Բարդ ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալ։ Երկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալ։ Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը

ՀԵՏ նյութերի խմբագրում «ածանցյալ» թեմայով: Հիմնական դպրոցի մակարդակ.
Տեսական տեղեկատվություն մաթեմատիկայի ուսանողների, ուսուցիչների և կրկնուսույցների համար: Դասերի անցկացմանը օգնելու համար:

Սահմանում:ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է փոփոխականի աճին, այսինքն.

Հիմնական մաթեմատիկական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ.

Ածանցյալ գործիքների հաշվարկման կանոններ

Գումարի ածանցյալցանկացած երկու արտահայտություն հավասար է այս արտահայտությունների ածանցյալների գումարին (գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին)

Տարբերության ածանցյալցանկացած երկու արտահայտություն հավասար է այս տերմինների ածանցյալների տարբերությանը (տարբերության ածանցյալը հավասար է ածանցյալների տարբերությանը):

Արտադրանքի ածանցյալերկու գործոն հավասար է առաջին գործոնի ածանցյալի արտադրյալին և երկրորդին գումարած առաջին գործոնի արտադրյալին և երկրորդի ածանցյալին (հերթով վերցված գործոնների ածանցյալների գումարը):
Մաթեմատիկայի դասախոսի մեկնաբանությունը.երբ ես կարճ արտահայտություններովՈւսանողին հիշեցնում եմ արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկելու կանոնը, ասում եմ սա՝ առաջին գործոնի ածանցյալը երկրորդ գումարածով. փոխանակել հարվածներ!

քանորդի ածանցյալերկու արտահայտությունը հավասար է հերթով վերցված գործոնների ածանցյալների և հայտարարի քառակուսու տարբերության քանորդին:

Թվի և ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալը. Թվի և բառացի արտահայտության (ֆունկցիայի) արտադրյալի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է այս թիվը բազմապատկել այս բառացի արտահայտության ածանցյալով:

Ածանցյալ բարդ գործառույթ:

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը և այն բազմապատկել ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով։

Ձեր մեկնաբանությունները և կարծիքները ածանցյալների էջում.
Ալեքսանդր Ս.
Ինձ իսկապես սեղան էր պետք: Ինտերնետում ամենաշատերից մեկը: Շատ շնորհակալ եմ նաև բացատրությունների և կանոնների համար։ Գոնե ևս մեկ օրինակ հիանալի կլիներ նրանց համար։ Կրկին շատ շնորհակալ եմ:

Կոլպակով Ա.Ն., մաթեմատիկայի դաստիարակ.լավ, մոտ ապագայում կփորձեմ էջին օրինակներ ավելացնել:

Վիրտուալ մաթեմատիկական տեղեկատու.
Կոլպակով Ալեքսանդր Նիկոլաևիչ, մաթեմատիկայի դասախոս.

Եթե ​​հետևում եք սահմանմանը, ապա մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը Δ ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է։ yփաստարկի ավելացման Δ x:

Ամեն ինչ կարծես պարզ է. Բայց փորձեք այս բանաձևով հաշվարկել, ասենք, ֆունկցիայի ածանցյալը զ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ե xմեղք x. Եթե ​​ամեն ինչ անում եք ըստ սահմանման, ապա մի երկու էջ հաշվարկներից հետո դուք պարզապես կքնեք։ Հետեւաբար, կան ավելի պարզ եւ արդյունավետ ուղիներ:

Սկզբից մենք նշում ենք, որ գործառույթների ամբողջ բազմազանությունից մենք կարող ենք առանձնացնել այսպես կոչված տարրական գործառույթները: Հարաբերական է պարզ արտահայտություններ, որի ածանցյալները վաղուց հաշվարկվել և թվարկվել են աղյուսակում։ Նման գործառույթները բավականին հեշտ է հիշել՝ դրանց ածանցյալների հետ միասին:

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ

Տարրական գործառույթները բոլորն են, որոնք թվարկված են ստորև: Այս ֆունկցիաների ածանցյալները պետք է անգիր հայտնի լինեն։ Ավելին, դրանք անգիր անելն ամենևին էլ դժվար չէ, դրա համար էլ տարրական են։

Այսպիսով, ածանցյալներ տարրական գործառույթներ:

Անուն	Գործառույթ	Ածանցյալ
Մշտական	զ(x) = Գ, Գ ∈ Ռ	0 (այո, զրո!)
Հզորությունը ռացիոնալ ցուցիչով	զ(x) = x n	n · x n − 1
Սինուս	զ(x) = մեղք x	cos x
Կոսինուս	զ(x) = cos x	− մեղք x(մինուս սինուս)
Շոշափող	զ(x) = տգ x	1/co 2 x
Կոտանգենս	զ(x) = ctg x	− 1/մեղք 2 x
Բնական լոգարիթմ	զ(x) = գերան x	1/x
Կամայական լոգարիթմ	զ(x) = գերան ա x	1/(x ln ա)
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա	զ(x) = ե x	ե x(ոչինչ չի փոխվել)

Եթե ​​տարրական ֆունկցիան բազմապատկվում է կամայական հաստատունով, ապա նոր ֆունկցիայի ածանցյալը նույնպես հեշտությամբ հաշվարկվում է.

