Ինչպես չափել քառակուսի եռանդամը գծային գործակիցների: Ֆակտորինգի բազմանդամների օրինակներ. Ընդհանուր գործոնի փակագծում

Բերված է ֆակտորինգի բազմանդամների 8 օրինակ։ Դրանք ներառում են քառակուսի և երկքառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ, փոխադարձ բազմանդամների օրինակներ և երրորդ և չորրորդ աստիճանի բազմանդամների ամբողջ թվային արմատներ գտնելու օրինակներ։

Բովանդակություն

Տես նաև. Բազմանդամների ֆակտորինգի մեթոդներ
Քառակուսային հավասարման արմատները
Խորանարդային հավասարումների լուծում

1. Քառակուսային հավասարման լուծման օրինակներ

Օրինակ 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Մենք հանում ենք x 2 փակագծերից դուրս.
.
2 + x - 6 = 0:
.
Հավասարման արմատները.
, .

.

Օրինակ 1.2

Գործոնային երրորդ աստիճանի բազմանդամը.
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Փակագծերից հանենք x-ը.
.
x քառակուսային հավասարման լուծում 2 + 6 x + 9 = 0:
Դրա տարբերակիչ.
Քանի որ դիսկրիմինանտը զրո է, ապա հավասարման արմատները բազմապատիկ են.
.

Դրանից մենք ստանում ենք բազմանդամի գործոնայնացումը.
.

Օրինակ 1.3

Գործոնավորեք հինգերորդ աստիճանի բազմանդամը.
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Մենք հանում ենք x 3 փակագծերից դուրս.
.
x քառակուսային հավասարման լուծում 2 - 2 x + 10 = 0.
Դրա տարբերակիչ.
Քանի որ դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, հավասարման արմատները բարդ են.
, .

Բազմանանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.

Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է իրական գործակիցներով ֆակտորիզացիան, ապա.
.

Բանաձևերի միջոցով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ

Երկ քառակուսի բազմանդամների օրինակներ

Օրինակ 2.1

Գործոնավորեք երկքառակուսի բազմանդամը.
x 4 + x 2 - 20.

Եկեք կիրառենք բանաձևերը.
ա 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ա 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Օրինակ 2.2

Գործոնավորեք այն բազմանդամը, որը վերածվում է երկքառակորդի.
x 8 + x 4 + 1.

Եկեք կիրառենք բանաձևերը.
ա 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ա 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Օրինակ 2.3 կրկնվող բազմանդամով

Գործոնավորեք փոխադարձ բազմանդամը.
.

Փոխադարձ բազմանդամն ունի կենտ աստիճան: Հետևաբար այն ունի արմատ x = - 1 . Բազմանդամը բաժանեք x-ի(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

Կատարենք փոխարինում.

Ամբողջ թվային արմատներով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ
.

Օրինակ 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Գործոնավորեք բազմանդամը.;
Ենթադրենք, որ հավասարումը;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Այսպիսով, մենք գտանք երեք արմատ.
.

, x

Ամբողջ թվային արմատներով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ
.

Օրինակ 3.1

ունի առնվազն մեկ ամբողջական արմատ: Այնուհետև այն թվի բաժանարար է 2 (անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը.
-2, -1, 1, 2 .
Մենք հերթով փոխարինում ենք այս արժեքները.
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ արմատ.
x 1 = -1 .
Բազմանդամը բաժանեք x - x-ի 1 = x - (-1) = x + 1:


Հետո,
.

Այժմ մենք պետք է լուծենք երրորդ աստիճանի հավասարումը.
.
Եթե ​​ենթադրենք, որ այս հավասարումն ունի ամբողջ թվային արմատ, ապա այն թվի բաժանարար է 2 (անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը.
1, 2, -1, -2 .
Փոխարինենք x = -1 :
.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ այլ արմատ x 2 = -1 .
.

Հնարավոր կլիներ, ինչպես նախորդ դեպքում, բազմանդամը բաժանել , բայց մենք կխմբավորենք տերմինները.

Ֆակտորիզացնելու համար անհրաժեշտ է պարզեցնել արտահայտությունները։ Սա անհրաժեշտ է, որպեսզի այն հետագայում կրճատվի: Բազմանանդամի ընդլայնումն իմաստ ունի, երբ նրա աստիճանը երկուսից ցածր չէ։ Առաջին աստիճանով բազմանդամը կոչվում է գծային: Հոդվածը կներառի տարրալուծման բոլոր հասկացությունները,տեսական հիմքերը

և բազմանդամի գործակցման մեթոդները:

Տեսություն

Թեորեմ 1

Երբ n աստիճան ունեցող ցանկացած բազմանդամ, որն ունի P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձև: . . + a 1 x + a 0, ներկայացված են որպես կայուն գործակից ունեցող արտադրյալ՝ ամենաբարձր աստիճանով a n և n գծային գործակիցներով (x - x i), i = 1, 2, ..., n, ապա P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , որտեղ x i, i = 1, 2, …, n բազմանդամի արմատներն են:

Թեորեմը նախատեսված է x i, i = 1, 2, …, n բարդ տիպի արմատների համար և a k, k = 0, 1, 2, …, n բարդ գործակիցների համար: Սա ցանկացած տարրալուծման հիմքն է։ Երբ a k, k = 0, 1, 2, …, n ձևի գործակիցներն ենիրական թվեր

, ապա բարդ արմատներ, որոնք առաջանալու են զուգակցված զույգերով։ Օրինակ՝ x 1 և x 2 արմատները կապված են P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամի հետ: . . + a 1 x + a 0 համարվում են բարդ խոնարհված, ապա մյուս արմատները իրական են, որոնցից ստանում ենք, որ բազմանդամը ստանում է P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) ձևը: . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, որտեղ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Մեկնաբանություն

Բազմանդամի արմատները կարող են կրկնվել։ Դիտարկենք հանրահաշվի թեորեմի ապացույցը՝ Բեզուտի թեորեմի հետևանք։

Հանրահաշվի հիմնարար թեորեմ

Թեորեմ 2

n աստիճան ունեցող ցանկացած բազմանդամն ունի առնվազն մեկ արմատ:

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամը բաժանելուց հետո: . . + a 1 x + a 0 on (x - s), ապա ստանում ենք մնացորդը, որը հավասար է s կետի բազմանդամին, ապա ստանում ենք.

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , որտեղ Q n - 1 (x) բազմանդամ է n - 1 աստիճանով:

Բեզութի թեորեմի հետևություն

Երբ P n (x) բազմանդամի արմատը համարվում է s, ապա P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ։ . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Այս եզրակացությունը բավարար է, երբ օգտագործվում է լուծումը նկարագրելու համար:

Քառակուսային եռանկյունի ֆակտորինգ

a x 2 + b x + c ձևի քառակուսի եռանկյունը կարող է ֆակտորիզացվել գծային գործակիցների: ապա մենք ստանում ենք, որ a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , որտեղ x 1 և x 2 արմատներ են (բարդ կամ իրական):

Այստեղից պարզ է դառնում, որ ընդլայնումն ինքնին վերածվում է լուծման քառակուսի հավասարումհետագայում։

Օրինակ 1

Գործոնավորեք քառակուսի եռանկյունը:

Լուծում

Անհրաժեշտ է գտնել 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 հավասարման արմատները: Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել տարբերակիչի արժեքը՝ օգտագործելով բանաձևը, այնուհետև մենք ստանում ենք D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9: Այստեղից մենք ունենք դա

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Դրանից մենք ստանում ենք, որ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1:

Ստուգումն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է բացել փակագծերը։ Այնուհետև մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություն.

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Ստուգելուց հետո մենք հասնում ենք սկզբնական արտահայտությանը. Այսինքն՝ կարելի է եզրակացնել, որ քայքայումը ճիշտ է կատարվել։

Օրինակ 2

Գործոնավորեք 3 x 2 - 7 x - 11 ձևի քառակուսի եռանկյունը:

Լուծում

Մենք գտնում ենք, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 ձևի քառակուսի հավասարումը:

Արմատները գտնելու համար անհրաժեշտ է որոշել դիսկրիմինանտի արժեքը: Մենք դա հասկանում ենք

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Դրանից մենք ստանում ենք, որ 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6:

Օրինակ 3

Գործոնավորեք 2 x 2 + 1 բազմանդամը:

Լուծում

Այժմ մենք պետք է լուծենք քառակուսի հավասարումը 2 x 2 + 1 = 0 և գտնենք դրա արմատները: Մենք դա հասկանում ենք

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Այս արմատները կոչվում են բարդ զուգակցված, ինչը նշանակում է, որ ընդլայնումն ինքնին կարող է պատկերվել որպես 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i:

Օրինակ 4

Քանդի՛ր x 2 + 1 3 x + 1 քառակուսի եռանկյունը:

Լուծում

Նախ պետք է լուծել x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը և գտնել դրա արմատները:

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Արմատները ձեռք բերելով՝ գրում ենք

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

, ապա բարդ արմատներ, որոնք առաջանալու են զուգակցված զույգերով։ Օրինակ՝ x 1 և x 2 արմատները կապված են P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամի հետ: . . + a 1 x + a 0 համարվում են բարդ խոնարհված, ապա մյուս արմատները իրական են, որոնցից ստանում ենք, որ բազմանդամը ստանում է P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) ձևը: . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, որտեղ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Եթե ​​տարբերակիչ արժեքը բացասական է, ապա բազմանդամները կմնան երկրորդ կարգի բազմանդամներ: Այստեղից հետևում է, որ մենք դրանք չենք ընդլայնելու գծային գործոնների մեջ։

Երկուսից բարձր աստիճանի բազմանդամի գործակցման մեթոդներ

Քայքայվելիս ենթադրվում է ունիվերսալ մեթոդ։ Բոլոր դեպքերի մեծ մասը հիմնված է Բեզութի թեորեմի հետևանքի վրա: Դա անելու համար հարկավոր է ընտրել x 1 արմատի արժեքը և նվազեցնել դրա աստիճանը՝ բազմանդամի վրա 1-ի բաժանելով՝ բաժանելով (x - x 1-ի): Ստացված բազմանդամը պետք է գտնի x 2 արմատը, և որոնման գործընթացը ցիկլային է, քանի դեռ չենք ստացել ամբողջական ընդլայնում:

Եթե ​​արմատը չի հայտնաբերվել, ապա օգտագործվում են ֆակտորացման այլ մեթոդներ՝ խմբավորում, լրացուցիչ տերմիններ։ Այս թեմանլուծում է հավասարումների հետ ավելի բարձր աստիճաններև ամբողջ թվերի գործակիցները:

Ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ ազատ անդամը հավասար է զրոյի, ապա բազմանդամի ձևը դառնում է P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ։ . . + a 1 x.

Երևում է, որ նման բազմանդամի արմատը հավասար կլինի x 1 = 0, ապա բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + արտահայտություն: . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Համարվում է, որ այս մեթոդը ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանում է:

Օրինակ 5

Երրորդ աստիճանի բազմանդամի գործակիցը 4 x 3 + 8 x 2 - x:

Լուծում

Տեսնում ենք, որ x 1 = 0 տրված բազմանդամի արմատն է, ապա կարող ենք ամբողջ արտահայտության փակագծերից հանել x-ը։ Մենք ստանում ենք.

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Անցնենք քառակուսի եռանկյունի 4 x 2 + 8 x - 1 արմատները գտնելուն։ Գտնենք տարբերակիչն ու արմատները.

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Այնուհետեւ հետեւում է, որ

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Սկսենք, եկեք հաշվի առնենք տարրալուծման մեթոդը, որը պարունակում է P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի ամբողջ թվային գործակիցներ: . . + a 1 x + a 0, որտեղ ամենաբարձր աստիճանի գործակիցը 1 է:

Երբ բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք համարվում են ազատ անդամի բաժանարարներ։

Օրինակ 6

Քայքայել f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 արտահայտությունը:

Լուծում

Եկեք դիտարկենք, թե արդյոք կան ամբողջական արմատներ: Պետք է գրել 18 թվի բաժանարարները։ Մենք ստանում ենք, որ ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18: Հետևում է, որ այս բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ։ Դուք կարող եք ստուգել՝ օգտագործելով Horner-ի սխեման: Այն շատ հարմար է և թույլ է տալիս արագորեն ստանալ բազմանդամի ընդլայնման գործակիցները.

Հետևում է, որ x = 2 և x = - 3 սկզբնական բազմանդամի արմատներն են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես ձևի արտադրյալ.

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Մենք անցնում ենք x 2 + 2 x + 3 ձևի քառակուսի եռանկյունի ընդլայնմանը:

Քանի որ դիսկրիմինանտը բացասական է, նշանակում է իրական արմատներՈչ

Պատասխան. f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

, ապա բարդ արմատներ, որոնք առաջանալու են զուգակցված զույգերով։ Օրինակ՝ x 1 և x 2 արմատները կապված են P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամի հետ: . . + a 1 x + a 0 համարվում են բարդ խոնարհված, ապա մյուս արմատները իրական են, որոնցից ստանում ենք, որ բազմանդամը ստանում է P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) ձևը: . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, որտեղ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Հորների սխեմայի փոխարեն թույլատրվում է օգտագործել արմատային ընտրություն և բազմանդամի բաժանում բազմանդամի վրա։ Անցնենք P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի ամբողջ թվային գործակիցներ պարունակող բազմանդամի ընդլայնման դիտարկմանը։ . . + a 1 x + a 0, որոնցից ամենաբարձրը հավասար է մեկի:

Այս դեպքը տեղի է ունենում ռացիոնալ կոտորակների համար:

Օրինակ 7

Գործոնացնել f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15:

Լուծում

Անհրաժեշտ է փոխարինել y = 2 x փոփոխականը, պետք է անցնել 1-ին հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի ամենաբարձր աստիճանով։ Պետք է սկսել արտահայտությունը 4-ով բազմապատկելով: Մենք դա հասկանում ենք

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Երբ g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ձևի ստացված ֆունկցիան ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանց գտնվելու վայրը ազատ անդամի բաժանարարների մեջ է։ Մուտքը կունենա հետևյալ տեսքը.

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Անցնենք այս կետերում g (y) ֆունկցիայի հաշվարկին, որպեսզի արդյունքում ստանանք զրո։ Մենք դա հասկանում ենք

գ (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 գ (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 գ (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 գ (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 գ (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 գ (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 գ (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 գ (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 գ (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 գ (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Մենք գտնում ենք, որ y = - 5-ը y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ձևի հավասարման արմատն է, ինչը նշանակում է, որ x = y 2 = - 5 2 սկզբնական ֆունկցիայի արմատն է։

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 սյունակով բաժանել x + 5 2-ի:

Լուծում

Եկեք գրենք և ստանանք.

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Բաժանարարների ստուգումը շատ ժամանակ կխլի, ուստի ավելի ձեռնտու է ֆակտորիզացնել x 2 + 7 x + 3 ձևի արդյունքում ստացված քառակուսի եռանկյունը: Հավասարեցնելով զրոյի մենք գտնում ենք դիսկրիմինատորը:

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Դրանից բխում է

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Բազմանդամի ֆակտորինգի արհեստական ​​տեխնիկա

Ռացիոնալ արմատները բնորոշ չեն բոլոր բազմանդամներին: Դա անելու համար դուք պետք է օգտագործեք հատուկ մեթոդներ՝ գործոններ գտնելու համար: Բայց ոչ բոլոր բազմանդամները կարող են ընդարձակվել կամ ներկայացվել որպես արտադրյալ։

Խմբավորման մեթոդ

Լինում են դեպքեր, երբ կարելի է բազմանդամի տերմինները խմբավորել ընդհանուր գործակից գտնելու և փակագծերից դուրս դնելու համար։

Օրինակ 9

Բազմանդամը գործակցեք x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2:

Լուծում

Քանի որ գործակիցները ամբողջ թվեր են, ուրեմն արմատները ենթադրաբար կարող են լինել նաև ամբողջ թվեր։ Ստուգելու համար վերցրեք 1, - 1, 2 և - 2 արժեքները, որպեսզի հաշվարկեք բազմանդամի արժեքը այս կետերում: Մենք դա հասկանում ենք

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Սա ցույց է տալիս, որ արմատներ չկան, անհրաժեշտ է օգտագործել ընդլայնման և լուծման այլ եղանակ.

Անհրաժեշտ է խմբավորել.

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Սկզբնական բազմանդամը խմբավորելուց հետո անհրաժեշտ է այն ներկայացնել որպես երկու քառակուսի եռանդամի արտադրյալ։ Դա անելու համար մենք պետք է ֆակտորիզացնենք: մենք դա ստանում ենք

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

, ապա բարդ արմատներ, որոնք առաջանալու են զուգակցված զույգերով։ Օրինակ՝ x 1 և x 2 արմատները կապված են P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամի հետ: . . + a 1 x + a 0 համարվում են բարդ խոնարհված, ապա մյուս արմատները իրական են, որոնցից ստանում ենք, որ բազմանդամը ստանում է P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) ձևը: . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, որտեղ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Խմբավորման պարզությունը չի նշանակում, որ տերմիններ ընտրելը բավական հեշտ է: Չկա լուծման կոնկրետ մեթոդ, ուստի անհրաժեշտ է օգտագործել հատուկ թեորեմներ և կանոններ։

Օրինակ 10

Բազմանդամը գործակցեք x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2:

Լուծում

Տրված բազմանդամը չունի ամբողջ թվային արմատներ։ Պայմանները պետք է խմբավորվեն: Մենք դա հասկանում ենք

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Ֆակտորիզացիայից հետո մենք ստանում ենք դա

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը և Նյուտոնի երկանդամը՝ բազմանդամը գործոնավորելու համար

Արտաքին տեսքը հաճախ միշտ չէ, որ պարզ է դարձնում, թե որ մեթոդը պետք է օգտագործվի տարրալուծման ժամանակ: Փոխակերպումները կատարելուց հետո դուք կարող եք կառուցել մի գիծ, ​​որը բաղկացած է Պասկալի եռանկյունից, հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են Նյուտոնի երկանդամ:

Օրինակ 11

Բազմանդամի չափաբաժինը x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2:

Լուծում

Անհրաժեշտ է արտահայտությունը վերածել ձևի

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Փակագծերում տրված գումարի գործակիցների հաջորդականությունը նշվում է x + 1 4 արտահայտությամբ:

Սա նշանակում է, որ մենք ունենք x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3:

Քառակուսիների տարբերությունը կիրառելուց հետո ստանում ենք

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Դիտարկենք այն արտահայտությունը, որը գտնվում է երկրորդ փակագծում։ Պարզ է, որ այնտեղ ասպետներ չկան, ուստի պետք է նորից կիրառել քառակուսիների տարբերությունը։ Մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություն

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Օրինակ 12

Factorize x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Լուծում

Եկեք սկսենք վերափոխել արտահայտությունը. Մենք դա հասկանում ենք

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Անհրաժեշտ է կիրառել խորանարդների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձեւը. Մենք ստանում ենք.

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Բազմանդամի ֆակտորինգի ժամանակ փոփոխականը փոխարինելու մեթոդ

Փոփոխականը փոխարինելիս աստիճանը կրճատվում է և բազմանդամը գործակցվում է։

Օրինակ 13

Գործոնավորեք x 6 + 5 x 3 + 6 ձևի բազմանդամը:

Լուծում

Ըստ պայմանի՝ պարզ է, որ անհրաժեշտ է կատարել փոխարինում y = x 3։ Մենք ստանում ենք.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Ստացված քառակուսային հավասարման արմատներն են y = - 2 և y = - 3, ապա

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Անհրաժեշտ է կիրառել խորանարդների գումարի կրճատ բազմապատկման բանաձեւը. Մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություններ.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Այսինքն՝ ստացանք ցանկալի տարրալուծումը։

Վերևում քննարկված դեպքերը կօգնեն բազմանդամը տարբեր ձևերով դիտարկել և գործակցել:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես չափավորել քառակուսի եռանկյունները գծային գործակիցների: Դա անելու համար մենք պետք է հիշենք Վիետայի թեորեմը և դրա հակառակը: Այս հմտությունը կօգնի մեզ արագ և հարմար կերպով ընդլայնել քառակուսի եռանկյունները գծային գործակիցների, ինչպես նաև կհեշտացնի արտահայտություններից բաղկացած կոտորակների կրճատումը:

Այսպիսով, եկեք վերադառնանք քառակուսի հավասարմանը, որտեղ .

Այն, ինչ մենք ունենք ձախ կողմում, կոչվում է քառակուսի եռանկյուն:

Թեորեմը ճշմարիտ է.Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա ինքնությունը հաստատուն է

Որտեղ է առաջատար գործակիցը, հավասարման արմատներն են:

Այսպիսով, մենք ունենք քառակուսի հավասարում` քառակուսի եռանկյուն, որտեղ քառակուսի հավասարման արմատները կոչվում են նաև քառակուսի եռանդամի արմատներ: Հետևաբար, եթե մենք ունենք քառակուսի եռանդամի արմատներ, ապա այս եռանկյունը կարող է քայքայվել գծային գործոնների։

Ապացույց:

Այս փաստի ապացույցն իրականացվում է Վիետայի թեորեմի միջոցով, որը մենք քննարկել ենք նախորդ դասերում:

Հիշենք, թե ինչ է մեզ ասում Վիետայի թեորեմը.

Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, որոնց համար , ապա .

Այս թեորեմից հետևում է հետևյալ պնդումը.

Մենք տեսնում ենք, որ Վիետայի թեորեմի համաձայն, այսինքն՝ փոխարինելով այս արժեքները վերը նշված բանաձևով, մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Ք.Ե.Դ.

Հիշեցնենք, որ մենք ապացուցեցինք այն թեորեմը, որ եթե քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա ընդլայնումը վավեր է:

Այժմ հիշենք քառակուսի հավասարման օրինակ, որի վրա մենք ընտրել ենք արմատներ՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը։ Այս փաստից մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ հավասարությունը՝ շնորհիվ ապացուցված թեորեմի.

Այժմ ստուգենք այս փաստի ճիշտությունը՝ պարզապես բացելով փակագծերը.

Մենք տեսնում ենք, որ մենք ճիշտ ենք ֆակտորել, և ցանկացած եռանկյուն, եթե ունի արմատներ, այս թեորեմի համաձայն կարող է ֆակտորիզացվել գծային գործակիցների՝ ըստ բանաձևի.

Այնուամենայնիվ, եկեք ստուգենք, թե արդյոք նման ֆակտորիզացիան հնարավոր է որևէ հավասարման համար.

Վերցրեք, օրինակ, հավասարումը. Նախ, եկեք ստուգենք տարբերակիչ նշանը

Եվ մենք հիշում ենք, որ մեր սովորած թեորեմը կատարելու համար D-ն պետք է լինի 0-ից մեծ, ուստի այս դեպքում ֆակտորիզացիան ըստ մեր սովորած թեորեմի անհնար է։

Հետևաբար ձևակերպում ենք նոր թեորեմ՝ եթե քառակուսի եռանկյունը արմատներ չունի, ապա այն չի կարող քայքայվել գծային գործոնների։

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք Վիետայի թեորեմը՝ քառակուսի եռանկյունը գծային գործոնների տարրալուծելու հնարավորությունը, և այժմ կլուծենք մի քանի խնդիր։

Առաջադրանք թիվ 1

Այս խմբում մենք իրականում կլուծենք խնդիրը առաջադրվածին հակառակ: Մենք ունեինք հավասարում, և մենք գտանք դրա արմատները՝ գործակցելով այն: Այստեղ մենք կանենք հակառակը. Ենթադրենք, մենք ունենք քառակուսի հավասարման արմատներ

Հակադարձ խնդիրը սա է՝ գրեք քառակուսի հավասարում, օգտագործելով դրա արմատները:

Այս խնդիրը լուծելու 2 եղանակ կա.

Քանի որ հավասարման արմատներն են, ուրեմն քառակուսի հավասարում է, որի արմատներին տրված են թվեր: Այժմ բացենք փակագծերը և ստուգենք.

Սա առաջին ձևն էր, որով մենք ստեղծեցինք քառակուսի հավասարում տրված արմատներով, որը չունի այլ արմատներ, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում ունի առավելագույնը երկու արմատ:

Այս մեթոդը ներառում է օգտագործումը փոխադարձ թեորեմՎիետա.

Եթե ​​հավասարման արմատներն են, ապա դրանք բավարարում են այն պայմանին, որ .

Կրճատված քառակուսի հավասարման համար , , այսինքն այս դեպքում և .

Այսպիսով, մենք ստեղծել ենք քառակուսի հավասարում, որն ունի տրված արմատները։

Առաջադրանք թիվ 2

Հարկավոր է կրճատել ֆրակցիան։

Մենք ունենք եռանկյուն համարիչում և եռանդամ՝ հայտարարում, և եռանդամները կարող են գործոնացվել կամ չգործել: Եթե ​​և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը գործակցված են, ապա դրանց մեջ կարող են լինել հավասար գործոններ, որոնք կարող են կրճատվել։

Նախևառաջ պետք է գործոն դնել համարիչը:

Նախ, դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք այս հավասարումը կարող է ֆակտորիզացվել, եկեք գտնենք տարբերակիչը: Քանի որ , նշանը կախված է արտադրանքից (պետք է լինի 0-ից պակաս), այս օրինակում, այսինքն. տրված հավասարումըարմատներ ունի.

Լուծելու համար մենք օգտագործում ենք Վիետայի թեորեմը.

Այս դեպքում, քանի որ գործ ունենք արմատների հետ, բավական դժվար կլինի պարզապես արմատներ ընտրել։ Բայց մենք տեսնում ենք, որ գործակիցները հավասարակշռված են, այսինքն՝ եթե ենթադրենք, որ , և այս արժեքը փոխարինենք հավասարման մեջ, կստանանք հետևյալ համակարգը՝ 5-5=0։ Այսպիսով, մենք ընտրել ենք այս քառակուսի հավասարման արմատներից մեկը։

Մենք կփնտրենք երկրորդ արմատը՝ փոխարինելով այն, ինչ արդեն հայտնի է հավասարումների համակարգում, օրինակ՝ , այսինքն. .

Այսպիսով, մենք գտել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները և կարող ենք դրանց արժեքները փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ՝ այն գործոնավորելու համար.

Եկեք հիշենք սկզբնական խնդիրը, մեզ անհրաժեշտ էր կրճատել կոտորակը:

Փորձենք խնդիրը լուծել՝ փոխարինելով:

Պետք է չմոռանալ, որ այս դեպքում հայտարարը չի կարող հավասար լինել 0-ի, այսինքն՝ .

Եթե ​​այս պայմանները բավարարված են, ապա մենք կրճատել ենք սկզբնական կոտորակը մինչև ձևը:

Խնդիր թիվ 3 (առաջադրանք պարամետրով)

Պարամետրի ինչ արժեքներով է քառակուսի հավասարման արմատների գումարը

Եթե ​​արմատները տրված հավասարումըգոյություն ունենալ, ուրեմն , հարց՝ երբ.

Այն քառակուսի է և բաղկացած է երեք անդամից (): Այսպիսով, ստացվում է` քառակուսի եռանկյուն:

Օրինակներ Ոչքառակուսի եռանկյուններ.

\(x^3-3x^2-5x+6\) - խորանարդ քառանդամ
\(2x+1\) - գծային երկանդամ

Եռյակի քառակուսի արմատը.

Օրինակ՝
\(x^2-2x+1\) եռանդամն ունի \(1\) արմատ, քանի որ \(1^2-2 1+1=0\)
\(x^2+2x-3\) եռանդամն ունի \(1\) և \(-3\) արմատներ, քանի որ \(1^2+2-3=0\) և \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

Օրինակ՝եթե պետք է \(x^2-2x+1\) քառակուսի եռանդամի արմատներ գտնել, այն հավասարեցնում ենք զրոյի և լուծում ենք \(x^2-2x+1=0\) հավասարումը:

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Պատրաստ. Արմատը \(1\) է։

Քառակուսային եռանդամի տարրալուծումը հետևյալի.

Քառակուսի եռանկյունը \(ax^2+bx+c\) կարող է ընդլայնվել որպես \(a(x-x_1)(x-x_2)\), եթե \(ax^2+bx+c=0\) հավասարումները. զրոյից մեծ \ (x_1\) և \(x_2\) նույն հավասարման արմատներն են:

Օրինակ, դիտարկենք \(3x^2+13x-10\) եռանկյունը։
Քառակուսային հավասարումը \(3x^2+13x-10=0\) ունի 289-ի (զրոյից մեծ) դիսկրիմինանտ և \(-5\) և \(\frac(2)(3)\) հավասար արմատներ: . Հետեւաբար \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\): Հեշտ է ստուգել այս հայտարարության ճիշտությունը. եթե մենք , ապա մենք կստանանք սկզբնական եռանկյունը:

\(ax^2+bx+c\) քառակուսի եռանկյունը կարող է ներկայացվել որպես \(a(x-x_1)^2\), եթե \(ax^2+bx+c=0\) հավասարման դիսկրիմինանտը հավասար է. զրո:

Օրինակ, դիտարկենք \(x^2+6x+9\) եռանկյունը։
Քառակուսային հավասարումը \(x^2+6x+9=0\) ունի դիսկրիմինանտ, որը հավասար է \(0\)-ին և եզակի արմատը հավասար է \(-3\-ին): Սա նշանակում է \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (այստեղ գործակիցը \(a=1\ է), ուստի փակագծից առաջ գրված չէ. կարիք չկա)։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նույն փոխակերպումը կարող է կատարվել .

Քառակուսի եռանկյունը \(ax^2+bx+c\) չի գործոնացվում, եթե \(ax^2+bx+c=0\) հավասարման դիսկրիմինանտը փոքր է զրոյից։

Օրինակ, \(x^2+x+4\) և \(-5x^2+2x-1\) եռանկյունները ունեն զրոյից փոքր դիսկրիմինանտ։ Հետեւաբար, անհնար է դրանք գործոն դնել։

Օրինակ . Գործակից \(2x^2-11x+12\):
Լուծում :
Գտնենք \(2x^2-11x+12=0\) քառակուսի հավասարման արմատները.

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Այսպիսով, \(2x^2-11x+12=2(x-1.5)(x-4)\)
Պատասխանել : \(2(x-1.5)(x-4)\)

Ստացված պատասխանը կարող է գրվել այլ կերպ՝ \((2x-3)(x-4)\):

Օրինակ . (Հանձնարարություն OGE-ից)Քառակուսի եռանկյունը գործակցվում է \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\): Գտեք \(a\):
Լուծում:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1.6)\)
Պատասխանել : \(-1,6\)