Ինչպես գտնել անկյուն, եթե հայտնի է 2 աղեղ: Աղեղի երկարության որոշում

Շրջագիծկոչվում է փակ, հարթ կոր, որի բոլոր կետերը, ընկած լինելով նույն հարթության վրա, հանված են կենտրոնից նույն հեռավորության վրա։

Կետ ՄԱՍԻՆ շրջանագծի կենտրոնն է, Ռ շրջանագծի շառավիղն է՝ շրջանագծի ցանկացած կետից մինչև կենտրոն հեռավորությունը: Ըստ սահմանման՝ փակի բոլոր շառավիղները

բրինձ. 1

կորերն ունեն նույն երկարությունը։

Շրջանակի երկու կետերի միջև հեռավորությունը կոչվում է ակորդ: Շրջանակի այն հատվածը, որն անցնում է նրա կենտրոնով և միացնում նրա երկու կետերը, կոչվում է տրամագիծ: Տրամագծի միջնակետը շրջանագծի կենտրոնն է: Շրջանի վրա գտնվող կետերը փակ կորը բաժանում են երկու մասի, որոնցից յուրաքանչյուրը կոչվում է շրջանաձև աղեղ: Եթե ​​աղեղի ծայրերը պատկանում են տրամագծին, ապա այդպիսի շրջանագիծը կոչվում է կիսաշրջան, որի երկարությունը սովորաբար նշվում է. π . Ընդհանուր ծայրեր ունեցող երկու շրջանակների աստիճանի չափը 360 աստիճան է։

Համակենտրոն շրջանակներն այն շրջանակներն են, որոնք ունեն ընդհանուր կենտրոն: Ուղղանկյուն շրջանակները 90 աստիճան անկյան տակ հատվող շրջանակներն են։

Շրջանակով պարփակված հարթությունը կոչվում է շրջան։ Շրջանի մի մասը, որը սահմանափակված է երկու շառավղով և աղեղով, շրջանաձև հատված է։ Սեկտորային աղեղն այն աղեղն է, որը սահմանափակում է հատվածը:

Բրինձ. 2

Շրջանի և ուղիղ գծի հարաբերական դիրքը (նկ. 2):

Շրջանակը և ուղիղ գիծը ունեն երկու ընդհանուր կետ, եթե ուղիղ գծից մինչև շրջանագծի կենտրոն հեռավորությունը փոքր է շրջանագծի շառավղից: Այս դեպքում շրջանագծի նկատմամբ ուղիղ գիծը կոչվում է սեկանտ։

Շրջանակը և ուղիղ գիծը ունեն մեկ ընդհանուր կետ, եթե ուղիղ գծից մինչև շրջանագծի կենտրոն հեռավորությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին: Այս դեպքում շրջանագծի հետ կապված ուղիղը կոչվում է շրջանագծին շոշափող: Նրանց ընդհանուր կետը կոչվում է շրջանագծի և ուղիղի շոշափման կետ:

Շրջանակի հիմնական բանաձևերը.

• C = 2πR , Որտեղ Գ - շրջագիծ
• R = С/(2π) = D/2 , Որտեղ С/(2π) - շրջանագծի աղեղի երկարությունը
• D = C / π = 2R , Որտեղ Դ - տրամագիծը
• S = πR2 , Որտեղ Ս - շրջանագծի տարածքը
• S = ((πR2)/360) α , Որտեղ Ս - շրջանաձև հատվածի տարածքը

Շրջագիծը և շրջանագիծը ստացել են իրենց անվանումը Հին Հունաստանում: Արդեն հին ժամանակներում մարդկանց հետաքրքրում էին կլոր մարմինները, ուստի շրջանը դարձավ կատարելության պսակը: Անիվի հայտնագործման խթան հանդիսացավ այն փաստը, որ կլոր մարմինը կարող էր ինքնուրույն շարժվել։ Թվում է, թե ինչն է առանձնահատուկ այս գյուտի մեջ: Բայց պատկերացրեք, եթե մի ակնթարթում անիվները անհետանան մեր կյանքից։ Հետագայում այս գյուտը առաջացրեց շրջանագծի մաթեմատիկական հասկացությունը:

Շրջանակը, նրա մասերը, դրանց չափերն ու հարաբերությունները այնպիսի բաներ են, որոնց հետ անընդհատ հանդիպում է ոսկերիչը: Օղակներ, ապարանջաններ, կաստաներ, խողովակներ, գնդիկներ, պարույրներ - շատ կլոր իրեր պետք է պատրաստել: Ինչպե՞ս կարող ես հաշվարկել այս ամենը, հատկապես, եթե քեզ բախտ է վիճակվել բաց թողնել երկրաչափության դասերը դպրոցում:

Նախ նայենք, թե ինչ մասեր ունի շրջանագիծը և ինչպես են դրանք կոչվում:

• Շրջանակը գիծ է, որը պարփակում է շրջան։
• Աղեղը շրջանագծի մի մասն է։
• Շառավիղը շրջանագծի կենտրոնը շրջանագծի ցանկացած կետի հետ կապող հատված է:
• Ակորդը շրջանագծի երկու կետերը միացնող հատված է։
• Հատվածը շրջանագծի մի մասն է, որը սահմանափակված է ակորդով և աղեղով:
• Սեկտորը շրջանագծի մի մասն է, որը սահմանափակված է երկու շառավղով և աղեղով։

Մեզ հետաքրքրող քանակությունները և դրանց անվանումները.

Հիմա տեսնենք, թե շրջանագծի մասերի հետ կապված ինչ խնդիրներ պետք է լուծվեն։

• Գտեք մատանու (ապարանջանի) ցանկացած մասի զարգացման երկարությունը: Հաշվի առնելով տրամագիծը և ակորդը (տարբերակ՝ տրամագիծ և կենտրոնական անկյուն), գտե՛ք աղեղի երկարությունը։
• Ինքնաթիռի վրա կա գծանկար, որի չափը պետք է պարզել պրոյեկցիայի մեջ՝ այն աղեղի մեջ թեքելուց հետո։ Հաշվի առնելով աղեղի երկարությունը և տրամագիծը, գտե՛ք ակորդի երկարությունը:
• Պարզեք մասի բարձրությունը, որը ստացվում է հարթ աշխատանքային կտորը աղեղի մեջ թեքելով: Աղբյուրի տվյալների ընտրանքներ՝ աղեղի երկարություն և տրամագիծ, աղեղի երկարություն և ակորդ; գտնել հատվածի բարձրությունը.

Կյանքը ձեզ այլ օրինակներ կտա, բայց ես դրանք տվեցի միայն ցույց տալու համար, որ անհրաժեշտ է սահմանել երկու պարամետր՝ մնացած բոլորը գտնելու համար: Ահա թե ինչ ենք անելու։ Այսինքն՝ մենք կվերցնենք հատվածի հինգ պարամետր՝ D, L, X, φ և H։ Այնուհետև ընտրելով բոլոր հնարավոր զույգերը՝ կդիտարկենք դրանք որպես նախնական տվյալներ և մնացածը կգտնենք ուղեղային գրոհի միջոցով։

Ընթերցողին անտեղի չծանրաբեռնելու համար մանրամասն լուծումներ չեմ տա, այլ միայն արդյունքները կներկայացնեմ բանաձեւերի տեսքով (այն դեպքերը, երբ ֆորմալ լուծում չկա, կքննարկեմ ճանապարհին)։

Եվ ևս մեկ նշում՝ չափման միավորների մասին։ Բոլոր մեծությունները, բացի կենտրոնական անկյունից, չափվում են նույն վերացական միավորներով: Սա նշանակում է, որ եթե, օրինակ, դուք նշում եք մի արժեք միլիմետրերով, ապա մյուսը պետք չէ նշել սանտիմետրերով, և ստացված արժեքները չափվելու են նույն միլիմետրերով (և տարածքները քառակուսի միլիմետրերով): Նույնը կարելի է ասել դյույմների, ոտքերի և ծովային մղոնների համար:

Եվ միայն կենտրոնական անկյունը բոլոր դեպքերում չափվում է աստիճաններով և ուրիշ ոչինչ։ Քանի որ, որպես կանոն, մարդիկ, ովքեր նախագծում են ինչ-որ կլոր բան, հակված չեն անկյունները չափել ռադիաններով: «Անկյուն պի չորսով» արտահայտությունը շփոթեցնում է շատերին, մինչդեռ «քառասունհինգ աստիճանի անկյունը» հասկանալի է բոլորին, քանի որ այն նորմայից ընդամենը հինգ աստիճանով է բարձր։ Այնուամենայնիվ, բոլոր բանաձևերում կլինի ևս մեկ անկյուն՝ α- որպես միջանկյալ արժեք: Իմաստով սա կենտրոնական անկյան կեսն է, որը չափվում է ռադիաններով, բայց դուք կարող եք ապահով կերպով չխորանալ այս իմաստի մեջ:

1. Հաշվի առնելով D տրամագիծը և L աղեղի երկարությունը

; ակորդի երկարությունը ;
հատվածի բարձրությունը ; կենտրոնական անկյուն .

2. Տրվում է D տրամագիծը և ակորդի երկարությունը X

; աղեղի երկարությունը;
հատվածի բարձրությունը ; կենտրոնական անկյուն .

Քանի որ ակորդը շրջանագիծը բաժանում է երկու հատվածի, այս խնդիրը ոչ թե մեկ, այլ երկու լուծում ունի։ Երկրորդը ստանալու համար անհրաժեշտ է վերը նշված բանաձեւերում α անկյունը փոխարինել անկյան հետ:

3. Հաշվի առնելով D տրամագիծը և φ կենտրոնական անկյունը

; աղեղի երկարությունը;
ակորդի երկարությունը ; հատվածի բարձրությունը .

4. Հաշվի առնելով H հատվածի D տրամագիծը և բարձրությունը

; աղեղի երկարությունը;
ակորդի երկարությունը ; կենտրոնական անկյուն .

6. Տրված է աղեղի երկարությունը L և կենտրոնական անկյուն φ

; տրամագիծը;
ակորդի երկարությունը ; հատվածի բարձրությունը .

8. Հաշվի առնելով X ակորդի երկարությունը և φ կենտրոնական անկյունը

; աղեղի երկարությունը ;
տրամագիծը; հատվածի բարձրությունը .

9. Հաշվի առնելով X ակորդի երկարությունը և Հ հատվածի բարձրությունը

; աղեղի երկարությունը ;
տրամագիծը; կենտրոնական անկյուն .

10. Հաշվի առնելով φ կենտրոնական անկյունը և H հատվածի բարձրությունը

; տրամագիծը ;
աղեղի երկարությունը; ակորդի երկարությունը .

Ուշադիր ընթերցողը չէր կարող չնկատել, որ բաց եմ թողել երկու տարբերակ.

5. Տրված է աղեղի երկարությունը L և ակորդի երկարությունը X

7. Հաշվի առնելով L աղեղի երկարությունը և H հատվածի բարձրությունը

Սրանք ընդամենը այն երկու տհաճ դեպքերն են, երբ խնդիրը չունի լուծում, որը կարելի է գրել բանաձեւի տեսքով։ Իսկ առաջադրանքն այնքան էլ հազվադեպ չէ։ Օրինակ, դուք ունեք L երկարությամբ հարթ կտոր, և ցանկանում եք այն թեքել այնպես, որ երկարությունը դառնա X (կամ բարձրությունը՝ H): Ինչ տրամագծով պետք է վերցնեմ մանդրելը (խաչաձողը):

Այս խնդիրը հանգում է հավասարումների լուծմանը.
; - 5 տարբերակում
; - 7-րդ տարբերակում
և թեև դրանք չեն կարող լուծվել վերլուծական եղանակով, դրանք հեշտությամբ կարող են լուծվել ծրագրային եղանակով: Եվ ես նույնիսկ գիտեմ, թե որտեղից կարելի է նման ծրագիր ստանալ. հենց այս կայքում, անվան տակ: Նա անում է այն ամենը, ինչ ես երկար ասում եմ ձեզ այստեղ միկրովայրկյանների ընթացքում:

Պատկերը լրացնելու համար եկեք մեր հաշվարկների արդյունքներին ավելացնենք շրջագիծը և տարածքի երեք արժեքները՝ շրջան, հատված և հատված։ (Տարածքները մեզ շատ կօգնեն բոլոր կլոր և կիսաշրջանաձև մասերի զանգվածը հաշվարկելիս, բայց այս մասին ավելին առանձին հոդվածում:) Այս բոլոր քանակությունները հաշվարկվում են նույն բանաձևերով.

շրջապատ;
շրջանագծի տարածք ;
հատվածի տարածքը ;
հատվածի տարածքը ;

Եվ վերջում թույլ տվեք ևս մեկ անգամ հիշեցնել բացարձակապես անվճար ծրագրի գոյության մասին, որը կատարում է վերը նշված բոլոր հաշվարկները՝ ազատելով ձեզ հիշելու անհրաժեշտությունից, թե ինչ է արկտանգենտը և որտեղ փնտրել այն։

«Ստացեք A» տեսադասընթացը ներառում է բոլոր այն թեմաները, որոնք անհրաժեշտ են մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունը 60-65 միավորով հաջողությամբ հանձնելու համար: Մաթեմատիկայի պրոֆիլի միասնական պետական ​​քննության 1-13-րդ առաջադրանքները ամբողջությամբ։ Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական միասնական պետական ​​քննություն հանձնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք միասնական պետական ​​քննություն հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Պետական ​​միասնական քննության նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար։ Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 1-ին մասի (առաջին 12 խնդիրների) և 13-րդ (եռանկյունաչափության) առաջադրանքները լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ 100 բալանոց ուսանողը, ոչ հումանիտար առարկան առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Միասնական պետական ​​քննության արագ լուծումներ, ծուղակներ և գաղտնիքներ. FIPI Task Bank-ի 1-ին մասի բոլոր ընթացիկ առաջադրանքները վերլուծվել են: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է 2018 թվականի միասնական պետական ​​քննության պահանջներին։

Դասընթացը պարունակում է 5 մեծ թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներ. Բառի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող ալգորիթմներ խնդիրների լուծման համար: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, բոլոր տեսակի միասնական պետական ​​քննական առաջադրանքների վերլուծություն. Ստերեոմետրիա. Բարդ լուծումներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում: Եռանկյունաչափությունը զրոյից մինչև խնդիր 13. Հասկանալը` խճճվելու փոխարեն: Բարդ հասկացությունների հստակ բացատրություններ: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Պետական ​​միասնական քննության 2-րդ մասի բարդ խնդիրների լուծման հիմք.

Նկարի այն մասը, որը կազմում է շրջան, որի կետերը հավասար են, կոչվում է աղեղ: Եթե ​​շրջանագծի կենտրոնական կետից ճառագայթներ գծենք դեպի աղեղի ծայրերին համընկնող կետերը, կձևավորվի նրա կենտրոնական անկյունը։

Աղեղի երկարության որոշում

Արտադրվում է հետևյալ բանաձևի համաձայն.

որտեղ L-ը աղեղի ցանկալի երկարությունն է, π = 3,14, r-ը շրջանագծի շառավիղն է, α-ն կենտրոնական անկյունն է:

Լ

3.14 x 10 x 85

14,82

Պատասխան.

Շրջանակի աղեղի երկարությունը 14,82 սանտիմետր է։

Տարրական երկրաչափության մեջ աղեղը հասկացվում է որպես շրջանագծի ենթաբազմություն, որը գտնվում է դրա վրա գտնվող երկու կետերի միջև: Գործնականում լուծել խնդիրները սահմանումնրան երկարությունըինժեներները և ճարտարապետները ստիպված են դա անել բավականին հաճախ, քանի որ այս երկրաչափական տարրը լայնորեն տարածված է դիզայնի լայն տեսականիով:

Թերևս առաջինը, ով բախվեց այս խնդրին, հնագույն ճարտարապետներն էին, ովքեր այս կամ այն ​​կերպ պետք է որոշեին այս պարամետրը կամարների կառուցման համար, որոնք լայնորեն օգտագործվում էին կլոր, բազմանկյուն կամ էլիպսաձև շենքերի հենարանների միջև բացերը ծածկելու համար: Եթե ​​ուշադիր նայեք հին հունական, հին հռոմեական և հատկապես արաբական ճարտարապետության գլուխգործոցներին, որոնք պահպանվել են մինչ օրս, ապա կնկատեք, որ կամարներն ու կամարները չափազանց տարածված են իրենց ձևավորումներում: Ժամանակակից ճարտարապետների ստեղծագործություններն այնքան էլ հարուստ չեն դրանցով, բայց այդ երկրաչափական տարրերը, իհարկե, առկա են դրանցում։

Երկարությունբազմազան աղեղպետք է հաշվարկվի ճանապարհների և երկաթգծերի, ինչպես նաև ավտոմոբիլային ուղիների կառուցման ժամանակ, և շատ դեպքերում երթևեկության անվտանգությունը մեծապես կախված է հաշվարկների ճիշտությունից և ճշգրտությունից: Փաստն այն է, որ մայրուղիների շատ ոլորաններ, երկրաչափական տեսանկյունից, ճշգրիտ կամարներ են, և դրանց երկայնքով շարժվելիս տարբեր ֆիզիկական ուժեր են գործում տրանսպորտային միջոցների վրա: Դրանց արդյունքի պարամետրերը մեծապես որոշվում են աղեղի երկարությամբ, ինչպես նաև նրա կենտրոնական անկյունով և շառավղով:

Մեքենաների և մեխանիզմների նախագծողները պետք է հաշվարկեն տարբեր աղեղների երկարությունները՝ տարբեր միավորների բաղադրիչների ճիշտ և ճշգրիտ դասավորության համար: Այս դեպքում հաշվարկների սխալները հղի են նրանով, որ կարևոր և կարևոր մասերը սխալ կգործեն միմյանց հետ, և մեխանիզմը պարզապես չի կարողանա գործել այնպես, ինչպես նախատեսում են դրա ստեղծողները: Կառուցվածքների օրինակները, որոնք հագեցած են երկրաչափական տարրերով, ինչպիսիք են աղեղները, ներառում են ներքին այրման շարժիչներ, փոխանցումատուփեր, փայտի և մետաղամշակման սարքավորումներ, մեքենաների և բեռնատարների մարմնի մասեր և այլն:

կամարներԴրանք բավականին տարածված են բժշկության մեջ, մասնավորապես՝ ստոմատոլոգիայում։ Օրինակ՝ դրանք օգտագործվում են անսարքությունները շտկելու համար։ Ուղղիչ տարրերը, որոնք կոչվում են բրեկետներ (կամ բրեկետային համակարգեր) և ունեն համապատասխան ձև, պատրաստված են հատուկ համաձուլվածքներից և տեղադրվում են այնպես, որ փոխում են ատամների դիրքը։ Անշուշտ պետք է ասել, որ որպեսզի բուժումը հաջող լինի, այդ աղեղները պետք է շատ ճշգրիտ հաշվարկվեն։ Բացի այդ, կամարները շատ լայնորեն օգտագործվում են վնասվածքաբանության մեջ, և, հավանաբար, դրա ամենավառ օրինակը հայտնի Իլիզարովի ապարատն է, որը հորինել է ռուս բժիշկը 1951 թվականին և չափազանց հաջողությամբ օգտագործվում է մինչ օրս: Դրա անբաժանելի մասերը մետաղական կամարներ են՝ հագեցած անցքերով, որոնց միջով անցնում են հատուկ տրիկոտաժե ասեղներ, և որոնք ամբողջ կառուցվածքի հիմնական հենարաններն են։

Խնդիր 10 (OGE - 2015)

O կենտրոն ունեցող շրջանագծի վրա A և B կետերը նշված են այնպես, որ ∠ AOB = 18°: AB փոքր աղեղի երկարությունը 5 է: Գտե՛ք շրջանագծի ավելի մեծ աղեղի երկարությունը:

Լուծում

∠ AOB = 18 °: Ամբողջ շրջանակը 360° է։ Հետևաբար ∠ AOB-ը շրջանագծի 18/360 = 1/20 է:

Սա նշանակում է, որ փոքր AB աղեղը ամբողջ շրջանագծի 1/20-ն է, ուստի ավելի մեծ աղեղը մնացածն է, այսինքն. 19/20 շրջագիծ:

Շրջանակի 1/20-ը համապատասխանում է 5 աղեղի երկարությանը: Այնուհետև ավելի մեծ աղեղի երկարությունը 5 * 19 = 95 է:

Խնդիր 10 (OGE - 2015)

O կենտրոն ունեցող շրջանագծի վրա A և B կետերը նշված են այնպես, որ ∠ AOB = 40°: AB փոքր աղեղի երկարությունը 50 է: Գտե՛ք շրջանագծի ավելի մեծ աղեղի երկարությունը:

Լուծում

∠ AOB = 40 °: Ամբողջ շրջանակը 360° է։ Հետևաբար ∠ AOB-ը 40/360 = շրջանագծի 1/9 է։

Սա նշանակում է, որ փոքր AB աղեղը ամբողջ շրջանագծի 1/9-ն է, ուստի ավելի մեծ աղեղը մնացածն է, այսինքն. 8/9 շրջան.

Շրջանակի 1/9-ը համապատասխանում է 50 աղեղի երկարությանը: Այնուհետև ավելի մեծ աղեղի երկարությունը 50*8 = 400 է:

Պատասխան՝ 400։

Առաջադրանք 10 (GIA - 2014 թ.)

Շրջանակի ակորդի երկարությունը 72 է, իսկ շրջանագծի կենտրոնից այս ակորդը հեռավորությունը 27 է։ Գտե՛ք շրջանագծի տրամագիծը։

Լուծում

Օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը՝ AOB ուղղանկյուն եռանկյունից ստանում ենք.

AO 2 = OB 2 +AB 2,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Այնուհետեւ տրամագիծը 2R = 2 * 45 = 90 է:

Առաջադրանք 10 (GIA - 2014 թ.)

O կետն այն շրջանագծի կենտրոնն է, որի վրա ընկած են A, B և C կետերը: Հայտնի է, որ ∠ABC = 134° և ∠OAB = 75°: Գտեք BCO անկյունը:Տվեք ձեր պատասխանը աստիճաններով: