Անշարժ ժամանակային շարքերի մոդելներ. Յակովլևա Ա.Վ. Էկոնոմետրիկա Ստացիոնար ժամանակային շարքերի գծային մոդելներ. Ստացիոնար ժամանակային շարքերի և կայունության թեստերի առանձնահատկությունները

Անոտացիա: Ժամանակային շարքերը հասկացվում են որպես տնտեսական մեծություններ, որոնք կախված են ժամանակից: Այս դեպքում ենթադրվում է, որ ժամանակը դիսկրետ է, հակառակ դեպքում, խոսվում է ոչ թե ժամանակային, այլ պատահական գործընթացների մասին:

Ստացիոնար և ոչ անշարժ ժամանակային շարքերի մոդելներ, դրանց նույնականացում

Դիտարկենք ժամանակային շարք. Թող ժամանակային շարքերը սկզբում ստանան թվային արժեքներ: Դա կարող է լինել, օրինակ, մոտակա խանութում մեկ հացի գինը կամ մոտակա փոխանակման կետում դոլարի և ռուբլու փոխարժեքը: Որպես կանոն, ժամանակային շարքի վարքագծում բացահայտվում են երկու հիմնական միտումներ՝ միտում և պարբերական տատանումներ:

Այս դեպքում միտումը հասկացվում է որպես գծային, քառակուսի կամ այլ տեսակի ժամանակից կախվածություն, որը բացահայտվում է այս կամ այն ​​հարթեցման մեթոդով (օրինակ, էքսպոնենցիալ հարթեցմամբ) կամ հաշվարկով, մասնավորապես, օգտագործելով. նվազագույն քառակուսիների մեթոդ. Այլ կերպ ասած, միտումը ժամանակային շարքի հիմնական միտումն է՝ մաքրված պատահականությունից։

Ժամանակային շարքը սովորաբար տատանվում է միտումի շուրջ, ընդ որում միտումից շեղումները հաճախ օրինաչափություն են ցուցաբերում: Սա հաճախ կապված է բնական կամ նշանակված պարբերականության հետ, օրինակ՝ սեզոնային կամ շաբաթական, ամսական կամ եռամսյակային (օրինակ՝ համաձայն աշխատավարձի և հարկերի վճարման ժամանակացույցի): Երբեմն պարբերականության առկայությունը և հատկապես դրա պատճառները անհասկանալի են, և էկոնոմետոլոգի խնդիրն է պարզել, թե արդյոք պարբերականությունն իսկապես գոյություն ունի:

Ժամանակային շարքերի բնութագրերի գնահատման տարրական մեթոդները սովորաբար մանրամասն քննարկվում են դասընթացներում »: Ընդհանուր տեսությունվիճակագրություն» (տե՛ս, օրինակ, դասագրքերը), ուստի այստեղ դրանք մանրամասն վերլուծելու կարիք չկա (Սակայն որոշների մասին. ժամանակակից մեթոդներժամանակաշրջանի երկարության և ինքնին պարբերական բաղադրիչի գնահատումը մենք կխոսենքստորև.)

Ժամանակային շարքերի բնութագրերը. Ժամանակային շարքերի ավելի մանրամասն ուսումնասիրության համար օգտագործվում են հավանական վիճակագրական մոդելներ։ Այս դեպքում ժամանակային շարքը դիտվում է որպես պատահական գործընթաց (դիսկրետ ժամանակով հիմնական բնութագրիչներն են մաթեմատիկական ակնկալիքները, այսինքն.

Դիսպերսիա, այսինքն.

Եվ ավտոկոռելյացիայի գործառույթժամանակային շարքեր

դրանք. երկու փոփոխականի ֆունկցիա, որը հավասար է հարաբերակցության գործակիցըերկու ժամանակային շարքի արժեքների և .

Տեսական և կիրառական հետազոտություններում դիտարկվում են ժամանակային շարքերի մոդելների լայն շրջանակ: Եկեք նախ ընտրենք ստացիոնարմոդելներ. Նրանք ունեն համատեղ բաշխման գործառույթներ ժամանակի ցանկացած քանակի կետերի համար և հետևաբար ժամանակային շարքի բոլոր վերը նշված բնութագրերը ժամանակի ընթացքում չեն փոխվում. Մասնավորապես, մաթեմատիկական ակնկալիքն ու տարբերությունն են հաստատուն արժեքներ, autocorrelation ֆունկցիան կախված է միայն տարբերությունից : Ժամանակային շարքերը, որոնք անշարժ չեն, կոչվում են ոչ ստացիոնար.

Գծային ռեգրեսիայի մոդելներ՝ հոմոսկեդաստիկ և հետերոսկեդաստիկ, անկախ և ավտոկապված մնացորդներով։ Ինչպես երևում է վերը նշվածից, գլխավորը ժամանակային շարքերը «մաքրելն» է պատահական շեղումներից, այսինքն. մաթեմատիկական ակնկալիքների գնահատում. Ի տարբերություն ամենապարզ մոդելների ռեգրեսիոն վերլուծությունքննարկված, ավելի բարդ մոդելներ, բնականաբար, հայտնվում են այստեղ: Օրինակ, շեղումը կարող է կախված լինել ժամանակից: Նման մոդելները կոչվում են հետերոսկեդաստիկ, իսկ նրանք, որոնցում ժամանակից կախվածություն չկա, հոմոսկեդաստիկ են։ (Ավելի ճիշտ՝ այս տերմինները կարող են վերաբերել ոչ միայն ժամանակային փոփոխականին, այլ նաև այլ փոփոխականներին):

Մեկնաբանություն. Ինչպես նշվում է «Բազմակողմ վիճակագրական վերլուծությունում», ամենապարզ մոդելը նվազագույն քառակուսիների մեթոդթույլ է տալիս շատ լայն ընդհանրացումներ, հատկապես ժամանակային շարքերի համաժամանակյա էկոնոմետրիկ հավասարումների համակարգերի ոլորտում։ Համապատասխան տեսությունը և ալգորիթմները հասկանալու համար անհրաժեշտ է մատրիցային հանրահաշվի մասնագիտական ​​գիտելիքներ: Հետևաբար, մենք հղում ենք անում նրանց, ովքեր հետաքրքրված են էկոնոմետրիկ հավասարումների համակարգերի և ուղղակիորեն ժամանակային շարքերի վերաբերյալ գրականությամբ, որոնցում մեծ հետաքրքրություն կա սպեկտրային տեսության նկատմամբ, այսինքն. ազդանշանը աղմուկից մեկուսացնելը և ներդաշնակության տարրալուծումը: Եվս մեկ անգամ ընդգծենք, որ այս գրքի յուրաքանչյուր գլխի հետևում կա գիտական ​​և կիրառական հետազոտությունների մեծ տարածք, որն արժանի է մեծ ջանքեր գործադրելու դրան: Սակայն գրքի սահմանափակ տարածքի պատճառով մենք ստիպված ենք ներկայացնել ամփոփագիրը։

Էկոնոմետրիկ հավասարումների համակարգեր

Ավտոռեգեսիվ մոդելի օրինակ. Որպես նախնական օրինակ՝ դիտարկենք ժամանակային շարքի էկոնոմետրիկ մոդելը, որը նկարագրում է սպառողական գների ինդեքսի (գնաճի ինդեքս) աճը։ Թող լինի ամսական գների աճը (այս հարցի վերաբերյալ ավելի մանրամասն տե՛ս «Գնաճի էկոնոմետրիկ վերլուծություն»): Հետո, ըստ որոշ տնտեսագետների, բնական է ենթադրել, որ

(6.1)

որտեղ է նախորդ ամսվա գների աճը (և որոշակի ամորտիզացիոն գործակից է, որը հուշում է, որ արտաքին ազդեցության բացակայության դեպքում գների աճը կդադարի), - հաստատուն (դա համապատասխանում է ժամանակի ընթացքում արժեքի գծային փոփոխությանը), - ա. դրամի արտանետման ազդեցությանը (այսինքն՝ երկրի տնտեսությունում փողի ծավալի ավելացում, որն իրականացվում է Կենտրոնական բանկի կողմից) չափով և համամասնական գործակցով թողարկմանը, և այդ ազդեցությունն անմիջապես չի ի հայտ գալիս, բայց. 4 ամսից հետո; Ի վերջո, սա անխուսափելի սխալ է:

Մոդելը (1), չնայած իր պարզությանը, ցույց է տալիս շատերը բնորոշ հատկանիշներշատ ավելի բարդ էկոնոմետրիկ մոդելներ: Նախ նկատենք, որ որոշ փոփոխականներ մոդելի ներսում սահմանվում (հաշվարկվում են) որպես . Նրանք կոչվում են էնդոգեն (ներքին). Մյուսները տրվում են դրսից (սա էկզոգենփոփոխականներ): Երբեմն, ինչպես վերահսկողության տեսության մեջ, թվում է էկզոգեն փոփոխականներ, ընդգծել կառավարելՓոփոխականներն այն են, որոնց օգնությամբ կառավարիչը կարող է համակարգը բերել ցանկալի վիճակի:

Երկրորդ, (1) հարաբերության մեջ հայտնվում են նոր տիպի փոփոխականներ՝ ուշացումներով, այսինքն. Փոփոխականների արգումենտները վերաբերում են ոչ թե ներկա պահին, այլ անցյալի որոշ պահերին:

Երրորդ, (1) տիպի էկոնոմետրիկ մոդելի կառուցումը ոչ մի կերպ սովորական գործողություն չէ: Օրինակ՝ փողի թողարկման հետ կապված ժամկետում ուղիղ 4 ամսվա ուշացումը բավական բարդ նախնական վիճակագրական մշակման արդյունք է։ Այնուհետև, քանակների կախվածության կամ անկախության հարցը և պահանջում է ուսումնասիրություն։ Ինչպես նշվեց վերևում, ընթացակարգի կոնկրետ իրականացումը կախված է այս հարցի լուծումից: նվազագույն քառակուսիների մեթոդ.

Մյուս կողմից, մոդելում (1) կա ընդամենը 3 անհայտ պարամետր, և ձևակերպումը նվազագույն քառակուսիների մեթոդհեշտ է գրել.

Նույնականացման խնդիրը. Եկեք հիմա պատկերացնենք tapa մոդելը (6.1): մեծ թվովէնդոգեն և էկզոգեն փոփոխականներ, ուշացումներով և բարդ ներքին կառուցվածքով։ Ընդհանրապես, ոչ մի տեղից չի բխում, որ նման համակարգի գոնե մեկ լուծում կա. Ուստի ոչ թե մեկ, այլ երկու խնդիր է առաջանում։ Կա՞ գոնե մեկ լուծում (նույնականացման խնդիր): Եթե ​​այո, ինչպե՞ս կարող ենք գտնել հնարավոր լավագույն լուծումը: (Սա վիճակագրական պարամետրերի գնահատման խնդիր է):

Թե՛ առաջին, թե՛ երկրորդ առաջադրանքները բավականին բարդ են։ Երկու խնդիրները լուծելու համար մշակվել են բազմաթիվ մեթոդներ, սովորաբար բավականին բարդ, որոնցից միայն մի քանիսն ունեն գիտական ​​հիմք: Մասնավորապես, նրանք բավականին հաճախ օգտագործում են ոչ համահունչ վիճակագրական գնահատականներ (խիստ ասած՝ դրանք նույնիսկ գնահատական ​​անվանել չեն կարող)։

Եկեք համառոտ նկարագրենք մի քանի ընդհանուր տեխնիկա գծային էկոնոմետրիկ հավասարումների համակարգերի հետ աշխատելիս:

Գծային համաժամանակյա էկոնոմետրիկ հավասարումների համակարգ. Զուտ ձևականորեն, բոլոր փոփոխականները կարող են արտահայտվել միայն կախված փոփոխականների միջոցով ընթացիկ պահըժամանակ. Օրինակ, (6.1) հավասարման դեպքում բավական է սահմանել

Այնուհետև օրինակի հավասարումը նման է

(6.2)

Այստեղ նշենք նաև ռեգրեսիոն մոդելների օգտագործման հնարավորությունը փոփոխական կառուցվածքներմուծելով կեղծ փոփոխականներ: Այս փոփոխականները որոշ ժամանակի արժեքները (ասենք, սկզբնականները) ստանում են նկատելի արժեքներ, իսկ որոշ ժամանակ դրանք անհետանում են (իրականում դառնում են 0-ի): Արդյունքում, պաշտոնապես (մաթեմատիկորեն) նույն մոդելը նկարագրում է բոլորովին այլ կախվածություններ։

Անուղղակի, երկքայլ և երեք քայլ նվազագույն քառակուսիների մեթոդներ. Ինչպես արդեն նշվեց, մշակվել են բազմաթիվ մեթոդներ էկոնոմետրիկ հավասարումների համակարգերի էվրիստիկական վերլուծության համար: Դրանք նախատեսված են լուծելու որոշակի խնդիրներ, որոնք առաջանում են հավասարումների համակարգերի թվային լուծումներ գտնելու փորձի ժամանակ։

Խնդիրներից մեկը կապված է գնահատված պարամետրերի a priori սահմանափակումների առկայության հետ: Օրինակ, տնային տնտեսության եկամուտը կարող է ծախսվել կամ սպառման, կամ խնայողությունների վրա: Սա նշանակում է, որ այս երկու տեսակի ծախսերի մասնաբաժինների գումարը ապրիորի հավասար է 1-ի։ Իսկ էկոնոմետրիկ հավասարումների համակարգում այդ բաժնետոմսերը կարող են ինքնուրույն մասնակցել։ Միտք է առաջանում գնահատել դրանք նվազագույն քառակուսիների մեթոդ, ուշադրություն չդարձնելով a priori սահմանափակմանը, իսկ հետո հարմարեցնել։ Այս մոտեցումը կոչվում է անուղղակի նվազագույն քառակուսիների մեթոդ.

Երկու քայլ նվազագույն քառակուսիների մեթոդբաղկացած է առանձին համակարգի հավասարման պարամետրերի գնահատումից, այլ ոչ թե համակարգը որպես ամբողջություն դիտարկելուց: Միևնույն ժամանակ եռաստիճան նվազագույն քառակուսիների մեթոդօգտագործվում է միաժամանակյա հավասարումների համակարգի պարամետրերը որպես ամբողջություն գնահատելու համար։ Նախ, յուրաքանչյուր հավասարման համար կիրառվում է երկքայլ մեթոդ՝ յուրաքանչյուր հավասարման գործակիցներն ու սխալները գնահատելու համար, այնուհետև կառուցվում է սխալների կովարիանսի մատրիցայի գնահատում: Դրանից հետո օգտագործվում է ընդհանրացված մեթոդ՝ ամբողջ համակարգի գործակիցները գնահատելու համար նվազագույն քառակուսիների մեթոդ.

Կառավարիչը և տնտեսագետը չպետք է դառնա էկոնոմետրիկ հավասարումների համակարգերի կազմման և լուծման մասնագետ՝ նույնիսկ որոշակի ծրագրային համակարգեր, բայց նա պետք է տեղյակ լինի էկոնոմետրիկայի այս ոլորտի հնարավորություններին, որպեսզի արտադրական անհրաժեշտության դեպքում իրավասու ձևակերպի առաջադրանք էկոնոմետրիկայի մասնագետների համար։

Միտման (հիմնական միտում) գնահատումից անցնենք ժամանակային շարքերի էկոնոմետրիկայի երկրորդ հիմնական առաջադրանքին՝ ժամանակաշրջանի (ցիկլի) գնահատմանը։

Կարևոր են ժամանակային շարքերի վրա հիմնված վերլուծության և կանխատեսման մեջ անշարժ ժամանակային շարքեր,որոնց հավանական հատկությունները ժամանակի ընթացքում չեն փոխվում։ Ժամանակային շարքեր y ( = (1,2,..., p)կոչվում է խիստ անշարժ, եթե համատեղ հավանականության բաշխումը nդիտարկումներ y (,y 2, ???,y nնույնը, ինչ 1+մ, 2+մ վրա դիտումների դեպքում, ???,U p+T(ցանկացածի համար, / նրանց): Խիստ անշարժ շարքերի հատկությունները կախված չեն ժամանակի պահից։ Այսպիսով, անշարժ պատահական պրոցեսը բնութագրվում է իր հիմնական հավանական բնութագրերի ժամանակի անփոփոխությամբ, ինչպիսիք են մաթեմատիկական ակնկալիքը և դիսպերսիան։

Ստացիոնար շարքերը հասկացվում են որպես ժամանակի մեջ միատարր պատահական գործընթացներ, որոնց բնութագրերը ժամանակի ընթացքում չեն փոխվում։ Այս գործընթացների բնութագրիչները որոշում են գործընթացների բնութագրերը և հանդիսանում են հետազոտության առարկա: Եթե ​​այս բնութագրերը (մաթեմատիկական ակնկալիք, դիսպերսիա և այլն) կարելի է գտնել որոշակի ճշգրտությամբ, ապա այդպիսի անշարժ գործընթացները կանխատեսելու խնդիրը դառնում է չափազանց պարզ։ Միևնույն ժամանակ, անշարժ գործընթացները կարող են ունենալ առավելագույնը տարբեր կերպարդինամիկա - դրանց մի մասի փոփոխությունը ժամանակի ընթացքում չունի ընդգծված միտումներ, մյուս մասի դինամիկան ունի ժամանակի հստակ արտահայտված միտում, որը կարող է ունենալ նաև շատ բարդ ոչ գծային բնույթ: Այսպիսով, ժամանակային շարքերի դինամիկայի տեսակների անշարժ խումբն իր հերթին կարելի է բաժանել երկու ենթախմբի՝ 1) պարզ ստացիոնար; 2) բարդ ստացիոնարները. Գործոնների առաջին խմբի համար բավարարվում է պարզ անշարժ տիպը, դրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների ժամանակի ընթացքում անփոփոխության պայմանը և պատահական գործընթացների այլ բնութագրերը: Եթե ​​հավանականային գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքները և այլ բնութագրերը ժամանակի ընթացքում փոփոխության են ենթարկվում, ապա այդպիսի շարքերը բարդ կայուն են:

Ստացիոնար և ոչ անշարժ ժամանակային շարքերի մոդելներ

Պարզ ստացիոնար գործընթացներՍոցիալ-տնտեսական օբյեկտների առնչությամբ վերլուծվում և կանխատեսվում են ամենապարզ մեթոդներով մաթեմատիկական վիճակագրություն (կետի և միջակայքի կանխատեսումներժամանակային շարքերի դինամիկան): Ամենից հաճախ կարելի է պնդել նորմալ բաշխման օրենքի գոյությունը, և, հետևաբար, հիմնական ջանքերը պետք է ուղղված լինեն այս դիրքի ապացուցմանը` օգտագործելով համապատասխան վիճակագրական վարկածներ և դրանց փորձարկման մեթոդներ, իսկ դրանից հետո` գործընթացի բնութագրերը հաշվարկելու համար: Եթե ​​հնարավոր եղավ հաստատել ուսումնասիրվող շարքի բաշխման նորմալ լինելու մասին վարկածը, ապա լավագույն գնահատականընրա մաթեմատիկական ակնկալիքը թվաբանական միջինն է, իսկ ցրվածության լավագույն գնահատականը նմուշի դիսպերսիան է: Ընդ որում, այստեղ տեղին է ընտրանքի մեթոդի հիմնական սկզբունքը՝ որքան շատ դիտարկումներ, այնքան շատ ավելի լավ գնահատականներմոդելներ.

Բարդ ստացիոնար գործընթացներցույց են տալիս օբյեկտի վրա ազդող բազմաթիվ գործոնների առկայությունը, որոնց ցուցանիշները ժամանակի ընթացքում փոխվում են: Հետևաբար, կանխատեսողի խնդիրն է բացահայտել այդ գործոններից հիմնականը և կառուցել մոդել, որը նկարագրում է հիմնական գործոնների ազդեցությունը կանխատեսվող օբյեկտի վրա: Եթե ​​այդ գործոններից շատ են, և ինչ-ինչ պատճառներով անհնար է առանձնացնել հիմնականները, նրանք համարում են, որ ժամանակը հանդես է գալիս որպես այդպիսի ընդհանրացնող գործոն և գտնում են կանխատեսման ցուցանիշի և ժամանակի փոխհարաբերության մոդել: Որպես կանոն, այս դեպքերում հետազոտողը չգիտի պատահական դինամիկ անշարժ գործընթացի հիմնական բնութագրերը: Նա պետք է գտնի այդ բնութագրերը՝ հիմնվելով գործընթացի դիտարկման տվյալների վրա: Այստեղ հետազոտողը ստիպված է դիմել որոշ a priori ենթադրությունների՝ ենթադրել հավանականության բաշխման այս կամ այն ​​օրենքի գոյությունը, գործընթացի հատկությունները և նրա հարաբերությունները, դինամիկայի բնույթը և այլն։ Այս դեպքում ամենաարդյունավետ կարող է օգտվել տնտեսագիտության այն ճյուղից, որը կոչվում է էկոնոմետրիկա։

Քանի որ բարդ անշարժ շարքերի վիճակագրական հատկությունները չեն

ժամանակի ընթացքում փոխվում է, այնուհետև այդ հատկությունները կարող են կուտակվել և նույնականացվել՝ հաշվարկելով որոշ գործառույթներ: Ֆունկցիան, որն առաջին անգամ կիրառվել է այս նպատակով ավտոկոռելյացիայի գործառույթ(AKF): P y 2 ժամանակային շարքի դիտարկումների հաջորդականությունների միջև կապի սերտության աստիճանը, -, յ iu 1+t, y 2+x, ’ Up+xսովորաբար որոշվում է օգտագործելով ընտրանքի հարաբերակցության գործակիցը g(Տ) Դրա բանաձևը տրված է ստորև.

/7-Թ (/7-Տ Լ ^

(l-t)2>, 2 - 5>,

Xp-"shАЪ.

• (6.5)

որտեղ m-ն այն ժամանակաշրջանների թիվն է, որոնց համար հաշվարկվում է ավտոկոռելյացիայի գործակիցը (ուշացում):

Այս գործակիցը գնահատում է նույն շարքի մակարդակների հարաբերակցությունը, ուստի երբեմն կոչվում է ավտոկորելյացիայի գործակից:Հաշվարկի բանաձև 1-ին կարգի ավտոկոռելյացիայի գործակից(m = 1-ում) կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

• (6.6)

• 1=2 1=2

2-րդ կարգի ավտոկոռելյացիայի գործակիցորոշվում է բանաձևով

• (6.8)
• - 2

• 1լ 5>n
• (6.9)

Քանի որ ուշացումը մեծանում է, արժեքների զույգերի թիվը, որոնցից հաշվարկվում է ավտոկոռելյացիայի գործակիցը, նվազում է: Համարվում է, որ նպատակահարմար է օգտագործել կանոնը ավտոկոռելյացիայի գործակիցների վիճակագրական հուսալիությունն ապահովելու համար. առավելագույն ուշացումը չպետք է լինի ավելին: p/6.Գործառույթ G(տ) կոչվում է նմուշի ինքնակոռելացիոն ֆունկցիա,և նրա գրաֆիկն է correlogram-ն իմն է:Նմուշի ավտոկորելյացիայի ֆունկցիայի ձևը սերտորեն կապված է

; y, = " 3

շարքի կառուցվածքը.

• 1. Ավտոկոռելացիոն ֆունկցիա g(t)«սպիտակ աղմուկի» համար m > O-ում նույնպես ձևավորում է անշարժ ժամանակային շարք՝ զրոյական միջին արժեքով:
• 2. Անշարժ շարքի համար ACF-ն արագորեն նվազում է m-ի ավելացման հետ մեկտեղ հստակ միտումի առկայության դեպքում դառնում է ավտոկոռելացիոն ֆունկցիա բնորոշ տեսքշատ դանդաղ ընկնող կոր:
• 3. Արտահայտված սեզոնայնության դեպքում ACF գրաֆիկը պարունակում է նաև «օտարներ» սեզոնայնության ժամանակաշրջանի բազմապատիկ ուշացումների համար, սակայն այդ «օտարները» կարող են քողարկվել միտումի առկայությամբ կամ պատահական բաղադրիչի մեծ ցրվածությամբ:

Եթե ​​առաջին կարգի ավտոկոռելյացիայի գործակիցը պարզվում է, որ ամենաբարձրն է, ուսումնասիրվող շարքը պարունակում է միայն միտում: Եթե ​​ամենաբարձր ավտոկոռելյացիայի գործակիցը պարզվում է, որ m-ի կարգի է, ապա շարքը պարունակում է ժամանակի t մոմենտի պարբերականությամբ ցիկլային տատանումներ։ Եթե ​​ավտոկորելյացիայի գործակիցներից ոչ մեկը նշանակալի չէ, ապա այս շարքի կառուցվածքի վերաբերյալ կարող է արվել երկու ենթադրություններից մեկը. . Հետևաբար, նպատակահարմար է օգտագործել autocorrelation գործակիցը և autocorrelation ֆունկցիան՝ ժամանակային շարքում միտման բաղադրիչը և ցիկլային (սեզոնային) բաղադրիչը բացահայտելու համար: Այսպիսով, բարդ անշարժ ժամանակային շարքերը ուսումնասիրելիս հիմնական խնդիրն է բացահայտել և վերացնել ավտոկորելացիան:

Ոչ ստացիոնար գործընթացներԻ տարբերություն ստացիոնարների, դրանք տարբերվում են նրանով, որ ժամանակի ընթացքում փոխում են իրենց բոլոր բնութագրերը։ Ընդ որում, այս փոփոխությունը կարող է այնքան էական լինել, որ մեկ ցուցանիշի դինամիկան կարտացոլի բոլորովին այլ գործընթացների զարգացումը։ Կանխատեսվող օբյեկտի բոլոր հարաբերություններն ու փոխկապվածությունները փոխվում են ժամանակի ընթացքում: Ավելին, կանխատեսվող օբյեկտը կազմող տարրերի փոխազդեցության կառուցվածքը և ուղղությունը ժամանակի ընթացքում փոխվում է: Կախված նրանից, թե որքանով են փոխվում ավելացումները ժամանակի ընթացքում ԴՈՒՐՍ),ոչ ստացիոնար գործընթացները նույնպես կարելի է բաժանել երկու ենթախմբի. 1) էվոլյուցիոն գործընթացներ. 2) քաոսային գործընթացներ.

Եթե ​​հավելումները ԴՈՒՐՍ)ժամանակի ընթացքում աստիճանաբար ավելանում են համակարգում տեղի ունեցող քանակական և որակական փոփոխությունների արդյունքում, որոնց արտացոլումը ոչ ստացիոնար շարք է, ապա այդ գործընթացները կարելի է անվանել. էվոլյուցիոն.Այս դեպքում ժամանակի հետ մեծանում է D K(7)/T(? + 7) հարաբերակցությունը, որը բնութագրում է անորոշության աճը. Տդինամիկա - զրոյից մինչև անսահմանություն: Այն դեպքում, երբ ավելացումները ԴՈՒՐՍ)ժամանակի ընթացքում չունեն բավականաչափ արտահայտված միտում և դրանց փոփոխությունները քաոսային են (օրինակ՝ առաջին դիտարկման ժամանակ. ԴՈՒՐՍ)կարող է բավականին մեծ լինել՝ համեմատած բուն ցուցանիշի հետ U(T)),ապա նման գործընթացներին կարելի է վերագրել քաոսային.Դինամիկայի քաոսային բնույթը տեղի է ունենում այն ​​դեպքերում, երբ գործընթացն ինքնին ոչ իներցիոն է, և դրա զարգացման դինամիկան հեշտությամբ փոխվում է արտաքին կամ ներքին գործոնների ազդեցության տակ, կամ երբ իներցիոն գործընթացի վրա ազդում են այնպիսի ուժի արտաքին գործոններ, որոնք իրենց ազդել նրանք «կոտրում» և ներքին կառուցվածքըգործընթացը և դրա հարաբերությունները և դրա դինամիկան: Այլ կերպ ասած, էվոլյուցիոն դինամիկան բնութագրում է հարմարվողականության գործընթացառարկել արտաքին և ներքին ազդեցություններին, իսկ քաոսային դինամիկան օբյեկտի հարմարվելու ունակության բացակայությունն է:

Ոչ ստացիոնար դինամիկայի բարդ բնույթը նաև որոշում է այս դինամիկան մոդելավորելու և կանխատեսելու ապարատի բարդությունը: Մինչև վերջերս, տնտեսական իրավիճակի էվոլյուցիոն բաղադրիչների կանխատեսումը չէր հայտնվում սոցիալ-տնտեսական կանխատեսումների մասնագետների ուշադրության կենտրոնում. վերջին տարիներինԿանխատեսումների դասագրքերը սկսեցին ներառել համապատասխան բաժիններ։ Գործնականում էվոլյուցիոն գործընթացները պարզապես չեն ճանաչվել որպես առանձին խումբ, և դրանք վերլուծելու և կանխատեսելու համար օգտագործվել են դասական էկոնոմետրիկայի տեխնիկան՝ չմտածելով նման կիրառման ճիշտության մասին: Դա կանխատեսման ապարատի օգտագործումն է, որը մեթոդաբանորեն անհամատեղելի է կանխատեսման օբյեկտի հատկությունների հետ, ինչը հանգեցնում է գործիքների ընտրության լուրջ սխալների և կանխատեսման զգալի ցրման սոցիալ-տնտեսական դինամիկայի կանխատեսման պրակտիկայում: Էվոլյուցիոն տիպի սոցիալ-տնտեսական ցուցանիշների ժամանակային շարքերը կանխատեսելու համար մեթոդաբանորեն հիմնավորված է օգտագործել. հարմարվողական կանխատեսման մեթոդներ.Սոցիալ-տնտեսական դինամիկայի քաոսային շարքերի կանխատեսման հարցերը ներկայումս լուծվում են՝ օգտագործելով. քաոսի տեսությունԵվ աղետի տեսություններ.

Հաջորդիվ մենք կդիտարկենք բարդ կայուն և էվոլյուցիոն ոչ ստացիոնար դինամիկ գործընթացների կանխատեսման մեթոդներ, որոնք հաճախ նկատվում են սոցիալ-տնտեսական հետազոտությունների պրակտիկայում: Վերոնշյալ տեսակների շարքերի համար անգլիացի վիճակագիրներ Դ. Բոքսը և Վ. Ջենկինսը 1990-ականների կեսերին։ մշակվել է կանխատեսման ալգորիթմ: Box-Jenkins ալգորիթմների հիերարխիան ներառում է մի քանի ալգորիթմներ, որոնցից ամենահայտնին և օգտագործվածը ալգորիթմն է. ԱՅԱ1ՄԱ.Այն ներկառուցված է գրեթե ցանկացած մասնագիտացված կանխատեսման փաթեթի մեջ: Դասական տարբերակով ԼՅԱ1ՄԱանկախ փոփոխականներ չեն օգտագործվում: Մոդելները հիմնվում են միայն կանխատեսված շարքի պատմության մեջ պարունակվող տեղեկատվության վրա, ինչը սահմանափակում է ալգորիթմի հնարավորությունները։ Ներկայումս գիտական ​​գրականության մեջ հաճախ հիշատակվում են մոդելների տարբերակներ AYA1MA,թույլ տալով հաշվի առնել անկախ փոփոխականները:

Մոդելներ ԱՅԱ1ՄԱհիմնվել հիմնականում տվյալների ավտոկորելացիոն կառուցվածքի վրա: Մեթոդաբանության մեջ ԱՅԱ1ՄԱԱյս ժամանակային շարքը կանխատեսելու հստակ մոդել նախատեսված չէ: Միայն նշված է ընդհանուր դասմոդելներ, որոնք նկարագրում են ժամանակային շարքը և թույլ են տալիս ինչ-որ կերպ արտահայտել փոփոխականի ընթացիկ արժեքը նրա նախորդ արժեքների միջոցով: Հետո ալգորիթմը AYA1MA,Մոդելների պարամետրերը սահմանելով՝ նա ինքն է ընտրում ամենահարմար կանխատեսման մոդելը։ Կա Box-Jenkins մոդելների մի ամբողջ հիերարխիա: Տրամաբանորեն այն կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ.

AYA(r) + MA(d) -> ԱՅԱՄԱ(ր, դ) ԱՅԱՄԱ(ր, դ)(Ռ, 0 ->

-? AYA1MA(r, d, g) (R, 0 Ես) ... (6.10)

Որտեղ ՀԵԱ (ռ) -ավտոռեգեսիվ կարգի մոդել r MA(d) -շարժվող միջին մոդելը դ; ԱՅԱՄԱ (ռ, դ) -համակցված ավտոռեգեսիվ և շարժվող միջին մոդել; ԱՅԱՄԱ (ռ, ե) (P, O)- էքսպոնենցիալ հարթեցման մոդել; AYA1MA (r, դ, է) (P, 0 Ես)- ոչ ստացիոնարի մոդելավորում էվոլյուցիոն գործընթացգծային միտումով։

Առաջին երեք մոդելները մոտավոր են բարդ անշարժ ժամանակային շարքերի դինամիկան, հաջորդ երկուսը՝ էվոլյուցիոն ոչ ստացիոնար ժամանակային շարքերի դինամիկան։ Մոդելը համարվում է ընդունելի, եթե մնացորդները (հիմնականում փոքր) բաշխված են պատահականորեն և չեն պարունակում օգտակար տեղեկատվություն. Եթե ​​տվյալ մոդելը անբավարար է, ապա գործընթացը կրկնվում է նոր և կատարելագործված մոդելի միջոցով: Այս կրկնվող ընթացակարգը կրկնվում է այնքան ժամանակ, մինչև հայտնաբերվի բավարար մոդել: Այս պահից տվյալ մոդելը կարող է օգտագործվել կանխատեսման նպատակով:

Մոդելի մեջ ԱՍՄԱժամանակային շարքի մակարդակը ժամըսահմանվում է որպես իր նախկին արժեքների և մնացորդային արժեքների կշռված գումար ե գ -ընթացիկ և նախորդները: Այն միավորում է կարգի ավտոռեգեսիվ մոդելը rև շարժվող միջին մոդելը գ.Միտումը ներառված է LSMAօգտագործելով սերիայի վերջավոր տարբերության օպերատորը y գԳծային միտումը զտելու համար օգտագործվում են 1-ին կարգի տարբերություններ, պարաբոլիկ միտումը զտելու համար օգտագործվում են 2-րդ կարգի տարբերություններ և այլն: Տարբերություն րդպետք է լինի ստացիոնար. Մոդելի տեսակը ԱՇՄ,դրա համարժեքությունը իրական գործընթացին և կանխատեսող հատկությունները կախված են ավտոռեգեսիայի կարգից rև շարժվող միջինի կարգը

Մոդելավորման առանցքային կետը նույնականացման ընթացակարգն է՝ մոդելի տեսակի հիմնավորումը: Ստանդարտ մեթոդով ԱՍՄԱնույնականացումը հանգում է ավտոկորելոգրամների տեսողական վերլուծությանը և հիմնված է տնտեսության սկզբունքի վրա, ըստ որի. (p + ASMA պատվեր (էջ, (1 , (Ռյա, Ա՞, 05)։ Այսպիսով, ժամանակային շարքերի նույնականացումմի շարք մնացորդների համար համարժեք մոդելի կառուցումն է, որտեղ մնացորդները ներկայացնում են «սպիտակ աղմուկը», և բոլոր ռեգրեսորները նշանակալի են:

Եկեք նայենք որոշ մոդելների ԱՍՄԱավելի մանրամասն. Ավտոռեգեսիվ մոդելպատվեր rկարծես

U, = Po + P1 U,-1 + Р 2 Т/- 2 + + Р Ռ Ու, - Ռ+ e, (* = I 2, ..., p), (6.11)

որտեղ Р 0, р., ..., р - որոշ հաստատուններ; G (-«սպիտակ աղմուկի» մակարդակը, որը կարող է բաց թողնել:

Եթե ​​ուսումնասիրվող գործընթացը ժամըԱյս պահին Г-ը որոշվում է իր արժեքներով միայն նախորդ 7-1 ժամանակահատվածում, այնուհետև մենք ստանում ենք առաջին կարգի ավտոռեգեսիվ մոդել.

Ահ,=P 0 +P1L-1 + e, (7 = 1,2,..., «), (6.12)

IN շարժվող միջին մոդելներտրված է մոդելավորված արժեքը գծային ֆունկցիաանկարգություններից (մնացորդներից) ժամանակի նախորդ կետերում: d կարգի շարժվող միջին մոդելն ունի ձև

Y, = e 1 -U 1 e,-1-U 2 e,- 2 - - -U,e,-, (7 = 1,2,..., «), (6.13)

որտեղ y r y., ..., y որոշ հաստատուններ են. e - սխալներ.

Հաճախ օգտագործվում է համակցված ավտոռեգեսիվ և շարժվող միջին մոդել, որն ունի ձևը

U, = Po + R.L-, + RzYa-2+- + Ռռու»-ր +?1 - U&-1 - U 2^-2 -???- U&-I (6.14)

Ընտրանքներ rԵվ

• 1) մեկ պարամետր (p),եթե ավտոկոռելյացիայի ֆունկցիան (ACF) էքսպոնենցիալ նվազում է.
• 2) ավտոռեգեսիայի երկու պարամետր (p),եթե ACF-ն ունի սինուսոիդի ձև կամ աստիճանաբար նվազում է.
• 3) մեկ շարժվող միջին պարամետր (
• 4) երկու շարժվող միջին պարամետր (e), եթե ACF-ն ունի կտրուկ նշանավոր արժեքներ 1-ին և 2-րդ ուշացումների վրա, և այլ ուշացումների հետ կապ չկա:

Հարմարվողական կանխատեսում

Ոչ ստացիոնար էվոլյուցիոն ժամանակային շարքերն ուսումնասիրելիս օգտագործվում է հարմարվողական կանխատեսում։ Հարմարվողական կանխատեսման մեթոդներտվյալների զեղչման մոդելների մի շարք է, որոնք կարող են իրենց կառուցվածքն ու պարամետրերը հարմարեցնել փոփոխվող պայմաններին: Հարմարվողական մոդելների պարամետրերը գնահատելիս նշանակվում են դիտարկումներ (շարքի մակարդակներ): տարբեր կշիռներկախված նրանից, թե որքան ուժեղ է նրանց ազդեցությունը ներկա մակարդակի վրա: Սա թույլ է տալիս հաշվի առնել միտումների փոփոխությունները, ինչպես նաև ցանկացած տատանումներ, որոնցում կարելի է հետևել օրինակին: Հարմարվողական կանխատեսման մեթոդները ներկայացնում են նոր ստացված տեղեկատվության հիման վրա կանխատեսման մոդելների ընտրություն և հարմարեցում: Դրանցից ամենատարածվածներն են էքսպոնենցիալ հարթեցման մեթոդը և Հելվիգի ներդաշնակ կշիռների մեթոդը։

Էքսպոնենցիալ հարթեցման մեթոդ. Դրա առանձնահատկությունն այն է, որ յուրաքանչյուր դիտարկման հարթեցման ընթացակարգում օգտագործվում են միայն դինամիկայի շարքի նախորդ մակարդակների արժեքները՝ վերցված որոշակի քաշով: Յուրաքանչյուր դիտարկման կշիռը նվազում է, քանի որ այն հեռանում է այն պահից, որի համար հարթեցված արժեքը որոշվում է: 5-րդ շարքի մակարդակի հարթեցված արժեքը ժամանակին / որոշվում է բանաձևով

5, = այ, + (1-ա)5,_ 1, (6.15)

որտեղ 5-ը ժամանակի էքսպոնենցիալ միջինի արժեքն է /; 5 / _ 1 - տվյալ պահին էքսպոնենցիալ միջինի արժեքը (/- 1); ? - տնտեսական գործընթացի արժեքը ժամանակի մի կետում /; a-ն դինամիկայի շարքի i-րդ արժեքի կշիռն է (կամ հարթեցնող պարամետրը, որի արժեքները տատանվում են զրոյից մինչև մեկ):

Բանաձևի հետևողական կիրառումը (6.15) թույլ է տալիս հաշվարկել էքսպոնենցիալ միջինը տվյալ դինամիկայի շարքի բոլոր մակարդակների արժեքների միջոցով: Բացի այդ, բանաձևի հիման վրա (6.15) որոշվում են 1-ին կարգի էքսպոնենցիալ միջինները, այսինքն. միջինները, որոնք ստացվել են ուղղակիորեն դինամիկայի շարքի սկզբնական տվյալների հարթեցումից: Այն դեպքերում, երբ սկզբնական շարքը հարթելուց հետո միտումը հստակ սահմանված չէ, հարթեցման ընթացակարգը կրկնվում է, այսինքն. հաշվարկել երկրորդ, երրորդ կարգի էքսպոնենցիալ միջինները և այլն՝ օգտագործելով արտահայտությունները (6.16-6.18).

^ 2] = oc?, [,] +(1-a)?, [ 3;
^] = a5, !2] + (1-a)^];
5 1, 1 * 1 = ա^* -1] + (1 - ա)5^,

որտեղ 5^-ը էքսպոնենցիալ միջին է ԱՀԿպատվիրել մի կետում Ես (k = 1,

2, 3,..., n).

Գծային մոդելի համար ժամը = ա 0 + ա ևսկզբնական պայմանները հետևյալն են.

? - ա - ա2 (1 ~ ա) Ա^Օ(յ) «Օ«Ռ (y) «Օ ա»

Առաջին և երկրորդ կարգի էքսպոնենցիոնալ միջոցներ այս մոդելի համար.

5,1" = օհ,+ (1 ?- a)5™5.1" = a5|" + (1 - ա) 5Y

Կանխատեսումն իրականացվում է ըստ բանաձևի y *= i 0 + i,/. Ավելին, պարամետրերը ա 0Եվ Ա (համապատասխանաբար հավասար

• (6.19)
• (6.20)

Կանխատեսման սխալը որոշվում է բանաձևով

)/(G-a)[* -4(1 -a) + 5(1 - a) 2 + 2a(4-3a)

/ + 2 ա հ

Որտեղ յու -գծային միտումից շեղման արմատի միջին քառակուսի սխալ:

Հարմոնիկ կշիռների մեթոդ. Այս մեթոդը մշակվել է լեհ վիճակագիր Զ.Հելվիգի կողմից։ Այն մոտ է պարզ էքսպոնենցիալ հարթեցման մեթոդին և օգտագործում է նույն սկզբունքը։ Այն հիմնված է շարժվող ցուցիչի կշռման վրա, բայց օգտագործում է շարժվող միտումի գաղափարը շարժվող միջինի փոխարեն: Էքստրապոլացիայի կողմնակից

իրականացվում է սահող միտումով, կոտրված գծի առանձին կետերը կշռվում են ներդաշնակ կշիռների միջոցով, ինչը թույլ է տալիս ավելի մեծ կշիռ տալ ավելի վերջին դիտարկումներին: Ներդաշնակ կշիռների մեթոդը հիմնված է հետևյալ պայմանների վրա.

• այն ժամանակահատվածը, որի ընթացքում ուսումնասիրվում է տնտեսական գործընթացը, պետք է բավականաչափ երկար լինի, որպեսզի հնարավոր լինի որոշել դրա օրինաչափությունները.
• սկզբնական դինամիկայի շարքը չպետք է կտրուկ փոփոխություններ ունենա

• սոցիալ-տնտեսական երեւույթը պետք է ունենա իներցիա, այսինքն. Որպեսզի գործընթացի բնութագրերի էական փոփոխություն տեղի ունենա, պետք է անցնի նշանակալի ժամանակ.
• Շարժվող միտումից շեղումները պատահական են.
• հաջորդական տարբերությունների հիման վրա հաշվարկված ավտոկոռելյացիայի ֆունկցիան պետք է նվազի //, այսինքն. Ավելի ուշ տեղեկատվության ազդեցությունը պետք է ավելի ուժեղ լինի կանխատեսված արժեքի վրա, քան նախնական տեղեկատվության վրա:

Հարմոնիկ կշիռների մեթոդով ճշգրիտ կանխատեսում ստանալու համար անհրաժեշտ է կատարել վերը նշված բոլոր նախադրյալները նախնական դինամիկայի շարքի համար: Այս մեթոդը օգտագործելու համար բնօրինակ շարքը բաժանված է փուլերի Դեպի.Ֆազերի թիվը պետք է պակաս լինի շարքի անդամների թվից n, այսինքն. k Սովորաբար փուլը հավասար է երեքից հինգ մակարդակների: Յուրաքանչյուր փուլի համար հաշվարկվում է գծային միտում, այսինքն.

Y t = a,+ V 0" = 1, 2 , էջ - Դեպի + 1).

Ավելին, /, մեկին հավասար, Г = 1, 2,..., Դեպի;համար / հավասար է երկուսի, Г = 2, 3,..., Դեպի+ 1; համար / հավասար p - k+ 1, r = i - k + ,p - k +2,..., էջՊարամետրերը գնահատելու համար Ա. (Եվ b wՕգտագործվում է նվազագույն քառակուսիների մեթոդը: ստացված օգնությամբ (p - k + 1) հավասարումները որոշում են շարժվող միտման արժեքները: Այդ նպատակով կարևորվում են այդ արժեքները y (ցուորի համար Գ = /, նշվում են ու.^.Թող լինեն PuԱյնուհետև հայտնաբերվում է միջինը u tըստ բանաձևի

Դրանից հետո անհրաժեշտ է ստուգել այն վարկածը, որ շարժվող միտումից շեղումները ներկայացնում են անշարժ գործընթաց: Այդ նպատակով հաշվարկվում է ավտոկոռելյացիայի ֆունկցիան: Եթե ​​ավտոկորելացիոն ֆունկցիայի արժեքները նվազում են ժամանակաշրջանից ժամանակաշրջան, ապա այս մեթոդի հինգերորդ նախապայմանը բավարարված է: Հաջորդը, ավելացումները հաշվարկվում են բանաձևով

Միջին աճը հաշվարկվում է բանաձևով

որտեղ C" +|-ը ներդաշնակ գործակիցներ են, որոնք բավարարում են C" +1 > 0 (/ = 1.2, n- 1) և ^C», (= 1.

Արտահայտությունը (6.25) թույլ է տալիս ավելի ուշ տեղեկատվությանը տալ ավելի մեծ կշիռ, քանի որ ավելացումները հակադարձ համեմատական ​​են այն ժամանակին, որը տարանջատում է սկզբնական տեղեկատվությունը հետագա տեղեկատվությունից Г = էջԵթե ​​նախնական տեղեկությունը քաշ ունի t 2 = /[n - 1), ապա

Ժամանակի հաջորդ պահի հետ կապված տեղեկատվության կշիռը հավասար է

t, = t 2 - 1--- = --I---. (6.26)

3 2 p-2 p- 1 /7-2

IN ընդհանուր տեսարաններդաշնակ կշիռների շարքը սահմանվում է որպես

= Տ,լ--

• (/ = 2, 3, , n 1),
• (6.27)

^ տ, +1 =/7 -1: (6.29)

Ստանալու համար ներդաշնակ գործակիցները C», բավարարելով վերը նշված երկու պայմանները՝ ներդաշնակ կշիռները t 1+1-ը պետք է բաժանվի (p - 1), այսինքն.

Ահ,= U/ + Յու (6.31)

սկզբնական վիճակում U* = Ud,y Այս մեթոդըԿանխատեսումն օգտագործվում է, երբ վստահություն կա, որ ապագա միտումը նկարագրվում է հարթ կորով, այսինքն. սերիայում սեզոնային կամ ցիկլային տատանումներ չկան: Այսպիսով, նախքան ուսումնասիրվող օբյեկտի զարգացումը կանխատեսելը, անհրաժեշտ է եզրակացություն անել ժամանակային շարքերի անշարժության կամ անկայունության մասին։ Այս դիրքը կարելի է ստուգել՝ օգտագործելով Dickey-Fuller թեստը: Թեստում օգտագործվող հիմնական գեներացման գործընթացը առաջին կարգի ինքնագրեսիվ գործընթացն է.

y (= t 0 + t ( / + g-y (_(+ ե/? (6.32)

Որտեղ t 0, t ( ig-ը հաստատուն գործակիցներ են, որոնք կարելի է գտնել՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիները. ? - պատահական սխալ, որը կարող է հաշվի չառնվել:

Եթե ​​0 գ 1 պայմանը բավարարված է, ապա շարքը անշարժ է: ժամը գ 0 և r> 1, ապա ուսումնասիրվող ժամանակային շարքը անշարժ չէ:

Վիճակագրական ժամանակային շարքերի վերլուծության նպատակները կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.

վերլուծված x(t) ժամանակային շարքի x(1), x(2), …x(N) հետագծով պահանջվում է.

1) որոշել, թե ոչ պատահական գործառույթներից որոնք են (համապատասխան միտումին, սեզոնային և ցիկլային բաղադրիչներին) առկա են ընդարձակման մեջ, այսինքն՝ որոշել  i ցուցանիշների արժեքները ընդլայնման մեջ։

2) կառուցել «լավ» գնահատականներ այն ոչ պատահական ֆունկցիաների համար, որոնք առկա են ընդլայնման մեջ.

3) ընտրեք մի մոդել, որը համարժեք կերպով նկարագրում է «պատահական մնացորդների u(t) վարքագիծը և վիճակագրորեն գնահատեք այս մոդելի պարամետրերը:

Թվարկված խնդիրների հաջող լուծումը հիմք է հանդիսանում հետազոտության վերջնական կիրառական նպատակներին հասնելու և, առաջին հերթին, ժամանակային շարքերի արժեքների կարճաժամկետ և միջնաժամկետ կանխատեսման խնդրի լուծման համար։

Autocovariance և autocorrelation ֆունկցիաներ

Ժամանակային շարքերը բացահայտելու համար հարմար է օգտագործել հատուկ գործառույթներ՝ ավտոկովարիանս և ավտոկորելացիա։

Autocovariance ֆունկցիա

Հիմնվելով x(t) ժամանակային շարքի խիստ կայունության ենթադրության վրա՝ x(t) և x(t  ) արժեքների միջև կովարիանսը կախված կլինի միայն «ժամանակային հերթափոխի» արժեքից  (և. կախված չի լինի t): Այս կովարիանսը կոչվում է ավտոկովարիանս (քանի որ այն չափում է կովարիանսը նույն ժամանակային շարքի x(t) տարբեր արժեքների համար և որոշվում է հարաբերությամբ.

() արժեքը՝ կախված -ի արժեքից վերլուծելիս, ընդունված է խոսել () ավտոկովարիանս ֆունկցիայի մասին: Ավտոկովարիանս ֆունկցիայի արժեքները վիճակագրականորեն կարելի է գնահատել ժամանակային շարքերի առկա դիտարկումներից՝ օգտագործելով բանաձևը.

, որտեղ =1.2, … N-1. Ակնհայտորեն

(0)=  2 =M;

()=cov(x(t+), x(t)) = cov(x(t), x(t+)) = cov(x(t), x(t-));

()= cov(x(t), x(t-))= (-).

Ավտոկոռելացիոն ֆունկցիա

Դիտարկումների հաջորդականության հիմնական տարբերություններից մեկը, որը կազմում է ժամանակային շարք և պատահական նմուշ, այն է, որ ժամանակային շարքի անդամները, ընդհանուր առմամբ, վիճակագրորեն փոխկապակցված են: Երկու պատահական փոփոխականների միջև վիճակագրական հարաբերությունների սերտության աստիճանը կարելի է չափել զույգ առնչվող գործակցով: Այսպիսով, վիճակագրական կապի աստիճանը ժամանակային շարքի երկու դիտարկումների միջև՝ «առանձնացված» (ժամանակի մեջ)  միավորներով, կորոշվի հարաբերակցության գործակցի արժեքով։

Հարաբերակցության գործակիցը r() չափում է հարաբերակցությունը, որը գոյություն ունի նույն ժամանակային շարքի անդամների միջև, այդ իսկ պատճառով այն սովորաբար կոչվում է ավտոկոռելյացիայի գործակից:  արժեքից կախված r() արժեքի փոփոխությունները վերլուծելիս ընդունված է խոսել r() ավտոկոռելացիոն ֆունկցիայի մասին: Ավտոկորելացիոն ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է հարաբերական: Ավտոկոռելացիոն ֆունկցիան, ի տարբերություն ավտոկավարիանս ֆունկցիայի, չափազերծ է: Դրա արժեքները կարող են տատանվել -1-ից մինչև +1: Ակնհայտ է, որ r() =r(-), and(0) =1:

Մոդելի որոնումը, որը համարժեք կերպով նկարագրում է վերլուծված x(t) ժամանակային շարքի պատահական մնացորդների պահվածքը u(t) իրականացվում է, որպես կանոն, պատահական ժամանակային հաջորդականությունների ինչ-որ հատուկ դասի շրջանակներում՝ ստացիոնար դասի: ժամանակային շարքեր. Ինտուիտիվ մակարդակով ժամանակային շարքերի կայունությունև մենք դա կապում ենք այն պահանջի հետ, որը նա ունի հաստատուն միջին արժեք և տատանվում է այս միջինի շուրջ՝ հաստատուն շեղումով. Որոշ դեպքերում այս դասի ժամանակային հաջորդականությունները կարող են նաև վերարտադրել վերլուծված x(t) ժամանակային շարքի վարքագիծը։

x(t) շարքը կոչվում է խիստ ստացիոնար(կամ ստացիոնար նեղ իմաստով), եթե m դիտումների համատեղ հավանականության բաշխումը x(t 1), x(t 2), …, x(t m) նույնն է, ինչ m դիտարկումների համար x(t 1 +), x(t 2 +) , …x(t m +), ցանկացած m, t 1, t 2, …, t m ​​և  համար:

Այլ կերպ ասած, խիստ անշարժ ժամանակային շարքի հատկությունները չեն փոխվում, երբ փոխվում է ժամանակի սկզբնաղբյուրը։ Մասնավորապես, m= 1-ի համար x(t) ժամանակային շարքի խիստ կայունության ենթադրությունից հետևում է, որ x(t) պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման օրենքը կախված չէ t-ից, հետևաբար դրա բոլոր հիմնական թվերը. բնութագրերը կախված չեն t-ից, ներառյալ՝ միջին արժեքը М(x(t)) =  և շեղում D(x(t))= М(x(t) –) 2 =  2:

Ակնհայտ է, μ-ի արժեքը որոշում է հաստատուն մակարդակը, որի շուրջ ցրված են վերլուծված ժամանակային շարքերի x(t) արժեքները, իսկ  2 հաստատուն արժեքը բնութագրում է այս ցրման տիրույթը: Քանի որ x(t) պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման օրենքը նույնն է բոլոր t-ի համար, այն ինքնին և նրա հիմնական թվային բնութագրերը կարելի է գնահատել x(1), x(2), …x(N) դիտարկումներից: Մասնավորապես.

- միջին արժեքի գնահատում,

- ցրվածության գնահատում.

Տակ հարթեցման մեթոդներժամանակային շարքը հասկացվում է ընդգծելով ոչ պատահական բաղադրիչը. Ենթադրենք, որ F(t) ոչ պատահական բաղադրիչի ընդհանուր ձևը x(t)=F(t,)+ u(t) շարքի համար հայտնի է։ Սա կարող է լինել բազմանդամ, Ֆուրիեի շարք և այլն: Հետո առաջանում է  պարամետրերի գնահատման խնդիրը։ Խնդրի այս ձևակերպման մեջ կիրառվում են վերլուծական մեթոդներ։

Եթե ​​ոչ պատահական բաղադրիչի տեսակը անհայտ է F(t), ապա օգտագործվում են ալգորիթմական մեթոդներ։ Այս մեթոդները ներառում են շարժվող միջին մեթոդը, որն ընկած է հարթեցման ավելի բարդ ընթացակարգերի հիմքում:

Ժամանակային շարքերի բնութագրերը. Ժամանակային շարքերի ավելի մանրամասն ուսումնասիրության համար օգտագործվում են հավանական վիճակագրական մոդելներ։ Այս դեպքում X(t) ժամանակային շարքը դիտվում է որպես պատահական գործընթաց (դիսկրետ ժամանակով հիմնական բնութագրիչներն են X(t) մաթեմատիկական ակնկալիքները, այսինքն.

դիվերանս X(t), այսինքն.

և X(t) ժամանակային շարքի ավտոկոռելացիոն ֆունկցիա

դրանք. երկու փոփոխականների ֆունկցիա, որը հավասար է X(t) և X(s) ժամանակային շարքի երկու արժեքների հարաբերակցության գործակցին:

Տեսական և կիրառական հետազոտություններում դիտարկվում են ժամանակային շարքերի մոդելների լայն շրջանակ: Եկեք նախ ընտրենք ստացիոնար մոդելներ: Դրանք պարունակում են համատեղ բաշխման ֆունկցիաներ ցանկացած թվով k ժամանակային կետերի համար, և հետևաբար ժամանակային շարքի բոլոր վերը նշված բնութագրերը ժամանակի ընթացքում չեն փոխվում։ Մասնավորապես, մաթեմատիկական ակնկալիքը և դիսպերսիան հաստատուն մեծություններ են, ավտոկոռելյացիայի ֆունկցիան կախված է միայն. տարբերություններ t-s. Ժամանակային շարքերը, որոնք անշարժ չեն, կոչվում են ոչ անշարժ:

Ժամանակային շարքը հասկացվում է որպես մեկ կամ վերջավոր բազմության արժեքների ժամանակային հաջորդականություն պատահական փոփոխականներ. Առաջին դեպքում մենք խոսում ենք միակողմանի ժամանակային շարքի մասին, երկրորդում մենք խոսում ենք բազմաչափ ժամանակային շարքի մասին: Այստեղ դիտարկվելու են միայն միակողմանի ժամանակային շարքեր: Միաչափ ժամանակային շարքը կոչվում է անշարժ, եթե դրա հավանականական բնութագրերը հաստատուն են: Ժամանակային շարքը կոչվում է ոչ անշարժ, եթե հավանականական բնութագրերից գոնե մեկը հաստատուն չէ: Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը y 1, y 2, . . . կամ y -1, y 0, y 1, . . կոչվում է պատահական գործընթաց՝ դիսկրետ ժամանակի պարամետրով:

Քանի որ ժամանակային շարքի հաջորդ արժեքի առաջացման ժամանակի հաջորդականությունը կարևոր է, և ոչ թե առաջացման ժամանակի հատուկ արժեքը, ժամանակային շարքերում որպես փաստարկ օգտագործվում է ժամանակային շարքի արժեքի հղման համարը: Օրինակ.

x(1), x(2), ... ,x(k), ...

որտեղ x(k) k-րդ դիտարկման ժամանակային շարքի արժեքն է. k - դիտարկման համարը.

Շատ գործնական կիրառություններում դիտարկվում են անշարժ և ոչ ստացիոնար ժամանակային շարքեր՝ շարքի արժեքների նորմալ բաշխման օրենքով: Սա նշանակում է, որ.

անշարժ շարք՝ x(k) є (µ, y 2), µ = const, y 2 = const;

ոչ անշարժ շարք՝ x(k) є (µ, y 2), µ = var, y 2 = կոնստ.

Ստորև ներկայացված է անշարժ ժամանակային շարքի իրականացում.

Ժամանակային շարքերի կանխատեսելիություն.

Ժամանակային շարքը կանխատեսելու համար անհրաժեշտ է կառուցել դրա մոդելը: Շարքի կանխատեսելիությունը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ առկա է հավանական (վերլուծական) կապ սերիայի հետագա արժեքների և նախորդների միջև: Անշարժ ժամանակային շարքի կանխատեսելիությունը որոշվում է ավտոկոռելացիոն ֆունկցիայի միջոցով (ACF).

с(m) = M[(x(k) - µ)*(x(k + m) - µ)]/у 2

որտեղ՝ с(m) - ավտոկոռելացիոն ֆունկցիայի արժեքը x(k) ժամանակային շարքի m հերթափոխում:

ACF շարքի գնահատականներն ունեն հետևյալ ձևը.

Ակնհայտորեն, c(0) = 1, քանի որ սա ժամանակային շարքի հարաբերակցությունն է իր հետ:

Մենք կանխատեսում ենք անշարժ ժամանակային շարք, եթե m>0 գոյություն ունի (m) ? 0.

Անշարժ ժամանակային շարքը անկանխատեսելի է, եթե ցանկացած m>0 c(m) = 0: Նման շարքը կոչվում է «սպիտակ աղմուկ»:

Քանի որ ACF-ը հարաբերակցության գործակիցների արժեքն է, այն ոչ պատահական արժեքների ֆունկցիա է:

ACF-ը գնահատվում է ժամանակային շարքերի իրականացման հիման վրա: Եթե ​​իրականացումը պարունակում է n արժեք, ապա ավտոկոռելյացիայի ֆունկցիայի գնահատումը հետևյալն է.

որտեղ՝ r(m) - ACF գնահատական; x-ը ժամանակային շարքի իրականացման միջին արժեքն է. S 2 - ժամանակային շարքի իրականացման շեղումների գնահատում:

Ժամանակային շարքի կանխատեսելիությունը ստուգելիս իրականացման երկարությունը պետք է լինի առնվազն 20-30 դիտարկում:

Հարկ է նշել, որ դիտարկված մեթոդով ժամանակային շարքերի կանխատեսումը պահանջում է երկու պայմանի կատարում.

• 1. «Սպիտակ աղմուկի» e(k) պատահական փոփոխականը, որպես մոդելի բաղադրիչ, պետք է ենթարկվի. նորմալ օրենքբաշխում զրոյական մաթեմատիկական ակնկալիքով և վերջավոր շեղում е 2.
• 2. «Սպիտակ աղմուկի» e 2-ի ցրումը պետք է լինի հաստատուն արժեք:

Կանխատեսման հաշվարկման բանաձևը հետևյալն է.

x(k) = 27,2661 - 0,900766*

որտեղ x(k)-ը ժամանակային շարքի kth արժեքի մոդելի կանխատեսումն է:

Անշարժ ժամանակային շարքի մոդելի նույնականացում

Մոդելի նույնականացում. Առկա ժամանակային շարքերի հիման վրա ապագա կատարողականը կանխատեսելու համար անհրաժեշտ է բացահայտել մի մոդել, որը հնարավոր լավագույն ձևովնկարագրում է ընտրանքային ժամանակային շարքի ստեղծման գործընթացը: Նման մոդելը բացահայտելու համար կարող եք օգտագործել հաշվարկված ավտոկորելյացիայի գործառույթը: Ժամանակային շարքերի դինամիկան նկարագրելու բազմաթիվ մոդելներից երեքն առավել հաճախ օգտագործվում են՝ սպիտակ աղմուկի մոդելը, առաջին կարգի ավտոռեգեսիվ մոդելը և երկրորդ կարգի ավտոռեգեսիվ մոդելը: Եթե ​​գնահատված ավտոկոռելյացիայի ֆունկցիան ոչ էական ավտոկոռելյացիաների հավաքածու է, սա հստակ ցուցում է, որ տվյալ n-րդ ժամանակային շարքի փոփոխականությունը լավագույնս բնութագրվում է որպես «սպիտակ աղմուկ» կամ պատահական տատանումներ:

Ժամանակային շարքի մոդելի նույնականացման հիմքում ընկած հիմնական գաղափարը մնում է նույնը ինչպես պարզ, այնպես էլ բարդ մոդելների համար. դիտարկված տվյալների կառուցվածքի համապատասխանությունը հայտնի կառուցվածքին, որը կապված է մոդելների որոշակի դասի հետ: Երբ մոդելը նախկինում նույնականացվել է, դրա պարամետրերը գնահատվում են:

Ախտորոշիչ թեստ. Քանի որ ժամանակային շարքի մոդելի նույնականացումը փոքր-ինչ սուբյեկտիվ ընթացակարգ է, երբեմն խորհուրդ է տրվում գնահատել հայտնաբերված մոդելի համարժեքությունը՝ ստուգելով մոդելի մնացորդների ավտոկոռելյացիոն ֆունկցիայի նշանակությունը: Սա տեղին է, քանի որ ժամանակային շարքի մոդելի մնացորդները ավտոկոռելացված չեն:

Այնուամենայնիվ, անշարժ ժամանակային շարքի ավտոկոռելացիոն ֆունկցիան մեզ թույլ չի տալիս միանշանակ բացահայտել շարքի մոդելը: Դա հնարավոր է օգտագործել երկրորդը լրացուցիչ գործառույթ- մասնավոր ավտոկոռելյացիայի գործառույթ (PACF): CACF արժեքները m-րդ գործակցի արժեքն են ժամանակային շարքերը m կարգի ավտոռեգեսիվ գործընթացով ներկայացնելիս: Թող լինի անշարժ ժամանակային շարք x(k): Դիտարկենք ժամանակային շարքերի հետևյալ ներկայացումները ավտոռեգեսիվ գործընթացի միջոցով.

x(k) - m = a 11 *

x(k) - m = a 12 * + a 22 *

x(k) - m = a 13 * + a 23 * + a 33 *

... ... ... ... ... ... ... ... ...

x(k) - m = a 1 * + a 2 * + a 33 * + ... + a mm *

PACF-ի արժեքները 1, 2, 3, ..., m հերթափոխի համար գործակիցների արժեքներն են՝ a 11, a 22, a 33, ..., a մմ: PACF-ի գրաֆիկը կարող է նման լինել.

PACF-ը գնահատելուց հետո յուրաքանչյուր մ-ի համար անհրաժեշտ է ստուգել այն վարկածը, որ համապատասխան մասնակի ավտոկորելյացիայի գործակիցը հավասար է զրոյի: Վիճակագրական տվյալների մշակման ծրագրերում կրիտիկական արժեքները հաշվարկվում են գործակիցներից յուրաքանչյուրի համար, որոնք ընդունում են PACF-ի գնահատման գրաֆիկի վերահսկողության սահմանաչափերի ձևը:

Մոդելը նույնականացնելիս սովորաբար օգտագործվում են հետևյալ կանոնները.

• 1. Եթե ACF-ի առաջին արժեքների h-ը տարբերվում է զրոյից, իսկ ACF-ն բացարձակ արժեքով ասիմպտոտիկորեն հակված է զրոյի, ապա տեղի է ունենում ARSS(0,h) գործընթացը՝ h կարգի շարժվող միջին:
• 2. Եթե ACF-ի առաջին արժեքների h-ը տարբերվում է զրոյից, իսկ ACF-ն բացարձակ արժեքով ասիմպտոտիկ հակված է զրոյի, ապա տեղի է ունենում ARSS(h,0) գործընթացը՝ h կարգի ավտոռեգեսիա:
• 3. Եթե ACF-ի և PACF-ի արժեքները ասիմպտոտիկորեն հակված են զրոյի մոդուլում, ապա տեղի է ունենում խառը գործընթաց ARSS(p,q):

Պատահական փոփոխականների հավաքածու X(t), որտեղ կոչվում է (իրական թվեր): ստոխաստիկ գործընթաց. Դիսկրետ ստոխաստիկ գործընթացը սահմանվում է որպես պատահական փոփոխականների հաջորդականություն X(t), Որտեղ t = t 1, t 2, ..., t Tկամ ավելի կարճ X 1, X 2,..., X T...,կամ պարզապես X տ.

Ակնկալիք E (X տ)կարող է տարբեր լինել ժամանակի ընթացքում և ժամանակի ընթացքում միջինի ֆունկցիա է

.

Նմանապես, շեղումը (Xt)գործառույթ է, որը նույնպես կախված է ժամանակից.

Ընդհանրապես, յուրաքանչյուր պահի որոշակի ցրվածություն է նկատվում։ Սա նույնը չէ, ինչ էմպիրիկ տվյալների փոփոխականությունը, քանի որ գործընթացը զարգանում է ժամանակի ընթացքում:

Ավտոկավարիացիա

ընդհանուր առմամբ կախված է յուրաքանչյուր t 1 և t 2-ից:

Դիսկրետ ստոխաստիկ գործընթացի x 1, x 2,..., x t վերջնական իրականացումը... X 1, X 2,... X t... կոչվում է ժամանակային շարք:

Դիտարկենք միջև եղած տարբերությունը ստոխաստիկ գործընթացև դրանից առաջացած ժամանակային շարքեր.

Գործընթացները նշանակված են մեծատառերով, նշանակում է ժամանակային շարքեր փոքրատառեր. Բացառություն են կազմում մնացորդները ստոխաստիկ պրոցեսների մոդելներում, որոնք չունեն որևէ անկախ գործնական նշանակություն. Դրանք նշվում են նաև փոքրատառերով, օրինակ ա, ևև ε. Անհրաժեշտ է խիստ տարբերակում ժամանակային շարքերի հատկությունները ստոխաստիկ պրոցեսների հատկություններից ճիշտ դուրս բերելու համար։ Հետագայում, իրական ժամանակի շարքերը մոդելավորելիս, այս պայմանը կարող է հանգստանալ կամ բաց թողնել:

Ստոխաստիկ գործընթաց X տկանչեց ամուր իմաստով ստացիոնար,եթե բոլոր փոփոխականների համատեղ հավանականության բաշխումը ճիշտ նույնն է, ինչ փոփոխականների համար .

Տակ անշարժ գործընթաց՝ թույլ իմաստովհասկացվում է որպես ստոխաստիկ գործընթաց, որի համար միջինը և շեղումը, անկախ դիտարկվող ժամանակաշրջանից, ունեն հաստատուն արժեք, և ավտոկովարիանսը կախված է միայն դիտարկվող փոփոխականների միջև ուշացման երկարությունից:

Միջին ………………. .

Տարբերություն…………. .

Ավտոկավարիացիա…… ,

որտեղ (ուշացում):

Ավտոկովարիանսը որպես հետաձգման երկարության τ

կոչվում է ավտոկովարիանս ֆունկցիա: τ = 0-ում դրա արժեքը հավասար է դիսպերսիային:

Նորմալացումից հետո մենք ստանում ենք անշարժ ստոխաստիկ գործընթացի ավտոկորելացիոն ֆունկցիան.

Ժամանակային շարքեր x 1, x 2,..., x T,այսինքն՝ ստացիոնար ստոխաստիկ գործընթացի կոնկրետ իրականացում X տկոչվում է նաև ստացիոնար:

Գործնականում վերլուծական աշխատանքԺամանակային շարքի կայունությունը նշանակում է հետևյալի բացակայություն.

Տարբերության համակարգված փոփոխություններ;

Խիստ պարբերական տատանումներ;

Ժամանակային շարքի տարրերի միջև փոխկախվածության համակարգված փոփոխություն:

Տնտեսական ժամանակային շարքերը ներկայացնում են դիտողական տվյալները տնտեսական ցուցանիշներըՕրինակ՝ համախառն ներքին արդյունքը մի քանի տարիների ընթացքում, և նման շարքերը, որպես կանոն, անշարժ են։

Անշարժ շարքի գրաֆիկական ներկայացում

Էրգոդիկություն

Ստոխաստիկ գործընթացի բաշխման պարամետրերը գնահատելու հիմնական խնդիրն այն է, որ ընդհանուր առմամբ ընտրանքի չափը n=1 է, քանի որ սովորաբար գործընթացի մեկ իրականացում կա: Սա գրեթե անհնար է դարձնում իմաստալից գնահատական ​​տալը: Հետազոտվող ստոխաստիկ գործընթացը որպես այդպիսին անհայտ է: Դրա կայունությունը կամ ոչ կայունությունը կարելի է հաստատել միայն համապատասխան ժամանակային շարքերի վերլուծությամբ։ Սակայն, մյուս կողմից, ժամանակային շարքերի վերլուծության շատ մեթոդներ ենթադրում են իրենց կայունությունը: Սա հանգեցնում է մի տեսակ արատավոր շրջան, երբ գույքը, որի համար կատարվում է հետազոտություն, ներառված է նախնական նախադրյալների մեջ։

Այս խնդիրը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով հայեցակարգը էրգոդիկություն Սա կայուն պրոցեսների մեծ դասի վարքագիծն է, երբ միջին թվաբանականը ժամանակի ընթացքում համընկնում է μ մաթեմատիկական ակնկալիքին: Էրգոդիկությունը հնարավորություն է տալիս գնահատել ստոխաստիկ գործընթացը միայն դրա իրականացմամբ՝ ժամանակային շարքով:

Ժամանակային շարքերի կայունությունը ճանաչելու տարբեր մոտեցումներ կան.

· Ժամանակային շարքի գրաֆիկական ներկայացում և ցանկացած միտումի առկայության տեսողական ստուգում, այսինքն. միջին փոփոխվող, աճող կամ նվազող դիսպերսիա, կայուն պարբերականություններ;

· իրական տվյալների մեջ ավտոկոռելյացիայի առկայության հետազոտություն;

· դետերմինիստական ​​միտման առկայության թեստեր, օրինակ t - թեստ նվազագույն քառակուսիների մեթոդի գնահատումների գործակիցների համար.

· Ստոխաստիկ միտումի առկայության թեստեր, ինչպիսիք են միավոր արմատային թեստերը:

Հատուկ դեպքեր

Գործընթացը կոչվում է նորմալ, եթե համատեղ բաշխումը X t1, X t2,..., X t n- սա n-չափ է նորմալ բաշխում. Այս դեպքում թույլ իմաստով կայունությունը ենթադրում է կայունություն ուժեղ իմաստով։

«Սպիտակ աղմուկը» զուտ պատահական գործընթաց է, այսինքն. անկախ, նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների շարք a t (id). «Սպիտակ աղմուկի» հիմնական հատկությունները հետևյալն են.

Սա ակնհայտորեն ենթադրում է կայունություն։ Սպիտակ աղմուկը կարևոր դեր է խաղում տվյալներ ստեղծող ստոխաստիկ գործընթացի մնացորդների կամ ցնցումների մոդելավորման մեջ (ժամանակային շարքեր):

Ստուգելու համար, թե արդյոք x t-ի ժամանակային շարքը «սպիտակ աղմուկ է», կարող եք ստուգել դրա նմուշի ինքնահարաբերակցությունը՝ օգտագործելով Box-Pierce Q վիճակագրությունը.

Համաձայն զրոյական վարկածի, որ X t-ը «սպիտակ աղմուկ է», Q-վիճակագրությունը ունի բաշխում. rազատության աստիճաններ.