Գործողություններ մատրիցներով. Մատրիցային բազմապատկում Բազմապատկեք 3 մատրիցներ առցանց

Մատրիցը սահմանվում է որպես ուղղանկյուն սեղան , երկրաչափական առումով, ուղղանկյուն է՝ չափերով և . Երկու մատրիցա - երկու ուղղանկյուն. չափերով Եվ , չափերով Եվ . Մատրիցների ավելացման գործողությունը դիտարկելիս հայտնաբերվեց ուղղանկյունների չափերը համակարգելու պահանջ. =, =. Այս պահանջը ապահովում է մատրիցների փոխազդեցությունը վեկտորային համակարգերում.

=
-
- …-
- գծերի շղթա,

=
-
- …-
- սյուների շղթա,

Ընդ որում, եթե մատրիցը ներկայացված դիագրամում , ապա մատրիցը պետք է ներկայացվի նույն գծապատկերում: Բայց գլխավորը՝ մատրիցները փոխազդում են տարրերի խմբերի՝ վեկտորների հետ։

Եթե ​​մատրիցային բազմապատկման գործողությունը սահմանենք հետևյալ կերպ. · =, ապա հարց է առաջանում՝ քանի՞ տող և սյունակ ունի մատրիցը։ ? Սա որոշեց միայն երկու հնարավոր սխեմաներ մատրիցների փոխազդեցության համար դրանք բազմապատկելիս.

1* ձախ մատրիցայի տող ↔ աջ մատրիցայի սյունակ,

2* ձախ մատրիցային սյունակ ↔ աջ մատրիցային տող:

Շրջանակի համար 1* : մատրիցով . Շրջանակի համար 2* : մատրիցով կան այնքան տողեր, որքան մատրիցը , կան այնքան սյունակներ, որքան մատրիցը .

Գործնականում հաստատվել է սխեմայի կիրառումը 1* , որը կրճատվում է որպես կանոն. տող - սյունակ .

Սահմանում:

Մատրիցների արտադրանք Եվ մատրիցն է ,որի տարրերը որոշվում են կապով: , բոլորի համար , , այսինքն՝ կանոնը գործում էտող - սյունակ .

ՄեկնաբանությունՄատրիցների արտադրյալի սահմանումից հետևում է՝ տարր հավասար է տողի սկալյար արտադրյալին - մատրիցներ մեկ սյունակում- մատրիցներ .

Մատրիցա-մատրիցային բազմապատկման գործողության հատկությունները :

1* .
≠
– ոչ կոմուտատիվ (ոչ կոմուտատիվ);

2* .
=
=
– կոմբինացիոն (ասոցիատիվ):

3* .
=
+
– բաշխիչ (բաշխիչ):

Մեկնաբանություննկատի ունեցեք՝ սեփականության մեջ 1* ընդհանուր առմամբ, դա կարող է լինել, որ մատրիցը
գոյություն ունի, և մատրիցը
գոյություն չունի!

Մատրիցային արտադրանքի գործողության ներդրման հետ կապված հարց է առաջանում՝ ինչպես կատարել մատրիցային արտադրյալը. Եվ մատրիցի նկատմամբ փոխադրված մատրիցա ստանալու համար . Եթե ​​փոխակերպված մատրիցները նշանակենք հետևյալ կերպ.
,
Եվ
, ապա ճշմարիտ է հետևյալ թեորեմը.

1) Պատկերացրեք մատրիցների արտադրյալը.
տարրի հաշվարկման դիագրամի տեսքով մատրիցներ :

Գ

ես

2). Հաշվի առնելով մատրիցային փոխադրման սահմանումը, մենք պատկերում ենք նաև հավասարությունը
=
նմանատիպ դիագրամի տեսքով.

Գ ′

ես

Մենք տեսնում ենք՝ տարր մատրիցներ
տարրին հավասար մատրիցներ C.◄

ՄեկնաբանությունՄատրիցային տրանսպոզիցիոն սահմանումը և մատրիցների արտադրյալի փոխադրման ապացուցված թեորեմը բազմիցս կօգտագործվեն վեկտորային տարածություններում գծային փոխակերպումների որոշիչները և մատրիցները դիտարկելիս:

Օրինակ 4–05 Հաշվարկել մատրիցների արտադրյալը. Գ =Ա Բ =

.

Լուծում:

Ա Եվ Բ :

Գ Բ ;

Գ Բ ;

Աղյուսակի տեսքով տեխնոլոգիական ձևանմուշի օգտագործումը թույլ կտա մշակել մատրիցների արտադրյալի հաշվարկման ալգորիթմը և պաշտպանվել հաշվարկների սխալներից: Եկեք հետևենք մատրիցայի սյունակ-1-ի հաշվարկին Գ: =
, =
.

Պատասխան. Գ=
.

Օրինակ 4–06 Հաշվարկել մատրիցների արտադրյալը. Գ =Ա Բ =

.

