բարդ մաթեմատիկական ապարատ: Գնահատումների չափազանցությունից խուսափելու համար երբեմն օգտագործվում է Լապլասի բանաձևը

Պ(| – p|< ε ) ≈ 2Φ .

Այս բանաձևի թերությունը թույլատրելի սխալի գնահատման բացակայությունն է:

Ո՞րն է հաջողակ վաճառողների գաղտնիքը: Եթե ​​դիտարկեք ցանկացած ընկերության լավագույն վաճառողներին, ապա կնկատեք, որ նրանք ունեն մեկ ընդհանուր բան. Նրանցից յուրաքանչյուրը հանդիպում է ավելի շատ մարդկանց հետ և ավելի շատ շնորհանդեսներ է անում, քան ոչ այնքան հաջողակ վաճառողները: Այս մարդիկ հասկանում են, որ վաճառքը թվերի խաղ է, և որքան շատ մարդկանց պատմեն իրենց ապրանքների կամ ծառայությունների մասին, այնքան ավելի շատ գործարքներ կփակեն՝ այսքանը: Նրանք հասկանում են, որ եթե շփվեն ոչ միայն այն քչերի հետ, ովքեր իրենց հաստատ այո կասեն, այլ նաև նրանց հետ, ում հետաքրքրությունն իրենց առաջարկի նկատմամբ այնքան էլ մեծ չէ, ապա միջինների օրենքը կգործի իրենց օգտին։

Ձեր եկամուտը կախված կլինի վաճառքների քանակից, բայց միևնույն ժամանակ այն ուղիղ համեմատական ​​կլինի ձեր ներկայացումների քանակին: Հենց որ հասկանաք և կիրառեք միջին ցուցանիշների օրենքը, նոր բիզնես սկսելու կամ նոր ոլորտում աշխատելու հետ կապված անհանգստությունը կսկսի նվազել: Արդյունքում կսկսի աճել վերահսկողության զգացումը և վստահությունը ձեր գումար վաստակելու ունակության նկատմամբ: Եթե ​​դուք պարզապես ներկայացնեք և հղկեք ձեր հմտությունները գործընթացում, գործարքներ կգան:

Գործարքների քանակի մասին մտածելու փոխարեն, ավելի լավ մտածեք շնորհանդեսների քանակի մասին: Իմաստ չկա առավոտյան արթնանալ կամ երեկոյան տուն գալ և մտածել, թե ով կգնի ձեր ապրանքը: Փոխարենը, ավելի լավ է պլանավորել, թե օրական քանի զանգ պետք է կատարեք: Եվ հետո, անկախ ամեն ինչից, կատարեք այս բոլոր զանգերը: Այս մոտեցումը կհեշտացնի ձեր աշխատանքը, քանի որ դա պարզ և կոնկրետ նպատակ է: Եթե ​​գիտեք, որ ունեք կոնկրետ և հասանելի նպատակ, ապա ձեզ համար ավելի հեշտ կլինի կատարել նախատեսված թվով զանգեր։ Եթե ​​այս գործընթացի ընթացքում մի քանի անգամ լսեք «այո», այնքան ավելի լավ:

Եվ եթե «ոչ», ապա երեկոյան դուք կզգաք, որ դուք ազնվորեն արել եք այն ամենը, ինչ կարող էիք, և ձեզ չեն տանջի այն մտքերը, թե որքան գումար եք վաստակել կամ քանի ուղեկից եք ձեռք բերել մեկ օրվա ընթացքում:

Ձեր ընկերությունում կամ բիզնեսում, ենթադրենք, միջին վաճառողը յուրաքանչյուր չորս ներկայացումով մեկ գործարք է կնքում: Հիմա պատկերացրեք, որ դուք քարտեր եք նկարում տախտակամածից: Երեք կոստյումներից յուրաքանչյուր քարտ՝ բահեր, ադամանդներ և մահակներ, ներկայացում է, որտեղ դուք մասնագիտորեն ներկայացնում եք ապրանքը, ծառայությունը կամ հնարավորությունը: Դուք դա անում եք այնքան լավ, որքան կարող եք, բայց դեռ չեք փակում գործարքը։ Եվ յուրաքանչյուր սրտի քարտ գործարք է, որը թույլ է տալիս գումար ստանալ կամ գնել նոր ուղեկից:

Նման իրավիճակում չէի՞ք ցանկանա տախտակամածից որքան հնարավոր է շատ խաղաթղթեր հանել: Ենթադրենք, ձեզ առաջարկվում է նկարել այնքան քարտ, որքան ցանկանում եք՝ միաժամանակ վճարելով ձեզ կամ առաջարկելով ձեզ նոր ուղեկից ամեն անգամ, երբ դուք սրտի քարտ եք քաշում: Դուք կսկսեք եռանդով քարտեր նկարել՝ հազիվ նկատելով, թե ինչ կոստյում է այն քարտը, որը հենց նոր հանեցիք:

Դուք գիտեք, որ հիսուներկու քարտերից բաղկացած տախտակամածում կա տասներեք սիրտ: Եվ երկու տախտակամածների մեջ կա քսանվեց սրտի քարտ և այլն: Դուք կհիասթափվե՞ք, երբ նկարեք բահեր, ադամանդներ կամ մահակներ: Իհարկե ոչ։ Դուք միայն կմտածեք, որ յուրաքանչյուր նման «միսս» ինչի՞ն է ձեզ ավելի մոտեցնում։ Դեպի սրտի քարտ:

Բայց գիտե՞ք ինչ. Ձեզ արդեն նման առաջարկ է տրվել։ Դուք եզակի վիճակում եք վաստակելու այնքան, որքան ցանկանում եք, և նկարեք այնքան սրտեր, որքան ցանկանում եք նկարել ձեր կյանքում: Եվ եթե դուք պարզապես բարեխղճորեն «քարտեր եք նկարում», կատարելագործում եք ձեր հմտությունները և համբերում եք մի փոքր բահերին, ադամանդներին և մահակներին, դուք կդառնաք հիանալի վաճառող և կհասնեք հաջողության:

Վաճառքներն այնքան զվարճալի բաներից մեկն այն է, որ ամեն անգամ, երբ դուք խառնում եք տախտակամածը, քարտերը խառնվում են այլ կերպ: Երբեմն բոլոր սրտերը հայտնվում են տախտակամածի սկզբում, և հաջողակ շարանից հետո (երբ մեզ թվում է, որ մենք երբեք չենք պարտվի) մեզ սպասում է տարբեր կոստյումի քարտերի երկար շարք: Իսկ մյուս անգամ, առաջին սրտին հասնելու համար, պետք է անցնել անսահման քանակությամբ բահերի, մահակների և ադամանդների միջով: Եվ երբեմն տարբեր կոստյումների քարտերը հայտնվում են խիստ կարգով: Բայց ամեն դեպքում, հիսուներկու քարտերից բաղկացած յուրաքանչյուր տախտակամածում, ինչ-որ հերթականությամբ, միշտ տասներեք սիրտ կա։ Պարզապես հանեք քարտերը, մինչև գտնեք դրանք:

From՝ Leylya,  

Պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան և դրա հատկությունները:

Բաշխման գործառույթ X պատահական փոփոխականը կոչվում է F(X) ֆունկցիա՝ յուրաքանչյուր x-ի համար արտահայտելով հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականը x-ից փոքր արժեք կընդունի. F(x)=P(X

F(x) ֆունկցիաերբեմն կոչվում է ինտեգրալ ֆունկցիաբաշխում կամ բաշխման ամբողջական օրենքը.

Բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները.

1. Պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան ոչ բացասական ֆունկցիա է զրոյի և մեկի միջև.

0 ≤ F(x) ≤ 1:

2. Պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա չնվազող ֆունկցիա է։

3. Մինուս անվերջության դեպքում բաշխման ֆունկցիան հավասար է զրոյի, գումարած անվերջության դեպքում այն ​​հավասար է մեկի, այսինքն՝ F(-∞)= , F(+∞)=:

4. Պատահական փոփոխականի [x1,x2) միջակայքում ընկնելու հավանականությունը (ներառյալ x1) հավասար է այս ինտերվալի վրա նրա բաշխման ֆունկցիայի ավելացմանը, այսինքն. P(x 1 ≤ X< х 2) = F(x 2) - F(x 1).

Մարկովի և Չեբիշևի անհավասարությունը

Մարկովի անհավասարությունը

ԹեորեմԵթե ​​X պատահական փոփոխականը վերցնում է միայն ոչ բացասական արժեքներ և ունի մաթեմատիկական ակնկալիք, ապա ցանկացած դրական A թվի համար հետևյալ հավասարությունը ճիշտ է. P(x>A) ≤ .

Քանի որ X > A և X ≤ A իրադարձությունները հակադիր են, ապա P(X > A) փոխարինելով մենք արտահայտում ենք 1 - P(X ≤ A), մենք հասնում ենք Մարկովի անհավասարության մեկ այլ ձևի. P(X ≥ A) ≥1 - .

Մարկովի k անհավասարությունը կիրառվում է ցանկացած ոչ բացասական պատահական փոփոխականների համար։

Չեբիշևի անհավասարությունը

Թեորեմ.Ցանկացած պատահական փոփոխականի համար, որն ունի մաթեմատիկական ակնկալիք և շեղում, Չեբիշևի անհավասարությունը վավեր է.

P (|X – a| > ε) ≤ D(X)/ε 2 կամ P (|X – a| ≤ ε) ≥ 1 – DX/ε 2, որտեղ a= M(X), ε>0:

Չեբիշևի թեորեմի «ձևով» մեծ թվերի օրենքը.

Չեբիշևի թեորեմ.Եթե ​​շեղումներ nանկախ պատահական փոփոխականներ X1, X2,…. X nսահմանափակվում են նույն հաստատունով, ապա թվի անսահմանափակ աճով nՊատահական փոփոխականների միջին թվաբանականը հավանականությամբ համընկնում է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների միջին թվաբանականին a 1, a 2 ...., a n, այսինքն. .

Մեծ թվերի օրենքի իմաստն այն է, որ պատահական փոփոխականների միջին արժեքները հակված են իրենց մաթեմատիկական ակնկալիքներին, երբ n→ ∞ հավանականության մեջ։ Միջին արժեքների շեղումը մաթեմատիկական ակնկալիքից դառնում է կամայականորեն փոքր՝ միասնությանը մոտ հավանականությամբ, եթե n-ը բավականաչափ մեծ է: Այլ կերպ ասած, միջին արժեքների ցանկացած շեղման հավանականությունը Աայնքան փոքր, որքան դու մեծանում ես n.

30. Բեռնուլիի թեորեմը.

Բեռնուլիի թեորեմ.Միջոցառումների հաճախականությունը՝ nկրկնվող անկախ փորձարկումներ, որոնցից յուրաքանչյուրում այն ​​կարող է տեղի ունենալ նույն p հավանականությամբ՝ թվի անսահմանափակ աճով nՀավանականությամբ համընկնել այս իրադարձության p հավանականությանը առանձին փորձարկման ժամանակ. \

Բեռնուլիի թեորեմը Չեբիշևի թեորեմի հետևանքն է, քանի որ իրադարձության հաճախականությունը կարող է ներկայացվել որպես n անկախ այլընտրանքային պատահական փոփոխականների թվաբանական միջին, որոնք ունեն բաշխման նույն օրենքը։

18. Դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականների և դրանց հատկությունների մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Մաթեմատիկական ակնկալիքնրա բոլոր արժեքների և դրանց համապատասխան հավանականությունների արտադրյալների գումարն է

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար՝

Շարունակական պատահական փոփոխականի համար՝

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները.

1. Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ինքնին հաստատունին. M(S)=C

2. Մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից կարելի է հանել մշտական ​​գործոնը, այսինքն. M(kX)=kM(X):

3. Վերջավոր թվով պատահական փոփոխականների հանրահաշվական գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների նույն գումարին, այսինքն. M(X±Y)=M(X)±M(Y):

4. Վերջավոր թվով անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին. M(XY)=M(X)*M(Y):

5. Եթե ​​պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքները մեծացվեն (նվազեն) հաստատուն C-ով, ապա այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը կաճի (կնվազի) նույն C հաստատունով. M(X±C)=M(X)±C.

6. Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքից շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքը զրո է. M=0.

Մեծ թվերի օրենքըՀավանականությունների տեսության մեջ ասվում է, որ ֆիքսված բաշխումից բավական մեծ վերջավոր նմուշի էմպիրիկ միջինը (թվաբանական միջինը) մոտ է այս բաշխման տեսական միջինին (մաթեմատիկական ակնկալիք): Կախված կոնվերգենցիայի տեսակից՝ տարբերվում են մեծ թվերի թույլ օրենքը, երբ կոնվերգենցիան տեղի է ունենում հավանականության մեջ, և մեծ թվերի ուժեղ օրենքը, երբ կոնվերգենցիան տեղի է ունենում գրեթե ամենուր։

Միշտ կա վերջավոր թվով փորձարկումներ, որոնց դեպքում, ցանկացած կանխավճարային հավանականության դեպքում, ավելի քիչ է 1 ինչ-որ իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը հնարավորինս քիչ կտարբերվի դրա հավանականությունից:

Մեծ թվերի օրենքի ընդհանուր իմաստը. մեծ թվով միանման և անկախ պատահական գործոնների համատեղ գործողությունը հանգեցնում է մի արդյունքի, որը, ըստ սահմանի, կախված չէ պատահականությունից:

Վերջավոր նմուշի վերլուծության վրա հիմնված հավանականության գնահատման մեթոդները հիմնված են այս հատկության վրա: Վառ օրինակ է ընտրողների ընտրանքային հարցման հիման վրա ընտրությունների արդյունքների կանխատեսումը։

Հանրագիտարան YouTube

1 / 5

✪ Մեծ թվերի օրենքը

✪ 07 - Հավանականության տեսություն: Մեծ թվերի օրենքը

✪ 42 Մեծ թվերի օրենքը

✪ 1 - Չեբիշևի օրենքը մեծ թվերի մասին

✪ 11 դասարան, դաս 25, Գաուսի կոր: Մեծ թվերի օրենքը

Ենթագրեր

Դիտարկենք մեծ թվերի օրենքը, որը թերևս ամենաինտուիտիվ օրենքն է մաթեմատիկայի և հավանականությունների տեսության մեջ: .. Առաջին անգամ երբ փորձություն անեմ, մետաղադրամը 100 անգամ կնետեմ, կամ կվերցնեմ հարյուր մետաղադրամով տուփը, թափահարեմ այն ​​և հետո կհաշվեմ, թե քանի գլուխ եմ ստանում, և կստանամ, ասենք, 55 թիվը։ կլիներ X1: Միայն այն պատճառով, որ դուք ստանում եք անհամաչափ մեծ թվով գլուխներ, չի նշանակում, որ ինչ-որ պահի դուք կսկսեք անհամաչափ մեծ քանակությամբ պոչեր ստանալ: Կհանդիպենք հաջորդ տեսանյութում:

Մեծ թվերի թույլ օրենքը

Մեծ թվերի թույլ օրենքը կոչվում է նաև Բեռնուլիի թեորեմ՝ ի պատիվ Յակոբ Բեռնուլիի, որն ապացուցել է այն 1713 թ.

Թող լինի նույնական բաշխված և անկապ պատահական փոփոխականների անսահման հաջորդականություն (հաջորդական թվարկում): Այսինքն՝ նրանց կովարիանսը c o v (X i, X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\բոլոր i\not =j). Թող . Նշենք առաջինի միջին օրինակով n (\displaystyle n)անդամներ:

.

Հետո X ¯ n → P μ (\ցուցադրման ոճ (\ բար (X))_(n)\ դեպի ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu).

Այսինքն՝ ցանկացած դրականի համար ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Մեծ թվերի ուժեղացված օրենքը

Թող լինի անկախ նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների անսահման հաջորդականություն (X i) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty)), սահմանված մեկ հավանականության տարածության վրա (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Թող E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu,\;\բոլոր i\in \mathbb (N)). Նշենք ըստ X ¯ n (\ցուցադրման ոճ (\ բար (X))_(n))առաջինի միջին նմուշը n (\displaystyle n)անդամներ:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \սահմանները _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N)).

Հետո X ¯ n → μ (\ցուցադրման ոճ (\բար (X))_(n)\մինչև \mu)գրեթե միշտ:

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty)(\bar (X))_(n)=\mu \ ճիշտ) = 1.) .

Ինչպես ցանկացած մաթեմատիկական օրենք, մեծ թվերի օրենքը կարող է կիրառվել իրական աշխարհի վրա միայն որոշակի ենթադրությունների ներքո, որոնք կարող են բավարարվել միայն որոշակի աստիճանի ճշգրտությամբ: Օրինակ, փորձարկման հաջորդական պայմանները հաճախ չեն կարող պահպանվել անորոշ ժամանակով և բացարձակ ճշգրտությամբ: Բացի այդ, մեծ թվերի օրենքը միայն խոսում է անհավանականությունմիջին արժեքի զգալի շեղում մաթեմատիկական ակնկալիքից:

ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆ 5

Պատկերվածի կրկնությունը

Մաս 1 - ԳԼՈՒԽ 9. ՄԵԾ ԹՎԵՐԻ ՕՐԵՆՔ. ՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿԻ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐ

Երբ վիճակագրորեն որոշվում է
հավանականությունը այն մեկնաբանվում է որպես որոշ
այն թիվը, որին ձգտում է ազգականը
պատահական իրադարձության հաճախականությունը. ժամը
հավանականության աքսիոմատիկ սահմանում –
սա, ըստ էության, հավաքածուի հավելյալ միջոց է
արդյունքները, որոնք նպաստում են հնարավորություններին
իրադարձություն. Առաջին դեպքում գործ ունենք
էմպիրիկ սահմանը, երկրորդում՝ հետ
չափման տեսական հայեցակարգ. Ընդհանրապես ոչ
ակնհայտորեն նույն բանին են վերաբերում
հայեցակարգ. Տարբեր սահմանումների փոխհարաբերությունները
հավանականությունը հաստատվում է Բեռնուլիի թեորեմով,
որը մեծերի օրենքի հատուկ դեպք է
թվեր։

Թեստերի աճող թվով
երկանդամ օրենքը հակված է
նորմալ բաշխում. Սա թեորեմն է
Moivre–Laplace, որը
կենտրոնական սահմանի հատուկ դեպք
թեորեմներ. Վերջինս նշում է, որ ֆունկցիան
անկախության գումարի բաշխումը
պատահական փոփոխականներ, քանի որ թիվը մեծանում է
պայմանները հակված են նորմալ
օրենք.
Մեծ թվերի և կենտրոնական օրենքը
սահմանային թեորեմն ընկած է հիմքում
մաթեմատիկական վիճակագրություն.

9.1. Չեբիշևի անհավասարությունը

Թող պատահական ξ փոփոխականը ունենա
վերջավոր մաթեմատիկական ակնկալիք
M[ξ] և D[ξ] շեղում: Այնուհետև համար
ցանկացած դրական թիվ ε
անհավասարությունը ճշմարիտ է.

Նշումներ

Հակառակ իրադարձության համար.
Չեբիշևի անհավասարությունը վավեր է
բաշխման ցանկացած օրենք:
Դնելով
փաստ:
, մենք ստանում ենք ոչ տրիվիալ

9.2. Չեբիշևյան ձևով մեծ թվերի օրենքը

Թեորեմ Թող պատահական փոփոխականներ
զույգերով անկախ են և ունեն վերջավոր
շեղումները սահմանափակվում են նույնով
մշտական
Այնուհետև համար
ցանկացած
մենք ունենք
Այսպիսով, մեծ թվերի օրենքն ասում է
Պատահական փոփոխականների միջին թվաբանականի հավանականության կոնվերգենցիան (այսինքն՝ պատահական փոփոխական)
իրենց գորգի միջին թվաբանականին։ ակնկալիքները (այսինքն.
ոչ պատահական փոփոխականին):

9.2. Չեբիշևյան ձևով մեծ թվերի օրենքը. գումարում

Թեորեմ (Մարկով): Մեծի օրենք
թվերը բավարարվում են, եթե շեղումը
պատահական փոփոխականների գումարը չի աճում
չափազանց արագ, քանի որ n-ն աճում է.

10. 9.3. Բեռնուլիի թեորեմը

Թեորեմ. Դիտարկենք Բերնուլիի սխեման:
Թող μn լինի A իրադարձության դեպքերի թիվը
n անկախ փորձարկումներ, p – իրադարձություն A-ի մեկում առաջանալու հավանականություն
փորձարկում. Հետո ցանկացածի համար
Նրանք. հավանականությունը, որ շեղումը
Պատահական իրադարձության հարաբերական հաճախականությունը
դրա հավանականությունը p կլինի կամայական մոդուլ
փոքր է, այն հակված է միասնության, քանի որ թիվը մեծանում է
թեստեր n.

11.

Ապացույց՝ պատահական փոփոխական μn
բաշխված ըստ երկանդամ օրենքի, հետևաբար
մենք ունենք

12. 9.4. Բնութագրական գործառույթներ

Պատահականության բնորոշ ֆունկցիա
քանակությունը կոչվում է ֆունկցիա
որտեղ exp(x) = ex.
Այսպիսով,
ներկայացնում է
ոմանց մաթեմատիկական ակնկալիքը
բարդ պատահական փոփոխական
կապված չափի հետ. Մասնավորապես, եթե
- դիսկրետ պատահական փոփոխական,
տրված է բաշխման շարքով (xi, pi), որտեղ i
= 1, 2,..., n, ապա

13.

Շարունակական պատահական փոփոխականի համար
բաշխման խտությամբ
հավանականությունները

14.

15. 9.5. Կենտրոնական սահմանային թեորեմ (Լյապունովի թեորեմ)

16.

Կրկնեց այն, ինչ ծածկել էինք

17. ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐ.

ՄԱՍ II. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ
ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ

18. Էպիգրաֆ

«Կա երեք տեսակի սուտ՝ սուտ,
բացահայտ սուտ և վիճակագրություն»
Բենջամին Դիզրաելի

19. Ներածություն

Մաթեմատիկական երկու հիմնական խնդիր
վիճակագրություն:
վիճակագրական տվյալների հավաքագրում և խմբավորում
տվյալներ;
վերլուծության մեթոդների մշակում
ստացված տվյալներ՝ կախված
հետազոտական ​​նպատակներ։

20. Վիճակագրական տվյալների վերլուծության մեթոդներ.

իրադարձության անհայտ հավանականության գնահատում;
անհայտ ֆունկցիայի գնահատում
բաշխում;
հայտնի պարամետրերի գնահատում
բաշխում;
տեսակների վերաբերյալ վիճակագրական վարկածների փորձարկում
անհայտ բաշխում կամ
հայտնիի պարամետրերի արժեքները
բաշխումներ.

21. ԳԼՈՒԽ 1. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.

22. 1.1. Բնակչությունը և նմուշը

Ընդհանուր բնակչություն՝ ամեն ինչ
ուսումնասիրվող բազմաթիվ առարկաներ,
Նմուշառում – օբյեկտների մի շարք, պատահականորեն
ընտրված է ընդհանուր բնակչությունից
հետազոտության համար։
Բնակչության չափը և
ընտրանքի չափը - ընդհանուր բնակչության մեջ գտնվող օբյեկտների քանակը և ընտրանքը - մենք կանենք
նշվում է համապատասխանաբար որպես N և n:

23.

Նմուշը կրկնվում է, երբ
յուրաքանչյուր ընտրված օբյեկտ նախկինում
ընտրելով հաջորդը, վերադառնում է
ընդհանուր բնակչությունը և
կրկնվող, եթե ընտրված է
օբյեկտը ընդհանուր բնակչության մեջ չէ
վերադառնում է.

24. Ներկայացուցչական նմուշ.

ճիշտ է ներկայացնում հատկանիշները
ընդհանուր բնակչությունը, այսինքն. է
ներկայացուցիչ (ներկայացուցիչ).
Մեծ թվերի օրենքի համաձայն կարելի է փաստել, որ
որ այս պայմանը բավարարված է, եթե՝
1) նմուշի չափը n բավականաչափ մեծ է.
2) յուրաքանչյուր նմուշի օբյեկտ ընտրվել է պատահականության սկզբունքով.
3) յուրաքանչյուր օբյեկտի համար ստանալու հավանականությունը
նմուշում նույնն է.

25.

Բնակչությունը և նմուշը
կարող է լինել միաչափ
(մեկ գործոն)
և բազմաչափ (բազմագործոն)

26. 1.2. Նմուշի բաշխման օրենք (վիճակագրական շարք)

Ներդրեք n չափի նմուշ
մեզ հետաքրքրող պատահական փոփոխական ξ
(ցանկացած օբյեկտի պարամետր
բնակչություն) վերցնում է n1
x1-ի արժեքի անգամ, x2-ի արժեքի n2-ի,... և
nk անգամ – xk արժեք: Հետո դիտարկելիներ
պատահական փոփոխականի x1, x2,..., xk արժեքները
ξ կոչվում են տարբերակներ, իսկ n1, n2,..., nk
- դրանց հաճախականությունները.

27.

Xmax-xmin տարբերությունը միջակայքն է
նմուշներ, հարաբերակցություն ωi = ni /n –
հարաբերական հաճախականության ընտրանքներ xi.
Ակնհայտ է, որ

28.

Եթե ​​ընտրանքները գրենք աճման կարգով, ապա ստացվում է տատանումների շարք։ Սրանցից բաղկացած աղյուսակ
պատվիրված տարբերակները և դրանց հաճախականությունները
(և/կամ հարաբերական հաճախականություններ)
կոչվում է վիճակագրական շարք կամ
նմուշի բաշխման օրենքը.
-- Դիսկրետ բաշխման օրենքի անալոգը
պատահական փոփոխական հավանականությունների տեսության մեջ

29.

Եթե ​​տատանումների շարքը բաղկացած է շատ
մեծ թվով թվեր կամ
որոշ շարունակական
նշան, օգտագործել խմբավորված
նմուշ. Այն ստանալու համար միջակայքն է
որը պարունակում է բոլոր դիտելիները
բնորոշ արժեքները բաժանվում են
մի քանի սովորաբար հավասար մասեր
(ենթաինտերվալներ) երկարության h. ժամը
վիճակագրական շարքերի կազմում
Որպես xi, միջինը սովորաբար ընտրվում է
ենթաինտերվալներ, իսկ ni-ն հավասար է թվին
տարբերակն ընկնում է i-րդ ենթինտերվալի մեջ:

30.

40
- Հաճախականություններ -
35
30
n2
n3
ns
n1
25
20
15
10
5
0
ա
a+h/2 a+3h/2
- Ընտրանքներ -
բ-ժ/2
բ

31. 1.3. Հաճախականության բազմանկյուն, նմուշի բաշխման ֆունկցիա

Եկեք գծենք xi պատահական փոփոխականի արժեքները
abscissa առանցքը, իսկ ni արժեքները օրդինատների առանցքի երկայնքով:
Կտրված գիծ, ​​որի հատվածները միացված են
կետեր կոորդինատներով (x1, n1), (x2, n2),..., (xk,
nk), կոչվում է բազմանկյուն
հաճախականությունը Եթե ​​փոխարենը
բացարձակ արժեքներ ni
դնել օրդինատների առանցքի վրա
հարաբերական հաճախականություններ ωi,
ապա ստանում ենք հարաբերական հաճախությունների բազմանկյուն

32.

Բաշխման ֆունկցիայի անալոգիայով
դիսկրետ պատահական փոփոխական ըստ
նմուշի բաշխման օրենքը կարող է լինել
կառուցել նմուշ (էմպիրիկ)
բաշխման գործառույթ
որտեղ գումարումը կատարվում է բոլորի վրա
հաճախականություններ, որոնց համապատասխանում են արժեքները
տարբերակ, ավելի փոքր x. Նշենք, որ
էմպիրիկ բաշխման գործառույթ
կախված է նմուշի չափից n.

33.

Ի տարբերություն ֆունկցիայի
, գտնվել է
փորձառուի կողմից պատահական ξ փոփոխականի համար
վիճակագրական տվյալների մշակման միջոցով ճշմարիտ ֆունկցիան
բաշխում
հետ կապված
ընդհանուր բնակչությունը կոչվում է
տեսական. (Սովորաբար ընդհանուր
ամբողջությունն այնքան մեծ է, որ
անհնար է այդ ամենը մշակել, այսինքն.
դուք կարող եք միայն ուսումնասիրել այն
տեսականորեն):

34.

Նշենք, որ.

35. 1.4. Էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները

Քայլեց
դիտել

36.

Մեկ այլ գրաֆիկական ներկայացում
նմուշը, որը մեզ հետաքրքրում է
հիստոգրամ - քայլ նկար,
կազմված ուղղանկյուններից, որոնց հիմքերը ենթաինտերվալներ են
լայնությունը h, իսկ բարձրությունները երկարության հատվածներ են
ni/h (հաճախականության հիստոգրամ) կամ ωi/h
(հարաբերական հաճախականությունների հիստոգրամ):
Առաջին դեպքում
հիստոգրամի մակերեսը հավասար է ծավալին
նմուշներ n, in
երկրորդ - մեկ

37. Օրինակ

38. ԳԼՈՒԽ 2. ՆՄՆԱԿԱՆԻ ԹՎԱԿԱՆ ԲՆՈՒԹԱԳԻՐՆԵՐԸ.

39.

Մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրն է
ստացեք առկա նմուշից
տեղեկություններ ընդհանուր
ամբողջություն. Ներկայացուցչական նմուշի թվային բնութագրերը՝ համապատասխան բնութագրերի գնահատում
ուսումնասիրվող պատահական փոփոխական,
կապված գեներալի հետ
որպես ամբողջություն։

40. 2.1. Նմուշի միջին և ընտրանքային շեղում, էմպիրիկ կետեր

Միջին նմուշը կոչվում է
արժեքների միջին թվաբանական
տարբերակը նմուշում
Նմուշի միջինը օգտագործվում է
մաթեմատիկական վիճակագրական գնահատում
ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականի ակնկալիքները:

41.

Նմուշի շեղումը կոչվում է
արժեքը հավասար է
Նմուշի միջին քառակուսի
շեղում -

42.

Հեշտ է ցույց տալ, թե ինչ է վազում
համար հարմար է հետևյալ կապը
շեղումների հաշվարկներ.

43.

Այլ բնութագրեր
տատանումների շարքերն են.
ռեժիմ M0 – տարբերակ ունեցող
ամենաբարձր հաճախականությունը, իսկ միջինը ես –
տարբերակ, որը բաժանում է տատանումները
շարքը թվին հավասար երկու մասի
տարբերակ.
2, 5, 2, 11, 5, 6, 3, 13, 5 (ռեժիմ = 5)
2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 11.13 (միջին = 5)

44.

Համապատասխանի անալոգիայով
տեսական արտահայտությունները կարող են լինել
կառուցել էմպիրիկ կետեր,
օգտագործվում է վիճակագրական
գնահատումներ առաջնային և կենտրոնական
ուսումնասիրված պատահական պահերը
քանակները.

45.

Պահերի անալոգիայով
տեսություններ
նախնական էմպիրիկ հավանականությունները
կարգի պահը m-ը քանակն է
կենտրոնական էմպիրիկ կետ
պատվիրել մ -

46. ​​2.2. Բաշխման պարամետրերի վիճակագրական գնահատականների հատկությունները՝ անաչառություն, արդյունավետություն, հետևողականություն

2.2. Վիճակագրական գնահատումների հատկությունները
բաշխման պարամետրեր՝ անաչառություն, արդյունավետություն, հետևողականություն
Վիճակագրական գնահատականներ ստանալուց հետո
պատահական բաշխման պարամետրեր
ξ-ի արժեքները՝ նմուշի միջինը, նմուշի շեղումը և այլն, դուք պետք է համոզվեք
որ դրանք լավ մոտարկում են
համապատասխան պարամետրերի համար
տեսական բաշխում ξ.
Եկեք գտնենք դրա համար անհրաժեշտ պայմանները
իրականացվի։

47.

48.

A* վիճակագրական գնահատականը կոչվում է
անաչառ, եթե դա մաթեմատիկական է
ակնկալիքը հավասար է գնահատված պարամետրին
բնակչություն A ցանկացածի համար
նմուշի չափը, այսինքն.
Եթե ​​այս պայմանը չկատարվի, ապա գնահատումը
կոչվում է տեղահանված.
Անաչառ գնահատականը բավարար չէ
վիճակագրական տվյալների լավ մոտարկման պայման
A*-ը գնահատում է իրական (տեսական) արժեքը
գնահատված պարամետրի Ա.

49.

Անհատական ​​արժեքների ցրում
համեմատ միջին արժեքի M
կախված է դիսպերսիայի մեծությունից D.
Եթե ​​շեղումը մեծ է, ապա արժեքը
հայտնաբերվել է մեկ նմուշի տվյալներից,
կարող է զգալիորեն տարբերվել
գնահատվող պարամետրը.
Հետեւաբար, հուսալիության համար
գնահատման շեղումը D պետք է
լինել փոքր. Վիճակագրական գնահատում
կոչվում է արդյունավետ, եթե
տրված նմուշի չափը n այն ունի
հնարավոր ամենափոքր շեղումը.

50.

Դեպի վիճակագրական գնահատականներ
կա ևս մեկ պահանջ
վճարունակությունը։ Հաշիվը կոչվում է
հետևողական, եթե որպես n → it
հակված է ամենայն հավանականությամբ
գնահատվող պարամետրը. Նշենք, որ
անաչառ գնահատականը կլինի
հետևողական, եթե որպես n → իր
շեղումը հակված է 0-ի:

51. 2.3. Նմուշի միջինի հատկությունները

Մենք կենթադրենք, որ x1, x2,..., xn տարբերակները
համապատասխան արժեքներն են
անկախ նույնական բաշխված պատահական փոփոխականներ
,
ունենալով մաթեմատիկական ակնկալիք
և շեղում
. Հետո
նմուշի միջինը հնարավոր է
վերաբերվել որպես պատահական փոփոխականի

52.

Չտեղահանված. Հատկություններից
մաթեմատիկական ակնկալիքը հետևում է դրան
դրանք. նմուշի միջինն է
մաթեմատիկականի անաչառ գնահատականը
պատահական փոփոխականի ակնկալիքները:
Կարող է նաև արդյունավետություն ցույց տալ
գնահատումներ՝ հիմնված մաթեմատիկական ակնկալիքի միջին ընտրանքի վրա (նորմալ
բաշխում)

53.

Հարստություն. Թող գնահատվողը լինի
պարամետր, մասնավորապես մաթեմատիկական
բնակչության ակնկալիքը
- բնակչության տարբերություն
.
Դիտարկենք Չեբիշևի անհավասարությունը
Մենք ունենք.
Հետո
. Որպես n → աջ կողմ
Անհավասարությունը ձգտում է զրոյի ցանկացած ε > 0-ի համար, այսինքն.
և, հետևաբար, նմուշը ներկայացնող X արժեքը
գնահատումը հակված է գնահատված a պարամետրին ըստ հավանականության:

54.

Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել
որ նմուշի միջինն է
անաչառ, արդյունավետ (ըստ
գոնե նորմալի համար
բաշխում) և հարուստ
մաթեմատիկական ակնկալիքների գնահատում
հետ կապված պատահական փոփոխական
ընդհանուր բնակչությունը։

55.

56.

ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆ 6

57. 2.4. Նմուշի շեղումների հատկությունները

Եկեք քննենք նմուշի շեղումների անաչառությունը D* as
պատահական փոփոխականի շեղումների գնահատում

58.

59.

60. Օրինակ

Գտեք նմուշի միջինը, նմուշը
տարբերություն և միջին քառակուսի
շեղում, ռեժիմ և շտկված նմուշ
դիվերսիոն նմուշի համար, որն ունի հետևյալը
բաշխման օրենքը.
Լուծում:

61.

62. ԳԼՈՒԽ 3. ՀԱՅՏՆԻ ԲԱՇԽՄՄԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐՆԵՐԻ ԿԵՏԱԿԱՆ ԳՆԱՀԱՏՈՒՄԸ.

63.

Կենթադրենք, որ օրենքի ընդհանուր ձևը
բաշխումը մեզ հայտնի է և
Մնում է ճշտել մանրամասները.
այն սահմանող պարամետրերը
վավեր ձև: Գոյություն ունի
դա լուծելու մի քանի մեթոդներ
առաջադրանքներ, որոնցից երկուսը մենք
հաշվի առեք պահերի մեթոդը և մեթոդը
ամենայն հավանականությամբ

64. 3.1. Պահերի մեթոդ

65.

Կարլի մշակած պահերի մեթոդ
Փիրսոնը 1894 թվականին, հիմնվելով
օգտագործելով այս մոտավոր հավասարումները.
պահեր
հաշվարկված են
տեսականորեն հայտնի օրենքի համաձայն
բաշխումներ θ, և պարամետրերով
ընտրովի պահեր
հաշվարկված են
ըստ առկա նմուշի: Անհայտ
պարամետրեր
որոշվում են
r հավասարումների համակարգի լուծման արդյունքում,
կապելով համապատասխանը
տեսական և էմպիրիկ ասպեկտներ,
Օրինակ՝
.

66.

Կարելի է ցույց տալ, որ գնահատականները
մեթոդով ստացված θ պարամետրեր
պահեր, հարուստ, իրենց
մաթեմատիկական ակնկալիքները տարբեր են
պարամետրերի իրական արժեքներից մինչև
n–1 կարգի արժեքը և միջինը
ստանդարտ շեղումներ են
n–0,5 կարգի արժեքներ

67. Օրինակ

Հայտնի է, որ առարկաների բնորոշ ξ
ընդհանուր բնակչությունը, պատահական լինելը
մեծություն, ունի միատեսակ բաշխում՝ կախված a և b պարամետրերից.
Պահանջվում է որոշել պահերի մեթոդով
a և b պարամետրերը՝ հիմնված հայտնի նմուշի վրա
միջին
և նմուշի շեղում

68. Հիշեցում

α1 – մաթեմատիկական ակնկալիք β2 – դիսպերսիա

69.

(*)

70.

71. 3.2. Առավելագույն հավանականության մեթոդ

Մեթոդը հիմնված է հավանականության ֆունկցիայի վրա
L(x1, x2,..., xn, θ), որն օրենք է
վեկտորի բաշխում
, Որտեղ
պատահական փոփոխականներ
վերցրեք արժեքներ
նմուշառման տարբերակ, այսինքն. ունեն նույնը
բաշխում. Քանի որ պատահական փոփոխականներ
անկախ, հավանականության ֆունկցիան ունի ձևը.

72.

Մեծագույն մեթոդի գաղափարը
ճշմարտանմանությունն այն է, որ մենք
մենք փնտրում ենք θ պարամետրերի այնպիսի արժեքներ, որոնցով
որոնք, ամենայն հավանականությամբ, կհայտնվեն
նմուշառման արժեքներ տարբերակ x1, x2,..., xn
ամենամեծն է։ Այլ կերպ ասած,
որպես պարամետրերի գնահատում θ
վերցված է վեկտոր, որի համար ֆունկցիան
ճշմարտանմանությունն ունի տեղային
առավելագույնը տրված x1, x2, …, xn:

73.

Գնահատումներ՝ օգտագործելով առավելագույն մեթոդը
հավանականությունները ստացվում են
էքստրեմումի համար անհրաժեշտ պայման
L(x1,x2,..., xn, θ) ֆունկցիաները կետում

74. Նշումներ.

1. Հավանականության ֆունկցիայի առավելագույնը որոնելիս
հաշվարկները պարզեցնելու համար կարող եք կատարել
գործողություններ, որոնք չեն փոխում արդյունքը.
L(x1, x2,..., xn, θ) փոխարեն օգտագործել log-հավանականության ֆունկցիան l(x1, x2,..., xn, θ) =
ln L(x1, x2,..., xn, θ); երկրորդ, հրաժարվել արտահայտության մեջ
θ-ից անկախ հավանականության ֆունկցիայի համար
տերմիններ (լ-ի համար) կամ դրական
գործոններ (L-ի համար):
2. Մեր դիտարկած պարամետրերի գնահատականներն են
կարելի է անվանել կետային գնահատականներ, քանի որ համար
θ անհայտ պարամետրը որոշվում է մեկով
մեկ կետ
, որն իրենն է
մոտավոր արժեքը. Այնուամենայնիվ, այս մոտեցումը
կարող է հանգեցնել կոպիտ սխալների և բծերի
գնահատականը կարող է էականորեն տարբերվել իրականից
գնահատված պարամետրի արժեքները (հատկապես
փոքր նմուշի դեպքում):

75. Օրինակ

Լուծում. Այս հարցում անհրաժեշտ է գնահատել
երկու անհայտ պարամետր՝ a և σ2:
Մատյան-հավանականության ֆունկցիա
կարծես

76.

Այս բանաձևի տերմինը բաց թողնելով, որն այդպես չէ
կախված է a-ից և σ2-ից, եկեք ստեղծենք հավասարումների համակարգ
վստահելիություն
Լուծելով՝ մենք ստանում ենք.

77. ԳԼՈՒԽ 4. ՀԱՅՏՆԻ ԲԱՇԽՄԱՆՈՒԹՅԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐՆԵՐԻ միջակայքի գնահատումը.

78.

(*)

79.

(*)

80. 4.1. Հայտնի շեղումով նորմալ բաշխված մեծության մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում

նմուշի միջին
որպես պատահական արժեք

81.

Մենք ունենք.
(1)
(2)

82.

(2)
(1)
(*)
(*)

83. 4.2. Անհայտ շեղումով նորմալ բաշխված մեծության մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում

84.

ազատության աստիճաններ. Խտություն

կան քանակություններ

85.

86. Աշակերտների բաշխման խտությունը n – 1 աստիճան ազատության

87.

88.

89.

գտնել ըստ բանաձևերի

90. 4.3. Սովորաբար բաշխված քանակի ստանդարտ շեղման գնահատում

շեղում ս.

անհայտ մաթեմատիկական
սպասում.

91. 4.3.1. Հայտնի մաթեմատիկական սպասումի հատուկ դեպք

Օգտագործելով քանակներ
,


նմուշի տարբերություն D*:

92.

քանակները
նորմալ ունենալ

93.

պայմանները
Որտեղ
– բաշխման խտությունը χ2

94.

95.

96.

97. 4.3.2. Անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքի հատուկ դեպք

(որտեղ պատահական փոփոխական է


χ2 ազատության n–1 աստիճանով։

98.

99. 4.4. Պատահական ընտրանքի համար պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում

մեծ նմուշի չափ (n >> 1):

100.

քանակները
ունենալով

ցրվածություն
, և արդյունքում
նմուշի միջին
որպես իմաստ
պատահական փոփոխական

մեծությունը
ունի ասիմպտոտիկ


.

101.

օգտագործել բանաձևը

102.

103.

Դասախոսություն 7

104.

Պատկերվածի կրկնությունը

105. ԳԼՈՒԽ 4. ՀԱՅՏՆԻ ԲԱՇԽՄԱՆՈՒԹՅԱՆ ՊԱՐԱՄԵՏՐՆԵՐԻ միջակայքային գնահատումը.

106.

Հայտնիի պարամետրի գնահատման խնդիրը
բաշխումները կարող են լուծվել
կառուցելով մի ինտերվալ, որում տրվածով
իրական արժեքը ստանալու հավանականությունը
պարամետր. Այս գնահատման մեթոդը
կոչվում է միջակայքի գնահատում:
Սովորաբար մաթեմատիկայում գնահատման համար
պարամետր θ, անհավասարությունը կառուցված է
(*)
որտեղ δ թիվը բնութագրում է գնահատման ճշգրտությունը.
որքան փոքր է δ, այնքան ավելի լավ կլինի գնահատականը:

107.

(*)

108. 4.1. Հայտնի շեղումով նորմալ բաշխված մեծության մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում

Թող ուսումնասիրվող ξ պատահական փոփոխականը բաշխվի սովորական օրենքի համաձայն՝ հայտնի
ստանդարտ շեղում σ և
անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիք ա.
Պահանջվում է ըստ նմուշի միջին արժեքի
գնահատել մաթեմատիկական ակնկալիքը ξ.
Ինչպես նախկինում, մենք կդիտարկենք արդյունքը
նմուշի միջին
որպես պատահական արժեք
արժեքները, իսկ արժեքները օրինակելի տարբերակն են x1, x2, ...,
xn - համապատասխանաբար, երկու արժեքներն էլ նույնն են
բաշխված անկախ պատահական փոփոխականներ
, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի շախ։ ակնկալիք ա և ստանդարտ շեղում σ.

109.

Մենք ունենք.
(1)
(2)

110.

(2)
(1)
(*)
(*)

111. 4.2. Անհայտ շեղումով նորմալ բաշխված մեծության մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում

112.

Հայտնի է, որ tn պատահական փոփոխականը,
տրված այս կերպ ունի
Ուսանողի t բաշխումը k = n – 1-ով
ազատության աստիճաններ. Խտություն
հավանականությունների բաշխումներ, ինչպիսիք են
կան քանակություններ

113.

114. Աշակերտների բաշխման խտությունը n – 1 աստիճան ազատության

115.

116.

117.

Նշում. Մեծ թվով աստիճաններով
ազատություն k Ուսանողների բաշխում
հակված է նորմալ բաշխման հետ
զրոյական մաթեմատիկական ակնկալիք և
միավորի շեղում. Հետևաբար, k ≥ 30-ի համար
վստահության միջակայքը գործնականում հնարավոր է
գտնել ըստ բանաձևերի

118. 4.3. Սովորաբար բաշխված քանակի ստանդարտ շեղման գնահատում

Թող ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականը
ξ-ը սովորաբար բաշխվում է
մաթեմատիկական ակնկալիքով ա և
անհայտ միջին քառակուսի
շեղում ս.
Դիտարկենք երկու դեպք՝ հայտնի և
անհայտ մաթեմատիկական
սպասում.

119. 4.3.1. Հայտնի մաթեմատիկական ակնկալիքի հատուկ դեպք

Թող M[ξ] = a արժեքը հայտնի լինի և պահանջի
գնահատել միայն σ կամ շեղում D[ξ] = σ2:
Հիշեցնենք, որ հաշվի առնելով հայտնի գորգը. սպասում
շեղումների անաչառ գնահատականն է
նմուշի շեղում D* = (σ*)2
Օգտագործելով քանակներ
,
վերը նշված, մենք ներկայացնում ենք պատահական
քանակությունը Y՝ հաշվի առնելով արժեքները
նմուշի տարբերություն D*:

120.

Դիտարկենք պատահական փոփոխականը
Նշանի տակ գտնվող գումարները պատահական են
քանակները
նորմալ ունենալ
բաշխում fN խտությամբ (x, 0, 1):
Ապա Hn-ն ունի χ2 բաշխում n-ով
ազատության աստիճանները որպես n քառակուսիների գումար
անկախ ստանդարտ (a = 0, σ = 1)
նորմալ պատահական փոփոխականներ:

121.

Եկեք որոշենք վստահության միջակայքը
պայմանները
Որտեղ
– բաշխման խտությունը χ2
և γ – հուսալիություն (վստահություն
հավանականություն): γ մեծությունը թվայինորեն հավասար է
ստվերված գործչի տարածքը Նկ.

122.

123.

124.

125. 4.3.2. Անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքի հատուկ դեպք

Գործնականում ամենատարածված իրավիճակն է
երբ նորմալի երկու պարամետրերն էլ անհայտ են
բաշխումներ՝ մաթեմատիկական ակնկալիք ա և
ստանդարտ շեղում σ.
Այս դեպքում վստահության ձևավորում
ինտերվալը հիմնված է Ֆիշերի թեորեմի վրա, սկսած
կատու. դրանից բխում է, որ պատահական փոփոխականը
(որտեղ պատահական փոփոխական է
ընդունելով անաչառ արժեքներ
նմուշի շեղում s2, ունի բաշխում
χ2 ազատության n–1 աստիճանով։

126.

127. 4.4. Պատահական ընտրանքի համար պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում

Ինտերվալ մաթեմատիկական գնահատականներ
ակնկալիքներ M[ξ] ստացված նորմալի համար
բաշխված պատահական ξ,
դրանք, ընդհանուր առմամբ, պիտանի չեն
պատահական փոփոխականներ, որոնք ունեն այլ ձև
բաշխումներ. Այնուամենայնիվ, կա մի իրավիճակ, երբ
ցանկացած պատահական փոփոխականների համար դա հնարավոր է
օգտագործել նմանատիպ ընդմիջում
հարաբերություններ - սա տեղի է ունենում, երբ
մեծ նմուշի չափ (n >> 1):

128.

Ինչպես վերևում, մենք կքննարկենք տարբերակները
x1, x2,..., xn որպես անկախ արժեքներ,
նույնականորեն բաշխված պատահական
քանակները
ունենալով
մաթեմատիկական ակնկալիք M[ξi] = mξ և
ցրվածություն
, և արդյունքում
նմուշի միջին
որպես իմաստ
պատահական փոփոխական
Կենտրոնական սահմանային թեորեմի համաձայն
մեծությունը
ունի ասիմպտոտիկ
նորմալ բաշխման օրենքը գ
մաթեմատիկական ակնկալիք mξ և շեղում
.

129.

Հետևաբար, եթե շեղման արժեքը հայտնի է
պատահական ξ փոփոխական, ապա մենք կարող ենք
օգտագործել մոտավոր բանաձևեր
Եթե ​​ξ մեծության ցրվածության արժեքը
անհայտ է, ապա մեծ n-ի համար հնարավոր է
օգտագործել բանաձևը
որտեղ s-ն ուղղված rms-ն է: շեղում

130.

Կրկնեց այն, ինչ ծածկել էինք

131. ԳԼՈՒԽ 5. ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ՎԱՐԿԱԾՔՆԵՐԻ ՓՈՐՁՈՒՄ

132.

Վիճակագրական վարկածը վարկած է այն մասին
անհայտ բաշխման ձև կամ պարամետրերի մասին
պատահական փոփոխականի հայտնի բաշխում:
Փորձարկվող վարկած, որը սովորաբար նշվում է որպես
H0-ը կոչվում է զրոյական կամ հիմնական վարկած:
Լրացուցիչ օգտագործված վարկած H1,
Հակասական H0 վարկածը կոչվում է
մրցակցային կամ այլընտրանքային:
Ընդլայնված null-ի վիճակագրական թեստ
H0 վարկածը բաղկացած է դրա համեմատությունից
նմուշային տվյալներ. Այսպիսի չեկով
Երկու տեսակի սխալներ կարող են առաջանալ.
ա) առաջին տիպի սխալներ - դեպքեր, երբ այն մերժվում է
ճիշտ վարկած H0;
բ) երկրորդ տիպի սխալներ՝ դեպքեր, երբ
սխալ վարկածը H0 ընդունված է։

133.

I տիպի սխալի հավանականությունը կլինի
անվանել նշանակության մակարդակը և նշանակել
ինչպես α.
Վիճակագրական տվյալների ստուգման հիմնական տեխնիկան
վարկածն այն է
արժեքը հաշվարկվում է առկա նմուշից
վիճակագրական չափանիշ՝ որոշ
պատահական T փոփոխական, որն ունի հայտնի
բաշխման օրենքը. Արժեքների միջակայք T,
որի հիման վրա պետք է հիմնական վարկածը H0
մերժված լինել կոչվում է քննադատական, և
T-ի արժեքների միջակայքը, որի համար այս վարկածը
կարող է ընդունվել, – ընդունման տարածք
վարկածներ.

134.

135. 5.1. Հայտնի բաշխման պարամետրերի վերաբերյալ վարկածների ստուգում

5.1.1. Մաթեմատիկականի մասին վարկածի ստուգում
ակնկալում է նորմալ բաշխված պատահականություն
քանակները
Թող պատահական ξ փոփոխականը ունենա
նորմալ բաշխում.
Մենք պետք է ստուգենք այն ենթադրությունը, որ
որ նրա մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է
որոշ a0 թվին: Դիտարկենք առանձին
դեպքեր, երբ ξ է դիսպերսիան հայտնի և երբ
նա անհայտ է:

136.

Հայտնի դիսպերսիայի դեպքում D[ξ] = σ2,
ինչպես 4.1 բաժնում, մենք սահմանում ենք պատահական
քանակի ընդունման արժեքներ
նմուշի միջին. Վարկած H0
սկզբում ձևակերպվել է որպես M[ξ] =
ա0. Քանի որ նմուշը նշանակում է
Մ[ξ]-ի անաչառ գնահատականն է, ապա
H0 վարկածը կարող է ներկայացվել որպես

137.

Հաշվի առնելով ուղղվածի անաչառությունը
ընտրանքային շեղումներ, զրոյական վարկածը կարող է լինել
գրել հետևյալ կերպ.
որտեղ է պատահական փոփոխականը
վերցնում է շտկված նմուշի արժեքները
ξ արժեքի շեղումը և նման է պատահականին
Z-ի արժեքը՝ դիտարկված 4.2 պարագրաֆում:
Որպես վիճակագրական չափանիշ մենք ընտրում ենք
պատահական փոփոխական
հարաբերակցության արժեքը վերցնելով ավելի մեծ
նմուշի շեղումը ավելի քիչ:

145.

Պատահական F փոփոխականն ունի
Fischer–Snedecor բաշխումը հետ
ազատության աստիճանների թիվը k1 = n1 – 1 և k2
= n2 – 1, որտեղ n1-ը ընտրանքի չափն է՝ ըստ
որը հաշվարկել է ավելի մեծը
ուղղված շեղում
և n2 –
երկրորդ նմուշի չափը, որի համար
հայտնաբերվել է ավելի փոքր ցրվածություն:
Դիտարկենք մրցակցության երկու տեսակ
վարկածներ

146.

147.

148. 5.1.3. Անկախ պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքների համեմատություն

Նախ դիտարկենք նորմալի դեպքը
պատահական փոփոխականների բաշխումները հայտնիներով
շեղումներ, իսկ հետո դրա հիման վրա՝ ավելի ընդհանուր
արժեքների կամայական բաշխման դեպքում
բավականաչափ մեծ անկախ նմուշներ:
Թող ξ1 և ξ2 պատահական փոփոխականները լինեն անկախ և
սովորաբար բաշխված են, և թող դրանց շեղումները լինեն D[ξ1]
և D[ξ2] հայտնի են։ (Օրինակ, դրանք կարելի է գտնել
ինչ-որ այլ փորձից կամ հաշվարկված
տեսականորեն): Քաղված են n1 և n2 չափերի նմուշներ
համապատասխանաբար. Թող
- ընտրովի
միջինները այս նմուշների համար: Պահանջվում է ընտրվածի կողմից
միջինը՝ տվյալ նշանակության մակարդակում α
ստուգել մաթեմատիկականի հավասարության վարկածը
Դիտարկվող պատահական փոփոխականների ակնկալիքները կազմված են a priori նկատառումներից,
փորձարարական պայմանների հիման վրա և
ապա ենթադրություններ պարամետրերի վերաբերյալ
բաշխումները ուսումնասիրվում են, ինչպես ցույց է տրված
նախկինում. Այնուամենայնիվ, հաճախ դա տեղի է ունենում
առաջադեմը ստուգելու անհրաժեշտությունը
վարկած բաշխման օրենքի մասին.
Նախատեսված վիճակագրական թեստեր
նման ստուգումներ սովորաբար կոչվում են
համաձայնության չափանիշները.

154.

Հայտնի են համաձայնության մի քանի չափանիշներ. Արժանապատվություն
Պիրսոնի չափանիշը դրա ունիվերսալությունն է։ Նրա հետ
կարող է օգտագործվել տարբեր վարկածների փորձարկման համար
բաշխման օրենքները.
Պիրսոնի թեստը հիմնված է հաճախականությունների համեմատության վրա
հայտնաբերված նմուշից (էմպիրիկ հաճախականություններ), հետ
հաճախականությունները, որոնք հաշվարկվում են փորձարկվածի միջոցով
բաշխման օրենքը (տեսական հաճախականություններ):
Սովորաբար էմպիրիկ և տեսական հաճախականություններ
տարբերվել. Պետք է պարզել, թե արդյոք դա պատահական է
հաճախականության անհամապատասխանություն, թե՞ դա նշանակալի է և բացատրված
նրանով, որ տեսական հաճախականությունները հաշվարկվում են հիման վրա
ընդհանուր բնակչության բաշխվածության վերաբերյալ սխալ վարկած
ամբողջություն.
Պիրսոնի չափանիշը, ինչպես ցանկացած այլ, արձագանքում է
Հարցն այն է, թե արդյոք առաջարկվող վարկածը համամի՞տ է
էմպիրիկ տվյալներ տվյալ մակարդակում
նշանակությունը։

155. 5.2.1. Նորմալ բաշխման վարկածի փորձարկում

Թող լինի ξ պատահական փոփոխական և կազմենք
նմուշ բավական մեծ չափի n մեծ
տարբեր արժեքների քանակի տարբերակ: Պահանջվում է
α նշանակության մակարդակում ստուգեք զրոյական վարկածը
H0, որ ξ պատահական փոփոխականը բաշխված է
Լավ:
Նմուշի մշակման հարմարության համար վերցնենք երկու թիվ
α և β.
և [α, β] միջակայքը բաժանեք s-ի
ենթաինտերվալներ. Մենք կենթադրենք, որ արժեքները տարբերակ են,
յուրաքանչյուր ենթաինտերվալի մեջ ընկած մոտավորապես հավասար են
թիվ, որը նշում է ենթաինտերվալի միջինը:
Հաշվելով α կարգի յուրաքանչյուր Quantilla-ի մեջ ընկած տարբերակների քանակը (0< α < 1) непрерывной
պատահական ξ փոփոխականը xα այնպիսի թիվ է, որ
որի համար գործում է հավասարությունը
.
x½ քվանտիլը կոչվում է պատահական միջն
ξ մեծությունները, x0 և x2 քվենտիլները նրա քառորդներն են, ա
x0.1, x0.2,..., x0.9 – դեցիլներով:
Ստանդարտ նորմալ բաշխման համար (a =
0, σ = 1) և, հետևաբար,
որտեղ FN (x, a, σ) նորմալ բաշխման ֆունկցիան է
բաշխված պատահական փոփոխական, և Φ(x) –
Լապլասի ֆունկցիան.
Ստանդարտ նորմալ բաշխման քանակությունը
xα տրված α-ի համար կարելի է գտնել հարաբերությունից

162. 6.2. Ուսանողների բաշխում

Եթե
- անկախ
պատահական փոփոխականներ ունեցող
նորմալ բաշխում զրոյով
մաթեմատիկական սպասում և
միավորի շեղում, ապա
պատահական փոփոխականի բաշխում
կոչվում է Ուսանողների բաշխում
ազատության n աստիճանով (W.S. Gosset):