Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում չորոշված ​​գործակիցների մեթոդով: Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում

«Մաթեմատիկոսը, ինչպես նկարիչը կամ բանաստեղծը, օրինաչափություններ է ստեղծում: Եվ եթե նրա օրինաչափությունները ավելի կայուն են, ապա միայն այն պատճառով, որ դրանք կազմված են գաղափարներից... Մաթեմատիկոսի օրինաչափությունները, ինչպես նկարչի կամ բանաստեղծի նախշերը, պետք է գեղեցիկ լինեն. Գաղափարները, ինչպես գույները կամ բառերը, պետք է համապատասխանեն միմյանց: Գեղեցկությունն առաջին պահանջն է՝ աշխարհում տեղ չկա տգեղ մաթեմատիկայի համար».

Գ.Հ.Հարդի

Առաջին գլխում նշվեց, որ կան բավականին պարզ ֆունկցիաների հակաածանցյալներ, որոնք այլևս չեն կարող արտահայտվել տարրական ֆունկցիաների միջոցով: Այս առումով հսկայական գործնական նշանակություն են ստանում ֆունկցիաների այն դասերը, որոնց մասին կարելի է ճշգրիտ ասել, որ դրանց հակաածանցյալները տարրական ֆունկցիաներ են։ Գործառույթների այս դասը ներառում է ռացիոնալ գործառույթներ, որը ներկայացնում է երկու հանրահաշվական բազմանդամների հարաբերությունը։ Շատ խնդիրներ հանգեցնում են ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրմանը: Հետեւաբար, շատ կարեւոր է, որ կարողանանք ինտեգրել նման գործառույթները:

2.1.1. Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիաներ

Ռացիոնալ կոտորակ(կամ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա) երկու հանրահաշվական բազմանդամների հարաբերությունն է.

որտեղ և են բազմանդամներ:

Հիշեցնենք, որ բազմանդամ (բազմանդամ, ամբողջ ռացիոնալ գործառույթը) nրդ աստիճանկոչվում է ձևի ֆունկցիա

Որտեղ - իրական թվեր. Օրինակ՝

- առաջին աստիճանի բազմանդամ;

– չորրորդ աստիճանի բազմանդամ և այլն:

Ռացիոնալ կոտորակը (2.1.1) կոչվում է ճիշտ, եթե աստիճանը ցածր է աստիճանից , այսինքն. n<մ, հակառակ դեպքում կոտորակը կոչվում է սխալ.

Ցանկացած անպատշաճ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամի (ամբողջական մաս) և պատշաճ կոտորակի (կոտորակային մասի) գումար։Անպատշաճ կոտորակի ամբողջ և կոտորակային մասերի բաժանումը կարելի է կատարել «անկյունով» բազմանդամները բաժանելու կանոնով։

Օրինակ 2.1.1.Առանձնացրե՛ք հետևյալ ոչ պատշաճ ռացիոնալ կոտորակների ամբողջական և կոտորակային մասերը.

Ա) , բ) .

Լուծում . ա) Օգտագործելով «անկյունային» բաժանման ալգորիթմը, մենք ստանում ենք

Այսպիսով, մենք ստանում ենք

.

բ) Այստեղ մենք օգտագործում ենք նաև «անկյունային» բաժանման ալգորիթմը.

Արդյունքում մենք ստանում ենք

.

Եկեք ամփոփենք. Ընդհանուր դեպքում ռացիոնալ կոտորակի անորոշ ինտեգրալը կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամի և պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրալների գումար։ Բազմանդամների հակաածանցյալներ գտնելը դժվար չէ։ Հետևաբար, հաջորդում մենք հիմնականում կդիտարկենք պատշաճ ռացիոնալ կոտորակները:

2.1.2. Ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակները և դրանց ինտեգրումը

Ճիշտ ռացիոնալ կոտորակների շարքում առանձնանում են չորս տեսակ, որոնք դասակարգվում են որպես ամենապարզ (տարրական) ռացիոնալ կոտորակները.

3) ,

4) ,

որտեղ է ամբողջ թիվ, , այսինքն. քառակուսի եռանկյուն իրական արմատներ չունի:

1-ին և 2-րդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրումը մեծ դժվարություն չի ներկայացնում.

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Այժմ դիտարկենք 3-րդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրումը, բայց 4-րդ տիպի կոտորակներ չենք դիտարկի։

Սկսենք ձևի ինտեգրալներից

.

Այս ինտեգրալը սովորաբար հաշվարկվում է հայտարարի կատարյալ քառակուսու մեկուսացման միջոցով: Արդյունքը հետևյալ ձևի աղյուսակի ինտեգրալն է

կամ .

Օրինակ 2.1.2.Գտեք ինտեգրալները.

Ա) , բ) .

Լուծում . ա) Ընտրեք ամբողջական քառակուսի քառակուսի եռանկյունից.

Այստեղից մենք գտնում ենք

բ) Ամբողջական քառակուսին առանձնացնելով քառակուսի եռանկյունից՝ ստանում ենք.

Այսպիսով,

.

Ինտեգրալը գտնելու համար

Դուք կարող եք մեկուսացնել հայտարարի ածանցյալը համարիչում և ինտեգրալն ընդլայնել երկու ինտեգրալների գումարի մեջ. դրանցից առաջինը փոխարինելով գալիս է արտաքին տեսքին

,

իսկ երկրորդը՝ վերը քննարկվածին։

Օրինակ 2.1.3.Գտեք ինտեգրալները.

.

Լուծում . Նշենք, որ . Եկեք առանձնացնենք հայտարարի ածանցյալը համարիչում.

Առաջին ինտեգրալը հաշվարկվում է փոխարինման միջոցով :

Երկրորդ ինտեգրալում մենք ընտրում ենք կատարյալ քառակուսին հայտարարի մեջ

Ի վերջո, մենք ստանում ենք

2.1.3. Ռացիոնալ կոտորակի ճիշտ ընդլայնում
պարզ կոտորակների գումարի համար

Ցանկացած պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ կարելի է յուրօրինակ կերպով ներկայացնել որպես պարզ կոտորակների գումար: Դա անելու համար հայտարարը պետք է ֆակտորիզացվի: Բարձրագույն հանրահաշիվից հայտնի է, որ իրական գործակիցներով յուրաքանչյուր բազմանդամ

2., 5.
,

3.
, 6.
.

1-3 ինտեգրալներում որպես u ընդունել . Հետո, հետո n- (19) բանաձևի բազմակի կիրառումը մենք հասնում ենք աղյուսակի ինտեգրալներից մեկին

,
,
.

4-6 ինտեգրալներում տարբերակելիս պարզեցնել տրանսցենդենտալ գործոնը
,
կամ
, որը պետք է ընդունվի որպես u.

Հաշվի՛ր հետևյալ ինտեգրալները.

Օրինակ 7.

Օրինակ 8.

Ինտեգրալների կրճատում իրենց համար

Եթե ​​ինտեգրանդը
ունի ձև.

,
,
և այլն,

այնուհետև երկու անգամ ըստ մասերի ինտեգրվելուց հետո մենք ստանում ենք սկզբնական ինտեգրալ պարունակող արտահայտություն :

,

Որտեղ
- որոշակի հաստատուն:

Ստացված հավասարման լուծումը , մենք ստանում ենք սկզբնական ինտեգրալը հաշվարկելու բանաձև.

.

Մասերի կողմից ինտեգրման մեթոդի կիրառման այս դեպքը կոչվում է « ինտեգրալն ինքն իրեն բերելով».

Օրինակ 9.Հաշվել ինտեգրալը
.

Աջ կողմում բնօրինակ ինտեգրալն է . Տեղափոխելով այն ձախ կողմում, մենք ստանում ենք.

.

Օրինակ 10.Հաշվել ինտեգրալը
.

4.5. Ամենապարզ ճիշտ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում

Սահմանում.Ամենապարզ ճիշտ կոտորակները Ի , II Եվ III տեսակները Հետևյալ կոտորակները կոչվում են.

Ի. ;

II.
; (
- դրական ամբողջ թիվ);

III.
;
.

(հայտարարի արմատները բարդ են, այսինքն.

Ի.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Դիտարկենք պարզ կոտորակների ինտեգրալները։
Կոտորակի համարիչը փոխակերպում ենք այնպես, որ տերմինը համարիչում մեկուսացնենք

, հավասար է հայտարարի ածանցյալին։

Դիտարկենք ստացված երկու ինտեգրալներից առաջինը և փոփոխություն կատարենք դրանում.

Երկրորդ ինտեգրալում մենք ավելացնում ենք հայտարարը կատարյալ քառակուսու վրա.

=
+
. (22)

Վերջապես, երրորդ տիպի կոտորակի ինտեգրալը հավասար է.

Այսպիսով, I տիպի ամենապարզ կոտորակների ինտեգրալն արտահայտվում է լոգարիթմների, II տիպը՝ ռացիոնալ ֆունկցիաների, III տիպը՝ լոգարիթմների և արկտանգենսների միջոցով։

4.6.Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում

Գործառույթների այն դասերից մեկը, որն ունի տարրական ֆունկցիաներով արտահայտված ինտեգրալ, հանրահաշվական ռացիոնալ ֆունկցիաների դասն է, այսինքն՝ արգումենտի վրա վերջավոր թվով հանրահաշվական գործողությունների արդյունքում ստացված ֆունկցիաներ։
Յուրաքանչյուր ռացիոնալ գործառույթ
կարող է ներկայացվել որպես երկու բազմանդամների հարաբերություն
:

. (23)

Եվ

Կենթադրենք, որ բազմանդամներն ընդհանուր արմատներ չունեն։ ճիշտ(23) ձևի կոտորակը կոչվում է մ< n, եթե համարիչի աստիճանը փոքր է հայտարարի աստիճանից, այսինքն. սխալ.

. Հակառակ դեպքում -

, (24)

Որտեղ
Եթե ​​կոտորակը սխալ է, ապա համարիչը բաժանելով հայտարարի վրա (համաձայն բազմանդամների բաժանման կանոնի) կոտորակը ներկայացնում ենք որպես բազմանդամի և պատշաճ կոտորակի գումար. - բազմանդամ,
- պատշաճ կոտորակ և բազմանդամի աստիճանը n-1).

- աստիճանից ոչ բարձր (

Օրինակ.

Քանի որ բազմանդամի ինտեգրումը կրճատվում է մինչև հզորության ֆունկցիայի աղյուսակավորված ինտեգրալների գումարը, ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման հիմնական դժվարությունը կայանում է ճիշտ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման մեջ: Հանրահաշվում ապացուցված է, որ յուրաքանչյուր պատշաճ կոտորակ քայքայվում է վերը նշվածի գումարի մեջնախակենդանիներ
.

կոտորակներ, որոնց ձևը որոշվում է հայտարարի արմատներով Դիտարկենք երեք հատուկ դեպք. Այստեղ և հետագայում կենթադրենք, որ գործակիցը
հայտարարի ամենաբարձր աստիճանով մեկին հավասար=1, այսինքն .

կրճատված բազմանդամԴեպք 1.
հայտարարի արմատները, այսինքն՝ արմատները
հավասարումներ

=0, վավեր են և հստակ: Այնուհետև հայտարարը ներկայացնում ենք որպես գծային գործոնների արտադրյալ.

, (26)

Որտեղ
իսկ պատշաճ կոտորակը տարրալուծվում է I-gotype-ի ամենապարզ կոտորակների.

– որոշ հաստատուն թվեր, որոնք հայտնաբերվում են անորոշ գործակիցների մեթոդով:

Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Ընդարձակման աջ կողմը (26) բերեք ընդհանուր հայտարարի:
.

3. Լուծի՛ր ստացված համակարգը և գտիր չորոշված ​​գործակիցները
.

Այնուհետև կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի (26) ինտեգրալը հավասար կլինի I տիպի ամենապարզ կոտորակների ինտեգրալների գումարին՝ հաշվված (20) բանաձևով։

- աստիճանից ոչ բարձր (Հաշվել ինտեգրալը
.

Լուծում.Եկեք գործոնացնենք հայտարարը՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը.

Այնուհետև ինտեգրանդ ֆունկցիան բաժանվում է պարզ կոտորակների գումարի.

.

X:

Գտնենք երեք հավասարումների համակարգ
Xձախ և աջ կողմերում.

.

Եկեք նշենք անորոշ գործակիցներ գտնելու ավելի պարզ եղանակ, որը կոչվում է մասնակի արժեքի մեթոդ.

Ենթադրելով հավասարություն (27)
մենք ստանում ենք
, որտեղ
. Հավատալով
մենք ստանում ենք
. Ի վերջո, հավատալով
մենք ստանում ենք
.

.

Դեպք 2.Հայտարարի արմատը
վավեր են, բայց դրանց մեջ կան բազմաթիվ (հավասար) արմատներ։ Այնուհետև հայտարարը ներկայացնում ենք որպես արտադրյալի մեջ ներառված գծային գործակիցների արտադրյալ այնքանով, որքանով համապատասխան արմատի բազմապատիկությունը լինի.

Որտեղ
.

Պատշաճ կոտորակ կքայքայվի I և II տիպերի կոտորակների գումարը։ Եկեք, օրինակ, - բազմակի հայտարարի արմատը կև մնացած բոլորը ( n- կ) արմատները տարբեր են։

Այնուհետև ընդլայնումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Նմանապես, եթե կան այլ բազմաթիվ արմատներ: Ոչ բազմակի արմատների համար ընդլայնումը (28) ներառում է առաջին տիպի ամենապարզ ֆրակցիաները:

Օրինակ.Հաշվել ինտեգրալը
.

Լուծում.Եկեք պատկերացնենք կոտորակը որպես առաջին և երկրորդ տեսակի ամենապարզ կոտորակների գումար՝ անորոշ գործակիցներով.

.

Եկեք աջ կողմը բերենք ընդհանուր հայտարարի և հավասարենք ձախ և աջ կողմերի համարիչների բազմանդամները.

Աջ կողմում ներկայացնում ենք նույնանմանները՝ նույն աստիճաններով X:

Գտնենք չորս հավասարումների համակարգ
կարող է ներկայացվել որպես երկու բազմանդամների հարաբերություն . Դա անելու համար մենք հավասարեցնում ենք գործակիցները նույն հզորություններին Xձախ և աջ կողմում

.

Դեպք 3.Հայտարարի արմատներից
կան բարդ միայնակ արմատներ. Այսինքն՝ հայտարարի ընդլայնումը ներառում է երկրորդ աստիճանի գործոններ
, չեն քայքայվում իրական գծային գործոնների, և դրանք չեն կրկնվում։

Այնուհետև կոտորակի տարրալուծման ժամանակ յուրաքանչյուր այդպիսի գործոն կհամապատասխանի III տիպի ամենապարզ կոտորակին։ Գծային գործակիցները համապատասխանում են I և II տիպերի ամենապարզ կոտորակներին:

Օրինակ.Հաշվել ինտեգրալը
.

Լուծում.
.

.

.

Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում Կոտորակային - ռացիոնալ ֆունկցիա Ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակները Ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների ինտեգրում Պարզ կոտորակների ընդհանուր կանոն Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման համար.

n աստիճանի բազմանդամ: Կոտորակային - ռացիոնալ ֆունկցիա Կոտորակային - ռացիոնալ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որը հավասար է երկու բազմանդամների հարաբերությանը։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է պատշաճ, եթե համարիչի աստիճանը փոքր է հայտարարի աստիճանից, այսինքն՝ m։< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Կոտորակային - ռացիոնալ ֆունկցիա Կրճատել ոչ պատշաճ կոտորակը ճիշտ ձևով. 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակները Ձևի ճիշտ ռացիոնալ կոտորակներ. Դրանք կոչվում են տեսակների ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակներ: կացին A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների Թեորեմ. Ցանկացած պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ, որի հայտարարը գործոնացված է. կարող է ներկայացվել, ընդ որում, յուրօրինակ ձևով պարզ կոտորակների գումարի տեսքով՝ s k qxpxxxxxx: Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11) (qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների Բացատրենք թեորեմի ձևակերպումը հետևյալ օրինակներով. A, B, C, D... անորոշ գործակիցները գտնելու համար օգտագործվում է երկու մեթոդ՝ գործակիցների համեմատման մեթոդ և մեթոդ. փոփոխականի մասնակի արժեքներ. Դիտարկենք առաջին մեթոդը՝ օգտագործելով օրինակ: 3 2)3) (2 (4 xx x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1 (1 xx Nx. M) 1 (3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2)1) (4(987 xxx xx 4 x

Ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների Ներկայացրե՛ք կոտորակը որպես պարզ կոտորակների գումար. Եկեք ամենապարզ կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի Հավասարեցրեք ստացված և սկզբնական կոտորակների համարիչները Հավասարեցրեք գործակիցները նույն հզորությամբ x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52) (1()1) (()52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Ամենապարզ կոտորակների ինտեգրումը Գտնենք ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրալները. Դիտարկենք 3-րդ տիպի կոտորակների ինտեգրումը օրինակով: dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. A k

Պարզ կոտորակների ինտեգրումdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1 (3 2 dt t t 9 23 2 9 tdtt3 2 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Պարզ կոտորակների ինտեգրում Այս տիպի ինտեգրալը՝ օգտագործելով փոխարինումը. կրճատվում է երկու ինտեգրալների գումարով: Առաջին ինտեգրալը հաշվարկվում է՝ t ներմուծելով դիֆերենցիալ նշանի տակ: Երկրորդ ինտեգրալը հաշվարկվում է կրկնության բանաձևով.

Պարզ կոտորակների ինտեգրում a = 1; k = 3 323)1 (t dt tarctg t dt 1 21)1) (12 (2222 322 1 21222 t t t dt) 1 (22 1 2 2 t t tarctg 2223) 1) (13 (2232 332 t t t dt) (4)1(

Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման ընդհանուր կանոն Եթե կոտորակը սխալ է, ապա այն ներկայացրեք որպես բազմանդամի և պատշաճ կոտորակի գումար: Պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի հայտարարը ֆակտորացնելով, այն ներկայացրեք որպես չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումար: Ամբողջացնել բազմանդամը և ստացված պարզ կոտորակների գումարը:

Օրինակ Եկեք կոտորակը դնենք ճիշտ ձևով: dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 428 x 2 x 2 105 23 48 2 x x

Օրինակ Եկեք գործոնացնենք ճիշտ կոտորակի հայտարարը. Ներկայացնենք կոտորակը որպես պարզ կոտորակների գումար։ Գտնենք չորոշված ​​գործակիցները՝ օգտագործելով xxx xx 23 2 2 48 2 2)1 (48 xx xx 2 փոփոխականի մասնակի արժեքների մեթոդը։ )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1 (xx Cxx. Bxx. A 48)1 ()1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx. xx 23 2 2 48 2)1 (3 1 124 xxx

Օրինակ dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Այս թեմայում ներկայացված նյութը հիմնված է «Ռացիոնալ կոտորակներ. Ռացիոնալ կոտորակների տարրալուծումը տարրական (պարզ) կոտորակների» թեմայում ներկայացված տեղեկատվության վրա։ Ես բարձր խորհուրդ եմ տալիս, որ գոնե այս թեման շրջանցեք այս նյութը կարդալուց առաջ: Բացի այդ, մեզ անհրաժեշտ կլինի անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ:

Մի երկու տերմին հիշեցնեմ. Դրանք քննարկվել են համապատասխան թեմայում, ուստի այստեղ սահմանափակվեմ համառոտ ձևակերպմամբ.

Երկու $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ երկու բազմանդամների հարաբերությունը կոչվում է ռացիոնալ ֆունկցիա կամ ռացիոնալ կոտորակ։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է ճիշտ, եթե $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется սխալ.

Տարրական (պարզ) ռացիոնալ կոտորակները չորս տեսակի ռացիոնալ կոտորակներ են.

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Նշում (ցանկալի է տեքստի ավելի ամբողջական ընկալման համար) ցույց տալ/թաքցնել

Ինչու՞ է անհրաժեշտ $p^2-4q պայմանը:< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Օրինակ՝ $x^2+5x+10$ արտահայտության համար ստանում ենք՝ $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$։ Քանի որ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Ի դեպ, այս ստուգման համար ամենևին էլ պարտադիր չէ, որ $x^2$ գործակիցը հավասար լինի 1-ի: Օրինակ, $5x^2+7x-3=0$-ի դեպքում ստանում ենք $D=7^. 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109։ Քանի որ $D > 0$, $5x^2+7x-3$ արտահայտությունը կարող է ֆակտորիզացվել:

Գտնվում են ռացիոնալ կոտորակների օրինակներ (պատշաճ և ոչ պատշաճ), ինչպես նաև ռացիոնալ կոտորակի տարրականի տարրալուծման օրինակներ։ Այստեղ մեզ կհետաքրքրեն միայն դրանց ինտեգրման հարցերը։ Սկսենք տարրական կոտորակների ինտեգրումից։ Այսպիսով, վերը նշված տարրական կոտորակների չորս տեսակներից յուրաքանչյուրը հեշտ է ինտեգրվել՝ օգտագործելով ստորև բերված բանաձևերը: Հիշեցնեմ, որ (2) և (4) տիպերի կոտորակները ինտեգրելիս ենթադրվում է $n=2,3,4,\ldots$։ (3) և (4) բանաձևերը պահանջում են $p^2-4q պայմանի կատարում< 0$.

\սկիզբ(հավասարում) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \վերջ(հավասարում) \սկիզբ(հավասարում) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \վերջ(հավասարում) \սկիզբ(հավասարում) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(հավասարում)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$-ի համար կատարվում է $t=x+\frac(p)(2)$ փոխարինումը, որից հետո ստացված միջակայքը. բաժանված է երկուսի. Առաջինը կհաշվարկվի՝ մուտքագրելով դիֆերենցիալ նշանի տակ, իսկ երկրորդը կունենա $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ ձևը։ Այս ինտեգրալը վերցված է ռեցիդիվի կապի միջոցով

\սկիզբ(հավասարում) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\վերջ (հավասարում)

Նման ինտեգրալի հաշվարկը քննարկվում է թիվ 7 օրինակում (տես երրորդ մասը)։

Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների (ռացիոնալ կոտորակների) հաշվարկման սխեման.

1. Եթե ​​ինտեգրանդը տարրական է, ապա կիրառեք (1)-(4) բանաձևերը։
2. Եթե ​​ինտեգրանդը տարրական չէ, ապա այն ներկայացրեք որպես տարրական կոտորակների գումար, այնուհետև ինտեգրեք (1)-(4) բանաձևերով։

Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման վերը նշված ալգորիթմն ունի անհերքելի առավելություն՝ այն ունիվերսալ է։ Նրանք. օգտագործելով այս ալգորիթմը կարող եք ինտեգրվել ցանկացածռացիոնալ կոտորակ. Այդ իսկ պատճառով անորոշ ինտեգրալում փոփոխականների գրեթե բոլոր փոփոխությունները (Էյլեր, Չեբիշև, համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինում) կատարվում են այնպես, որ այս փոփոխությունից հետո մենք ստանում ենք ռացիոնալ կոտորակ միջակայքի տակ։ Եվ հետո կիրառեք ալգորիթմը դրա վրա: Մենք կվերլուծենք այս ալգորիթմի ուղղակի կիրառումը օրինակների միջոցով՝ փոքրիկ նշում կատարելուց հետո։

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Սկզբունքորեն, այս ինտեգրալը հեշտ է ձեռք բերել առանց բանաձևի մեխանիկական կիրառման: Եթե ​​ինտեգրալ նշանից հանենք $7$ հաստատունը և հաշվի առնենք, որ $dx=d(x+9)$, ապա կստանանք.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Մանրամասն տեղեկությունների համար խորհուրդ եմ տալիս նայել թեմային։ Այն մանրամասն բացատրում է, թե ինչպես են լուծվում նման ինտեգրալները։ Ի դեպ, բանաձևը ապացուցվում է նույն փոխակերպումներով, որոնք կիրառվել են այս պարբերությունում այն ​​«ձեռքով» լուծելիս։

2) Կրկին երկու ճանապարհ կա՝ օգտագործեք պատրաստի բանաձևը կամ արեք առանց դրա: Բանաձևը կիրառելու դեպքում պետք է հաշվի առնել, որ $x$-ի դիմաց (թիվ 4) գործակիցը պետք է հանվի։ Դա անելու համար եկեք պարզապես փակագծերից հանենք այս չորսը.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\աջ)\աջ)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\ձախ(x+\frac(19)(4)\աջ)^8): $$

Այժմ ժամանակն է կիրառել բանաձևը.

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\աջ)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\ձախ(x+\frac(19)(4) \աջ)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \աջ)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \աջ )^7)+C. $$

Դուք կարող եք անել առանց բանաձևի օգտագործման. Եվ նույնիսկ առանց փակագծերից հանելու մշտական ​​$4$: Եթե ​​հաշվի առնենք, որ $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, ապա կստանանք.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Նման ինտեգրալների հայտնաբերման մանրամասն բացատրությունները տրված են «Ինտեգրում փոխարինմամբ (փոխարինում դիֆերենցիալ նշանի տակ)» թեմայում:

3) Պետք է ինտեգրենք $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ կոտորակը։ Այս կոտորակն ունի $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ կառուցվածքը, որտեղ $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$։ Այնուամենայնիվ, համոզվելու համար, որ սա իսկապես երրորդ տիպի տարրական մասն է, դուք պետք է ստուգեք, որ $p^2-4q պայմանը բավարարված է:< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Եկեք լուծենք նույն օրինակը, բայց առանց պատրաստի բանաձև օգտագործելու։ Փորձենք մեկուսացնել հայտարարի ածանցյալը համարիչում։ Ի՞նչ է սա նշանակում։ Մենք գիտենք, որ $(x^2+10x+34)"=2x+10$: Դա $2x+10$ արտահայտությունն է, որը մենք պետք է առանձնացնենք համարիչում: Առայժմ համարիչը պարունակում է ընդամենը $4x+7$, բայց սա երկար չի տևի.

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Այժմ համարիչում հայտնվում է պահանջվող $2x+10$ արտահայտությունը։ Իսկ մեր ինտեգրալը կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx: $$

Եկեք բաժանենք ինտեգրանդը երկու մասի: Դե, և, համապատասխանաբար, ինքնին ինտեգրալը նույնպես «երկկողմանված» է.

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \աջ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34): $$

Եկեք նախ խոսենք առաջին ինտեգրալի մասին, այսինքն. մոտ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$: Քանի որ $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, ուրեմն ինտեգրանդի համարիչը պարունակում է հայտարարի դիֆերենցիալը: Մի խոսքով, փոխարենը. $( 2x+10)dx$ արտահայտության մեջ գրում ենք $d(x^2+10x+34)$։

Հիմա մի քանի խոսք ասենք երկրորդ ինտեգրալի մասին։ Եկեք հայտարարի մեջ ընտրենք ամբողջական քառակուսի` $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$: Բացի այդ, մենք հաշվի ենք առնում $dx=d(x+5)$: Այժմ մեր նախկինում ստացված ինտեգրալների գումարը կարող է վերաշարադրվել մի փոքր այլ ձևով.

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))(x+5)^2+ 9): $$

Եթե ​​առաջին ինտեգրալում կատարենք $u=x^2+10x+34$ փոխարինումը, ապա այն կստանա $\int\frac(du)(u)$ ձևը և կարելի է ստանալ՝ պարզապես կիրառելով երկրորդ բանաձևը. . Ինչ վերաբերում է երկրորդ ինտեգրալին, ապա դրա համար իրագործելի է $u=x+5$ փոփոխությունը, որից հետո այն կստանա $\int\frac(du)(u^2+9)$ ձևը։ Սա ամենամաքուր տասնմեկերորդ բանաձևն է անորոշ ինտեգրալների աղյուսակից։ Այսպիսով, վերադառնալով ինտեգրալների գումարին, մենք ունենք.

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ստացանք նույն պատասխանը, ինչ բանաձեւը կիրառելիս, ինչը, խիստ ասած, զարմանալի չէ։ Ընդհանուր առմամբ, բանաձևն ապացուցվում է նույն մեթոդներով, որոնք մենք օգտագործել ենք այս ինտեգրալը գտնելու համար։ Կարծում եմ, որ ուշադիր ընթերցողն այստեղ կարող է ունենալ մեկ հարց, ուստի ես այն կձևակերպեմ.

Հարց թիվ 1

Եթե ​​անորոշ ինտեգրալների աղյուսակից երկրորդ բանաձեւը կիրառենք $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ ինտեգրալին, ապա կստանանք հետևյալը.

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Ինչու՞ լուծման մեջ մոդուլ չկար:

Պատասխան թիվ 1 հարցին

Հարցը միանգամայն բնական է. Մոդուլը բացակայում էր միայն այն պատճառով, որ $x^2+10x+34$ ցանկացած $x\in R$ արտահայտությունը զրոյից մեծ է: Սա բավականին հեշտ է ցույց տալ մի քանի ձևով. Օրինակ, քանի որ $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ և $(x+5)^2 ≥ 0$, ապա $(x+5)^2+9 > 0$ . Դուք կարող եք այլ կերպ մտածել՝ չօգտագործելով ամբողջական քառակուսի ընտրությունը: Քանի որ $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ ցանկացած $x\in R$-ի համար (եթե այս տրամաբանական շղթան զարմանալի է, խորհուրդ եմ տալիս նայել քառակուսի անհավասարությունների լուծման գրաֆիկական մեթոդին)։ Ամեն դեպքում, քանի որ $x^2+10x+34 > 0$, ապա $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, այսինքն. Մոդուլի փոխարեն կարող եք օգտագործել սովորական փակագծեր։

Թիվ 1 օրինակի բոլոր կետերը լուծված են, մնում է պատասխանը գրել։

Պատասխանել:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

Օրինակ թիվ 2

Գտեք $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ ինտեգրալը:

Առաջին հայացքից $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ինտեգրանդ կոտորակը շատ նման է երրորդ տիպի տարրական կոտորակին, այսինքն. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$-ով: Թվում է, թե միակ տարբերությունը $3$ գործակիցն է $x^2$-ի դիմաց, բայց գործակիցը հեռացնելու համար երկար ժամանակ չի պահանջվում (այն փակագծերից դուրս դնել): Այնուամենայնիվ, այս նմանությունն ակնհայտ է. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ կոտորակի համար $p^2-4q պայմանը պարտադիր է.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$-ից առաջ մեր գործակիցը հավասար չէ մեկի, հետևաբար ստուգեք $p^2-4q պայմանը< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, հետևաբար $3x^2-5x-2$ արտահայտությունը կարող է ֆակտորիզացվել։ Սա նշանակում է, որ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ կոտորակը երրորդ տիպի տարրական կոտորակն չէ, և կիրառեք $\int\frac(7x+12)(3x^2-): ) ինտեգրալ 5x-2)dx$ բանաձեւին հնարավոր չէ։

Դե, եթե տրված ռացիոնալ կոտորակը տարրական կոտորակ չէ, ապա այն պետք է ներկայացվի որպես տարրական կոտորակների գումար և հետո ինտեգրվի։ Մի խոսքով, օգտվեք արահետից: Ինչպես տարրականի տարրալուծել ռացիոնալ կոտորակը, մանրամասն գրված է: Սկսենք՝ գործակցելով հայտարարը.

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \սկիզբ(հավասարեցված) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\ վերջ (հավասարեցված)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\աջ)\աջ)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2): $$

Ներկայացնում ենք ենթամիջանկյալ կոտորակը հետևյալ ձևով.

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\աջ)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Այժմ $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ կոտորակը տարրալուծենք տարրականների.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\ձախ(x+\frac(1)(3)\աջ))(\ձախ(x+) \frac(1)(3)\աջ)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ճիշտ): $$

$A$ և $B$ գործակիցները գտնելու համար կա երկու ստանդարտ եղանակ՝ չորոշված ​​գործակիցների մեթոդ և մասնակի արժեքների փոխարինման եղանակ։ Եկեք կիրառենք մասնակի արժեքի փոխարինման մեթոդը՝ փոխարինելով $x=2$ և ապա $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\աջ); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\աջ)+B\ձախ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Քանի որ գործակիցները գտնվել են, մնում է միայն գրել ավարտված ընդլայնումը.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2): $$

Սկզբունքորեն, դուք կարող եք թողնել այս գրառումը, բայց ինձ դուր է գալիս ավելի ճշգրիտ տարբերակ.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2): $$

Վերադառնալով սկզբնական ինտեգրալին, մենք փոխարինում ենք դրա արդյունքում առաջացած ընդլայնումը: Այնուհետև ինտեգրալը երկուսի ենք բաժանում և յուրաքանչյուրի համար կիրառում ենք բանաձևը։ Ես նախընտրում եմ անմիջապես տեղադրել հաստատունները ինտեգրալ նշանից դուրս.

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\աջ)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\աջ)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Պատասխանել$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\աջ| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Օրինակ թիվ 3

Գտեք $\int\frac(x^2-38x+157)(x-1)(x+4)(x-9))dx$ ինտեգրալը:

Մենք պետք է ինտեգրենք $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ կոտորակը: Համարիչը պարունակում է երկրորդ աստիճանի բազմանդամ, իսկ հայտարարը՝ երրորդ աստիճանի բազմանդամ։ Քանի որ բազմանդամի աստիճանը համարիչում փոքր է, քան հայտարարի բազմանդամի աստիճանը, այսինքն. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9): $$

Մեզ մնում է միայն տրված ինտեգրալը բաժանել երեքի և կիրառել բանաձեւը յուրաքանչյուրի վրա։ Ես նախընտրում եմ անմիջապես տեղադրել հաստատունները ինտեգրալ նշանից դուրս.

$$ \int\frac(x^2-38x+157)(x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Պատասխանել$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Այս թեմայի օրինակների վերլուծության շարունակությունը գտնվում է երկրորդ մասում:

Ռացիոնալ ֆունկցիան ձևի կոտորակն է, որի համարիչը և հայտարարը բազմանդամներ են կամ բազմանդամների արտադրյալներ։

Օրինակ 1. Քայլ 2.

.

Մենք չորոշված ​​գործակիցները բազմապատկում ենք բազմանդամներով, որոնք այս առանձին կոտորակի մեջ չեն, բայց ստացված այլ կոտորակներում են.

Մենք բացում ենք փակագծերը և սկզբնական ինտեգրանդի համարիչը հավասարեցնում ենք ստացված արտահայտությանը.

Հավասարության երկու կողմերում մենք փնտրում ենք x-ի նույն հզորությամբ անդամներ և դրանցից կազմում հավասարումների համակարգ.

.

Մենք ջնջում ենք բոլոր x-երը և ստանում հավասարումների համարժեք համակարգ.

.

Այսպիսով, ինտեգրանդի վերջնական ընդլայնումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ հետևյալն է.

.

Օրինակ 2. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Այժմ մենք սկսում ենք փնտրել անորոշ գործակիցներ: Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի արտահայտության մեջ բնօրինակ կոտորակի համարիչը հավասարեցնում ենք կոտորակների գումարը ընդհանուր հայտարարի կրճատելուց հետո ստացված արտահայտության համարիչին.

Այժմ դուք պետք է ստեղծեք և լուծեք հավասարումների համակարգ: Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի սկզբնական արտահայտության համարիչում համապատասխան աստիճանի հավասարեցնում ենք փոփոխականի գործակիցները և նախորդ քայլում ստացված արտահայտության համանման գործակիցները.

Մենք լուծում ենք ստացված համակարգը.

Այսպիսով, այստեղից

.

Օրինակ 3. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

Մենք սկսում ենք փնտրել անորոշ գործակիցներ։ Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի արտահայտության մեջ բնօրինակ կոտորակի համարիչը հավասարեցնում ենք կոտորակների գումարը ընդհանուր հայտարարի կրճատելուց հետո ստացված արտահայտության համարիչին.

Ինչպես նախորդ օրինակներում, մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ.

Կրճատում ենք x-երը և ստանում հավասարումների համարժեք համակարգ.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 4. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Նախորդ օրինակներից մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է սկզբնական կոտորակի համարիչը հավասարեցնել համարիչի արտահայտությանը, որը ստացվել է կոտորակը պարզ կոտորակների գումարի քայքայելուց և այս գումարը ընդհանուր հայտարարի բերելուց հետո։ Հետևաբար, զուտ վերահսկողության նպատակով մենք ներկայացնում ենք ստացված հավասարումների համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

Օրինակ 5. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Այս գումարը մենք ինքնուրույն կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի` այս արտահայտության համարիչը հավասարեցնելով սկզբնական կոտորակի համարիչին: Արդյունքը պետք է լինի հետևյալ հավասարումների համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 6. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

Այս գումարով մենք կատարում ենք նույն գործողությունները, ինչպես նախորդ օրինակներում: Արդյունքը պետք է լինի հետևյալ հավասարումների համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 7. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Ստացված գումարի հետ որոշակի գործողություններից հետո պետք է ստացվի հավասարումների հետևյալ համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 8. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Եկեք որոշ փոփոխություններ կատարենք այն գործողություններում, որոնք արդեն հասցվել են ավտոմատացման՝ հավասարումների համակարգ ստանալու համար։ Կա արհեստական ​​տեխնիկա, որը որոշ դեպքերում օգնում է խուսափել ավելորդ հաշվարկներից։ Կոտորակների գումարը բերելով ընդհանուր հայտարարի, ստանում ենք և հավասարեցնելով այս արտահայտության համարիչը սկզբնական կոտորակի համարիչին՝ ստանում ենք.