Եռանկյունաչափական գործառույթները պարբերական, այսինքն՝ դրանք կրկնվում են որոշակի ժամկետից հետո։ Արդյունքում, բավական է ուսումնասիրել ֆունկցիան այս միջակայքում և ընդլայնել հայտնաբերված հատկությունները մնացած բոլոր ժամանակաշրջանների վրա։

Հրահանգներ

1. Եթե ​​ձեզ տրված է պարզունակ արտահայտություն, որտեղ կա միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), և ֆունկցիայի ներսում գտնվող անկյունը չի բազմապատկվում որևէ թվով, և այն ինքնին չի բարձրացվում որևէ թվի: հզորություն - օգտագործեք սահմանումը: Sin, cos, sec, cosec պարունակող արտահայտությունների դեպքում պարբերությունը համարձակորեն սահմանեք 2P, իսկ եթե հավասարումը պարունակում է tg, ctg, ապա P. Ասենք, y=2 sinx+5 ֆունկցիայի համար պարբերությունը հավասար կլինի 2P:

2. Եթե ​​եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ գտնվող x անկյունը բազմապատկվում է ինչ-որ թվով, ապա այս ֆունկցիայի պարբերությունը գտնելու համար բնորոշ շրջանը բաժանեք այս թվի վրա։ Ենթադրենք, ձեզ տրված է y = sin 5x ֆունկցիա: Սինուսի բնորոշ ժամանակահատվածը 2P է, այն բաժանելով 5-ի, դուք ստանում եք 2P/5 - սա այս արտահայտության ցանկալի ժամանակահատվածն է:

3. Գտնելու համար եռանկյունաչափական ֆունկցիայի պարբերությունը, որը բարձրացված է մինչև հզորության, գնահատեք հզորության հավասարությունը: Հավասար աստիճանի համար կրճատեք բնորոշ ժամանակահատվածը կիսով չափ: Ենթադրենք, եթե ձեզ տրվի y = 3 cos^2x ֆունկցիան, ապա 2P-ի տիպային շրջանը կնվազի 2 անգամ, ուստի պարբերությունը հավասար կլինի P-ին: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ tg, ctg ֆունկցիաները պարբերական են P-ի համար յուրաքանչյուրի համար: աստիճան.

4. Եթե ​​ձեզ տրված է երկու եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալ կամ գործակից պարունակող հավասարում, նախ գտե՛ք դրանց բոլորի պարբերությունը առանձին: Դրանից հետո գտեք այն նվազագույն թիվը, որը կպարունակի երկու ժամանակաշրջանների ամբողջ թիվը: Ասենք տրված է y=tgx*cos5x ֆունկցիան։ Շոշափողի համար պարբերակը P է, կոսինուսի համար 5x պարբերակը 2P/5 է: Նվազագույն թիվը, որում կարող են տեղավորվել այս երկու ժամանակաշրջանները, 2P է, հետևաբար ցանկալի ժամանակահատվածը 2P է:

5. Եթե ​​դժվարանում եք դա անել առաջարկված եղանակով կամ կասկածում եք արդյունքի վրա, փորձեք դա անել ըստ սահմանման։ Վերցրեք T-ը որպես ֆունկցիայի ժամանակաշրջան, այն մեծ է զրոյից: Փոխարինեք (x + T) հավասարման մեջ x-ի փոխարեն և լուծեք ստացված հավասարությունը, կարծես T-ը պարամետր կամ թիվ է: Արդյունքում դուք կբացահայտեք եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը և կկարողանաք գտնել ամենափոքր պարբերությունը։ Ենթադրենք, ռելիեֆի արդյունքում դուք ստանում եք նույնական մեղքը (T/2) = 0: T-ի նվազագույն արժեքը, որով այն կատարվում է, 2P է, սա կլինի առաջադրանքի արդյունքը:

Պարբերական ֆունկցիան ֆունկցիա է, որը կրկնում է իր արժեքները որոշ ոչ զրոյական ժամանակաշրջանից հետո: Ֆունկցիայի պարբերությունը այն թիվն է, որը ֆունկցիայի արգումենտին գումարվելիս չի փոխում ֆունկցիայի արժեքը։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Տարրական մաթեմատիկայի և հիմնական ստուգատեսի իմացություն:

Հրահանգներ

1. F(x) ֆունկցիայի պարբերությունը նշանակենք K թվով: Մեր խնդիրն է բացահայտել K-ի այս արժեքը: Դա անելու համար պատկերացրեք, որ f(x) ֆունկցիան, օգտագործելով պարբերական ֆունկցիայի սահմանումը, մենք հավասարեցնում ենք. f(x+K)=f(x):

2. Մենք լուծում ենք ստացված հավասարումը անհայտ K-ի վերաբերյալ, կարծես x-ը հաստատուն լինի: Կախված K-ի արժեքից, կլինեն մի քանի տարբերակներ.

3. Եթե ​​K>0 – ապա սա ձեր ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է, ապա f(x) ֆունկցիան պարբերական չէ, եթե f(x+K)=f(x) հավասարման լուծումը գոյություն չունի ցանկացած K-ի համար, որը հավասար չէ զրոյի, ապա այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է պարբերական և այն նույնպես չունի պարբերություն։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Ուշադրություն դարձրեք.
Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են, իսկ 2-ից մեծ աստիճան ունեցող բոլոր բազմանդամ ֆունկցիաները՝ պարբերական։

Օգտակար խորհուրդ
2 պարբերական ֆունկցիաներից բաղկացած ֆունկցիայի պարբերությունը այս ֆունկցիաների ժամանակաշրջանների ամենափոքր ունիվերսալ բազմապատիկն է։

Եռանկյունաչափական հավասարումները հավասարումներ են, որոնք պարունակում են անհայտ փաստարկի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (օրինակ՝ 5sinx-3cosx =7): Որպեսզի սովորեք, թե ինչպես լուծել դրանք, դուք պետք է իմանաք դա անելու որոշ ուղիներ:

Հրահանգներ

1. Նման հավասարումների լուծումը բաղկացած է 2 փուլից: Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումներն են՝ Sinx=a; Cosx=a և այլն:

2. Երկրորդը ստացված ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարման լուծումն է։ Այս տիպի հավասարումների լուծման հիմնական եղանակներ կան՝ լուծել հանրահաշվով: Այս մեթոդը հայտնի է դպրոցից՝ հանրահաշվի դասընթացից: Այլ կերպ կոչվում է փոփոխական փոխարինման և փոխարինման մեթոդ: Օգտագործելով կրճատման բանաձևերը՝ մենք փոխակերպում ենք, կատարում փոխարինում, այնուհետև գտնում ենք արմատները։

3. Հավասարման ֆակտորինգ. Նախ, մենք բոլոր տերմինները տեղափոխում ենք ձախ և գործոնավորում դրանք:

4. Հավասարումը դարձնելով միատարր: Հավասարումները կոչվում են միատարր հավասարումներ, եթե բոլոր անդամները նույն աստիճանի են, իսկ սինուսներն ու կոսինուսները՝ նույն անկյան տակ, այն լուծելու համար պետք է. բոլոր ունիվերսալ գործոնները տեղափոխել փակագծերից; հավասարեցնել գործոնները և փակագծերը զրոյի; հավասարեցված փակագծերը տալիս են ավելի ցածր աստիճանի միատարր հավասարում, որը պետք է բաժանվի cos-ով (կամ sin-ով) մինչև ամենաբարձր աստիճանը. լուծել ստացված հանրահաշվական հավասարումը թանի վերաբերյալ:

5. Հաջորդ ճանապարհը կես անկյան տակ անցնելն է: Ասենք, լուծե՛ք հավասարումը. 3 sin x – 5 cos x = 7: Անցնենք կիսանկյունին՝ 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos: (x / 2) + 5 մեղք ? (x / 2) = 7 մեղք ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , որից հետո բոլոր անդամները կրճատում ենք մեկ մասի (ցանկալի է աջ կողմը) և լուծում ենք հավասարումը։

6. Օժանդակ անկյան մուտք. Երբ մենք փոխարինում ենք cos(a) կամ sin(a) ամբողջ թիվը։ «ա» նշանը օժանդակ անկյուն է։

7. Ապրանքը գումարի վերածելու մեթոդ: Այստեղ դուք պետք է կիրառեք համապատասխան բանաձեւերը: Ենթադրենք տրված՝ 2 sin x · sin 3x = cos 4x Լուծե՛ք այն՝ վերափոխելով ձախ կողմը գումարի, այսինքն՝ cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8:

8. Վերջնական մեթոդը կոչվում է բազմաֆունկցիոնալ փոխարինում: Մենք փոխակերպում ենք արտահայտությունը և կատարում փոփոխություն, ասում ենք Cos(x/2)=u, ապա լուծում ենք u պարամետրով հավասարումը։ Ընդհանուրը գնելիս արժեքը փոխարկում ենք հակառակի։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Եթե ​​դիտարկենք շրջանագծի կետերը, ապա կետերը x, x + 2π, x + 4π և այլն: համընկնում են միմյանց հետ. Այսպիսով, եռանկյունաչափական գործառույթներըուղիղ գծի վրա պարբերաբարկրկնել դրանց իմաստը. Եթե ​​ժամանակաշրջանը հայտնի է գործառույթները, այս ժամանակահատվածի վրա կարելի է ֆունկցիա կառուցել և այն կրկնել մյուսների վրա։

Հրահանգներ

1. Ժամանակահատվածը T այնպիսի թիվ է, որ f(x) = f(x+T): Ժամանակահատվածը գտնելու համար լուծեք համապատասխան հավասարումը` որպես փաստարկ փոխարինելով x-ը և x+T-ը: Այս դեպքում ֆունկցիաների համար օգտագործում են արդեն հայտնի ժամանակաշրջանները։ Սինուսի և կոսինուսի ֆունկցիաների համար պարբերությունը 2π է, իսկ տանգենսի և կոտանգենսի համար՝ π։

2. Թող տրվի f(x) = sin^2(10x) ֆունկցիան: Դիտարկենք sin^2(10x) = sin^2(10(x+T) արտահայտությունը: Աստիճանը նվազեցնելու համար օգտագործեք բանաձևը՝ sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2: Այնուհետև դուք ստանում եք 1 – cos 20x = 1 – cos 20 (x+T) կամ cos 20x = cos (20x+20T): Իմանալով, որ կոսինուսի պարբերությունը 2π է, 20T = 2π։ Սա նշանակում է T = π/10: T-ն նվազագույն ճիշտ ժամանակաշրջանն է, և ֆունկցիան կկրկնվի 2Տ-ից և 3Տ-ից հետո, իսկ առանցքի երկայնքով մյուս ուղղությամբ՝ -T, -2T և այլն։

Օգտակար խորհուրդ
Գործառույթի աստիճանը նվազեցնելու համար օգտագործեք բանաձևեր: Եթե ​​դուք արդեն գիտեք որոշ գործառույթների ժամանակաշրջանները, փորձեք նվազեցնել առկա գործառույթը մինչև հայտնի:

Ֆունկցիայի հավասարության և տարօրինակության ուսումնասիրությունը օգնում է կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը և հասկանալ դրա վարքագծի բնույթը: Այս հետազոտության համար դուք պետք է համեմատեք այս ֆունկցիան, որը գրված է «x» և «-x» փաստարկի համար:

Հրահանգներ

1. Գրեք այն ֆունկցիան, որը ցանկանում եք ուսումնասիրել y=y(x) ձևով:

2. Ֆունկցիայի արգումենտը փոխարինի՛ր «-x»-ով։ Փոխարինեք այս փաստարկը ֆունկցիոնալ արտահայտությամբ:

3. Պարզեցրեք արտահայտությունը.

4. Այսպիսով, դուք ունեք նույն գործառույթը, որը գրված է «x» և «-x» արգումենտների համար: Նայեք այս երկու գրառումներին, եթե y(-x)=y(x), ապա այն զույգ ֆունկցիա է, եթե դա անհնար է ֆունկցիայի մասին ասեք, որ y (-x)=y(x) կամ y(-x)=-y(x), ապա հավասարության հատկությամբ սա ունիվերսալ ձևի ֆունկցիա է։ Այսինքն՝ ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

5. Գրեք ձեր բացահայտումները: Այժմ դուք կարող եք դրանք օգտագործել ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու կամ ֆունկցիայի հատկությունների ապագա վերլուծական ուսումնասիրության մեջ:

6. Ֆունկցիայի հավասարության և տարօրինակության մասին կարելի է խոսել նաև այն դեպքում, երբ արդեն տրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Ենթադրենք, որ գրաֆիկը ծառայում է որպես ֆիզիկական փորձի արդյունք, եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ, ապա y(x) ֆունկցիան սիմետրիկ է աբսցիսային առանցքի նկատմամբ x(y)-ը զույգ ֆունկցիա է: x(y) y(x) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան է, եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է (0,0), ապա y(x)-ը կենտ ֆունկցիա է: Հակադարձ x(y) ֆունկցիան նույնպես կենտ կլինի:

7. Կարևոր է հիշել, որ ֆունկցիայի հավասարության և տարօրինակության գաղափարը անմիջական կապ ունի ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի հետ։ Եթե, ասենք, զույգ կամ կենտ ֆունկցիա գոյություն չունի x=5-ում, ապա այն գոյություն չունի x=-5-ում, ինչը չի կարելի ասել համընդհանուր ձևի ֆունկցիայի մասին։ Զույգ և կենտ հավասարություն սահմանելիս ուշադրություն դարձրեք ֆունկցիայի տիրույթին։

8. Հավասարության և տարօրինակության համար ֆունկցիա գտնելը փոխկապակցված է ֆունկցիայի արժեքների մի շարք գտնելու հետ: Զույգ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը գտնելու համար բավական է նայել ֆունկցիայի կեսին՝ զրոյից աջ կամ ձախ: Եթե ​​x>0-ում y(x) զույգ ֆունկցիան ընդունում է արժեքներ A-ից B, ապա այն կունենա նույն արժեքները x-ում:<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 կենտ y(x) ֆունկցիան վերցնում է արժեքների մի շարք A-ից B, այնուհետև x-ում<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

«Եռանկյունաչափական» ժամանակին սկսեցին կոչվել գործառույթներ, որոնք որոշվում են ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների կախվածությամբ նրա կողմերի երկարություններից: Նման ֆունկցիաները ներառում են, առաջին հերթին, սինուսը և կոսինուսը, երկրորդ՝ այս ֆունկցիաների հակադարձը՝ սեկանտը և կոսեկանտը, դրանց ածանցյալները՝ շոշափող և կոտանգենս, ինչպես նաև հակադարձ ֆունկցիաները՝ արքսին, արկկոսին և այլն։ Ավելի դրական է չխոսել։ նման ֆունկցիաների «լուծումը», բայց դրանց «հաշվարկի», այսինքն՝ թվային արժեք գտնելու մասին։

Հրահանգներ

1. Եթե ​​եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արգումենտը անհայտ է, ապա դրա արժեքը կարելի է հաշվարկել անուղղակի մեթոդով՝ հիմնված այդ ֆունկցիաների սահմանումների վրա։ Դրա համար անհրաժեշտ է իմանալ եռանկյան կողմերի երկարությունները, որի անկյուններից մեկի եռանկյունաչափական ֆունկցիան պետք է հաշվարկվի։ Ենթադրենք, ըստ սահմանման, ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը այս անկյան դիմաց գտնվող ոտքի երկարության հարաբերությունն է հիպոթենուսի երկարությանը: Այստեղից հետևում է, որ անկյան սինուսը գտնելու համար բավական է իմանալ այս 2 կողմերի երկարությունները։ Նմանատիպ սահմանումը նշում է, որ սուր անկյան սինուսը այս անկյան հարակից ոտքի երկարության և հիպոթենուսի երկարության հարաբերությունն է: Սուր անկյան շոշափողը կարելի է հաշվել՝ հակառակ ոտքի երկարությունը բաժանելով հարակից ոտքի երկարության վրա, իսկ կոտանգենսը պահանջում է հարակից ոտքի երկարությունը բաժանել հակառակ ոտքի երկարության վրա։ Սուր անկյան հատվածը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել հիպոթենուզայի երկարության հարաբերությունը պահանջվող անկյան հարակից ոտքի երկարությանը, իսկ կոսեկանտը որոշվում է հիպոթենուզայի երկարության և երկարության հարաբերությամբ: հակառակ ոտքի.

2. Եթե ​​եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկը ճիշտ է, ապա ձեզ հարկավոր չէ իմանալ եռանկյունու կողմերի երկարությունները. կարող եք օգտագործել արժեքների աղյուսակներ կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հաշվիչներ: Նման հաշվիչը ներառված է Windows օպերացիոն համակարգի ստանդարտ ծրագրերում։ Այն գործարկելու համար կարող եք սեղմել Win + R ստեղնաշարի համակցությունը, մուտքագրել calc հրամանը և սեղմել «OK» կոճակը: Ծրագրի միջերեսում ընդլայնեք «Դիտել» բաժինը և ընտրեք «Ինժեներ» կամ «Գիտնական» կետը: Սրանից հետո կարելի է ներկայացնել եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկը։ Սինուս, կոսինուս և շոշափող ֆունկցիաները հաշվարկելու համար, ավելի շուտ, արժեքը մուտքագրելուց հետո սեղմեք համապատասխան միջերեսի կոճակը (sin, cos, tg), և դրանց հակադարձ աղեղնաշարը, արկկոսինն ու արկտանգենսը գտնելու համար նախապես պետք է ստուգեք Inv վանդակը:

3. Կան նաև այլընտրանքային մեթոդներ. Դրանցից մեկն այն է, որ մտնես Nigma կամ Google որոնողական համակարգի կայք ու որպես որոնման հարցում մուտքագրես ցանկալի ֆունկցիան ու դրա արգումենտը (ասենք՝ sin 0.47)։ Այս որոնողական համակարգերն ունեն ներկառուցված հաշվիչներ, ուստի նման հարցում ուղարկելուց հետո դուք կստանաք ձեր մուտքագրած եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Հուշում 7. Ինչպես բացահայտել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքը

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները առաջին անգամ հայտնվեցին որպես գործիքներ՝ ուղղանկյուն եռանկյունի սուր անկյունների արժեքների կախվածության վերացական մաթեմատիկական հաշվարկների համար իր կողմերի երկարություններից: Այժմ դրանք լայնորեն կիրառվում են մարդու գործունեության ինչպես գիտական, այնպես էլ տեխնիկական ոլորտներում։ Տրված փաստարկներից եռանկյունաչափական ֆունկցիաների օգտակար հաշվարկների համար կարող եք օգտագործել տարբեր գործիքներ. դրանցից մի քանիսը, որոնք հատկապես մատչելի են, նկարագրված են ստորև:

Հրահանգներ

1. Օգտագործեք, ասենք, օպերացիոն համակարգով լռելյայն տեղադրված հաշվիչ ծրագիրը։ Այն բացվում է՝ «Բոլոր ծրագրերը» բաժնում գտնվող «Տիպիկ» ենթաբաժնում «Ծառայություն» թղթապանակում ընտրելով «Հաշվիչ» տարրը: Այս բաժինը կարելի է գտնել՝ սեղմելով «Սկսել» կոճակը՝ օպերացիոն համակարգի հիմնական ընտրացանկը բացելու համար: Եթե ​​դուք օգտագործում եք Windows 7-ի տարբերակը, ապա, ամենայն հավանականությամբ, հիմնական ցանկի «Հայտնաբերել ծրագրեր և ֆայլեր» դաշտում պարզապես մուտքագրեք «Հաշվիչ» բառը, այնուհետև կտտացրեք որոնման արդյունքների համապատասխան հղմանը:

2. Մուտքագրեք անկյան արժեքը, որի համար ցանկանում եք հաշվարկել եռանկյունաչափական ֆունկցիան, այնուհետև սեղմեք այս ֆունկցիային համապատասխան կոճակը՝ sin, cos կամ tan: Եթե ​​ձեզ անհանգստացնում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (արկսին, արկկոսին կամ արկտանգենս), ապա նախ սեղմեք Inv պիտակավորված կոճակը. այն փոխում է հաշվիչի ուղեցույցի կոճակներին տրված գործառույթները հակառակի:

3. ՕՀ-ի ավելի վաղ տարբերակներում (ասենք՝ Windows XP), եռանկյունաչափական գործառույթներ մուտք գործելու համար անհրաժեշտ է հաշվիչի ընտրացանկում բացել «Դիտել» բաժինը և ընտրել «Ինժեներական» տողը: Բացի այդ, Inv կոճակի փոխարեն ծրագրի հին տարբերակների ինտերֆեյսը ունի նույն մակագրությամբ վանդակ։

4. Դուք կարող եք անել առանց հաշվիչի, եթե ունեք ինտերնետ հասանելիություն: Ինտերնետում կան բազմաթիվ ծառայություններ, որոնք առաջարկում են տարբեր ձևերով կազմակերպված եռանկյունաչափական ֆունկցիայի հաշվիչներ: Հատկապես հարմար տարբերակներից մեկը ներդրված է Nigma որոնման համակարգում։ Անցնելով նրա գլխավոր էջ, պարզապես մուտքագրեք այն արժեքը, որը ձեզ անհանգստացնում է որոնման հարցման դաշտում, ասենք, «աղեղային շոշափող 30 աստիճան»: «Հայտնաբերել» կոճակը սեղմելուց հետո Որոնողական համակարգը կհաշվարկի և ցույց կտա հաշվարկի արդյունքը՝ 0,482347907101025։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է՝ հասկանալու գործառույթները, որոնք արտահայտում են ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի տարբեր կախվածություններ հիպոթենուսում սուր անկյունների արժեքներից։ Նման ֆունկցիաները կոչվում էին եռանկյունաչափական, և դրանց հետ աշխատանքը հեշտացնելու համար ստացվեցին եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ ինքնությունները .

Կատարում ինքնություններըՄաթեմատիկայի մեջ այն նշանակում է հավասարություն, որը բավարարվում է դրանում ներառված ֆունկցիաների արգումենտների բոլոր արժեքների համար: Եռանկյունաչափական ինքնություններըԵռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարություններ են, հաստատված և ընդունված՝ եռանկյունաչափական բանաձևերի հետ աշխատանքը պարզեցնելու համար: Վեց հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, որոնք առավել հաճախ օգտագործվում են՝ sin (sinus), cos (cosine), tg (tangent), ctg (cotangent), sec (secant) և cosec (cosecant): Այս ֆունկցիաները կոչվում են ուղիղ ֆունկցիաներ, կան նաև հակադարձ ֆունկցիաներ, ասենք՝ սինուս - արկսին, կոսինուս - արկկոսին և այլն։ Սկզբում եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտացոլվել են երկրաչափության մեջ, որից հետո տարածվել են գիտության այլ ոլորտներում՝ ֆիզիկա, քիմիա, աշխարհագրություն, օպտիկա, հավանականությունների տեսություն, ինչպես նաև ակուստիկա, երաժշտության տեսություն, հնչյունաբանություն, համակարգչային գրաֆիկա և շատ ուրիշներ: Մեր օրերում դժվար է պատկերացնել մաթեմատիկական հաշվարկներն առանց այդ ֆունկցիաների, թեև հեռավոր անցյալում դրանք օգտագործվել են միայն աստղագիտության և ճարտարապետության մեջ ինքնություններըօգտագործվում են երկար եռանկյունաչափական բանաձևերի հետ աշխատանքը պարզեցնելու և դրանք մարսելի ձևի հասցնելու համար։ Գոյություն ունեն վեց հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ, որոնք կապված են ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ. tg ? = մեղք?/cos?; մեղք ^ 2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1 / մեղք ^ 2?; մեղք (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = մեղք ? ինքնություններըՀեշտ է հաստատել ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի և անկյունների հարաբերակցության հատկություններից. մեղք. = BC / AC = b / c; cos? = AB / AC = a / c; tg? = բ/ա Առաջին ինքնությունը tg ? = մեղք ?/cos ? բխում է եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունից և c կողմի բացառումից (հիպոթենուզա) մեղքը cos-ի բաժանելիս։ Ինքնությունը ctg ? = cos ?/sin ?, քանի որ ctg ? = 1/tg ?.Պյութագորասի թեորեմով a^2 + b^2 = c^2. Այս հավասարությունը բաժանենք c^2-ի, ստանում ենք երկրորդ ինքնությունը՝ a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1. Երրորդ և չորրորդ ինքնություններըստացվել է համապատասխանաբար b^2-ի և a^2-ի բաժանելով՝ a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2? = 1/մեղք ^ ? կամ 1 + ctg^2 ? = 1 / մեղք ^ 2 ?. Հինգերորդ և վեցերորդ հիմնական ինքնություններըապացուցվում են ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը որոշելով, որը հավասար է 90° կամ?/2: Ավելի բարդ եռանկյունաչափական ինքնություններըարգումենտների, կրկնակի և եռակի անկյունների ավելացման, աստիճանների կրճատման, ֆունկցիաների գումարի կամ արտադրյալի բարեփոխման բանաձևեր, ինչպես նաև եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևեր, այն է՝ հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտությունները կիսանկյունի tg-ի միջոցով. sin ?= (2*tg): ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2):

Նվազագույնը գտնելու անհրաժեշտությունը իմաստըմաթեմատիկական գործառույթներըփաստացի հետաքրքրություն է ներկայացնում կիրառական խնդիրների լուծման համար, ասենք, տնտեսագիտության մեջ։ Հսկայական իմաստըԿորուստները նվազագույնի հասցնելը կարևոր է ձեռնարկատիրական գործունեության համար:

Հրահանգներ

1. Նվազագույնը բացահայտելու համար իմաստը գործառույթները, անհրաժեշտ է որոշել, թե x0 փաստարկի ո՞ր արժեքով կբավարարվի y(x0) անհավասարությունը։ y(x), որտեղ x? x0. Ինչպես միշտ, այս խնդիրը լուծվում է որոշակի ընդմիջումով կամ արժեքների յուրաքանչյուր տիրույթում գործառույթները, եթե մեկը նշված չէ։ Լուծման մի կողմը ֆիքսված կետեր գտնելն է:

2. Անշարժ կետը կոչվում է իմաստըփաստարկ, որում ածանցյալը գործառույթներըգնում է զրոյի: Ֆերմայի թեորեմի համաձայն, եթե դիֆերենցիալ ֆունկցիան վերցնում է էքստրեմալ իմաստըինչ-որ պահի (այս դեպքում՝ տեղական նվազագույնը), ապա այս կետը անշարժ է:

3. Նվազագույնը իմաստըֆունկցիան հաճախ ստանձնում է հենց այս կետը, բայց այն չի կարող անընդմեջ որոշվել: Ավելին, միշտ չէ, որ հնարավոր է ճշգրիտ ասել, թե որն է նվազագույնը գործառույթներըկամ ընդունում է անսահման փոքրը իմաստը. Հետո, ինչպես միշտ, նրանք գտնում են այն սահմանը, որին այն ձգտում է, քանի որ նվազում է:

4. Նվազագույնը որոշելու համար իմաստը գործառույթները, դուք պետք է կատարեք գործողությունների հաջորդականություն, որը բաղկացած է չորս փուլից՝ գտնել սահմանման տիրույթը գործառույթները, ֆիքսված կետերի ձեռքբերում, արժեքների ակնարկ գործառույթներըայս կետերում և բացվածքի ծայրերում՝ հայտնաբերելով նվազագույնը։

5. Ստացվում է, որ որոշ y(x) ֆունկցիա տրված է A և B կետերի սահմաններով ինտերվալի վրա: Գտե՛ք դրա սահմանման տիրույթը և պարզե՛ք, արդյոք միջակայքը նրա ենթաբազմությունն է:

6. Հաշվարկել ածանցյալը գործառույթները. Ստացված արտահայտությունը հավասարեցրե՛ք զրոյի և գտե՛ք հավասարման արմատները։ Ստուգեք՝ արդյոք այս անշարժ կետերը ընկնում են բացվածքի մեջ: Եթե ​​ոչ, ապա հաջորդ փուլում դրանք հաշվի չեն առնվում։

7. Ուսումնասիրեք բացը սահմանների տեսակի համար՝ բաց, փակ, բարդ կամ անչափելի: Սա որոշում է, թե ինչպես եք փնտրում նվազագույնը իմաստը. Ենթադրենք [A, B] հատվածը փակ ինտերվալ է։ Միացրեք դրանք ֆունկցիայի մեջ և հաշվարկեք արժեքները: Նույնը արեք անշարժ կետի հետ: Ընտրեք նվազագույն գումարը:

8. Բաց ու անչափելի ընդմիջումներով իրավիճակը մի փոքր ավելի բարդ է։ Այստեղ դուք ստիպված կլինեք փնտրել միակողմանի սահմաններ, որոնք միշտ չեն տալիս միանշանակ արդյունք: Ասենք, մեկ փակ և մեկ ծակված սահման ունեցող միջակայքի համար (A, B) պետք է գտնել ֆունկցիա x = A-ում և միակողմանի սահման lim y x-ում: Բ-0.

Փաստարկ x, ապա այն կոչվում է պարբերական, եթե կա T այնպիսի թիվ, որ ցանկացած x-ի համար F(x + T) = F(x): Այս T թիվը կոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։

Կարող են լինել մի քանի ժամանակահատվածներ: Օրինակ, F = const ֆունկցիան ընդունում է նույն արժեքը փաստարկի ցանկացած արժեքի համար, և, հետևաբար, ցանկացած թիվ կարելի է համարել դրա ժամանակաշրջան:

Սովորաբար ձեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի ամենափոքր ոչ զրոյական պարբերությունը: Հակիրճության համար այն պարզապես կոչվում է ժամանակաշրջան:

Պարբերական ֆունկցիաների դասական օրինակ է եռանկյունաչափությունը՝ սինուս, կոսինուս և շոշափող: Նրանց ժամանակաշրջանը նույնն է և հավասար է 2π-ի, այսինքն՝ sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) և այլն։ Սակայն, իհարկե, եռանկյունաչափական ֆունկցիաները միակ պարբերականը չեն։

Պարզ, հիմնական ֆունկցիաների դեպքում դրանց պարբերական կամ ոչ պարբերական լինելը որոշելու միակ միջոցը հաշվարկն է: Բայց բարդ գործառույթների համար արդեն կան մի քանի պարզ կանոններ.

Եթե ​​F(x)-ը T պարբերությամբ է, և դրա համար սահմանված է ածանցյալ, ապա այս ածանցյալը f(x) = F′(x) նույնպես T պարբերաշրջանով պարբերական ֆունկցիա է: Ի վերջո, ածանցյալի արժեքը կետում: x-ը հավասար է իր հակաածանցյալի գրաֆիկի շոշափող անկյան շոշափմանը այս կետում x առանցքի վրա, և քանի որ հակաածանցյալը պարբերաբար կրկնվում է, ածանցյալը նույնպես պետք է կրկնվի: Օրինակ, sin(x) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է cos(x-ին), և այն պարբերական է։ Cos(x)-ի ածանցյալը վերցնելով՝ ստանում ենք –sin(x): Հաճախականությունը մնում է անփոփոխ:

Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ ճիշտ է հակառակը։ Այսպիսով, f(x) = const ֆունկցիան պարբերական է, բայց դրա հակաածանցյալը F(x) = const*x + C՝ ոչ։

Եթե ​​F(x)-ը T պարբերակով պարբերական ֆունկցիա է, ապա G(x) = a*F(kx + b), որտեղ a, b և k հաստատուններ են, իսկ k-ը հավասար չէ զրոյի, նույնպես պարբերական ֆունկցիա է: , իսկ նրա ժամանակաշրջանը Տ/կ է։ Օրինակ, sin(2x)-ը պարբերական ֆունկցիա է, իսկ պարբերությունը՝ π: Սա տեսողականորեն կարելի է ներկայացնել այսպես. x-ը բազմապատկելով ինչ-որ թվով, թվում է, թե ֆունկցիայի գրաֆիկը հորիզոնական կերպով սեղմում եք հենց այդքան անգամ։

Եթե ​​F1(x) և F2(x) պարբերական ֆունկցիաներ են, և դրանց պարբերությունները համապատասխանաբար հավասար են T1-ին և T2-ին, ապա այդ ֆունկցիաների գումարը կարող է լինել նաև պարբերական։ Այնուամենայնիվ, դրա ժամանակաշրջանը չի լինի T1 և T2 ժամանակաշրջանների պարզ գումար: Եթե ​​T1/T2 բաժանման արդյունքը ռացիոնալ թիվ է, ապա ֆունկցիաների գումարը պարբերական է, և դրա պարբերությունը հավասար է T1 և T2 պարբերությունների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին (LCM): Օրինակ, եթե առաջին ֆունկցիայի պարբերությունը 12 է, իսկ երկրորդինը՝ 15, ապա դրանց գումարի պարբերությունը հավասար կլինի LCM (12, 15) = 60։

Սա տեսողականորեն կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ. ֆունկցիաները գալիս են տարբեր «քայլերի լայնություններով», բայց եթե դրանց լայնությունների հարաբերակցությունը ռացիոնալ է, ապա վաղ թե ուշ (ավելի ճիշտ՝ հենց քայլերի LCM-ի միջոցով), դրանք նորից հավասար կլինեն, և դրանց գումարը կսկսի նոր շրջան։

Սակայն, եթե ժամանակաշրջանների հարաբերակցությունը իռացիոնալ է, ապա ընդհանուր ֆունկցիան ընդհանրապես պարբերական չի լինի։ Օրինակ, թողեք F1(x) = x mod 2 (մնացորդը, երբ x-ը բաժանվում է 2-ի), իսկ F2(x) = sin(x): T1-ն այստեղ հավասար կլինի 2-ի, իսկ T2-ը՝ 2π-ի: Ժամանակահատվածների հարաբերակցությունը հավասար է π - իռացիոնալ թիվ: Հետևաբար, sin(x) + x mod 2 ֆունկցիան պարբերական չէ։

Նպատակը. ամփոփել և համակարգել ուսանողների գիտելիքները «Ֆունկցիաների պարբերականություն» թեմայով. զարգացնել պարբերական ֆունկցիայի հատկությունները կիրառելու, ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը գտնելու, պարբերական ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցման հմտություններ. խթանել մաթեմատիկա ուսումնասիրելու հետաքրքրությունը; զարգացնել դիտողականությունը և ճշգրտությունը:

Սարքավորումներ՝ համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, առաջադրանքների քարտեր, սլայդներ, ժամացույցներ, զարդանախշերի սեղաններ, ժողովրդական արհեստների տարրեր

«Մաթեմատիկան այն է, ինչ մարդիկ օգտագործում են բնությունը և իրենց կառավարելու համար»:
Ա.Ն. Կոլմոգորովը

Դասի առաջընթաց

I. Կազմակերպչական փուլ.

Ուսանողների պատրաստակամության ստուգում դասին: Զեկուցեք դասի թեմայի և նպատակների մասին:

II. Տնային առաջադրանքների ստուգում.

Մենք ստուգում ենք տնային աշխատանքը՝ օգտագործելով նմուշներ և քննարկում ենք ամենադժվար կետերը:

III. Գիտելիքների ընդհանրացում և համակարգում:

1. Բանավոր ճակատային աշխատանք.

Տեսության հարցեր.

1) Ձևավորել ֆունկցիայի ժամանակաշրջանի սահմանում
2) Անվանե՛ք y=sin(x), y=cos(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
3). Ո՞րն է y=tg(x), y=ctg(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
4) Շրջանագծի միջոցով ապացուցեք հարաբերությունների ճիշտությունը.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Զ
ctg(x+π n)=ctgx, n € Զ

sin(x+2π n)=sinx, n € Զ
cos(x+2π n)=cosx, n € Զ

5) Ինչպե՞ս գծագրել պարբերական ֆունկցիա:

Բանավոր վարժություններ.

1) Ապացուցե՛ք հետևյալ հարաբերությունները

ա) մեղք (740º) = մեղք (20º)
բ) cos(54º) = cos(-1026º)
գ) մեղք (-1000º) = մեղք (80º)

2. Ապացուցե՛ք, որ 540º անկյունը y= cos(2x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

3. Ապացուցե՛ք, որ 360º անկյունը y=tg(x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

4. Այս արտահայտությունները փոխակերպե՛ք այնպես, որ դրանցում ներառված անկյունները բացարձակ արժեքով չգերազանցեն 90º-ը:

ա) tg375º
բ) ctg530º
գ) մեղք1268º
դ) cos(-7363º)

5. Որտե՞ղ եք հանդիպել ԺԱՄԱՆԱԿԱՀԱՏՎԱԾ, ՊԵՐԻՈԴԻԿԻՏ բառերին:

Ուսանողների պատասխանները. Երաժշտության ժամանակաշրջանը մի կառույց է, որտեղ ներկայացվում է քիչ թե շատ ամբողջական երաժշտական ​​միտք: Երկրաբանական ժամանակաշրջանը դարաշրջանի մի մասն է և բաժանվում է դարաշրջանների՝ 35-ից 90 միլիոն տարի տևողությամբ:

Ռադիոակտիվ նյութի կիսամյակը: Պարբերական կոտորակ. Պարբերականները տպագիր հրապարակումներ են, որոնք հայտնվում են խիստ սահմանված ժամկետներում։ Մենդելեևի պարբերական համակարգը.

6. Նկարները ցույց են տալիս պարբերական ֆունկցիաների գրաֆիկների մասերը: Որոշեք ֆունկցիայի ժամկետը: Որոշեք ֆունկցիայի ժամկետը:

Պատասխանել T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Ձեր կյանքում որտե՞ղ եք հանդիպել կրկնվող տարրերի կառուցմանը:

Ուսանողի պատասխանը՝ Զարդանախշերի տարրեր, ժողովրդական արվեստ.

IV. Կոլեկտիվ խնդիրների լուծում.

(Խնդիրների լուծում սլայդների վրա):

Դիտարկենք պարբերականության ֆունկցիայի ուսումնասիրության եղանակներից մեկը։

Այս մեթոդը խուսափում է այն դժվարություններից, որոնք կապված են ապացուցելու, որ որոշակի ժամանակաշրջանը ամենափոքրն է, ինչպես նաև վերացնում է պարբերական ֆունկցիաների թվաբանական գործողությունների և բարդ ֆունկցիայի պարբերականության վերաբերյալ հարցերը լուծելու անհրաժեշտությունը: Պատճառաբանությունը հիմնված է միայն պարբերական ֆունկցիայի սահմանման վրա և հետևյալ փաստի վրա՝ եթե T ֆունկցիայի պարբերությունն է, ապա nT(n?0) նրա պարբերությունն է։

Խնդիր 1. Գտե՛ք f(x)=1+3(x+q>5) ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերակը.

Լուծում. Ենթադրենք, որ այս ֆունկցիայի T պարբերությունը: Այնուհետև f(x+T)=f(x) բոլոր x € D(f) համար, այսինքն.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Դնենք x=-0,25 ստանում ենք

(T)=0<=>T=n, n € Զ

Մենք ստացել ենք, որ խնդրո առարկա ֆունկցիայի բոլոր ժամանակաշրջանները (եթե դրանք կան) գտնվում են ամբողջ թվերի մեջ: Այս թվերից ընտրենք ամենափոքր դրական թիվը։ Սա 1 . Եկեք ստուգենք՝ իրականում դա կլինի՞ շրջան 1 .

f(x+1) =3(x+1+0.25)+1

Քանի որ (T+1)=(T) ցանկացած T-ի համար, ապա f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), այսինքն. 1 – շրջան զ. Քանի որ 1-ը բոլոր դրական ամբողջ թվերից ամենափոքրն է, ապա T=1:

Խնդիր 2. Ցույց տվեք, որ f(x)=cos 2 (x) ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնական շրջանը:

Խնդիր 3. Գտե՛ք ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ենթադրենք ֆունկցիայի T պարբերությունը, ապա ցանկացածի համար Xհարաբերակցությունը գործում է

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Եթե ​​x=0, ապա

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Եթե ​​x=-T, ապա

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – մեղք (1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Այն գումարելով՝ մենք ստանում ենք.

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Զ

Բոլոր «կասկածելի» թվերից ընտրենք ամենափոքր դրական թիվը և ստուգենք՝ արդյոք այն f-ի կետ է։ Այս թիվը

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Սա նշանակում է, որ սա f ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է։

Խնդիր 4. Ստուգենք, արդյոք f(x)=sin(x) ֆունկցիան պարբերական է

Թող T լինի f ֆունկցիայի պարբերությունը։ Այնուհետև ցանկացած x-ի համար

մեղք|x+Т|=մեղք|x|

Եթե ​​x=0, ապա sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Զ.

Ենթադրենք. Որ որոշ n-ի համար π n թիվը ժամանակաշրջան է

դիտարկվող ֆունկցիա π n>0. Ապա sin|π n+x|=sin|x|

Սա ենթադրում է, որ n-ը պետք է լինի և՛ զույգ, և՛ կենտ թիվ, բայց դա անհնար է: Հետեւաբար, այս գործառույթը պարբերական չէ:

Առաջադրանք 5. Ստուգեք, արդյոք ֆունկցիան պարբերական է

f(x)=

Թող T լինի f-ի պարբերությունը, ապա

, հետևաբար sinT=0, Т=π n, n € Z. Ենթադրենք, որ որոշ n-ի համար π n թիվը իսկապես այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։ Այնուհետև 2π n թիվը կլինի ժամկետը

Քանի որ համարիչները հավասար են, ուրեմն նրանց հայտարարները նույնպես հավասար են, հետևաբար

Սա նշանակում է, որ f ֆունկցիան պարբերական չէ։

Աշխատեք խմբերով.

Առաջադրանքներ 1-ին խմբի համար.

Առաջադրանքներ 2-րդ խմբի համար.

Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնարար ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի):

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Առաջադրանքներ 3-րդ խմբի համար.

Աշխատանքի ավարտին խմբերը ներկայացնում են իրենց լուծումները։

VI. Ամփոփելով դասը.

Արտացոլում.

Ուսուցիչը ուսանողներին տալիս է գծագրերով բացիկներ և խնդրում է նրանց նկարել առաջին գծագրի մի մասը՝ ըստ իրենց կարծիքով, նրանք տիրապետում են պարբերականության ֆունկցիայի ուսումնասիրության մեթոդներին, իսկ երկրորդ գծագրի մի մասը՝ ըստ իրենց: ներդրում դասի աշխատանքի մեջ.

VII. Տնային աշխատանք

1). Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնական պարբերությունը (եթե այն գոյություն ունի)

բ). f(x)=x 2 -2x+4

գ). f(x)=2tg (3x+5)

2). y=f(x) ֆունկցիան ունի T=2 կետ և f(x)=x 2 +2x x €-ի համար [-2; 0]. Գտե՛ք -2f(-3)-4f(3.5) արտահայտության արժեքը

գրականություն/

1. Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ՝ խորը ուսումնասիրությամբ.
2. Մաթեմատիկա. Նախապատրաստում միասնական պետական ​​քննությանը. Էդ. Լիսենկո Ֆ.Ֆ., Կուլաբուխովա Ս.Յու.
3. Շերեմետևա Տ.Գ. , Տարասովա Է.Ա.Հանրահաշիվ և սկզբնական վերլուծություն 10-11-րդ դասարանների համար.

>> Ֆունկցիաների պարբերականությունը y = sin x, y = cos x

§ 11. y = sin x, y = cos x ֆունկցիաների պարբերականությունը

Նախորդ պարբերություններում մենք օգտագործել ենք յոթ հատկություն գործառույթներըսահմանման տիրույթ, զույգ կամ կենտ, միապաղաղություն, սահմանափակություն, ամենամեծ և փոքր արժեքներ, շարունակականություն, ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ: Մենք օգտագործել ենք այս հատկությունները կա՛մ ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար (դա տեղի է ունեցել, օրինակ, § 9-ում), կա՛մ կառուցված գրաֆիկը կարդալու համար (սա տեղի է ունեցել, օրինակ, § 10-ում): Հիմա եկել է պատեհ պահը՝ ներկայացնելու ֆունկցիաների ևս մեկ (ութերորդ) հատկություն, որը պարզ երևում է վերը նշված կոնստրուկցիաներում։ գրաֆիկներֆունկցիաներ y = sin x (տես նկ. 37), y = cos x (տես նկ. 41):

Սահմանում.Ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե կա ոչ զրոյական T թիվ, որ բազմության ցանկացած x-ի համար կրկնակի պայման է գործում. հավասարություն:

Նշված պայմանին բավարարող T թիվը կոչվում է y = f(x) ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։
Հետևում է, որ ցանկացած x-ի համար հավասարումները վավեր են.

ապա y = sin x, y = cos x ֆունկցիաները պարբերական են, իսկ թիվը՝ 2 nծառայում է որպես երկու գործառույթների ժամանակաշրջան:
Ֆունկցիայի պարբերականությունը ֆունկցիաների խոստացված ութերորդ հատկությունն է։

Այժմ նայեք y = sin x ֆունկցիայի գրաֆիկին (նկ. 37): Սինուսային ալիք կառուցելու համար բավական է գծել դրա ալիքներից մեկը (հատվածի վրա և այնուհետև տեղափոխել այս ալիքը x առանցքի երկայնքով: Արդյունքում, օգտագործելով մեկ ալիք, մենք կկառուցենք ամբողջ գրաֆիկը:

Նույն տեսանկյունից նայենք y = cos x ֆունկցիայի գրաֆիկին (նկ. 41): Մենք տեսնում ենք, որ այստեղ՝ գրաֆիկ գծելու համար, բավական է նախ գծել մեկ ալիք (օրինակ՝ հատվածի վրա

Եվ այնուհետև տեղափոխեք այն x առանցքի երկայնքով
Ամփոփելով՝ անում ենք հետևյալ եզրակացությունը.

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան ունի T կետ, ապա ֆունկցիայի գծապատկերը կառուցելու համար նախ պետք է կառուցել գրաֆիկի ճյուղը (ալիք, մաս) T երկարության ցանկացած միջակայքի վրա (առավել հաճախ դրանք վերցնում են միջակայքը): ավարտվում է կետերով և այնուհետև տեղափոխում այս ճյուղը x առանցքի երկայնքով դեպի աջ և ձախ դեպի T, 2T, ZT և այլն:
Պարբերական ֆունկցիան ունի անվերջ շատ պարբերաշրջաններ. եթե T-ն ժամանակաշրջան է, ապա 2T-ը ժամանակաշրջան է, իսկ ZT-ն ժամանակաշրջան է, իսկ -T-ն ժամանակաշրջան է. Ընդհանրապես, կետը KT ձևի ցանկացած թիվ է, որտեղ k = ±1, ±2, ± 3... Սովորաբար նրանք փորձում են, եթե հնարավոր է, առանձնացնել ամենափոքր դրական շրջանը:
Այսպիսով, 2pk ձևի ցանկացած թիվ, որտեղ k = ±1, ± 2, ± 3, y = sinn x, y = cos x ֆունկցիաների ժամանակաշրջանն է; 2n-ը երկու ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանն է:

Օրինակ.Գտեք ֆունկցիայի հիմնական ժամանակահատվածը.

Ա)Թող T լինի y = sin x ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը։ դնենք

Որպեսզի T թիվը լինի ֆունկցիայի ժամանակաշրջան, ինքնությունը: Բայց քանի որ խոսքը հիմնական ժամանակաշրջանը գտնելու մասին է, մենք ստանում ենք.
բ)Թող T լինի y = cos 0,5x ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը: Դնենք f(x)=cos 0,5x։ Ապա f(x + T)=cos 0.5(x + T)=cos (0.5x + 0.5T):

Որպեսզի T թիվը լինի ֆունկցիայի ժամանակաշրջան, cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x նույնականացումը պետք է բավարարվի:

Սա նշանակում է 0,5տ = 2pp: Բայց, քանի որ մենք խոսում ենք հիմնական ժամանակաշրջանը գտնելու մասին, մենք ստանում ենք 0.5T = 2 լ, T = 4 լ:

Օրինակում ստացված արդյունքների ընդհանրացումը հետևյալ պնդումն է՝ ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը

Ա.Գ. Մորդկովիչ հանրահաշիվ 10-րդ դասարան

Դասի բովանդակությունը դասի նշումներաջակցող շրջանակային դասի ներկայացման արագացման մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաստուգման սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, քվեստներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ, գրաֆիկա, աղյուսակներ, դիագրամներ, հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ, առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածների հնարքներ հետաքրքրասեր օրորոցների համար դասագրքեր հիմնական և տերմինների լրացուցիչ բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի հատվածի թարմացում, դասում նորարարության տարրեր, հնացած գիտելիքների փոխարինում նորերով. Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասերտարվա օրացուցային ծրագիր; Ինտեգրված դասեր

բավարարում է անհավասարությունների համակարգը.

բ) Դիտարկենք թվային տողի մի շարք թվեր, որոնք բավարարում են անհավասարությունների համակարգին.

Գտե՛ք այս բազմությունը կազմող հատվածների երկարությունների գումարը:

§ 7. Ամենապարզ բանաձեւերը

§ 3-ում մենք սահմանեցինք α սուր անկյունների հետևյալ բանաձևը.

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Նույն բանաձևը			դեպքում
				երբ α-ն ցանկացած է			իրականում
				le, թող M լինի եռանկյունաչափության կետ
				համապատասխանող շրջանակը
				α թիվը (նկ. 7.1): Հետո		Մ-ն ունի համա-
				օրդինատներ x = cos α, y
				Այնուամենայնիվ, յուրաքանչյուր կետ (x; y) ընկած է
				միավորի շառավիղի շրջան կենտրոնով
				trome սկզբնաղբյուրում, բավարարող
				բավարարում է x2 + y2 հավասարումը		1, որտեղից
				cos2 α + sin2 α = 1, ըստ պահանջի:

Այսպիսով, cos2 α + sin2 α = 1 բանաձեւը բխում է շրջանագծի հավասարումից: Կարող է թվալ, որ մենք դրանով տվել ենք սուր անկյունների այս բանաձևի նոր ապացույցը (համեմատած § 3-ում նշվածի հետ, որտեղ մենք օգտագործել ենք Պյութագորասի թեորեմը): Տարբերությունը, սակայն, զուտ արտաքին է՝ x2 + y2 = 1 շրջանագծի հավասարումը հանելիս օգտագործվում է նույն Պյութագորասի թեորեմը։

Սուր անկյունների համար մենք նաև այլ բանաձևեր ենք ստացել, օրինակ

Ըստ խորհրդանիշի՝ աջ կողմը միշտ ոչ բացասական է, մինչդեռ ձախ կողմը կարող է լինել բացասական։ Որպեսզի բանաձևը ճիշտ լինի բոլոր α-ի համար, այն պետք է քառակուսի լինի: Ստացված հավասարությունն է՝ cos2 α = 1/(1 + tan2 α): Եկեք ապացուցենք, որ այս բանաձևը ճշմարիտ է բոլոր α:1-ի համար

1/(1 + թան2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Խնդիր 7.1. Ստորև բերված բոլոր բանաձևերը դուրս բերեք սահմանումներից և sin2 α + cos2 α = 1 բանաձևից (մենք արդեն ապացուցել ենք դրանցից մի քանիսը).

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tan2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + cotg2 α

մեղք 2

Այս բանաձևերը թույլ են տալիս, իմանալով տվյալ թվի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկի արժեքը, գրեթե գտնել մնացած բոլորը։

նոր Եկեք, օրինակ, գիտենք, որ sin x = 1/2: Այնուհետև cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, ուստի cos x-ը կա՛մ 3/2 է, կա՛մ − 3/2: Պարզելու համար, թե այս երկու թվերից որին է հավասար cos x-ը, անհրաժեշտ է լրացուցիչ տեղեկություն։

Խնդիր 7.2. Օրինակներով ցույց տվեք, որ վերը նշված երկու դեպքերն էլ հնարավոր են։

Խնդիր 7.3. ա) Եկեք tan x = −1: Գտեք մեղք x. Քանի՞ պատասխան ունի այս խնդիրը:

բ) Թող, ի հավելումն ա) կետի պայմանների, իմանանք, որ sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Որի համար սահմանված է tan α, այսինքն՝ cos α 6= 0։

Խնդիր 7.4. Թող մեղք x = 3/5, x [π/2; 3π/2]: Գտեք tg x.

Խնդիր 7.5. Թող tan x = 3, cos x > sin x: Գտեք cos x, sin x:

Խնդիր 7.6. Թող tg x = 3/5: Գտեք sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Խնդիր 7.7. Ապացուցեք ինքնությունը.

tan α − sin α

գ) sin α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

Խնդիր 7.8. Պարզեցրեք արտահայտությունները.

ա) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2; բ) (tg α + ctg α)2 + (tg α - ctg α)2;

գ) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակաշրջաններ

x, x+2π, x−2π թվերը համապատասխանում են եռանկյունաչափական շրջանագծի միևնույն կետին (եթե եռանկյունաչափական շրջանով լրացուցիչ շրջան անցնեք, կվերադառնաք այնտեղ, որտեղ եղել եք)։ Սա ենթադրում է հետևյալ ինքնությունները, որոնք արդեն քննարկվել են § 5-ում.

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Այս ինքնությունների հետ կապված մենք արդեն օգտագործել ենք «ժամանակաշրջան» տերմինը։ Այժմ տանք ճշգրիտ սահմանումներ։

Սահմանում. T 6= 0 թիվը կոչվում է f ֆունկցիայի ժամանակաշրջան, եթե բոլոր x-երի համար ճշմարիտ են f(x − T) = f(x + T) = f(x) հավասարությունները (ենթադրվում է, որ x + T և x. − T-ն ընդգրկված է ֆունկցիայի սահմանման տիրույթում, եթե այն ներառում է x): Ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե այն ունի կետ (առնվազն մեկ):

Պարբերական ֆունկցիաները բնականաբար առաջանում են տատանողական պրոցեսները նկարագրելիս։ Նման գործընթացներից մեկն արդեն քննարկվել է § 5-ում: Ահա ավելի շատ օրինակներ.

1) Թող ϕ = ϕ(t) լինի ժամացույցի ճոճվող ճոճանակի շեղման անկյունը t պահին ուղղահայացից: Ապա ϕ-ը t-ի պարբերական ֆունկցիան է:

2) Լարումը («պոտենցիալ տարբերություն», ինչպես կասեր ֆիզիկոսը) AC վարդակից երկու վարդակների միջև, է.

արդյոք այն դիտարկվում է որպես ժամանակի ֆունկցիա, դա պարբերական ֆունկցիա է1.

3) Եկեք լսենք երաժշտական ​​ձայնը: Այդ դեպքում օդի ճնշումը տվյալ կետում ժամանակի պարբերական ֆունկցիա է:

Եթե ​​ֆունկցիան ունի T կետ, ապա այս ֆունկցիայի պարբերությունները նույնպես կլինեն −T, 2T, −2T թվերը։ . . - մի խոսքով, բոլոր nT թվերը, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է, որը հավասար չէ զրոյի։ Իսկապես, եկեք ստուգենք, օրինակ, որ f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x):

Սահմանում. F ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերությունը, ըստ բառերի բառացի նշանակության, այն դրական թիվն է, որ T-ն f-ի ժամանակաշրջան է, իսկ T-ից փոքր ոչ մի դրական թիվ f-ի ժամանակաշրջան է:

Պարբերական ֆունկցիայից ամենափոքր դրական պարբերաշրջան ունենալու համար պարտադիր չէ (օրինակ՝ հաստատուն ֆունկցիան ընդհանրապես ցանկացած թվի պարբերություն ունի և, հետևաբար, չունի ամենափոքր դրական պարբերությունը)։ Կարող ենք բերել նաև ոչ հաստատուն պարբերական ֆունկցիաների օրինակներ, որոնք չունեն ամենափոքր դրական շրջանը։ Այնուամենայնիվ, ամենահետաքրքիր դեպքերում գոյություն ունի պարբերական ֆունկցիաների ամենափոքր դրական շրջանը։

1 Երբ ասում են «ցանցում լարումը 220 վոլտ է», նրանք նկատի ունեն դրա «rms արժեքը», որի մասին մենք կխոսենք § 21-ում: Լարումը ինքնին անընդհատ փոխվում է:

Բրինձ. 8.1. Շոշափողի և կոտանգենսի ժամանակաշրջան:

Մասնավորապես, և՛ սինուսի, և՛ կոսինուսի ամենափոքր դրական պարբերությունը 2π է: Սա ապացուցենք, օրինակ, y = sin x ֆունկցիայի համար։ Թող, հակառակ մեր պնդումների, սինուսն ունի T այնպիսի պարբերություն, որ 0 լինի< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Տատանումները նկարագրող ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը (ինչպես մեր օրինակներում 1–3) պարզապես կոչվում է այդ տատանումների ժամանակաշրջան։

Քանի որ 2π-ը սինուսի և կոսինուսի ժամանակաշրջանն է, այն կլինի նաև շոշափողի և կոտանգենսի ժամանակաշրջան: Այնուամենայնիվ, այս ֆունկցիաների համար 2π-ը ամենափոքր ժամանակաշրջանը չէ. շոշափողի և կոտանգենսի ամենափոքր դրական պարբերությունը կլինի π: Փաստորեն, եռանկյունաչափական շրջանագծի x և x + π թվերին համապատասխանող կետերը տրամագծորեն հակադիր են. x կետից մինչև x + 2π կետը պետք է անցնի π շրջանագծի կեսին հավասար հեռավորություն: Այժմ, եթե օգտագործենք շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը` օգտագործելով շոշափողների և կոտանգենսների առանցքները, ապա ակնհայտ կդառնան tg(x + π) = tan x և ctg(x + π) = ctg x հավասարությունները (նկ. 8.1): Հեշտ է ստուգել (մենք կառաջարկենք դա անել խնդիրներում), որ π-ն իսկապես շոշափողի և կոտանգենսի ամենափոքր դրական պարբերակն է։

Մեկ նշում տերմինաբանության մասին. «Ֆունկցիայի ժամանակաշրջան» բառերը հաճախ օգտագործվում են «ամենափոքր դրական շրջան» նշանակելու համար։ Այսպիսով, եթե քննության ժամանակ ձեզ հարցնեն. «Արդյո՞ք 100π-ը սինուսի ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է», մի շտապեք պատասխանել, այլ պարզաբանեք՝ նկատի ունեք ամենափոքր դրական շրջանը, թե՞ ընդամենը մեկ ժամանակահատվածը:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական ֆունկցիաների տիպիկ օրինակ են. ցանկացած «ոչ շատ վատ» պարբերական ֆունկցիա ինչ-որ առումով կարող է արտահայտվել եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով։

Խնդիր 8.1. Գտեք գործառույթների ամենափոքր դրական ժամանակահատվածները.

				գ) y = cos πx;

դ) y = cos x + cos(1.01x):

Խնդիր 8.2. Փոփոխական հոսանքի ցանցում լարման կախվածությունը ժամանակից տրվում է U = U0 sin ωt բանաձևով (այստեղ t-ն ժամանակն է, U-ը՝ լարումը, U0-ը և ω-ն հաստատուններ են)։ Փոփոխական հոսանքի հաճախականությունը 50 Հերց է (սա նշանակում է, որ լարումը վայրկյանում կատարում է 50 տատանում)։

ա) Գտե՛ք ω-ն՝ ենթադրելով, որ t-ը չափվում է վայրկյաններով;

բ) Գտե՛ք U-ի (ամենափոքր դրական) պարբերությունը՝ որպես t-ի ֆունկցիա:

Խնդիր 8.3. ա) Ապացուցեք, որ կոսինուսի ամենափոքր դրական պարբերությունը 2π է.

բ) Ապացուցեք, որ շոշափողի ամենափոքր դրական պարբերությունը հավասար է π-ի:

Խնդիր 8.4. Թող f ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերությունը հավասար լինի T-ին։ Ապացուցեք, որ նրա մյուս բոլոր ժամանակաշրջանները nT ձևի են որոշ n ամբողջ թվերի համար:

Խնդիր 8.5. Ապացուցեք, որ հետևյալ ֆունկցիաները պարբերական չեն.