Ֆիզիկայի տատանողական շարժման բանաձև. Մեխանիկական թրթռումներ. Էներգիայի փոխակերպումը տատանողական համակարգերում

4.2. «Տատանումներ և ալիքներ» բաժնի հասկացություններն ու սահմանումները.

Հավասարում ներդաշնակ թրթռումներև նրա լուծումը.

, x=Ակոս(ω 0տ+α ) ,

Ա- տատանումների ամպլիտուդություն;

α – տատանումների սկզբնական փուլ:

Տատանումների ժամանակաշրջան նյութական կետտատանվում է առաձգական ուժի ազդեցության տակ.

Որտեղ մ- նյութական կետի զանգված;

կ- կոշտության գործակիցը.

Մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջան.

Որտեղ լ- ճոճանակի երկարությունը;

է= 9,8 մ/վ 2 – ազատ անկման արագացում:

Երկու հավասարապես ուղղորդված ներդաշնակ թրթիռներ ավելացնելով ստացված տատանումների ամպլիտուդը.

Որտեղ Ա 1 և Ա 2 – թրթռման բաղադրիչների ամպլիտուդներ;

φ 1 և φ 2-ը տատանումների բաղադրիչների սկզբնական փուլերն են:

Տատանումների սկզբնական փուլը ստացվում է երկու հավասարապես ուղղորդված ներդաշնակ տատանումներ ավելացնելով.

.

Հավասարում խոնավացած տատանումներև նրա լուծումը.

, ,

- խոնավացած տատանումների հաճախականությունը,

այստեղ ω 0-ը տատանումների բնական հաճախությունն է։

Լոգարիթմական մարման նվազում.

որտեղ β-ն թուլացման գործակիցն է.

- խոնավացած տատանումների ժամանակաշրջան:

Տատանողական համակարգի որակի գործոն.

որտեղ θ-ը լոգարիթմական թուլացման նվազումն է

Հարկադիր տատանումների հավասարումը և դրա կայուն վիճակի լուծումը.

, x=A cos (ω t-φ ),

Որտեղ Ֆ 0 - ուժի ամպլիտուդային արժեքը;

- խոնավացած տատանումների ամպլիտուդություն;

φ= - նախնական փուլ.

Ռեզոնանսային հաճախականությունտատանումներ:

,

որտեղ ω 0 – տատանումների բնական ցիկլային հաճախականություն;

β-ն թուլացման գործակիցն է:

Խոնավեցված էլեկտրամագնիսական տատանումները մի շղթայում, որը բաղկացած է հզորությունիցԳ, ինդուկտիվությունԼև դիմադրությունՌ:

,

Որտեղ ք- լիցքավորում կոնդենսատորի վրա;

ք մ- կոնդենսատորի վրա լիցքավորման ամպլիտուդային արժեքը.

β = Ռ/2Լ- թուլացման գործակից,

Այստեղ Ռ- շղթայի դիմադրություն;

Լ- կծիկի ինդուկտիվություն;

- տատանումների ցիկլային հաճախականություն;

այստեղ ω 0 – տատանումների բնական հաճախականություն;

α – տատանումների սկզբնական փուլ:

Էլեկտրամագնիսական տատանումների ժամանակաշրջան.

,

Որտեղ ՀԵՏ- կոնդենսատորի հզորություն;

Լ- կծիկի ինդուկտիվություն;

Ռ- շղթայի դիմադրություն:

Եթե ​​շղթայի դիմադրությունը փոքր է, ինչ ( Ռ/2Լ) 2 <<1/L.C., ապա տատանման ժամանակաշրջանը.

Ալիքի երկարություն:

Որտեղ v –ալիքի տարածման արագություն;

Տ- տատանումների ժամանակաշրջան.

Հարթ ալիքի հավասարումը.

ξ =Ա cos (ω t-kx),

Որտեղ Ա- ամպլիտուդություն;

ω - ցիկլային հաճախականություն;

- ալիքի համարը.

Գնդային ալիքի հավասարում.

,

Որտեղ Ա- ամպլիտուդություն;

ω - ցիկլային հաճախականություն;

կ- ալիքի համարը;

r– հեռավորությունը ալիքի կենտրոնից մինչև միջավայրի դիտարկվող կետը:

? Ազատ ներդաշնակ տատանումներ շղթայում

Իդեալական սխեման էլեկտրական սխեման է, որը բաղկացած է կոնդենսատորից, որը սերիական միացված է հզորությամբ ՀԵՏև ինդուկտորներ Լ.Հարմոնիկ օրենքի համաձայն, կոնդենսատորի թիթեղների լարումը և ինդուկտորում հոսանքը կփոխվեն:

? Հարմոնիկ օսլիլատոր: Գարուն, ֆիզիկամաթեմատիկական ճոճանակներ, դրանց տատանումների ժամանակաշրջանները

Հարմոնիկ տատանվող ցանկացած ֆիզիկական համակարգ է, որը տատանվում է: Դասական օսլիլատորներ - զսպանակ, ֆիզիկական և մաթեմատիկական ճոճանակներ: Գարնանային ճոճանակ - զանգվածային զանգված մ, կախված է բացարձակ առաձգական զսպանակի վրա և առաձգական ուժի ազդեցությամբ կատարում է ներդաշնակ տատանումներ։ Տ= . Ֆիզիկական ճոճանակը կամայական ձևի կոշտ մարմին է, որը ձգողականության ազդեցության տակ տատանվում է հորիզոնական առանցքի շուրջ, որը չի անցնում դրա ծանրության կենտրոնով։ Տ= . Մաթեմատիկական ճոճանակը մեկուսացված համակարգ է, որը բաղկացած է զանգվածով նյութական կետից մ, կախված երկարությամբ անկշռելի թելի վրա Լ, և տատանվում է ձգողության ազդեցության տակ։ Տ= .

? Անվճար մեխանիկական թրթռումներ (հավասարում, արագություն, արագացում, էներգիա): Հարմոնիկ թրթռումների գրաֆիկական ներկայացում:

Տատանումները կոչվում են ազատ, եթե դրանք առաջանում են ի սկզբանե տրվող էներգիայի պատճառով՝ տատանողական համակարգի վրա արտաքին ազդեցության հետագա բացակայության դեպքում։ Արժեքը փոխվում է ըստ սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի: , Ս- տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից, Ա– ամպլիտուդ, w 0 – ցիկլային հաճախականություն, – տատանումների սկզբնական փուլ: Արագություն, արագացում: Ամբողջական էներգիա - Ե= . Գրաֆիկորեն - օգտագործելով սինուս կամ կոսինուս ալիք:

? Տատանողական գործընթացների հայեցակարգը. Հարմոնիկ տատանումները և դրանց բնութագրերը: Տատանումների ժամանակաշրջանը, ամպլիտուդը, հաճախականությունը և փուլը: Հարմոնիկ թրթռումների գրաֆիկական ներկայացում:

Ժամանակի ընթացքում կրկնվող պարբերական պրոցեսները կոչվում են տատանողական։ Պարբերական տատանումները, որոնցում մարմնի կոորդինատը ժամանակի ընթացքում փոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի համաձայն, կոչվում են ներդաշնակ։ Ժամանակահատվածը մեկ տատանման ժամանակն է: Ամպլիտուդը կետի առավելագույն տեղաշարժն է իր հավասարակշռության դիրքից: Հաճախականությունը լրիվ տատանումների թիվն է ժամանակի միավորի վրա: Փուլը մեծություն է սինուսի կամ կոսինուսի նշանի տակ: Հավասարում: , Այստեղ Ս- տատանվող համակարգի վիճակը բնութագրող մեծություն - ցիկլային հաճախականություն. Գրաֆիկորեն - օգտագործելով սինուս կամ կոսինուս ալիք:

? Խոնավ տատանումներ. Այս տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումը. Լոգարիթմական մարման նվազում, հանգստի ժամանակ, որակի գործոն:

Տատանումներ, որոնց ամպլիտուդը ժամանակի ընթացքում նվազում է, օրինակ՝ շփման պատճառով։ Հավասարում: , Այստեղ Ս- տատանվող համակարգի վիճակը բնութագրող մեծություն, - ցիկլային հաճախականություն, - մարման գործակից. Լոգարիթմական մարման նվազում, որտեղ Ն– ամպլիտուդի նվազման ընթացքում ավարտված տատանումների թիվը Նմեկ անգամ. Հանգստացման ժամանակ t - որի ընթացքում ամպլիտուդը նվազում է e անգամ: Որակի գործոն Q= .

? Չխաթարված հարկադիր տատանումներ. Այս տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումը. Ի՞նչ է ռեզոնանսը: Հարկադիր տատանումների լայնությունը և փուլը:

Եթե ​​տատանումների էներգիայի կորուստը, որը հանգեցնում է դրանց մարման, լիովին փոխհատուցվում է, հաստատվում են չխոնավված տատանումներ: Հավասարում: . Այստեղ աջ կողմը արտաքին ազդեցությունն է, որը փոխվում է ներդաշնակ օրենքի համաձայն: Եթե ​​համակարգի տատանումների բնական հաճախականությունը համընկնում է արտաքինի հետ, տեղի է ունենում ռեզոնանս՝ համակարգի ամպլիտուդի կտրուկ աճ։ Ամպլիտուդություն , .

? Նկարագրեք միևնույն ուղղության և նույն հաճախականության թրթռումների ավելացումը, փոխադարձ ուղղահայաց թրթռումները: Ի՞նչ են բիթերը:

Նույն ուղղության և նույն հաճախականության երկու ներդաշնակ տատանումների ավելացման արդյունքում առաջացող տատանումների ամպլիտուդն այստեղ է. Ա– ամպլիտուդներ, j – սկզբնական փուլեր: Ստացված տատանումների սկզբնական փուլը . Փոխադարձ ուղղահայաց տատանումներ - հետագծի հավասարում , Այստեղ ԱԵվ INավելացված տատանումների ամպլիտուդներ, j-փուլային տարբերություն.

? Նկարագրեք թուլացման տատանումները; ինքնուրույն տատանումներ.

Հանգստացում - ինքնա-տատանումներ, որոնք իրենց ձևով կտրուկ տարբերվում են ներդաշնակներից, էներգիայի զգալի ցրման պատճառով ինքնահոսքացնող համակարգերում (շփում մեխանիկական համակարգերում): Ինքնահոսքերն անխափան տատանումներ են, որոնք ապահովվում են արտաքին էներգիայի աղբյուրներով արտաքին փոփոխական ուժի բացակայության դեպքում: Ստիպվածներից տարբերությունն այն է, որ ինքնահոսքերի հաճախականությունը և ամպլիտուդը որոշվում են հենց տատանումների համակարգի հատկություններով։ Նրանք տարբերվում են ազատ տատանումներից - տարբերվում են ամպլիտուդի անկախությամբ ժամանակից և սկզբնական կարճաժամկետ ազդեցությունից, որը գրգռում է տատանումների գործընթացը: Ինքնաթռիչքային համակարգի օրինակ է ժամացույցը:

? Ալիքներ (հիմնական հասկացություններ): Երկայնական և լայնակի ալիքներ: Կանգնած ալիք. Ալիքի երկարությունը, դրա կապը ժամանակաշրջանի և հաճախականության հետ:

Տիեզերքում թրթռումների տարածման գործընթացը կոչվում է ալիք: Ուղղությունը, որով ալիքը փոխանցում է թրթռումային էներգիան, այն ուղղությունն է, որով շարժվում է ալիքը: Երկայնական - միջավայրի մասնիկների տատանումը տեղի է ունենում ալիքի տարածման ուղղությամբ: Լայնակի - միջավայրի մասնիկների թրթռումները տեղի են ունենում ալիքի տարածման ուղղությանը ուղղահայաց: Կանգնած ալիքը ձևավորվում է երկու շրջող ալիքների սուպերպոզիցիայով, որոնք տարածվում են միմյանց նկատմամբ նույն հաճախականությամբ և ամպլիտուդներով, իսկ լայնակի ալիքների դեպքում՝ նույն բևեռացումով։ Ալիքի երկարությունը ալիքի անցած հեռավորությունն է մեկ ժամանակահատվածում: (ալիքի երկարությունը, v- ալիքի արագություն, Տ- տատանումների ժամանակաշրջան)

? Ալիքների սուպերպոզիցիայի (վերածման) սկզբունքը. Խմբի արագությունը և դրա կապը փուլային արագության հետ:

Սուպերպոզիցիայի սկզբունքը. երբ մի քանի ալիքներ տարածվում են գծային միջավայրում, յուրաքանչյուրը տարածվում է այնպես, կարծես այլ ալիքներ չկան, և արդյունքում միջավայրի մասնիկի տեղաշարժը ցանկացած պահի հավասար է մասնիկների տեղաշարժերի երկրաչափական գումարին: ստանալ՝ մասնակցելով բաղկացուցիչ ալիքային գործընթացներից յուրաքանչյուրին: Խմբային արագությունը ալիքների խմբի շարժման արագությունն է, որոնք յուրաքանչյուր ակնթարթում տարածության մեջ կազմում են տեղայնացված ալիքային փաթեթ: Ալիքային փուլի շարժման արագությունը ֆազային արագությունն է: Ոչ ցրված միջավայրում դրանք համընկնում են։

? Էլեկտրամագնիսական ալիքը և դրա հատկությունները. Էլեկտրամագնիսական ալիքների էներգիա.

Էլեկտրամագնիսական ալիք - տարածության մեջ տարածվող էլեկտրամագնիսական տատանումներ: Փորձնականորեն ստացվել է Հերցի կողմից 1880թ.-ին: Հատկություններ - կարող է տարածվել միջավայրում և վակուումում, վակուումում, որը հավասար է c-ին, միջավայրում ավելի քիչ, լայնակի, Ե Եվ Բ փոխադարձաբար ուղղահայաց և ուղղահայաց տարածման ուղղությամբ: Ճառագայթող լիցքավորված մասնիկի ինտենսիվությունը մեծանում է որոշակի պայմաններում, ի հայտ են գալիս բնորոշ ալիքային հատկություններ՝ դիֆրակցիա և այլն: Ծավալային էներգիայի խտություն .

Օպտիկա

Օպտիկայի հիմնական բանաձևերը

Լույսի արագությունը միջինում.

Որտեղ գ- լույսի արագությունը վակուումում;

n- միջավայրի բեկման ինդեքսը.

Օպտիկական լույսի ալիքի երկարությունը.

Լ = ns,

Որտեղ ս– Լույսի ալիքի երկրաչափական ուղու երկարությունը բեկման ինդեքսով միջավայրում n.

Երկու լույսի ալիքների միջև օպտիկական ուղու տարբերությունը.

∆ = Լ 1 – Լ 2 .

Ֆազային տարբերության կախվածությունը լույսի ալիքների ճանապարհի օպտիկական տարբերությունից.

որտեղ λ-ն լույսի ալիքի երկարությունն է:

Միջամտության ժամանակ լույսի առավելագույն ուժեղացման պայմանը.

∆ = կλ (= 0, 1, 2, ...) .

Լույսի առավելագույն թուլացման պայման.

Լույսի ալիքների ճանապարհի օպտիկական տարբերությունը, որը տեղի է ունենում, երբ մոնոխրոմատիկ լույսը արտացոլվում է բարակ թաղանթից.

∆ = 2դ ,

Որտեղ դ- ֆիլմի հաստությունը;

n- ֆիլմի բեկման ինդեքսը;

Ես i- ֆիլմում լույսի բեկման անկյունը:

Լույսի շառավիղը Նյուտոնի օղակները արտացոլված լույսի մեջ.

r k = , (k = 1, 2, 3, ...),

Որտեղ կ- զանգի համարը;

Ռ- կորության շառավիղ:

Նյուտոնի մուգ օղակների շառավիղը արտացոլված լույսի ներքո.

r k = .

Ճառագայթների շեղման φ անկյունը, որը համապատասխանում է առավելագույնին (լուսային շերտին) մեկ ճեղքով դիֆրակցիայի ժամանակ, որոշվում է պայմանից.

ա sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, ...),

Որտեղ ա- բնիկի լայնությունը;

կ- առավելագույնի սերիական համարը:

ԱնկյունՃառագայթների շեղումը, որը համապատասխանում է առավելագույնին (լույսի շերտին) դիֆրակցիոն ցանցի վրա լույսի ցրման ժամանակ, որոշվում է պայմանից.

դ sinφ = (կ = 0, 1, 2, 3, …),

Որտեղ դ- դիֆրակցիոն ցանցի ժամանակաշրջան:

Դիֆրակցիոն ցանցի լուծաչափը.

Ռ= = kN,

որտեղ ∆λ երկու հարակից սպեկտրալ գծերի (λ և λ+∆λ) ալիքների երկարությունների ամենափոքր տարբերությունն է, որտեղ այդ գծերը կարելի է առանձին տեսնել այս ցանցով ստացված սպեկտրում.

Ն- վանդակաճաղերի ընդհանուր քանակը:

Wulf–Bragg բանաձևը.

2դմեղք θ = κ λ,

որտեղ θ-ը արածեցման անկյունն է (անկյունը բյուրեղի վրա զուգահեռ ռենտգենյան ճառագայթի ուղղության և բյուրեղում գտնվող ատոմային հարթության միջև).

դբյուրեղի ատոմային հարթությունների միջև եղած հեռավորությունն է։

Բրյուսթերի օրենքը.

tan ε B=n 21 ,

որտեղ ε Բ- անկման անկյունը, որի դեպքում դիէլեկտրիկից արտացոլված ճառագայթը լիովին բևեռացված է.

n 21 – երկրորդ միջավայրի հարաբերական բեկման ինդեքսը առաջինի համեմատ:

Մալուսի օրենքը.

Ես = Ես 0 cos 2 α ,

Որտեղ Ի 0 – անալիզատորի վրա հարթ բևեռացված լույսի ինտենսիվությունը.

Ի- այս լույսի ինտենսիվությունը անալիզատորից հետո.

α-ն անկյունն է անալիզատորի վրա ընկած լույսի էլեկտրական վեկտորի տատանումների ուղղության և անալիզատորի հաղորդունակության հարթության միջև (եթե անկման լույսի էլեկտրական վեկտորի տատանումները համընկնում են այս հարթության հետ, ապա անալիզատորն այս լույսը փոխանցում է առանց թուլացում):

Միագույն լույսի բևեռացման հարթության պտտման անկյունը օպտիկական ակտիվ նյութի միջով անցնելիս.

ա) φ = αd(պինդ մարմիններում),

Որտեղ α - ռոտացիայի հաստատուն;

դ- լույսի անցած ճանապարհի երկարությունը օպտիկական ակտիվ նյութում.

բ) φ = [α] pd(լուծույթներում),

Որտեղ [α] - հատուկ ռոտացիա;

էջ- օպտիկական ակտիվ նյութի զանգվածային կոնցենտրացիան լուծույթում.

Թեթև ճնշում մակերեսի վրա նորմալ անկման դեպքում.

,

Որտեղ Նրան- էներգիայի լուսավորություն (ճառագայթում);

ω – ծավալային ճառագայթման էներգիայի խտություն;

ρ – արտացոլման գործակից:

4.2. «Օպտիկա» բաժնի հասկացություններն ու սահմանումները

? Ալիքային միջամտություն. Համապատասխանություն. Առավելագույն և նվազագույն պայմաններ.

Միջամտությունը համահունչ ալիքների փոխադարձ ուժեղացումն է կամ թուլացումը, երբ դրանք վերադրվում են (համահունչ - ունենալով նույն երկարությունը և կայուն ֆազային տարբերությունը իրենց սուպերպոզիցիայի կետում):

Առավելագույն;

նվազագույնը .

Այստեղ D-ն օպտիկական ուղու տարբերությունն է, l-ը ալիքի երկարությունն է:

? Հյուգենս-Ֆրենսելի սկզբունքը. Դիֆրակցիայի երեւույթը. Ճեղքվածքի դիֆրակցիա, դիֆրակցիոն վանդակաճաղ:

Հյուգենս-Ֆրենսելի սկզբունքը. տարածության յուրաքանչյուր կետ, որին հասել է տարածվող ալիքը ժամանակի տվյալ պահին, դառնում է տարրական համահունչ ալիքների աղբյուր: Դիֆրակցիան ալիքների թեքումն է խոչընդոտների շուրջ, եթե խոչընդոտի չափը համեմատելի է ալիքի երկարության հետ, լույսի շեղումը ուղղագիծ տարածումից։ Ճեղքի դիֆրակցիան զուգահեռ ճառագայթներում է: Հարթ ալիքը ընկնում է խոչընդոտի վրա. Էկրանը ստեղծում է հեռավոր լույսի աղբյուրի «դիֆրակցիոն պատկեր»: Դիֆրակցիոն վանդակաճաղը հավասար լայնությամբ զուգահեռ ճեղքերի համակարգ է, որը ընկած է նույն հարթության վրա՝ բաժանված հավասար լայնության անթափանց տարածություններով: Օգտագործվում է լույսը սպեկտրի մեջ բաժանելու և ալիքի երկարությունները չափելու համար:

? Լույսի ցրվածություն (նորմալ և աննորմալ): Բուգերի օրենքը. Կլանման գործակիցի նշանակությունը.

Լույսի ցրում - կախվածություն նյութի բացարձակ բեկման ինդեքսից nնյութի վրա լույսի անկման ν (կամ ալիքի երկարության λ) հաճախականության վրա։ Լույսի արագությունը վակուումում կախված չէ հաճախականությունից, ուստի վակուումում ցրվածություն չկա։ Լույսի նորմալ ցրում - եթե բեկման ինդեքսը միապաղաղ աճում է հաճախականության աճով (նվազում է ալիքի երկարության աճով): Անոմալ ցրվածություն - եթե բեկման ինդեքսը միապաղաղ նվազում է հաճախականության աճով (աճում է ալիքի երկարության հետ): Դիսպերսիայի հետևանքը սպիտակ լույսի տարրալուծումն է սպեկտրի մեջ, երբ այն բեկվում է նյութի մեջ: Նյութի մեջ լույսի կլանումը նկարագրված է Բուգեի օրենքով

Ի 0 և Ի- հարթ մոնոխրոմատիկ լույսի ալիքի ինտենսիվությունը ներծծող նյութի հաստության շերտի մուտքում և ելքում X, a-ն կլանման գործակիցն է, կախված է ալիքի երկարությունից և տարբեր է տարբեր նյութերի համար։

? Ինչ է կոչվում ալիքային բևեռացում: Բևեռացված ալիքների ստացում: Մալուսի օրենքը.

Բևեռացումը բաղկացած է լայնակի ալիքներում տատանումների ուղղության արտոնյալ կողմնորոշում ձեռք բերելուց: Լույսի ճառագայթի տարածման ուղղությանը ուղղահայաց հարթությունում էլեկտրամագնիսական ալիքի էլեկտրական և մագնիսական դաշտերի ուժգնության վեկտորների կողմնորոշման կարգը: Ե , Բ - ուղղահայաց. Բնական լույսը կարող է բևեռացված լույսի վերածվել՝ օգտագործելով բևեռացնող սարքեր: Մալուսի օրենքը ( Ի 0 – անցել է անալիզատորի միջով, Ի– անցել է բևեռացնողի միջով):

? Մասնիկ-ալիքային դուալիզմ. Դե Բրոլիի վարկածը.

Պատմականորեն լույսի երկու տեսություն է առաջ քաշվել՝ կորպուսկուլյար-լուսավոր մարմիններն արտանետում են կորպուսային մասնիկներ (ապացույցներ՝ սև մարմնի ճառագայթում, ֆոտոէլեկտրական էֆեկտ) և ալիք՝ լուսավոր մարմինն առաջացնում է առաձգական թրթռումներ շրջակա միջավայրում՝ տարածվելով օդում ձայնային ալիքների նման (ապացույցներ): - միջամտության, դիֆրակցիայի, լույսի բևեռացման երևույթներ): Բրոլիի վարկածը. մասնիկ-ալիքային հատկությունները բնորոշ են ոչ միայն ֆոտոններին, այլև հանգստի զանգված ունեցող մասնիկներին՝ էլեկտրոններին, պրոտոններին, նեյտրոններին, ատոմներին, մոլեկուլներին: ? Ֆոտո էֆեկտ. Էյնշտեյնի հավասարումը.

Ֆոտոէլեկտրական էֆեկտը լույսի նյութի հետ փոխազդեցության երեւույթն է, որի արդյունքում ֆոտոնների էներգիան փոխանցվում է նյութի էլեկտրոններին։ Հավասարում: (ֆոտոնի էներգիան ծախսվում է էլեկտրոնի աշխատանքային ֆունկցիայի վրա և էլեկտրոնին կինետիկ էներգիա հաղորդելու վրա)

Ցանկացած թրթռում ներկայացնում է շարժում փոփոխական արագացումով: Շեղումը, արագությունը և արագացումը այս դեպքում ժամանակի ֆունկցիաներ են: Ցանկացած տատանումները բնութագրվում են պարբերականությամբ, այսինքն. շարժումը կրկնվում է ժամանակի ավարտից հետո Տ, որը կոչվում է տատանման տեւողություն կամ ժամանակաշրջան։ Տատանումները տեղի են ունենում, երբ էներգիան փոխանցվում է տատանվելու ընդունակ համակարգին:
Անհրաժեշտ է տարբերակել.

Չխոնավ տատանումներ

Չխամրված տատանումները տեղի են ունենում մշտական ​​ամպլիտուդով Յ մ. Ենթադրվում է, որ այս դեպքում մատակարարվող էներգիան պահպանվում է։ Մոտավորապես նման պայմանները տեղի են ունենում էներգիայի ցածր կորուստների և կարճ դիտարկման ժամանակ: Իսկապես չխոնարհված տատանումներ ստանալու համար անհրաժեշտ է պարբերաբար լրացնել կորցրած էներգիան։

Խոնավ տատանումներ

Խոնավ տատանումները աստիճանաբար նվազեցնում են դրանց ամպլիտուդությունը Յ մ. Առանց էներգիայի համալրման, ցանկացած թրթռանք մեռնում է:

Թրթռումների կարևոր բնութագրերը

Հարմոնիկ տատանումները տեղի են ունենում օրենքի համաձայն.

x = Ա cos(ω տ + φ 0),

Որտեղ x- մասնիկի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից, Ա– տատանումների ամպլիտուդ, ω – շրջանաձև հաճախականություն, φ 0 – սկզբնական փուլ, տ- ժամանակ.

Տատանումների ժամանակաշրջան Տ = .

Տատանվող մասնիկի արագությունը.

υ = = – Աω մեղք (ω տ + φ 0),

արագացում ա = = –Աω 2 cos (ω տ + φ 0).

Տատանվող շարժման ենթարկվող մասնիկի կինետիկ էներգիան. Ե k = =
մեղք 2 (ω տ+ φ 0).

Պոտենցիալ էներգիա.

Ե n=
cos 2 (ω տ + φ 0).

Ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանները

- գարուն Տ =
,

Որտեղ մ- բեռների զանգված, կ- զսպանակի կոշտության գործակիցը,

- մաթեմատիկական Տ = ,

Որտեղ լ- կասեցման երկարությունը, է- ազատ անկման արագացում,

- ֆիզիկական Տ =
,

Որտեղ Ի- ճոճանակի իներցիայի պահը կախվածության կետով անցնող առանցքի նկատմամբ. մ- ճոճանակի զանգվածը, լ– կախվածության կետից մինչև զանգվածի կենտրոն հեռավորությունը.

Ֆիզիկական ճոճանակի կրճատված երկարությունը հայտնաբերվում է պայմանից. լ np = ,

Նշումները նույնն են, ինչ ֆիզիկական ճոճանակի համար:

Երբ միևնույն հաճախականության և մեկ ուղղության երկու ներդաշնակ տատանումներ գումարվում են, ստացվում է նույն հաճախականության ամպլիտուդով ներդաշնակ տատանում.

Ա = Ա 1 2 + Ա 2 2 + 2Ա 1 Ա 2 cos(φ 2 – φ 1)

և սկզբնական փուլ՝ φ = արկտան
.

Որտեղ Ա 1 , Ա 2 – ամպլիտուդներ, φ 1, φ 2 – ծալված տատանումների սկզբնական փուլեր։

Ստացված շարժման հետագիծը նույն հաճախականության փոխադարձ ուղղահայաց տատանումներ ավելացնելիս.

+ – cos (φ 2 – φ 1) = մեղք 2 (φ 2 – φ 1):

Խոնավված տատանումները տեղի են ունենում օրենքի համաձայն.

x = Ա 0 ե - β տ cos(ω տ + φ 0),

որտեղ β-ը խամրման գործակիցն է, մնացած պարամետրերի նշանակությունը նույնն է, ինչ հարմոնիկ տատանումների համար, Ա 0 - սկզբնական ամպլիտուդ: Ժամանակի մի պահ տթրթռման ամպլիտուդ.

Ա = Ա 0 ե - β տ .

Լոգարիթմական մարման նվազումը կոչվում է.

λ = լոգ
= β Տ,

Որտեղ Տ- տատանումների ժամանակաշրջան. Տ = .

Տատանողական համակարգի որակի գործոնը կոչվում է.

Հարթ ընթացող ալիքի հավասարումը ունի ձև.

y = y 0 cos ω( տ ± ),

Որտեղ ժամը- տատանվող մեծության տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից, ժամը 0 – ամպլիտուդ, ω – անկյունային հաճախականություն, տ- ժամանակ, X- կոորդինատ, որի երկայնքով տարածվում է ալիքը, υ - ալիքի տարածման արագությունը.

«+» նշանը համապատասխանում է առանցքի դեմ տարածվող ալիքին X, «–» նշանը համապատասխանում է առանցքի երկայնքով տարածվող ալիքին X.

Ալիքի երկարությունը կոչվում է դրա տարածական ժամանակաշրջան.

λ = υ Տ,

Որտեղ υ - ալիքի տարածման արագությունը, Տ– տատանումների տարածման ժամանակաշրջան.

Ալիքի հավասարումը կարելի է գրել.

y = y 0 cos 2π (+):

Կանգնած ալիքը նկարագրվում է հավասարմամբ.

y = (2y 0cos ) cos ω տ.

Կանգնած ալիքի ամպլիտուդը փակցված է փակագծերում։ Առավելագույն ամպլիտուդ ունեցող կետերը կոչվում են հակահանգույց,

x n = n ,

զրոյական ամպլիտուդով կետեր - հանգույցներ,

x y = ( n + ) .

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Խնդիր 20

Հարմոնիկ տատանումների ամպլիտուդը 50 մմ է, պարբերությունը՝ 4 վրկ և սկզբնական փուլը։ . ա) Գրե՛ք այս տատանման հավասարումը. բ) գտնել տատանվող կետի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից ժամը տ=0 և ժամը տ= 1,5 վ; գ) նկարեք այս շարժման գրաֆիկը:

Լուծում

Տատանումների հավասարումը գրված է այսպես x = ա cos( տ+  0).

Ըստ պայմանի՝ հայտնի է տատանման շրջանը։ Դրա միջոցով կարող ենք արտահայտել  = շրջանաձև հաճախականությունը . Մնացած պարամետրերը հայտնի են.

Ա) x= 0,05 cos( տ + ).

բ) օֆսեթ xժամը տ= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 մ.

ժամը տ= 1,5 վրկ

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 մ.

Վ ) ֆունկցիայի գրաֆիկ x=0.05cos ( տ + ) ունի հետևյալ տեսքը.

Որոշենք մի քանի կետերի դիրքը. Հայտնի է X 1 (0) և X 2 (1.5), ինչպես նաև տատանումների ժամանակաշրջանը: Այսպիսով, -ի միջոցով տ= 4 վ արժեք Xկրկնում է, իսկ հետո  տ = 2 վ փոխում է նշանը: Մեջտեղում առավելագույնի և նվազագույնի միջև 0 է:

Խնդիր 21

Կետը կատարում է ներդաշնակ տատանում: Տատանումների ժամանակաշրջանը 2 վ է, ամպլիտուդը՝ 50 մմ, սկզբնական փուլը՝ զրո։ Գտե՛ք կետի արագությունը ժամանակի այն պահին, երբ հավասարակշռության դիրքից նրա տեղաշարժը 25 մմ է:

Լուծում

1 ճանապարհ. Մենք գրում ենք կետի տատանման հավասարումը.

x= 0,05 cos տ, քանի որ  = =.

Գտեք արագությունը ժամանակի պահին տ:

υ = = – 0,05 cos տ.

Մենք գտնում ենք ժամանակի այն պահը, երբ տեղաշարժը 0,025 մ է.

0,025 = 0,05 cos տ 1 ,

հետևաբար cos  տ 1 = ,  տ 1 = . Մենք այս արժեքը փոխարինում ենք արագության արտահայտությամբ.

υ = – 0,05  մեղք = – 0,05  = 0,136 մ/վ:

Մեթոդ 2. Տատանողական շարժման ընդհանուր էներգիան.

Ե =
,

Որտեղ Ա– ամպլիտուդ,  – շրջանաձև հաճախականություն, մ – մասնիկների զանգված.

Ժամանակի յուրաքանչյուր պահի այն բաղկացած է կետի պոտենցիալից և կինետիկ էներգիայից

Ե k = , Ե n = , Բայց կ = մ 2, ինչը նշանակում է Ե n =
.

Եկեք գրենք էներգիայի պահպանման օրենքը.

= +
,

այստեղից մենք ստանում ենք. ա 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 մ/վ:

Խնդիր 22

Նյութական կետի ներդաշնակ տատանումների առատություն Ա= 2 սմ, ընդհանուր էներգիա Ե= 3∙10 -7 J. Հավասարակշռության դիրքից ինչ տեղաշարժով է ուժը գործում տատանվող կետի վրա Ֆ = 2,25∙10 -5 Ն.

Լուծում

Հարմոնիկ տատանումներ կատարող կետի ընդհանուր էներգիան հավասար է. Ե =
. (13)

Առաձգական ուժի մոդուլն արտահայտվում է հավասարակշռության դիրքից կետերի տեղաշարժով xհետևյալ կերպ.

Ֆ = k x (14)

Բանաձևը (13) ներառում է զանգված մև շրջանաձև հաճախականություն , իսկ (14)-ում՝ կոշտության գործակիցը կ. Բայց շրջանաձև հաճախականությունը կապված է մԵվ կ:

 2 = ,

այստեղից կ = մ 2 և F = մ 2 x. Արտահայտելով մ 2 (13) հարաբերությունից ստանում ենք. մ 2 = , Ֆ = x.

Որտեղից մենք ստանում ենք տեղաշարժի արտահայտությունը x: x = .

Թվային արժեքների փոխարինումը տալիս է.

x =
= 1,5∙10 -2 մ = 1,5 սմ:

Խնդիր 23

Կետը մասնակցում է երկու տատանումների՝ նույն ժամանակահատվածներով և սկզբնական փուլերով։ Տատանումների ամպլիտուդներ Ա 1 = 3 սմ և A 2 = 4 սմ Գտեք ստացված թրթիռի ամպլիտուդը, եթե՝ 1) թրթռումները տեղի են ունենում մեկ ուղղությամբ. 2) թրթռումները փոխադարձ ուղղահայաց են.

Լուծում

Եթե ​​տատանումները տեղի են ունենում մեկ ուղղությամբ, ապա ստացված տատանումների ամպլիտուդը որոշվում է հետևյալ կերպ.

Որտեղ Ա 1 և Ա 2 – ավելացված տատանումների ամպլիտուդներ,  1 և  2 – սկզբնական փուլեր: Ըստ պայմանի սկզբնական փուլերը նույնն են, ինչը նշանակում է  2 –  1 = 0, և cos 0 = 1:

Հետևաբար.

Ա =
=
= Ա 1 +Ա 2 = 7 սմ:

Եթե ​​տատանումները փոխադարձաբար ուղղահայաց են, ապա ստացված շարժման հավասարումը կլինի.

cos( 2 –  1) = մեղք 2 ( 2 –  1):

Քանի որ պայմանով  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, հավասարումը կգրվի այսպես.
=0,

կամ
=0,

կամ
.

Ստացված հարաբերությունների միջև xԵվ ժամըկարելի է պատկերել գրաֆիկի վրա: Գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ արդյունքը կլինի ուղիղ գծի վրա գտնվող կետի տատանումը MN. Այս տատանման ամպլիտուդը որոշվում է հետևյալ կերպ. =
Ա

= 5 սմ.

Խնդիր 24 Տ=4 վրկ, լոգարիթմական մարման նվազում  = 1,6, սկզբնական փուլը զրո է: Կետի տեղաշարժը ժամը տ = հավասար է 4,5 սմ 1) Գրի՛ր այս թրթիռի հավասարումը. 2) Կառուցեք այս շարժման գրաֆիկը երկու ժամանակաշրջանի համար:

Լուծում

Խոնավ տատանումների հավասարումը զրոյական սկզբնական փուլով ունի ձև.

x = Ա 0 ե -  տ cos2 .

Թվային արժեքները փոխարինելու համար նախնական ամպլիտուդային արժեքները բավարար չեն Ա 0 և թուլացման գործակիցը :

Թուլացման գործակիցը կարող է որոշվել լոգարիթմական թուլացման նվազման հարաբերությունից.

 = Տ.

Այսպիսով  = = = 0.4 s -1:

Սկզբնական ամպլիտուդը կարելի է որոշել՝ փոխարինելով երկրորդ պայմանը.

4,5 սմ = Ա 0
cos 2 =Ա 0
cos = Ա 0
.

Այստեղից մենք գտնում ենք.

Ա 0 = 4,5∙

(սմ) = 7,75 սմ:

Շարժման վերջնական հավասարումը հետևյալն է.

x = 0,0775
արժեքը։

Խնդիր 25

Որքա՞ն է մաթեմատիկական ճոճանակի լոգարիթմական մարման նվազումը, եթե համար տ = 1 րոպե տատանումների ամպլիտուդը կիսով չափ նվազել է: Ճոճանակի երկարությունը լ = 1 մ.

Լուծում

Լոգարիթմական մարման անկումը կարելի է գտնել =  հարաբերությունից. Տ,

որտեղ  թուլացման գործակիցն է, Տ- տատանումների ժամանակաշրջան. Մաթեմատիկական ճոճանակի բնական շրջանաձև հաճախականությունը.

 0 =
= 3.13 s -1:

Տատանումների մարման գործակիցը կարող է որոշվել հետևյալ պայմանով. Ա 0 = Ա 0 ե -  տ ,

տ= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1:

Քանի որ <<  0 , то в формуле  =
կարելի է անտեսել  0-ի համեմատ, իսկ տատանումների ժամանակաշրջանը կարող է որոշվել բանաձևով. Տ = = 2c.

Մենք փոխարինում ենք  և Տլոգարիթմական մարման նվազեցման արտահայտության մեջ և մենք ստանում ենք.

 = Տ= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232:

Խնդիր 26

Չխոնավ տատանումների հավասարումը տրված է ձևով x= 4 sin600  տսմ.

Գտե՛ք հեռավորության վրա գտնվող կետի հավասարակշռության դիրքից տեղաշարժը լ= 75 սմ թրթռման աղբյուրից, միջով տ= 0,01 վրկ տատանումների մեկնարկից հետո: Տատանումների տարածման արագությունը υ = 300 մ/վ:

Լուծում

Եկեք գրենք տվյալ աղբյուրից տարածվող ալիքի հավասարումը. x= 0.04 մեղք 600 ( տ– ).

Մենք գտնում ենք ալիքի փուլը տվյալ պահին տվյալ վայրում.

տ– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

մեղք 4.5 = մեղք = 1:

Հետեւաբար, կետի տեղաշարժը x= 0,04 մ, այսինքն. հեռավորության վրա լ =75 սմ աղբյուրից ժամանակին տ= 0,01 վրկ կետի առավելագույն տեղաշարժ:

Հղումներ

Վոլկենշտեյն Վ.Ս.. Ֆիզիկայի ընդհանուր դասընթացի խնդիրների ժողովածու. – Սանկտ Պետերբուրգ: SpetsLit, 2001 թ.

Սավելև Ի.Վ.. Ընդհանուր ֆիզիկայի հարցերի և խնդիրների ժողովածու: - Մ.: Նաուկա, 1998:

Հարմոնիկ տատանումները տատանումներ են, որոնք կատարվում են սինուսի և կոսինուսի օրենքներով։ Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս ժամանակի ընթացքում կետի կոորդինատների փոփոխությունների գրաֆիկը՝ համաձայն կոսինուսի օրենքի:

նկար

Տատանումների ամպլիտուդ

Ներդաշնակ թրթիռի ամպլիտուդը մարմնի հավասարակշռության դիրքից տեղաշարժի ամենամեծ արժեքն է։ Ամպլիտուդը կարող է տարբեր արժեքներ ստանալ: Դա կախված կլինի նրանից, թե որքանով ենք մենք մարմինը տեղափոխում ժամանակի սկզբնական պահին հավասարակշռության դիրքից:

Ամպլիտուդը որոշվում է սկզբնական պայմաններով, այսինքն՝ ժամանակի սկզբնական պահին մարմնին փոխանցվող էներգիայով։ Քանի որ սինուսը և կոսինուսը կարող են արժեքներ ընդունել -1-ից 1-ի միջակայքում, հավասարումը պետք է պարունակի Xm գործոն, որն արտահայտում է տատանումների ամպլիտուդը: Հարմոնիկ թրթռումների շարժման հավասարումը.

x = Xm*cos(ω0*t):

Տատանումների ժամանակաշրջան

Տատանման ժամանակաշրջանը այն ժամանակն է, որն անհրաժեշտ է մեկ ամբողջական տատանումն ավարտելու համար: Տատանումների ժամանակաշրջանը նշվում է T տառով: Ժամանակի չափման միավորները համապատասխանում են ժամանակի միավորներին: Այսինքն՝ SI-ում սրանք վայրկյաններ են։

Տատանումների հաճախականությունը ժամանակի միավորի վրա կատարված տատանումների քանակն է: Տատանումների հաճախականությունը նշանակվում է ν տառով: Տատանումների հաճախականությունը կարող է արտահայտվել տատանումների ժամանակաշրջանով:

ν = 1/Տ.

Հաճախականության միավորները SI-ում են 1/վրկ: Չափման այս միավորը կոչվում է Հերց: 2*pi վայրկյանում տատանումների թիվը հավասար կլինի.

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Տատանումների հաճախականությունը

Այս մեծությունը կոչվում է տատանումների ցիկլային հաճախականություն։ Որոշ գրականության մեջ հայտնվում է անվանման շրջանաձև հաճախականություն։ Տատանողական համակարգի բնական հաճախականությունը ազատ տատանումների հաճախականությունն է։

Բնական տատանումների հաճախականությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

Բնական թրթռումների հաճախականությունը կախված է նյութի հատկություններից և բեռի զանգվածից: Որքան մեծ է զսպանակի կոշտությունը, այնքան մեծ է սեփական թրթռումների հաճախականությունը: Որքան մեծ է բեռի զանգվածը, այնքան ցածր է բնական տատանումների հաճախականությունը։

Այս երկու եզրակացությունները ակնհայտ են. Որքան կոշտ է զսպանակը, այնքան ավելի մեծ արագացում կհաղորդի այն մարմնին, երբ համակարգը դուրս է մղվում հավասարակշռությունից: Որքան մեծ է մարմնի զանգվածը, այնքան ավելի դանդաղ է փոխվելու այս մարմնի արագությունը:

Ազատ տատանումների ժամանակաշրջան:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Հատկանշական է, որ շեղման փոքր անկյուններում զսպանակի վրա մարմնի տատանումների շրջանը և ճոճանակի տատանումների շրջանը կախված չեն լինի տատանումների ամպլիտուդից։

Գրենք մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների պարբերության և հաճախականության բանաձևերը։

ապա ժամկետը հավասար կլինի

T = 2*pi*√(l/g):

Այս բանաձևը վավեր կլինի միայն փոքր շեղման անկյունների համար: Բանաձևից մենք տեսնում ենք, որ ճոճանակի թելի երկարության աճի հետ տատանման ժամանակաշրջանը մեծանում է: Որքան երկար է երկարությունը, այնքան ավելի դանդաղ է թրթռում մարմինը:

Տատանումների ժամանակաշրջանը բացարձակապես կախված չէ բեռի զանգվածից։ Բայց դա կախված է ազատ անկման արագացումից։ Երբ g-ն նվազում է, տատանումների ժամանակաշրջանը կավելանա: Այս հատկությունը լայնորեն կիրառվում է գործնականում: Օրինակ՝ ազատ արագացման ճշգրիտ արժեքը չափելու համար։