Լուծում:

Աղյուսակում ներկայացված է մատրիցների արտադրյալի հաշվարկման սխեման Ա Եվ Բ :

▫ հաշվարկել մատրիցայի սյունակ-1 Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցայի սյունակ-1 Բ ;

▫ հաշվարկել սյունակ-2 մատրիցը Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցայի սյունակ-2 Բ ;

Գ Բ ;

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Գ:

=, =, =.

Պատասխան. =
.

Օրինակ 4–07 Գ=ԱԲ=

.

Լուծում:

Աղյուսակում ներկայացված է մատրիցների արտադրյալի հաշվարկման սխեման Ա Եվ Բ :

▫ հաշվարկել մատրիցայի սյունակ-1 Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցայի սյունակ-1 Բ ;

▫ հաշվարկել սյունակ-2 մատրիցը Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցայի սյունակ-2 Բ ;

▫ հաշվարկել սյունակ-3 մատրիցը Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցայի սյունակ-3 Բ ;

▫ հաշվարկել սյունակ-4 մատրիցը Գ Մատրիցի վերևում մենք տեղադրում ենք մատրիցայի 4-րդ սյունակը Բ .

Սյունակ					Սյունակ	Սյունակ					Սյունակ

(աղյուսակը շարունակվում է):

Սյունակ					Սյունակ	Սյունակ					Սյունակ

Աղյուսակից մենք տեսնում ենք պատասխանը. Եկեք հետևենք մատրիցայի սյունակ-1-ի հաշվարկին Գ:

=, =,

=, =.

Պատասխան. Գ=
.

Օրինակ 4–08 :Հաշվիր. Գ=
, Եթե Ա =
.

Լուծում:

1) Գրենք մատրիցի տողերի վեկտորների շղթա Ա:

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

և բազմապատկեք այն (սկլյար) սյունակով- մատրիցներ Ա: (0,0, 0, ... , , ..., 0): Հեշտ է տեսնել, թե ինչ կա մատրիցայում Գ=
=
սյունակ- կընդունի ձևը (0,0, 0, ... , , ..., 0): Սա նշանակում է, որ մատրիցի տողերի վեկտորների շղթան Գ =
կընդունի ձևը՝

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) Եթե հիմա հաշվարկենք Գ=
=
, ապա մատրիցի տողերի վեկտորների շղթան Գ =
կընդունի ձևը՝

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդի կիրառում, մատրիցայի համար Գ =
մենք կարող ենք գրել.

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

Պատասխան. Գ=
.

Օրինակ 4–09 Ապացուցեք, որ եթե մատրիցները ԱԵվ Բ– քառակուսի, և
≠
, ապա հետևյալ պնդումները միշտ ճշմարիտ են. a);

Լուծում:

1) Հաշվի առնելով մատրիցային բազմապատկման բաշխման հատկությունը.
=
+
, գրենք.

.

2) Հաշվի առնելով մատրիցային բազմապատկման բաշխման հատկությունը.
=
+
, գրենք.

.

Պատասխան՝ ապացուցված։

Օրինակ 4–10 Գտեք բոլոր մատրիցները, որոնք փոխակերպվում են մատրիցով. =.

Լուծում:

1) Եկեք ունենանք մատրիցա. , այնպիսին, որ
=
. Հաշվի առնելով մատրիցային բազմապատկման կանոնը, հեշտ է տեսնել, որ այս մատրիցների բազմապատկումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե մատրիցը - քառակուսի և նույն չափի, ինչ մատրիցը .

2) Եկեք ընդունենք. =
, և գրիր արտահայտությունը
=
:

Գ=ԱԲ.

Սյունակ

ա

դ

է

Սյունակ

Սյունակ

բ

ե

հ

Սյունակ

Սյունակ

գ

զ

կ

Սյունակ

3 ա + դ

3 բ + ե

3 գ + զ

3 դ + է

3 ե + հ

3 զ + կ

3 է

3 հ

3 կ

Աղյուսակից մենք տեսնում ենք պատասխանը.

3) Այժմ գրենք արտահայտությունը
=
:

Աղյուսակում ներկայացված է մատրիցների արտադրյալի հաշվարկման սխեման Դ=ԲԱ.

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

Սյունակ

ա

բ

գ

3 ա

ա

բ

գ

ա + 3 բ

ա

բ

գ

բ + 3 գ

դ

ե

զ

3 դ

դ

ե

զ

d+ 3e

դ

ե

զ

e+ 3f

է

հ

կ

3 է

է

հ

կ

g+ 3ժ

է

հ

կ

h+ 3k

Աղյուսակից մենք տեսնում ենք պատասխանը.

4) Եկեք օգտագործենք հավասարությունը.
→ ստանում ենք հավասարումներ մատրիցը հաշվելու համար :

3 ա + դ =3 ա → դ =0; 3 դ + է =3 դ → է =0; 3 բ + ե =a+ 3b → ե =ա ; 3 ե + հ =d+ 3e → հ =0;

3 հ =g+ 3ժ → հ =հ ; 3 գ + զ =b+ 3c → զ =բ ; 3 զ + կ =e+ 3f → կ =ե ; 3 կ =h+ 3k → հ =0.

5) Օգտագործելով ստացված հավասարումները՝ կարող ենք գրել. =
.

Պատասխան. =
.

Օրինակ 4–11 Ապացուցեք, որ մատրիցը. =
բավարարում է հավասարումը. –(ա+դ) x+գովազդ–
=0.

Լուծում:

ՄեկնաբանությունՔննարկվող օրինակը հետաքրքիր է նրանով, որ ցույց է տալիս մասնակցությունը մատրիցային արտահայտությանը սկալյար մատրիցներ:
=
.

1) Հաշվենք.
=

=
;
=
.

2) Մատրիցը փոխարինեք հավասարման մեջ : , կամ:

–
+
=
.

Պատասխան՝ ապացուցված։

Օրինակ 4–12 :Հաշվե՛ք մատրիցների արտադրյալը. Ա= (4 0 -2 3 1) և Բ=: ա) ԱԲ; բ) Բ.Ա..

ՄեկնաբանությունՔննարկվող օրինակը հետաքրքիր է նրանով, որ այն չափազանց է ակնհայտորեն ցույց է տալիս անհավասարությունը :
.

Լուծում:

Ա)
= (4·3 + 0·1 + (-2)·(-1) + 3·5 + 1·2) = (31) – մատրիցա մեկ տարրով;

բ)
=
=
.

Պատասխան՝ մատրիցներ տեքստում:

Մատրիցները փոխկապակցված թվերի աղյուսակներ են: Դրանց վրա հնարավոր է իրականացնել մի շարք տարբեր գործողություններ, որոնց մասին կպատմենք ստորև։

Մատրիցայի չափը որոշվում է դրանով պատվերներ- $m$ տողերի և $n$ սյունակների քանակը, որոնք առկա են դրանում: Շարքերը ձևավորվում են հորիզոնական գծերի վրա կանգնած տարրերով, իսկ սյուները՝ ուղիղ ուղղահայաց գծերի վրա կանգնած տարրերով։ Եթե ​​տողերի թիվը համարժեք է սյունակների թվին, ապա տվյալ աղյուսակի հերթականությունը որոշվում է $m = n$ միայն մեկ արժեքով։

Ծանոթագրություն 1

Ցանկացած մատրիցային տարրի համար ինդեքսի մեջ առաջինը գրվում է տողի համարը, որում այն ​​գտնվում է, իսկ սյունակի համարը գրվում է երկրորդում, այսինքն՝ $a_(ij)$ մուտքը նշանակում է, որ տարրը գտնվում է $i$--ում։ րդ շարքում և $j$- om սյունակում:

Գումարում և հանում

Այսպիսով, գումարման և հանման մասին։ Այս գործողությունները կարող են կատարվել միայն մատրիցներով նույն չափը.

Այս գործողություններն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է մատրիցի յուրաքանչյուր տարր ավելացնել կամ հանել մեկ այլ մատրիցի տարրով, որը կանգնած է նույն դիրքում, ինչ առաջինի տարրը:

Որպես օրինակ՝ եկեք գտնենք $A+B$ գումարը, որտեղ.

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \վերջ (pmatrix)$

և $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\ \վերջ (pmatrix)$

Նոր ստացված $A + B$ մատրիցային աղյուսակի ցանկացած տարրի գումարը հավասար է $a_(ij) + b_(ij)$-ի, օրինակ, $11$ ինդեքսով տարրը հավասար է $a_(11) + b_-ի: (11)$, և ամբողջ արդյունքը նման է այսպես.

$A + B = \սկիզբ (pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33) ) \\ \վերջ (pmatrix)$

$A-B$ երկու մատրիցների համար հանումը կատարվում է նույն կերպ, բայց արդյունքի նոր մատրիցայի յուրաքանչյուր տարր կհաշվարկվի $a_(ij) – b_(ij)$ բանաձևով:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մատրիցների համար գումարում և հանում կարող է իրականացվել միայն այն դեպքում, եթե դրանց կարգերը նույնն են:

Օրինակ 1

Լուծեք հետևյալ մատրիցային օրինակները. $A + B$; $A – B$.

$A=\սկիզբ (pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \վերջ (pmatrix)$

$B=\սկիզբ (pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \վերջ (pmatrix)$

Բացատրություն:

Մենք կատարում ենք գործողություններ համապատասխանաբար $a_(ij)$ և $b_(ij)$ տարրերի յուրաքանչյուր զույգի համար.

$A+B=\սկիզբ (pmatrix) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \\ վերջ (pmatrix)=\սկիզբ (pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4 \\ \վերջ (pmatrix)$

$A-B=\սկիզբ (pmatrix) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ վերջ (pmatrix)=\սկիզբ (pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \վերջ (pmatrix)$

Մատրիցը թվով բազմապատկելը

Մատրիցային աղյուսակը ցանկացած թվով բազմապատկելու համար հարկավոր է նրա յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկել այս թվով, այսինքն՝ $C$ նոր մատրիցայի ցանկացած տարր, որը $A$-ի արտադրյալի արդյունքն է $λ-ով։ $, հավասար կլինի $с_(ij)= λ \cdot a_(ij)$-ին։

Օրինակ 2

$A$-ը բազմապատկեք $λ$-ով, որտեղ $A=\սկիզբ (pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \վերջ (pmatrix)$ և $λ = 5$:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \սկիզբ (pmatrix) 1 \cdot 5 & ​​0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \վերջ (pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end (pmatrix)$:

Մատրիցային աղյուսակների արտադրանք

Այս առաջադրանքը որոշ չափով ավելի բարդ է, քան նախորդները, բայց դրանում էլ բարդ բան չկա։

$A \cdot B$ երկու մատրիցները բազմապատկելու համար $A$-ի սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի $B$-ի տողերի թվին:

Մաթեմատիկորեն կարելի է գրել այսպես.

$A_(m \times n)\cdot B_(n \times p) = С_(m \ անգամ p)$

Այսինքն, տեսնելով բնօրինակ մատրիցների բազմապատկումը, դուք կարող եք անմիջապես որոշել ստացված նորի կարգերը: Օրինակ, եթե Ձեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել $A_(3 \ անգամ 2)$ և $B_(2 \ անգամ 3)$, ապա ստացված արդյունքը կունենա $3 չափ \ անգամ 3$:

$\սկիզբ(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \վերջ (pmatrix) \times \սկիզբ (pmatrix) ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \վերջ( pmatrix) = \սկիզբ (pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \վերջ (pmatrix) = \սկիզբ (pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11) ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \վերջ (pmatrix)$

Եթե ​​առաջին մատրիցային բազմապատկիչի սյունակների թիվը չի համընկնում երկրորդ մատրիցային բազմապատկիչի տողերի թվի հետ, ապա բազմապատկումը չի կարող կատարվել։

Օրինակ 3

Լուծիր օրինակը.

$A \անգամ B = ?$ եթե $A=\սկիզբ (pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \վերջ (pmatrix)$ և $B = \ սկիզբ (pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end (pmatrix)$:

$A \ անգամ B = \սկիզբ (pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \վերջ (pmatrix) $

$A \անգամ B= \սկիզբ (pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \վերջ (pmatrix) = \սկիզբ (pmatrix) ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \վերջ (pmatrix)$:

Գտնել մատրիցայի որոշիչը

Մատրիցայի որոշիչը նշվում է որպես $Δ$ կամ $\det$:

Ծանոթագրություն 2

Որոշիչը կարելի է գտնել միայն քառակուսի սորտերի մատրիցների համար:

Ամենապարզ դեպքում, երբ մատրիցը բաղկացած է միայն մեկ տարրից, դրա որոշիչը հավասար է այս տարրին՝ $det A = |a_(11)|= a_(11)$

Դուք կարող եք հաշվարկել երկրորդ կարգի մատրիցայի որոշիչը՝ հետևելով այս կանոնին.

Սահմանում 1

2 չափի մատրիցայի որոշիչ հավասար է տարբերությանըՀիմնական անկյունագծով տարրերի արտադրյալները երկրորդական անկյունագծի վրա գտնվող տարրերի արտադրյալի հետ.

$\սկիզբ(զանգված)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \վերջ (զանգված) = a_(11) \cdot a_(22) – a_(12)\cdot a_(21)$

Եթե ​​մատրիցայի որոշիչին տրված է $3 չափ \ անգամ 3$, ապա այն կարող եք գտնել օգտագործելով մնեմոնիկ կանոնները՝ Սարուս կամ եռանկյուններ, կարող եք նաև ընդլայնել մատրիցը տողով կամ սյունակով կամ օգտագործել Գաուսի փոխակերպումները։

Ավելի մեծ որոշիչների համար կարող են օգտագործվել Գաուսի փոխակերպումները և գծի ընդլայնումը:

Հակադարձ մատրիցներ

Թվի սովորական բազմապատկմանը $(1+\frac1x= 1)$ հակադարձ թվով բազմապատկելը. հակադարձ մատրիցա$A^(-1)$ սկզբնական մատրիցում ստացվում է նույնականության մատրիցը $E$:

Հակադարձ մատրիցա փնտրելիս լուծման ամենապարզ մեթոդն է Հորդանան-Գաուս. Գվինեա խոզուկի մատրիցի կողքին գրվում է նույն չափի միավորի մատրիցը, այնուհետև սկզբնականը վերածվում է միավորի մատրիցի՝ օգտագործելով փոխակերպումները, և բոլոր կատարված գործողությունները կրկնվում են $E$-ով։

Օրինակ 4

Տրված է $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$

Ստացեք հակադարձ մատրիցը:

Լուծում:

Միասին գրում ենք $A$, իսկ աջ կողմում՝ $E$ համապատասխան չափը.

$ \սկիզբ(զանգված)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \վերջ (զանգված)$

Առաջին դիրքում վերջին տողում զրո ենք ստանում՝ դրան ավելացրո՛ւ վերինը՝ բազմապատկելով $-3$-ով:

$ \սկիզբ(զանգված)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \վերջ (զանգված)$

Այժմ մենք վերակայում ենք առաջին տողի վերջին տարրը: Դա անելու համար ներքևի տողը ավելացրեք վերևի տողին.

$ \սկիզբ(զանգված)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \վերջ (զանգված)$

Երկրորդը բաժանեք $-2$-ով.

$ \սկիզբ(զանգված)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \վերջ (զանգված)$

Մենք ստացանք արդյունքը.

$A=\սկիզբ(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \վերջ (pmatrix)$

Մատրիցային աղյուսակների փոխադրում

Տրանսպոզիցիան տողերի և սյունակների փոխանակումն է մատրիցով կամ որոշիչով՝ պահպանելով դրանց սկզբնական կարգը: Փոխանցված մատրիցային $A^T$ աղյուսակի որոշիչը հավասար կլինի սկզբնական $A$ մատրիցայի որոշիչին:

Օրինակ 5

Փոխադրեք $A$ մատրիցը և փորձարկեք ինքներդ՝ գտնելով $A$-ի որոշիչը և փոխադրված մատրիցային պլանշետը:

$A=\սկիզբ (pmatrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3 \\ \end (pmatrix)$

Լուծում:

Եկեք կիրառենք Սարրուսի մեթոդը որոշիչի համար.

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$։

Մենք ստացել ենք եզակի մատրիցա։

Հիմա եկեք փոխադրենք $A$ դա անելու համար, մենք մատրիցան կշրջենք նրա աջ կողմում.

$A^T = \սկիզբ (pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \վերջ (pmatrix)$

Եկեք գտնենք $A^T$-ի որոշիչը՝ օգտագործելով նույն կանոնը.

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$։

Նախ, Ի՞ՆՉ պետք է լինի երեք մատրիցների բազմապատկման արդյունքը: Կատուն մուկ չի ծնի. Եթե ​​մատրիցային բազմապատկումն իրագործելի է, ապա արդյունքը նույնպես կլինի մատրիցա։ Հմմ, լավ, իմ հանրահաշվի ուսուցիչը չի տեսնում, թե ինչպես եմ բացատրում հանրահաշվի կառուցվածքի փակ լինելը դրա տարրերի համեմատ =)

Երեք մատրիցների արտադրյալը կարող է հաշվարկվել երկու եղանակով.

1) գտեք և այնուհետև բազմապատկեք «ce» մատրիցով.

2) կամ սկզբում գտնել, ապա բազմապատկել:

Արդյունքները անպայման կհամընկնեն, այն էլ տեսականորեն այս գույքըկոչվում է մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվություն:

Օրինակ 6

Մատրիցները բազմապատկեք երկու եղանակով

Ալգորիթմ լուծումներերկքայլ. մենք գտնում ենք երկու մատրիցների արտադրյալը, այնուհետև նորից գտնում ենք երկու մատրիցների արտադրյալը:

1) Օգտագործեք բանաձևը

Գործողություն առաջին.

Գործողություն երկրորդ.

2) Օգտագործեք բանաձևը

Գործողություն առաջին.

Գործողություն երկրորդ.

Պատասխանել:

Առաջին լուծումը, իհարկե, ավելի ծանոթ և ստանդարտ է, որտեղ «կարծես ամեն ինչ կարգին է»։ Ի դեպ, կարգի վերաբերյալ. Քննարկվող առաջադրանքում հաճախ պատրանք է առաջանում, որ խոսքը մատրիցների ինչ-որ փոխակերպումների մասին է։ Նրանք այստեղ չեն։ Կրկին հիշեցնում եմ, որ Ընդհանրապես, ՄԱՏՐԻՍՆԵՐԸ ՉԵՆ ԿԱՐՈՂ ԼԻՆԵԼ Մշտական ​​Մշտական. Այսպիսով, երկրորդ պարբերությունում, երկրորդ քայլում, մենք կատարում ենք բազմապատկում, բայց ոչ մի դեպքում չենք անում: Սովորական թվերի դեպքում նման թիվը կաշխատի, իսկ մատրիցներով՝ ոչ։

Ասոցիատիվ բազմապատկման հատկությունը ճշմարիտ է ոչ միայն քառակուսի, այլև կամայական մատրիցների համար, քանի դեռ դրանք բազմապատկվում են.

Օրինակ 7

Գտեք երեքի արտադրանքմատրիցներ

Սա օրինակ է անկախ որոշում. Նմուշի լուծույթում հաշվարկներն իրականացվում են երկու եղանակով.

Մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվ հատկությունը կիրառվում է նաև ավելի մեծ թվով գործոնների վրա։

Հիմա ժամանակն է վերադառնալու մատրիցների հզորություններին: Մատրիցայի հրապարակը դիտարկվում է հենց սկզբում և օրակարգում է։

Տրված է մեթոդական ձեռնարկկօգնի ձեզ սովորել, թե ինչպես կատարել գործողություններ մատրիցներովմատրիցների գումարում (հանում), մատրիցի փոխադրում, մատրիցների բազմապատկում, հակադարձ մատրիցի գտնել։ Ամբողջ նյութը ներկայացված է պարզ և մատչելի ձևով, տրված են համապատասխան օրինակներ, այնպես որ նույնիսկ անպատրաստ մարդը կարող է սովորել, թե ինչպես կատարել գործողություններ մատրիցներով:

Ինքնադիտարկման և ինքնաթեստավորման համար կարող եք անվճար ներբեռնել մատրիցային հաշվիչը >>>: Կփորձեմ նվազագույնի հասցնել տեսական հաշվարկները, որոշ տեղերում հնարավոր են բացատրություններ «մատների վրա» և ոչ գիտական ​​տերմինների օգտագործումը։ Կուռ տեսության սիրահարներ, խնդրում եմ քննադատությամբ չզբաղվեք, մեր խնդիրն է.

սովորել մատրիցներով գործողություններ կատարել ՍՈՒՊԵՐ ԱՐԱԳ պատրաստվելու համար թեմայի (ով է «կրակի վրա») գործում է ինտենսիվ pdf դասընթաց

Մատրիցա, որոշիչ և թեստ: Մատրիցը որոշների ուղղանկյուն աղյուսակ էտարրեր Մատրիցը որոշների ուղղանկյուն աղյուսակ է. Ինչպես մենք կդիտարկենք թվերը, այսինքն՝ թվային մատրիցները։ՏԱՐՐԵՐ

տերմին է. Ցանկալի է տերմինը հիշել, այն հաճախ կհայտնվի, պատահական չէ, որ այն ընդգծելու համար օգտագործել եմ թավ տառատեսակ։Նշանակում: մատրիցները սովորաբար նշվում են մեծատառերով

լատինական տառերովՕրինակ՝

Դիտարկենք երկու-երեք մատրիցա. Մատրիցը որոշների ուղղանկյուն աղյուսակ է:

Այս մատրիցը բաղկացած է վեցից

Մատրիցայի ներսում բոլոր թվերը (տարրերը) գոյություն ունեն ինքնուրույն, այսինքն, որևէ հանման մասին խոսք չկա.

Դա պարզապես թվերի աղյուսակ է (հավաքածու): Մենք նույնպես կհամաձայնվենքմի վերադասավորիր

թվեր, եթե այլ բան նշված չէ բացատրություններում: Յուրաքանչյուր թիվ ունի իր գտնվելու վայրը և չի կարող խառնվել:

Քննարկվող մատրիցն ունի երկու տող.

և երեք սյունակ.ՍՏԱՆԴԱՐՏ երբ խոսում ենք մատրիցային չափերի մասին, ապասկզբում

Եթե ​​մատրիցայի տողերի և սյունակների թիվը նույնն է, ապա մատրիցը կոչվում է. քառակուսի, Օրինակ. - երեք-երեք մատրիցա:

Եթե ​​մատրիցն ունի մեկ սյունակ կամ մեկ տող, ապա այդպիսի մատրիցներ նույնպես կոչվում են վեկտորներ.

Փաստորեն, մեզ հայտնի է մատրիցա հասկացությունը դեռ դպրոցից, օրինակ, «x» և «y» կոորդինատներով կետը. Ըստ էության, կետի կոորդինատները գրվում են մեկ առ երկու մատրիցով: Ի դեպ, ահա մի օրինակ, թե ինչու է կարևոր թվերի հերթականությունը. և դրանք ամբողջությամբ երկուսն են տարբեր կետերինքնաթիռ.

Հիմա անցնենք ուսումնասիրությանը գործողություններ մատրիցներով:

1) Գործել առաջին. Մատրիցից մինուսի հեռացում (մատրիցի մեջ մինուսի ներմուծում).

Եկեք վերադառնանք մեր մատրիցային . Ինչպես հավանաբար նկատել եք, այս մատրիցայում չափազանց շատ բացասական թվեր կան: Սա շատ անհարմար է մատրիցով տարբեր գործողություններ կատարելու տեսակետից, անհարմար է այդքան մինուսներ գրելը, իսկ դիզայնով ուղղակի տգեղ է թվում։

Եկեք տեղափոխենք մինուսը մատրիցից դուրս՝ փոխելով մատրիցի յուրաքանչյուր տարրի նշանը:

Զրոյի դեպքում, ինչպես հասկանում եք, նշանը չի փոխվում Աֆրիկայում.

Հակադարձ օրինակ. . Տգեղ տեսք ունի:

Եկեք մատրիցում ներմուծենք մինուս՝ փոխելով մատրիցի յուրաքանչյուր տարրի նշանը:

Դե, շատ ավելի գեղեցիկ է ստացվել։ Եվ, որ ամենակարեւորն է, ԱՎԵԼԻ ՀԵՇՏ կլինի մատրիցով ցանկացած գործողություն կատարելը։ Որովհետև այդպիսի մաթեմատիկական կա ժողովրդական նշան: որքան շատ մինուսներ, այնքան ավելի շատ շփոթություն և սխալներ.

2) Գործողություն երկրորդ. Մատրիցը թվով բազմապատկելը.

լատինական տառերով

Դա պարզ է, մատրիցը թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է ամենմատրիցային տարրը բազմապատկված է տրված համարը. Այս դեպքում `երեք:

Մեկ այլ օգտակար օրինակ.

- մատրիցը կոտորակով բազմապատկելը

Նախ եկեք նայենք, թե ինչ անել ԿԱՐԻՔ ՉԻ:

ԿԱՐԻՔ ՉԻ ՄԱՏՐԻՑԻ մեջ կոտորակ մտցնելու, նախ՝ դա միայն բարդացնում է հետագա գործողություններըմատրիցով, երկրորդը, ուսուցչի համար դժվարացնում է լուծումը ստուգելը (հատկապես եթե - առաջադրանքի վերջնական պատասխանը):

Եվ, առավել եւս, ԿԱՐԻՔ ՉԻմատրիցայի յուրաքանչյուր տարր բաժանեք մինուս յոթի.

Հոդվածից Մաթեմատիկա կեղծիքների համար կամ որտեղից սկսել, մենք դա հիշում ենք տասնորդականներբարձրագույն մաթեմատիկայից ամեն կերպ փորձում են խուսափել դրանցից։

Միակ բանն այն է գերադասելի էԻնչ անել այս օրինակում, մատրիցին մինուս ավելացնելն է.

Բայց եթե միայն ԲՈԼՈՐմատրիցայի տարրերը բաժանվել են 7-ի առանց հետքի, ապա հնարավոր կլիներ (և անհրաժեշտ!) բաժանել։

լատինական տառերով

Այս դեպքում դուք կարող եք ՊԵՏՔ Էբազմապատկել մատրիցայի բոլոր տարրերը , քանի որ բոլոր մատրիցային թվերը բաժանվում են 2-ի առանց հետքի.

Նշում. բարձրագույն դպրոցի մաթեմատիկայի տեսության մեջ «բաժանում» հասկացություն չկա: «Սա բաժանված է դրա վրա» ասելու փոխարեն միշտ կարող եք ասել «սա բազմապատկված է կոտորակի վրա»: Այսինքն՝ բաժանումը բազմապատկման հատուկ դեպք է։

3) Գործ երեք. Matrix Transpose.

Մատրիցը փոխադրելու համար հարկավոր է դրա տողերը գրել փոխադրված մատրիցայի սյունակներում:

լատինական տառերով

Տրանսպոզիցիոն մատրիցա

Այստեղ կա միայն մեկ տող և, ըստ կանոնի, անհրաժեշտ է սյունակում գրել.

- փոխադրված մատրիցա:

Փոխադրված մատրիցը սովորաբար նշվում է վերևի աջ մասում վերևի տառով կամ պարզով:

Քայլ առ քայլ օրինակ.

Տրանսպոզիցիոն մատրիցա

Սկզբում մենք առաջին տողը վերագրում ենք առաջին սյունակում.

Այնուհետև մենք վերագրում ենք երկրորդ տողը երկրորդ սյունակում.

Եվ վերջապես, մենք երրորդ տողը վերագրում ենք երրորդ սյունակում.

Պատրաստ. Կոպիտ ասած, տրանսպոզիցիա նշանակում է մատրիցը շրջել իր կողմը։

4) Չորրորդ ակտ. Մատրիցների գումարը (տարբերությունը):.

Մատրիցների գումարը պարզ գործողություն է:
ՈՉ ԲՈԼՈՐ ՄԱՏՐԻՍՆԵՐԸ ԿԱՐԵԼԻ Է ԾԱՔԵԼ: Մատրիցների գումարում (հանում) կատարելու համար անհրաժեշտ է, որ դրանք լինեն ՆՈՒՅՆ ՉԱՓԻ։

Օրինակ, եթե տրված է երկու-երկու մատրիցա, ապա այն կարող է ավելացվել միայն երկու-երկու մատրիցով և ոչ մի այլ:

լատինական տառերով

Ավելացնել մատրիցներ Եվ

Մատրիցներ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց համապատասխան տարրերը:

Մատրիցների տարբերության համար կանոնը նման է. անհրաժեշտ է գտնել համապատասխան տարրերի տարբերությունը.

լատինական տառերով

Գտեք մատրիցային տարբերությունը ,

Ինչպե՞ս կարող եք ավելի հեշտ լուծել այս օրինակը, որպեսզի չշփոթվեք։ Դա անելու համար խորհուրդ է տրվում ազատվել ավելորդ մինուսներից, մատրիցին ավելացնել մինուս.

Նշում. բարձրագույն դպրոցի մաթեմատիկայի տեսության մեջ «հանում» հասկացություն չկա: «Սրանից հանիր» ասելու փոխարեն միշտ կարող ես ասել «ավելացրու սա սրան»: բացասական թիվ« Այսինքն՝ հանումը գումարման հատուկ դեպք է։

5) Գործ հինգ. Մատրիցային բազմապատկում.

Ի՞նչ մատրիցներ կարելի է բազմապատկել:

Որպեսզի մատրիցը բազմապատկվի մատրիցով, անհրաժեշտ է այնպես, որ մատրիցային սյունակների թիվը հավասար լինի մատրիցային տողերի թվին.

լատինական տառերով
Հնարավո՞ր է մատրիցը բազմապատկել մատրիցով:

Սա նշանակում է, որ մատրիցային տվյալները կարող են բազմապատկվել:

Բայց եթե մատրիցները վերադասավորվեն, ապա այս դեպքում բազմապատկումն այլևս հնարավոր չէ:

Հետևաբար, բազմապատկումը հնարավոր չէ.

Այնքան էլ հազվադեպ չէ հնարքով առաջադրանքների հանդիպել, երբ աշակերտին խնդրում են բազմապատկել մատրիցներ, որոնց բազմապատկումն ակնհայտորեն անհնար է։

Հարկ է նշել, որ որոշ դեպքերում հնարավոր է բազմապատկել մատրիցները երկու եղանակով։
Օրինակ, մատրիցների համար և՛ բազմապատկելը, և՛ բազմապատկումը հնարավոր են

Սահմանում 1

Մատրիցային արտադրյալը (C = AB) գործողություն է միայն համընկնող A և B մատրիցների համար, որոնցում A մատրիցի սյունակների թիվը հավասար է B մատրիցի տողերի թվին.

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Օրինակ 1

Տրված մատրիցներ.

• A = a (i j) չափերի m × n;
• B = b (i j) չափերը p × n

C մատրիցը, որի c i j տարրերը հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևով.

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1, . . . մ

Օրինակ 2

Եկեք հաշվարկենք AB=BA արտադրյալները.

A = 1 2 1 0 1 2, B = 1 0 0 1 1 1

Լուծում՝ օգտագործելով մատրիցային բազմապատկման կանոնը.

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Գտնվում են A B և BA A արտադրյալները, բայց դրանք տարբեր չափերի մատրիցներ են. A B-ն հավասար չէ BA A-ին:

Մատրիցային բազմապատկման հատկությունները

Մատրիցային բազմապատկման հատկությունները.

• (A B) C = A (B C) - մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվություն;
• A (B + C) = A B + A C - բազմապատկման բաշխվածություն;
• (A + B) C = A C + B C - բազմապատկման բաշխվածություն;
• λ (A B) = (λ A) B

Օրինակ 1

Ստուգենք թիվ 1 հատկությունը՝ (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100:

Օրինակ 2

Ստուգենք թիվ 2 հատկությունը՝ A (B + C) = A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58:

Երեք մատրիցների արտադրանք

A B C երեք մատրիցների արտադրյալը հաշվարկվում է 2 եղանակով.

• գտնել A B և բազմապատկել C-ով. (A B) C;
• կամ նախ գտեք B C-ն, այնուհետև բազմապատկեք A (B C):

Օրինակ 3

Մատրիցները բազմապատկել 2 եղանակով.

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Գործողությունների ալգորիթմ.

• գտնել 2 մատրիցների արտադրյալը;
• ապա նորից գտեք 2 մատրիցների արտադրյալը:

1). A B = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Մենք օգտագործում ենք A B C = (A B) C բանաձևը.

1). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = 2 - 14 - 1

2). A B C = (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Պատասխան՝ 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Մատրիցը թվով բազմապատկելը

Սահմանում 2

A մատրիցի արտադրյալը k թվով B = A k նույն չափի մատրիցն է, որը ստացվում է սկզբնականից՝ նրա բոլոր տարրերը տրված թվով բազմապատկելով.

b i, j = k × a i, j

Մատրիցը թվով բազմապատկելու հատկությունները.

• 1 × Ա = Ա
• 0 × A = զրոյական մատրիցա
• k (A + B) = k A + k B
• (k + n) A = k A + n Ա
• (k × n) × A = k (n × A)

Օրինակ 4

Գտնենք A = 4 2 9 0 մատրիցի արտադրյալը 5-ով:

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելը

Սահմանում 3

Մատրիցի և վեկտորի արտադրյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել՝ օգտագործելով «տող առ սյունակ» կանոնը.

• եթե մատրիցը բազմապատկեք սյունակային վեկտորով, մատրիցի սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի սյունակի վեկտորի տողերի թվին.
• Սյունակի վեկտորի բազմապատկման արդյունքը միայն սյունակի վեկտորն է.

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × 1 b 1 + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 մ

• եթե մատրիցը բազմապատկում եք տող վեկտորով, ապա բազմապատկվող մատրիցը պետք է լինի բացառապես սյունակ վեկտոր, և սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի տողերի վեկտորի սյունակների թվին.

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Օրինակ 5

Գտնենք A մատրիցի և B սյունակի վեկտորի արտադրյալը.

A B = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Օրինակ 6

Գտնենք A մատրիցի և B տողի վեկտորի արտադրյալը.

A = 3 2 0 - 1, B = - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Պատասխան՝ A B = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter