Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների բանաձևեր. Ամբողջական և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծում: Ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Ռացիոնալ հավասարումները ռացիոնալ արտահայտություններ պարունակող հավասարումներ են։

Սահմանում 1

Այս դեպքում ռացիոնալ արտահայտությունները այն արտահայտություններն են, որոնք կարող են գրվել $\frac(m)(n)$ ձևի սովորական կոտորակի տեսքով, մինչդեռ $m$ և $n$-ն ամբողջ թվեր են, և $n$-ը չի կարող հավասար լինել։ մինչև զրոյի: Ռացիոնալ արտահայտությունները ներառում են ոչ միայն $\frac(2)(3)$ ձևի կոտորակներ պարունակող արտահայտություններ, այլ նաև միայն ամբողջ թվեր պարունակող արտահայտություններ, քանի որ ցանկացած ամբողջ թիվ կարող է ներկայացվել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ:

Հիմա եկեք ավելի մանրամասն նայենք, թե ինչ են ռացիոնալ հավասարումները:

Ինչպես վերը նշեցինք, ռացիոնալ հավասարումները հավասարումներ են, որոնք պարունակում են ռացիոնալ արտահայտություններ և փոփոխականներ։

Ըստ ռացիոնալ հավասարման մեջ փոփոխականի ճշգրիտ դիրքի, այն կարող է լինել կամ կոտորակային ռացիոնալ հավասարում կամ ամբողջ ռացիոնալ հավասարում:

Կոտորակային հավասարումները կարող են պարունակել փոփոխական ունեցող կոտորակ հավասարման միայն մեկ մասում, մինչդեռ ամբողջական հավասարումները չեն պարունակում փոփոխականով կոտորակային արտահայտություններ:

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների օրինակներ՝ $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=$256:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների օրինակներ՝ $\frac(3x-2)(x+3)+\frac(1)(2)=\frac(5)(x)$; $\frac(7)(2y-3)=5$;

Հարկ է նշել, որ հայտարարում կոտորակ պարունակող միայն հավասարումները կոչվում են կոտորակային-ռացիոնալ հավասարումներ, քանի որ առանց փոփոխականների կոտորակային արտահայտություններ պարունակող հավասարումները հեշտությամբ կարող են կրճատվել գծային ամբողջ թվերի հավասարումների:

Ինչպե՞ս լուծել ռացիոնալ հավասարումներ:

Կախված նրանից, թե գործ ունեք մի ամբողջ ռացիոնալ հավասարման հետ, թե կոտորակային, լուծման համար օգտագործվում են մի փոքր տարբեր ալգորիթմներ։

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ

1. Նախ, դուք պետք է որոշեք ամենացածր ընդհանուր հայտարարը ամբողջ հավասարման համար:
2. Այնուհետև դուք պետք է որոշեք այն գործոնները, որոնցով պետք է բազմապատկվի հավասարության յուրաքանչյուր անդամ:
3. Հաջորդ փուլը բոլոր հավասարությունները ընդհանուր հայտարարի բերելն է։
4. Վերջապես, արդյունքում ստացված ամբողջ թվերի ռացիոնալ հավասարության արմատների որոնում:

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումը $\frac(5x+9)(2)=\frac(x)(4)$

Նախ, եկեք գտնենք ընդհանուր գործոնը. այս դեպքում դա $4$ թիվն է: Հայտարարից ազատվելու համար ձախ կողմը բազմապատկում ենք $\frac(2)(2)$-ով, ստանում ենք.

$10x+18=x$ - ստացված հավասարումը գծային է, դրա արմատը՝ $x=-2$։

Ինչպե՞ս լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների դեպքում լուծման կարգը նման է ամբողջ թվով ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմին, այսինքն՝ պահպանվում են 1-4 կետերը, սակայն սպասվող արմատները գտնելուց հետո անհավասար փոխակերպումների կիրառման դեպքում՝ արմատները. պետք է ստուգվեն՝ դրանք փոխարինելով հավասարման մեջ:

Օրինակ 2

Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը. $\frac(x-3)(x-5)+\frac(1)(x)=\frac(x+5)(x \cdot (x-5))$

Կոտորակը ընդհանուր հայտարարի կրճատելու համար այստեղ այն $x \cdot (x-5)$ է, մենք յուրաքանչյուր կոտորակը բազմապատկում ենք մեկով, որը ներկայացված է ընդհանուր հայտարարի կրճատման համար անհրաժեշտ գործոնի տեսքով.

$\frac((x-3) \cdot x)((x-5)\cdot x)+\frac(1 \cdot (x-5))(x \cdot (x-5))=\frac( x+5)(x \cdot (x-5))$

Այժմ, երբ ամբողջ կոտորակն ունի ընդհանուր հայտարար, մենք կարող ենք ազատվել դրանից.

$(x-3)\cdot x+(x-5)=x+5$

$x^2 ​​- 3x+x-5 = x+5$

Եկեք օգտագործենք Վիետայի թեորեմը, որպեսզի լուծենք ստացված քառակուսի հավասարումը.

$\սկիզբ (դեպքեր) x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \վերջ (դեպքեր)$

$\սկիզբ (դեպքեր) x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \վերջ (դեպքեր)$

Քանի որ հավասարումը պարզեցնելու համար օգտագործվող փոխակերպումը համարժեք չէ, դրա համար ստացված արմատները պետք է ստուգվեն սկզբնական հավասարման մեջ, մենք դրանք փոխարինում ենք.

$\frac(-2-3)(-2-5) +\frac(1)(-2)=\frac(-2+5)((-2) \cdot (-2-5))$

$\frac(5)(7)-\frac(1)(2)=\frac(3)(14)$

$\frac(3)(14)=\frac(3)(14)$ - հետևաբար, $x_2=-2$ արմատը ճիշտ է:

$\frac(5-3)(5-5) +\frac(1)(5)=\frac(5+5)((-2) \cdot (5-5))$

Այստեղ անմիջապես պարզ է դառնում, որ հայտարարում կազմված է զրո, հետևաբար, $x_1=5$ արմատը կողմնակի է։

Պետք է հիշել, որ եթե ձախ կամ աջ կողմում $\frac(m)(n)$ ձևի արտահայտություն պարունակող հավասարումը հավասար է զրոյի, ապա միայն կոտորակի համարիչը կարող է հավասար լինել զրոյի։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ եթե հայտարարի մեջ ինչ-որ տեղ զրո է լինում, ապա փորձարկվող արմատը հավասարման արմատը չէ, քանի որ ամբողջ հավասարությունն այս դեպքում դառնում է անիմաստ: Արմատները, որոնք հայտարարը հասցնում են զրոյի, կոչվում են կողմնակի:

Եթե ​​կոտորակային ռացիոնալ հավասարումն ունի բավականին բարդ ձև, այն ավելի պարզեցնելու և լուծելու համար հնարավոր է օգտագործել հավասարման մի մասի փոխարինումը նոր փոփոխականով, հավանաբար արդեն տեսել եք նման կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների օրինակներ.

Օրինակ 3

Լուծե՛ք հավասարումը.

$\frac(1)(x^2+3x-3)+\frac(2)(x^2+3x+1)=\frac(7)(5)$

Լուծումը պարզեցնելու համար մենք ներկայացնում ենք $t= x^2+3x$ փոփոխականը.

$\frac(1)(t-3)+\frac(2)(t+1)=\frac(7)(5)$

Այստեղ ընդհանուր հայտարարը $5 \cdot (t-3)(t+1)$ է, հավասարման բոլոր մասերը բազմապատկեք անհրաժեշտ գործոններով՝ դրանից ազատվելու համար.

$\frac(5(t+1))(5(t-3)(t+1))+\frac(2 \cdot 5(t-3))(5(t+1)(t-3) )=\frac(7(t+1)(t-3))(5(t-3)(t+1))$

$5(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$

$5t+5+10t-30=7(t^2-3t+t-3)$

$15t-25=7t^2-14t-21$

Օգտագործելով դիսկրիմինանտը, մենք հաշվարկում ենք արմատները.

$t_1=4;t_2=\frac(1)(7)$

Քանի որ մենք օգտագործել ենք ոչ համարժեք փոխակերպումներ, անհրաժեշտ է ստուգել ստացված արմատները հայտարարում, դրանք պետք է բավարարեն $5(t-3)(t+1)≠0$ պայմանը։ Երկու արմատներն էլ համապատասխանում են այս պայմանին:

Այժմ մենք փոխարինում ենք ստացված արմատները $t$-ի փոխարեն և ստանում ենք երկու հավասարումներ.

$x^2+3x=4$ և $x^2+3x=\frac(1)(7)$:

Համաձայն Վիետայի թեորեմի՝ առաջին հավասարման արմատներն են $x_1=-4; x_2=1$, դիսկրիմինանտի միջոցով հաշվենք երկրորդի արմատները և ունենանք $x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(\frac(67)(7)))(2)$:

Հավասարման բոլոր արմատները կլինեն՝ $x_1=-4; x_2=1, x_(3,4)=\frac(-3±\sqrt(\frac(67)(7)))(2)$:

Փոխակերպումներ՝ հավասարման ձևը պարզեցնելու համար

Ինչպես արդեն տեսնում եք վերևում, ռացիոնալ հավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում են տարբեր փոխակերպումներ:

Կան հավասարումների փոխակերպումների երկու տեսակ՝ համարժեք (նույնական) և անհավասար։

Փոխակերպումները կոչվում են համարժեք, եթե դրանք հանգեցնում են նոր տիպի հավասարման, որի արմատները նույնն են, ինչ սկզբնականը։

Ինքնության փոխակերպումները, որոնք կարող են օգտագործվել սկզբնական հավասարման ձևը փոխելու համար առանց լրացուցիչ ստուգումների, հետևյալն են.

• Ամբողջ հավասարումը զրոյից տարբեր թվով բազմապատկելը կամ բաժանելը.
• Հավասարման մասերի փոխանցում ձախից աջ և հակառակը:

Անհամարժեք փոխակերպումները փոխակերպումներ են, որոնց ընթացքում կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ: Անհամարժեք փոխակերպումները ներառում են.

• Հավասարման երկու կողմերի քառակուսի;
• Ազատվել փոփոխական պարունակող հայտարարներից.

Ոչ համարժեք փոխակերպումների միջոցով լուծված ռացիոնալ հավասարումների արմատները պետք է ստուգվեն սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելով, քանի որ ոչ համարժեք փոխակերպումների ժամանակ կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ: Անհամարժեք փոխակերպումները միշտ չէ, որ հանգեցնում են կողմնակի արմատների առաջացմանը, բայց դա դեռ պետք է հաշվի առնել:

Երկուսից մեծ աստիճաններով ռացիոնալ հավասարումների լուծում

Երկուսից մեծ աստիճաններով հավասարումներ լուծելու ամենատարածված մեթոդները փոփոխական փոփոխության մեթոդն են, որը մենք վերը քննարկել ենք՝ օգտագործելով կոտորակային ռացիոնալ հավասարման օրինակը, ինչպես նաև ֆակտորացման մեթոդը:

Եկեք մանրամասն քննարկենք ֆակտորացման մեթոդը:

Թող տրվի $P(x)= 0$ ձևի հավասարում, իսկ $P(x)$-ը բազմանդամ է, որի աստիճանը երկուսից մեծ է։ Եթե ​​այս հավասարումը կարող է ֆակտորիզացվել այնպես, որ ստացվի $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, ապա այս հավասարման լուծումը կլինի լուծումների բազմությունը։ հավասարումները $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0...P_n(x)=0$:

Նրանց համար, ովքեր չեն հիշում, ազատ անդամը հավասարման մեջ այն տերմինն է հավասարումների մեջ, որը չի պարունակում փոփոխական որպես գործոն: Ավելին, գտնելով նման հավասարման արմատներից մեկը, այն կարող է օգտագործվել հավասարման հետագա ֆակտորիզացիայի համար:

Օրինակ 5

Լուծե՛ք հավասարումը.

Ազատ անդամի բաժանարարները կլինեն $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ և $±24$ թվերը։ Դրանք ստուգելիս համապատասխան արմատը $x=2$ է ստացվել։ Սա նշանակում է, որ այս բազմանդամը կարող է ընդլայնվել այս արմատի միջոցով՝ $(x-2)(x^2+6+12)=0$։

Արմատային փակագծերի երկրորդ զույգի բազմանդամը արմատներ չունի, ինչը նշանակում է, որ այս հավասարման միակ արմատը կլինի $x=2$։

Երկուսից մեծ աստիճանով հավասարումների մեկ այլ տեսակ է երկքառակուսի հավասարումներ$ax^4+bx^2+ c=0$ ձևի։ Նման հավասարումները լուծվում են $x^2$-ը $y$-ով փոխարինելով, կիրառելով այն՝ ստանում ենք $ay^2+y+c=0$ ձևի հավասարում, որից հետո օգտագործվում է նոր փոփոխականի ստացված արժեքը։ սկզբնական փոփոխականը հաշվարկելու համար:

Գոյություն ունի նաև մեկ այլ տեսակի հավասարում, որը կոչվում է վերադարձելի. Նման հավասարումների տեսքը հետևյալն է՝ $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$։ Նրանք այս անվանումն ունեն բարձր ու ցածր աստիճաններում գործակիցների կրկնության պատճառով։

Պարզ ասած, դրանք հավասարումներ են, որոնցում հայտարարի մեջ կա առնվազն մեկ փոփոխական:

Օրինակ՝

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Օրինակ Ոչկոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ.

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Ինչպե՞ս են լուծվում կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները:

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների մասին, այն է, որ պետք է գրել դրանց մեջ: Իսկ արմատները գտնելուց հետո անպայման ստուգեք դրանք թույլատրելիության համար։ Հակառակ դեպքում, կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ, և ամբողջ որոշումը կհամարվի սխալ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ.

Դուրս գրեք և «լուծեք» ODZ-ը:

Հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարով և չեղարկեք ստացված կոտորակները: Հայտարարները կվերանան։

Գրի՛ր հավասարումը առանց փակագծերը բացելու։

Լուծե՛ք ստացված հավասարումը։

Ստուգեք հայտնաբերված արմատները ODZ-ով:

Ձեր պատասխանում գրեք 7-րդ քայլի թեստն անցած արմատները:

Մի անգիր արեք ալգորիթմը, 3-5 լուծված հավասարումներ, և այն ինքնին կհիշվի:

Օրինակ . Լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Լուծում:

Պատասխան. \(3\).

Օրինակ . Գտե՛ք \(=0\) կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները

Լուծում:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ՕՁ՝ \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Մենք գրում ենք և «լուծում» ՕՁ-ն։ Մենք ընդլայնում ենք \(x^2+7x+10\) մեջ ըստ բանաձևի՝ \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\): Բարեբախտաբար, մենք արդեն գտել ենք \(x_1\) և \(x_2\):
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ակնհայտորեն, կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է \((x+2)(x+5)\): Մենք դրանով բազմապատկում ենք ամբողջ հավասարումը։
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Կոտորակների կրճատում
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Փակագծերի բացում
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ
\(2x^2+9x-5=0\)		Գտնելով հավասարման արմատները
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Արմատներից մեկը չի համապատասխանում ODZ-ին, ուստի պատասխանում գրում ենք միայն երկրորդ արմատը։

Պատասխան. \(\frac(1)(2)\).

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծում

Տեղեկանք ուղեցույց

Ռացիոնալ հավասարումները հավասարումներ են, որոնցում և՛ ձախ, և՛ աջ կողմերը ռացիոնալ արտահայտություններ են:

(Հիշեք. ռացիոնալ արտահայտությունները ամբողջ և կոտորակային արտահայտություններ են՝ առանց ռադիկալների, ներառյալ գումարման, հանման, բազմապատկման կամ բաժանման գործողությունները, օրինակ՝ 6x; (m – n)2; x/3y և այլն):

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումները սովորաբար կրճատվում են հետևյալ ձևով.

Որտեղ Պ(x) Եվ Ք(x) բազմանդամներ են։

Նման հավասարումներ լուծելու համար հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք Q(x-ով), ինչը կարող է հանգեցնել կողմնակի արմատների առաջացմանը։ Ուստի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս անհրաժեշտ է ստուգել հայտնաբերված արմատները։

Ռացիոնալ հավասարումը կոչվում է ամբողջ կամ հանրահաշվական, եթե այն չի բաժանվում փոփոխական պարունակող արտահայտության վրա։

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարման օրինակներ.

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Եթե ​​ռացիոնալ հավասարման մեջ կա (x) փոփոխական պարունակող արտահայտության բաժանում, ապա հավասարումը կոչվում է կոտորակային ռացիոնալ։

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման օրինակ.

15
x + - = 5x – 17
x

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումները սովորաբար լուծվում են հետևյալ կերպ.

1) գտնել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը և դրանով բազմապատկել հավասարման երկու կողմերը.

2) լուծել ստացված ամբողջ հավասարումը.

3) իր արմատներից բացառել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը զրոյի հասցնողները.

Ամբողջական և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման օրինակներ.

Օրինակ 1. Լուծենք ամբողջ հավասարումը

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Լուծում:

Գտնելով ամենացածր ընդհանուր հայտարարը: Սա 6 է: 6-ը բաժանեք հայտարարի վրա և ստացված արդյունքը բազմապատկեք յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչով: Ստանում ենք սրան համարժեք հավասարում.

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Քանի որ ձախ և աջ կողմերն ունեն նույն հայտարարը, այն կարելի է բաց թողնել: Այնուհետև մենք ստանում ենք ավելի պարզ հավասարում.

3 (x – 1) + 4x = 5x.

Մենք այն լուծում ենք՝ բացելով փակագծերը և համատեղելով նմանատիպ տերմիններ.

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Օրինակը լուծված է.

Օրինակ 2. Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարում

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Ընդհանուր հայտարարի որոնում. Սա x (x – 5) է: Այսպիսով.

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Այժմ մենք կրկին ազատվում ենք հայտարարից, քանի որ այն նույնն է բոլոր արտահայտությունների համար։ Մենք կրճատում ենք նմանատիպ անդամները, հավասարեցնում ենք հավասարումը զրոյի և ստանում քառակուսի հավասարում.

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0:

Լուծելով քառակուսի հավասարումը, մենք գտնում ենք դրա արմատները՝ –2 և 5:

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք այս թվերը սկզբնական հավասարման արմատներն են:

x = –2 դեպքում x(x – 5) ընդհանուր հայտարարը չի անհետանում: Սա նշանակում է, որ –2-ը սկզբնական հավասարման արմատն է:

x = 5-ում ընդհանուր հայտարարը գնում է զրոյի, և երեք արտահայտություններից երկուսը դառնում են անիմաստ: Սա նշանակում է, որ 5 թիվը սկզբնական հավասարման արմատը չէ։

Պատասխան՝ x = –2

Ավելի շատ օրինակներ

Օրինակ 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2:

Պատասխան՝ -2,2;6.

Օրինակ 2.

Առաջին հերթին, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես աշխատել ռացիոնալ կոտորակների հետ առանց սխալների, դուք պետք է սովորեք կրճատված բազմապատկման բանաձևեր: Եվ դա հեշտ չէ սովորել. դրանք պետք է ճանաչել նույնիսկ այն դեպքում, երբ տերմինների դերերը սինուսներ են, լոգարիթմներ և արմատներ:

Այնուամենայնիվ, հիմնական գործիքը մնում է ռացիոնալ կոտորակի համարիչի և հայտարարի գործոնացումը։ Դրան կարելի է հասնել երեք տարբեր եղանակներով.

1. Իրականում, ըստ կրճատ բազմապատկման բանաձևի. դրանք թույլ են տալիս բազմանդամը բաժանել մեկ կամ մի քանի գործոնի.
2. Օգտագործելով քառակուսի եռանդամի գործոնավորումը դիսկրիմինանտի միջոցով: Նույն մեթոդը թույլ է տալիս ստուգել, ​​որ որևէ եռանկյուն ընդհանրապես չի կարող ֆակտորիզացվել.
3. Խմբավորման մեթոդը ամենաբարդ գործիքն է, բայց այն միակ մեթոդն է, որն աշխատում է, եթե նախորդ երկուսը չեն աշխատել:

Ինչպես կռահեցիք այս տեսանյութի վերնագրից, մենք կրկին կխոսենք ռացիոնալ կոտորակների մասին։ Ընդամենը մի քանի րոպե առաջ ավարտեցի դասը տասներորդ դասարանցու հետ, և այնտեղ մենք վերլուծեցինք հենց այս արտահայտությունները։ Ուստի այս դասը նախատեսված է լինելու հատուկ ավագ դպրոցի աշակերտների համար։

Անշուշտ, հիմա շատերի մոտ հարց է ծագում. «Ինչու՞ պետք է 10-11-րդ դասարանների աշակերտները սովորեն այնպիսի պարզ բաներ, ինչպիսիք են ռացիոնալ կոտորակները, քանի որ դա դասավանդվում է 8-րդ դասարանում»: Բայց խնդիրն այն է, որ մարդկանց մեծամասնությունը «անցնում է» այս թեմայի միջով: 10-11-րդ դասարանում նրանք այլևս չեն հիշում, թե ինչպես անել 8-րդ դասարանից ռացիոնալ կոտորակների բազմապատկում, բաժանում, հանում և գումարում, բայց հենց այս պարզ գիտելիքների վրա են կառուցվում հետագա, ավելի բարդ կառուցվածքներ, ինչպիսիք են լոգարիթմական լուծումը, եռանկյունաչափական հավասարումներ և շատ այլ բարդ արտահայտություններ, ուստի առանց ռացիոնալ կոտորակների ավագ դպրոցում գործնականում անելիք չկա:

Խնդիրների լուծման բանաձևեր

Եկեք գործի անցնենք: Առաջին հերթին մեզ անհրաժեշտ է երկու փաստ՝ երկու բանաձևերի հավաքածու։ Նախևառաջ անհրաժեշտ է իմանալ կրճատված բազմապատկման բանաձևերը.

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — քառակուսիների տարբերություն;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$-ը գումարի կամ տարբերության քառակուսին է ;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$-ը խորանարդների գումարն է;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$-ը խորանարդների տարբերությունն է։

Նրանք իրենց մաքուր տեսքով չեն հանդիպում ոչ մի օրինակում կամ իրական լուրջ արտահայտություններում։ Հետևաբար, մեր խնդիրն է սովորել $a$ և $b$ տառերի տակ տեսնել շատ ավելի բարդ կառուցվածքներ, օրինակ՝ լոգարիթմներ, արմատներ, սինուսներ և այլն։ Դուք կարող եք սովորել դա տեսնել միայն մշտական ​​պրակտիկայի միջոցով: Ահա թե ինչու ռացիոնալ կոտորակների լուծումը բացարձակապես անհրաժեշտ է:

Երկրորդ, միանգամայն ակնհայտ բանաձևը քառակուսի եռանդամի գործոնացումն է.

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$-ն արմատներ են:

Մենք տեսական մասով ենք զբաղվել։ Բայց ինչպե՞ս լուծել իրական ռացիոնալ կոտորակները, որոնք լուսաբանվում են 8-րդ դասարանում։ Հիմա կպարզենք։

Առաջադրանք թիվ 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((բ)^(3)))(((բ)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12աբ+16((բ)^(2)))((բ)^(2))+4բ+4)\]

Փորձենք վերը նշված բանաձեւերը կիրառել ռացիոնալ կոտորակներ լուծելիս։ Նախ ուզում եմ բացատրել, թե ինչու է ընդհանրապես անհրաժեշտ ֆակտորիզացիա։ Փաստն այն է, որ առաջադրանքի առաջին մասի առաջին հայացքից դուք ցանկանում եք կրճատել քառակուսիով խորանարդը, բայց դա խստիվ արգելված է, քանի որ դրանք համարիչի և հայտարարի տերմիններ են, բայց ոչ մի դեպքում գործոններ չեն:

Ինչ է ամեն դեպքում հապավումը: Կրճատումը նման արտահայտությունների հետ աշխատելու հիմնական կանոնի օգտագործումն է։ Կոտորակի հիմնական հատկությունն այն է, որ մենք կարող ենք համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել նույն թվով, բացի «զրոյից»: Այս դեպքում, երբ կրճատում ենք, ընդհակառակը, բաժանում ենք «զրոյից» տարբերվող նույն թվի վրա։ Այնուամենայնիվ, մենք պետք է բաժանենք հայտարարի բոլոր անդամները նույն թվի վրա: Դուք չեք կարող դա անել: Իսկ համարիչը հայտարարով կրճատելու իրավունք ունենք միայն այն դեպքում, երբ երկուսն էլ գործոնացված են։ Եկեք սա անենք:

Այժմ դուք պետք է տեսնեք, թե կոնկրետ տարրում քանի տերմին կա, և համապատասխանաբար պարզեք, թե որ բանաձևն օգտագործել:

Եկեք յուրաքանչյուր արտահայտությունը վերածենք ճշգրիտ խորանարդի.

Եկեք վերաշարադրենք համարիչը.

\[((\left(3a \աջ))^(3))-((\left(4b \աջ))^(3))=\left(3a-4b \աջ)\left(((\ձախ) (3a \աջ))^(2))+3a\cdot 4b+((\ ձախ (4b \աջ))^(2)) \աջ)\]

Եկեք նայենք հայտարարին. Եկեք ընդլայնենք այն՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

\[((բ)^(2))-4=((բ)^(2))-((2)^(2))=\ձախ(բ-2 \աջ)\ձախ(բ+2 \ ճիշտ է) \]

Այժմ նայենք արտահայտության երկրորդ մասին.

Համարիչ:

Մնում է պարզել հայտարարը.

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\ձախ(b+2 \աջ))^(2))\]

Վերաշարադրենք ամբողջ կառույցը՝ հաշվի առնելով վերը նշված փաստերը.

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \աջ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \աջ))^(2 )) \աջ)) (\ ձախ (b-2 \ աջ) \ ձախ (b + 2 \ աջ)) \ cdot \ frac (((\ ձախ (b + 2 \ աջ)) ^ (2))) ( ((\left(3a \աջ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \աջ))^(2)))=\]

\[=\frac(\ ձախ (3a-4b \աջ)\ձախ (b+2 \աջ)) (\ ձախ (b-2 \աջ))\]

Ռացիոնալ կոտորակների բազմապատկման նրբությունները

Այս շինություններից հիմնական եզրակացությունը հետևյալն է.

• Ամեն բազմանդամ չէ, որ կարող է ֆակտորիզացվել:
• Նույնիսկ եթե այն քայքայված է, դուք պետք է ուշադիր նայեք, թե կոնկրետ ինչ է կրճատված բազմապատկման բանաձևը:

Դա անելու համար նախ պետք է գնահատել, թե քանի անդամ կա (եթե կան երկու, ապա այն, ինչ մենք կարող ենք անել, դրանք ընդլայնելն է կամ քառակուսիների տարբերության գումարով, կամ խորանարդների գումարով կամ տարբերությամբ, և եթե կան երեք, ապա սա, եզակիորեն, կա՛մ գումարի քառակուսին, կա՛մ տարբերության քառակուսին): Հաճախ է պատահում, որ կամ համարիչը կամ հայտարարը ընդհանրապես չեն պահանջում ֆակտորիզացիա, այն կարող է լինել գծային, կամ նրա դիսկրիմինատորը կլինի բացասական.

Խնդիր թիվ 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Ընդհանրապես, այս խնդրի լուծման սխեման ոչնչով չի տարբերվում նախորդից՝ պարզապես ավելի շատ գործողություններ կլինեն, և դրանք կդառնան ավելի բազմազան։

Սկսենք առաջին կոտորակից. նայենք նրա համարիչին և կատարենք հնարավոր փոխակերպումները.

Հիմա նայենք հայտարարին.

Երկրորդ կոտորակի հետ՝ համարիչում ընդհանրապես ոչինչ չի կարելի անել, քանի որ այն գծային արտահայտություն է, և դրանից հնարավոր չէ որևէ գործոն հեռացնել։ Եկեք նայենք հայտարարին.

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\ ձախ(x-2 \աջ ))^(2))\]

Անցնենք երրորդ կոտորակին։ Համարիչ:

Դիտարկենք վերջին կոտորակի հայտարարին.

Վերաշարադրենք արտահայտությունը՝ հաշվի առնելով վերը նշված փաստերը.

\[\frac(3\left(1-2x \աջ))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \աջ))\cdot \frac(2x+1)((( \ձախ(x-2 \աջ))^(2))\cdot \frac(\left(2-x \աջ)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \աջ)) (\ ձախ (2x-1 \աջ)\ ձախ (2x+1 \աջ))=\]

\[=\frac(-3)(2\ձախ(2-x \աջ))=-\frac(3)(2\ձախ(2-x \աջ))=\frac(3)(2\ձախ (x-2 \աջ))\]

Լուծման նրբությունները

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ չէ և միշտ չէ, որ կախված է կրճատված բազմապատկման բանաձևերից, երբեմն բավական է փակագծերից դուրս դնել հաստատուն կամ փոփոխական: Սակայն տեղի է ունենում նաև հակառակ իրավիճակը, երբ այնքան շատ տերմիններ կան կամ այնպես են կառուցված, որ դրանց համար կրճատված բազմապատկման բանաձևերը ընդհանրապես անհնարին են։ Այս դեպքում մեզ օգնության է գալիս ունիվերսալ գործիք, այն է՝ խմբավորման մեթոդը։ Սա հենց այն է, ինչ մենք հիմա կկիրառենք հաջորդ խնդրի մեջ։

Խնդիր թիվ 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((բ)^(2))+25-10ա)(((ա)^(2))-(բ)^(2)))\]

Դիտարկենք առաջին մասը.

\[((a)^(2))+ab=a\ձախ(a+b \աջ)\]

\[=5\ձախ(a-b \աջ)-\ձախ(a-b \աջ)\ձախ(a+b \աջ)=\ձախ(a-b \աջ)\ձախ(5-1\ձախ(a+b \աջ) )\ճիշտ)=\]

\[=\ձախ(a-b \աջ)\ձախ(5-a-b \աջ)\]

Վերաշարադրենք սկզբնական արտահայտությունը.

\[\frac(a\left(a+b \աջ))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \աջ))\cdot \frac(((a)^(2))-( (բ)^(2))+25-10ա)(((ա)^(2))-((բ)^(2)))\]

Հիմա նայենք երկրորդ փակագծին.

\[((a)^(2))-((բ)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((բ)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \աջ)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \աջ))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b) \ճիշտ)\]

Քանի որ երկու տարր հնարավոր չէր խմբավորել, մենք խմբավորեցինք երեքը: Մնում է միայն պարզել վերջին կոտորակի հայտարարը.

\[((a)^(2))-((բ)^(2))=\ձախ(a-b \աջ)\ձախ(a+b \աջ)\]

Հիմա եկեք վերաշարադրենք մեր ամբողջ շինարարությունը.

\[\frac(a\left(a+b \աջ))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \աջ))\cdot \frac(\left(a-5-b \աջ) \left(a-5+b \աջ))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \աջ))((( \ձախ(ա-բ \աջ))^(2)))\]

Խնդիրը լուծված է, և այստեղ ավելին ոչինչ չի կարելի պարզեցնել։

Լուծման նրբությունները

Մենք պարզեցինք խմբավորումը և ստացանք ևս մեկ շատ հզոր գործիք, որն ընդլայնում է ֆակտորիզացիայի հնարավորությունները: Բայց խնդիրն այն է, որ իրական կյանքում ոչ ոք մեզ չի տա նման զտված օրինակներ, որտեղ կան մի քանի կոտորակներ, որոնց համար անհրաժեշտ է միայն համարիչն ու հայտարարը չափել, իսկ հետո, հնարավորության դեպքում, կրճատել դրանք։ Իրական արտահայտությունները շատ ավելի բարդ կլինեն։

Ամենայն հավանականությամբ, բացի բազմապատկումից և բաժանումից, կլինեն հանումներ և գումարումներ, բոլոր տեսակի փակագծեր - ընդհանուր առմամբ, դուք պետք է հաշվի առնեք գործողությունների հերթականությունը: Բայց ամենավատն այն է, որ տարբեր հայտարարներով կոտորակները հանելիս և գումարելիս դրանք պետք է կրճատվեն մեկ ընդհանուր հայտարարի։ Դա անելու համար նրանցից յուրաքանչյուրը պետք է գործոնավորել, այնուհետև վերափոխել այս կոտորակները. տալ նմանատիպերը և շատ ավելին: Ինչպե՞ս դա անել ճիշտ, արագ և միևնույն ժամանակ ստանալ հստակ ճիշտ պատասխան: Սա հենց այն է, ինչի մասին մենք հիմա կխոսենք՝ որպես օրինակ օգտագործելով հետևյալ շինարարությունը։

Խնդիր թիվ 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \աջ)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \աջ)\]

Եկեք դուրս գրենք առաջին կոտորակը և փորձենք պարզել այն առանձին.

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \աջ))(x)\]

Անցնենք երկրորդին։ Անմիջապես հաշվարկենք հայտարարի դիսկրիմինանտը.

Այն չի կարող ֆակտորիզացվել, ուստի մենք գրում ենք հետևյալը.

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\ձախ(x+3 \աջ)\ձախ(((x)^(2))-3x+9 \աջ))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\ձախ(x+3 \աջ)\ձախ(((x)^(2))-3x+9 \աջ)) \]

Առանձին կգրենք համարիչը.

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Հետևաբար, այս բազմանդամը չի կարող ֆակտորիզացվել։

Մենք արդեն արել ենք առավելագույնը, ինչ կարող էինք անել ու քայքայվել։

Այսպիսով, մենք վերագրում ենք մեր սկզբնական կառուցվածքը և ստանում.

\[\frac(\ձախ(x+3 \աջ)\ձախ(((x)^(2))-3x+9 \աջ))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\ձախ(x+3 \աջ)\ձախ(((x)^(2))-3x+9 \աջ))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Վերջ, խնդիրը լուծված է։

Անկեղծ ասած, դա այնքան էլ բարդ խնդիր չէր. ամեն ինչ հեշտությամբ գործոնավորվում էր, նմանատիպ ժամկետները արագ կրճատվում էին, և ամեն ինչ գեղեցիկ էր կրճատվում։ Ուրեմն հիմա փորձենք ավելի լուրջ խնդիր լուծել։

Խնդիր թիվ 5

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \աջ)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \աջ)\]

Նախ անդրադառնանք առաջին փակագծին: Հենց սկզբից եկեք առանձին-առանձին գործոնացնենք երկրորդ կոտորակի հայտարարը.

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x) ^(2))+2x+4 \աջ)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\ձախ(x-2 \աջ)\ ձախ (((x)^(2))+2x+4 \աջ))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\ձախ(x-2 \աջ)+((x)^(2))+8-\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))( \ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\ ձախ(x-2) \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ)) =\frac(((\ձախ(x-2 \աջ))^(2)))(\ ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(((x)^(2))+2x+4 \աջ ))=\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]

Այժմ աշխատենք երկրորդ կոտորակի հետ.

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\ձախ(x-2 \աջ)\ձախ(x+2 \աջ))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ ձախ (x-2 \աջ)) (\ ձախ (x-2 \ աջ) \ ձախ (x + 2 \ աջ)) =\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\ ձախ (x-2 \աջ)\ձախ(x+2 \աջ))\]

Մենք վերադառնում ենք մեր սկզբնական դիզայնին և գրում.

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\ ձախ (x-2) \աջ)\ձախ(x+2 \աջ))=\frac(1)(x+2)\]

Հիմնական կետերը

Եվս մեկ անգամ, այսօրվա վիդեո դասի հիմնական փաստերը.

1. Դուք պետք է անգիր իմանաք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը, և ոչ միայն իմանաք, այլ կարողանաք տեսնել այդ արտահայտություններում, որոնց կհանդիպեք իրական խնդիրների մեջ: Այս հարցում մեզ կարող է օգնել հրաշալի կանոն. եթե կա երկու տերմին, ապա դա կամ քառակուսիների տարբերությունն է, կամ տարբերությունը կամ խորանարդի գումարը. եթե երեքը, ապա դա կարող է լինել միայն գումարի կամ տարբերության քառակուսին:
2. Եթե ​​որևէ կոնստրուկցիա հնարավոր չէ ընդլայնել՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը, ապա մեզ օգնության է գալիս կա՛մ եռանկյունների ֆակտորինգի ստանդարտ բանաձևը, կա՛մ խմբավորման մեթոդը:
3. Եթե ​​ինչ-որ բան չի ստացվում, ուշադիր նայեք սկզբնաղբյուր արտահայտությունին, որպեսզի տեսնեք, թե արդյոք դրա հետ ընդհանրապես փոխակերպումներ են պահանջվում: Թերևս բավական կլինի ուղղակի գործոնը փակագծերից դուրս դնելը, և դա շատ հաճախ պարզապես հաստատուն է:
4. Բարդ արտահայտություններում, որտեղ դուք պետք է կատարեք մի քանի գործողություններ անընդմեջ, մի մոռացեք կրճատել ընդհանուր հայտարարի, և միայն դրանից հետո, երբ բոլոր կոտորակները կրճատվեն դրան, համոզվեք, որ նույնը բերեք նոր համարիչում, և այնուհետև նորից գործադրեք նոր համարիչը՝ հնարավոր է, որ ինչ-որ բան կրճատվի:

Սա այն ամենն է, ինչ ես այսօր ուզում էի պատմել ձեզ ռացիոնալ կոտորակների մասին: Եթե ​​ինչ-որ բան պարզ չէ, ապա կայքում դեռ կան մի շարք վիդեո ձեռնարկներ, ինչպես նաև մի շարք խնդիրներ, որոնք դուք կարող եք ինքնուրույն լուծել: Այնպես որ, մնացեք լարված:

§ 1 Ամբողջական և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ

Այս դասում մենք կդիտարկենք այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են ռացիոնալ հավասարումը, ռացիոնալ արտահայտությունը, ամբողջական արտահայտությունը, կոտորակային արտահայտությունը: Դիտարկենք ռացիոնալ հավասարումների լուծումը:

Ռացիոնալ հավասարումը այն հավասարումն է, որի ձախ և աջ կողմերը ռացիոնալ արտահայտություններ են:

Ռացիոնալ արտահայտություններն են.

կոտորակային.

Ամբողջ թվային արտահայտությունը կազմված է թվերից, փոփոխականներից, ամբողջ թվային հզորություններից՝ օգտագործելով գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում զրոյից տարբեր թվով գործողությունները:

Օրինակ՝

Կոտորակային արտահայտությունները ներառում են բաժանում փոփոխականով կամ փոփոխականով արտահայտությամբ: Օրինակ՝

Կոտորակի արտահայտությունը իմաստ չունի դրանում ներառված փոփոխականների բոլոր արժեքների համար: Օրինակ՝ արտահայտությունը

x = -9-ում դա իմաստ չունի, քանի որ x = -9-ում հայտարարը գնում է զրոյի:

Սա նշանակում է, որ ռացիոնալ հավասարումը կարող է լինել ամբողջ կամ կոտորակային:

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարումը ռացիոնալ հավասարում է, որի ձախ և աջ կողմերը ամբողջական արտահայտություններ են:

Օրինակ՝

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումը ռացիոնալ հավասարում է, որի ձախ կամ աջ կողմերը կոտորակային արտահայտություններ են:

Օրինակ՝

§ 2 Ամբողջ ռացիոնալ հավասարման լուծում

Դիտարկենք մի ամբողջ ռացիոնալ հավասարման լուծում։

Օրինակ՝

Բազմապատկենք հավասարման երկու կողմերը դրանում ընդգրկված կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարով։

Դա անելու համար.

1. Գտի՛ր 2, 3, 6 հայտարարների ընդհանուր հայտարարը: Այն հավասար է 6-ի;

2. յուրաքանչյուր կոտորակի համար գտնել լրացուցիչ գործակից: Դա անելու համար բաժանեք ընդհանուր հայտարարը 6 յուրաքանչյուր հայտարարի վրա

լրացուցիչ գործակից կոտորակի համար

լրացուցիչ գործակից կոտորակի համար

3. Կոտորակների համարիչները բազմապատկել նրանց համապատասխան լրացուցիչ գործակիցներով: Այսպիսով, մենք ստանում ենք հավասարումը

որը համարժեք է տրված հավասարմանը

Բացենք ձախ կողմի փակագծերը, աջ հատվածը տեղափոխենք ձախ՝ փոխելով տերմինի նշանը հակառակը տեղափոխելիս։

Բերենք բազմանդամի նմանատիպ անդամներ և ստանանք

Մենք տեսնում ենք, որ հավասարումը գծային է։

Լուծելով այն՝ մենք գտնում ենք, որ x = 0,5:

§ 3 Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման լուծում

Դիտարկենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծումը:

Օրինակ՝

1.Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկե՛ք դրանում ընդգրկված ռացիոնալ կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարով:

Գտնենք x + 7 և x - 1 հայտարարների ընդհանուր հայտարարը։

Այն հավասար է նրանց արտադրյալին (x + 7) (x - 1):

2. Յուրաքանչյուր ռացիոնալ կոտորակի համար գտնենք լրացուցիչ գործակից:

Դա անելու համար բաժանեք ընդհանուր հայտարարը (x + 7) (x - 1) յուրաքանչյուր հայտարարի վրա: Կոտորակների համար լրացուցիչ գործակից

հավասար x - 1,

լրացուցիչ գործակից կոտորակի համար

հավասար է x+7:

3.Բազմապատկել կոտորակների համարիչները նրանց համապատասխան լրացուցիչ գործակիցներով:

Մենք ստանում ենք (2x - 1) (x - 1) = (3x + 4) (x + 7) հավասարումը, որը համարժեք է այս հավասարմանը.

4.Բազմապատկեք երկանդամը ձախ և աջ երկանդամով և ստացեք հետևյալ հավասարումը.

5. Աջ կողմը տեղափոխում ենք ձախ՝ հակառակին անցնելիս փոխելով յուրաքանչյուր տերմինի նշանը.

6. Ներկայացնենք բազմանդամի համանման անդամներ.

7. Երկու մասերն էլ կարելի է բաժանել -1-ով: Մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարում.

8. Լուծելով այն՝ մենք կգտնենք արմատները

Քանի որ հավասար.

ձախ և աջ կողմերը կոտորակային արտահայտություններ են, իսկ կոտորակային արտահայտություններում փոփոխականների որոշ արժեքների համար հայտարարը կարող է դառնալ զրո, այնուհետև անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք ընդհանուր հայտարարը չի գնում զրոյի, երբ գտնվեն x1 և x2: .

x = -27, ընդհանուր հայտարարը (x + 7) (x - 1) չի անհետանում x = -1, ընդհանուր հայտարարը նույնպես զրո չէ:

Հետևաբար, երկու -27 և -1 արմատները հավասարման արմատներ են:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումը լուծելիս ավելի լավ է անմիջապես նշել ընդունելի արժեքների միջակայքը: Վերացրեք այն արժեքները, որոնց դեպքում ընդհանուր հայտարարը հասնում է զրոյի:

Դիտարկենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծման մեկ այլ օրինակ.

Օրինակ՝ լուծենք հավասարումը

Գործոնավորում ենք հավասարման աջ կողմի կոտորակի հայտարարը

Մենք ստանում ենք հավասարումը

Գտնենք հայտարարների ընդհանուր հայտարարը (x - 5), x, x(x - 5):

Դա կլինի x(x - 5) արտահայտությունը։

Հիմա եկեք գտնենք հավասարման ընդունելի արժեքների միջակայքը

Դա անելու համար մենք ընդհանուր հայտարարը հավասարեցնում ենք զրոյի x(x - 5) = 0:

Մենք ստանում ենք հավասարում, որը լուծելով գտնում ենք, որ x = 0 կամ x = 5 դեպքում ընդհանուր հայտարարը գնում է զրոյի:

Սա նշանակում է, որ x = 0 կամ x = 5 չեն կարող լինել մեր հավասարման արմատները:

Այժմ կարելի է գտնել լրացուցիչ բազմապատկիչներ:

Լրացուցիչ գործոն ռացիոնալ կոտորակների համար

լրացուցիչ գործակից կոտորակի համար

կլինի (x - 5),

և կոտորակի լրացուցիչ գործակիցը

Մենք համարիչները բազմապատկում ենք համապատասխան լրացուցիչ գործակիցներով։

Մենք ստանում ենք x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) հավասարումը:

Եկեք բացենք ձախ և աջ փակագծերը, x2 - 3x + x - 5 = x + 5:

Տերմինները տեղափոխենք աջից ձախ՝ փոխելով փոխանցված տերմինների նշանը.

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Եվ նմանատիպ տերմիններ բերելուց հետո ստանում ենք քառակուսի հավասարում x2 - 3x - 10 = 0: Լուծելով այն՝ գտնում ենք x1 = -2 արմատները; x2 = 5.

Բայց մենք արդեն պարզել ենք, որ x = 5-ում x(x - 5) ընդհանուր հայտարարը գնում է զրոյի: Հետևաբար, մեր հավասարման արմատը

կլինի x = -2:

§ 4 Դասի համառոտ ամփոփում

Կարևոր է հիշել.

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս գործեք հետևյալ կերպ.

1. Գտե՛ք հավասարման մեջ ներառված կոտորակների ընդհանուր հայտարարը: Ընդ որում, եթե կոտորակների հայտարարները կարելի է գործոնավորել, ապա գործոնավորել դրանք և հետո գտնել ընդհանուր հայտարարը։

2.Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարով.գտեք հավելյալ գործակիցներ, համարիչները բազմապատկեք լրացուցիչ գործակիցներով:

3. Լուծե՛ք ստացված ամբողջ հավասարումը:

4. Իր արմատներից վերացրեք նրանց, որոնք վերացնում են ընդհանուր հայտարարը:

Օգտագործված գրականության ցանկ.

1. Մակարիչև Յու.Ն., Ն.Գ. Մինդյուկ, Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. / Խմբագրվել է Տելյակովսկու Ս.Ա. Հանրահաշիվ: Դասագիրք. 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատությունները։ - Մ.: Կրթություն, 2013:
2. Մորդկովիչ Ա.Գ. Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան՝ Երկու մասից. Մաս 1. Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատությունները։ - M.: Mnemosyne.
3. Ռուրուկին Ա.Ն. Դասի զարգացումները հանրահաշիվից՝ 8-րդ դասարան - Մ.՝ ՎԱԿՈ, 2010 թ.
4. Հանրահաշիվ 8-րդ դասարան. դասերի պլաններ՝ հիմնված Յու.Ն. Մակարիչևա, Ն.Գ. Մինդյուկ, Կ.Ի. Նեշկովա, Ս.Բ. Սուվորովա / Auth.-comp. Թ.Լ. Աֆանասևա, Լ.Ա. Տապիլինա. -Վոլգոգրադ: Ուսուցիչ, 2005 թ.