Ամենափոքր աստիճանով էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծման մեթոդ. Էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարումներ. Ինչ է էքսպոնենցիալ ֆունկցիան

Այս դասում մենք կդիտարկենք տարբեր էքսպոնենցիալ անհավասարություններ և կսովորենք, թե ինչպես լուծել դրանք՝ հիմնվելով ամենապարզ էքսպոնենցիալ անհավասարումների լուծման տեխնիկայի վրա։

1. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանումը և հատկությունները

Հիշենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանումը և հիմնական հատկությունները։ Բոլոր էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծումը հիմնված է այս հատկությունների վրա:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաձևի ֆունկցիան է, որտեղ հիմքը աստիճանն է, իսկ այստեղ x-ը՝ անկախ փոփոխականը, արգումենտը; y-ը կախյալ փոփոխականն է, ֆունկցիան:

Բրինձ. 1. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Գրաֆիկը ցույց է տալիս աճող և նվազող ցուցիչներ՝ ցույց տալով էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիան համապատասխանաբար մեկից մեծ և մեկից փոքր, բայց զրոյից մեծ հիմքով:

Երկու կորերն էլ անցնում են կետով (0;1)

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները:

Շրջանակ՝ ;

Արժեքների միջակայք.

Ֆունկցիան միապաղաղ է, աճում է հետ, նվազում հետ:

Միապաղաղ ֆունկցիան վերցնում է իր յուրաքանչյուր արժեք՝ հաշվի առնելով մեկ փաստարկի արժեքը:

Երբ արգումենտը մեծանում է մինուսից մինչև գումարած անվերջություն, ֆունկցիան զրոյից ներառյալ ավելանում է մինչև գումարած անվերջություն, այսինքն՝ փաստարկի տրված արժեքների համար մենք ունենք միապաղաղ աճող ֆունկցիա (): Ընդհակառակը, երբ արգումենտը մեծանում է մինուսից մինչև գումարած անվերջություն, ֆունկցիան անսահմանությունից նվազում է մինչև զրո ներառական, այսինքն՝ փաստարկի տրված արժեքների համար մենք ունենք միապաղաղ նվազող ֆունկցիա ():

2. Ամենապարզ էքսպոնենցիալ անհավասարությունները, լուծման եղանակը, օրինակ

Ելնելով վերը նշվածից՝ ներկայացնում ենք պարզ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծման մեթոդ.

Անհավասարությունների լուծման մեթոդիկա.

Հավասարեցնել աստիճանների հիմքերը;

Համեմատեք ցուցիչները՝ պահպանելով կամ փոխելով անհավասարության նշանը հակառակ նշանի:

Բարդ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծումը սովորաբար բաղկացած է դրանք ամենապարզ էքսպոնենցիալ անհավասարություններին հասցնելուց:

Աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, ինչը նշանակում է, որ անհավասարության նշանը պահպանված է.

Եկեք փոխակերպվենք աջ կողմըըստ աստիճանի հատկությունների.

Աստիճանի հիմքը մեկից փոքր է, անհավասարության նշանը պետք է հակադարձվի.

Քառակուսային անհավասարությունը լուծելու համար լուծում ենք համապատասխան քառակուսային հավասարումը.

Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը՝ մենք գտնում ենք արմատները.

Պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր։

Այսպիսով, մենք ունենք անհավասարության լուծում.

Հեշտ է կռահել, որ աջ կողմը կարող է ներկայացվել որպես զրոյական ցուցիչ ունեցող ուժ.

Աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, անհավասարության նշանը չի փոխվում, ստանում ենք.

Հիշենք նման անհավասարությունների լուծման տեխնիկան։

Դիտարկենք կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան.

Մենք գտնում ենք սահմանման տիրույթը.

Գտեք ֆունկցիայի արմատները.

Ֆունկցիան ունի մեկ արմատ,

Մենք ընտրում ենք հաստատուն նշանի միջակայքերը և յուրաքանչյուր ինտերվալի վրա որոշում ենք ֆունկցիայի նշանները.

Բրինձ. 2. Նշանի կայունության միջակայքերը

Այսպիսով, ստացանք պատասխանը.

Պատասխան.

3. Ստանդարտ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծում

Դիտարկենք անհավասարությունները նույն ցուցանիշները, բայց տարբեր պատճառներով։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկություններից մեկն այն է, որ այն ընդունում է խիստ դրական արժեքներ փաստարկի ցանկացած արժեքի համար, ինչը նշանակում է, որ այն կարելի է բաժանել էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի: Տրված անհավասարությունը բաժանենք աջ կողմի վրա.

Աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, անհավասարության նշանը պահպանված է։

Եկեք պատկերացնենք լուծումը.

Նկար 6.3-ում ներկայացված են ֆունկցիաների գրաֆիկները և . Ակնհայտ է, որ երբ արգումենտը զրոյից մեծ է, ֆունկցիայի գրաֆիկն ավելի բարձր է, այս ֆունկցիան ավելի մեծ է։ Երբ արգումենտի արժեքները բացասական են, ֆունկցիան իջնում ​​է ավելի ցածր, այն ավելի փոքր է: Եթե ​​արգումենտը հավասար է, ֆունկցիաները հավասար են, ինչը նշանակում է, որ այս կետը նույնպես տրված անհավասարության լուծումն է։

Բրինձ. 3. Նկարազարդում օրինակ 4

Տրված անհավասարությունը փոխակերպենք ըստ աստիճանի հատկությունների.

Ահա մի քանի նմանատիպ տերմիններ.

Եկեք երկու մասերը բաժանենք.

Այժմ մենք շարունակում ենք լուծել օրինակ 4-ի նման, երկու մասերը բաժանեք հետևյալի.

Աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, անհավասարության նշանը մնում է.

4. Էքսպոնենցիալ անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում

Օրինակ 6 - Գրաֆիկորեն լուծեք անհավասարությունը.

Դիտարկենք ձախ և աջ կողմերի ֆունկցիաները և դրանցից յուրաքանչյուրի համար կառուցենք գրաֆիկ։

Ֆունկցիան էքսպոնենցիալ է և մեծանում է իր ամբողջ սահմանման տիրույթում, այսինքն՝ փաստարկի բոլոր իրական արժեքների համար:

Ֆունկցիան գծային է և նվազում է իր ամբողջ սահմանման տիրույթում, այսինքն՝ փաստարկի բոլոր իրական արժեքների համար:

Եթե ​​այս ֆունկցիաները հատվում են, այսինքն՝ համակարգն ունի լուծում, ապա նման լուծումը եզակի է և կարելի է հեշտությամբ կռահել։ Դա անելու համար մենք կրկնում ենք ամբողջ թվերի վրա ()

Հեշտ է տեսնել, որ այս համակարգի արմատը հետևյալն է.

Այսպիսով, ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են մեկին հավասար արգումենտով մի կետում։

Հիմա մենք պետք է պատասխան ստանանք։ Տրված անհավասարության իմաստն այն է, որ ցուցիչը պետք է լինի մեծ կամ հավասար գծային ֆունկցիա, այսինքն՝ ավելի բարձր լինել կամ դրա հետ համընկնել։ Պատասխանն ակնհայտ է. (Նկար 6.4)

Բրինձ. 4. Նկարազարդում օրինակ 6

Այսպիսով, մենք նայեցինք տարբեր ստանդարտ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծմանը: Այնուհետև մենք անցնում ենք ավելի բարդ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների դիտարկմանը:

Հղումներ

Մորդկովիչ Ա.Գ. Հանրահաշիվ և սկզբունքներ մաթեմատիկական վերլուծություն. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: - Մ.: Բաստարդ: Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու. - Մ.: Լուսավորություն:

մաթ. մդ. Մաթեմատիկա-կրկնություն. com. Դիֆուր. քեմսու. ru.

Տնային աշխատանք

1. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը, 10-11 դասարաններ (Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին) 1990 թ., թիվ 472, 473;

2. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

3. Լուծի՛ր անհավասարությունը։

Շատերը կարծում են, որ էքսպոնենցիոնալ անհավասարությունները բարդ և անհասկանալի բան են: Եվ որ դրանք լուծել սովորելը գրեթե մեծ արվեստ է, որը միայն ընտրյալներն են կարողանում ընկալել...

Կատարյալ անհեթեթություն! Էքսպոնենցիալ անհավասարությունները հեշտ են: Եվ դրանք միշտ լուծվում են պարզ. Դե, գրեթե միշտ :)

Այսօր մենք կանդրադառնանք այս թեմային ներսից և դրսից: Այս դասը շատ օգտակար կլինի նրանց համար, ովքեր նոր են սկսում հասկանալ դպրոցական մաթեմատիկայի այս բաժինը: Սկսենք նրանից պարզ առաջադրանքներև մենք կանցնենք ավելի բարդ հարցերի: Այսօր դժվար աշխատանք չի լինի, բայց այն, ինչ դուք պատրաստվում եք կարդալ, բավական կլինի լուծելու բոլոր տեսակի թեստերի և թեստերի անհավասարությունների մեծ մասը: ինքնուրույն աշխատանք. Եվ ձեր այս քննության վրա նույնպես։

Ինչպես միշտ, եկեք սկսենք սահմանումից. Էքսպոնենցիալ անհավասարություն ցանկացած անհավասարություն է, որը պարունակում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։ Այլ կերպ ասած, այն միշտ կարող է կրճատվել ձևի անհավասարության

\[((a)^(x)) \gt b\]

Որտեղ $b$-ի դերը կարող է լինել սովորական թիվ, կամ գուցե ավելի կոշտ բան: Օրինակներ. Այո, խնդրում եմ:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((2)^(x)) \gt 4;\քառակուսի ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ քառակուսի ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\քառակուսի ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Կարծում եմ՝ իմաստը պարզ է՝ կա էքսպոնենցիալ ֆունկցիա$((a)^(x))$, այն համեմատվում է ինչ-որ բանի հետ, այնուհետև խնդրում են գտնել $x$: Հատկապես կլինիկական դեպքերում, $x$ փոփոխականի փոխարեն, նրանք կարող են տեղադրել $f\left(x \right)$ ինչ-որ ֆունկցիա և դրանով իսկ մի փոքր բարդացնել անհավասարությունը :)

Իհարկե, որոշ դեպքերում անհավասարությունը կարող է ավելի խիստ թվալ։ Ահա, օրինակ.

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Կամ նույնիսկ սա.

Ընդհանուր առմամբ, նման անհավասարությունների բարդությունը կարող է շատ տարբեր լինել, բայց ի վերջո դրանք դեռևս կրճատվում են մինչև $((a)^(x)) \gt b$ պարզ կառուցվածքը։ Եվ մենք ինչ-որ կերպ կպարզենք նման կառուցումը (հատկապես կլինիկական դեպքերում, երբ մտքին ոչինչ չի գալիս, լոգարիթմները մեզ կօգնեն): Հետեւաբար, հիմա մենք կսովորեցնենք, թե ինչպես լուծել նման պարզ կոնստրուկցիաները։

Պարզ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծում

Դիտարկենք մի շատ պարզ բան. Օրինակ՝ սա.

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Ակնհայտ է, որ աջ կողմում գտնվող թիվը կարող է վերագրվել որպես երկուի ուժ՝ $4=((2)^(2))$: Այսպիսով, սկզբնական անհավասարությունը կարող է վերաշարադրվել շատ հարմար ձևով.

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Եվ հիմա իմ ձեռքերը քոր են գալիս, որպեսզի «խաչեմ» երկուսն ուժերի հիմքերում՝ $x \gt 2$ պատասխանը ստանալու համար։ Բայց նախքան որևէ բան հատելը, եկեք հիշենք երկուսի ուժերը.

\[((2)^(1))=2;\քառակուսի ((2)^(2))=4;\քառակուսի ((2)^(3))=8; 4))=16;...\]

Ինչպես տեսնում ենք, քան ավելի մեծ թիվցուցիչում է, այնքան մեծ է ելքային թիվը: «Շնորհակալություն, գլխարկ»: - կբացականչի ուսանողներից մեկը. Տարբերվո՞ւմ է: Ցավոք, դա տեղի է ունենում: Օրինակ՝

\[((\left(\frac(1)(2) \աջ))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ աջ))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\ ձախ (\frac(1)(2) \աջ))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Այստեղ նույնպես ամեն ինչ տրամաբանական է. որքան մեծ է աստիճանը, այնքան 0,5 թիվը բազմապատկվում է ինքն իրենով (այսինքն՝ կիսով չափ բաժանված): Այսպիսով, ստացված թվերի հաջորդականությունը նվազում է, և առաջին և երկրորդ հաջորդականության միջև տարբերությունը միայն հիմքում է.

• Եթե ​​$a \gt աստիճանի հիմքը 1$ է, ապա $n$ ցուցիչի մեծանալով $((a)^(n))$ թիվը նույնպես կավելանա.
• Եվ հակառակը, եթե $0 \lt a \lt 1$, ապա երբ $n$ ցուցիչը մեծանա, $((a)^(n))$ թիվը կնվազի։

Ամփոփելով այս փաստերը՝ մենք ստանում ենք ամենակարևոր պնդումը, որի վրա հիմնված է էքսպոնենցիալ անհավասարությունների ամբողջ լուծումը.

Եթե ​​$a \gt 1$, ապա $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ անհավասարությունը համարժեք է $x \gt n$ անհավասարությանը։ Եթե ​​$0 \lt a \lt 1$, ապա $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ անհավասարությունը համարժեք է $x \lt n$ անհավասարությանը:

Այլ կերպ ասած, եթե հիմքը մեկից մեծ է, կարող եք պարզապես հեռացնել այն - անհավասարության նշանը չի փոխվի: Իսկ եթե հիմքը մեկից պակաս է, ապա այն նույնպես կարելի է հեռացնել, բայց միևնույն ժամանակ ստիպված կլինեք փոխել անհավասարության նշանը։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք չենք դիտարկել $a=1$ և $a\le 0$ տարբերակները: Որովհետեւ այս դեպքերում անորոշություն է առաջանում։ Եկեք ասենք, թե ինչպես լուծել $((1)^(x)) \gt 3$ ձևի անհավասարությունը: Մեկը ցանկացած ուժի էլի մեկին կտա. մենք երբեք չենք ստանա երեք կամ ավելի: Նրանք. լուծումներ չկան.

Բացասական պատճառներով ամեն ինչ ավելի հետաքրքիր է։ Դիտարկենք, օրինակ, այս անհավասարությունը.

\[((\ձախ(-2 \աջ))^(x)) \gt 4\]

Առաջին հայացքից ամեն ինչ պարզ է.

Ճի՞շտ է: Բայց ոչ։ Բավական է $x$-ի փոխարեն փոխարինել մի քանի զույգ և մի քանի կենտ թվեր, որպեսզի համոզվեք, որ լուծումը սխալ է։ Նայեք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x=4\Աջ սլաք ((\ձախ(-2 \աջ))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Աջ սլաք ((\ձախ(-2 \աջ))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Աջ սլաք ((\ձախ(-2 \աջ))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Աջ սլաք ((\ձախ(-2 \աջ))^(7))=-128 \lt 4. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, նշանները փոխարինվում են: Բայց կան նաև կոտորակային ուժեր և այլ անհեթեթություններ։ Ինչպե՞ս, օրինակ, կհրամայեիք հաշվարկել $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (մինուս երկուսը յոթի ուժին): Ոչ մի կերպ:

Հետևաբար, որոշակիության համար մենք ենթադրում ենք, որ բոլոր էքսպոնենցիալ անհավասարություններում (և, ի դեպ, նաև հավասարումներում) $1\ne a \gt 0$։ Եվ հետո ամեն ինչ լուծվում է շատ պարզ.

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt n\չորս \ձախ (a \gt 1 \աջ), \\ & x \lt n\ quad \ ձախ (0 \lt a \lt 1 \աջ): \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Ընդհանուր առմամբ, նորից հիշեք հիմնական կանոնը. եթե էքսպոնենցիալ հավասարման հիմքը մեկից մեծ է, կարող եք պարզապես հեռացնել այն. իսկ եթե հիմքը մեկից փոքր է, այն նույնպես կարելի է հեռացնել, բայց անհավասարության նշանը կփոխվի։

Լուծումների օրինակներ

Այսպիսով, եկեք նայենք մի քանի պարզ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջնային խնդիրը բոլոր դեպքերում նույնն է՝ անհավասարությունները կրճատել $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ամենապարզ ձևի: Սա հենց այն է, ինչ մենք հիմա կանենք յուրաքանչյուր անհավասարության հետ, և միևնույն ժամանակ կկրկնենք հզորությունների և էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների հատկությունները։ Այսպիսով, եկեք գնանք:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ի՞նչ կարող ես անել այստեղ: Դե, ձախ կողմում մենք արդեն ունենք ցուցիչ արտահայտություն՝ ոչինչ պետք չէ փոխել։ Բայց աջ կողմում կա ինչ-որ հիմար. կոտորակ, և նույնիսկ արմատը հայտարարի մեջ:

Այնուամենայնիվ, հիշենք կոտորակների և հզորությունների հետ աշխատելու կանոնները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ի՞նչ է դա նշանակում։ Նախ՝ մենք հեշտությամբ կարող ենք ազատվել կոտորակից՝ այն վերածելով բացասական ցուցիչ ունեցող հզորության։ Եվ երկրորդը, քանի որ հայտարարն ունի արմատ, լավ կլիներ այն վերածել հզորության՝ այս անգամ կոտորակային ցուցիչով։

Կիրառեք այս գործողությունները հաջորդաբար անհավասարության աջ կողմում և տեսեք, թե ինչ է տեղի ունենում.

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \աջ))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \աջ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \աջ)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Մի մոռացեք, որ աստիճանը բարձրացնելիս այս աստիճանների ցուցիչները գումարվում են: Եվ ընդհանրապես, էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների հետ աշխատելիս բացարձակապես անհրաժեշտ է իմանալ հզորությունների հետ աշխատելու առնվազն ամենապարզ կանոնները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \աջ))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Փաստորեն, մենք պարզապես կիրառեցինք վերջին կանոնը. Հետևաբար, մեր սկզբնական անհավասարությունը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ ֆրակ(1)(3)))\]

Այժմ մենք ազատվում ենք հիմքում գտնվող երկուսից: Քանի որ 2 > 1, անհավասարության նշանը կմնա նույնը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x-1\le -\frac(1)(3)\Աջ սլաք x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \աջ]: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Սա է լուծումը: Հիմնական դժվարությունը ամենևին էլ էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի մեջ չէ, այլ բնօրինակ արտահայտության իրավասու վերափոխման մեջ. անհրաժեշտ է ուշադիր և արագ հասցնել այն ամենապարզ ձևին:

Դիտարկենք երկրորդ անհավասարությունը.

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Այո, այո։ Տասնորդական կոտորակները մեզ սպասում են այստեղ։ Ինչպես ես բազմիցս ասել եմ, ուժ ունեցող ցանկացած արտահայտությունում պետք է ազատվել տասնորդական թվերից. սա հաճախ արագ և պարզ լուծում տեսնելու միակ միջոցն է: Այստեղ մենք կազատվենք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\ ձախ(\frac(1)(10) \ աջ))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Աջ սլաք ((\ ձախ(\frac(1)(10) \աջ))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \աջ))^(2)). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այստեղ կրկին ունենք ամենապարզ անհավասարությունը, և նույնիսկ 1/10 հիմքով, այսինքն. մեկից պակաս: Դե, մենք հանում ենք հիմքերը՝ միաժամանակ նշանը «պակաս»-ից «ավելի» փոխելով և ստանում ենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ստացանք վերջնական պատասխանը՝ $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. պատասխանը ճշգրիտ հավաքածու է, և ոչ մի դեպքում $x \lt -1$ ձևի կառուցում: Որովհետև ֆորմալ առումով նման կառուցումն ամենևին էլ բազմություն չէ, այլ անհավասարություն $x$ փոփոխականի նկատմամբ։ Այո, դա շատ պարզ է, բայց դա պատասխան չէ:

Կարևոր նշում. Այս անհավասարությունը կարող է լուծվել մեկ այլ եղանակով՝ երկու կողմերին իջեցնելով մեկից մեծ բազա ունեցող հզորության: Նայեք.

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Աջ սլաք ((\ ձախ((10)^(-1)) \աջ))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \աջ))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \աջ))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Նման փոխակերպումից հետո մենք կրկին կստանանք էքսպոնենցիալ անհավասարություն, բայց 10 > 1 հիմքով: Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք պարզապես հատել տասը. անհավասարության նշանը չի փոխվի: Մենք ստանում ենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & -1\cdot \left(1-x \աջ) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, պատասխանը նույնն էր. Միևնույն ժամանակ մենք մեզ փրկեցինք նշանը փոխելու և ընդհանրապես ցանկացած կանոն հիշելու անհրաժեշտությունից:

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Այնուամենայնիվ, թույլ մի տվեք, որ սա ձեզ վախեցնի: Անկախ նրանից, թե ինչ կա ցուցանիշներում, անհավասարության լուծման տեխնոլոգիան ինքնին մնում է նույնը։ Հետևաբար, նախ նկատենք, որ 16 = 2 4: Վերաշարադրենք սկզբնական անհավասարությունը՝ հաշվի առնելով այս փաստը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ուռա՜ Մենք ստացանք սովորականը քառակուսային անհավասարություն! Նշանը ոչ մի տեղ չի փոխվել, քանի որ հիմքը երկու է՝ մեկից մեծ թիվ։

Թվային տողի վրա ֆունկցիայի զրոները

Մենք դասավորում ենք $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ ֆունկցիայի նշանները - ակնհայտորեն, դրա գրաֆիկը կլինի պարաբոլա՝ ճյուղերով վերև, ուստի կլինեն «պլյուսներ» » կողմերի վրա: Մեզ հետաքրքրում է այն տարածաշրջանը, որտեղ ֆունկցիան զրոյից փոքր է, այսինքն. $x\in \left(2;5 \right)$-ը սկզբնական խնդրի պատասխանն է:

Ի վերջո, հաշվի առեք ևս մեկ անհավասարություն.

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Կրկին մենք տեսնում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիա՝ հիմքում տասնորդական կոտորակով: Այս կոտորակը փոխարկենք ընդհանուր կոտորակի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Աջ սլաք \\ & \Աջ սլաք ((0 ,2) )^(1+((x)^(2)))=((\ձախ(((5)^(-1)) \աջ))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \աջ)))\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այս դեպքում մենք օգտագործեցինք ավելի վաղ տրված դիտողությունը. մենք հիմքը կրճատեցինք մինչև 5 > 1 թիվը, որպեսզի պարզեցնենք մեր հետագա լուծումը: Եկեք նույնն անենք աջ կողմի հետ.

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \աջ))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ ճիշտ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Եկեք վերագրենք սկզբնական անհավասարությունը՝ հաշվի առնելով երկու փոխակերպումները.

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Աջ սլաք ((5)^(-1\cdot \ձախ(1+ ((x)^(2)) \ճիշտ)))\ge ((5)^(-2))\]

Երկու կողմերի հիմքերը նույնն են և գերազանցում են մեկը: Աջ և ձախ այլ տերմիններ չկան, ուստի մենք պարզապես «հատում ենք» հինգերը և ստանում ենք շատ պարզ արտահայտություն.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \աջ)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\քառյակ \ձախ| \cdot \left(-1 \աջ) \աջ. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այստեղ է, որ պետք է ավելի զգույշ լինել։ Շատ ուսանողներ սիրում են պարզապես հանել քառակուսի արմատանհավասարության երկու կողմերից և գրեք $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$-ի նման մի բան: Ոչ մի դեպքում չպետք է դա անեք, քանի որ ճշգրիտ քառակուսու արմատը մոդուլ, և ոչ մի դեպքում բնօրինակ փոփոխականը.

\[\sqrt(((x)^(2)))=\ձախ| x\աջ|\]

Այնուամենայնիվ, մոդուլների հետ աշխատելը ամենահաճելի փորձը չէ, չէ՞: Այսպիսով, մենք չենք աշխատի: Փոխարենը, մենք պարզապես տեղափոխում ենք բոլոր տերմինները դեպի ձախ և լուծում ենք սովորական անհավասարությունը՝ օգտագործելով միջակայքի մեթոդը.

$\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \ձախ (x-1 \աջ)\ձախ (x+1 \աջ)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\քառակուսի ((x)_(2)) =-1; \\\վերջ (հավասարեցնել)$

Մենք կրկին նշում ենք ստացված կետերը թվային տողի վրա և նայում նշաններին.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. կետերը ստվերված են

Քանի որ մենք լուծում էինք ոչ խիստ անհավասարություն, գրաֆիկի բոլոր կետերը ստվերված են: Հետևաբար, պատասխանը կլինի. $x\in \left[ -1;1 \right]$-ը ոչ թե միջակայք է, այլ հատված։

Ընդհանուր առմամբ, ուզում եմ նշել, որ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների մեջ բարդ բան չկա։ Բոլոր փոխակերպումների իմաստը, որոնք մենք այսօր կատարեցինք, հանգում է մի պարզ ալգորիթմի.

• Գտեք այն հիմքը, որով մենք կնվազեցնենք բոլոր աստիճանները.
• Զգուշորեն կատարեք փոխակերպումները $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ձևի անհավասարություն ստանալու համար։ Իհարկե, $x$ և $n$ փոփոխականների փոխարեն կարող են շատ ավելին լինել բարդ գործառույթներ, բայց իմաստը չի փոխվի;
• Անջատեք աստիճանների հիմքերը: Այս դեպքում անհավասարության նշանը կարող է փոխվել, եթե հիմքը $a \lt 1$ է:

Փաստորեն, սա ունիվերսալ ալգորիթմ է բոլոր նման անհավասարությունները լուծելու համար։ Եվ մնացած ամեն ինչ, որ նրանք ձեզ կասեն այս թեմայի վերաբերյալ, պարզապես հատուկ տեխնիկա և հնարքներ են, որոնք կպարզեցնեն և կարագացնեն փոխակերպումը: Այս տեխնիկաներից մեկի մասին հիմա կխոսենք :)

Ռացիոնալացման մեթոդ

Դիտարկենք անհավասարությունների ևս մեկ շարք.

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \աջ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\ ձախ (\frac(1)(3) \աջ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \աջ)) ^ (16-x)); \\ & ((\ ձախ (3-2 \ sqrt (2) \աջ)) ^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, ինչն է այդքան առանձնահատուկ նրանց մեջ: Նրանք թեթև են: Չնայած, կանգ առե՛ք։ Արդյո՞ք π թիվը բարձրացված է որոշակի հզորության: Ի՞նչ անհեթեթություն:

Ինչպե՞ս բարձրացնել $2\sqrt(3)-3$ թիվը մինչև հզորություն: Կամ $3-2\sqrt(2)$? Խնդիր գրողները, ակնհայտորեն, շատ են խմել Ալոճենու նախքան աշխատանքի գնալը:)

Իրականում այս առաջադրանքների մեջ ոչ մի սարսափելի բան չկա: Հիշեցնեմ՝ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան $((a)^(x))$ ձևի արտահայտությունն է, որտեղ $a$ հիմքը ցանկացած դրական թիվ է, բացի մեկից։ π թիվը դրական է - մենք դա արդեն գիտենք: $2\sqrt(3)-3$ և $3-2\sqrt(2)$ թվերը նույնպես դրական են. սա հեշտ է տեսնել, եթե դրանք համեմատեք զրոյի հետ:

Ստացվում է, որ այս բոլոր «սահմռկեցուցիչ» անհավասարությունները լուծվո՞ւմ են վերը քննարկված պարզներից։ Եվ արդյո՞ք դրանք նույն կերպ են լուծվում։ Այո, դա միանգամայն ճիշտ է: Այնուամենայնիվ, օգտագործելով նրանց օրինակը, ես կցանկանայի դիտարկել մեկ տեխնիկա, որը մեծապես խնայում է ժամանակը անկախ աշխատանքի և քննությունների վրա: Մենք կխոսենք ռացիոնալացման մեթոդի մասին: Այսպիսով, ուշադրություն.

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ձևի ցանկացած էքսպոնենցիալ անհավասարություն համարժեք է $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) անհավասարությանը: ճիշտ) \gt 0 $.

Սա է ամբողջ մեթոդը :) Մտածում էիք, որ այլ խաղ կլինի: Ոչինչ նման! Բայց այս պարզ փաստը, որը գրված է բառացիորեն մեկ տողով, մեծապես կպարզեցնի մեր աշխատանքը։ Նայեք.

\[\սկիզբ(մատրիցան) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \Ներքև \\ \ձախ (x+7-\ձախ ((x)^(2)) -3x+2 \աջ) \աջ)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\ end (matrix)\]

Այսպիսով, այլևս էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ չկան: Եվ պետք չէ հիշել՝ նշանը փոխվում է, թե ոչ։ Բայց առաջանում է նոր խնդիրի՞նչ անել կատաղած բազմապատկիչի հետ \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \աջ)\]: Մենք չգիտենք, թե որն է π թվի ճշգրիտ արժեքը: Այնուամենայնիվ, կապիտանը կարծես ակնարկում է ակնհայտը.

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\մոտ 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Ընդհանրապես, π-ի ճշգրիտ արժեքը մեզ իրականում չի վերաբերում. մեզ համար միայն կարևոր է հասկանալ, որ ամեն դեպքում $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. սա դրական հաստատուն է, և մենք կարող ենք դրա վրա բաժանել անհավասարության երկու կողմերը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ(x+7-\ձախ(((x)^(2))-3x+2 \աջ) \աջ)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\քառյակ \ձախ| \cdot \left(-1 \աջ) \աջ. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \ձախ (x-5 \աջ)\ձախ (x+1 \աջ) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, որոշակի պահին մենք պետք է բաժանեինք մինուս մեկի, և անհավասարության նշանը փոխվեց։ Վերջում ես ընդլայնեցի քառակուսի եռանկյունը՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը - ակնհայտ է, որ արմատները հավասար են $((x)_(1))=5$-ի և $((x)_(2))=-1$-ի: . Այնուհետև ամեն ինչ լուծվում է դասական միջակայքի մեթոդով.

Անհավասարության լուծում ինտերվալ մեթոդով

Բոլոր կետերը հանվում են, քանի որ սկզբնական անհավասարությունը խիստ է: Մեզ հետաքրքրում է բացասական արժեքներով տարածաշրջանը, ուստի պատասխանը $x\in \left(-1;5 \right)$ է։ Սա է լուծումը:

Անցնենք հաջորդ խնդրին.

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \աջ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Այստեղ ամեն ինչ ընդհանուր առմամբ պարզ է, քանի որ աջ կողմում կա միավոր: Եվ մենք հիշում ենք, որ մեկը զրոյական հզորության բարձրացված ցանկացած թիվ է: Նույնիսկ եթե այս թիվը ձախ կողմում հիմքում ընկած իռացիոնալ արտահայտություն է.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (2\sqrt(3)-3 \աջ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\ձախ(2) \sqrt(3)-3 \աջ))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \աջ))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \աջ)) ^ (0)); \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, եկեք հիմնավորենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (((x)^(2))-2x-0 \աջ)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \աջ) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Մնում է միայն պարզել նշանները: $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ գործակիցը չի պարունակում $x$ փոփոխականը, այն ուղղակի հաստատուն է, և մենք պետք է պարզենք դրա նշանը։ Դա անելու համար նշեք հետևյալը.

\[\ սկիզբ (մատրիցան) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Ներքև \\ 2\ ձախ (\sqrt(3)-2 \աջ) \lt 2\cdot \left(2) -2 \աջ)=0 \\\վերջ (մատրիցան)\]

Ստացվում է, որ երկրորդ գործոնը պարզապես հաստատուն չէ, այլ բացասական հաստատուն։ Իսկ դրա վրա բաժանելիս սկզբնական անհավասարության նշանը փոխվում է հակառակի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (((x)^(2))-2x-0 \աջ)\cdot 2\ ձախ (\sqrt(3)-2 \աջ) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\ ձախ (x-2 \աջ) \gt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ ամեն ինչ լիովին ակնհայտ է դառնում։ Արմատներ քառակուսի եռանկյուն, կանգնած է աջ կողմում՝ $((x)_(1))=0$ և $((x)_(2))=2$։ Մենք դրանք նշում ենք թվային տողի վրա և դիտում ենք $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ ֆունկցիայի նշանները:

Այն դեպքը, երբ մեզ հետաքրքրում են կողմնակի միջակայքերը

Մեզ հետաքրքրում են գումարած նշանով նշված միջակայքերը։ Մնում է միայն գրել պատասխանը.

Անցնենք հաջորդ օրինակին.

\[((\left(\frac(1)(3) \աջ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ ճիշտ))^(16-x))\]

Դե, այստեղ ամեն ինչ լիովին ակնհայտ է. հիմքերը պարունակում են նույն թվի հզորություններ։ Ուստի ամեն ինչ հակիրճ կգրեմ.

\[\սկիզբ(մատրիցան) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Ներքև \\ ((\ձախ((3)^(-1)) \աջ))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\ ձախ (((3)^(-2)) \աջ))^(16-x)) \\\վերջ (մատրիցան)\]

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \աջ))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ձախ (16-x \աջ))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \աջ) \աջ)\cdot \left(3-1 \աջ) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\քառյակ \ձախ| \cdot \left(-1 \աջ) \աջ. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \ձախ (x+8 \աջ)\ձախ (x-4 \աջ) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, վերափոխման գործընթացում մենք ստիպված էինք բազմապատկել բացասական թիվ, ուրեմն փոխվել է անհավասարության նշանը։ Հենց վերջում ես կրկին կիրառեցի Վիետայի թեորեմը քառակուսի եռանդամի գործոնավորման համար։ Արդյունքում պատասխանը կլինի հետևյալը՝ $x\in \left(-8;4 \right)$ - յուրաքանչյուրը կարող է դա հաստատել՝ գծելով թվային գիծ, ​​նշելով կետերը և հաշվելով նշանները։ Միևնույն ժամանակ, մենք կանցնենք մեր «բազմությունից» վերջին անհավասարությանը.

\[((\ձախ(3-2\sqrt(2) \աջ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Ինչպես տեսնում եք, հիմքում կրկին իռացիոնալ թիվ է, իսկ աջում՝ կրկին միավոր։ Հետևաբար, մենք վերագրում ենք մեր էքսպոնենցիալ անհավասարությունը հետևյալ կերպ.

\[((\left(3-2\sqrt(2) \աջ))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ ճիշտ է))^(0))\]

Մենք կիրառում ենք ռացիոնալացում.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (3x-((x)^(2))-0 \աջ)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \աջ) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Այնուամենայնիվ, միանգամայն ակնհայտ է, որ $1-\sqrt(2) \lt 0$, քանի որ $\sqrt(2)\մոտ 1,4... \gt 1$: Հետևաբար, երկրորդ գործոնը կրկին բացասական հաստատուն է, որով կարելի է բաժանել անհավասարության երկու կողմերը.

\[\սկիզբ(մատրիցան) \left(3x-((x)^(2))-0 \աջ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \ներքև \ \\վերջ (մատրիցան)\]

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \ձախ| \cdot \left(-1 \աջ) \աջ. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\ ձախ (x-3 \աջ) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Տեղափոխեք մեկ այլ բազա

Էքսպոնենցիալ անհավասարությունները լուծելիս առանձին խնդիր է «ճիշտ» հիմքի որոնումը։ Ցավոք, առաջադրանքի առաջին հայացքից միշտ չէ, որ ակնհայտ է, թե ինչ պետք է հիմք ընդունել և ինչ անել՝ ըստ այդ հիմքի աստիճանի:

Բայց մի անհանգստացեք. այստեղ չկա կախարդական կամ «գաղտնի» տեխնոլոգիա: Մաթեմատիկայի մեջ ցանկացած հմտություն, որը հնարավոր չէ ալգորիթմացնել, կարելի է հեշտությամբ զարգացնել պրակտիկայի միջոցով: Բայց դրա համար դուք ստիպված կլինեք լուծել բարդության տարբեր մակարդակի խնդիրներ: Օրինակ, այսպես.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\ ձախ (\ frac (1) (3) \ աջ)) ^ (\ frac (3) (x)))\ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\ ձախ (0,16 \աջ))^(1+2x))\cdot ((\ ձախ (6,25 \աջ))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \աջ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ վերջ (հավասարեցնել)\]

Դժվա՞ր: Վախկոտ? Ավելի հեշտ է, քան հավին ասֆալտին խփելը։ Եկեք փորձենք այն: Առաջին անհավասարություն.

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Դե, կարծում եմ, այստեղ ամեն ինչ պարզ է.

Մենք վերագրում ենք սկզբնական անհավասարությունը՝ ամեն ինչ կրճատելով երկու հիմքի վրա.

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Աջ սլաք \ձախ(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \աջ)\cdot \ձախ(2-1 \աջ) \lt 0\]

Այո, այո, դուք ճիշտ եք լսել. ես պարզապես կիրառել եմ վերը նկարագրված ռացիոնալացման մեթոդը: Այժմ մենք պետք է ուշադիր աշխատենք. մենք ունենք կոտորակային-ռացիոնալ անհավասարություն (սա այն մեկն է, որն ունի հայտարարի փոփոխական), այնպես որ նախքան որևէ բան զրոյի հավասարեցնելը, մենք պետք է ամեն ինչ բերենք ընդհանուր հայտարարի և ազատվենք հաստատուն գործոնից: .

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \աջ)\cdot \left(2-1 \աջ) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \աջ)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ մենք օգտագործում ենք ստանդարտ միջակայքի մեթոդը: Համարիչի զրոներ՝ $x=\pm 4$։ Հայտարարը զրոյի է հասնում միայն այն դեպքում, երբ $x=0$: Ընդհանուր առմամբ կան երեք կետեր, որոնք պետք է նշվեն թվային տողի վրա (բոլոր կետերը ամրացված են, քանի որ անհավասարության նշանը խիստ է): Մենք ստանում ենք.

Ավելի բարդ դեպք՝ երեք արմատ

Ինչպես կարող եք կռահել, ստվերավորումը նշում է այն միջակայքերը, որոնց դեպքում ձախ կողմում արտահայտությունը բացասական արժեքներ է ընդունում: Հետևաբար, վերջնական պատասխանը կներառի միանգամից երկու ընդմիջում.

Ինտերվալների ծայրերը ներառված չեն պատասխանում, քանի որ սկզբնական անհավասարությունը խիստ էր: Այս պատասխանի լրացուցիչ ստուգում չի պահանջվում: Այս առումով էքսպոնենցիալ անհավասարությունները շատ ավելի պարզ են, քան լոգարիթմականները՝ չկան ODZ, չկան սահմանափակումներ և այլն։

Անցնենք հաջորդ առաջադրանքին.

\[((\ ձախ (\frac(1)(3) \աջ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Այստեղ նույնպես խնդիրներ չկան, քանի որ մենք արդեն գիտենք, որ $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, այնպես որ ամբողջ անհավասարությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (((3)^(-1)) \աջ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \աջ) \աջ)\cdot \left(3-1 \աջ)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \աջ) \աջ. \\ & \frac (3) (x) + 2 + x\ le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երրորդ տողում ես որոշեցի ժամանակ չվատնել մանրուքների վրա և անմիջապես ամեն ինչ բաժանել (−2) վրա։ Մինուլը մտավ առաջին փակագիծ (այժմ ամենուր պլյուսներ կան), և երկուսը կրճատվեց մշտական ​​գործոնով։ Սա հենց այն է, ինչ դուք պետք է անեք, երբ պատրաստում եք իրական ցուցադրություններ անկախ և թեստեր— կարիք չկա նկարագրելու յուրաքանչյուր գործողություն և վերափոխում։

Հաջորդը, գործի է դրվում ինտերվալների ծանոթ մեթոդը: Համարիչի զրոներ, բայց չկան: Որովհետև խտրականը բացասական կլինի։ Իր հերթին, հայտարարը զրոյացվում է միայն $x=0$-ի դեպքում, ինչպես նախորդ անգամ: Դե պարզ է, որ $x=0$-ից աջ կոտորակը դրական արժեքներ կընդունի, իսկ ձախից՝ բացասական։ Քանի որ մեզ հետաքրքրում են բացասական արժեքները, վերջնական պատասխանն է՝ $x\in \left(-\infty ;0 \right)$։

\[((\left(0.16 \աջ))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \աջ))^(x))\ge 1\]

Ի՞նչ պետք է անել տասնորդական կոտորակների հետ էքսպոնենցիալ անհավասարություններում: Ճիշտ է՝ ազատվեք դրանցից՝ վերածելով սովորականների։ Այստեղ մենք կթարգմանենք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Աջ սլաք ((\ձախ(0.16 \աջ))^(1+2x)) =((\ ձախ (\frac(4)(25) \աջ))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \աջ))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\աջ))^(x)). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, ի՞նչ ստացանք էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների հիմքերում: Եվ մենք ստացանք երկու փոխադարձ հակադարձ թիվ.

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ աջ))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(-1)) \աջ))^(x))=((\ ձախ (\frac(4)(25) \աջ))^(-x))\]

Այսպիսով, սկզբնական անհավասարությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ ձախ (\frac(4)(25) \աջ))^(1+2x))\cdot ((\ ձախ (\frac(4)(25) \աջ) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(1+2x+\left(-x \աջ))\ge ((\left(\frac(4)(25) \աջ)) ^ (0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(0) ). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Իհարկե, նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելիս, դրանց ցուցանիշները գումարվում են, ինչը տեղի ունեցավ երկրորդ տողում։ Բացի այդ, մենք ներկայացնում էինք միավորը աջ կողմում, ինչպես նաև որպես ուժ 4/25 բազայում: Մնում է միայն հիմնավորել.

\[((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(0)) \Աջ սլաք \ձախ(x+1-0 \աջ)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \աջ)\ge 0\]

Նշենք, որ $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, այսինքն. երկրորդ գործոնը բացասական հաստատուն է, և դրա վրա բաժանելիս անհավասարության նշանը կփոխվի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+1-0\le 0\Աջ սլաք x\le -1; \\ & x\in \ ձախ (-\infty ;-1 \աջ]. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջապես, վերջին անհավասարությունը ընթացիկ «բազմությունից».

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \աջ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Սկզբունքորեն, այստեղ լուծման գաղափարը նույնպես պարզ է. անհավասարության մեջ ներառված բոլոր էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաները պետք է կրճատվեն «3» հիմքի վրա: Բայց դրա համար դուք պետք է մի փոքր շփվեք արմատների և ուժերի հետ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\քառատ 81=((3)^(4)): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այս փաստերը հաշվի առնելով՝ սկզբնական անհավասարությունը կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (((3)^(\frac(8)(3))) \աջ))^(-x)) \lt ((\ ձախ ((3) ^(2))\աջ)) ^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(4-4x)): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ուշադրություն դարձրեք հաշվարկների 2-րդ և 3-րդ տողերին. անհավասարության հետ որևէ բան անելուց առաջ անպայման հասցրեք այն այն ձևին, որի մասին մենք խոսում էինք դասի սկզբից՝ $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Քանի դեռ ունեք ձախ կամ աջ կողմում գտնվող որոշ ձախակողմյան գործոններ, լրացուցիչ հաստատուններ և այլն, հիմքերի ռացիոնալացում կամ «հատում» չի կարող կատարվել! Այս պարզ փաստը չհասկանալու պատճառով անհամար առաջադրանքներ սխալ են կատարվել: Ես ինքս անընդհատ դիտարկում եմ այս խնդիրը իմ ուսանողների հետ, երբ մենք նոր ենք սկսում վերլուծել էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական անհավասարությունները:

Բայց վերադառնանք մեր առաջադրանքին։ Փորձենք այս անգամ անել առանց ռացիոնալացման։ Հիշենք՝ աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, ուստի եռյակները պարզապես կարելի է հատել՝ անհավասարության նշանը չի փոխվի։ Մենք ստանում ենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac (4x) (3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

վերջ։ Վերջնական պատասխան՝ $x\in \left(-\infty ;3 \աջ)$:

Կայուն արտահայտության մեկուսացում և փոփոխականի փոխարինում

Եզրափակելով՝ առաջարկում եմ լուծել ևս չորս էքսպոնենցիալ անհավասարություններ, որոնք արդեն բավականին դժվար են անպատրաստ ուսանողների համար։ Դրանց հետ հաղթահարելու համար հարկավոր է հիշել աստիճանների հետ աշխատելու կանոնները։ Մասնավորապես՝ փակագծերից դուրս դնելով ընդհանուր գործոնները։

Բայց ամենակարևորը սովորել հասկանալ, թե կոնկրետ ինչ կարելի է հանել փակագծերից։ Նման արտահայտությունը կոչվում է կայուն - այն կարելի է նշել նոր փոփոխականով և այդպիսով ազատվել էքսպոնենցիալ ֆունկցիայից։ Այսպիսով, եկեք նայենք առաջադրանքներին.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+(3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\ձախ(0.5 \աջ))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Սկսենք հենց առաջին տողից։ Այս անհավասարությունը գրենք առանձին.

\[((5)^(x+2))+(5)^(x+1))\ge 6\]

Նկատի ունեցեք, որ $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, ուրեմն աջ կողմը կողմը կարելի է վերաշարադրել.

Նկատի ունեցեք, որ անհավասարության մեջ բացի $((5)^(x+1))$-ից այլ էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաներ չկան: Իսկ ընդհանուր առմամբ, $x$ փոփոխականը այլ տեղ չի երևում, ուստի եկեք ներկայացնենք նոր փոփոխական՝ $((5)^(x+1))=t$։ Մենք ստանում ենք հետևյալ շինարարությունը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք վերադառնում ենք սկզբնական փոփոխականին ($t=((5)^(x+1))$), և միևնույն ժամանակ հիշում ենք, որ 1=5 0 . Մենք ունենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Սա է լուծումը: Պատասխան՝ $x\in \ձախ[ -1;+\infty \աջ)$: Անցնենք երկրորդ անհավասարությանը.

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Այստեղ ամեն ինչ նույնն է. Նկատի ունեցեք, որ $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$: Այնուհետև ձախ կողմը կարող է վերաշարադրվել.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \ձախ| ((3)^(x))=t \ճիշտ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Աջ սլաք x\in \ձախ[ 2;+\infty \աջ): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մոտավորապես այսպես պետք է լուծում կազմեք իրական թեստերի և անկախ աշխատանքի համար:

Դե, եկեք փորձենք ավելի բարդ բան: Օրինակ, ահա անհավասարությունը.

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Ի՞նչ խնդիր կա այստեղ։ Նախ, ձախ կողմում էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների հիմքերը տարբեր են՝ 5 և 25: Այնուամենայնիվ, 25 = 5 2, ուստի առաջին անդամը կարող է փոխակերպվել.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((25)^(x+1.5))=((\ձախ(((5)^(2)) \աջ))^(x+1.5))= ((5) ^ (2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\վերջ (հավասարեցնել )\]

Ինչպես տեսնում եք, սկզբում մենք ամեն ինչ բերեցինք նույն բազայի վրա, իսկ հետո նկատեցինք, որ առաջին անդամը հեշտությամբ կարող է կրճատվել երկրորդի. պարզապես անհրաժեշտ է ընդլայնել ցուցիչը: Այժմ դուք կարող եք ապահով կերպով ներմուծել նոր փոփոխական՝ $((5)^(2x+2))=t$, և ամբողջ անհավասարությունը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Եվ կրկին, ոչ մի դժվարություն: Վերջնական պատասխան՝ $x\in \left[ 1;+\infty \right)$: Անցնենք այսօրվա դասի վերջնական անհավասարությանը.

\[((\ձախ(0.5 \աջ))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

Առաջին բանը, որին պետք է ուշադրություն դարձնեք, իհարկե. տասնորդականառաջին աստիճանի հիմքում։ Պետք է ազատվել դրանից և միևնույն ժամանակ բոլոր էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաները բերել նույն բազայի վրա՝ «2» թիվը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Աջ սլաք ((\ձախ(0.5 \աջ))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \աջ))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Աջ սլաք ((16)^(x+1.5))=((\ ձախ (((2)^(4)) \աջ))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Հիանալի է, մենք առաջին քայլն ենք արել՝ ամեն ինչ հանգեցրել է նույն հիմքին: Այժմ դուք պետք է ընտրեք կայուն արտահայտություն: Նկատի ունեցեք, որ $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$: Եթե ​​ներմուծենք նոր փոփոխական $((2)^(4x+6))=t$, ապա սկզբնական անհավասարությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Բնականաբար, կարող է հարց առաջանալ՝ ինչպե՞ս հայտնաբերեցինք, որ 256 = 2 8: Ցավոք, այստեղ դուք պարզապես պետք է իմանաք երկուսի (և միևնույն ժամանակ երեքի և հինգի) ուժերը: Դե, կամ բաժանեք 256-ը 2-ի (կարող եք բաժանել, քանի որ 256-ը դա է զույգ թիվ) մինչև արդյունքը չստանանք։ Այն նման տեսք կունենա.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\վերջ (հավասարեցնել )\]

Նույնը վերաբերում է երեքին (9, 27, 81 և 243 թվերը նրա աստիճաններն են), և յոթի դեպքում (49 և 343 թվերը նույնպես հաճելի կլինի հիշել): Դե, հինգն ունի նաև «գեղեցիկ» աստիճաններ, որոնք դուք պետք է իմանաք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Իհարկե, ցանկության դեպքում այս բոլոր թվերը կարող են վերականգնվել ձեր մտքում՝ ուղղակի հաջորդաբար իրարով բազմապատկելով։ Այնուամենայնիվ, երբ դուք պետք է լուծեք մի քանի էքսպոնենցիալ անհավասարություններ, և յուրաքանչյուր հաջորդն ավելի դժվար է, քան նախորդը, վերջին բանը, որի մասին ուզում եք մտածել, որոշ թվերի հզորություններն են: Եվ այս առումով այս խնդիրներն ավելի բարդ են, քան «դասական» անհավասարությունները, որոնք լուծվում են ինտերվալ մեթոդով։

Հուսով եմ, որ այս դասը օգնեց ձեզ յուրացնել այս թեման: Եթե ​​ինչ-որ բան անհասկանալի է, հարցրեք մեկնաբանություններում: Եվ կհանդիպենք հաջորդ դասերին :)

Էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարումներ այն են, որոնցում անհայտը պարունակվում է աստիճանի մեջ:

Էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծումը հաճախ հանգում է a x = a b հավասարման լուծմանը, որտեղ a > 0, a ≠ 1, x անհայտ է: Այս հավասարումն ունի մեկ արմատ x = b, քանի որ ճշմարիտ է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ. Եթե ​​a > 0, a ≠ 1 և a x 1 = a x 2, ապա x 1 = x 2:

Հիմնավորենք դիտարկված հայտարարությունը.

Ենթադրենք, որ x 1 = x 2 հավասարությունը չի գործում, այսինքն. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, ապա y = a x էքսպոնենցիալ ֆունկցիան մեծանում է և հետևաբար a x 1 անհավասարությունը պետք է բավարարվի< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >ա x 2. Երկու դեպքում էլ մենք հակասություն ստացանք a x 1 = a x 2 պայմանին:

Դիտարկենք մի քանի խնդիր.

Լուծե՛ք 4 ∙ 2 x = 1 հավասարումը։

Լուծում.

Գրենք հավասարումը 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 ձևով, որից ստանում ենք x + 2 = 0, այսինքն. x = -2.

Պատասխանել. x = -2.

Լուծեք 2 հավասարումը 3x ∙ 3 x = 576:

Լուծում.

Քանի որ 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, հավասարումը կարելի է գրել որպես 8 x ∙ 3 x = 24 2 կամ 24 x = 24 2:

Այստեղից մենք ստանում ենք x = 2:

Պատասխանել. x = 2.

Լուծե՛ք 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 հավասարումը:

Լուծում.

Ձախ կողմի փակագծերից վերցնելով 3 x - 2 ընդհանուր գործակիցը, մենք ստանում ենք 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

որտեղից 3 x - 2 = 1, այսինքն. x – 2 = 0, x = 2:

Պատասխանել. x = 2.

Լուծե՛ք 3 x = 7 x հավասարումը:

Լուծում.

Քանի որ 7 x ≠ 0, հավասարումը կարելի է գրել որպես 3 x /7 x = 1, որտեղից (3/7) x = 1, x = 0:

Պատասխանել. x = 0.

Լուծե՛ք 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 հավասարումը:

Լուծում.

Փոխարինելով 3 x = a տրված հավասարումընվազեցնում է քառակուսի հավասարման a 2 – 4a – 45 = 0:

Լուծելով այս հավասարումը, մենք գտնում ենք դրա արմատները՝ a 1 = 9, և 2 = -5, որտեղից 3 x = 9, 3 x = -5:

3 x = 9 հավասարումը ունի արմատ 2, իսկ 3 x = -5 հավասարումը չունի արմատներ, քանի որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան չի կարող բացասական արժեքներ ընդունել:

Պատասխանել. x = 2.

Էքսպոնենցիալ անհավասարումների լուծումը հաճախ հանգում է a x > a b կամ a x անհավասարությունների լուծմանը< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Դիտարկենք որոշ խնդիրներ:

Լուծել անհավասարություն 3 x< 81.

Լուծում.

Անհավասարությունը գրենք 3 x ձևով< 3 4 . Так как 3 >1, ապա y = 3 x ֆունկցիան մեծանում է:

Հետևաբար, x-ի համար< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Այսպիսով, ժամը x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Պատասխանել. X< 4.

Լուծե՛ք 16 x +4 x – 2 > 0 անհավասարությունը:

Լուծում.

Նշանակենք 4 x = t, ապա ստանում ենք t2 + t – 2 > 0 քառակուսային անհավասարություն։

Այս անհավասարությունը գործում է t< -2 и при t > 1.

Քանի որ t = 4 x, մենք ստանում ենք երկու անհավասարություն 4 x< -2, 4 х > 1.

Առաջին անհավասարությունը լուծումներ չունի, քանի որ 4 x > 0 բոլոր x € R-ի համար:

Երկրորդ անհավասարությունը գրում ենք 4 x > 4 0 ձևով, որտեղից x > 0:

Պատասխանել. x > 0.

Գրաֆիկորեն լուծեք (1/3) x = x – 2/3 հավասարումը:

Լուծում.

1) Կառուցենք y = (1/3) x և y = x – 2/3 ֆունկցիաների գրաֆիկները:

2) Ելնելով մեր պատկերից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ դիտարկված ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են x ≈ 1 աբսցիսայի հետ կետում: Ստուգումը ցույց է տալիս, որ

x = 1 այս հավասարման արմատն է.

(1/3) 1 = 1/3 և 1 – 2/3 = 1/3:

Այսինքն՝ մենք գտել ենք հավասարման արմատներից մեկը։

3) Գտնենք այլ արմատներ կամ ապացուցենք, որ չկան: (1/3) x ֆունկցիան նվազում է, իսկ y = x – 2/3 ֆունկցիան մեծանում է։ Հետևաբար, x > 1-ի համար առաջին ֆունկցիայի արժեքները 1/3-ից պակաս են, իսկ երկրորդը՝ 1/3-ից ավելի; x-ում< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 և x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Պատասխանել. x = 1.

Նկատենք, որ այս խնդրի լուծումից, մասնավորապես, հետևում է, որ x-ի համար (1/3) x > x – 2/3 անհավասարությունը բավարարվում է.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

«Էքսպոնենցիալ հավասարումներ և էքսպոնենցիալ անհավասարումներ» թեմայով դաս և ներկայացում.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 11-րդ դասարանի համար
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 9-11-րդ դասարանների համար «Եռանկյունաչափություն»
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 10–11-րդ դասարանների համար «Լոգարիթմներ»

Էքսպոնենցիալ հավասարումների սահմանում

Տղերք, մենք ուսումնասիրեցինք էքսպոնենցիալ ֆունկցիաները, սովորեցինք դրանց հատկությունները և կառուցեցինք գրաֆիկներ, վերլուծեցինք հավասարումների օրինակներ, որոնցում հայտնաբերվել են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ: Այսօր մենք կուսումնասիրենք էքսպոնենցիալ հավասարումները և անհավասարությունները:

Սահմանում. Ձևի հավասարումներ՝ $a^(f(x))=a^(g(x))$, որտեղ $a>0$, $a≠1$ կոչվում են էքսպոնենցիալ հավասարումներ։

Հիշեցնելով «Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա» թեմայով մեր ուսումնասիրած թեորեմները՝ կարող ենք ներկայացնել նոր թեորեմ.
Թեորեմ. $a^(f(x))=a^(g(x))$ էքսպոնենցիալ հավասարումը, որտեղ $a>0$, $a≠1$ համարժեք է $f(x)=g(x) հավասարմանը: $.

Էքսպոնենցիալ հավասարումների օրինակներ

Օրինակ.
Լուծել հավասարումներ.
ա) $3^(3x-3)=27$.
բ) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$:
գ) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$:
Լուծում.
ա) Մենք լավ գիտենք, որ $27=3^3$:
Եկեք վերաշարադրենք մեր հավասարումը` $3^(3x-3)=3^3$:
Օգտագործելով վերը նշված թեորեմը, մենք գտնում ենք, որ մեր հավասարումը վերածվում է $3x-3=3$ հավասարման, մենք ստանում ենք $x=2$;
Պատասխան՝ $x=2$։

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$:
Այնուհետև մեր հավասարումը կարող է վերաշարադրվել՝ $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5)) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
Պատասխան՝ $x=0$:

Գ) Սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը` $x^2-6x=-3x+18$:
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$:
$x_1=6$ և $x_2=-3$:
Պատասխան՝ $x_1=6$ և $x_2=-3$։

Օրինակ.
Լուծե՛ք հավասարումը $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$։
Լուծում:
Եկեք հաջորդաբար կատարենք մի շարք գործողություններ և մեր հավասարման երկու կողմերը բերենք նույն հիմքերին:
Եկեք կատարենք մի շարք գործողություններ ձախ կողմում.
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$:
3) $\frac((((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Եկեք անցնենք աջ կողմը.
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$:
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Բնօրինակ հավասարումը համարժեք է հավասարմանը.
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Պատասխան՝ $x=0$:

Օրինակ.
Լուծե՛ք հավասարումը $9^x+3^(x+2)-36=0$։
Լուծում:
Եկեք վերաշարադրենք մեր հավասարումը` $((3^2))^x+9*3^x-36=0$:
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$։
Եկեք փոփոխականների փոփոխություն կատարենք, թող $a=3^x$։
Նորով փոփոխական հավասարումկունենա ձև՝ $a^2+9a-36=0$:
$(a+12)(a-3)=0$:
$a_1=-12$ և $a_2=3$:
Կատարենք փոփոխականների հակադարձ փոփոխությունը՝ $3^x=-12$ և $3^x=3$։
Վերջին դասին մենք իմացանք, որ էքսպոնենցիալ արտահայտությունները կարող են ընդունել միայն դրական արժեքներ, հիշեք գրաֆիկը: Սա նշանակում է, որ առաջին հավասարումը լուծումներ չունի, երկրորդ հավասարումն ունի մեկ լուծում՝ $x=1$։
Պատասխան՝ $x=1$։

Եկեք հիշեցնենք, թե ինչպես լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումները.
1. Գրաֆիկական մեթոդ.Մենք ներկայացնում ենք հավասարման երկու կողմերը ֆունկցիաների տեսքով և կառուցում դրանց գրաֆիկները, գտնում ենք գրաֆիկների հատման կետերը։ (Այս մեթոդը մենք օգտագործեցինք վերջին դասին):
2. Ցուցանիշների հավասարության սկզբունքը.Սկզբունքը հիմնված է այն փաստի վրա, որ երկու արտահայտություններ հետ նույն հիմքերովհավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այդ հիմքերի աստիճանները (ցուցանիշները) հավասար են: $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Փոփոխական փոխարինման մեթոդ. Այս մեթոդըԱրժե օգտագործել, եթե փոփոխականները փոխարինելիս հավասարումը պարզեցնում է իր ձևը և շատ ավելի հեշտ է լուծել:

Օրինակ.
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը՝ $\սկիզբ (դեպքեր) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12։ \վերջ (դեպքեր)$.
Լուծում.
Համակարգի երկու հավասարումները դիտարկենք առանձին.
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$։
$3^(3y+x)=3^0$։
$x+3y=0$:
Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը.
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$։
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$:
Եկեք օգտագործենք փոփոխականների փոփոխության մեթոդը, թող $y=2^(x+y)$։
Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$:
$y_1=4$ և $y_2=-3$:
Անցնենք սկզբնական փոփոխականներին, առաջին հավասարումից ստանում ենք $x+y=2$։ Երկրորդ հավասարումը լուծումներ չունի։ Հետո մեր սկզբնական համակարգհավասարումները համարժեք են համակարգին՝ $\սկիզբ (դեպքեր) x+3y=0, \\ x+y=2: \վերջ (դեպքեր)$.
Առաջին հավասարումից հանելով երկրորդը՝ ստանում ենք՝ $\begin (դեպքեր) 2y=-2, \\ x+y=2։ \վերջ (դեպքեր)$.
$\սկիզբ (դեպքեր) y=-1, \\ x=3. \վերջ (դեպքեր)$.
Պատասխան՝ $(3;-1)$:

Էքսպոնենցիալ անհավասարություններ

Անցնենք անհավասարություններին։ Անհավասարությունները լուծելիս պետք է ուշադրություն դարձնել աստիճանի հիմքի վրա։ Անհավասարությունները լուծելիս իրադարձությունների զարգացման երկու հնարավոր սցենար կա.

Թեորեմ. Եթե ​​$a>1$, ապա $a^(f(x))>a^(g(x))$ էքսպոնենցիալ անհավասարությունը համարժեք է $f(x)>g(x)$ անհավասարությանը:
Եթե ​​$0 a^(g(x))$-ը համարժեք է $f(x) անհավասարությանը

Օրինակ.
Լուծել անհավասարություններ.
ա) $3^(2x+3)>81$:
բ) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) գ) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$:
Լուծում.
ա) $3^(2x+3)>81$:
$3^(2x+3)>3^4$:
Մեր անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությանը.
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Մեր հավասարման մեջ հիմքն այն է, երբ աստիճանը 1-ից փոքր է, ապա անհավասարությունը համարժեքով փոխարինելիս անհրաժեշտ է փոխել նշանը։
$2x-4>2$:
$x>3$.

Գ) Մեր անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությանը.
$x^2+6x≥4x+15$:
$x^2+2x-15≥0$:
$(x-3)(x+5)≥0$:
Եկեք օգտագործենք ինտերվալային լուծման մեթոդը.
Պատասխան՝ $(-∞;-5]U)