Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը 1-ին հիմքի վրա 3. Լոգարիթմի և նրա հատկությունների սահմանումը. տեսություն և խնդրի լուծում: Հավասարումներ և անհավասարություններ

(հունարեն λόγος՝ «բառ», «հարաբերություն» և ἀριθμός՝ «թիվ») թվերից բհիման վրա ա(log α բ) կոչվում է այդպիսի թիվ գ, Եվ բ= ա գ, այսինքն՝ գրանցում է գրանցամատյանը α բ=գԵվ b=aգհամարժեք են։ Լոգարիթմը իմաստ ունի, եթե a > 0, a ≠ 1, b > 0:

Այլ կերպ ասած լոգարիթմթվեր բհիման վրա Աձևակերպված է որպես ցուցիչ, որին պետք է բարձրացնել թիվը ահամարը ստանալու համար բ(լոգարիթմը գոյություն ունի միայն դրական թվերի համար):

Այս ձևակերպումից հետևում է, որ x= log α հաշվարկը բ, համարժեք է a x =b հավասարման լուծմանը։

Օրինակ՝

log 2 8 = 3, քանի որ 8 = 2 3:

Ընդգծենք, որ լոգարիթմի նշված ձևակերպումը հնարավորություն է տալիս անմիջապես որոշել լոգարիթմի արժեքը, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը գործում է որպես հիմքի որոշակի հզորություն։ Իսկապես, լոգարիթմի ձևակերպումը հնարավորություն է տալիս հիմնավորել, որ եթե b=a գ, ապա թվի լոգարիթմը բհիման վրա ահավասար է Հետ. Հասկանալի է նաև, որ լոգարիթմների թեման սերտորեն կապված է թեմայի հետ թվի ուժերը.

Լոգարիթմի հաշվարկը կոչվում է լոգարիթմ. Լոգարիթմը լոգարիթմ վերցնելու մաթեմատիկական գործողությունն է: Լոգարիթմներ վերցնելիս գործակիցների արտադրյալները վերածվում են տերմինների գումարների։

Հզորացումլոգարիթմի հակադարձ մաթեմատիկական գործողություն է: Հզորացման ժամանակ տվյալ հիմքը բարձրացվում է արտահայտման աստիճանի, որի վրա կատարվում է հզորացում։ Այս դեպքում տերմինների գումարները վերածվում են գործոնների արտադրյալի։

Շատ հաճախ իրական լոգարիթմներն օգտագործվում են 2 (երկուական), Էյլերի թվով e ≈ 2.718 (բնական լոգարիթմ) և 10 (տասնորդական) հիմքերով։

Այս փուլում նպատակահարմար է հաշվի առնել լոգարիթմի նմուշներմատյան 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Իսկ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 գրառումներն իմաստ չունեն, քանի որ առաջինում լոգարիթմի նշանի տակ դրված է բացասական թիվ, երկրորդում՝ բացասական թիվ։ հիմքում, իսկ երրորդում լոգարիթմի նշանի տակ բացասական թիվ է, իսկ հիմքում՝ միավոր։

Լոգարիթմի որոշման պայմանները.

Արժե առանձին դիտարկել a > 0, a ≠ 1, b > 0 պայմանները, որոնց դեպքում մենք ստանում ենք. լոգարիթմի սահմանում.Տեսնենք, թե ինչու են վերցվել այս սահմանափակումները։ Այս հարցում մեզ կօգնի x = log α ձևի հավասարությունը բ, որը կոչվում է հիմնական լոգարիթմական նույնականացում, որն ուղղակիորեն բխում է վերևում տրված լոգարիթմի սահմանումից։

Վերցնենք պայմանը a≠1. Քանի որ մեկը ցանկացած հզորության հավասար է մեկի, ապա հավասարությունը x=log α բկարող է գոյություն ունենալ միայն այն ժամանակ, երբ b=1, բայց log 1 1-ը կլինի ցանկացած իրական թիվ: Այս երկիմաստությունը վերացնելու համար մենք վերցնում ենք a≠1.

Փաստենք պայմանի անհրաժեշտությունը a>0. ժամը a=0ըստ լոգարիթմի ձևակերպման կարող է գոյություն ունենալ միայն այն ժամանակ, երբ b=0. Եվ համապատասխանաբար, ապա մատյան 0 0կարող է լինել ցանկացած ոչ զրոյական իրական թիվ, քանի որ զրո ցանկացած ոչ զրոյական հզորության զրոյական է: Այս երկիմաստությունը կարող է վերացվել պայմանով a≠0. Իսկ երբ ա<0 մենք ստիպված կլինենք մերժել լոգարիթմի ռացիոնալ և իռացիոնալ արժեքների վերլուծությունը, քանի որ ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը սահմանվում է միայն ոչ բացասական հիմքերի համար: Հենց այս պատճառով էլ պայմանը նախատեսված է a>0.

Եվ վերջին պայմանը b>0բխում է անհավասարությունից a>0, քանի որ x=log α բ, իսկ աստիճանի արժեքը՝ դրական հիմքով ամիշտ դրական:

Լոգարիթմների առանձնահատկությունները.

Լոգարիթմներբնութագրվում է տարբերակիչ հատկանիշները, ինչը հանգեցրեց դրանց լայն կիրառմանը, որը զգալիորեն հեշտացնում էր տքնաջան հաշվարկները: «Լոգարիթմների աշխարհ» տեղափոխվելիս բազմապատկումը փոխակերպվում է շատ ավելի հեշտ գումարման, բաժանումը վերածվում է հանման, իսկ աստիճանը և արմատից հանելը փոխակերպվում են համապատասխանաբար բազմապատկման և բաժանման աստիճանի:

Լոգարիթմների և դրանց արժեքների աղյուսակի ձևավորում (համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ) առաջին անգամ հրատարակվել է 1614 թվականին շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջոն Նապիերի կողմից։ Այլ գիտնականների կողմից ընդլայնված և մանրամասնված լոգարիթմական աղյուսակները լայնորեն օգտագործվում էին գիտական ​​և ինժեներական հաշվարկներում և մնացին համապատասխան մինչև էլեկտրոնային հաշվիչների և համակարգիչների օգտագործումը:

Լոգարիթմի ընդունելի արժեքների միջակայք (APV):

Հիմա եկեք խոսենք սահմանափակումների մասին (ODZ - փոփոխականների թույլատրելի արժեքների միջակայք):

Մենք հիշում ենք, որ, օրինակ. քառակուսի արմատչի կարող հանվել բացասական թվերից. կամ եթե ունենք կոտորակ, ապա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի։ Լոգարիթմներն ունեն նմանատիպ սահմանափակումներ.

Այսինքն և՛ արգումենտը, և՛ հիմքը պետք է զրոյից մեծ լինեն, բայց հիմքը դեռ չի կարող հավասար լինել։

Ինչո՞ւ է սա այդպես։

Սկսենք մի պարզ բանից՝ ասենք դա։ Հետո, օրինակ, թիվը չկա, քանի որ ինչ ուժի էլ բարձրացնենք, միշտ ստացվում է։ Ընդ որում, դա ոչ մեկի համար գոյություն չունի։ Բայց միևնույն ժամանակ այն կարող է հավասար լինել ցանկացած բանի (նույն պատճառով՝ ցանկացած աստիճանի հավասար): Հետևաբար, օբյեկտը ոչ մի հետաքրքրություն չի ներկայացնում, և այն պարզապես դուրս է շպրտվել մաթեմատիկայից:

Մեզ մոտ նման խնդիր կա. ցանկացած դրական ուժի դա այդպես է, բայց դա ընդհանրապես չի կարելի հասցնել բացասական ուժի, քանի որ դա կհանգեցնի զրոյի բաժանմանը (հիշեցնեմ դա):

Երբ մենք բախվում ենք կոտորակային հզորության բարձրացման խնդրին (որը ներկայացված է որպես արմատ. Օրինակ՝ (այսինքն), բայց այն գոյություն չունի։

Հետևաբար, ավելի հեշտ է դեն նետել բացասական պատճառները, քան դրանց հետ շփվել:

Դե, քանի որ մեր ա բազան կարող է միայն դրական լինել, ուրեմն ինչ ուժի էլ բարձրացնենք, միշտ խիստ դրական թիվ ենք ստանալու։ Այսպիսով, փաստարկը պետք է դրական լինի: Օրինակ՝ գոյություն չունի, քանի որ ոչ մի կերպ չի լինելու բացասական թիվ(և նույնիսկ զրո, հետևաբար նույնպես գոյություն չունի):

Լոգարիթմների հետ կապված խնդիրների դեպքում առաջին բանը, որ դուք պետք է անեք, ODZ-ը գրելն է: Թույլ տվեք ձեզ օրինակ բերել.

Եկեք լուծենք հավասարումը.

Հիշենք սահմանումը. լոգարիթմը այն ուժն է, որի վրա հիմքը պետք է բարձրացվի՝ փաստարկ ստանալու համար: Եվ ըստ պայմանի այս աստիճանը հավասար է.

Մենք ստանում ենք սովորական քառակուսի հավասարում: Եկեք այն լուծենք Վիետայի թեորեմի միջոցով՝ արմատների գումարը հավասար է, իսկ արտադրյալը։ Հեշտ է վերցնել, սրանք թվեր են և.

Բայց եթե դուք անմիջապես վերցնեք և գրեք այս երկու թվերն էլ պատասխանում, ապա կարող եք ստանալ 0 միավոր խնդրի համար։ Ինչո՞ւ։ Եկեք մտածենք, թե ինչ կլինի, եթե այս արմատները փոխարինենք սկզբնական հավասարման մեջ:

Սա ակնհայտորեն սխալ է, քանի որ հիմքը չի կարող բացասական լինել, այսինքն, արմատը «երրորդ կողմ» է:

Նման տհաճ որոգայթներից խուսափելու համար հարկավոր է գրել ODZ-ը նույնիսկ նախքան հավասարումը լուծելը.

Այնուհետև, ստանալով արմատները և, անմիջապես դեն ենք նետում արմատը և գրում ենք ճիշտ պատասխանը։

Օրինակ 1(փորձեք ինքներդ լուծել) :

Գտե՛ք հավասարման արմատը. Եթե ​​կան մի քանի արմատներ, ապա ձեր պատասխանում նշեք դրանցից ամենափոքրը:

Լուծում:

Նախ, եկեք գրենք ODZ-ը.

Հիմա եկեք հիշենք, թե ինչ է լոգարիթմը. ո՞ր ուժին է անհրաժեշտ հիմքը բարձրացնել փաստարկը ստանալու համար: Երկրորդին. Այսինքն.

Թվում է, թե ավելի փոքր արմատը հավասար է: Բայց դա այդպես չէ. ըստ ODZ-ի արմատը երրորդ կողմ է, այսինքն՝ ընդհանրապես արմատ չէ։ տրված հավասարումը. Այսպիսով, հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ.

Պատասխան. .

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հիշենք լոգարիթմի սահմանումը ընդհանուր ձևով.

Եկեք լոգարիթմը փոխարինենք երկրորդ հավասարությամբ.

Այս հավասարությունը կոչվում է հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը. Թեև ըստ էության սա հավասարություն է, ուղղակի այլ կերպ է գրված լոգարիթմի սահմանում:

Սա այն ուժն է, որին դուք պետք է բարձրացնեք հասնելու համար:

Օրինակ՝

Լուծե՛ք հետևյալ օրինակները.

Օրինակ 2.

Գտեք արտահայտության իմաստը.

Լուծում:

Հիշենք կանոնը բաժնից՝ այսինքն՝ հզորությունը հզորության բարձրացնելիս ցուցիչները բազմապատկվում են։ Եկեք կիրառենք այն.

Օրինակ 3.

Ապացուցեք դա։

Լուծում:

Լոգարիթմների հատկությունները

Ցավոք, առաջադրանքները միշտ չէ, որ այդքան պարզ են. հաճախ նախ անհրաժեշտ է պարզեցնել արտահայտությունը, բերել այն իր սովորական ձևին, և միայն դրանից հետո հնարավոր կլինի հաշվարկել արժեքը: Սա ամենահեշտն է անել, եթե գիտեք լոգարիթմների հատկությունները. Այսպիսով, եկեք սովորենք լոգարիթմների հիմնական հատկությունները: Ես կապացուցեմ դրանցից յուրաքանչյուրը, քանի որ ցանկացած կանոն ավելի հեշտ է հիշել, եթե գիտես, թե որտեղից է այն գալիս։

Այս բոլոր հատկությունները պետք է հիշվեն առանց դրանց, լոգարիթմների հետ կապված խնդիրների մեծ մասը հնարավոր չէ լուծել:

Իսկ հիմա լոգարիթմների բոլոր հատկությունների մասին ավելի մանրամասն։

Սեփականություն 1:

Ապացույց:

Թող այդպես լինի:

Մենք ունենք՝ և այլն:

Հատկություն 2. Լոգարիթմների գումարը

Նույն հիմքերով լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին. .

Ապացույց:

Թող այդպես լինի: Թող այդպես լինի:

Օրինակ՝Գտե՛ք արտահայտության իմաստը.

Լուծում.

Բանաձևը, որը դուք սովորեցիք, օգնում է պարզեցնել լոգարիթմների գումարը, այլ ոչ թե տարբերությունը, ուստի այս լոգարիթմները հնարավոր չէ միանգամից համատեղել: Բայց դուք կարող եք հակառակն անել՝ «բաժանել» առաջին լոգարիթմը երկուսի. Եվ ահա խոստացված պարզեցումը.
.
Ինչու է դա անհրաժեշտ: Դե, օրինակ. ինչի՞ն է դա հավասար:

Հիմա դա ակնհայտ է.

Հիմա պարզեցրեք ինքներդ.

Առաջադրանքներ.

Պատասխաններ:

Հատկություն 3. Լոգարիթմների տարբերություն.

Ապացույց:

Ամեն ինչ նույնն է, ինչ 2-րդ կետում.

Թող այդպես լինի:

Թող այդպես լինի: Մենք ունենք.

Նախորդ պարբերության օրինակն այժմ ավելի պարզ է դառնում.

Ավելի բարդ օրինակ. Կարող եք պարզել, թե ինչպես լուծել այն ինքներդ:

Այստեղ հարկ է նշել, որ քառակուսի լոգարիթմների վերաբերյալ մենք չունենք մեկ բանաձև։ Սա արտահայտության նման մի բան է. այն չի կարելի միանգամից պարզեցնել:

Հետևաբար, եկեք ընդմիջենք լոգարիթմների վերաբերյալ բանաձևերից և մտածենք, թե ինչպիսի բանաձևեր ենք մենք առավել հաճախ օգտագործում մաթեմատիկայի մեջ: 7-րդ դասարանից սկսած!

Սա -. Պետք է ընտելանալ այն փաստին, որ նրանք ամենուր են: Դրանք առաջանում են էքսպոնենցիալ, եռանկյունաչափական և իռացիոնալ խնդիրներում։ Հետեւաբար, դրանք պետք է հիշել:

Եթե ​​ուշադիր նայեք առաջին երկու տերմիններին, ապա պարզ է դառնում, որ սա քառակուսիների տարբերություն:

Պատասխան՝ ստուգելու համար.

Պարզեցրեք այն ինքներդ:

Օրինակներ

Պատասխաններ.

Հատկություն 4. Լոգարիթմի արգումենտից ցուցիչը հանելը.

Ապացույց:Եվ այստեղ մենք օգտագործում ենք նաև լոգարիթմի սահմանումը. թող, ապա: Մենք ունենք՝ և այլն:

Այս կանոնը կարելի է հասկանալ այսպես.

Այսինքն՝ փաստարկի աստիճանը տեղափոխվում է լոգարիթմից առաջ՝ որպես գործակից։

Օրինակ՝Գտեք արտահայտության իմաստը.

Լուծում: .

Ինքներդ որոշեք.

Օրինակներ.

Պատասխաններ:

Հատկություն 5. Լոգարիթմի հիմքից ցուցիչը վերցնելը.

Ապացույց:Թող այդպես լինի:

Մենք ունենք՝ և այլն:
Հիշեք՝ սկսած հիմքերըաստիճանը արտահայտվում է որպես հակառակըթիվ, ի տարբերություն նախորդ դեպքի!

Հատկություն 6. Ցուցանիշի հեռացում լոգարիթմի հիմքից և արգումենտից.

Կամ եթե աստիճանները նույնն են.

Հատկություն 7. Անցում դեպի նոր բազա.

Ապացույց:Թող այդպես լինի:

Մենք ունենք՝ և այլն:

Հատկություն 8. Փոխանակե՛ք լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը.

Ապացույց:Սա 7-րդ բանաձևի հատուկ դեպքն է՝ եթե փոխարինենք, կստանանք՝ և այլն։

Դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ։

Օրինակ 4.

Գտեք արտահայտության իմաստը.

Մենք օգտագործում ենք թիվ 2 լոգարիթմների հատկությունը՝ լոգարիթմների գումարը նույն հիմքըհավասար է արտադրանքի լոգարիթմին.

Օրինակ 5.

Գտեք արտահայտության իմաստը.

Լուծում:

Մենք օգտագործում ենք թիվ 3 և 4 լոգարիթմների հատկությունը.

Օրինակ 6.

Գտեք արտահայտության իմաստը.

Լուծում:

Օգտագործենք թիվ 7 հատկությունը՝ անցնենք 2-րդ հիմքին.

Օրինակ 7.

Գտեք արտահայտության իմաստը.

Լուծում:

Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը:

Եթե ​​կարդում եք այս տողերը, ուրեմն կարդացել եք ամբողջ հոդվածը։

Եվ դա հիանալի է:

Հիմա ասեք մեզ, թե ինչպես եք հավանում հոդվածը:

Դուք սովորե՞լ եք, թե ինչպես լուծել լոգարիթմները: Եթե ​​ոչ, ապա ո՞րն է խնդիրը:

Գրեք մեզ ստորև ներկայացված մեկնաբանություններում:

Եվ, այո, հաջողություն ձեր քննություններին:

Միասնական պետական ​​քննության և միասնական պետական ​​քննության և ընդհանրապես կյանքում

\(a^(b)=c\) \(\Ձախ աջ սլաք\) \(\log_(a)(c)=b\)

Եկեք ավելի պարզ բացատրենք. Օրինակ, \(\log_(2)(8)\) հավասար է այն հզորությանը, որով \(2\) պետք է բարձրացվի \(8\) ստանալու համար: Այստեղից պարզ է դառնում, որ \(\log_(2)(8)=3\):

Օրինակներ.		\(\log_(5)(25)=2\)		քանի որ \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		քանի որ \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		քանի որ \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Լոգարիթմի փաստարկ և հիմք

Ցանկացած լոգարիթմ ունի հետևյալ «անատոմիան».

Լոգարիթմի արգումենտը սովորաբար գրվում է իր մակարդակում, իսկ հիմքը գրվում է լոգարիթմի նշանին ավելի մոտ ենթատեքստով։ Եվ այս գրառումը կարդում է այսպես. «Քսանհինգից հինգի հիմքի լոգարիթմը»:

Ինչպե՞ս հաշվարկել լոգարիթմը:

Լոգարիթմը հաշվարկելու համար հարկավոր է պատասխանել հարցին՝ ինչ ուժի պետք է բարձրացվի հիմքը՝ փաստարկը ստանալու համար:

Օրինակ, հաշվարկեք լոգարիթմը՝ ա) \(\log_(4)(16)\) բ) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) գ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) դ) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ա) Ո՞ր ուժին պետք է \(4\) բարձրացնել \(16\) ստանալու համար: Ակնհայտորեն երկրորդը. Ահա թե ինչու.

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

գ) Ո՞ր ուժին պետք է \(\sqrt(5)\) բարձրացնել \(1\) ստանալու համար: Ո՞ր ուժն է դարձնում ցանկացած թիվ մեկ: Զրո, իհարկե։

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

դ) Ո՞ր ուժին պետք է \(\sqrt(7)\) բարձրացվի \(\sqrt(7)\) ստանալու համար: Նախ, առաջին աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն:

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ե) Ի՞նչ հզորության պետք է \(3\) բարձրացվի \(\sqrt(3)\) ստանալու համար: Մենք գիտենք, որ դա կոտորակային հզորություն է, ինչը նշանակում է, որ քառակուսի արմատը \(\frac(1)(2)\)-ի հզորությունն է:

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Օրինակ Հաշվարկել լոգարիթմը \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Լուծում :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Պետք է գտնել լոգարիթմի արժեքը, նշանակենք x-ով։ Այժմ եկեք օգտագործենք լոգարիթմի սահմանումը. \(\log_(a)(c)=b\) \(\Ձախ աջ սլաքը\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ի՞նչն է միացնում \(4\sqrt(2)\) և \(8\): Երկու, քանի որ երկու թվերն էլ կարող են ներկայացվել երկուսով. \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2)) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Ձախ կողմում օգտագործում ենք աստիճանի հատկությունները՝ \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) և \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Հիմքերը հավասար են, անցնում ենք ցուցանիշների հավասարությանը
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք \(\frac(2)(5)\)-ով:
		Ստացված արմատը լոգարիթմի արժեքն է

Պատասխանել : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Ինչու՞ է հորինվել լոգարիթմը:

Սա հասկանալու համար լուծենք հավասարումը` \(3^(x)=9\): Պարզապես համապատասխանեք \(x\)-ին, որպեսզի հավասարումը աշխատի: Իհարկե, \(x=2\):

Այժմ լուծեք հավասարումը. \(3^(x)=8\):Ինչի՞ է հավասար x-ը: Դա է կետը:

Ամենախելացիները կասեն՝ «X-ը երկուսից մի քիչ պակաս է»։ Ինչպե՞ս ճիշտ գրել այս թիվը: Այս հարցին պատասխանելու համար հորինվել է լոգարիթմը։ Նրա շնորհիվ այստեղ պատասխանը կարելի է գրել որպես \(x=\log_(3)(8)\):

Ուզում եմ ընդգծել, որ \(\log_(3)(8)\), հավանում եմ ցանկացած լոգարիթմ ընդամենը թիվ է. Այո, անսովոր է թվում, բայց կարճ է: Որովհետև եթե ուզենայինք ձևով գրել տասնորդական, ապա այն կունենա հետևյալ տեսքը՝ \(1.892789260714.....\)

Օրինակ Լուծե՛ք \(4^(5x-4)=10\) հավասարումը

Լուծում :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) և \(10\) չեն կարող բերվել նույն հիմքում: Սա նշանակում է, որ դուք չեք կարող անել առանց լոգարիթմի: Եկեք օգտագործենք լոգարիթմի սահմանումը. \(a^(b)=c\) \(\Ձախ աջ սլաք\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Եկեք շրջենք հավասարումը այնպես, որ X-ը ձախ կողմում լինի
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Մեր առաջ. Եկեք \(4\) տեղափոխենք աջ: Եվ մի վախեցեք լոգարիթմից, վերաբերվեք նրան սովորական թվի պես։
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Հավասարումը բաժանեք 5-ի
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Սա է մեր արմատը: Այո, դա անսովոր է թվում, բայց նրանք չեն ընտրում պատասխանը:

Պատասխանել : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Տասնորդական և բնական լոգարիթմներ

Ինչպես նշված է լոգարիթմի սահմանման մեջ, նրա հիմքը կարող է լինել ցանկացած դրական թիվ, բացի մեկից \((a>0, a\neq1)\): Եվ բոլոր հնարավոր հիմքերի թվում կան երկուսը, որոնք այնքան հաճախ են տեղի ունենում, որ նրանց հետ լոգարիթմների համար հատուկ կարճ նշում է հորինվել.

Բնական լոգարիթմ. լոգարիթմ, որի հիմքը Էյլերի \(e\) թիվն է (մոտավորապես հավասար է \(2.7182818…\)), իսկ լոգարիթմը գրված է որպես \(\ln(a)\):

Այսինքն՝ \(\ln(a)\) նույնն է, ինչ \(\log_(e)(a)\)

Տասնորդական լոգարիթմ. Այն լոգարիթմը, որի հիմքը 10 է, գրված է \(\lg(a)\):

Այսինքն՝ \(\lg(a)\) նույնն է, ինչ \(\log_(10)(a)\), որտեղ \(a\)-ն ինչ-որ թիվ է:

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Լոգարիթմներն ունեն բազմաթիվ հատկություններ. Դրանցից մեկը կոչվում է «Հիմնական լոգարիթմական ինքնություն« և ունի հետևյալ տեսքը.

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Այս հատկությունը ուղղակիորեն բխում է սահմանումից: Տեսնենք, թե կոնկրետ ինչպես է առաջացել այս բանաձեւը։

Եկեք հիշենք լոգարիթմի սահմանման կարճ նշումը.

եթե \(a^(b)=c\), ապա \(\log_(a)(c)=b\)

Այսինքն, \(b\)-ը նույնն է, ինչ \(\log_(a)(c)\): Այնուհետև \(a^(b)=c\) բանաձևում \(b\)-ի փոխարեն կարող ենք գրել \(\log_(a)(c)\): Պարզվեց \(a^(\log_(a)(c))=c\) - հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը:

Դուք կարող եք գտնել լոգարիթմների այլ հատկություններ: Նրանց օգնությամբ դուք կարող եք պարզեցնել և հաշվարկել արտահայտությունների արժեքները լոգարիթմներով, որոնք դժվար է ուղղակիորեն հաշվարկել:

Օրինակ Գտեք \(36^(\log_(6)(5))\ արտահայտության արժեքը:

Լուծում :

Պատասխանել : \(25\)

Ինչպե՞ս գրել թիվը որպես լոգարիթմ:

Ինչպես նշվեց վերևում, ցանկացած լոգարիթմ ընդամենը թիվ է: Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ցանկացած թիվ կարելի է գրել որպես լոգարիթմ։ Օրինակ, մենք գիտենք, որ \(\log_(2)(4)\) հավասար է երկուսի։ Այնուհետև երկուսի փոխարեն կարող եք գրել \(\log_(2)(4)\):

Բայց \(\log_(3)(9)\) նույնպես հավասար է \(2\-ին), ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք նաև գրել \(2=\log_(3)(9)\) : Նմանապես \(\log_(5)(25)\), և \(\log_(9)(81)\) և այլն: Այսինքն՝ ստացվում է

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Այսպիսով, եթե մեզ անհրաժեշտ լինի, մենք կարող ենք գրել երկու որպես լոգարիթմ ցանկացած հիմքով ցանկացած վայրում (լինի դա հավասարման մեջ, արտահայտության մեջ, թե անհավասարության մեջ) - մենք ուղղակի հիմքը քառակուսի ենք գրում որպես արգումենտ:

Դա նույնն է եռակի դեպքում. այն կարող է գրվել որպես \(\log_(2)(8)\), կամ որպես \(\log_(3)(27)\), կամ որպես \(\log_(4)( 64) \)... Այստեղ հիմքը խորանարդի մեջ գրում ենք որպես արգումենտ.

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Եվ չորսով.

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Եվ մինուս մեկով.

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Եվ մեկ երրորդով.

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Ցանկացած \(a\) թիվը կարող է ներկայացվել որպես լոգարիթմ \(b\) հիմքով. \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Օրինակ Գտեք արտահայտության իմաստը \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Լուծում :

Պատասխանել : \(1\)

Քանի որ հասարակությունը զարգանում էր, և արտադրությունը դառնում էր ավելի բարդ, մաթեմատիկան նույնպես զարգանում էր: Շարժում պարզից բարդ: Սովորական հաշվառումից՝ օգտագործելով գումարման և հանման մեթոդը, դրանց կրկնվող կրկնությամբ մենք հասանք բազմապատկման և բաժանման հայեցակարգին։ Բազմապատկման կրկնվող գործողության կրճատումը դարձավ աստիճանի հասկացություն: Հիմքից թվերի կախվածության և հզորության թվի առաջին աղյուսակները կազմվել են դեռևս 8-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս Վարասենայի կողմից։ Դրանցից կարելի է հաշվել լոգարիթմների առաջացման ժամանակը։

Պատմական ուրվագիծ

16-րդ դարում Եվրոպայի վերածնունդը խթանեց նաև մեխանիկայի զարգացումը։ Տ պահանջվում էր մեծ քանակությամբ հաշվարկկապված բազմանիշ թվերի բազմապատկման և բաժանման հետ. Հնագույն սեղանները մեծ ծառայություն էին մատուցում։ Նրանք հնարավորություն տվեցին բարդ գործողությունները փոխարինել ավելի պարզներով՝ գումարում և հանում։ Մեծ քայլ առաջ էր մաթեմատիկոս Միքայել Շտիֆելի աշխատանքը, որը հրատարակվել է 1544 թվականին, որտեղ նա իրագործեց բազմաթիվ մաթեմատիկոսների գաղափարը։ Սա հնարավորություն տվեց օգտագործել աղյուսակները ոչ միայն ձևի աստիճանների համար պարզ թվեր, այլեւ կամայական ռացիոնալների համար։

1614 թվականին շոտլանդացի Ջոն Նապիերը, զարգացնելով այս գաղափարները, առաջին անգամ ներկայացրեց «թվի լոգարիթմ» նոր տերմինը։ Կազմվել են նոր բարդ աղյուսակներ՝ սինուսների և կոսինուսների լոգարիթմները, ինչպես նաև շոշափողները հաշվելու համար։ Սա մեծապես նվազեցրեց աստղագետների աշխատանքը:

Սկսեցին հայտնվել նոր աղյուսակներ, որոնք հաջողությամբ կիրառվեցին գիտնականների կողմից ողջ ընթացքում երեք դար. Շատ ժամանակ անցավ, մինչև հանրահաշվի նոր գործողությունը ստացավ իր ավարտուն ձևը: Տրվեց լոգարիթմի սահմանումը և ուսումնասիրվեցին նրա հատկությունները։

Միայն 20-րդ դարում, երբ հայտնվեցին հաշվիչը և համակարգիչը, մարդկությունը հրաժարվեց հնագույն աղյուսակներից, որոնք հաջողությամբ աշխատել էին 13-րդ դարում:

Այսօր մենք անվանում ենք b-ի լոգարիթմ՝ a-ի հիմքում x թիվը, որը a-ի հզորությունն է՝ b դարձնելու համար: Սա գրված է որպես բանաձև՝ x = log a(b):

Օրինակ, log 3(9)-ը հավասար կլինի 2-ի: Սա ակնհայտ է, եթե հետևեք սահմանմանը: Եթե ​​3-ը հասցնենք 2-ի, ապա կստանանք 9:

Այսպիսով, ձևակերպված սահմանումը սահմանում է միայն մեկ սահմանափակում՝ a և b թվերը պետք է իրական լինեն։

Լոգարիթմների տեսակները

Դասական սահմանումը կոչվում է իրական լոգարիթմ և իրականում a x = b հավասարման լուծումն է: a = 1 տարբերակը սահմանային է և չի հետաքրքրում: Ուշադրություն՝ 1-ը ցանկացած հզորության հավասար է 1-ի:

Լոգարիթմի իրական արժեքըսահմանվում է միայն այն դեպքում, երբ հիմքը և արգումենտը մեծ են 0-ից, և հիմքը չպետք է հավասար լինի 1-ի:

Հատուկ տեղ մաթեմատիկայի ոլորտումխաղալ լոգարիթմներ, որոնք կանվանվեն՝ կախված դրանց հիմքի չափից.

Կանոններ և սահմանափակումներ

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը կանոնն է՝ արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմական գումարին։ log abp = log a(b) + log a(p):

Որպես այս հայտարարության տարբերակ այն կլինի՝ log c(b/p) = log c(b) - log c(p), քանորդ ֆունկցիան հավասար է ֆունկցիաների տարբերությանը։

Նախորդ երկու կանոններից հեշտ է տեսնել, որ log a(b p) = p * log a(b):

Այլ հատկությունները ներառում են.

Մեկնաբանություն. Սովորական սխալ մի թույլ տվեք՝ գումարի լոգարիթմը հավասար չէ լոգարիթմների գումարին:

Շատ դարեր շարունակ լոգարիթմ գտնելու գործողությունը բավականին ժամանակատար խնդիր էր։ Մաթեմատիկոսներն օգտագործել են բազմանդամների ընդլայնման լոգարիթմական տեսության հայտնի բանաձևը.

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), որտեղ n - բնական թիվ 1-ից մեծ, որը որոշում է հաշվարկի ճշգրտությունը:

Այլ հիմքերով լոգարիթմները հաշվարկվել են՝ օգտագործելով մի հիմքից մյուսին անցնելու թեորեմը և արտադրյալի լոգարիթմի հատկությունը։

Քանի որ այս մեթոդը շատ աշխատատար է և գործնական խնդիրներ լուծելիսդժվար է իրականացնել, մենք օգտագործել ենք նախապես կազմված լոգարիթմների աղյուսակներ, որոնք զգալիորեն արագացրել են ամբողջ աշխատանքը։

Որոշ դեպքերում օգտագործվել են հատուկ նախագծված լոգարիթմային գրաֆիկներ, որոնք ավելի քիչ ճշգրտություն են տվել, բայց զգալիորեն արագացրել են որոնումը։ ցանկալի արժեք. y = log a(x) ֆունկցիայի կորը, որը կառուցված է մի քանի կետերի վրա, թույլ է տալիս օգտագործել կանոնավոր քանոն՝ ցանկացած այլ կետում ֆունկցիայի արժեքը գտնելու համար։ Ինժեներներ երկար ժամանակԱյդ նպատակների համար օգտագործվել է այսպես կոչված գրաֆիկական թուղթ։

17-րդ դարում ի հայտ եկան առաջին օժանդակ անալոգային հաշվողական պայմանները, որոնք 19-րդ դարձեռք բերեց ավարտուն տեսք: Ամենահաջող սարքը կոչվում էր սլայդի կանոն: Չնայած սարքի պարզությանը, նրա տեսքը զգալիորեն արագացրեց բոլոր ինժեներական հաշվարկների գործընթացը, և դա դժվար է գերագնահատել: Ներկայումս քչերն են ծանոթ այս սարքին։

Հաշվիչների և համակարգիչների հայտնվելը անիմաստ դարձրեց ցանկացած այլ սարքի օգտագործումը:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Լոգարիթմների միջոցով տարբեր հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը.

• Անցում մեկ բազայից մյուսին. log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Նախորդ տարբերակի արդյունքում՝ log a(b) = 1 / log b(a):

Անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է իմանալ.

• Լոգարիթմի արժեքը դրական կլինի միայն այն դեպքում, եթե հիմքը և արգումենտը մեկից մեծ կամ փոքր են. եթե առնվազն մեկ պայման խախտվի, ապա լոգարիթմի արժեքը բացասական կլինի:
• Եթե ​​լոգարիթմի ֆունկցիան կիրառվում է անհավասարության աջ և ձախ կողմերի վրա, իսկ լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, ապա անհավասարության նշանը պահպանվում է. հակառակ դեպքում այն ​​փոխվում է:

Նմուշի խնդիրներ

Դիտարկենք լոգարիթմների և դրանց հատկությունների օգտագործման մի քանի տարբերակ: Հավասարումների լուծման օրինակներ.

Դիտարկենք լոգարիթմը հզորության մեջ դնելու տարբերակը.

• Խնդիր 3. Հաշվե՛ք 25^log 5(3): Լուծում. խնդրի պայմաններում մուտքը նման է հետևյալին (5^2)^log5(3) կամ 5^(2 * log 5(3)): Գրենք այլ կերպ՝ 5^log 5(3*2), կամ թվի քառակուսին որպես ֆունկցիայի արգումենտ կարելի է գրել որպես բուն ֆունկցիայի քառակուսի (5^log 5(3))^2։ Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները՝ այս արտահայտությունը հավասար է 3^2։ Պատասխան՝ հաշվարկի արդյունքում ստանում ենք 9։

Գործնական կիրառություն

Լինելով զուտ մաթեմատիկական գործիք՝ այն հեռու է թվում իրական կյանքոր լոգարիթմը հանկարծ ձեռք բերեց մեծ արժեքօբյեկտները նկարագրելու համար իրական աշխարհ. Դժվար է գտնել գիտություն, որտեղ այն չի օգտագործվում։ Սա լիովին վերաբերում է ոչ միայն բնական, այլեւ հումանիտար գիտելիքի ոլորտներին։

Լոգարիթմական կախվածություններ

Ահա թվային կախվածության մի քանի օրինակ.

Մեխանիկա և ֆիզիկա

Պատմականորեն, մեխանիկան և ֆիզիկան միշտ զարգացել են օգտագործելով մաթեմատիկական մեթոդներհետազոտություններ և միևնույն ժամանակ խթան հանդիսացավ մաթեմատիկայի, այդ թվում՝ լոգարիթմների զարգացման համար։ Ֆիզիկայի օրենքների մեծ մասի տեսությունը գրված է մաթեմատիկայի լեզվով։ Եկեք միայն երկու օրինակ բերենք ֆիզիկական օրենքները լոգարիթմի միջոցով նկարագրելու համար:

Հրթիռի արագության նման բարդ քանակի հաշվարկման խնդիրը կարելի է լուծել Ցիոլկովսկու բանաձևի միջոցով, որը հիմք դրեց տիեզերական հետազոտության տեսությանը.

V = I * ln (M1 / M2), որտեղ

• V-ն օդանավի վերջնական արագությունն է։
• I - շարժիչի հատուկ իմպուլս:
• M 1 - հրթիռի սկզբնական զանգված:
• M 2 - վերջնական զանգված:

Մեկ այլ կարևոր օրինակ- սա օգտագործվում է մեկ այլ մեծ գիտնական Մաքս Պլանկի բանաձևում, որը ծառայում է թերմոդինամիկայի հավասարակշռության վիճակը գնահատելու համար:

S = k * ln (Ω), որտեղ

• S - թերմոդինամիկական հատկություն:
• k – Բոլցմանի հաստատուն.
• Ω-ն տարբեր վիճակների վիճակագրական կշիռն է:

Քիմիա

Ավելի քիչ ակնհայտ է լոգարիթմների հարաբերակցությունը պարունակող բանաձևերի օգտագործումը քիմիայում: Բերենք ընդամենը երկու օրինակ.

• Nernst հավասարում, միջավայրի ռեդոքսային ներուժի պայմանը նյութերի ակտիվության և հավասարակշռության հաստատունի նկատմամբ։
• Այնպիսի հաստատունների հաշվարկը, ինչպիսին են ավտոլիզի ինդեքսը և լուծույթի թթվայնությունը, նույնպես չի կարող կատարվել առանց մեր ֆունկցիայի։

Հոգեբանություն և կենսաբանություն

Եվ ամենևին էլ պարզ չէ, թե ինչ կապ ունի դրա հետ հոգեբանությունը: Պարզվում է, որ սենսացիայի ուժգնությունը լավ նկարագրվում է այս ֆունկցիայով որպես գրգռիչի ինտենսիվության արժեքի հակադարձ հարաբերակցություն ավելի ցածր ինտենսիվության արժեքին:

Վերոնշյալ օրինակներից հետո այլեւս զարմանալի չէ, որ լոգարիթմների թեման լայնորեն կիրառվում է կենսաբանության մեջ։ Ամբողջ հատորներ կարելի էր գրել լոգարիթմական պարույրներին համապատասխան կենսաբանական ձևերի մասին։

Այլ ոլորտներ

Թվում է, թե աշխարհի գոյությունն անհնար է առանց այդ ֆունկցիայի հետ կապի, և այն կառավարում է բոլոր օրենքները։ Հատկապես, երբ բնության օրենքները կապված են երկրաչափական առաջընթաց. Արժե դիմել MatProfi կայքին, և կան բազմաթիվ նման օրինակներ գործունեության հետևյալ ոլորտներում.

Ցուցակը կարող է անվերջ լինել։ Այս ֆունկցիայի հիմնական սկզբունքներին տիրապետելով՝ կարող եք սուզվել անսահման իմաստության աշխարհ:

Ի՞նչ է լոգարիթմը:

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Ի՞նչ է լոգարիթմը: Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները: Այս հարցերը շփոթեցնում են շատ շրջանավարտների։ Ավանդաբար լոգարիթմների թեման համարվում է բարդ, անհասկանալի և սարսափելի։ Հատկապես լոգարիթմներով հավասարումներ։

Սա բացարձակապես ճիշտ չէ: Բացարձակապես! Չե՞ք հավատում ինձ: Լավ: Այժմ, ընդամենը 10-20 րոպեում դուք.

1. Հասկացեք ինչ է լոգարիթմը.

2. Սովորեք լուծել մի ամբողջ դասարան էքսպոնենցիալ հավասարումներ. Նույնիսկ եթե դուք ոչինչ չեք լսել նրանց մասին:

3. Սովորեք հաշվարկել պարզ լոգարիթմներ:

Ընդ որում, դրա համար անհրաժեշտ կլինի իմանալ միայն բազմապատկման աղյուսակը և ինչպես կարելի է թիվը հասցնել ուժի...

Ինձ թվում է, որ դուք կասկածներ ունեք... Դե, լավ, նշեք ժամը։ Եկեք գնանք։

Նախ, ձեր գլխում լուծեք այս հավասարումը.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։