(Գ · զ)’ = Գ · զ ’.

Ընդհանրապես հաստատունները կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Օրինակ՝

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Ակնհայտ է, որ տարրական գործառույթները կարելի է ավելացնել միմյանց, բազմապատկել, բաժանել և շատ ավելին: Այսպիսով, կհայտնվեն նոր գործառույթներ, որոնք այլևս առանձնապես տարրական չեն, այլ նաև տարբերվող որոշակի կանոններ. Այս կանոնները քննարկվում են ստորև:

Գումարի և տարբերության ածանցյալ

Թող տրվեն գործառույթները զ(x) Եվ է(x), որի ածանցյալները մեզ հայտնի են։ Օրինակ, կարող եք վերցնել վերը քննարկված տարրական գործառույթները: Այնուհետև կարող եք գտնել այս ֆունկցիաների գումարի և տարբերության ածանցյալը.

1. (զ + է)’ = զ ’ + է ’
2. (զ − է)’ = զ ’ − է ’

Այսպիսով, երկու ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին (տարբերությանը): Կարող են լինել ավելի շատ ժամկետներ: Օրինակ, ( զ + է + հ)’ = զ ’ + է ’ + հ ’.

Խիստ ասած, հանրահաշվում «հանում» հասկացություն չկա: Գոյություն ունի «բացասական տարր» հասկացություն։ Հետևաբար տարբերությունը զ − էկարող է վերագրվել որպես գումար զ+ (−1) է, և հետո մնում է միայն մեկ բանաձև՝ գումարի ածանցյալը։

զ(x) = x 2 + մեղք x; է(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների գումարն է, հետևաբար.

զ ’(x) = (x 2 + մեղք x)’ = (x 2)’ + (մեղ x)’ = 2x+ cos x;

Մենք նմանապես հիմնավորում ենք ֆունկցիայի համար է(x). Միայն կան երեք տերմիններ (հանրահաշվի տեսանկյունից).

է ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Պատասխան.
զ ’(x) = 2x+ cos x;
է ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Արտադրանքի ածանցյալ

Մաթեմատիկան տրամաբանական գիտություն է, ուստի շատերը կարծում են, որ եթե գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին, ապա արտադրանքի ածանցյալը. գործադուլ«>հավասար է ածանցյալների արտադրյալին: Բայց պտտեցե՛ք ձեզ: Արտադրանքի ածանցյալը հաշվարկվում է բոլորովին այլ բանաձևով: Մասնավորապես.

(զ · է) ’ = զ ’ · է + զ · է ’

Բանաձևը պարզ է, բայց հաճախ մոռացվում է. Եվ ոչ միայն դպրոցականներ, այլեւ ուսանողներ։ Արդյունքը սխալ լուծված խնդիրներն են։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = x 3 cos x; է(x) = (x 2 + 7x− 7) · ե x .

Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների արդյունք է, ուստի ամեն ինչ պարզ է.

զ ’(x) = (x 3 կո x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 կո x + x 3 (-մեղ x) = x 2 (3cos x − xմեղք x)

Գործառույթ է(x) առաջին բազմապատկիչը մի փոքր ավելի բարդ է, բայց ընդհանուր սխեման չի փոխվում: Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի առաջին գործոնը է(x) բազմանդամ է և նրա ածանցյալը գումարի ածանցյալն է։ Մենք ունենք.

է ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ե x)’ = (x 2 + 7x− 7)» · ե x + (x 2 + 7x− 7) · ( ե x)’ = (2x+ 7) · ե x + (x 2 + 7x− 7) · ե x = ե x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ե x = x(x+ 9) · ե x .

Պատասխան.
զ ’(x) = x 2 (3cos x − xմեղք x);
է ’(x) = x(x+ 9) · ե x .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին քայլում ածանցյալը գործոնացվում է: Ֆորմալ կերպով դա պետք չէ անել, բայց ածանցյալների մեծ մասը հաշվարկվում է ոչ թե ինքնուրույն, այլ ֆունկցիան ուսումնասիրելու համար: Սա նշանակում է, որ հետագայում ածանցյալը կհավասարեցվի զրոյի, կորոշվեն նրա նշանները և այլն։ Նման դեպքի համար ավելի լավ է արտահայտությունը ֆակտորիզացված լինի։

Եթե ​​կա երկու գործառույթ զ(x) Եվ է(x), և է(x) ≠ 0 մեզ հետաքրքրող բազմության վրա, կարող ենք սահմանել նոր առանձնահատկություն հ(x) = զ(x)/է(x). Նման ֆունկցիայի համար կարող եք նաև գտնել ածանցյալը.

Թույլ չէ, հա՞: Որտեղի՞ց եկավ մինուսը: Ինչո՞ւ է 2? Եվ այսպես։ Սա ամենաշատերից մեկն է բարդ բանաձևեր-Դու չես կարող հասկանալ առանց շշի: Հետևաբար, ավելի լավ է ուսումնասիրել այն կոնկրետ օրինակներ.

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.

Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը պարունակում են տարրական ֆունկցիաներ, ուստի մեզ անհրաժեշտ է գործակիցի ածանցյալի բանաձևը.

Ավանդույթի համաձայն, եկեք ֆակտորիզացնենք համարիչը, սա մեծապես կպարզեցնի պատասխանը.

Բարդ ֆունկցիան պարտադիր չէ, որ կես կիլոմետր երկարությամբ բանաձև լինի: Օրինակ, բավական է վերցնել ֆունկցիան զ(x) = մեղք xև փոխարինել փոփոխականը x, ասենք, վրա x 2 + ln x. Կստացվի զ(x) = մեղք ( x 2 + ln x) - սա բարդ գործառույթ է: Այն ունի նաև ածանցյալ, բայց այն հնարավոր չի լինի գտնել՝ օգտագործելով վերը քննարկված կանոնները։

Ի՞նչ անեմ։ Նման դեպքերում բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի փոփոխականի և բանաձևի փոխարինումը օգնում է.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ», Եթե xփոխարինվում է տ(x).

Որպես կանոն, այս բանաձևը հասկանալու հետ կապված իրավիճակը նույնիսկ ավելի տխուր է, քան գործակիցի ածանցյալը: Հետևաբար, ավելի լավ է նաև այն բացատրել՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ՝ յուրաքանչյուր քայլի մանրամասն նկարագրությամբ:

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = ե 2x + 3 ; է(x) = մեղք ( x 2 + ln x)

Նշենք, որ եթե ֆունկցիայի մեջ զ(x) 2 արտահայտության փոխարեն x+ 3 հեշտ կլինի x, ապա ստանում ենք տարրական ֆունկցիա զ(x) = ե x. Հետևաբար, մենք կատարում ենք փոխարինում. թող 2 x + 3 = տ, զ(x) = զ(տ) = ե տ. Մենք փնտրում ենք բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ՝ օգտագործելով բանաձևը.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (ե տ)’ · տ ’ = ե տ · տ ’

Եվ հիմա - ուշադրություն: Մենք կատարում ենք հակադարձ փոխարինում. տ = 2x+ 3. Մենք ստանում ենք.

զ ’(x) = ե տ · տ ’ = ե 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ե 2x+ 3 2 = 2 ե 2x + 3

Հիմա եկեք նայենք ֆունկցիային է(x). Ակնհայտ է, որ այն պետք է փոխարինվի x 2 + ln x = տ. Մենք ունենք.

է ’(x) = է ’(տ) · տ= (մեղ տ)’ · տ= cos տ · տ ’

Հակադարձ փոխարինում. տ = x 2 + ln x. Ապա.

է ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Վե՛րջ: Ինչպես երևում է վերջին արտահայտությունից, ամբողջ խնդիրը կրճատվել է մինչև ածանցյալ գումարի հաշվարկը։

Պատասխան.
զ ’(x) = 2 · ե 2x + 3 ;
է ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Շատ հաճախ իմ դասերի ժամանակ «ածանցյալ» տերմինի փոխարեն ես օգտագործում եմ «պրիմ» բառը։ Օրինակ, գումարի հարվածը հավասար է հարվածների գումարին: Դա ավելի պարզ է? Դե, դա լավ է:

Այսպիսով, ածանցյալի հաշվարկը հանգում է վերը քննարկված կանոնների համաձայն այս նույն հարվածներից ազատվելուն: Որպես վերջնական օրինակ՝ վերադառնանք ռացիոնալ ցուցիչով ածանցյալ հզորությանը.

(x n)’ = n · x n − 1

Քչերը գիտեն դա դերում nկարող է լինել կոտորակային թիվ: Օրինակ, արմատն է x 0.5. Իսկ եթե արմատի տակ ինչ-որ շքեղ բան կա: Դարձյալ արդյունքը կլինի բարդ ֆունկցիա՝ նրանք սիրում են նման կոնստրուկցիաներ տալ թեստերև քննություններ։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Նախ, եկեք արմատը վերագրենք որպես ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժ.

զ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Այժմ մենք փոխարինում ենք. թող x 2 + 8x − 7 = տ. Մենք գտնում ենք ածանցյալը բանաձևով.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (տ 0.5)» · տ= 0,5 · տ−0,5 · տ ’.

Եկեք կատարենք հակառակ փոխարինումը. տ = x 2 + 8x− 7. Մենք ունենք.

զ ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Վերջապես, վերադառնանք արմատներին.

Շատ հեշտ է հիշել:

Դե, եկեք հեռու չգնանք, եկեք անմիջապես նայենք դրան հակադարձ ֆունկցիա. Ո՞ր ֆունկցիան է հակադարձ էքսպոնենցիալ ֆունկցիա? Լոգարիթմ:

Մեր դեպքում հիմքը համարն է.

Նման լոգարիթմը (այսինքն՝ հիմք ունեցող լոգարիթմը) կոչվում է «բնական», և դրա համար մենք օգտագործում ենք հատուկ նշում՝ փոխարենը գրում ենք։

Ինչի՞ն է դա հավասար։ Իհարկե։

Բնական լոգարիթմի ածանցյալը նույնպես շատ պարզ է.

Օրինակներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը:
2. Ո՞րն է ֆունկցիայի ածանցյալը:

Պատասխաններ: Էքսպոնենցիալ և բնական լոգարիթմը ածանցյալ տեսանկյունից եզակի պարզ ֆունկցիաներ են: Ցանկացած այլ բազայի հետ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաները կունենան այլ ածանցյալ, որը մենք կվերլուծենք ավելի ուշ՝ հետո. եկեք անցնենք կանոնների միջովտարբերակում.

Տարբերակման կանոններ

Ինչի կանոններ. Նորից նոր ժամկետ, էլի՞...

Տարբերակումածանցյալը գտնելու գործընթացն է։

Այսքանը: Ուրիշ ինչ կարող եք անվանել այս գործընթացը մեկ բառով: Ոչ ածանցյալ... Մաթեմատիկոսները դիֆերենցիալն անվանում են ֆունկցիայի նույն աճը: Այս տերմինը գալիս է լատիներեն տարբերակից՝ տարբերություն։ Այստեղ.

Այս բոլոր կանոնները բխեցնելիս մենք կօգտագործենք երկու գործառույթ, օրինակ և. Մեզ անհրաժեշտ կլինեն նաև դրանց ավելացման բանաձևեր.

Ընդհանուր առմամբ կա 5 կանոն.

Հաստատունը հանվում է ածանցյալ նշանից։

Եթե ​​- ինչ-որ հաստատուն թիվ (հաստատուն), ապա.

Ակնհայտ է, որ այս կանոնը նույնպես գործում է տարբերության համար.

Եկեք ապացուցենք դա։ Թող լինի, կամ ավելի պարզ:

Օրինակներ.

Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները.

1. մի կետում;
2. մի կետում;
3. մի կետում;
4. կետում։

Լուծումներ:

1. (ածանցյալը բոլոր կետերում նույնն է, քանի որ սա գծային ֆունկցիահիշո՞ւմ ես);

Արտադրանքի ածանցյալ

Այստեղ ամեն ինչ նման է. եկեք ներկայացնենք նոր ֆունկցիա և գտնենք դրա աճը.

Ածանցյալ:

Օրինակներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները և.
2. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում:

Լուծումներ:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Այժմ ձեր գիտելիքները բավական են, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես գտնել ցանկացած էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը, և ոչ միայն ցուցիչները (դուք դեռ մոռացե՞լ եք, թե դա ինչ է):

Այսպիսով, որտեղ է որոշ թիվ:

Մենք արդեն գիտենք ֆունկցիայի ածանցյալը, ուստի եկեք փորձենք մեր ֆունկցիան իջեցնել նոր հիմքի.

Դրա համար մենք կօգտագործենք պարզ կանոն: Ապա.

Դե, ստացվեց: Այժմ փորձեք գտնել ածանցյալը և մի մոռացեք, որ այս ֆունկցիան բարդ է:

Արդյո՞ք դա աշխատեց:

Ահա, ստուգեք ինքներդ.

Բանաձևը շատ նման է ցուցիչի ածանցյալին. ինչպես եղել է, այնպես էլ մնացել է, հայտնվել է միայն գործակիցը, որն ընդամենը թիվ է, բայց ոչ փոփոխական։

Օրինակներ.
Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները.

Պատասխաններ:

Սա ընդամենը մի թիվ է, որը հնարավոր չէ հաշվարկել առանց հաշվիչի, այսինքն՝ այն այլևս չի կարող գրվել։ պարզ ձևով. Ուստի պատասխանում թողնում ենք այս տեսքով.

Նկատի ունեցեք, որ այստեղ երկու ֆունկցիաների քանորդն է, ուստի մենք կիրառում ենք համապատասխան տարբերակման կանոնը.

Այս օրինակում երկու ֆունկցիաների արտադրյալը.

Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ

Այստեղ նման է. դուք արդեն գիտեք բնական լոգարիթմի ածանցյալը.

Հետևաբար, այլ հիմքով կամայական լոգարիթմ գտնելու համար, օրինակ.

Մենք պետք է կրճատենք այս լոգարիթմը մինչև հիմք: Ինչպե՞ս փոխել լոգարիթմի հիմքը: Հուսով եմ հիշում եք այս բանաձևը.

Միայն հիմա փոխարենը կգրենք.

Հայտարարը պարզապես հաստատուն է (հաստատուն թիվ, առանց փոփոխականի): Ածանցյալը ստացվում է շատ պարզ.

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաներԳրեթե երբեք չի երևում միասնական պետական ​​քննությանը, բայց նրանց իմանալը չի ​​խանգարի:

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Ի՞նչ է «բարդ ֆունկցիան»: Ոչ, սա լոգարիթմ չէ և արկտանգենս չէ: Այս ֆունկցիաները կարող են դժվար հասկանալի լինել (չնայած եթե լոգարիթմը ձեզ համար դժվար է, կարդացեք «Լոգարիթմներ» թեման և լավ կլինեք), բայց մաթեմատիկական տեսանկյունից «բարդ» բառը չի նշանակում «դժվար»:

Պատկերացրեք մի փոքրիկ փոխակրիչ. երկու հոգի նստած են և ինչ-որ գործողություններ են անում որոշ առարկաների հետ: Օրինակ՝ առաջինը շոկոլադե սալիկը փաթաթում է փաթաթանով, իսկ երկրորդը կապում է ժապավենով։ Արդյունքը կոմպոզիտային առարկա է՝ շոկոլադե սալիկ, որը փաթաթված և կապվում է ժապավենով: Շոկոլադ ուտելու համար անհրաժեշտ է անել հակադարձ գործողություններհակառակ հերթականությամբ։

Եկեք ստեղծենք նմանատիպ մաթեմատիկական խողովակաշար՝ նախ կգտնենք թվի կոսինուսը, իսկ հետո ստացված թիվը քառակուսի կդնենք։ Այսպիսով, մեզ տրվում է թիվ (շոկոլադ), ես գտնում եմ դրա կոսինուսը (փաթաթան), այնուհետև դու քառակուսի ես դնում իմ ստացածը (կապում ես ժապավենով): Ի՞նչ է պատահել։ Գործառույթ. Սա բարդ ֆունկցիայի օրինակ է. երբ դրա արժեքը գտնելու համար մենք կատարում ենք առաջին գործողությունը ուղղակիորեն փոփոխականի հետ, իսկ հետո երկրորդ գործողությունը՝ առաջինից ստացվածով:

Այլ կերպ ասած, կոմպլեքս ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի արգումենտը մեկ այլ ֆունկցիա է: .

Մեր օրինակի համար.

Մենք կարող ենք հեշտությամբ կատարել նույն քայլերը հակառակ հերթականությամբ. սկզբում դուք քառակուսի եք դնում այն, իսկ հետո ես փնտրում եմ ստացված թվի կոսինուսը՝ . Հեշտ է կռահել, որ արդյունքը գրեթե միշտ տարբեր կլինի։ Բարդ ֆունկցիաների կարևոր հատկանիշ. երբ փոխվում է գործողությունների հերթականությունը, ֆունկցիան փոխվում է։

Երկրորդ օրինակ. (նույն բանը): .

Այն գործողությունը, որը մենք վերջին անգամ ենք անում, կկոչվի «արտաքին» գործառույթը, և գործողությունը կատարվեց առաջինը `համապատասխանաբար «ներքին» գործառույթը(սրանք ոչ պաշտոնական անուններ են, ես դրանք օգտագործում եմ միայն նյութը պարզ լեզվով բացատրելու համար):

Փորձեք ինքներդ որոշել, թե որ գործառույթն է արտաքին և որը ներքին.

Պատասխաններ:Ներքին և արտաքին ֆունկցիաների տարանջատումը շատ նման է փոփոխականների փոփոխմանը. օրինակ՝ ֆունկցիայի մեջ

1. Ի՞նչ գործողություն ենք մենք առաջինը կատարելու: Նախ, եկեք հաշվարկենք սինուսը, և միայն դրանից հետո խորանարդենք այն: Սա նշանակում է, որ դա ներքին ֆունկցիա է, բայց արտաքին։
   Իսկ սկզբնական գործառույթը նրանց կազմն է.
2. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
3. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
4. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
5. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.

Փոխում ենք փոփոխականները և ստանում ֆունկցիա։

Դե, հիմա մենք կքաղենք մեր շոկոլադե սալիկն ու կփնտրենք ածանցյալը: Գործընթացը միշտ հակադարձվում է՝ սկզբում փնտրում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, այնուհետև արդյունքը բազմապատկում ենք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով։ Բնօրինակի օրինակի հետ կապված, այն ունի հետևյալ տեսքը.

Մեկ այլ օրինակ.

Այսպիսով, վերջապես ձևակերպենք պաշտոնական կանոնը.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

Պարզ է թվում, չէ՞:

Եկեք ստուգենք օրինակներով.

Լուծումներ:

1) Ներքին՝ ;

Արտաքին:

2) ներքին՝ ;

(Պարզապես մի փորձեք կտրել այն մինչ այժմ: Կոսինուսի տակից ոչինչ դուրս չի գալիս, հիշում եք):

3) ներքին՝ ;

Արտաքին:

Անմիջապես պարզ է դառնում, որ սա եռաստիճան բարդ ֆունկցիա է. ի վերջո, սա արդեն ինքնին բարդ ֆունկցիա է, և մենք դրանից հանում ենք նաև արմատը, այսինքն՝ կատարում ենք երրորդ գործողությունը (շոկոլադը դնում ենք փաթաթայի մեջ։ և պայուսակի մեջ ժապավենով): Բայց վախենալու պատճառ չկա. մենք դեռ «կբացենք» այս գործառույթը սովորական հերթականությամբ՝ վերջից:

Այսինքն՝ սկզբում տարբերակում ենք արմատը, հետո կոսինուսը, հետո միայն փակագծերում արտահայտությունը։ Եվ հետո մենք բազմապատկում ենք այդ ամենը:

Նման դեպքերում հարմար է համարակալել գործողությունները։ Այսինքն՝ պատկերացնենք, թե ինչ գիտենք։ Ի՞նչ հերթականությամբ ենք մենք կատարելու գործողություններ այս արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար: Դիտարկենք օրինակ.

Որքան ուշ կատարվի գործողությունը, այնքան ավելի «արտաքին» կլինի համապատասխան գործառույթը։ Գործողությունների հաջորդականությունը նույնն է, ինչ նախկինում.

Այստեղ բնադրումը հիմնականում 4 մակարդակ է։ Եկեք որոշենք գործողությունների ընթացքը.

1. Արմատական ​​արտահայտություն. .

2. Արմատ. .

3. Սինուս. .

4. Քառակուսի. .

5. Բոլորը միասին դնելով.

ածանցյալ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Ֆունկցիայի ածանցյալ- ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի անվերջ փոքր աճի փաստարկի աճին.

Հիմնական ածանցյալներ.

Տարբերակման կանոններ.

Հաստատունը հանվում է ածանցյալ նշանից.

Գումարի ածանցյալը.

Արտադրանքի ածանցյալը.

Գործակիցի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

1. Մենք սահմանում ենք «ներքին» ֆունկցիան և գտնում դրա ածանցյալը:
2. Մենք սահմանում ենք «արտաքին» ֆունկցիան և գտնում դրա ածանցյալը:
3. Մենք բազմապատկում ենք առաջին և երկրորդ կետերի արդյունքները:

Ինչ է ածանցյալ ֆունկցիան - սա է գլխավորը մաթեմատիկական հայեցակարգ, վերլուծության մեջ ինտեգրալների հետ նույն մակարդակի վրա է։ Այս գործառույթըորոշակի կետում տալիս է տվյալ կետում ֆունկցիայի փոփոխության արագության բնութագիրը:
Հասկացություններ, ինչպիսիք են տարբերակումը և ինտեգրումը, առաջինը վերծանվում է որպես ածանցյալի որոնման գործողություն, երկրորդը, ընդհակառակը, վերականգնում է տվյալ ածանցյալից սկսած ֆունկցիան։
Ածանցյալ հաշվարկները կարևոր դեր են խաղում դիֆերենցիալ հաշվարկներում:
Պարզ օրինակի համար եկեք պատկերենք ածանցյալը կոորդինատային հարթության վրա:

y=f(x) ֆունկցիայի մեջ մենք ամրագրում ենք M կետերը, որոնցում (x0; f(X0)) և N f (x0+?x) յուրաքանչյուր աբսցիսայի վրա կա?x ձևի աճ: Բարձրացումն այն գործընթացն է, երբ փոխվում է աբսցիսան, հետո փոխվում է նաև օրդինատը։ Նշվում է որպես?y.
Եկեք գտնենք անկյան շոշափողը MPN եռանկյան մեջ՝ դրա համար օգտագործելով M և N կետերը:

tg? = NP/MP = ?у/?x.

Քանի որ?x-ը գնում է 0-ի: Հատվող MN-ը մոտենում է MT շոշափողին և անկյան? կամք?. Հետեւաբար, tg? առավելագույն արժեքը tg-ի համար:

tg? = lim from?x-0 tg ? = lim from?x-0 ?y/?x

Ածանցյալների աղյուսակ

Եթե ​​արտասանեք յուրաքանչյուրի ձևակերպումը ածանցյալ բանաձևեր. Աղյուսակը ավելի հեշտ կլինի հիշել:
1) հաստատուն արժեքի ածանցյալը 0 է:
2) X-ը պարզով հավասար է մեկ:
3) Եթե կա հաստատուն գործոն, մենք այն պարզապես հանում ենք որպես ածանցյալ:
4) Ստացված հզորությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է տրված հզորության աստիճանը բազմապատկել նույն հիմքով հզորությամբ, որի աստիճանը 1-ով պակաս է:
5) Արմատ գտնելը հավասար է մեկին, որը բաժանվում է այս արմատներից 2-ի վրա:
6) X-ի բաժանված մեկի ածանցյալը հավասար է X-ի բաժանվածի ածանցյալին, մինուս նշանով:
7) P սինուսը հավասար է կոսինուսի
8) P կոսինուսը հավասար է մինուս նշանով սինուսին:
9) P շոշափողը հավասար է մեկ բաժանված կոսինուսի քառակուսու վրա:
10) P կոտանգենսը հավասար է մինուս նշանով մեկի՝ բաժանված սինուսի քառակուսու վրա։

Կան նաև տարբերակման կանոններ, որոնք նույնպես ավելի հեշտ է սովորել դրանք բարձրաձայն խոսելով։

1) Շատ պարզ, n-ը հավասար է նրանց գումարին:
2) Բազմապատկման մեջ ածանցյալը հավասար է առաջին արժեքի երկրորդով բազմապատկմանը, ինքն իրեն ավելացնելով երկրորդ արժեքի բազմապատկումը առաջինով:
3) Բաժանման մեջ ածանցյալը հավասար է առաջին արժեքի երկրորդով բազմապատկմանը, երկրորդ արժեքի բազմապատկումը հանելով առաջինով: Կոտորակը բաժանված է երկրորդ արժեքի քառակուսու վրա:
4) Ձևակերպումը երրորդ բանաձևի հատուկ դեպք է.

Ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում։

Ամենապարզ (և ոչ շատ պարզ) ֆունկցիաների ածանցյալներ գտնելու խնդիրների լուծման արդյունքում՝ ածանցյալը որպես փաստարկի աճի հարաբերակցության սահման սահմանելով, հայտնվեց ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման հստակ սահմանված կանոնները։ . Ածանցյալների որոնման ոլորտում առաջինն աշխատել են Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716):

Հետևաբար, մեր ժամանակներում որևէ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ հաշվարկել ֆունկցիայի աճի և փաստարկի աճի հարաբերակցության վերը նշված սահմանը, այլ անհրաժեշտ է օգտագործել միայն աղյուսակը. ածանցյալներ և տարբերակման կանոններ. Հետևյալ ալգորիթմը հարմար է ածանցյալը գտնելու համար.

Ածանցյալը գտնելու համար, ձեզ անհրաժեշտ է արտահայտություն՝ պարզ նշանի տակ պարզ գործառույթները բաժանել բաղադրիչներիև որոշել, թե ինչ գործողություններ (արտադրանք, գումար, գործակից)այս գործառույթները կապված են: Հաջորդը, մենք գտնում ենք տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները ածանցյալների աղյուսակում, իսկ արտադրանքի, գումարի և գործակիցի ածանցյալների բանաձևերը՝ տարբերակման կանոններում: Ածանցյալ աղյուսակը և տարբերակման կանոնները տրված են առաջին երկու օրինակներից հետո:

Օրինակ 1.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Տարբերակման կանոններից պարզում ենք, որ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը ֆունկցիաների ածանցյալների գումարն է, այսինքն.

Ածանցյալների աղյուսակից պարզում ենք, որ «X»-ի ածանցյալը հավասար է մեկի, իսկ սինուսի ածանցյալը՝ կոսինուսի։ Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք ածանցյալների գումարով և գտնում ենք խնդրի պայմանով պահանջվող ածանցյալը.

Օրինակ 2.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Մենք տարբերակում ենք որպես ածանցյալ գումարի, որտեղ երկրորդ անդամն ունի հաստատուն գործակից, այն կարող է հանվել ածանցյալ նշանից.

Եթե ​​դեռ հարցեր են ծագում այն ​​մասին, թե որտեղից է գալիս ինչ-որ բան, դրանք սովորաբար պարզվում են ածանցյալների աղյուսակին և տարբերակման ամենապարզ կանոններին ծանոթանալուց հետո: Մենք հենց հիմա անցնում ենք դրանց:

Պարզ ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ

1. Հաստատուն (թիվ) ածանցյալ. Ցանկացած թիվ (1, 2, 5, 200...), որը գտնվում է ֆունկցիայի արտահայտության մեջ։ Միշտ հավասար է զրոյի: Սա շատ կարևոր է հիշել, քանի որ դա շատ հաճախ է պահանջվում
2. Անկախ փոփոխականի ածանցյալ. Առավել հաճախ «X»: Միշտ մեկին հավասար: Սա նույնպես կարևոր է երկար հիշել
3. աստիճանի ածանցյալ. Խնդիրներ լուծելիս պետք է ոչ քառակուսի արմատները վերածել ուժերի։
4. Փոփոխականի ածանցյալը -1 հզորությանը
5. Ածանցյալ քառակուսի արմատ
6. Սինուսի ածանցյալ
7. Կոսինուսի ածանցյալ
8. Շոշափողի ածանցյալ
9. Կոտանգենսի ածանցյալ
10. Արքսինի ածանցյալ
11. Արկկոսինի ածանցյալ
12. Արկտանգենսի ածանցյալ
13. աղեղային կոտանգենսի ածանցյալ
14. Բնական լոգարիթմի ածանցյալ
15. Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ
16. Ցուցանիշի ածանցյալ
17. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Տարբերակման կանոններ

1. Գումարի կամ տարբերության ածանցյալ
2. Արտադրանքի ածանցյալ
2 ա. Արտահայտության ածանցյալը բազմապատկված է հաստատուն գործակցով
3. քանորդի ածանցյալ
4. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ

Կանոն 1.Եթե ​​գործառույթները

ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա ֆունկցիաները տարբերվում են նույն կետում

և

դրանք. ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։

Հետևանք. Եթե ​​երկու տարբերվող ֆունկցիաները տարբերվում են հաստատուն անդամով, ապա դրանց ածանցյալները հավասար են, այսինքն.

Կանոն 2.Եթե ​​գործառույթները

ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա նրանց արտադրանքը նույն կետում տարբերվում է

և

դրանք. Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին և մյուսի ածանցյալին։

Եզրակացություն 1. Մշտական ​​գործոնը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից:

Եզրակացություն 2. Մի քանի դիֆերենցիալ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է յուրաքանչյուր գործոնի և բոլոր մյուսների ածանցյալի արտադրյալների գումարին։

Օրինակ, երեք բազմապատկիչների համար.

Կանոն 3.Եթե ​​գործառույթները

ինչ-որ պահի տարբերվող Եվ , ապա այս պահին նրանց քանորդը նույնպես տարբերելի էu/v , և

դրանք. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի և հայտարարի ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է, իսկ հայտարարը՝ քառակուսին։ նախկին համարիչը.

Որտեղ փնտրել բաներ այլ էջերում

Իրական խնդիրներում արտադրանքի ածանցյալը և գործակիցը գտնելիս միշտ անհրաժեշտ է կիրառել մի քանի տարբերակման կանոններ, հետևաբար. ավելի շատ օրինակներայս ածանցյալների համար՝ հոդվածում«Արդյունքների արտադրյալի և գործակիցների ածանցյալը».

Մեկնաբանություն.Պետք չէ շփոթել հաստատունը (այսինքն՝ թիվը) որպես գումարի անդամ և որպես հաստատուն գործոն: Տերմինի դեպքում նրա ածանցյալը հավասար է զրոյի, իսկ հաստատուն գործոնի դեպքում հանվում է ածանցյալների նշանից։ Սա բնորոշ սխալ, որը տեղի է ունենում սկզբնական փուլուսումնասիրելով ածանցյալները, բայց քանի որ նրանք լուծում են մի քանի մեկ և երկու մասից բաղկացած օրինակներ, սովորական ուսանողն այլևս չի անում այս սխալը:

Իսկ եթե ապրանքը կամ գործակիցը տարբերակելիս ունեք տերմին u"v, որում u- թիվ, օրինակ՝ 2 կամ 5, այսինքն՝ հաստատուն, ապա այս թվի ածանցյալը հավասար կլինի զրոյի և, հետևաբար, ամբողջ անդամը հավասար կլինի զրոյի (այս դեպքը քննարկվում է օրինակ 10-ում)։

Մեկ այլ տարածված սխալ է բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի մեխանիկական լուծումը որպես պարզ ֆունկցիայի ածանցյալ: Ահա թե ինչու բարդ ֆունկցիայի ածանցյալհատկացված է առանձին հոդված։ Բայց նախ մենք կսովորենք գտնել պարզ ֆունկցիաների ածանցյալներ։

Ճանապարհին դուք չեք կարող անել առանց արտահայտությունների փոխակերպման: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է բացել ձեռնարկը նոր պատուհաններում: Գործողություններ ուժերով և արմատներովԵվ Գործողություններ կոտորակներով .

Եթե ​​դուք լուծումներ եք փնտրում հզորություններով և արմատներով կոտորակների ածանցյալների համար, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է. , այնուհետև հետևեք «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարների ածանցյալ» դասին։

Եթե ​​ունեք այնպիսի առաջադրանք, ինչպիսին է , ապա կանցկացնեք «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» դասը։

Քայլ առ քայլ օրինակներ - ինչպես գտնել ածանցյալը

Օրինակ 3.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Մենք սահմանում ենք ֆունկցիայի արտահայտության մասերը. ամբողջ արտահայտությունը ներկայացնում է արտադրյալ, իսկ դրա գործակիցները գումարներ են, որոնցից երկրորդում տերմիններից մեկը պարունակում է հաստատուն գործակից։ Մենք կիրառում ենք արտադրանքի տարբերակման կանոնը. երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին մյուսի ածանցյալով.

Այնուհետև մենք կիրառում ենք գումարի տարբերակման կանոնը՝ ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այդ ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին: Մեր դեպքում յուրաքանչյուր գումարում երկրորդ անդամն ունի մինուս նշան։ Յուրաքանչյուր գումարում տեսնում ենք և՛ անկախ փոփոխական, որի ածանցյալը հավասար է մեկի, և՛ հաստատուն (թիվ), որի ածանցյալը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, «X»-ը վերածվում է մեկի, իսկ մինուս 5-ը՝ զրոյի: Երկրորդ արտահայտության մեջ «x»-ը բազմապատկվում է 2-ով, ուստի մենք երկուսը բազմապատկում ենք նույն միավորով, ինչ «x»-ի ածանցյալը։ Մենք ստանում ենք ածանցյալների հետևյալ արժեքները.

Գտնված ածանցյալները փոխարինում ենք արտադրյալների գումարով և ստանում խնդրի պայմանով պահանջվող ամբողջ ֆունկցիայի ածանցյալը.

Եվ դուք կարող եք ստուգել ածանցյալ խնդրի լուծումը:

Օրինակ 4.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Մեզնից պահանջվում է գտնել քանորդի ածանցյալը։ Մենք կիրառում ենք գործակիցը տարբերելու բանաձևը. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի ածանցյալի և համարիչի և ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է։ հայտարարը, իսկ հայտարարը նախկին համարիչի քառակուսին է: Մենք ստանում ենք.

Օրինակ 2-ում մենք արդեն գտել ենք համարիչի գործակիցների ածանցյալը: Չմոռանանք նաև, որ արտադրյալը, որը ներկայիս օրինակում համարիչի երկրորդ գործոնն է, վերցված է մինուս նշանով.

Եթե ​​փնտրում եք խնդիրների լուծումներ, որոնցում պետք է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը, որտեղ կա արմատների և հզորությունների շարունակական կույտ, ինչպիսին, օրինակ, , ապա բարի գալուստ դասի «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարների ածանցյալ» .

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ավելին իմանալ սինուսների, կոսինուսների, տանգենտների և այլ ածանցյալների մասին եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է , ապա դաս ձեզ համար «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» .

Օրինակ 5.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք արտադրյալ, որի գործոններից մեկը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է, որի ածանցյալին ծանոթացանք ածանցյալների աղյուսակում։ Օգտագործելով արտադրյալը և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքը տարբերելու կանոնը՝ ստանում ենք.

Դուք կարող եք ստուգել ածանցյալ խնդրի լուծումը այստեղ առցանց ածանցյալների հաշվիչ .

Օրինակ 6.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք մի քանորդ, որի դիվիդենտը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է։ Օգտագործելով քանորդների տարբերակման կանոնը, որը մենք կրկնեցինք և կիրառեցինք օրինակ 4-ում, և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքը՝ ստանում ենք.

Համարիչի կոտորակից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք .