Ավելի հարմար է արդյունքը ներկայացնել աղյուսակ 9.6-ի տեսքով։

Աղյուսակ 9.6

Օգտագործենք սկզբնական պահերի և 9.3 և 9.4 աղյուսակների արդյունքների բանաձևերը և հաշվարկենք բաղադրիչների մաթեմատիկական ակնկալիքները. XԵվ Յ:

Մենք հաշվարկում ենք շեղումները՝ օգտագործելով երկրորդ սկզբնական պահը և աղյուսակի արդյունքները: 9.3 և 9.4:

Կովարիանսը հաշվարկելու համար TO(X, Y) սկզբնական պահի ընթացքում մենք օգտագործում ենք նմանատիպ բանաձև.

Հարաբերակցության գործակիցը որոշվում է բանաձևով.

Պահանջվող հավանականությունը սահմանվում է որպես համապատասխան անհավասարությամբ սահմանված հարթության վրա տարածաշրջան ընկնելու հավանականությունը.

9.2. Նավը փոխանցում է «SOS» հաղորդագրություն, որը կարող են ստանալ երկու ռադիոկայաններ։ Այս ազդանշանը կարող է ստանալ մի ռադիոկայանը մյուսից անկախ: Առաջին ռադիոկայանի կողմից ազդանշան ստանալու հավանականությունը 0,95 է; Երկրորդ ռադիոկայանի կողմից ազդանշան ստանալու հավանականությունը 0,85 է: Գտեք երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը, որը բնութագրում է ազդանշանի ընդունումը երկու ռադիոկայանների կողմից: Գրեք բաշխման ֆունկցիան:

Լուծում:Թող X– իրադարձություն, որը բաղկացած է նրանից, որ ազդանշանը ստացվում է առաջին ռադիոկայանի կողմից: Յ– իրադարձությունն այն է, որ ազդանշանը ստացվում է երկրորդ ռադիոկայանի կողմից:

Բազմաթիվ իմաստներ .

X=1 – առաջին ռադիոկայանի կողմից ստացված ազդանշան;

X=0 – ազդանշանը չի ստացվել առաջին ռադիոկայանի կողմից:

Բազմաթիվ իմաստներ .

Յ=l - երկրորդ ռադիոկայանի կողմից ստացված ազդանշան,

Յ=0 – ազդանշանը չի ստացվում երկրորդ ռադիոկայանի կողմից:

Հավանականությունը, որ ազդանշանը չի ստացվում ոչ առաջին, ոչ էլ երկրորդ ռադիոկայանների կողմից, հետևյալն է.

Առաջին ռադիոկայանի կողմից ազդանշանի ընդունման հավանականությունը.

Երկրորդ ռադիոկայանի կողմից ազդանշան ստանալու հավանականությունը.

Հավանականությունը, որ ազդանշանն ընդունվում է ինչպես առաջին, այնպես էլ երկրորդ ռադիոկայանների կողմից, հավասար է.

Այնուհետև երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը հավասար է.

X,y) իմաստը Ֆ(X,y) հավասար է պատահական փոփոխականի այդ հնարավոր արժեքների հավանականությունների գումարին ( X,Յ), որոնք ընկնում են նշված ուղղանկյունի ներսում:

Այնուհետև բաշխման գործառույթը կունենա հետևյալ տեսքը.

9.3. Երկու ընկերություններ արտադրում են միանման ապրանքներ. Յուրաքանչյուրը, անկախ մյուսից, կարող է որոշել արդիականացնել արտադրությունը։ Հավանականությունը, որ առաջին ընկերությունը նման որոշում է կայացրել, 0,6 է։ Երկրորդ ֆիրմայի կողմից նման որոշում կայացնելու հավանականությունը 0,65 է։ Գրեք երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը, որը բնութագրում է երկու ֆիրմաների արտադրության արդիականացման որոշումը: Գրեք բաշխման ֆունկցիան:

Պատասխան.Բաշխման օրենք.

Կոորդինատներով կետի յուրաքանչյուր ֆիքսված արժեքի համար ( x,y) արժեքը հավասար է այն հնարավոր արժեքների հավանականությունների գումարին, որոնք ընկնում են նշված ուղղանկյունի ներսում .

9.4. Ավտոմեքենաների շարժիչների մխոցների օղակները պատրաստվում են ավտոմատ խառատահաստոցի վրա: Չափվում է օղակի հաստությունը (պատահական արժեք X) և անցքի տրամագիծը (պատահական արժեք Յ). Հայտնի է, որ մխոցների բոլոր օղակների մոտ 5%-ը թերի է: Ընդ որում, թերությունների 3%-ը պայմանավորված է անցքերի ոչ ստանդարտ տրամագծերով, 1%-ը` ոչ ստանդարտ հաստությամբ, իսկ 1%-ը մերժվում է երկու հիմքով: Գտեք երկչափ պատահական փոփոխականի համատեղ բաշխում ( X,Յ); բաղադրիչների միաչափ բաշխում XԵվ Յբաղադրիչների մաթեմատիկական ակնկալիքները XԵվ Յ; հարաբերակցության պահը և բաղադրիչների միջև հարաբերակցության գործակիցը XԵվ Յերկչափ պատահական փոփոխական ( X,Յ).

Պատասխան.Բաշխման օրենք.

; ; ; ; ; .

9.5. Գործարանային արտադրանքը թերի է թերությունների պատճառով Ակազմում է 4%, իսկ թերության պատճառով IN– 3,5%: Ստանդարտ արտադրությունը կազմում է 96%: Որոշեք, թե բոլոր ապրանքների քանի տոկոսն ունի երկու տեսակի թերություններ:

9.6. Պատահական փոփոխական ( X,Յբաշխված է հաստատուն խտությամբ հրապարակի ներսում Ռ, որոնց գագաթներն ունեն կոորդինատներ (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2): Որոշեք պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը ( X,Յ) և պայմանական բաշխման խտությունները r(X\ժամը), էջ(ժամը\X).

Լուծում.Եկեք կառուցենք ինքնաթիռի վրա x 0yտրված քառակուսի (նկ. 9.5) և որոշել ABCD քառակուսու կողմերի հավասարումները՝ օգտագործելով երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Գագաթների կոորդինատների փոխարինում ԱԵվ INհաջորդաբար ստանում ենք կողմի հավասարումը ԱԲ: կամ .

Նմանապես, մենք գտնում ենք կողմի հավասարումը Արև: կողմերը CDև կողմերը Դ.Ա.: D X , Յ) կիսագնդ է, որը կենտրոնացած է շառավիղի սկզբնակետում Ռ.Գտեք հավանականության բաշխման խտությունը:

Պատասխան.

9.10. Տրվում է դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխական.

Գտե՛ք՝ ա) պայմանական բաշխման օրենքը X, պայմանով, որ y= 10;

բ) պայմանական բաշխման օրենքը Յ, պայմանով, որ x =10;

գ) մաթեմատիկական ակնկալիք, դիսպերսիա, հարաբերակցության գործակից:

9.11. Շարունակական երկչափ պատահական փոփոխական ( X,Յ) հավասարաչափ բաշխված գագաթներով ուղղանկյուն եռանկյան ներսում ՄԱՍԻՆ(0;0), Ա(0;8), IN(8,0).

Գտեք՝ ա) հավանականության բաշխման խտությունը.

Սահմանում 2.7. պատահական թվերի զույգ է (X, Y),կամ կոորդինատային հարթության մի կետ (նկ. 2.11):

Բրինձ. 2.11.

Երկչափ պատահական փոփոխականը բազմաչափ պատահական փոփոխականի կամ պատահական վեկտորի հատուկ դեպք է։

Սահմանում 2.8. Պատահական վեկտոր -դա պատահական ֆունկցիա՞ է:,(/) հնարավոր արգումենտների արժեքների վերջավոր բազմությամբ տ,որի արժեքը ցանկացած արժեքի համար տպատահական փոփոխական է:

Երկչափ պատահական փոփոխականը կոչվում է շարունակական, եթե նրա կոորդինատները շարունակական են, և դիսկրետ, եթե նրա կոորդինատները դիսկրետ են։

Երկչափ պատահական փոփոխականների բաշխման օրենքը սահմանելը նշանակում է համապատասխանություն հաստատել դրա հնարավոր արժեքների և այդ արժեքների հավանականության միջև: Ըստ ճշգրտման մեթոդների, պատահական փոփոխականները բաժանվում են շարունակական և դիսկրետների, թեև կան ցանկացած պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը որոշելու ընդհանուր եղանակներ:

Դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխական

Դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխականը նշվում է բաշխման աղյուսակի միջոցով (Աղյուսակ 2.1):

Աղյուսակ 2.1

Բաշխման աղյուսակ (համատեղ բաշխում) SV ( X, U)

Աղյուսակի տարրերը որոշվում են բանաձևով

Բաշխման աղյուսակի տարրերի հատկությունները.

Յուրաքանչյուր կոորդինատի վրա բաշխումը կոչվում է միաչափկամ եզրային:

r 1> = P (X =.g,) - SV-ի սահմանային բաշխում X;

p^2) = P(Y= y,)- SV U-ի սահմանային բաշխումը.

ԿԲ-ների համատեղ բաշխման հարաբերությունները Xև Y, որը նշված է մի շարք հավանականություններով [p()], i = 1,..., n,j = 1,..., Տ(բաշխման աղյուսակ) և սահմանային բաշխում:

Նմանապես SV U-ի համար p-2)= X r, g

Խնդիր 2.14. Տրված է.

Շարունակական երկչափ պատահական փոփոխական

/(X, y) dxdy- հավանականության տարր երկչափ պատահական փոփոխականի համար (X, Y) - պատահական փոփոխականի (X, Y) կողքերով ուղղանկյունի մեջ ընկնելու հավանականությունը cbc,dyժամը dx,dy -* 0:

f (x, y) - բաշխման խտությունըերկչափ պատահական փոփոխական (X, Y): Առաջադրանքը /(x, y)մենք ամբողջական տեղեկատվություն ենք տալիս երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման մասին:

Մարգինալ բաշխումները սահմանվում են հետևյալ կերպ. X-ի համար - SV X/,(x) բաշխման խտությամբ; Ըստ Յ- SV U-ի բաշխման խտությունը f>(y).

Երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը բաշխման ֆունկցիայի միջոցով սահմանելը

Դիսկրետ կամ շարունակական երկչափ պատահական փոփոխականի համար բաշխման օրենքը սահմանելու ունիվերսալ միջոցը բաշխման ֆունկցիան է։ F (x, y):

Սահմանում 2.9. Բաշխման ֆունկցիա F(x, y)- իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը (Xy), այսինքն. F(x 0, y n) = = P(X y), նետված կոորդինատային հարթության վրա, ընկնում է անսահման քառակուսի մեջ, որի գագաթն է M կետում (x 0, y i)(նկ. 2.12-ի ստվերված հատվածում):

Բրինձ. 2.12.Բաշխման ֆունկցիայի նկարազարդում F( x, y)

Ֆունկցիոնալ հատկություններ F(x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F(-oo,-օո) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F(օ, օ) = 1;
• 3) F(x, y)- չնվազող յուրաքանչյուր փաստարկի համար.
• 4) F (x, y) -շարունակական ձախ և ներքևում;
• 5) բաշխումների հետևողականությունը.

F(x, X: F(x, oo) = F, (x); F(y, oo) - սահմանային բաշխում Y F(օհ, y) = F 2 (y):Միացում /(x, y)Հետ F (x, y):

Հոդերի խտության և սահմանային խտության միջև կապը: Դանա f(x, y):Ստացնենք սահմանային բաշխման խտությունները f(x),f 2 (y)":

Երկչափ պատահական փոփոխականի անկախ կոորդինատների դեպքը

Սահմանում 2.10. ՆԵ XԵվ Yindependent(nz), եթե այս SV-ներից յուրաքանչյուրի հետ կապված որևէ իրադարձություն անկախ է: NZ SV-ի սահմանումից հետևում է.

• 1 )Pij = p X) pf
• 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y):

Ստացվում է, որ անկախ SV-ների համար XԵվ Յավարտված և

3 )f(x,y) = J(x)f,(y):

Ապացուցենք դա անկախ SV-ների համար XԵվ Y 2) 3). Ապացույց,ա) Թող 2-ը բավարարվի, այսինքն.

միաժամանակ F(x,y) =զ Ջ f(u,v)dudv,հետևաբար հետևում է 3);

բ) թող հիմա 3) կատարվի, ուրեմն

դրանք. ճշմարիտ 2).

Դիտարկենք առաջադրանքները.

Խնդիր 2.15. Բաշխումը տրված է հետևյալ աղյուսակով.

Մենք կառուցում ենք սահմանային բաշխումներ.

Մենք ստանում ենք P (X = 3, U = 4) = 0,17 * P (X = 3)P(U = 4) = 0,1485 => => SV Xև Կախված:

Բաշխման գործառույթ.

Խնդիր 2.16. Բաշխումը տրված է հետևյալ աղյուսակով.

Մենք ստանում ենք P tl = 0,2 0,3 = 0,06; R 12 = 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => NE XԵվ Յնզ.

Խնդիր 2.17. Դանա / (x, y) = 1-ին էքս| -0.5 (d" + 2xy + 5 գ/2)]: Գտեք Օհ)Եվ /Այ)-

Լուծում

(ինքներդ հաշվեք):

երկչափ դիսկրետ բաշխում պատահական

Հաճախ փորձի արդյունքը նկարագրվում է մի քանի պատահական փոփոխականներով. Օրինակ, եղանակը տվյալ վայրում օրվա որոշակի ժամին կարող է բնութագրվել հետևյալ պատահական փոփոխականներով. X 1 - ջերմաստիճան, X 2 - ճնշում, X 3 - օդի խոնավություն, X 4 - քամու արագություն:

Այս դեպքում մենք խոսում ենք բազմաչափ պատահական փոփոխականի կամ պատահական փոփոխականների համակարգի մասին։

Դիտարկենք երկչափ պատահական փոփոխական, որի հնարավոր արժեքները զույգ թվեր են: Երկրաչափորեն երկչափ պատահական փոփոխականը կարող է մեկնաբանվել որպես հարթության վրա պատահական կետ:

Եթե ​​բաղադրիչները XԵվ Յդիսկրետ պատահական փոփոխականներ են, ապա դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխական է, և եթե XԵվ Յշարունակական են, ապա շարունակական երկչափ պատահական փոփոխական է:

Երկչափ պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման օրենքը հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների համապատասխանությունն է:

Երկչափ դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կարող է սահմանվել կրկնակի մուտքագրմամբ աղյուսակի տեսքով (տես Աղյուսակ 6.1), որտեղ է հավանականությունը, որ բաղադրիչը Xիմաստը վերցրեց x ես, և բաղադրիչը Յ- իմաստը y ժ .

Աղյուսակ 6.1.1.

Քանի որ իրադարձությունները կազմում են զույգ-անհամատեղելի իրադարձությունների ամբողջական խումբ, հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի, այսինքն.

Աղյուսակ 6.1-ից կարող եք գտնել միաչափ բաղադրիչների բաշխման օրենքները XԵվ Յ.

Օրինակ 6.1.1 . Գտեք բաղադրիչների բաշխման օրենքները XԵվ Y,եթե երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխումը տրված է աղյուսակ 6.1.2-ի տեսքով.

Աղյուսակ 6.1.2.

Եթե, օրինակ, ֆիքսենք արգումենտներից մեկի արժեքը, ապա ստացված արժեքի բաշխումը Xկոչվում է պայմանական բաշխում: Նմանապես սահմանվում է պայմանական բաշխումը Յ.

Օրինակ 6.1.2 . Աղյուսակում տրված երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման համաձայն: 6.1.2, գտե՛ք՝ ա) բաղադրիչի պայմանական բաշխման օրենքը Xհաշվի առնելով, որ; բ) պայմանական բաշխման օրենքը Յպայմանով, որ.

Լուծում. Բաղադրիչների պայմանական հավանականությունները XԵվ Յհաշվարկված բանաձևերի միջոցով

Պայմանական բաշխման օրենքը Xպայմանով, որ այն ունի ձևը

Վերահսկում:

Երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կարող է սահմանվել ձևով բաշխման գործառույթները, որը յուրաքանչյուր զույգ թվի համար որոշում է դրա հավանականությունը Xկընդունի ավելի քիչ արժեք, քան X, և միևնույն ժամանակ Յկընդունի ավելի քիչ արժեք, քան y:

Երկրաչափական առումով ֆունկցիան նշանակում է պատահական կետի անվերջ քառակուսու մեջ ընկնելու հավանականությունը՝ իր գագաթնակետով կետում (նկ. 6.1.1):

Եկեք նշենք հատկությունները.

• 1. Ֆունկցիայի արժեքների միջակայքն է, այսինքն. .
• 2. Ֆունկցիա - յուրաքանչյուր արգումենտի համար չնվազող ֆունկցիա:
• 3. Կան սահմանափակող հարաբերություններ.

Երբ համակարգի բաշխման ֆունկցիան հավասարվում է բաղադրիչի բաշխման ֆունկցիային X, այսինքն. .

Նմանապես, .

Իմանալով դա՝ դուք կարող եք գտնել ABCD ուղղանկյան մեջ պատահական կետի հավանականությունը:

Մասնավորապես,

Օրինակ 6.1.3. Երկչափ դիսկրետ պատահական փոփոխականը նշվում է բաշխման աղյուսակով

Գտեք բաշխման գործառույթը:

Լուծում. Արժեքը դիսկրետ բաղադրիչների դեպքում XԵվ ՅԳտնվում է բոլոր հավանականությունները ինդեքսներով գումարելով եսԵվ ժ, որի համար, . Հետո, եթե և, ապա (իրադարձությունները և անհնարին են): Նմանապես մենք ստանում ենք.

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա;

եթե և, ապա.

Ստացված արդյունքները ներկայացնենք արժեքների աղյուսակի (6.1.3) տեսքով.

Համար երկչափ շարունակականպատահական փոփոխական, ներդրվում է հավանականության խտության հասկացությունը

Երկրաչափական հավանականության խտությունը տարածության բաշխման մակերեսն է

Երկչափ հավանականության խտությունն ունի հետևյալ հատկությունները.

3. Բաշխման ֆունկցիան կարող է արտահայտվել բանաձևի միջոցով

4. Շարունակական պատահական փոփոխականի տարածաշրջան ընկնելու հավանականությունը հավասար է

5. Ֆունկցիայի (4) հատկության համաձայն գործում են հետևյալ բանաձևերը.

Օրինակ 6.1.4.Տրված է երկչափ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան

X և Y պատահական փոփոխականների դասավորված զույգը (X, Y) կոչվում է երկչափ պատահական փոփոխական կամ պատահական վեկտոր երկչափ տարածության մեջ։ Երկչափ պատահական փոփոխականը (X,Y) կոչվում է նաև X և Y պատահական փոփոխականների համակարգ: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների հավաքածուն իրենց հավանականություններով կոչվում է այս պատահական փոփոխականի բաշխման օրենք: Դիսկրետ երկչափ պատահական փոփոխականը (X, Y) համարվում է տրված, եթե հայտնի է նրա բաշխման օրենքը.

P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m

Ծառայության նպատակը. Ծառայությունից օգտվելով, բաշխման տվյալ օրենքի համաձայն, կարող եք գտնել.

• բաշխման սերիաներ X և Y, մաթեմատիկական ակնկալիք M[X], M[Y], շեղում D[X], D[Y];
• կովարիանս cov(x,y), հարաբերակցության գործակից r x,y, պայմանական բաշխման շարք X, պայմանական ակնկալիք M;

Հրահանգներ. Նշեք հավանականության բաշխման մատրիցայի չափը (տողերի և սյունակների քանակը) և դրա տեսակը: Ստացված լուծումը պահվում է Word ֆայլում:

Օրինակ թիվ 1. Երկչափ դիսկրետ պատահական փոփոխականն ունի բաշխման աղյուսակ.

Լուծում. Մենք գտնում ենք q-ի արժեքը Σp ij = 1 պայմանից
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Որտեղի՞ց է առաջանում q = 0.09:

Օգտագործելով ∑P(x ես, յ ժ) = p ես(j=1..n), գտնում ենք X բաշխման շարքը։

Կովարիանս cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 ·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 · 0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Հարաբերակցության գործակից r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Օրինակ 2. X և Y երկու ցուցանիշների վերաբերյալ տեղեկատվության վիճակագրական մշակման տվյալները արտացոլված են հարաբերակցության աղյուսակում: Պահանջվում է:

1. գրել X-ի և Y-ի բաշխման շարքերը և հաշվարկել նմուշի միջինները և դրանց համար ստանդարտ շեղումները.
2. գրել պայմանական բաշխման շարքը Y/x և հաշվարկել պայմանական միջինները Y/x;
3. գրաֆիկորեն պատկերել պայմանական միջինների Y/x կախվածությունը X արժեքներից.
4. հաշվարկել ընտրանքի հարաբերակցության գործակիցը Y X-ի վրա;
5. գրել առաջընթաց ռեգրեսիայի հավասարման նմուշ;
6. երկրաչափորեն պատկերել հարաբերակցության աղյուսակի տվյալները և կառուցել ռեգրեսիոն գիծ:

Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Պայմանական բաշխման օրենքը X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Պայմանական շեղում D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Պայմանական բաշխման օրենք Յ.
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Պայմանական շեղում D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Պայմանական շեղում D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Պայմանական բաշխման օրենքը Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Պայմանական տարբերություն D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Կովարիանս.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 50 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Եթե ​​պատահական փոփոխականները անկախ են, ապա դրանց կովարիանսը զրո է: Մեր դեպքում cov(X,Y) ≠ 0:
Հարաբերակցության գործակից.


Գծային ռեգրեսիայի հավասարումը y-ից x-ն է.

X-ից y գծային ռեգրեսիայի հավասարումը հետևյալն է.

Գտնենք անհրաժեշտ թվային բնութագրերը։
Նմուշի միջին ցուցանիշները.
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Տարբերակներ:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)) / 100 - 25.3 2 = 24.01
Որտեղի՞ց ենք ստանում ստանդարտ շեղումները.
σ x = 9,99 և σ y = 4,9
և կովարիանս.
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 30 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Եկեք որոշենք հարաբերակցության գործակիցը.


Գրենք y(x) ռեգրեսիոն ուղիղների հավասարումները.

և հաշվելով՝ ստանում ենք.
y x = 0,38 x + 9,14
Գրենք x(y) ռեգրեսիոն տողերի հավասարումները.

և հաշվելով՝ ստանում ենք.
x y = 1,59 y + 2,15
Եթե ​​գծագրենք աղյուսակով և ռեգրեսիոն գծերով որոշված ​​կետերը, ապա կտեսնենք, որ երկու ուղիղներն էլ անցնում են կոորդինատներով կետով (42.3; 25.3), իսկ կետերը գտնվում են ռեգրեսիոն գծերին մոտ։
Հարաբերակցության գործակցի նշանակությունը.

Օգտագործելով Student-ի աղյուսակը α=0.05 նշանակության մակարդակով և ազատության աստիճաններով k=100-m-1 = 98, մենք գտնում ենք t crit.
t crit (n-m-1; α/2) = (98;0.025) = 1.984
որտեղ m = 1 բացատրական փոփոխականների թիվն է:
Եթե ​​t դիտարկվում է > t կրիտիկական, ապա հարաբերակցության գործակիցի ստացված արժեքը համարվում է նշանակալի (զրոյական վարկածն այն մասին, որ հարաբերակցության գործակիցը հավասար է զրոյի, մերժվում է):
Քանի որ t obs > t crit, մենք մերժում ենք այն վարկածը, որ հարաբերակցության գործակիցը հավասար է 0-ի: Այսինքն՝ հարաբերակցության գործակիցը վիճակագրորեն նշանակալի է։

Զորավարժություններ. X և Y պատահական փոփոխականների արժեքների զույգերի հարվածների քանակը համապատասխան ինտերվալներում տրված է աղյուսակում: Օգտագործելով այս տվյալները՝ գտե՛ք Y-ի ուղիղ ռեգրեսիոն գծերի ընտրանքային հարաբերակցության գործակիցը և X-ի վրա X-ի և Y-ի X-ի գծերի նմուշային հավասարումները:
Լուծում

Օրինակ. Երկչափ պատահական փոփոխականի (X, Y) հավանականության բաշխումը տրված է աղյուսակով։ Գտե՛ք X, Y բաղադրիչ մեծությունների բաշխման օրենքները և p(X, Y) հարաբերակցության գործակիցը։
Ներբեռնեք լուծումը

Զորավարժություններ. Երկչափ դիսկրետ մեծություն (X, Y) տրվում է բաշխման օրենքով: Գտե՛ք X և Y բաղադրիչների բաշխման օրենքները, կովարիանսը և հարաբերակցության գործակիցը: