Կետի նախագծումը կոորդինատային անկյան պրոյեկցիաների երեք հարթությունների վրա սկսվում է H հարթության վրա նրա պատկերը ստանալուց՝ հորիզոնական պրոյեկցիայի հարթությունում: Դրա համար պրոյեկցիոն ճառագայթ է անցնում A կետով (նկ. 4.12, ա) H հարթությանը ուղղահայաց։

Նկարում H հարթությանը ուղղահայացը զուգահեռ է Oz առանցքին: Ճառագայթի հատման կետը H հարթության հետ (ա կետ) ընտրվում է կամայականորեն։ Aa հատվածը որոշում է, թե A կետը ինչ հեռավորության վրա է գտնվում H հարթությունից, դրանով իսկ հստակ ցույց տալով A կետի դիրքը նկարում նախագծման հարթությունների նկատմամբ: Ա կետը A կետի ուղղանկյուն ելուստն է H հարթության վրա և կոչվում է A կետի հորիզոնական պրոյեկցիա (նկ. 4.12, ա):

V հարթության վրա A կետի պատկերը ստանալու համար (նկ. 4.12,բ) պրոյեկցիոն ճառագայթ է անցնում A կետով, որը ուղղահայաց է ելուստների ճակատային հարթությանը V: Նկարում V հարթությանը ուղղահայացը զուգահեռ է Oy առանցքին: . H հարթության վրա A կետից մինչև V հարթություն հեռավորությունը կներկայացվի aa x հատվածով՝ Oy առանցքին զուգահեռ և Ox առանցքին ուղղահայաց։ Եթե ​​պատկերացնենք, որ արձակող ճառագայթը և նրա պատկերը միաժամանակ կատարվում են V հարթության ուղղությամբ, ապա երբ ճառագայթի պատկերը հատում է Ox առանցքը a x կետում, ճառագայթը կհատի V հարթությունը a կետում։ V հարթության a x կետից ստացվում է Ox առանցքին ուղղահայաց, որը V հարթության վրա արձակող Aa ճառագայթի պատկերն է, ելնող ճառագայթի հետ հատման կետում ստացվում է a կետ»: a կետը A կետի ճակատային պրոյեկցիան է, այսինքն՝ նրա պատկերը V հարթության վրա։

Պրոֆիլային պրոյեկցիոն հարթության վրա A կետի պատկերը (նկ. 4.12, գ) կառուցված է W հարթությանը ուղղահայաց ելնող ճառագայթով Նկարում W հարթությանը ուղղահայացը զուգահեռ է Ox-ի առանցքին: H հարթության վրա A կետից դեպի W հարթություն արձակող ճառագայթը կներկայացվի aa y հատվածով, որը զուգահեռ է Ox առանցքին և ուղղահայաց է Oy առանցքին: Oy կետից, Oz առանցքին զուգահեռ և Oy առանցքին ուղղահայաց, կառուցվում է ելնող ճառագայթի պատկերը aA և ելնող ճառագայթի հետ հատման կետում ստացվում է a կետը: a կետը A կետի պրոֆիլային պրոյեկցիան է: , այսինքն՝ Ա կետի պատկերը W հարթության վրա։

a» կետը կարելի է կառուցել՝ a» կետից a»a z հատվածը (V հարթության վրա արձակվող Aa ճառագայթի պատկերը) զուգահեռ Ox առանցքին, իսկ a z կետից՝ a»a z հատված Oy-ին զուգահեռ։ առանցք, մինչև այն հատվի ելնող ճառագայթի հետ:

Ստանալով A կետի երեք ելուստ պրոյեկցիոն հարթությունների վրա, կոորդինատային անկյունը ընդլայնվում է մեկ հարթության մեջ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 4.11,բ, A կետի և ելնող ճառագայթների ելուստների հետ միասին, և A կետը և ելնող ճառագայթները Aa, Aa» և Aa» հանվում են: Համակցված պրոյեկցիոն հարթությունների եզրերը գծված չեն, այլ գծված են միայն Oz, Oy և Ox, Oy 1 պրոյեկցիոն առանցքները (նկ. 4.13):

Կետի ուղղանկյուն գծագրի վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ երեք հեռավորություն՝ Aa, Aa և Aa» (նկ. 4.12, c), որոնք բնութագրում են A կետի դիրքը տարածության մեջ, կարող են որոշվել՝ հրաժարվելով բուն պրոյեկցիոն օբյեկտից՝ A կետից, մեկ հարթության վերածված կոորդինատային անկյան վրա (նկ. 4.13): a"a z, aa y և Oa x հատվածները հավասար են Aa"-ին որպես համապատասխան ուղղանկյունների հակառակ կողմեր ​​(նկ. 4.12c և 4.13): Նրանք որոշում են պրոֆիլի պրոյեկցիոն հարթությունից A կետի հեռավորությունը: a"a x, a"a y1 և Oa y հատվածները հավասար են Aa հատվածին, որը սահմանում է հեռավորությունը A կետից մինչև հորիզոնական նախագծման հարթություն, aa x, a"a z և Oa y 1 հատվածները հավասար են Aa հատվածին: », սահմանելով հեռավորությունը A կետից մինչև ելուստների ճակատային հարթությունը:

Oa x, Oa y և Oa z հատվածները, որոնք տեղակայված են պրոյեկցիոն առանցքների վրա, A կետի X, Y և Z կոորդինատների չափերի գրաֆիկական արտահայտությունն են: Կետի կոորդինատները նշվում են համապատասխան տառի ցուցիչով: . Չափելով այս հատվածների չափերը՝ կարող եք որոշել կետի դիրքը տարածության մեջ, այսինքն՝ սահմանել կետի կոորդինատները։

Դիագրամում a"a x և aa x հատվածները գտնվում են որպես մեկ ուղիղ ուղղահայաց Ox առանցքին, իսկ a"a z և a"a z հատվածները՝ Oz առանցքին: Այս ուղիղները կոչվում են պրոյեկցիոն միացման գծեր: Նրանք հատում են պրոյեկցիոն առանցքները համապատասխանաբար ax և a z կետերում A կետի հորիզոնական պրոյեկցիան միացնող պրոյեկցիոն գիծը a y կետում պարզվեց:

Նույն կետի երկու ելուստները միշտ գտնվում են նույն պրոյեկցիայի միացման գծի վրա, ուղղահայաց ելուստների առանցքին:

Տիեզերքում կետի դիրքը ներկայացնելու համար բավարար են նրա երկու պրոյեկցիաները (կետ O) Նկ. 4.14, b, կետի երկու պրոյեկցիան ամբողջությամբ որոշում է նրա դիրքը տարածության մեջ Օգտագործելով այս երկու պրոյեկցիան, հնարավոր է կառուցել A կետի պրոյեկցիան: Հետևաբար, ապագայում, եթե պրոֆիլի պրոյեկցիայի կարիք չլինի, գծապատկերներ: կառուցվելու է երկու պրոյեկցիոն հարթության վրա՝ V և H.

Բրինձ. 4.14. Բրինձ. 4.15.

Դիտարկենք կետի գծագիրը կառուցելու և կարդալու մի քանի օրինակ:

Օրինակ 1.Դիագրամի վրա նշված J կետի կոորդինատների որոշում երկու ելուստներով (նկ. 4.14): Չափվում է երեք հատված՝ հատված OB X (X կոորդինատ), հատված b X b (Y կոորդինատ) և հատված b X b" (Z կոորդինատ): Կոորդինատները գրվում են հետևյալ հաջորդականությամբ՝ X, Y և Z տառից հետո: կետի նշանակումը, օրինակ, B20;

Օրինակ 2. Տրված կոորդինատներում կետի կառուցում: C կետը տրված է C30 կոորդինատներով; 10; 40. Ox առանցքի վրա (նկ. 4.15) գտե՛ք c x կետը, որտեղ պրոյեկցիոն միացման գիծը հատում է պրոյեկցիոն առանցքը: Դրա համար X կոորդինատը (չափը 30) գծագրվում է Ox առանցքի երկայնքով սկզբնակետից (կետ O) և ստացվում է x-ով կետ: Այս կետով Ox առանցքին ուղղահայաց գծվում է պրոյեկցիոն միացման գիծ և կետից դրվում է Y կոորդինատը (չափ 10), ստացվում է c կետ՝ C կետի հորիզոնական պրոյեկցիան: Z կոորդինատը (չափ 40) գծագրված c x կետից դեպի վեր՝ պրոյեկցիոն միացման գծի երկայնքով (չափս 40), ստացվում է գ» կետ՝ C կետի ճակատային պրոյեկցիա։

Օրինակ 3. Կետի պրոֆիլային պրոյեկցիայի կառուցում` օգտագործելով տրված կանխատեսումները: Տրված են D կետի ելուստները՝ d և d". O կետի միջով գծված են Oz, Oy և Оу 1 պրոյեկցիոն առանցքները (նկ. 4.16, ա) D կետի պրոյեկցիան կառուցելու համար d կետի պրոյեկցիա. միացման գիծը գծված է Օզ առանցքի ուղղահայաց և այն շարունակում է Օզ առանցքի հետևից աջ: D կետի պրոյեկցիան կգտնվի այս գծի վրա: Այն կգտնվի Oz առանցքից նույն հեռավորության վրա, ինչ d կետի հորիզոնական պրոյեկցիան՝ Ox առանցքից, այսինքն՝ dd x հեռավորության վրա: d z d" և dd x հատվածները նույնն են, քանի որ դրանք սահմանում են նույն հեռավորությունը՝ հեռավորությունը D կետից մինչև ելուստների ճակատային հարթությունը: Այս հեռավորությունը D կետի Y կոորդինատն է:

Գրաֆիկորեն d z d» հատվածը կառուցվում է՝ dd x հատվածը նախագծման հորիզոնական հարթությունից պրոֆիլային հարթություն տեղափոխելով: Դա անելու համար գծեք Ox առանցքին զուգահեռ պրոյեկցիոն միացման գիծ, ​​ստացեք d y կետ Oy առանցքի վրա ( Նկար 4.16, բ Այնուհետև Od y հատվածի չափը փոխանցեք Oy առանցքի 1՝ Od y հատվածին հավասար շառավղով աղեղ գծելով դեպի Oy 1 առանցքի հատումը (նկ. 4.16): , բ), մենք ստանում ենք dy 1 կետը, ինչպես ցույց է տրված նկ. 4.16-ում, d y կետից ուղիղ գիծ գծելով 45° դեպի Oy առանցքը y1, Oz առանցքին զուգահեռ գծվում է պրոյեկցիոն միացման գիծ և դրա վրա դրվում է d"d x հատվածին հավասար հատված, ստացվում է d" կետ:

d x d հատվածի արժեքը պրոյեկցիաների պրոֆիլային հարթություն տեղափոխելը կարող է կատարվել գծագրի հաստատուն ուղիղ գծի միջոցով (նկ. 4.16, դ): Այս դեպքում պրոյեկցիոն կապի dd y գիծը գծվում է Oy 1 առանցքին զուգահեռ կետի հորիզոնական պրոյեկցիայի միջով, մինչև այն հատվում է հաստատուն ուղիղ գծի հետ, այնուհետև զուգահեռ է Oy առանցքին, մինչև այն հատվում է պրոյեկցիայի շարունակության հետ։ միացման գիծ d"d z.

Պրոյեկցիոն հարթությունների համեմատ կետերի տեղակայման հատուկ դեպքեր

Պրոյեկցիոն հարթության նկատմամբ կետի դիրքը որոշվում է համապատասխան կոորդինատով, այսինքն՝ ելուստի միացման գծի հատվածի չափով Ox առանցքից մինչև համապատասխան պրոյեկցիան։ Նկ. 4.17 A կետի Y կոորդինատը որոշվում է aa x հատվածով - հեռավորությունը A կետից մինչև V հարթություն: A կետի Z կոորդինատը որոշվում է a "a x - հեռավորությունը A կետից մինչև H հարթություն: Եթե մեկը կոորդինատների զրոյական է, այնուհետև կետը գտնվում է պրոյեկցիոն հարթության վրա Նկար 4.17-ում ներկայացված են պրոյեկցիոն հարթություններին վերաբերող կետերի տարբեր տեղակայման օրինակներ B կետի Z կոորդինատը հավասար է զրոյի, կետը գտնվում է H հարթությունում: Նրա ճակատային պրոյեկցիան գտնվում է Ox առանցքի վրա և համընկնում է b x կետի հետ x.

Հետևաբար, եթե կետը գտնվում է պրոյեկցիոն հարթության վրա, ապա այս կետի ելուստներից մեկը գտնվում է պրոյեկցիայի առանցքի վրա:

Նկ. 4.17, D կետի Z և Y կոորդինատները հավասար են զրոյի, հետևաբար, D կետը գտնվում է Ox պրոյեկցիոն առանցքի վրա և նրա երկու պրոեկցիաները համընկնում են:

Պրոյեկցիա(լատիներեն projectio - նետում առաջ) - եռաչափ գործչի պատկեր, այսպես կոչված, նկարի (պրոյեկցիոն) հարթության վրա:

Պրոյեկցիա տերմինը նշանակում է նաև նման պատկերի կառուցման մեթոդ և տեխնիկական տեխնիկա, որոնց վրա հիմնված է այս մեթոդը։

Սկզբունք

Օբյեկտների պատկերման պրոյեկցիոն մեթոդը հիմնված է դրանց տեսողական ներկայացման վրա: Եթե ​​առարկայի բոլոր կետերը ուղիղ գծերով (պրոյեկցիոն ճառագայթներ) միացնենք S կետի (պրոյեկցիայի կենտրոնի) հաստատուն կետի հետ, որտեղ ենթադրվում է դիտորդի աչքը, ապա այդ ճառագայթների հատման կետում ցանկացած հարթության հետ կհայտնվի պրոյեկցիա. ձեռք են բերվում օբյեկտի բոլոր կետերը: Այս կետերը ուղիղ գծերով միացնելով նույն հաջորդականությամբ, ինչպես դրանք կապված են օբյեկտում, մենք ստանում ենք հարթության վրա օբյեկտի կամ կենտրոնական պրոյեկցիայի հեռանկարային պատկեր:

Եթե ​​պրոյեկցիայի կենտրոնը անսահմանորեն հեռու է նկարի հարթությունից, ապա մենք խոսում ենք դրա մասին զուգահեռ նախագծում, իսկ եթե այս դեպքում պրոյեկցիոն ճառագայթներն ընկնում են հարթությանը ուղղահայաց, ապա ուղղանկյուն պրոյեկցիա.

Պրոյեկցիան լայնորեն կիրառվում է ինժեներական գրաֆիկայի, ճարտարապետության, գեղանկարչության և քարտեզագրության մեջ։

Նկարագրական երկրաչափությունը ուսումնասիրում է կանխատեսումները և նախագծման մեթոդները:

Պրոյեկցիոն նկարչություն- գծագիր, որը կառուցված է տարածական օբյեկտները հարթության վրա նախագծելու մեթոդով: Այն տարածական պատկերների հատկությունների վերլուծության հիմնական գործիքն է։

Պրոյեկցիոն ապարատ.

Պրոյեկցիոն կենտրոն (S)

Պրոյեկցիոն ճառագայթներ

Պրոյեկցիոն օբյեկտ

Պրոյեկցիա

Համալիր նկարչություն- Մոնժի դիագրամը: Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ, առանցք (x,y,z)

Ինքնաթիռներ:

Ճակատային - առջևի տեսք;

Հորիզոնական - վերևի տեսք;

Անձնագիր - կողային տեսք:

Համալիր գծագրի կազմը.

1) Պրոյեկցիոն հարթություններ

2) պրոյեկցիոն առանցքներ (պրոյեկցիոն հարթությունների հատում).

3) կանխատեսումներ

Կապի գծեր.

Ուղղանկյուն պրոյեկցիայի հիմնական հատկությունները.

2 փոխկապակցված ուղղանկյուն ելուստները եզակիորեն որոշում են կետի դիրքը պրոյեկցիոն հարթությունների նկատմամբ: 3-րդ պրոյեկցիան չի կարող կամայականորեն նշվել։

Ուղղանկյուն կանխատեսումներ.

Ուղղանկյուն (ուղղանկյուն) պրոյեկցիան զուգահեռ պրոյեկցիայի հատուկ դեպք է, երբ բոլոր ելնող ճառագայթները ուղղահայաց են պրոյեկցիայի հարթությանը։ Ուղղանկյուն պրոյեկցիաներն ունեն զուգահեռ ելուստների բոլոր հատկությունները, սակայն ուղղանկյուն պրոյեկցիայի դեպքում հատվածի պրոյեկցիան, եթե այն զուգահեռ չէ պրոյեկցիայի հարթությանը, միշտ փոքր է բուն հատվածից (նկ. 58): Սա բացատրվում է նրանով, որ հատվածն ինքնին տարածության մեջ ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուս է, իսկ դրա պրոյեկցիան՝ ոտք՝ А "В" = ABcosa:

Ուղղանկյուն պրոյեկցիայի դեպքում ուղիղ անկյունը նախագծվում է լրիվ չափով, երբ դրա երկու կողմերը զուգահեռ են պրոյեկցիայի հարթությանը, և երբ նրա կողմերից միայն մեկը զուգահեռ է պրոյեկցիայի հարթությանը, իսկ երկրորդ կողմը ուղղահայաց չէ այս պրոյեկցիայի հարթությանը:

Ուղղանկյուն պրոյեկցիայի թեորեմ. Եթե ​​ուղիղ անկյան մի կողմը զուգահեռ է պրոյեկցիայի հարթությանը, իսկ մյուսը ուղղահայաց չէ դրան, ապա ուղղանկյուն պրոյեկցիայի դեպքում այդ հարթության վրա ուղիղ անկյունը նախագծվում է ուղիղ անկյան տակ։

Թող տրվի ABC ուղիղ անկյուն, որի AB կողմը զուգահեռ է n հարթությանը» (նկ. 59): Ելնող հարթությունը ուղղահայաց է n հարթությանը»: Սա նշանակում է AB _|_S, քանի որ AB _|_ BC և AB _|_ BB, հետևաբար՝ AB _|_ B"C": Բայց քանի որ ԱԲ || A"B" _|_ B"C", այսինքն n" հարթության վրա A"B" և B"C անկյունը 90° է:

Գծագրի շրջելիությունը. Մեկ պրոյեկցիոն հարթության վրա պրոյեկցիան առաջացնում է պատկեր, որը թույլ չի տալիս միանշանակորեն որոշել պատկերված օբյեկտի ձևն ու չափերը: Պրոյեկցիան A (տե՛ս նկ. 53) չի որոշում բուն կետի դիրքը տարածության մեջ, քանի որ հայտնի չէ, թե որքանով է այն հեռացվել պրոյեկցիոն հարթությունից A կետով անցնող ելնող ճառագայթի ցանկացած կետ կունենա A կետ որպես դրա պրոյեկցիա։ Մեկ պրոյեկցիա ունենալը պատկերի անորոշություն է ստեղծում: Նման դեպքերում նրանք խոսում են գծագրի անշրջելիության մասին, քանի որ հնարավոր չէ վերարտադրել բնօրինակը նման գծագրով։ Անորոշությունը վերացնելու համար պատկերը համալրվում է անհրաժեշտ տվյալներով։ Գործնականում տարբեր մեթոդներ են օգտագործվում մեկ պրոյեկցիոն գծանկարը լրացնելու համար: Այս դասընթացը կուսումնասիրի գծագրերը, որոնք ստացվել են ուղղանկյուն պրոյեկցիայի միջոցով երկու կամ ավելի փոխադարձաբար ուղղահայաց հարթություններպրոյեկցիաներ (բարդ գծագրեր) և օբյեկտի օժանդակ պրոյեկցիան վերարտադրելով պրոեկցիաների հիմնական աքսոնոմետրիկ հարթության վրա (աքսոնոմետրիկ գծագրեր):

Համալիր նկարչություն.

Ուղիղ գիծ բարդ գծագրում.

2 միավորի կանխատեսումներ

Ուղղակի ուղիղ գծի պրոյեկցիաներով

Ուղիղ ընդհանուր դիրքը – ոչ զուգահեռ, ոչ ուղղահայաց պրոյեկցիոն հարթություններին:

Մակարդակի գծեր- նախագծման հարթություններին զուգահեռ գծեր.

Հորիզոնական

Ճակատային

Անձնագիր

Ընդհանուր սեփականությունՄակարդակի գծերի համար մեկ պրոյեկցիան հավասար է բնական չափի, մյուս պրոյեկցիաները զուգահեռ են ելուստների առանցքներին:

Ուղիղ գծերի նախագծում– մակարդակի գծերի կրկնապատիկը (եթե հարթություններից մեկին ուղղահայաց է, ապա մյուս 2-ին զուգահեռ).

Հորիզոնական պրոյեկցիա

Առջևի նախագծում

Պրոֆիլ-նախագծում

Մրցակցային միավորներ- նույն հաղորդակցման գծի վրա ընկած կետերը:

2 ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքը.

Հատվող – ունեն 1 ընդհանուր կետ և այս կետի ընդհանուր կանխատեսումներ

Զուգահեռ – կանխատեսումները միշտ զուգահեռ են 2 զուգահեռ գծերի համար

Խաչմերուկներ - չունեն ընդհանուր կետեր, հատվում են միայն պրոյեկցիաները, ոչ թե իրենք՝ գծերը

Մրցակցային - ուղիղ գծերը ընկած են նախագծման հարթություններից մեկին ուղղահայաց հարթության մեջ (օրինակ, հորիզոնական մրցակցող)

4. Նշեք բարդ գծագրի վրա:

Երեք պրոյեկցիոն համալիր կետային գծագրի տարրեր:

Տիեզերքում երկրաչափական մարմնի դիրքը որոշելու և դրանց պատկերների վերաբերյալ լրացուցիչ տեղեկություններ ստանալու համար կարող է անհրաժեշտ լինել երրորդ պրոյեկցիան կառուցել: Այնուհետև երրորդ պրոյեկցիոն հարթությունը գտնվում է դիտորդի աջ կողմում՝ ուղղահայաց ինչպես հորիզոնական պրոյեկցիայի հարթությանը P1, այնպես էլ ճակատային պրոյեկցիայի հարթությանը P2 (նկ. 62, ա): Ճակատային P2 և պրոֆիլ P3 պրոյեկցիոն հարթությունների հատման արդյունքում ստանում ենք նոր առանցք P2/P3, որը գտնվում է A1A2 ուղղահայաց միացման գծին զուգահեռ բարդ գծագրի վրա (նկ. 62, բ): Ա կետի երրորդ պրոյեկցիան՝ պրոֆիլը, պարզվում է, որ կապի նոր գծով կապված է A2 ճակատային պրոյեկցիայի հետ, որը կոչվում է հորիզոնական.

Նոյ. Կետերի ճակատային և պրոֆիլային պրոյեկցիաները միշտ գտնվում են նույն հորիզոնական միացման գծի վրա: Ավելին, A1A2 _|_ A2A1 և A2A3, _|_ P2/P3:

Տիեզերքում կետի դիրքն այս դեպքում բնութագրվում է նրա լայնությամբ՝ հեռավորությունը նրանից մինչև P3 պրոյեկցիաների պրոֆիլային հարթությունը, որը մենք նշում ենք p տառով:

Ստացել է բարդ նկարչությունկետը կոչվում է երեք պրոյեկցիոն:

Երեք պրոյեկցիոն գծագրում AA2 կետի խորությունը նախագծված է առանց աղավաղումների P1 և P2 հարթությունների վրա (նկ. 62, ա): Այս հանգամանքը թույլ է տալիս կառուցել Ա կետի երրորդ՝ ճակատային պրոյեկցիան՝ ըստ նրա հորիզոնական A1 և ճակատային A2 պրոյեկցիաների (նկ. 62, գ): Դա անելու համար կետի ճակատային պրոյեկցիայի միջոցով անհրաժեշտ է գծել հորիզոնական միացման գիծ A2A3 _|_A2A1: Այնուհետև գծագրի ցանկացած կետում գծեք P2/P3 _|_ A2A3 պրոյեկցիոն առանցքը, չափեք կետի խորությունը հորիզոնական պրոյեկցիոն դաշտի վրա և դրեք այն հորիզոնական միացման գծի երկայնքով P2/P3 պրոյեկցիոն առանցքից: Մենք ստանում ենք A կետի պրոֆիլի պրոյեկցիան A3:

Այսպիսով, երեքից բաղկացած բարդ գծագրության մեջ ուղղանկյուն կանխատեսումներկետերը, երկու կանխատեսումները գտնվում են նույն հաղորդակցման գծում. կապի գծերը ուղղահայաց են համապատասխան պրոյեկցիոն առանցքներին. կետի երկու պրոյեկցիան ամբողջությամբ որոշում է նրա երրորդ պրոյեկցիայի դիրքը:

Հարկ է նշել, որ բարդ գծագրերում, որպես կանոն, պրոյեկցիոն հարթությունները սահմանափակված չեն և դրանց դիրքը նշվում է առանցքներով (նկ. 62, գ): Այն դեպքերում, երբ խնդրի պայմանները դա չեն պահանջում,

Ստացվում է, որ կետերի կանխատեսումները կարող են տրվել առանց առանցքների պատկերելու (նկ. 63, ա, բ): Նման համակարգը կոչվում է անհիմն: Հաղորդակցության գծերը կարելի է գծել նաև ընդմիջումով (նկ. 63, բ):

5. Ուղիղ գիծ բարդ գծագրում: Հիմնական դրույթներ.

Համապարփակ ուղիղ գծանկար.

Հաշվի առնելով, որ ուղիղ գիծը տարածության մեջ կարող է որոշվել իր երկու կետերի դիրքով, այն գծագրում կառուցելու համար բավական է կատարել այս երկու կետերի բարդ գծագիրը, այնուհետև միացնել նույնանուն կետերի ելուստները։ ուղիղ գծեր. Այս դեպքում մենք ստանում ենք ուղիղ գծի համապատասխանաբար հորիզոնական և ճակատային ելուստները:

Նկ. 69, և ցույց է տրված l ուղիղ գիծը և նրան պատկանող A և B կետերը l2 ուղիղ գծի ճակատային պրոյեկցիան կառուցելու համար բավական է կառուցել A2 և B2 կետերի ճակատային ելուստները և միացնել դրանք ուղիղ: տող. Նմանապես, կառուցվում է հորիզոնական պրոյեկցիա՝ անցնելով A1 և B1 կետերի հորիզոնական պրոյեկցիաներով: P1 հարթությունը P2 հարթության հետ համատեղելուց հետո մենք ստանում ենք l ուղիղ գծի երկու պրոյեկցիոն համալիր գծագիր (նկ. 69, բ):

Գծի պրոֆիլային պրոյեկցիան կարող է կառուցվել A և B կետերի պրոֆիլային պրոյեկցիաների միջոցով: Բացի այդ, գծի պրոֆիլային պրոյեկցիան կարող է կառուցվել օգտագործելով իր երկու կետերի հեռավորությունների տարբերությունը դեպի ելուստների ճակատային հարթությունը, այսինքն. , կետերի խորությունների տարբերությունը (նկ. 69, գ): Այս դեպքում գծագրի վրա պրոյեկցիոն առանցքները գծելու կարիք չկա: Այս մեթոդը, քանի որ այն ավելի ճշգրիտ է, կիրառվում է տեխնիկական գծագրերի կատարման պրակտիկայում։

6. Ուղիղ հատվածի բնական արժեքի որոշում ընդհանուր դիրքում.

Ուղիղ գծի հատվածի բնական չափի որոշում:

Ինժեներական գրաֆիկայի խնդիրներ լուծելիս որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է դառնում որոշել ուղիղ հատվածի բնական չափը։ Այս խնդիրը կարող է լուծվել մի քանի եղանակով՝ ուղղանկյուն եռանկյունու մեթոդ, պտտման մեթոդ, հարթության զուգահեռ շարժում և պրոյեկցիոն հարթությունների փոխարինում։

Դիտարկենք բարդ գծագրում իրական չափերով հատվածի պատկեր կառուցելու օրինակ՝ օգտագործելով ուղղանկյուն եռանկյունի մեթոդը: Եթե ​​հատվածը գտնվում է պրոյեկցիոն հարթություններից որևէ մեկին զուգահեռ, ապա այն նախագծվում է այս հարթության վրա բնական չափերով: Եթե ​​հատվածը ընդհանուր դիրքում ներկայացված է ուղիղ գծով, ապա դրա իրական արժեքը չի կարող որոշվել պրոյեկցիոն հարթություններից մեկի վրա (տես նկ. 69):

Վերցնենք AB ընդհանուր դիրքի հատվածը (A ^ P1) և կառուցենք դրա ուղղանկյուն պրոյեկցիան հորիզոնական պրոյեկցիայի հարթության վրա (նկ. 78, ա): Այս դեպքում տարածության մեջ ձևավորվում է A1BB1 ուղղանկյուն, որում հիպոթենուսը հենց հատվածն է, մի ոտքը՝ այս հատվածի հորիզոնական պրոյեկցիան, իսկ երկրորդ ոտքը՝ հատվածի A և B կետերի բարձրությունների տարբերությունը։ Քանի որ ուղիղ գծից դժվար չէ որոշել դրա հատվածի կետերի բարձրությունների տարբերությունը, հնարավոր է հատվածի հորիզոնական ելուստից ուղղանկյուն եռանկյունի կառուցել (նկ. 78, բ)՝ հաշվի առնելով. մեկ միավորի գերազանցում երկրորդի նկատմամբ որպես երկրորդ քայլ: Այս եռանկյան հիպոթենուսը կլինի AB հատվածի բնական արժեքը:

Նմանատիպ կոնստրուկցիա կարելի է կատարել հատվածի ճակատային ելուստի վրա, միայն որպես երկրորդ ոտք, անհրաժեշտ է վերցնել դրա ծայրերի խորությունների տարբերությունը (նկ. 78, գ)՝ չափված P1 հարթության վրա։

Ուղիղ գծի հատվածի բնական արժեքը որոշելու համար կարող եք օգտագործել դրա պտույտը պրոյեկցիոն հարթությունների նկատմամբ այնպես, որ այն զուգահեռ լինի դրանցից մեկին (տես § 36) կամ ներմուծել նոր պրոյեկցիոն հարթություն (փոխարինելով պրոյեկցիոն հարթություններից մեկը): որ այն զուգահեռ է հատվածի կանխատեսումներից մեկին (տե՛ս §§58, 59):

եռանկյուն.

Ուղիղ գծի հատվածի բնական արժեքը ընդհանուր դիրքում նրա ելուստներից որոշելու համար օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունի մեթոդը:

Բանավոր ձև	Գրաֆիկական ձև
1. Բարդ գծագրի վրա որոշի՛ր Аz, Bz, Ay, By. D z – A և B կետերից մինչև p1 հարթություն հեռավորությունների տարբերությունը. D y – A և B կետերից մինչև p2 հարթություն հեռավորությունների տարբերությունը
2. Վերցրեք AB ուղիղի պրոյեկցիայի ցանկացած կետ, դրա միջով հատվածին ուղղահայաց գծեք. ա) կամ A2B2-ին ուղղահայաց՝ B2 կամ A2 կետով. բ) կամ A1B1-ին ուղղահայաց՝ B1 կամ A1 կետով
3. B2 կետից այս ուղղահայաց վրա նկարել D y կամ B1 կետից մի կողմ դնել D z
4. Միացրեք A2 և B"2; A1 և B"1
5. Նշեք AB հատվածի իրական չափը (եռանկյան հիպոթենուսը). |ԱԲ| = A1B"1 = A2B"2
6. Նշի՛ր պրոյեկցիոն հարթության p1 և p2 թեքության անկյունները. a – AB հատվածի թեքության անկյուն p1 հարթության նկատմամբ; b – AB հատվածի թեքության անկյուն p2 հարթության նկատմամբ

Նման խնդիր լուծելիս հատվածի բնական արժեքը կարող եք գտնել միայն մեկ անգամ (կամ p 1-ում կամ p 2-ում): Եթե ​​անհրաժեշտ է որոշել ուղիղ գծի թեքության անկյունները դեպի պրոյեկցիոն հարթությունները, ապա այս շինարարությունը կատարվում է երկու անգամ՝ հատվածի ճակատային և հորիզոնական ելուստների վրա:

Կետի դիրքը տարածության մեջ կարելի է ճշտել նրա երկու ուղղանկյուն ելուստներով, օրինակ՝ հորիզոնական և ճակատային, ճակատային և պրոֆիլային: Ցանկացած երկու ուղղանկյուն կանխատեսումների համադրությունը թույլ է տալիս պարզել կետի բոլոր կոորդինատների արժեքը, կառուցել երրորդ պրոյեկցիան և որոշել այն օկտանտը, որտեղ այն գտնվում է: Դիտարկենք նկարագրական երկրաչափության դասընթացի մի քանի բնորոշ խնդիրներ:

A և B կետերի տվյալ բարդ գծագրման համար անհրաժեշտ է.

Նախ որոշենք A կետի կոորդինատները, որոնք կարելի է գրել A ձևով (x, y, z): A կետի հորիզոնական պրոյեկցիա՝ A կետ», ունենալով x, y կոորդինատներ: A կետից գծենք ուղղահայացներ դեպի x, y առանցքները և համապատասխանաբար գտնենք A x, A y: A կետի x կոորդինատը հավասար է գումարած նշանով A x O հատվածի երկարությանը, քանի որ A x-ը գտնվում է x առանցքի դրական արժեքների շրջանում: Հաշվի առնելով գծագրի սանդղակը, մենք գտնում ենք x = 10: y կոորդինատը հավասար է մինուս նշանով A y O հատվածի երկարությանը, քանի որ t-ն գտնվում է բացասական արժեքների շրջանում y առանցք. Հաշվի առնելով գծագրի մասշտաբը՝ y = –30: A կետի ճակատային պրոյեկցիան - կետ A»» ունի x և z կոորդինատներ: Եկեք A»-ից ուղղահայացը գցենք z առանցքի վրա և գտնենք A z: A կետի z կոորդինատը հավասար է A z O հատվածի երկարությանը մինուս նշանով, քանի որ A z-ը գտնվում է z առանցքի բացասական արժեքների շրջանում: Հաշվի առնելով գծագրության սանդղակը z = –10: Այսպիսով, A կետի կոորդինատներն են (10, –30, –10):

B կետի կոորդինատները կարելի է գրել B (x, y, z): Դիտարկենք B կետի հորիզոնական պրոյեկցիան - կետ B: Քանի որ այն գտնվում է x առանցքի վրա, ապա B x = B" և B y = 0 կոորդինատը: B կետի x աբսցիսան հավասար է B x հատվածի երկարությանը: O՝ գումարած նշանով։ Հաշվի առնելով գծագրման սանդղակը x = 30. B կետի ճակատային պրոյեկցիան ունի t, z. B»-ից z առանցքի ուղղահայաց գծենք՝ այդպիսով գտնելով B z-ն: B կետի կիրառական z-ը հավասար է B z O հատվածի երկարությանը մինուս նշանով, քանի որ B z-ը գտնվում է z առանցքի բացասական արժեքների շրջանում: Հաշվի առնելով գծագրի մասշտաբը՝ որոշում ենք z = –20 արժեքը։ Այսպիսով, B-ի կոորդինատներն են (30, 0, -20): Բոլոր անհրաժեշտ կոնստրուկցիաները ներկայացված են ստորև բերված նկարում:

Կետերի պրոյեկցիաների կառուցում

P 3 հարթության A և B կետերը ունեն հետևյալ կոորդինատները՝ A""" (y, z), B""" (y, z): Այս դեպքում A""-ը և A"""-ը գտնվում են z առանցքի վրա նույն ուղղահայաց վրա, քանի որ նրանք ունեն ընդհանուր z կոորդինատ: Նմանապես, B"" և B"""-ը գտնվում են z առանցքին ընդհանուր ուղղահայաց վրա: A կետի պրոյեկցիան գտնելու համար մենք y առանցքի երկայնքով գծում ենք ավելի վաղ հայտնաբերված համապատասխան կոորդինատի արժեքը: Նկարում դա արված է A y O շառավղով շրջանաձև աղեղի միջոցով: Դրանից հետո A y-ից ուղղահայաց գծեք, մինչև այն հատվի A կետից վերականգնված ուղղահայացով դեպի z առանցքը: Այս երկու ուղղահայացների հատման կետը որոշում է A"""-ի դիրքը:

B""" կետը գտնվում է z առանցքի վրա, քանի որ այս կետի y օրդինատը զրոյական է: Այս հարցում B կետի պրոյեկցիան գտնելու համար անհրաժեշտ է B""-ից ուղղահայաց նկարել z առանցքին: Այս ուղղահայաց հատման կետը z առանցքի հետ B «» է:

Տիեզերքում կետերի դիրքի որոշում

Տեսողականորեն պատկերացնելով տարածական դասավորությունը, որը կազմված է պրոյեկցիոն հարթություններից P 1, P 2 և P 3, օկտանտների գտնվելու վայրը, ինչպես նաև դասավորությունը գծագրերի վերածելու կարգը, կարող եք ուղղակիորեն որոշել, որ A կետը գտնվում է III օկտանտում: , իսկ B կետը գտնվում է P 2 հարթությունում:

Այս խնդրի լուծման մեկ այլ տարբերակ բացառությունների մեթոդն է։ Օրինակ, A կետի կոորդինատներն են (10, -30, -10): Դրական աբսցիսա x-ը թույլ է տալիս դատել, որ կետը գտնվում է առաջին չորս օկտանտներում: Բացասական y-օրդինատը ցույց է տալիս, որ կետը գտնվում է երկրորդ կամ երրորդ օկտանտում: Վերջապես, z բացասական կիրառումը ցույց է տալիս, որ A կետը գտնվում է երրորդ օկտանտում: Հետևյալ աղյուսակը հստակ ցույց է տալիս վերը նշված պատճառաբանությունը:

Օկտանտներ	Կոորդինատների նշաններ
	x	y	զ
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Բ կետի կոորդինատները (30, 0, -20). Քանի որ B կետի օրդինատը հավասար է զրոյի, այս կետը գտնվում է P 2 պրոյեկցիոն հարթությունում։ t-ի դրական աբսցիսան և բացասական կիրառումը ցույց են տալիս, որ այն գտնվում է երրորդ և չորրորդ օկտանտների սահմանին:

P 1, P 2, P 3 հարթությունների համակարգում կետերի տեսողական պատկերի կառուցում

Օգտագործելով ճակատային իզոմետրիկ պրոյեկցիա, մենք կառուցեցինք III օկտանտի տարածական դասավորությունը: Այն ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի դեմքերը P 1, P 2, P 3 հարթություններն են, իսկ անկյունը (-y0x) 45 º է։ Այս համակարգում x, y, z առանցքների երկայնքով հատվածները գծագրվելու են բնական չափերով՝ առանց աղավաղումների:

Սկսենք կառուցել A կետի տեսողական պատկերը (10, -30, -10) իր հորիզոնական պրոյեկցիայով A: Համապատասխան կոորդինատները գծելով աբսցիսայի և օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ գտնում ենք A x և A y կետերը վերակառուցված A x-ից և A y-ից համապատասխանաբար դեպի x և y առանցքները որոշում է A կետի դիրքը»: A-ից z առանցքին զուգահեռ դեպի իր բացասական արժեքները թողնելով AA հատվածը, որի երկարությունը 10 է, մենք գտնում ենք A կետի դիրքը:

B կետի տեսողական պատկերը (30, 0, -20) կառուցված է նմանատիպ ձևով. x և z առանցքների երկայնքով P2 հարթությունում անհրաժեշտ է գծագրել համապատասխան կոորդինատները: B x-ից և B z-ից վերակառուցված ուղղահայաց խաչմերուկը կորոշի B կետի դիրքը:

Պրոյեկցիոն ապարատ

Պրոյեկցիոն ապարատը (նկ. 1) ներառում է երեք պրոյեկցիոն հարթություն.

π 1 –հորիզոնական նախագծման հարթություն;

π 2 –կանխատեսումների ճակատային հարթություն;

π 3- պրոֆիլի նախագծման հարթություն .

Պրոյեկցիոն հարթությունները փոխադարձաբար ուղղահայաց են ( π 1^ π 2^ π 3), և դրանց հատման գծերը կազմում են առանցքները.

Ինքնաթիռների խաչմերուկ π 1Եվ π 2առանցք կազմել 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Ինքնաթիռների խաչմերուկ π 1Եվ π 3առանցք կազմել 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Ինքնաթիռների խաչմերուկ π 2Եվ π 3առանցք կազմել 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Առանցքների հատման կետը (OX∩OY∩OZ=0) համարվում է ելակետ (կետ 0):

Քանի որ հարթությունները և առանցքները փոխադարձաբար ուղղահայաց են, նման ապարատը նման է Դեկարտյան կոորդինատային համակարգին:

Պրոյեկցիոն հարթությունները ամբողջ տարածությունը բաժանում են ութ օկտանտների (նկ. 1-ում դրանք նշված են հռոմեական թվերով): Պրոյեկցիոն հարթությունները համարվում են անթափանց, և դիտողը միշտ ներսում է Ի-րդ օկտանտ.

Ուղղանկյուն պրոյեկցիա պրոյեկցիոն կենտրոններով Ս 1, Ս 2Եվ Ս 3համապատասխանաբար հորիզոնական, ճակատային և պրոֆիլային պրոյեկցիոն հարթությունների համար։

Ա.

Պրոյեկցիոն կենտրոններից Ս 1, Ս 2Եվ Ս 3դուրս են գալիս արտանետվող ճառագայթները լ 1, լ 2Եվ լ 3 Ա

- Ա 1 Ա;

- Ա 2– կետի ճակատային պրոյեկցիա Ա;

- Ա 3- կետի պրոֆիլի պրոյեկցիա Ա.

Տարածության կետը բնութագրվում է իր կոորդինատներով Ա(x, y, z) Միավորներ A x, Ա յԵվ Ա զհամապատասխանաբար առանցքների վրա 0X, 0YԵվ 0Zցույց տալ կոորդինատները x, yԵվ զմիավորներ Ա. Նկ. 1-ը տալիս է բոլոր անհրաժեշտ նշումները և ցույց է տալիս կետի միջև կապերը Ատարածությունը, դրա կանխատեսումները և կոորդինատները:

Կետային դիագրամ

Մի կետի սյուժեն ստանալու համար Ա(նկ. 2), պրոյեկցիոն ապարատում (նկ. 1) հարթությունը π 1 Ա 1 0X π 2. Հետո ինքնաթիռը π 3կետային պրոյեկցիայով Ա 3, պտտել առանցքի շուրջը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ 0Z, մինչև այն հարթվի հարթության հետ π 2. Ինքնաթիռի պտույտների ուղղությունը π 2Եվ π 3ցույց է տրված Նկ. 1 նետ. Միեւնույն ժամանակ, ուղիղ A 1 A xԵվ A 2 A x 0Xուղղահայաց A 1 A 2և ուղիղ գծեր A 2 A xԵվ A 3 A xտեղակայվելու է ընդհանուր առանցքի վրա 0Zուղղահայաց A 2 A 3. Հետևյալում մենք համապատասխանաբար կանվանենք այս տողերը ուղղահայաց Եվ հորիզոնական կապի գծեր.

Հարկ է նշել, որ պրոյեկցիոն ապարատից դիագրամ տեղափոխելիս նախագծվող առարկան անհետանում է, սակայն նրա ձևի, երկրաչափական չափերի և տարածության մեջ գտնվելու վայրի մասին բոլոր տեղեկությունները պահպանվում են։

Ա(x A, y A, z Ax A, y AԵվ զԱհետեւյալ հաջորդականությամբ (նկ. 2). Այս հաջորդականությունը կոչվում է կետային դիագրամի կառուցման մեթոդ:

1. Առանցքները գծված են ուղղանկյուն OX, OYԵվ ՕԶ.

2. Առանցքի վրա ԵԶ x Ամիավորներ Աև ստացիր կետի դիրքը A x.

3. Կետի միջոցով A xառանցքին ուղղահայաց ԵԶ

A xառանցքի երկայնքով OYգծագրված է կոորդինատի թվային արժեքը y Ամիավորներ Ա Ա 1դիագրամի վրա։

A xառանցքի երկայնքով ՕԶգծագրված է կոորդինատի թվային արժեքը զԱմիավորներ Ա Ա 2դիագրամի վրա։

6. Կետի միջոցով Ա 2առանցքին զուգահեռ ԵԶգծված է կապի հորիզոնական գիծ: Այս գծի և առանցքի հատումը ՕԶկտա կետի դիրքորոշումը Ա զ.

7. Հորիզոնական կապի գծի վրա մի կետից Ա զառանցքի երկայնքով OYգծագրված է կոորդինատի թվային արժեքը y Ամիավորներ Աեւ որոշվում է կետի պրոֆիլային պրոյեկցիայի դիրքը Ա 3դիագրամի վրա։

Կետերի բնութագրերը

Տիեզերքի բոլոր կետերը բաժանվում են առանձին և ընդհանուր դիրքերի կետերի:

Հատուկ դիրքի կետեր. Պրոյեկցիոն ապարատին պատկանող կետերը կոչվում են որոշակի դիրքի կետեր: Դրանք ներառում են կետեր, որոնք պատկանում են պրոյեկցիոն հարթություններին, առանցքներին, ակունքներին և պրոյեկցիոն կենտրոններին: Առանձին դիրքի կետերի բնորոշ հատկանիշներն են.

Մետամաթեմատիկական – կոորդինատների մեկ, երկու կամ բոլոր թվային արժեքները հավասար են զրոյի և (կամ) անսահմանության.

Դիագրամի վրա կետի երկու կամ բոլոր կանխատեսումները գտնվում են առանցքների վրա և (կամ) գտնվում են անսահմանության վրա:

Ընդհանուր դիրքի կետեր. Ընդհանուր դիրքի կետերը ներառում են կետեր, որոնք չեն պատկանում պրոյեկցիոն ապարատին: Օրինակ, կետ ԱՆկ. 1 և 2.

Ընդհանուր դեպքում, կետի կոորդինատների թվային արժեքները բնութագրում են դրա հեռավորությունը նախագծման հարթությունից. Xինքնաթիռից π 3; կոորդինացնել yինքնաթիռից π 2; կոորդինացնել զինքնաթիռից π 1. Հարկ է նշել, որ կոորդինատների թվային արժեքների նշանները ցույց են տալիս այն ուղղությունը, որով կետը հեռանում է նախագծման հարթություններից: Կախված կետերի կոորդինատների թվային արժեքների հետ նշանների համակցությունից, կախված է նրանից, թե որ օկտանում է այն գտնվում:

Երկու պատկերի մեթոդ

Գործնականում, ի լրումն ամբողջական պրոյեկցիայի մեթոդի, օգտագործվում է երկու պատկերի մեթոդը: Այն տարբերվում է նրանով, որ այս մեթոդը վերացնում է օբյեկտի երրորդ պրոյեկցիան։ Երկու պատկերային մեթոդի պրոյեկցիոն ապարատը ստանալու համար պրոֆիլային պրոյեկցիոն հարթությունն իր պրոյեկցիոն կենտրոնով բացառվում է լրիվ պրոյեկցիոն ապարատից (նկ. 3): Ընդ որում՝ առանցքի վրա 0Xնշանակվում է հղման կետ (կետ 0 ) և դրանից առանցքին ուղղահայաց 0Xպրոյեկցիոն հարթություններում π 1Եվ π 2նկարել կացինները 0YԵվ 0Zհամապատասխանաբար.

Այս սարքում ամբողջ տարածությունը բաժանված է չորս քառակուսուների: Նկ. 3 դրանք նշվում են հռոմեական թվերով։

Պրոյեկցիոն հարթությունները համարվում են անթափանց, և դիտողը միշտ ներսում է Ի--րդ քառորդ.

Դիտարկենք սարքի աշխատանքը՝ օգտագործելով կետի նախագծման օրինակը Ա.

Պրոյեկցիոն կենտրոններից Ս 1Եվ Ս 2դուրս են գալիս արտանետվող ճառագայթները լ 1Եվ լ 2. Այս ճառագայթները անցնում են կետով Աև հատվելով պրոյեկցիայի հարթությունների հետ՝ կազմում են դրա կանխատեսումները.

- Ա 1- կետի հորիզոնական պրոյեկցիա Ա;

- Ա 2– կետի ճակատային պրոյեկցիա Ա.

Մի կետի սյուժեն ստանալու համար Ա(նկ. 4), պրոյեկցիոն ապարատում (նկ. 3) հարթությունը π 1կետի արդյունքում առաջացած պրոյեկցիայի հետ Ա 1պտտվել առանցքի շուրջ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ 0X, մինչև այն հարթվի հարթության հետ π 2. Ինքնաթիռի պտտման ուղղությունը π 1ցույց է տրված Նկ. 3 նետ. Այս դեպքում երկու պատկերի մեթոդով ստացված կետի դիագրամի վրա մնում է միայն մեկը ուղղահայացհղում A 1 A 2.

Գործնականում, կետ գծելով Ա(x A, y A, z A) իրականացվում է ըստ նրա կոորդինատների թվային արժեքների x A, y AԵվ զԱհետեւյալ հաջորդականությամբ (նկ. 4).

1. Առանցքը գծված է ԵԶև նշանակվում է հղման կետ (կետ 0 ).

2. Առանցքի վրա ԵԶգծագրվում է կոորդինատի թվային արժեքը x Ամիավորներ Աև ստացիր կետի դիրքը A x.

3. Կետի միջոցով A xառանցքին ուղղահայաց ԵԶգծված է ուղղահայաց հաղորդակցման գիծ:

4. Ուղղահայաց կապի գծի վրա մի կետից A xառանցքի երկայնքով OYգծագրված է կոորդինատի թվային արժեքը y Ամիավորներ Աեւ որոշվում է կետի հորիզոնական պրոյեկցիայի դիրքը Ա 1 OYգծված չէ, բայց ենթադրվում է, որ դրա դրական արժեքները գտնվում են առանցքի տակ ԵԶ, իսկ բացասականներն ավելի բարձր են։

5. Ուղղահայաց կապի գծի վրա մի կետից A xառանցքի երկայնքով ՕԶգծագրված է կոորդինատի թվային արժեքը զԱմիավորներ Աեւ որոշվում է կետի ճակատային պրոյեկցիայի դիրքը Ա 2դիագրամի վրա։ Հարկ է նշել, որ դիագրամում առանցքը ՕԶգծված չէ, բայց ենթադրվում է, որ դրա դրական արժեքները գտնվում են առանցքի վերևում ԵԶ, իսկ բացասականներն ավելի ցածր են։

Մրցակցային միավորներ

Միևնույն ելնող ճառագայթի վրա գտնվող կետերը կոչվում են մրցակցային կետեր: Ելնող ճառագայթի ուղղությամբ նրանք ունեն ընդհանուր պրոյեկցիա նրանց համար, այսինքն. նրանց կանխատեսումները նույնական են. Հատկանշական հատկանիշԴիագրամի վրա մրցակցող կետերը նրանց նույնանուն կանխատեսումների նույնական համընկնումն է: Մրցակցությունը կայանում է նրանում, որ այս կանխատեսումները դիտորդի նկատմամբ տեսանելի են: Այսինքն՝ տիեզերքում դիտորդի համար կետերից մեկը տեսանելի է, մյուսը՝ ոչ։ Եվ, համապատասխանաբար, գծագրում՝ մրցակցող կետերի ելուստներից մեկը տեսանելի է, իսկ մյուս կետի պրոյեկցիան՝ անտեսանելի։

Երկու մրցակցող կետերից տարածական պրոյեկցիոն մոդելի վրա (նկ. 5): ԱԵվ INտեսանելի կետ Աըստ երկու փոխլրացնող հատկանիշների. Դատելով շղթայից S 1 →A→Bկետ Աավելի մոտ է դիտորդին, քան կետին IN. Եվ, համապատասխանաբար, նախագծման հարթությունից ավելի հեռու π 1(դրանք. զԱ > զԱ).

Բրինձ. 5 Նկ.6

Եթե ​​կետն ինքնին տեսանելի է Ա, ապա դրա պրոյեկցիան նույնպես տեսանելի է Ա 1. Դրա հետ համընկնող պրոյեկցիայի առնչությամբ Բ 1. Պարզության և, անհրաժեշտության դեպքում, գծապատկերի վրա, կետերի անտեսանելի ելքերը սովորաբար փակցվում են փակագծերում:

Եկեք հանենք մոդելի կետերը ԱԵվ IN. Նրանց համընկնող կանխատեսումները ինքնաթիռում կմնան π 1և առանձին կանխատեսումներ՝ միացված π 2. Պայմանականորեն թողնենք դիտորդի (⇩) ճակատային պրոյեկցիան, որը գտնվում է պրոյեկցիայի կենտրոնում Ս 1. Այնուհետեւ, պատկերների շղթայի երկայնքով ⇩ → Ա 2 → Բ 2դա հնարավոր կլինի դատել զԱ > զ Բև որ կետն ինքնին տեսանելի է Աև դրա պրոյեկցիան Ա 1.

Եկեք նմանապես դիտարկենք մրցակցային միավորները ՀԵՏԵվ Դտեսքի համեմատ π 2 հարթության հետ։ Քանի որ այս կետերի ընդհանուր նախագծման ճառագայթը լ 2առանցքին զուգահեռ 0Y, ապա մրցակցային միավորների տեսանելիության նշան ՀԵՏԵվ Դորոշվում է անհավասարությամբ y C > y D. Հետեւաբար, այդ կետը Դփակված է մի կետով ՀԵՏև համապատասխանաբար կետի պրոյեկցիան Դ 2կտարածվի կետի պրոյեկցիայի միջոցով C 2ինքնաթիռում π 2.

Դիտարկենք, թե ինչպես է որոշվում մրցակցող կետերի տեսանելիությունը բարդ գծագրում (նկ. 6):

Դատելով համընկնող կանխատեսումներից Ա 1≡Բ 1միավորներն իրենք ԱԵվ INգտնվում են առանցքին զուգահեռ մեկ ելնող ճառագայթի վրա 0Z. Սա նշանակում է, որ կոորդինատները կարելի է համեմատել զԱԵվ զ Բայս կետերը. Դրա համար մենք օգտագործում ենք ճակատային պրոյեկցիայի հարթությունը՝ կետերի առանձին պատկերներով: Այս դեպքում զԱ > զ Բ. Սրանից բխում է, որ պրոյեկցիան տեսանելի է Ա 1.

Միավորներ ԳԵվ ԴԴիտարկվող համալիր գծագրում (նկ. 6) նույնպես գտնվում են նույն ելնող ճառագայթի վրա, բայց միայն առանցքին զուգահեռ. 0Y. Հետեւաբար, համեմատությունից y C > y Dմենք եզրակացնում ենք, որ C 2 պրոեկցիան տեսանելի է:

Ընդհանուր կանոն . Մրցակցող կետերի համապատասխան պրոյեկցիաների տեսանելիությունը որոշվում է՝ համեմատելով այդ կետերի կոորդինատները ընդհանուր պրոյեկցիոն ճառագայթի ուղղությամբ: Տեսանելի է այն կետի պրոյեկցիան, որի կոորդինատը ավելի մեծ է։ Այս դեպքում կոորդինատները համեմատվում են պրոյեկցիոն հարթության վրա՝ կետերի առանձին պատկերներով։

Եկեք պատկերացնենք, թե օգտագործելով տարածական դասավորությունը: Թող մի կետ տրվի տարածության մեջ Աև երեք միմյանց ուղղահայաց պրոյեկցիոն հարթություններ:

Կառուցենք տարածության առաջին օկտանտում գտնվող A կետի կանխատեսումները։ Դա անելու համար մենք գծում ենք արձակող ճառագայթներ կետի միջով, որոնք ուղղահայաց են անցնում պրոյեկցիայի հարթություններին: Այս ճառագայթների հատման կետում պրոյեկցիոն հարթությունների հետ Հ, Վ, Վհենց A կետի պրոյեկցիաներն են (A`, A, A"`):

Որոշվում է երեք կոորդինատներով ( x, y, z), ցույց տալով այն հեռավորությունները, որոնցով այն հեռացվում է պրոյեկցիոն հարթություններից:
Այս հեռավորությունները որոշելու համար բավական է օգտագործել կետը Ագծել ուղիղ գծեր, որոնք ուղղահայաց են նախագծման հարթություններին, որոշել կետերը A`, A, A"`այս տողերի հանդիպումը պրոյեկցիոն հարթությունների հետ և չափել հատվածների արժեքները [ AA`], [Ա.Ա.], [ԱԱ».], որը համապատասխանաբար ցույց կտա հավելվածի արժեքը զ, օրդ y, աբսցիսսա xմիավորներ Ա.

Միավորներ A`, A, A"`կոչվում են կետի ուղղանկյուն պրոյեկցիաներ Ա, և ըստ ընդունված նշագրության.
Ա՝- կետի հորիզոնական պրոյեկցիա Ա;
Ա"- կետի ճակատային պրոյեկցիա Ա;
Ա».- կետի պրոֆիլի նախագծում Ա.

Բաժիններ:
[AA`] - [OA x] - կետի աբսցիսա Ա;
[Ա.Ա.] - [ՕԱ յ] - կետի օրդինատ Ա;
[ԱԱ».] - [ՕԱ զ] - կիրառելի կետ Ա.

Ուղիղ ( AA` ⊥ Հ), (Ա.Ա. ⊥ Վ), (ԱԱ». ⊥ Վ) կոչվում են ուղիղ գծերի նախագծումկամ արձակող ճառագայթներ.
Ուղիղ ( AA`), նախագծման կետ Ավրա հորիզոնական նախագծման հարթություն, կանչեց հորիզոնական ելնող գիծ (ճառագայթ).
Ուղիղ ( Ա.Ա.) նախագծման կետ Ավրա ելքերի ճակատային հարթությունկանչեց ճակատային գծող ուղիղ գիծ (ճառագայթ).
Ուղիղ ( ԱԱ».) նախագծման կետ Ավրա պրոֆիլի նախագծման հարթությունկանչեց պրոֆիլի նախագծման ուղիղ գիծ (ճառագայթ).
Մի կետով անցնող երկու պրոյեկցիոն գիծ Ա, սահմանեք հարթությունը, որը սովորաբար կոչվում է նախագծող։

Մի կետի սյուժեն ստանալու համար Ա, եկեք փոխարկենք տարածական դասավորությունը Monge դիագրամների.
- կետի ճակատային պրոյեկցիա Ամնում է տեղում, ասես ինքնաթիռին պատկանի Վ, որը չի փոխում իր դիրքը դիտարկվող վերափոխման ընթացքում։
- հորիզոնական պրոյեկցիա Ա՝հորիզոնական պրոյեկցիոն հարթության հետ միասին այն կիջնի ներքև և կտեղակայվի առանցքին մեկ ուղղահայաց xճակատային պրոյեկցիայով Ա".
- պրոֆիլի նախագծում ԱԱ».կպտտվի պրոֆիլի պրոյեկցիոն հարթության հետ միասին և փոխակերպման ավարտին կզբաղեցնի նկարում նշված դիրքը: Միևնույն ժամանակ ԱԱ».պատկանելու է առանցքին ուղղահայացին զ, իրականացվել է միջոցով Ա"և հանվել առանցքից զնույն հեռավորության վրա, ինչ հորիզոնական պրոյեկցիան Ա՝առանցքից հեռու x.

Կետի հորիզոնական և պրոֆիլային պրոյեկցիաների միջև կապը կարող է հաստատվել երկու ուղղանկյուն հատվածների միջոցով [ Ա՛Ա յ] Եվ [ Ա յ Ա՚՚] և դրանք միացնող շրջանագծի աղեղը՝ կենտրոնով կոորդինատային առանցքների հատման կետում։
Նշված կապն օգտագործվում է բացակայող պրոֆիլը կամ հորիզոնական պրոյեկցիան գտնելու համար:

Տվյալ հորիզոնական (պրոֆիլ) և ճակատային ելուստներից պրոֆիլի (հորիզոնական) պրոյեկցիայի դիրքը կարելի է գտնել առանց շրջանաձև աղեղ գծելու։ Այս դեպքում հորիզոնական և պրոֆիլային պրոյեկցիաների միջև կապը կարող է հաստատվել կոտրված գծի միջոցով A`, A o, A"`վերևի հետ Ա օառանցքներից կազմված անկյան կիսագծի վրա y.
Բիսեկտոր O, A o, A"`կոչվում է հաստատուն գիծ կօՄոնժի դիագրամ.

Նկարում ներկայացված հարթ մոդելը (գծապատկերը) կրում է նույն տեղեկատվությունը, ինչ պարունակվում է տարածական դասավորության մեջ:
Իսկապես՝ որոշել կետի դիրքը տարածության մեջ, անհրաժեշտ է իմանալ կետի երեք կոորդինատները Ա - (x, y, z) հատվածների երկարություններն են [ ԱԱ».], [Ա.Ա.], [AA`].
Այս հատվածների արժեքները հեշտությամբ կարելի է որոշել դիագրամի վրա.
[ԱԱ».] ≅ [Ա՛Ա յ] ≅ [Ա»Ա զ];
[Ա.Ա.] ≅ [A'A x] ≅ [Ա՚՚Ա զ];
[AA`] ≅ [Ա»Ա խ] ≅ [Ա«Ա յ].

Կետի հորիզոնական պրոյեկցիա Աորոշվում է աբսցիսով xեւ ձեռնադրել y
Ճակատային պրոյեկցիա - աբսցիսա xև մատնահետքեր զ
Անձնագրի պրոյեկցիա - օրդինատ yև մատնահետքեր զ

Ա[Ա՝(x, y); Ա"(x, z); Ա».(y, z)]

Մուտքագրից հետևում է.
1. Տիեզերքի կետը հանվում է.
ա) նախագծման հարթությունից Վ Աառանցքից հեռու y(կամ ճակատային պրոյեկցիա Ա«առանցքից զ);
բ) նախագծման հարթությունից Վնույն չափով, որքան այս կետի հորիզոնական պրոյեկցիան Աառանցքից հեռու x(կամ դրա պրոֆիլի պրոյեկցիան Ա».առանցքից զ);
գ) նախագծման հարթությունից Հնույն չափով, որքան նրա ճակատային պրոյեկցիան Ա"առանցքից հեռու x(կամ դրա պրոֆիլի պրոյեկցիան Ա».առանցքից y).

2. ամբողջությամբ որոշվում է իր երկու ուղղանկյուն ելուստների դիրքով։
Որպես հետևանք, կետի ցանկացած երկու տրված ուղղանկյուն պրոյեկցիաներից միշտ հնարավոր է կառուցել դրա բացակայող երրորդ ուղղանկյուն պրոյեկցիան:
Իրոք, անկախ նրանից, թե երկու ուղղանկյուն պրոյեկցիաների ինչ համակցություն էլ վերցնենք, դրանք մեզ միշտ տալիս են կետի բոլոր երեք կոորդինատների արժեքը:
3. ա) ցանկացած կետի հորիզոնական և ճակատային ելուստները պատկանում են առանցքին միևնույն ուղղահայացին x.

Եթե ​​հաշվի առնենք, որ գծապատկերում ելուստների առանցքներին ուղղահայաց և կետերի հակադիր ելուստները միացնող ուղիղները կոչվում են կապի գծեր (պրոյեկցիոն միացումներ), ապա կետ 3. ա) կարելի է այլ կերպ ձևակերպել.
Ցանկացած կետի հորիզոնական և ճակատային ելուստները պատկանում են նույն հաղորդակցման գծին:

բ) ցանկացած կետի հորիզոնական և պրոֆիլային ելուստները պատկանում են առանցքի նույն ուղղահայացին (մեկ միացման գիծ). y;
գ) ցանկացած կետի ճակատային և պրոֆիլային ելուստները պատկանում են առանցքի նույն ուղղահայացին (մեկ միացման գիծ). զ.