Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերը և նույնականությունները sin, cos, tg, ctg: Եռանկյունաչափության բանաձևեր Ի՞նչ է cos2x բանաձևը:

Հիմնական եռանկյունաչափության բանաձևերը բանաձևեր են, որոնք կապ են հաստատում հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև։ Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը փոխկապակցված են բազմաթիվ հարաբերություններով: Ստորև ներկայացված են հիմնականները եռանկյունաչափական բանաձևեր, և հարմարության համար մենք դրանք կխմբավորենք ըստ նպատակի։ Օգտագործելով այս բանաձևերը, դուք կարող եք լուծել գրեթե ցանկացած խնդիր ստանդարտ եռանկյունաչափության դասընթացից: Անմիջապես նկատենք, որ ստորև ներկայացված են միայն բանաձևերը, և ոչ թե դրանց եզրակացությունը, որոնք կքննարկվեն առանձին հոդվածներում:

Եռանկյունաչափության հիմնական ինքնությունները

Եռանկյունաչափական նույնականությունները ապահովում են մի անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի միջև կապը, ինչը թույլ է տալիս մի ֆունկցիա արտահայտել մյուսի տեսքով:

Եռանկյունաչափական ինքնություններ

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 մեղք 2 α

Այս ինքնությունները ուղղակիորեն բխում են միավոր շրջանագծի, սինուսի (sin), կոսինուսի (cos), շոշափողի (tg) և կոտանգենսի (ctg) սահմանումներից:

Կրճատման բանաձևեր

Կրճատման բանաձևերը թույլ են տալիս կամայական և կամայականորեն մեծ անկյուններով աշխատելուց անցնել 0-ից մինչև 90 աստիճան անկյունների հետ աշխատելու:

Կրճատման բանաձևեր

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - մեղք α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α. + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Կրճատման բանաձևերը պարբերականության հետևանք են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

Եռանկյունաչափական գումարման բանաձևեր

Եռանկյունաչափության մեջ գումարման բանաձևերը թույլ են տալիս արտահայտել անկյունների գումարի կամ տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիան այս անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով:

Եռանկյունաչափական գումարման բանաձևեր

մեղք α ± β = մեղք α · cos β ± cos α · մեղք β cos α + β = cos α · cos β - մեղք α · մեղք β cos α - β = cos α · cos β + մեղք α · մեղք β t g α. ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Հավելման բանաձևերի հիման վրա ստացվում են բազմաթիվ անկյունների եռանկյունաչափական բանաձևեր։

Բազմաթիվ անկյունների բանաձևեր՝ կրկնակի, եռակի և այլն:

Կրկնակի և եռակի անկյունային բանաձևեր

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α t g 2 α = t g 2 α - 1 2 · t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α. = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Կես անկյունային բանաձևեր

Կիսանկյան բանաձևերը եռանկյունաչափության մեջ կրկնակի անկյունային բանաձևերի հետևանք են և արտահայտում են կիսանկյան հիմնական ֆունկցիաների և ամբողջ անկյան կոսինուսի հարաբերությունները։

Կես անկյունային բանաձևեր

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Աստիճանների նվազեցման բանաձևեր

Աստիճանների նվազեցման բանաձևեր

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Հաճախ անհարմար է հաշվարկներ կատարելիս աշխատել ծանր ուժերով: Աստիճանների կրճատման բանաձևերը թույլ են տալիս նվազեցնել եռանկյունաչափական ֆունկցիայի աստիճանը կամայականորեն մեծից մինչև առաջինը: Ահա նրանց ընդհանուր տեսակետը.

Աստիճանների կրճատման բանաձևերի ընդհանուր տեսք

համար նույնիսկ n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

համար կենտ n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը և տարբերությունը

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների տարբերությունը և գումարը կարելի է ներկայացնել որպես արտադրյալ։ Սինուսների և կոսինուսների տարբերությունների ֆակտորինգը շատ հարմար է եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս և արտահայտությունները պարզեցնելիս։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը և տարբերությունը

մեղք α + մեղք β = 2 մեղք α + β 2 cos α - β 2 մեղք α - մեղք β = 2 մեղք α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β. 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալ

Եթե ​​ֆունկցիաների գումարի և տարբերության բանաձևերը թույլ են տալիս գնալ իրենց արտադրյալին, ապա եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի բանաձևերը կատարում են հակադարձ անցում` արտադրյալից դեպի գումար: Դիտարկվում են սինուսների, կոսինուսների և սինուս առ կոսինուսների արտադրյալի բանաձևերը:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի բանաձևեր

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α. cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում

Բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝ սինուս, կոսինուս, շոշափող և կոտանգենս, կարող են արտահայտվել կիսանկյան շոշափողով:

Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 տ գ α 2

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերը. Դաս թիվ 1

Եռանկյունաչափության մեջ օգտագործվող բանաձևերի թիվը բավականին մեծ է («բանաձևեր» ասելով մենք նկատի չունենք սահմանումներ (օրինակ՝ tgx=sinx/cosx), այլ նույնական հավասարումներ, ինչպիսիք են sin2x=2sinxcosx): Բանաձևերի այս առատությամբ կողմնորոշվելը և ուսանողներին անիմաստ խճողումներից չհոգնեցնելու համար անհրաժեշտ է առանձնացնել դրանցից ամենագլխավորները։ Նրանցից քիչ են՝ ընդամենը երեքը։ Մնացած բոլորը բխում են այս երեք բանաձևերից. Սա գումարի և տարբերության սինուսի և կոսինուսի հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունն է և բանաձևերը.

Մեղք 2 x+cos 2 x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

Այս երեք բանաձևերից բխում են սինուսի և կոսինուսի բացարձակապես բոլոր հատկությունները (պարբերականություն, պարբերության արժեք, սինուսի արժեք 30 0 = π/6=1/2 և այլն) Այս տեսանկյունից, դպրոցական ծրագիրօգտագործվում է շատ պաշտոնապես անհարկի, ավելորդ տեղեկատվություն: Այսպիսով, «1-3» բանաձևերը եռանկյունաչափական թագավորության տիրակալներն են: Անցնենք հետևողական բանաձևերին.

1) Բազմաթիվ անկյունների սինուսներ և կոսինուսներ

Եթե ​​x=y արժեքը փոխարինենք (2) և (3), ապա կստանանք.

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1

Մենք եզրակացրեցինք, որ sin0=0; cos0=1՝ առանց սինուսի և կոսինուսի երկրաչափական մեկնաբանության դիմելու։ Նմանապես, երկու անգամ կիրառելով «2-3» բանաձևերը, մենք կարող ենք դուրս բերել sin3x արտահայտություններ; cos3x; sin4x; cos4x և այլն:

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x

Առաջադրանք ուսանողների համար. դուրս բերել նմանատիպ արտահայտություններ cos3x-ի համար; sin4x; cos4x

2) Աստիճանների նվազեցման բանաձևեր

Լուծե՛ք հակադարձ խնդիրը՝ արտահայտելով սինուսի և կոսինուսի ուժերը կոսինուսներով և բազմակի անկյունների սինուսներով:

Օրինակ՝ cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, հետևաբար՝ cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, հետևաբար՝ sin 2 x=1/2-cos2x/2

Այս բանաձեւերը շատ հաճախ են օգտագործվում։ Նրանց ավելի լավ հասկանալու համար խորհուրդ եմ տալիս նկարել դրանց ձախ և աջ կողմերի գրաֆիկները։ Կոսինուսի և սինուսի քառակուսիների գրաֆիկները «փաթաթում» են «y=1/2» ուղիղ գծի գրաֆիկի շուրջը (սա cos 2 x-ի և sin 2 x-ի միջին արժեքն է բազմաթիվ ժամանակահատվածներում): Այս դեպքում տատանումների հաճախականությունը կրկնապատկվում է սկզբնականի համեմատ (cos 2 x sin 2 x ֆունկցիաների պարբերությունը հավասար է 2π /2=π), իսկ տատանումների ամպլիտուդը կրկնապատկվում է (գործակիցը 1/2 cos2x-ից առաջ) .

Խնդիր. Express sin 3 x; cos 3 x; մեղք 4 x ; cos 4 x բազմակի անկյունների կոսինուսների և սինուսների միջով:

3) Կրճատման բանաձևեր

Նրանք օգտագործում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականությունը՝ թույլ տալով դրանց արժեքները հաշվարկել եռանկյունաչափական շրջանի ցանկացած քառորդում՝ առաջին եռամսյակի արժեքներից: Կրճատման բանաձևերը «հիմնական» բանաձևերի շատ հատուկ դեպքեր են (2-3), օրինակ՝ cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx):

Այսպիսով, Cos(x+ π/2) =sinx

Առաջադրանք՝ դուրս բերել sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)

4) Բանաձևեր, որոնք կոսինուսի և սինուսի գումարը կամ տարբերությունը վերածում են արտադրյալի և հակառակը:

Դուրս գրենք երկու անկյունների գումարի և տարբերության սինուսի բանաձևը.

Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)

Ավելացնենք այս հավասարումների ձախ և աջ կողմերը.

Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

Նմանատիպ պայմանները չեղյալ են հայտարարվում, ուստի.

Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)

ա) (*) աջից ձախ կարդալիս ստանում ենք.

Sinxcosy= 1/2 (sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

Երկու անկյունների սինուսների արտադրյալը հավասար է գումարի սինուսների գումարի և այս անկյունների տարբերության կեսին:

բ) ձախից աջ (*) կարդալիս հարմար է նշել.

x-y = c. Այստեղից մենք կգտնենք XԵվ ժամըմիջոցով rԵվ Հետ, գումարելով և հանելով այս երկու հավասարումների ձախ և աջ կողմերը.

x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, փոխարինելով (*)-ով (x+y) և (x-y) ստացված նոր փոփոխականների փոխարեն rԵվ Հետ, եկեք պատկերացնենք սինուսների գումարը արտադրյալի միջոցով.

sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

Այսպիսով, գումարի և անկյունների տարբերության սինուսի հիմնական բանաձևի ուղղակի հետևանքը ստացվում է երկու նոր հարաբերություններ (4) և (5):

գ) այժմ (1) և (2) հավասարությունների ձախ և աջ կողմերը ավելացնելու փոխարեն, մենք դրանք կհանենք միմյանցից.

sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)

Այս ինքնությունը աջից ձախ կարդալը հանգեցնում է (4-ի) նման բանաձևի, որն անհետաքրքիր է դառնում, քանի որ. մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես քայքայել սինուսի և կոսինուսի արտադրյալները սինուսների գումարի (տես (4)): Ձախից աջ (6) կարդալը տալիս է բանաձև, որը սինուսների տարբերությունը վերածում է արտադրյալի.

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

Այսպիսով, մեկ հիմնարար ինքնության մեղքից (x±y) = sinxcosy±sinycosx, մենք ստացանք երեք նոր (4), (5), (7):

Մեկ այլ հիմնարար ինքնության հետ կատարված նմանատիպ աշխատանքը cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny արդեն հանգեցնում է չորս նորերի.

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos(x-y)); cosp + cosc ​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

Առաջադրանք՝ սինուսի և կոսինուսի գումարը վերածել արտադրյալի.

Սինքս + հարմարավետ = ? Լուծում․ եթե փորձեք չգտնել բանաձևը, բայց անմիջապես նայեք պատասխանին եռանկյունաչափական բանաձևերի որոշ աղյուսակում, ապա կարող եք պատրաստի արդյունք չգտնել։ Ուսանողները պետք է հասկանան, որ կարիք չկա անգիր անել և աղյուսակում մուտքագրել sinx+cosy = ... այլ բանաձև, քանի որ ցանկացած կոսինուս կարող է ներկայացվել որպես սինուս և, ընդհակառակը, օգտագործելով կրճատման բանաձևեր, օրինակ՝ sinx = cos ( π/2 – x), հարմարավետ = մեղք (π/2 – y): Հետեւաբար՝ sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2: