Ինչ է pi. Սա կախարդական pi թիվն է: «pi» թվի պատմությունը

Շրջանակի շրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունը բոլոր շրջանների համար նույնն է: Այս հարաբերությունը սովորաբար նշվում է հունարեն տառով («pi» - հունարեն բառի սկզբնական տառը , որը նշանակում է «շրջագիծ»):

Արքիմեդն իր «Շրջանակի չափումը» էսսեում հաշվարկել է շրջագծի և տրամագծի (թվի) հարաբերությունը և պարզել, որ այն գտնվում է 3 10/71 և 3 1/7 միջակայքում։

Երկար ժամանակ որպես մոտավոր արժեք օգտագործվում էր 22/7 թիվը, թեև արդեն 5-րդ դարում Չինաստանում հայտնաբերվել է 355/113 = 3,1415929 մոտարկումը, որը վերագտնվել է Եվրոպայում միայն 16-րդ դարում։

IN հին Հնդկաստանհամարվում է հավասար = 3,1622….

Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆ.Վիետը 9 նշանով հաշվարկել է 1579թ.

Հոլանդացի մաթեմատիկոս Լյուդոլֆ Վան Զեյլենը 1596 թվականին հրապարակում է իր տասնամյա աշխատանքի արդյունքը՝ 32 թվանշաններով հաշվարկված թիվը։

Բայց թվի իմաստի այս բոլոր ճշգրտումները արվել են Արքիմեդի մատնանշած մեթոդներով. շրջանագիծը փոխարինվել է բազմանկյունով՝ ավելացող կողմերի թվով։ Ներգրված բազմանկյան պարագիծը փոքր էր շրջանագծի շրջագծից, իսկ շրջագծված բազմանկյան պարագիծը ավելի մեծ էր։ Բայց միևնույն ժամանակ անհասկանալի մնաց՝ թիվը ռացիոնալ է, այսինքն՝ երկու ամբողջ թվերի հարաբերակցություն, թե իռացիոնալ։

Միայն 1767 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Ի.Գ. Լամբերտն ապացուցեց, որ թիվը իռացիոնալ է։

Իսկ ավելի քան հարյուր տարի անց 1882 թվականին մեկ այլ գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆ.Լինդեմանը ապացուցեց դրա տրանսցենդենտալությունը, ինչը նշանակում էր կողմնացույցի և քանոնի օգնությամբ տվյալ շրջանագծին հավասար քառակուսի կառուցելու անհնարինությունը։

Ամենապարզ չափումը

Հաստ ստվարաթղթի վրա գծեք տրամագծով շրջան դ(=15 սմ), կտրեք ստացված շրջանակը և բարակ թելով փաթաթեք դրա շուրջը։ Երկարությունը չափելով լ(=46,5 սմ)թելի մեկ ամբողջական պտույտ, բաժանել լ տրամագծի երկարության համար դ շրջանակներ. Ստացված գործակիցը կլինի թվի մոտավոր արժեքը, այսինքն. = լ/ դ= 46,5 սմ / 15 սմ = 3,1. Այս բավականին կոպիտ մեթոդը նորմալ պայմաններում տալիս է 1 ճշտությամբ թվի մոտավոր արժեքը։

Չափում կշռման միջոցով

Ստվարաթղթի վրա քառակուսի նկարեք: Եկեք դրա մեջ շրջան դնենք: Եկեք կտրենք քառակուսի: Դպրոցական կշեռքներով որոշենք ստվարաթղթե քառակուսու զանգվածը: Քառակուսիից շրջան կտրեք։ Եկեք կշռենք նրան: Ճանաչելով հրապարակի զանգվածներին մ քառ. (=10 գ)և դրա մեջ մակագրված շրջանը մ կր (=7,8 գ)օգտագործել բանաձևերը

որտեղ p և հ- համապատասխանաբար ստվարաթղթի խտությունը և հաստությունը, Սնկարի մակերեսն է: Դիտարկենք հավասարությունները.

Բնականաբար, այս դեպքում մոտավոր արժեքը կախված է կշռման ճշգրտությունից: Եթե ​​կշռման ենթակա ստվարաթղթե թվերը բավականին մեծ են, ապա նույնիսկ սովորական կշեռքներով հնարավոր է ստանալ այնպիսի զանգվածային արժեքներ, որոնք կապահովեն թվի մոտարկումը 0,1 ճշգրտությամբ։

Կիսաշրջանով ներգծված ուղղանկյունների մակերեսների գումարում

Նկար 1

Թող A (a; 0), B (b; 0): Եկեք նկարագրենք AB-ի կիսաշրջանը որպես տրամագծով: AB հատվածը x 1 , x 2 , ..., x n-1 կետերով բաժանում ենք n հավասար մասերի և դրանցից վերականգնում ենք ուղղահայացները մինչև կիսաշրջանի հետ հատումը։ Յուրաքանչյուր նման ուղղահայաց երկարությունը f(x)= ֆունկցիայի արժեքն է: Նկար 1-ից պարզ է դառնում, որ կիսաշրջանի S մակերեսը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

S \u003d (b - a) ((f (x 0) + f (x 1) + ... + f (x n-1)) / n.

Մեր դեպքում b=1, a=-1. Հետո = 2 Ս.

Արժեքները կլինեն ավելի ճշգրիտ, այնքան ավելի շատ բաժանման կետեր կան AB հատվածի վրա: Միապաղաղ հաշվողական աշխատանքը հեշտացնելու համար կօգնի համակարգչին, որի համար ստորև ներկայացված է BASIC-ում կազմված ծրագիրը:

Ծրագիր 1

REM «Հաշվարկիչ pi»
REM «Ուղղանկյունի մեթոդ»
INPUT «Մուտքագրեք ուղղանկյունների թիվը», n
dx=1/n
ՀԱՄԱՐ i = 0-ից n - 1
f = SQR (1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
ՀԱՋՈՐԴ i
p = 4 * dx * a
PRINT «Pi-ի արժեքը» է, էջ
ՎԵՐՋ

Ծրագիրը մուտքագրվել և գործարկվել է պարամետրի տարբեր արժեքներով n. Թվի ստացված արժեքները գրանցվում են աղյուսակում.

Մոնտե Կառլոյի մեթոդ

Սա իրականում վիճակագրական թեստավորման մեթոդ է։ Այն իր էկզոտիկ անվանումը ստացել է Մոնակոյի Իշխանության Մոնտե Կառլո քաղաքից, որը հայտնի է իր խաղատներով։ Բանն այն է, որ մեթոդը պահանջում է պատահական թվերի օգտագործում, իսկ պատահական թվեր ստեղծող ամենապարզ սարքերից մեկը կարող է լինել ռուլետկա անիվը։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք պատահական թվեր ստանալ ... անձրեւի օգնությամբ:

Փորձի համար կպատրաստենք ստվարաթուղթ, վրան քառակուսի կգծենք և քառակուսի շրջան կնկարագրենք քառակուսու մեջ։ Եթե ​​նման նկարը որոշ ժամանակ անցկացվի անձրևի տակ, ապա դրա մակերեսին կմնան կաթիլների հետքերը: Հաշվենք հետքերի քանակը քառակուսու ներսում և շրջանագծի քառորդում: Ակնհայտ է, որ դրանց հարաբերակցությունը մոտավորապես հավասար կլինի այս թվերի մակերեսների հարաբերակցությանը, քանի որ կաթիլների անկումը գծագրի տարբեր վայրերում հավասարապես հավանական է։ Թող N քր- շրջանագծի կաթիլների քանակը, N քառ.կաթիլների թիվը քառակուսի է, ապա

4 N kr / N քառ.

Նկար 2

Անձրևը կարող է փոխարինվել պատահական թվերի աղյուսակով, որը կազմվում է հատուկ ծրագրի միջոցով համակարգչի միջոցով։ Կաթիլների յուրաքանչյուր հետք կապված է երկու պատահական թվերի հետ, որոնք բնութագրում են նրա դիրքը առանցքների երկայնքով Օ՜Եվ OU. Պատահական թվերը կարելի է ընտրել աղյուսակից ցանկացած հերթականությամբ, օրինակ՝ անընդմեջ: Թողեք աղյուսակի առաջին քառանիշ թիվը 3265 . Դրանից դուք կարող եք պատրաստել զույգ թվեր, որոնցից յուրաքանչյուրը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր. x=0.32, y=0.65. Այս թվերը մենք կդիտարկենք որպես անկման կոորդինատներ, այսինքն՝ անկումը կարծես թե հասել է կետին (0.32; 0.65): Մենք նույնն ենք անում բոլոր ընտրված պատահական թվերի հետ: Եթե ​​պարզվի, որ այդ կետի համար (x; y)անհավասարությունը պահպանվում է, այնուհետև այն գտնվում է շրջանագծից դուրս: Եթե x + y = 1, ապա կետը գտնվում է շրջանագծի ներսում:

Արժեքը հաշվարկելու համար մենք կրկին օգտագործում ենք բանաձևը (1): Այս մեթոդով հաշվարկման սխալը, որպես կանոն, համաչափ է , որտեղ D-ն որոշակի հաստատուն է, իսկ N-ը՝ փորձարկումների թիվը: Մեր դեպքում N = N քառ. Այս բանաձևը ցույց է տալիս, որ սխալը 10 անգամ նվազեցնելու համար (այլ կերպ ասած՝ պատասխանում ևս մեկ ճիշտ տասնորդական տեղ ստանալու համար), պետք է 100 անգամ ավելացնել N-ը, այսինքն՝ աշխատանքի ծավալը։ Հասկանալի է, որ Մոնտե Կառլոյի մեթոդի կիրառումը հնարավոր դարձավ միայն համակարգիչների շնորհիվ։ Ծրագիր 2-ը համակարգչում իրականացնում է նկարագրված մեթոդը:

Ծրագիր 2

REM «Հաշվարկիչ pi»
REM «Մոնտե Կառլոյի մեթոդ»
INPUT «Մուտքագրեք կաթիլների քանակը», n
մ = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT (t \ 100)
y=t-x*100
ԵԹԵ x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
ՀԱՋՈՐԴ i
p=4*m/n

ՎԵՐՋ

Ծրագիրը մուտքագրվել և գործարկվել է n պարամետրի տարբեր արժեքներով: Թվի ստացված արժեքները գրանցվում են աղյուսակում.

n
n

Ընկնող ասեղի մեթոդ

Վերցրեք սովորական կարի ասեղ և թղթի թերթիկ: Թերթի վրա գծեք մի քանի զուգահեռ գծեր, որպեսզի նրանց միջև հեռավորությունները հավասար լինեն և գերազանցեն ասեղի երկարությունը: Նկարը պետք է բավականաչափ մեծ լինի, որպեսզի պատահաբար նետված ասեղը չընկնի դրանից դուրս: Ներկայացնենք նշումը. Ա- գծերի միջև հեռավորությունը, լ- ասեղի երկարությունը.

Նկար 3

Նկարի վրա պատահականորեն նետված ասեղի դիրքը (տես նկ. 3) որոշվում է X հեռավորությունից մինչև մոտակա ուղիղ գիծը և j անկյունը, որը ձևավորում է ասեղը ասեղի մեջտեղից իջեցված ուղղահայացով: մոտակա ուղիղ գիծը (տես նկ. 4): Պարզ է, որ

Նկար 4

Նկ. 5-ը գրաֆիկորեն ներկայացնում է ֆունկցիան y=0,5 կոստ. Ասեղի բոլոր հնարավոր վայրերը բնութագրվում են կոորդինատներով կետերով (; y)գտնվում է ABCD հատվածում: AED-ի ստվերված տարածքը այն կետերն են, որոնք համապատասխանում են այն դեպքին, երբ ասեղը հատվում է ուղիղ գծով: Իրադարձության հավանականություն ա- «ասեղը հատել է գիծը» - հաշվարկվում է բանաձևով.

Նկար 5

Հավանականություն p(a)կարելի է մոտավորապես որոշել ասեղը բազմիցս նետելով: Թող ասեղը նետվի գծագրի վրա գանգամ և էջմի անգամ այն ​​ընկավ՝ անցնելով ուղիղ գծերից մեկը, հետո բավական մեծ գմենք ունենք p(a) = p / c. Այստեղից = 2 լ վ / ա կ.

Մեկնաբանություն. Նկարագրված մեթոդը վիճակագրական փորձարկման մեթոդի տատանումն է: Այն հետաքրքիր է դիդակտիկ տեսանկյունից, քանի որ օգնում է համատեղել պարզ փորձը բավականին բարդ մաթեմատիկական մոդելի կազմման հետ։

Թեյլորի շարքի հաշվարկ

Անդրադառնանք կամայական ֆունկցիայի դիտարկմանը f(x).Ենթադրենք, որ նրա համար այդ կետում x0կան բոլոր պատվերների ածանցյալները մինչև n-րդ ներառյալ: Այնուհետև ֆունկցիայի համար f(x)Թեյլորի շարքը կարելի է գրել.

Այս շարքի օգտագործմամբ հաշվարկներն ավելի ճշգրիտ կլինեն, այնքան շատ անդամներ կներգրավվեն շարքի մեջ: Իհարկե, լավագույնն է այս մեթոդն իրականացնել համակարգչի վրա, որի համար կարող եք օգտագործել 3-րդ ծրագիրը:

Ծրագիր 3

REM «Հաշվարկիչ pi»
REM «Թեյլորի ընդլայնում»
INPUT n
a = 1
FOR i = 1 TO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i*d
a = a + f
ՀԱՋՈՐԴ i
p = 4 * ա
PRINT «pi-ի արժեքն է»; էջ
ՎԵՐՋ

Ծրագիրը մուտքագրվել և գործարկվել է n պարամետրի տարբեր արժեքներով: Թվի ստացված արժեքները գրանցվում են աղյուսակում.

Թվի իմաստը հիշելու համար կան շատ պարզ մնեմոնիկ կանոններ.

«Փի» թվի նշանակությունը, ինչպես նաև դրա սիմվոլիկան հայտնի է ամբողջ աշխարհում։ Այս տերմինը նշանակում է իռացիոնալ թվեր (այսինքն, դրանց արժեքը չի կարող ճշգրիտ արտահայտվել որպես y / x կոտորակ, որտեղ y-ն և x-ը ամբողջ թվեր են) և նաև փոխառված է հին հունական բառակապակցությունների «ծայրամաս» միավորից, որը ռուսերեն կարող է թարգմանվել որպես «շրջանակ».
Մաթեմատիկայում «Pi» թիվը նշանակում է շրջանագծի շրջագծի հարաբերությունը նրա տրամագծի երկարությանը։«Պի» թվի ծագման պատմությունը գնում է դեպի հեռավոր անցյալ։ Շատ պատմաբաններ փորձել են պարզել, թե երբ և ում կողմից է հայտնագործվել այս խորհրդանիշը, սակայն նրանց չի հաջողվել պարզել:

Պի»տրանսցենդենտալ թիվ է, կամ ասելով պարզ բառերովայն չի կարող լինել ամբողջ թվային գործակիցներով որոշ բազմանդամի արմատ: Այն կարող է նշանակվել որպես իրական թիվ կամ որպես անուղղակի թիվ, որը հանրահաշվական չէ։

Pi է 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...

Պի»կարող է լինել ոչ միայն իռացիոնալ թիվ, որը չի կարող արտահայտվել մի քանի տարբեր թվերի միջոցով: «Pi» թիվը կարելի է ներկայացնել որոշակի տասնորդական կոտորակի միջոցով, որը տասնորդական կետից հետո ունի անսահման թվով թվեր։ Մեկ այլ հետաքրքիր կետ. այս բոլոր թվերն ի վիճակի չեն կրկնվել:

Պի»կարող է փոխկապակցվել 22/7 կոտորակային թվի հետ, այսպես կոչված, «եռակի օկտավա» նշանի հետ։ Այս թիվը գիտեին նույնիսկ հին հույն քահանաները: Բացի այդ, նույնիսկ սովորական բնակիչները կարող էին օգտագործել այն կենցաղային ցանկացած խնդիր լուծելու համար, ինչպես նաև օգտագործել այնպիսի բարդ կառույցներ, ինչպիսիք են գերեզմանները:
Գիտնական և հետազոտող Հայենսի խոսքերով, նմանատիպ թիվ կարելի է գտնել Սթոունհենջի ավերակների մեջ, ինչպես նաև հայտնաբերվել է մեքսիկական բուրգերում:

Պի»իր գրվածքներում հիշատակել է այն ժամանակվա հայտնի ինժեներ Ահմեսը։ Նա փորձեց հնարավորինս ճշգրիտ հաշվարկել այն՝ չափելով շրջանակի տրամագիծը ներսում գծված քառակուսիներից։ Հավանաբար, որոշակի առումով այս թիվը հինների համար որոշակի միստիկական, սուրբ նշանակություն ունի։

Պի»իրականում ամենաառեղծվածային մաթեմատիկական խորհրդանիշն է: Այն կարելի է դասակարգել որպես դելտա, օմեգա և այլն: Դա այնպիսի վերաբերմունք է, որը կստացվի նույնը, անկախ նրանից, թե տիեզերքի որ կետը կլինի դիտորդը: Բացի այդ, այն անփոփոխ կլինի չափման օբյեկտից:

Ամենայն հավանականությամբ, առաջին մարդը, ով որոշել է մաթեմատիկական մեթոդով հաշվարկել «Pi» թիվը, Արքիմեդն է։ Նա որոշեց, որ նկարում է շրջանակներով կանոնավոր բազմանկյուններ. Շրջանակի տրամագիծը միավոր համարելով՝ գիտնականը նշել է շրջանագծի մեջ գծված բազմանկյան պարագիծը՝ ներգծված բազմանկյան պարագիծը դիտարկելով որպես վերին գնահատական, բայց որպես շրջագծի ավելի ցածր գնահատական։

Ո՞րն է «Pi» թիվը

Ներածություն

Հոդվածը պարունակում է մաթեմատիկական բանաձևեր, ուստի կարդալու համար այցելեք կայք՝ դրանց ճիշտ ցուցադրման համար:\(\pi \) թիվը հարուստ պատմություն ունի։ Այս հաստատունը նշանակում է շրջանագծի շրջագծի և տրամագծի հարաբերությունը:

Գիտության մեջ \(\pi \) թիվը օգտագործվում է ցանկացած հաշվարկում, որտեղ կան շրջանակներ։ Սկսած սոդայի տարայի ծավալից մինչև արբանյակների ուղեծրերը։ Եվ ոչ միայն շրջանակներ: Իրոք, կոր գծերի ուսումնասիրության ժամանակ \(\pi \) թիվը օգնում է հասկանալ պարբերական և տատանողական համակարգերը։ Օրինակ, էլեկտրամագնիսական ալիքները և նույնիսկ երաժշտությունը:

1706 թվականին բրիտանացի գիտնական Ուիլյամ Ջոնսի (1675-1749) «Մաթեմատիկական նոր ներածություն» գրքում առաջին անգամ օգտագործվել է հունական այբուբենի \(\pi\) տառը՝ 3.141592 թիվը նշելու համար։ .. Այս նշանակումը գալիս է հունարեն περιφερεια - շրջան, ծայրամաս և περιµετρoς - պարագծային բառերի սկզբնական տառից: Ընդհանուր ընդունված անվանումը դարձավ Լեոնհարդ Էյլերի աշխատանքից հետո 1737 թ.

երկրաչափական ժամանակաշրջան

Ցանկացած շրջանագծի երկարության և նրա տրամագծի հարաբերակցության կայունությունը վաղուց է նկատվել։ Միջագետքի բնակիչներն օգտագործել են \(\pi \) թվի բավականին կոպիտ մոտարկում։ Ինչպես հետևում է հնագույն խնդիրներից, նրանք իրենց հաշվարկներում օգտագործում են \(\pi ≈ 3 \) արժեքը։

\(\pi \)-ի ավելի ճշգրիտ արժեք օգտագործվել է հին եգիպտացիների կողմից: Լոնդոնում և Նյու Յորքում պահվում են հին եգիպտական ​​պապիրուսի երկու մաս, որը կոչվում է «Ռինդա պապիրուս»։ Պապիրուսը կազմել է գրագիր Արմեսը մ.թ.ա. մոտ 2000-1700 թվականներին: Արմեսն իր պապիրուսում գրել է, որ \(r\) շառավղով շրջանագծի մակերեսը հավասար է քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավասար է \(\frac(8)(9) \) շրջանագծի տրամագծից \(\frac(8)(9) \cdot 2r \), այսինքն \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \): Հետևաբար \(\pi = 3,16\):

Հին հույն մաթեմատիկոս Արքիմեդը (մ.թ.ա. 287-212 թթ.) առաջին անգամ խնդիր է դրել գիտական ​​հիմունքներով չափել շրջանագիծը: Նա ստացել է միավոր \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Մեթոդը բավականին պարզ է, բայց պատրաստի աղյուսակների բացակայության դեպքում եռանկյունաչափական ֆունկցիաներպահանջվում է արմատի արդյունահանում: Բացի այդ, մոտարկումը \(\pi \)-ին շատ դանդաղ է համընկնում. յուրաքանչյուր կրկնության դեպքում սխալը նվազում է միայն չորս գործոնով:

Վերլուծական ժամանակաշրջան

Չնայած դրան, մինչև 17-րդ դարի կեսերը եվրոպացի գիտնականների բոլոր փորձերը՝ հաշվարկելու \ (\ pi \) թիվը կրճատվեցին մինչև բազմանկյունի կողմերը մեծացնելը։ Օրինակ, հոլանդացի մաթեմատիկոս Լյուդոլֆ վան Զեյլենը (1540-1610) հաշվարկել է \(\pi \) թվի մոտավոր արժեքը 20 տասնորդական թվանշանների ճշգրտությամբ։

Դա պարզելու համար նրանից պահանջվեց 10 տարի: Արքիմեդի մեթոդով կրկնապատկելով ներգծված և շրջագծված բազմանկյունների կողմերի թիվը՝ նա ստացավ \(60 \cdot 2^(29) \) - գոն՝ \(\pi \) 20 տասնորդականով հաշվարկելու համար։ տեղերը.

Նրա մահից հետո նրա ձեռագրերում հայտնաբերվել են \(\pi \) թվի ևս 15 ճշգրիտ թվանշաններ։ Լյուդոլֆը կտակել է, որ իր գտած նշանները փորագրված են եղել իր տապանաքարի վրա։ Նրա պատվին \(\pi \) թիվը երբեմն կոչվում էր «Լյուդոլֆի թիվ» կամ «Լյուդոլֆի հաստատուն»։

Առաջիններից մեկը, ով ներկայացրեց Արքիմեդի մեթոդից տարբերվող մեթոդ, Ֆրանսուա Վիետն էր (1540-1603): Նա եկել է այն եզրակացության, որ մի շրջան, որի տրամագիծը մեկին հավասար, ունի մակերես.

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

Մյուս կողմից, տարածքը \(\frac(\pi)(4) \): Փոխարինելով և պարզեցնելով արտահայտությունը՝ մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ անսահման արտադրյալի բանաձևը՝ \(\frac(\pi)(2) \) մոտավոր արժեքը հաշվարկելու համար.

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Ստացված բանաձևը \(\pi \) թվի առաջին ճշգրիտ վերլուծական արտահայտությունն է: Ի հավելումն այս բանաձևի՝ Վիետան, օգտագործելով Արքիմեդի մեթոդը, տվել է ներգծված և շրջագծված բազմանկյունների օգնությամբ՝ սկսած 6-անկյունից և վերջացրած \(2^(16) \cdot 6 \) կողմերով բազմանկյունով. \(\pi \) թվի մոտարկումը 9 ճիշտ նշանով։

Անգլիացի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Բրոունքերը (1620-1684) օգտագործեց շարունակական կոտորակը հետևյալ կերպ հաշվարկելու համար.

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots))))))) \]

Այս մեթոդը\(\frac(4)(\pi) \)-ի մոտավոր հաշվարկը պահանջում է բավականին շատ հաշվարկներ գոնե փոքր մոտարկում ստանալու համար:

Փոխարինման արդյունքում ստացված արժեքները կա՛մ մեծ են, կա՛մ փոքր, քան \(\pi \) թիվը և ամեն անգամ ավելի մոտ են իրական արժեքին, բայց 3.141592 արժեքը ստանալու համար բավական մեծ հաշվարկ է պահանջվելու:

Մեկ այլ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Մաչինը (1686-1751) 1706 թվականին օգտագործեց 1673 թվականին Լայբնիցի կողմից ստացված բանաձևը 100 տասնորդական թվերով \(\pi \) թիվը հաշվարկելու համար և այն կիրառեց հետևյալ կերպ.

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Շարքը արագորեն համընկնում է և կարող է օգտագործվել \(\pi \) թիվը հաշվարկելու համար մեծ ճշգրտություն. Այս տեսակի բանաձևերը օգտագործվել են համակարգչային դարաշրջանում մի քանի ռեկորդներ սահմանելու համար:

17-րդ դարում Փոփոխական մեծության մաթեմատիկայի ժամանակաշրջանի սկզբով եկավ նոր փուլ\(\pi \) հաշվարկում: Գերմանացի մաթեմատիկոս Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716) 1673 թվականին գտել է \(\pi \) թվի ընդլայնումը, ընդհանուր տեսարանայն կարելի է գրել հետևյալ անվերջ շարքով.

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Շարքը ստացվում է x = 1-ը փոխարինելով \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Լեոնհարդ Էյլերը մշակում է Լայբնիցի գաղափարը arctg x-ի համար շարքերի օգտագործման վերաբերյալ իր աշխատության մեջ \(\pi \) թիվը հաշվարկելիս: 1738 թվականին գրված De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi (Մոտավոր թվերով շրջանագծի քառակուսման արտահայտման տարբեր մեթոդների մասին) տրակտատը քննարկում է հաշվարկների բարելավման մեթոդները՝ օգտագործելով Լայբնիցի բանաձևը։

Էյլերը գրում է, որ աղեղային շոշափող շարքը ավելի արագ կմիանա, եթե արգումենտը հակված է զրոյի: \(x = 1\)-ի համար շարքի կոնվերգենցիան շատ դանդաղ է. մինչև 100 նիշ ճշգրտությամբ հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել շարքի \(10^(50)\) պայմանները: Դուք կարող եք արագացնել հաշվարկները՝ նվազեցնելով փաստարկի արժեքը: Եթե ​​վերցնենք \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), ապա կստանանք շարքը

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Ըստ Էյլերի, եթե վերցնենք այս շարքի 210 անդամ, ապա կստանանք թվի 100 ճիշտ թվանշան։ Ստացված շարքը անհարմար է, քանի որ անհրաժեշտ է իմանալ \(\sqrt(3)\) իռացիոնալ թվի բավականաչափ ճշգրիտ արժեքը: Նաև, իր հաշվարկներում, Էյլերն օգտագործել է աղեղային շոշափումների ընդլայնումները ավելի փոքր փաստարկների աղեղային շոշափումների գումարի մեջ.

\[որտեղ x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Հրապարակվել են \(\pi \) հաշվարկի բոլոր բանաձևերը, որոնք Էյլերը օգտագործել է իր նոթատետրերում։ Հրատարակված աշխատություններում և նոթատետրերում նա հաշվի է առել 3 տարբեր շարքեր աղեղի շոշափող հաշվելու համար, ինչպես նաև բազմաթիվ հայտարարություններ է արել տվյալ ճշտությամբ \(\pi \) մոտավոր արժեք ստանալու համար անհրաժեշտ գումարելի տերմինների քանակի վերաբերյալ։

Հետագա տարիներին \(\pi \) թվի արժեքի ճշգրտումը տեղի ունեցավ ավելի ու ավելի արագ: Այսպես, օրինակ, 1794 թվականին Ջորջ Վեգան (1754-1802) արդեն բացահայտեց 140 նշան, որոնցից միայն 136-ն էր ճիշտ:

Հաշվողական ժամանակաշրջան

20-րդ դարը նշանավորվեց \(\pi\) թվի հաշվարկի բոլորովին նոր փուլով։ Հնդիկ մաթեմատիկոս Սրինիվասա Ռամանուջանը (1887-1920) հայտնաբերել է \(\pi \) բազմաթիվ նոր բանաձևեր: 1910 թ.-ին նա ստացավ Թեյլորի շարքում աղեղի շոշափողի ընդլայնման միջոցով \(\pi \) հաշվելու բանաձևը.

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100-ով ձեռք է բերվում \(\pi \) թվի 600 ճիշտ թվանշանների ճշգրտություն։

Համակարգիչների հայտնվելը հնարավորություն տվեց զգալիորեն բարձրացնել ստացված արժեքների ճշգրտությունը ավելի քան կարճ ժամանակ. 1949 թվականին ENIAC-ի միջոցով գիտնականների խումբը Ջոն ֆոն Նեյմանի (1903-1957) գլխավորությամբ ընդամենը 70 ժամում ստացավ \(\pi\) 2037 տասնորդական վայրեր։ Դեյվիդ և Գրեգորի Չուդնովսկիները 1987 թվականին ստացան մի բանաձև, որով նրանք կարողացան մի քանի ռեկորդ սահմանել \(\pi \) հաշվարկում.

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Շարքի յուրաքանչյուր անդամ տալիս է 14 նիշ: 1989 թվականին ստացվել է 1 011 196 691 տասնորդական տեղ։ Այս բանաձևը հարմար է անձնական համակարգիչների վրա \(\pi \) հաշվարկելու համար: Այս պահին եղբայրները Նյու Յորքի համալսարանի պոլիտեխնիկական ինստիտուտի դասախոսներ են։

Վերջին կարևոր զարգացումը 1997 թվականին Սայմոն Պլաֆֆի կողմից բանաձեւի հայտնաբերումն էր: Այն թույլ է տալիս հանել \(\pi \) թվի ցանկացած տասնվեցական թվանշան՝ առանց նախորդները հաշվարկելու։ Բանաձեւը կոչվում է «Bailey-Borwain-Pluff բանաձեւ»՝ ի պատիվ այն հոդվածի հեղինակների, որտեղ առաջին անգամ հրապարակվել է բանաձեւը։ Այն կարծես այսպիսին է.

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

2006թ.-ին Սայմոնը, օգտագործելով PSLQ-ը, մշակեց \(\pi \) հաշվելու մի քանի գեղեցիկ բանաձևեր: Օրինակ,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

որտեղ \(q = e^(\pi)\): 2009 թվականին ճապոնացի գիտնականները, օգտագործելով T2K Tsukuba System սուպերհամակարգիչը, ստացան \(\pi \) թիվը 2,576,980,377,524 տասնորդական թվերով։ Հաշվարկները տեւել են 73 ժամ 36 րոպե։ Համակարգիչը հագեցած էր 640 չորս միջուկանի AMD Opteron պրոցեսորներով, որոնք ապահովում էին վայրկյանում 95 տրիլիոն գործողությունների կատարում:

\(\pi \) հաշվարկի հաջորդ ձեռքբերումը պատկանում է ֆրանսիացի ծրագրավորող Ֆաբրիս Բելարդին, ով 2009թ. վերջին Fedora 10-ով աշխատող իր անհատական ​​համակարգչով սահմանեց ռեկորդ՝ հաշվարկելով \(\pi \ թվի 2,699,999,990,000 տասնորդական տեղերը): Վերջին 14 տարիների ընթացքում սա առաջին համաշխարհային ռեկորդն է, որը սահմանվել է առանց սուպերհամակարգչի օգտագործման։ Բարձր կատարողականության համար Ֆաբրիսն օգտագործել է Չուդնովսկի եղբայրների բանաձեւը. Ընդհանուր առմամբ, հաշվարկը տևել է 131 օր (103 օր հաշվարկ և 13 օր ստուգում): Բելարի ձեռքբերումը ցույց տվեց, որ նման հաշվարկների համար պարտադիր չէ սուպերհամակարգիչ ունենալ։

Ընդամենը վեց ամիս անց Ֆրանսուայի ռեկորդը գերազանցեցին ինժեներներ Ալեքսանդր Յին և երգիչ Կոնդոն։ 5 տրիլիոն տասնորդական նիշ \(\pi\) ռեկորդ սահմանելու համար օգտագործվել է նաև անհատական ​​համակարգիչ, բայց ավելի տպավորիչ բնութագրերով՝ երկու Intel Xeon X5680 պրոցեսոր 3,33 ԳՀց հաճախականությամբ, 96 ԳԲ օպերատիվ հիշողություն, 38 ՏԲ սկավառակի հիշողություն և գործող: համակարգ Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Հաշվարկների համար Ալեքսանդրը և Սինգերը օգտագործել են Չուդնովսկի եղբայրների բանաձևը. Հաշվարկի գործընթացը տևել է 90 օր և 22 ՏԲ սկավառակի տարածություն: 2011 թվականին նրանք սահմանեցին ևս մեկ ռեկորդ՝ հաշվարկելով 10 տրիլիոն տասնորդական նիշ \(\pi \) թվի համար։ Հաշվարկները կատարվել են նույն համակարգչով, որը սահմանել էր իրենց նախորդ ռեկորդը և ընդհանուր առմամբ տևել է 371 օր։ 2013-ի վերջին Ալեքսանդրը և Սինգերուն բարելավեցին ռեկորդը՝ հասնելով \(\pi\) թվի 12,1 տրիլիոն նիշի, ինչը նրանց հաշվարկելու համար պահանջվեց ընդամենը 94 օր։ Արդյունավետության այս բարելավումը ձեռք է բերվում ծրագրային ապահովման կատարողականի օպտիմալացման, պրոցեսորային միջուկների քանակի ավելացման և ծրագրային ապահովման սխալների հանդուրժողականության զգալի բարելավման միջոցով:

Ներկայիս ռեկորդը Ալեքսանդր Յիի և Սինգերու Կոնդոյի ռեկորդն է, որը կազմում է \(\pi \) 12,1 տրիլիոն տասնորդական տեղ:

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք հին ժամանակներում օգտագործվող \(\pi \) թվի հաշվարկման մեթոդները. վերլուծական մեթոդներ, ինչպես նաև դիտարկել են ժամանակակից մեթոդներն ու գրառումները համակարգիչների վրա \(\pi \) թվի հաշվարկման համար։

Աղբյուրների ցանկ

1. Ժուկով Ա.Վ. Ամենուր տարածված համարը Pi - M.: LKI Publishing House, 2007 - 216 p.
2. Ֆ.Ռուդիո. Շրջանակի քառակուսի վրա՝ հարցի պատմության հավելվածով, կազմված Ֆ.Ռուդիոյի կողմից։ / Rudio F. - M .: ONTI NKTP ԽՍՀՄ, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270p.
4. Շուխման, Է.Վ. Pi-ի մոտավոր հաշվարկը, օգտագործելով մի շարք arctg x-ի համար Լեոնհարդ Էյլերի հրատարակված և չհրապարակված աշխատանքներում / E.V. Շուխման. - Գիտության և տեխնիկայի պատմություն, 2008 - թիվ 4: - P. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae: 1744 - Հատոր 9 - 222-236 p.
6. Shumikhin, S. Number Pi. 4000 տարվա պատմություն / S. Shumikhin, A. Shumikhina. - M.: Eksmo, 2011. - 192 p.
7. Բորվեյն, Ջ.Մ. Ռամանուջան և Պի. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Գիտության աշխարհում. 1988թ.՝ թիվ 4: - S. 58-66.
8. Ալեքս Յի. թվային աշխարհ. Մուտքի ռեժիմ՝ numberworld.org

Հավանեցի՞ք:

Ասա՛

Թվի արժեքը(արտասանվում է «պի») հարաբերությանը հավասար մաթեմատիկական հաստատուն է

Նշվում է հունական այբուբենի «pi» տառով։ հին անուն - Լյուդոլֆի համարը.

Ինչի՞ է հավասար pi-ն:Պարզ դեպքերում բավական է իմանալ առաջին 3 նիշերը (3.14): Բայց ավելիի համար

բարդ դեպքեր և որտեղ ավելի մեծ ճշգրտություն է անհրաժեշտ, անհրաժեշտ է իմանալ ավելի քան 3 թվանշան:

Ինչ է pi? Pi-ի առաջին 1000 տասնորդական տեղերն են.

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

Նորմալ պայմաններում pi-ի մոտավոր արժեքը կարելի է հաշվարկել՝ հետևելով կետերին.

ստորև՝

1. Վերցրեք շրջան, թելը մեկ անգամ փաթաթեք նրա եզրին։
2. Չափում ենք թելի երկարությունը։
3. Մենք չափում ենք շրջանագծի տրամագիծը:
4. Թելի երկարությունը բաժանեք տրամագծի երկարությամբ։ Մենք ստացանք pi թիվը:

Pi հատկությունները.

• պի- իռացիոնալ թիվ, այսինքն. pi-ի արժեքը չի կարող ճշգրիտ արտահայտվել ձևով

կոտորակները մ/ն, Որտեղ մԵվ nամբողջ թվեր են. Սա ցույց է տալիս, որ տասնորդական ներկայացումը

pi-ն երբեք չի ավարտվում և պարբերական չէ:

• պիտրանսցենդենտալ թիվ է, այսինքն. այն չի կարող լինել ամբողջ թվերով որևէ բազմանդամի արմատ

գործակիցները։ 1882 թվականին պրոֆեսոր Քյոնիգսբերգն ապացուցեց տրանսցենդենտալությունը պի, Ա

ավելի ուշ՝ Մյունխենի համալսարանի պրոֆեսոր Լինդեմանը։ Պարզեցված ապացույց

Ֆելիքս Քլայնը 1894 թ.

• քանի որ էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ շրջանագծի մակերեսը և շրջանագծի շրջագիծը pi-ի ֆունկցիաներ են,

այնուհետև pi-ի գերազանցության ապացույցը վերջ դրեց շրջանագծի քառակուսիացման մասին վեճին, որը տևեց ավելի քան.

2,5 հազար տարի:

• պիժամանակաշրջանի օղակի տարր է (այսինքն՝ հաշվելի և թվաբանական թիվ)։

Բայց ոչ ոք չգիտի, արդյոք այն պատկանում է ժամանակաշրջանների օղակին։

Pi բանաձեւ.

• Ֆրանսուա Վիետ.

• Ուոլիս բանաձևը.

• Լայբնիցի շարք.

• Այլ տողեր.

Աշխատանքի տեքստը տեղադրված է առանց պատկերների և բանաձևերի։
Ամբողջական տարբերակըաշխատանքը հասանելի է «Աշխատանքի ֆայլեր» ներդիրում՝ PDF ձևաչափով

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

1. Աշխատանքի արդիականությունը.

Թվերի անսահման շարքում, ինչպես նաև Տիեզերքի աստղերի մեջ առանձնանում են առանձին թվեր և նրանց զարմանալի գեղեցկության ամբողջ «համաստեղությունները», անսովոր հատկություններով թվեր և միայն նրանց բնորոշ յուրօրինակ ներդաշնակություն: Պարզապես պետք է կարողանալ տեսնել այս թվերը, նկատել դրանց հատկությունները: Ուշադիր նայեք թվերի բնական շարքին, և դրանում դուք կգտնեք շատ զարմանալի և արտասովոր, զվարճալի և լուրջ, անսպասելի և հետաքրքրասեր: Նա, ով նայում է, տեսնում է: Ի վերջո, նույնիսկ ամառային աստղազարդ գիշերին մարդիկ չեն նկատի ... շողք: Հյուսիսային աստղը, եթե նրանք իրենց հայացքը չուղղեն դեպի անամպ բարձրություն։

Շարժվելով դասարանից դասարան՝ ծանոթացա բնականին, կոտորակայինին, տասնորդականին, բացասականին, ռացիոնալին։ Այս տարի իռացիոնալ եմ սովորել։ Իռացիոնալ թվերի մեջ կա հատուկ թիվ, որի ճշգրիտ հաշվարկները գիտնականները կատարել են երկար դարեր շարունակ։ Ես դրան հանդիպեցի դեռևս 6-րդ դասարանում՝ «Շրջանակի և շրջանի մակերեսը» թեման ուսումնասիրելիս։ Ուշադրությունը կենտրոնացած էր այն փաստի վրա, որ բավականին հաճախ ենք հանդիպելու նրա հետ ավագ դասարանների դասերին։ Հետաքրքիր էին π թվի թվային արժեքը գտնելու գործնական առաջադրանքները։ Π թիվը ամենահետաքրքիր թվերից մեկն է, որին հանդիպում ենք մաթեմատիկայի ուսումնասիրության ժամանակ։ Այն հանդիպում է դպրոցական տարբեր առարկաներում: Շատ բաներ կապված են π թվի հետ հետաքրքիր փաստեր, ուստի հետաքրքիր է ուսումնասիրել։

Շատ հետաքրքիր բաներ լսելով այս թվի մասին՝ ես ինքս որոշեցի ուսումնասիրելով լրացուցիչ գրականությունև ինտերնետում որոնել՝ դրա մասին հնարավորինս շատ տեղեկատվություն գտնելու և խնդրահարույց հարցերին պատասխանելու համար.

Որքա՞ն ժամանակ է մարդիկ գիտեն pi-ի մասին:

Ինչու՞ է անհրաժեշտ այն ուսումնասիրել:

Ինչ հետաքրքիր փաստեր են կապված դրա հետ

Ճի՞շտ է, որ pi-ի արժեքը մոտավորապես 3.14 է

Հետեւաբար, իմ առջեւ դրեցի թիրախ:ուսումնասիրել π թվի պատմությունը և պ թվի նշանակությունը ներկա փուլմաթեմատիկայի զարգացում։

Առաջադրանքներ.

Ուսումնասիրեք գրականությունը, որպեսզի տեղեկություններ ստանաք π թվի պատմության մասին;

Որոշ փաստեր հաստատեք « ժամանակակից կենսագրություն» թվեր π;

Շրջանակի շրջագծի և տրամագծի հարաբերության մոտավոր արժեքի գործնական հաշվարկ:

Ուսումնասիրության օբյեկտ.

Ուսումնասիրության օբյեկտ՝ PI-ի թիվը:

Ուսումնասիրության առարկա.Հետաքրքիր փաստեր՝ կապված PI թվի հետ.

2. Հիմնական մասը. Զարմանալի «pi» թիվը.

Ոչ մի այլ թիվ այնքան խորհրդավոր չէ, որքան «Pi»-ն՝ իր հայտնի անվերջությամբ թվային շարք. Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի շատ ոլորտներում գիտնականներն օգտագործում են այս թիվը և դրա օրենքները:

Մաթեմատիկայում օգտագործվող բոլոր թվերից մի քանիսն են բնական գիտություններ, ճարտարագիտության մեջ և Առօրյա կյանք, տրվում է այնքան ուշադրություն, որքան տրված է pi թվին։ Մի գրքում ասվում է. «Pi-ն գրավում է գիտական ​​հանճարների և սիրողական մաթեմատիկոսների մտքերն ամբողջ աշխարհում» («Fractals for the Classroom»):

Այն կարելի է գտնել հավանականությունների տեսության մեջ, հետ խնդիրներ լուծելիս բարդ թվերև մաթեմատիկայի այլ անսպասելի և երկրաչափական ոլորտներից հեռու: Անգլիացի մաթեմատիկոս Օգյուստ դե Մորգանը մի անգամ անվանել է «pi» «... առեղծվածային թիվ 3.14159... որը բարձրանում է դռնով, պատուհանով և տանիքով»։ Սա առեղծվածային թիվ է, որը կապված է երեքից մեկի հետ դասական խնդիրներՀնություն - հրապարակի կառուցումը, որի տարածքը հավասար է տվյալ շրջանագծի տարածքին, ենթադրում է դրամատիկ պատմական և հետաքրքիր զվարճալի փաստերի գնացք:

Ոմանք նույնիսկ համարում են այն մաթեմատիկայի հինգ ամենակարեւոր թվերից մեկը: Սակայն, ինչպես նշում է «Fractals for the Classroom» գիրքը, չնայած pi-ի կարևորությանը, «դժվար է գիտական ​​հաշվարկներում գտնել տարածքներ, որոնք պահանջում են pi-ի քսան տասնորդական տեղ»:

3. Պի հասկացությունը

Π թիվը մաթեմատիկական հաստատուն է, որն արտահայտում է շրջանագծի շրջագծի և տրամագծի երկարության հարաբերությունը. π թիվը (արտասանվում է «պի») մաթեմատիկական հաստատուն է, որն արտահայտում է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի երկարության հարաբերությունը։ Նշվում է հունական այբուբենի «pi» տառով։

Թվային առումով π սկսվում է որպես 3.141592 և ունի անսահման մաթեմատիկական տևողություն:

4. «Փի» թվի պատմությունը.

Ըստ մասնագետների՝ այս թիվը հայտնաբերել են բաբելոնյան մոգերը. Այն օգտագործվել է հայտնի Բաբելոնի աշտարակի կառուցման ժամանակ։ Այնուամենայնիվ, Pi-ի արժեքի անբավարար ճշգրիտ հաշվարկը հանգեցրեց ամբողջ նախագծի փլուզմանը: Հնարավոր է, որ այս մաթեմատիկական հաստատունը հիմք է հանդիսացել Սողոմոն թագավորի լեգենդար տաճարի կառուցմանը:

Pi թվի պատմությունը, որն արտահայտում է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունը, սկսվել է Հին Եգիպտոսում։ Շրջանակի տրամագծի տարածք դԵգիպտացի մաթեմատիկոսները սահմանել են որպես (d-d/9) 2 (այս նշումը տրված է այստեղ ժամանակակից նշաններով): Վերոնշյալ արտահայտությունից կարող ենք եզրակացնել, որ այն ժամանակ p թիվը համարվել է կոտորակի հավասար (16/9) 2 , կամ 256/81 , այսինքն. π = 3,160...

IN սուրբ գիրքջայնիզմի (հին կրոններից մեկը, որը գոյություն է ունեցել Հնդկաստանում և առաջացել է մ.թ.ա. 6-րդ դարում), կա մի ցուցում, որից հետևում է, որ այն ժամանակ p թիվը հավասար էր, ինչը տալիս է կոտորակ. 3,162... Հին հույներ Եվդոքսոս, Հիպոկրատիսկ շրջանագծի այլ չափումները կրճատվել են հատվածի կառուցման, իսկ շրջանագծի չափումները՝ հավասար քառակուսու կառուցման։ Հարկ է նշել, որ շատ դարերի ընթացքում մաթ տարբեր երկրներիսկ ազգերը փորձել են արտահայտել ռացիոնալ թվի շրջագծի և տրամագծի հարաբերությունը։

Արքիմեդ 3-րդ դարում մ.թ.ա. իր «Շրջանակի չափումը» կարճ աշխատության մեջ հիմնավորել է երեք դիրք.

Յուրաքանչյուր շրջան հավասար է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի ոտքերը համապատասխանաբար հավասար են շրջագծին և շառավղին.

Շրջանի տարածքները կապված են տրամագծով կառուցված քառակուսու հետ, ինչպես 11-ից 14-ը;

Ցանկացած շրջանագծի և նրա տրամագծի հարաբերակցությունը փոքր է 3 1/7 եւ ավելին 3 10/71 .

Ըստ ճշգրիտ հաշվարկների Արքիմեդշրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունը թվերի միջև է 3*10/71 Եվ 3*1/7 , ինչը նշանակում է, որ π = 3,1419... Այս հարաբերությունների իրական իմաստը 3,1415922653... 5-րդ դարում մ.թ.ա. Չինացի մաթեմատիկոս Ցու ՉոնգժիԳտնվել է այս թվի ավելի ճշգրիտ արժեքը. 3,1415927...

XV դարի առաջին կեսին։ աստղադիտարաններ Ուլուգբեկ, մոտ Սամարղանդ, աստղագետ և մաթեմատիկոս ալ-Կաշիհաշվարկված pi 16 տասնորդական թվերով: Ալ-Կաշիկատարեց եզակի հաշվարկներ, որոնք անհրաժեշտ էին սինուսների աղյուսակ կազմելու համար 1" . Այս աղյուսակները մեծ դեր են խաղացել աստղագիտության մեջ։

Կես դար անց Եվրոպայում Ֆ.Վիետգտել է pi-ն ընդամենը 9 ճիշտ տասնորդական թվերով՝ կատարելով բազմանկյուն կողմերի թվի 16 կրկնապատկում: Բայց միևնույն ժամանակ Ֆ.Վիետառաջինն էր, ով նկատեց, որ pi-ն կարելի է գտնել՝ օգտագործելով որոշ շարքերի սահմանները: Այս հայտնագործությունը մեծ էր

արժեքը, քանի որ դա մեզ թույլ էր տալիս հաշվարկել pi-ն ցանկացած ճշգրտությամբ: Միայն 250 տարի անց ալ-Կաշինրա արդյունքը գերազանցվեց.

«» թվի ծննդյան օրը:

Մարտի 14-ին նշվում է «PI Day» ոչ պաշտոնական տոնը, որն ամերիկյան ձևաչափով (օր/ամսաթիվ) գրված է որպես 3/14, որը համապատասխանում է PI-ի թվի մոտավոր արժեքին:

Կա նաեւ տոնի այլընտրանքային տարբերակ՝ հուլիսի 22։ Այն կոչվում է «Մոտավոր Պի օր»: Փաստն այն է, որ այս ամսաթվի ներկայացումը որպես կոտորակ (22/7) արդյունքում տալիս է նաև Pi թիվը։ Ենթադրվում է, որ տոնը հորինել է 1987 թվականին Սան Ֆրանցիսկոյի ֆիզիկոս Լարի Շոուն, ով ուշադրություն է հրավիրել այն փաստի վրա, որ ամսաթիվը և ժամը համընկնում են π թվի առաջին նիշերի հետ։

Հետաքրքիր փաստեր «» թվի հետ կապված.

Տոկիոյի համալսարանի գիտնականներին՝ պրոֆեսոր Յասումասա Կանադայի գլխավորությամբ, հաջողվել է համաշխարհային ռեկորդ սահմանել pi թվի հաշվարկով մինչև 12411 տրիլիոն նշան։ Դրա համար մի խումբ ծրագրավորողների և մաթեմատիկոսների անհրաժեշտ էր հատուկ ծրագիր, գերհամակարգիչ և 400 ժամ համակարգչային ժամանակ։ (Գինեսի ռեկորդների գիրք):

Գերմանական թագավոր Ֆրիդրիխ II-ը այնքան հիացած էր այս թվով, որ նա նվիրեց դրան ... Կաստել դել Մոնտեի ամբողջ պալատը, որի համամասնություններով կարելի է հաշվարկել Պ.Ի. Այժմ կախարդական պալատը գտնվում է ՅՈՒՆԵՍԿՕ-ի պաշտպանության ներքո։

Ինչպես հիշել «» թվի առաջին թվերը։

 \u003d 3.14 թվի առաջին երեք նիշերն ամենևին էլ դժվար չէ հիշել: Եվ հիշել ավելիննշաններ կան զվարճալի ասացվածքներ և բանաստեղծություններ: Օրինակ՝ սրանք.

Պարզապես պետք է փորձել

Եվ հիշեք ամեն ինչ այնպես, ինչպես կա.

Իննսուներկու և վեց.

Ս.Բոբրով. «Կախարդական երկեղջյուր»

Յուրաքանչյուր ոք, ով սովորում է այս քառատողը, միշտ կկարողանա անվանել  թվի 8 նիշ.

Հետևյալ արտահայտություններում  թվի նշանները կարելի է որոշել յուրաքանչյուր բառի տառերի քանակով.

“Ի՞նչ գիտեմ շրջանակների մասին: (3.1416);

“Այսպիսով, ես գիտեմ Պի կոչվող համարը: - Լավ արեցիր:

(3,1415927);

“Իմացեք և իմացեք թվի հետևում հայտնի թվի մեջ, թե ինչպես կարելի է հաջողություն նկատել»:

(3,14159265359)

5. Պի թվի նշումը

Առաջինը, ով ներկայացրեց շրջանագծի շրջագծի և տրամագծի հարաբերության նշումը ժամանակակից pi նշանով, անգլիացի մաթեմատիկոսն էր։ Վ.Ջոնսոն 1706 թ.. Որպես խորհրդանիշ նա վերցրեց հունարեն բառի առաջին տառը «ծայրամաս», որը թարգմանաբար նշանակում է «շրջանակ». Ներկայացվել է Վ.Ջոնսոնանվանումը սովորական է դարձել ստեղծագործությունների հրապարակումից հետո Լ.Էյլեր, ով առաջին անգամ օգտագործեց մուտքագրված կերպարը 1736 Գ.

XVIII դարի վերջին։ A.M. Lazhandreաշխատանքների հիման վրա Ի.Գ.Լամբերտապացուցեց, որ pi-ն իռացիոնալ է: Հետո գերմանացի մաթեմատիկոսը Ֆ.Լինդեմանհետազոտության հիման վրա Շ Էրմիտա, գտավ խիստ ապացույց, որ այս թիվը ոչ միայն իռացիոնալ է, այլ նաև տրանսցենդենտալ, այսինքն. չի կարող լինել հանրահաշվական հավասարման արմատ: Պի-ի ճշգրիտ արտահայտության որոնումը շարունակվեց աշխատանքից հետո Ֆ. Վիետա. IN վաղ XVIIՎ. Հոլանդացի մաթեմատիկոս Քյոլնից Լյուդոլֆ վան Զելեն(1540-1610) (որոշ պատմաբաններ նրան անվանում են Լ. վան Կեյլեն)գտել է 32 ճիշտ նշան: Այդ ժամանակից ի վեր (հրատարակման տարին 1615) 32 տասնորդական թվերով p թվի արժեքը կոչվում է թիվ. Լյուդոլֆ.

6. Ինչպե՞ս հիշել «Pi» թիվը մինչև տասնմեկ նիշերի ճշգրտությամբ

«Pi» թիվը շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունն է, այն արտահայտվում է որպես անվերջ. տասնորդական. Առօրյա կյանքում մեզ բավական է իմանալ երեք նշան (3.14). Այնուամենայնիվ, որոշ հաշվարկներ պահանջում են ավելի մեծ ճշգրտություն:

Մեր նախնիները չեն ունեցել համակարգիչներ, հաշվիչներ և տեղեկատու գրքեր, սակայն Պետրոս I-ի ժամանակներից նրանք զբաղվել են աստղագիտության, մեքենաշինության և նավաշինության երկրաչափական հաշվարկներով։ Այնուհետև այստեղ ավելացվեց էլեկտրատեխնիկան. կա «շրջանաձև հաճախականություն» հասկացությունը փոփոխական հոսանք«Պի» համարը հիշելու համար հորինվել է երկտող (ցավոք, մենք չգիտենք հեղինակին և դրա առաջին հրապարակման վայրը. բայց դեռ քսաներորդ դարի 40-ականների վերջին Մոսկվայի դպրոցականները սովորում էին Կիսելևի երկրաչափության դասագրքի համաձայն. , որտեղ տրվել է):

Երկվորյակը գրված է հին ռուսերեն ուղղագրության կանոններով, ըստ որոնց՝ հետո բաղաձայնպետք է դրվի բառի վերջում «փափուկ»կամ «պինդ»նշան. Ահա այս հրաշալի պատմական երկտողը.

Ով կատակում և ցանկանում է շուտով

«Pi» համարը պարզելու համար - արդեն գիտի:

Նրանց համար, ովքեր ապագայում պատրաստվում են ճշգրիտ հաշվարկներ կատարել, իմաստ ունի հիշել սա։ Այսպիսով, ո՞րն է «Pi» թիվը մինչև տասնմեկ նիշերի ճշգրտությամբ: Հաշվե՛ք յուրաքանչյուր բառի տառերի քանակը և անընդմեջ գրե՛ք այս թվերը (առաջին թվանշանն առանձնացրե՛ք ստորակետով):

Նման ճշգրտությունն արդեն բավական է ինժեներական հաշվարկների համար։ Բացի հնից, կա նաև հիշելու ժամանակակից ձև, որը մատնանշել է իրեն որպես Ջորջ ներկայացնող ընթերցողը.

Որպեսզի չսխալվենք

Պետք է ճիշտ կարդալ.

Երեք, տասնչորս, տասնհինգ

Իննսուներկու և վեց.

Մենք պարզապես պետք է փորձենք

Եվ հիշեք ամեն ինչ այնպես, ինչպես կա.

Երեք, տասնչորս, տասնհինգ

Իննսուներկու և վեց.

Երեք, տասնչորս, տասնհինգ

Ինը, երկու, վեց, հինգ, երեք, հինգ:

Գիտությամբ զբաղվել

Սա պետք է իմանան բոլորը։

Դուք կարող եք պարզապես փորձել

Եվ շարունակեք կրկնել.

«Երեք, տասնչորս, տասնհինգ,

Ինը, քսանվեց և հինգը»:

Դե, մաթեմատիկոսները ժամանակակից համակարգիչների օգնությամբ կարող են հաշվարկել «Pi» թվի գրեթե ցանկացած թվանշան։

7. Արձանագրել անգիր pi թվի

Մարդկությունը վաղուց է փորձում հիշել pi-ի նշանները։ Բայց ինչպե՞ս պահել անսահմանությունը հիշողության մեջ: Պրոֆեսիոնալ մնեմոնիստների սիրելի հարցը. Շատերը եզակի տեսություններև հսկայական քանակությամբ տեղեկատվության յուրացման մեթոդներ: Նրանցից շատերը փորձարկվում են pi-ի վրա:

Գերմանիայում անցած դարում հաստատված համաշխարհային ռեկորդը կազմում է 40000 նիշ։ 2003 թվականի դեկտեմբերի 1-ին Ալեքսանդր Բելյաևը Չելյաբինսկում սահմանեց ռուսական ռեկորդը pi-ի արժեքների համար: Մեկուկես ժամում, կարճ ընդմիջումներով, Ալեքսանդրը գրատախտակին գրեց 2500 թվանշան pi:

Մինչ այդ Ռուսաստանում ռեկորդային էր համարվում 2000 նիշ թվարկելը, ինչն արվել էր 1999 թվականին Եկատերինբուրգում։ Պատկերային հիշողության զարգացման կենտրոնի ղեկավար Ալեքսանդր Բելյաևի խոսքով՝ մեզանից յուրաքանչյուրը կարող է նման փորձ անել իր հիշողության հետ։ Կարևոր է միայն իմանալ մտապահման հատուկ տեխնիկան և պարբերաբար մարզվել:

Եզրակացություն.

Pi թիվը հայտնվում է բազմաթիվ դաշտերում օգտագործվող բանաձևերում: Ֆիզիկան, էլեկտրատեխնիկան, էլեկտրոնիկան, հավանականությունների տեսությունը, շինարարությունը և նավիգացիան դրանցից միայն մի քանիսն են: Եվ թվում է, թե ինչպես pi-ի նշանները վերջ չունեն, այնպես էլ չկա այս օգտակար, խուսափողական pi թվի գործնական կիրառման հնարավորությունները:

Ժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ pi թիվը ոչ միայն շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունն է, այն ներառված է. մեծ թիվտարբեր բանաձեւեր.

Այս և այլ փոխկախվածությունները մաթեմատիկոսներին թույլ տվեցին ավելի լավ հասկանալ pi թվի բնույթը:

π թվի ճշգրիտ արժեքը in ժամանակակից աշխարհներկայացնում է ոչ միայն իր գիտական ​​արժեքը, այլև օգտագործվում է շատ ճշգրիտ հաշվարկների համար (օրինակ՝ արբանյակի ուղեծիր, հսկա կամուրջների կառուցում), ինչպես նաև գնահատում է ժամանակակից համակարգիչների արագությունն ու հզորությունը։

Ներկայումս π թիվը կապված է անհասկանալի բանաձևերի, մաթեմատիկական և ֆիզիկական փաստերի հետ։ Նրանց թիվը շարունակում է սրընթաց աճել։ Այս ամենը խոսում է ամենակարեւորի նկատմամբ աճող հետաքրքրության մասին մաթեմատիկական հաստատունորն ուսումնասիրվել է ավելի քան քսաներկու դար։

Իմ կատարած աշխատանքը հետաքրքիր էր։ Ես ուզում էի իմանալ pi թվի պատմության մասին, գործնական կիրառությունու կարծում եմ, որ հասել եմ իմ նպատակին։ Ամփոփելով աշխատանքը՝ գալիս եմ այն ​​եզրակացության, որ այս թեմանհամապատասխան. Շատ հետաքրքիր փաստեր կապված են π թվի հետ, ուստի հետաքրքիր է ուսումնասիրել։ Իմ աշխատանքում ես ավելի լավ ծանոթացա թվին` հավերժական արժեքներից մեկը, որը մարդկությունը օգտագործում է դարեր շարունակ: Իմացա դրա որոշ ասպեկտներ ամենահարուստ պատմությունը. Պարզվեց, թե ինչու հին աշխարհչգիտեր շրջագծի և տրամագծի ճիշտ հարաբերակցությունը: Ես հստակ նայեցի, թե ինչ ձևերով կարող եք թվեր ստանալ: Փորձերի հիման վրա ես տարբեր ձևերով հաշվարկեցի թվի մոտավոր արժեքը։ Իրականացրել է փորձի արդյունքների մշակում և վերլուծություն:

Այսօր ցանկացած ուսանող պետք է իմանա, թե ինչ է նշանակում թիվը և ինչի է մոտավորապես հավասար թիվը։ Ի վերջո, բոլորն ունեն իրենց առաջին ծանոթությունը թվի հետ, օգտագործելով այն շրջագիծը հաշվարկելիս, շրջանագծի մակերեսը տեղի է ունենում 6-րդ դասարանում: Բայց, ցավոք, այս գիտելիքը շատերի համար մնում է պաշտոնական, և մեկ կամ երկու տարի անց քչերն են հիշում ոչ միայն, որ շրջանագծի շրջագծի և դրա տրամագծի հարաբերակցությունը նույնն է բոլոր շրջանակների համար, այլև նույնիսկ դժվարությամբ են հիշում թվային արժեքը: 3,14-ի հավասար թվից։

Ես փորձեցի վեր հանել թվի հարուստ պատմության շղարշը, որը մարդկությունը օգտագործում է դարեր շարունակ։ Ես պրեզենտացիա արեցի իմ աշխատանքի համար։

Թվերի պատմությունը հետաքրքրաշարժ է և առեղծվածային: Ես կցանկանայի շարունակել մաթեմատիկայի այլ զարմանալի թվերի ուսումնասիրությունը: Սա կլինի իմ հաջորդ հետազոտական ​​ուսումնասիրությունների թեման:

Մատենագիտություն.

1. Գլեյզեր Գ.Ի. Մաթեմատիկայի պատմություն դպրոցում IV-VI դասարաններում. - Մ.: Լուսավորություն, 1982:

2. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Մաթեմատիկայի դասագրքի էջերի հետևում - Մ .: Կրթություն, 1989 թ.

3. Ժուկով Ա.Վ. Համատարած «պի» թիվը. - Մ.: Խմբագրական URSS, 2004:

4. Kympan F. «pi» թվի պատմությունը. - Մ.: Նաուկա, 1971:

5. Սվեչնիկով Ա.Ա. Ճանապարհորդություն մաթեմատիկայի պատմության մեջ - Մ.: Մանկավարժություն - Մամուլ, 1995:

6. Հանրագիտարան երեխաների համար. Տ.11.Մաթեմատիկա - Մ.:Ավանտա +, 1998թ.

Ինտերնետային ռեսուրսներ.

- http:// crow.academy.ru/ Materials_/pi/history.htm

http://hab/kp.ru//daily/24123/344634/