Ինչպես ավելացնել արմատները նույն ցուցանիշով: Քառակուսի արմատ. Քառակուսի արմատներով գործողություններ. Մոդուլ. Քառակուսի արմատների համեմատություն. Արմատային գործողություններ. հիմունքներ

X թվի քառակուսի արմատը a թիվն է, որը բազմապատկելով ինքն իրեն տալիս է x թիվը՝ a * a = a^2 = x, ?x = a: Ինչպես ցանկացած թվի դեպքում, թույլատրվում է գումարման և հանման թվաբանական գործողություններ կատարել քառակուսի արմատների վրա:

Հրահանգ

1. Նախ՝ ավելացնելիս քառակուսի արմատներփորձեք հանել այս արմատները: Սա վավեր կլինի, եթե արմատի նշանի տակ թվերը կատարյալ քառակուսիներ են: Ասենք տրված է 4 +?9 արտահայտությունը։ Առաջին թիվը 4-ը 2 թվի քառակուսին է: Երկրորդ թիվը 9-ը 3 թվի քառակուսին է: Այսպիսով, ստացվում է, որ ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5:

2. Եթե արմատի նշանի տակ լրիվ քառակուսիներ չկան, ապա փորձեք թվի բազմապատկիչը փոխանցել արմատի նշանի տակից։ Ասենք՝ թող 24+՞ 54 արտահայտությունը տրվի։ Գործոնացնել թվերը՝ 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. 24 թվի մեջ կա 4 գործակիցը, որը կարող է փոխանցվել քառակուսի արմատի նշանից։ 54 թիվը ունի 9 գործակից։ Այսպիսով, ստացվում է, որ՝ ?24 + ?54 = ?(4 * 6) +? (9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . Այս օրինակում գործոնը արմատային նշանից հանելու արդյունքում պարզվեց տրված արտահայտությունը.

3. Թող 2 քառակուսի արմատների գումարը լինի կոտորակի հայտարար, ասենք՝ A / (?a + ?b): Եվ նույնիսկ եթե ձեր առջեւ խնդիր է դրված «ձերբազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից»։ Այնուհետև կարող եք օգտագործել հաջորդ մեթոդը. Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք ?a - ?b արտահայտությամբ: Այսպիսով, հայտարարում ստանում եք կրճատ բազմապատկման բանաձևը՝ (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b: Համեմատությամբ, եթե արմատների տարբերությունը տրված է հայտարարում՝ ?a - ?b, ապա կոտորակի համարիչն ու հայտարարը պետք է բազմապատկել?a + ?b արտահայտությամբ։ Օրինակ, ենթադրենք 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3):

4. Դիտարկենք հայտարարի իռացիոնալությունից ազատվելու ավելի բարդ օրինակ: Թող տրվի 12 / (?2 +?3 +?5) կոտորակը: Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը պետք է բազմապատկել 2 + ?3 - ?5:12 / (? 2 + ? + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (? ?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. Եվ վերջապես, եթե ձեզ անհրաժեշտ է միայն մոտավոր արժեք, ապա կարող եք հաշվարկել քառակուսի արմատները հաշվիչի վրա: Հաշվեք արժեքները առանձին ամբողջ թվի համար և գրեք անհրաժեշտ ճշգրտությամբ (ասենք, երկու տասնորդական տեղ): Եվ հետո կատարեք անհրաժեշտ թվաբանական գործողությունները, ինչպես սովորական թվեր. Ասենք, ասենք, պետք է պարզել արտահայտության մոտավոր արժեքը 7 +? 5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89:

Առնչվող տեսանյութեր

Նշում!
Ոչ մի դեպքում քառակուսի արմատները չեն կարող ավելացվել որպես պարզունակ թվեր, այսինքն. ?3 + ?2? ?5!!!

Օգտակար խորհուրդ
Եթե դուք հաշվի եք առնում թիվը, որպեսզի քառակուսին տեղափոխեք արմատի նշանի տակից, ապա կատարեք հակադարձ ստուգում՝ բազմապատկեք ստացված բոլոր գործոնները և ստացեք սկզբնական թիվը:

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր ուժեղ են «ոչ շատ. »
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ հավասար. «»)

Նախորդ դասում մենք պարզեցինք, թե ինչ է քառակուսի արմատը: Ժամանակն է պարզել, թե որոնք են բանաձեւեր արմատների համար, ինչ են արմատային հատկություններև ինչ կարելի է անել այդ ամենի հետ կապված:

Արմատային բանաձևեր, արմատային հատկություններ և արմատներով գործողությունների կանոններըստ էության նույն բանն են: Քառակուսի արմատների համար զարմանալիորեն քիչ բանաձևեր կան: Ինչը, իհարկե, հաճելի է: Ավելի շուտ, դուք կարող եք գրել շատ բոլոր տեսակի բանաձևեր, բայց միայն երեքը բավարար են արմատների հետ գործնական և վստահ աշխատանքի համար: Մնացած ամեն ինչ բխում է այս երեքից։ Չնայած շատերը շեղվում են արմատների երեք բանաձեւերում, այո:

Սկսենք ամենապարզից. Ահա նա.

Հիշեցնում եմ ձեզ (նախորդ դասից). a և b-ն ոչ բացասական թվեր են! Հակառակ դեպքում, բանաձեւը իմաստ չունի։

Սա արմատների հատկությունը , ինչպես տեսնում եք՝ պարզ, կարճ ու անվնաս։ Բայց այս արմատային բանաձևով դուք կարող եք շատ օգտակար բաներ անել: Եկեք նայենք օրինակներայս բոլոր օգտակար բաները:

Օգտակար բան առաջին հերթին. Այս բանաձեւը մեզ թույլ է տալիս բազմապատկել արմատները.

Ինչպե՞ս բազմապատկել արմատները:

Այո, շատ պարզ: Ուղիղ բանաձևին. Օրինակ:

Թվում է, թե դրանք շատացել են, իսկ ի՞նչ։ Շատ ուրախություն կա՞: Համաձայն եմ, մի քիչ։ Բայց ինչպես է ձեզ դուր գալիս սա օրինակ?

Արմատները ճշգրիտ չեն արդյունահանվում գործոններից: Եվ արդյունքը հիանալի է: Արդեն ավելի լավ է, չէ՞: Համենայն դեպս, տեղյակ կպահեմ, որ մուլտիպլիկատոր կարող է լինել այնքան, որքան ուզեք։ Արմատների բազմապատկման բանաձևը դեռ գործում է: Օրինակ:

Այսպիսով, բազմապատկմամբ ամեն ինչ պարզ է, թե ինչու է դա անհրաժեշտ արմատների հատկությունը- նույնպես հասկանալի է.

Օգտակար բան երկրորդ. Արմատի նշանի տակ թվի մուտքագրում։

Ինչպե՞ս մուտքագրել թիվ արմատի տակ:

Եկեք ասենք, որ ունենք այս արտահայտությունը.

Հնարավո՞ր է դյուզը թաքցնել արմատի ներսում: Հեշտությամբ! Եթե երկուսից արմատ եք պատրաստում, արմատների բազմապատկման բանաձեւը կաշխատի։ Իսկ ինչպե՞ս կարելի է արմատ պատրաստել դյուզից։ Այո, դա նույնպես հարց չէ: Կրկնակն է քառակուսի արմատ չորս!

Արմատը, ի դեպ, կարելի է պատրաստել ցանկացած ոչ բացասական թվից։ Սա կլինի այս թվի քառակուսու արմատը: 3-ը 9-ի արմատն է: 8-ը 64-ի արմատն է: 11-ը 121-ի արմատն է: Դե և այլն:

Իհարկե, այդքան մանրամասն նկարելու կարիք չկա։ Բացառությամբ սկսնակների համար: Բավական է հասկանալ, որ արմատի տակ կարելի է բերել ցանկացած ոչ բացասական թիվ, որը բազմապատկվում է արմատով։ Բայց մի մոռացեք. - արմատի տակ այս թիվը կդառնա քառակուսիինքն իրեն։ Այս գործողությունը՝ արմատի տակ թիվ մուտքագրելը, կարելի է անվանել նաև թվի արմատով բազմապատկել։ Ընդհանուր առմամբ, կարելի է գրել.

Գործընթացը պարզ է, ինչպես տեսնում եք: Ինչու է նա պետք:

Ինչպես ցանկացած փոխակերպում, այս ընթացակարգը ընդլայնում է մեր հնարավորությունները: Դաժան և անհարմար արտահայտությունը փափուկ և փափուկ արտահայտության վերածելու հնարավորություններ): Ահա ձեզ համար պարզ մեկը օրինակ:

Ինչպես տեսնում ես արմատային հատկություն,ինչը հնարավորություն է տալիս արմատի նշանի տակ գործոն ներմուծել, բավականին հարմար է պարզեցման համար։

Բացի այդ, արմատի տակ բազմապատկիչ ավելացնելը հեշտ և պարզ է դարձնում տարբեր արմատների արժեքների համեմատությունը: Առանց որևէ հաշվարկի և հաշվիչի: Երրորդ օգտակար բանը.

Ինչպե՞ս համեմատել արմատները:

Այս հմտությունը շատ կարևոր է ամուր առաքելություններում, մոդուլներ բացելիս և այլ հետաքրքիր բաներում:

Համեմատեք այս արտահայտությունները. Ո՞րն է ավելի շատ: Առանց հաշվիչի! Յուրաքանչյուրը հաշվիչով: հ-ուհ Մի խոսքով, բոլորը կարող են դա անել:)

Միանգամից չես ասում: Իսկ եթե արմատի նշանի տակ թվեր եք մուտքագրում.

Հիշեք (հանկարծ չգիտեի՞ք). եթե արմատի նշանի տակ թիվն ավելի մեծ է, ուրեմն արմատն ինքնին ավելի մեծ է: Այստեղից անմիջապես ճիշտ պատասխանը, առանց որևէ բարդ հաշվարկների և հաշվարկների.

Հիանալի է, չէ՞: Բայց սա դեռ ամենը չէ։ Հիշեցնենք, որ բոլոր բանաձևերն աշխատում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Մենք մինչ այժմ օգտագործել ենք արմատները ձախից աջ բազմապատկելու բանաձևը։ Եկեք գործարկենք այս արմատային հատկությունը հետընթաց՝ աջից ձախ: Սրա նման:

Իսկ ո՞րն է տարբերությունը։ Դա ձեզ ինչ-որ բան տալիս է: Անշուշտ։ Այժմ դուք ինքներդ կտեսնեք:

Ենթադրենք, որ մենք պետք է հանենք (առանց հաշվիչի) 6561 թվի քառակուսի արմատը: Որոշ մարդիկ այս փուլում կնվազեն առաջադրանքի հետ անհավասար պայքարում: Բայց մենք համառ ենք, չենք հանձնվում։ Օգտակար բան չորրորդ.

Ինչպե՞ս արմատներ հանել մեծ թվերից:

Մենք հիշում ենք արտադրանքից արմատներ հանելու բանաձևը. Այն մեկը, որը ես տեղադրել եմ վերեւում: Բայց որտե՞ղ է մեր աշխատանքը: Մենք ունենք հսկայական թիվ 6561 և վերջ։ Այո, արվեստ չկա։ Բայց եթե դա մեզ պետք է, մենք եկեք անենք! Հաշվի առնենք այս թիվը: Մենք իրավունք ունենք.

Նախ, եկեք պարզենք, թե կոնկրետ ինչի վրա է բաժանվում այս թիվը: Ինչ է, դուք չգիտեք! Մոռացե՞լ եք բաժանելիության նշանները։ Իզուր. Գնացեք հատուկ բաժին 555, թեմա «Կոտորակներ», ահա դրանք: Այս թիվը բաժանվում է 3-ի և 9-ի։ Որովհետև թվանշանների գումարը (6+5+6+1=18) բաժանվում է այս թվերի վրա։ Սա բաժանելիության նշաններից մեկն է։ Մեզ պետք չէ երեքի բաժանել (հիմա կհասկանաք, թե ինչու), բայց մենք կբաժանենք 9-ի։ Գոնե մի անկյունում։ Մենք ստանում ենք 729: Այսպիսով, մենք գտանք երկու գործոն: Առաջինը ինն է (մենք ինքներս ենք ընտրել), իսկ երկրորդը՝ 729 (այդպես է ստացվել)։ Արդեն կարող եք գրել.

Ստացե՞լ եք գաղափարը: Նույնը անենք 729 թվի հետ։ Այն նաև բաժանվում է 3-ի և 9-ի: Կրկին, մենք չենք բաժանում 3-ի, մենք բաժանում ենք 9-ի: Մենք ստանում ենք 81: Եվ մենք գիտենք այս թիվը: Մենք գրում ենք.

Ամեն ինչ պարզվեց հեշտ և էլեգանտ: Արմատը պետք էր մաս առ մաս հեռացնել, լավ, լավ: Դա կարելի է անել ցանկացածի հետ մեծ թվեր. Բազմացրե՛ք դրանք և գնացե՛ք։

Ի դեպ, ինչո՞ւ պետք չէր բաժանել 3-ի, գուշակեցի՞ք։ Այո, քանի որ երեքի արմատը ճիշտ չի հանվում: Իմաստ ունի քայքայվել այնպիսի գործոնների մեջ, որ գոնե մեկ արմատը լավ արդյունահանվի։ Դա 4, 9, 16 լավ է և այլն: Ձեր ահռելի թիվը հերթով բաժանեք այս թվերի վրա, տեսնում եք, և դուք հաջողակ եք:

Բայց ոչ պարտադիր: Միգուցե բախտավոր չէ: Ենթադրենք, 432 թիվը, երբ գործակցվի և օգտագործվի արտադրանքի արմատային բանաձևը, կտա հետևյալ արդյունքը.

Դե, լավ: Մենք ամեն դեպքում պարզեցրել ենք արտահայտությունը: Մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է արմատի տակ թողնել հնարավորինս փոքր թիվը։ Լուծման գործընթացում ամեն ինչ կախված է օրինակից (գուցե ամեն ինչ կրճատվում է առանց պարզեցման), բայց պատասխանում պետք է տալ մի արդյունք, որը հնարավոր չէ ավելի պարզեցնել։

Ի դեպ, գիտե՞ք, թե հիմա ինչ ենք արել 432-ի արմատի հետ։

Մենք արմատի նշանի տակից հանել գործոններ ! Այդպես է կոչվում այս գործողությունը։ Եվ հետո խնդիրը կընկնի. հանել գործոնը արմատի նշանի տակից«Բայց տղամարդիկ նույնիսկ չգիտեն։) Ահա ևս մեկ օգուտ ձեզ համար արմատային հատկություններ.Օգտակար բան հինգերորդ.

Ինչպե՞ս հանել բազմապատկիչը արմատի տակից:

Հեշտությամբ. Գործոնացրեք արմատային արտահայտությունը և հանեք արդյունահանվող արմատները: Մենք նայում ենք.

Ոչ մի գերբնական բան: Կարևոր է ընտրել ճիշտ բազմապատկիչներ: Այստեղ մենք քայքայել ենք 72-ը որպես 36 2: Եվ ամեն ինչ լավ ստացվեց։ Կամ նրանք կարող էին այն այլ կերպ քայքայել՝ 72 = 6 12: Եւ ինչ!? Ո՛չ 6-ից, ո՛չ 12-ից արմատ չի հանվում։ Ինչ անել?!

Ամեն ինչ կարգին է. Կամ փնտրեք տարրալուծման այլ տարբերակներ, կամ շարունակեք ամեն ինչ մինչև վերջ դնել: Սրա նման:

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ ստացվեց։ Սա, ի դեպ, ոչ թե ամենաարագ, այլ ամենահուսալի միջոցն է։ Թիվը տարրալուծեք ամենափոքր գործոնների, այնուհետև հավաքեք նույնը կույտերով: Մեթոդը հաջողությամբ կիրառվում է նաև անհարմար արմատները բազմապատկելիս։ Օրինակ, դուք պետք է հաշվարկեք.

Բազմապատկեք ամեն ինչ, դուք ստանում եք խելագար թիվ: Եվ հետո ինչպե՞ս արմատը հանել դրանից: Կրկին բազմապատկե՞լ: Ոչ, մեզ լրացուցիչ աշխատանք պետք չէ։ Մենք անմիջապես քայքայվում ենք գործոնների և նույնը հավաքում կույտերով.

Այսքանը: Իհարկե, պետք չէ կանգառ դնել: Ամեն ինչ որոշվում է ձեր անձնական ունակություններով։ Օրինակը բերեց մի վիճակ, որտեղ ձեզ համար ամեն ինչ պարզ էայնպես որ դուք արդեն կարող եք հաշվել: Գլխավորը սխալներ թույլ չտալն է։ Ոչ թե մարդ մաթեմատիկայի համար, այլ մաթեմատիկա տղամարդու համար:)

Կիրառե՞նք գիտելիքները պրակտիկային։ Սկսենք պարզից.

Քառակուսի արմատներ ավելացնելու կանոն

Քառակուսի արմատների հատկությունները

Մինչ այժմ մենք թվերի վրա հինգ թվաբանական գործողություն ենք կատարել՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանումը և աստիճանավորումը և այդ գործողությունների տարբեր հատկությունները ակտիվորեն օգտագործվում էին հաշվարկներում, օրինակ՝ a + b = b + a, և n -b n = (ab) n և այլն:

Այս գլխում ներկայացվում է նոր գործողություն՝ վերցնելով ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը: Այն հաջողությամբ օգտագործելու համար դուք պետք է ծանոթանաք այս գործողության հատկություններին, ինչը մենք կանենք այս բաժնում։

Ապացույց. Ներկայացնենք հետևյալ նշումը.
Մենք պետք է դա ապացուցենք բացասական թվեր x, y, z, x = yz.

Այսպիսով, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b: Այնուհետև x 2 \u003d y 2 z 2, այսինքն x 2 \u003d (yz) 2:

Եթե քառակուսիներերկու ոչ բացասական թվեր հավասար են, այնուհետև թվերն իրենք են հավասար, ինչը նշանակում է, որ x 2 \u003d (yz) 2 հավասարությունից հետևում է, որ x \u003d yz, և դա պահանջվում էր ապացուցել:

Մենք տալիս ենք թեորեմի ապացույցի համառոտ գրառումը.

Դիտողություն 1. Թեորեմը ուժի մեջ է մնում այն դեպքում, երբ արմատական արտահայտությունը երկուից ավելի ոչ բացասական գործոնների արտադրյալ է։

Դիտողություն 2. Թեորեմ 1-ը կարելի է գրել «եթե. , ապա» (ինչպես ընդունված է մաթեմատիկայի թեորեմների համար): Տալիս ենք համապատասխան ձևակերպում. եթե a-ն և b-ը ոչ բացասական թվեր են, ապա հավասարությունը .

Այսպես ձևակերպում ենք հետևյալ թեորեմը.

(Կարճ ձևակերպում, որն ավելի հարմար է գործնականում օգտագործելու համար. կոտորակի արմատը հավասար է արմատների կոտորակին, կամ գործակցի արմատը հավասար է արմատների գործակցին):

Այս անգամ մենք կտրամադրենք միայն հակիրճ ապացույցը, և դուք կարող եք փորձել անել համապատասխան մեկնաբանություններ, որոնք նման են թեորեմ 1-ի ապացուցման էությանը:

Օրինակ 1. Հաշվել.
Լուծում. Օգտագործելով առաջին գույքը քառակուսի արմատներ(Թեորեմ 1), մենք ստանում ենք

Դիտողություն 3. Իհարկե, այս օրինակը կարելի է լուծել այլ կերպ, հատկապես, եթե ձեռքի տակ ունեք հաշվիչ՝ բազմապատկեք 36, 64, 9 թվերը, ապա վերցրեք ստացված արդյունքի քառակուսի արմատը։ Այնուամենայնիվ, կհամաձայնեք, որ վերը ներկայացված լուծումն ավելի մշակութային տեսք ունի:

Դիտողություն 4. Առաջին մեթոդով մենք իրականացրել ենք գլխի հաշվարկներ։ Երկրորդ ճանապարհն ավելի էլեգանտ է.
մենք դիմել ենք բանաձեւը a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) և օգտագործեց քառակուսի արմատների հատկությունը:

Դիտողություն 5. Որոշ «տաք գլուխներ» երբեմն առաջարկում են հետևյալ «լուծումը» օրինակ 3-ին.

Սա, իհարկե, ճիշտ չէ. տեսնում եք, արդյունքը նույնը չէ, ինչ մեր օրինակ 3-ում: Փաստն այն է, որ սեփականություն չկա: որպես ոչ և հատկություններ Կան միայն հատկություններ, որոնք վերաբերում են քառակուսի արմատների բազմապատկմանը և բաժանմանը: Եղե՛ք զգույշ և զգույշ, մի՛ ընդունեք ցանկական մտքեր։

Օրինակ 4. Հաշվիր՝ ա)
Լուծում. Հանրահաշվում ցանկացած բանաձև օգտագործվում է ոչ միայն «աջից ձախ», այլև «ձախից աջ»: Այսպիսով, քառակուսի արմատների առաջին հատկությունը նշանակում է, որ անհրաժեշտության դեպքում այն կարող է ներկայացվել որպես , և հակառակը, որը կարող է փոխարինվել նույնը վերաբերում է քառակուսի արմատների երկրորդ հատկությանը: Սա հաշվի առնելով՝ լուծենք առաջարկվող օրինակը։

Եզրափակելով պարբերությունը, մենք նշում ենք ևս մեկ բավականին պարզ և միևնույն ժամանակ կարևոր հատկություն.
եթե a > 0 և n - բնական թիվ, Դա

Օրինակ 5Հաշվիր , առանց թվերի քառակուսիների աղյուսակի և հաշվիչի օգտագործման։

Լուծում. Եկեք տարանջատենք արմատային թիվը պարզ գործոնների.

Դիտողություն 6. Այս օրինակը կարող է լուծվել այնպես, ինչպես § 15-ի նմանատիպ օրինակը: Հեշտ է կռահել, որ պատասխանը կլինի «80 պոչով», քանի որ 80 2 2: Եկեք գտնենք «պոչը», այսինքն՝ ցանկալի թվի վերջին նիշը։ Առայժմ մենք գիտենք, որ եթե արմատը հանված է, ապա պատասխանը կարող է լինել 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 կամ 89: Միայն երկու թիվ է պետք ստուգել՝ 84 և 86, քանի որ միայն նրանք, երբ քառակուսի է, արդյունք կտա քառանիշ 6-ով վերջացող թիվ, այսինքն. նույն թվանշանը, որն ավարտվում է 7056 թվով: Մենք ունենք 84 2 \u003d 7056, սա այն է, ինչ մեզ անհրաժեշտ է: Նշանակում է,

Մորդկովիչ Ա.Գ., Հանրահաշիվ. Դասարան 8: Պրոց. հանրակրթության համար հաստատություններ.- 3-րդ հրատ., ամփոփված. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 էջ: հիվանդ.

Գրքեր, մաթեմատիկայի դասագրքեր ներբեռնում, ռեֆերատ՝ օգնելու ուսուցչին և ուսանողներին, սովորել առցանց

Եթե ունեք ուղղումներ կամ առաջարկություններ այս դասի համար, գրեք մեզ:

Եթե ցանկանում եք տեսնել դասերի այլ ուղղումներ և առաջարկներ, տես այստեղ՝ Կրթական ֆորում:

Ինչպես ավելացնել քառակուսի արմատները

Թվի քառակուսի արմատը Xհամար է կանչել Ա, որն ինքն իրենով բազմանալու գործընթացում ( Ա*Ա) կարող է թիվ տալ X.
Նրանք. A * A = A 2 = X, Եվ √X = Ա.

Քառակուսի արմատներից ( √x), ինչպես մյուս թվերի դեպքում, դուք կարող եք կատարել թվաբանական գործողություններ, ինչպիսիք են հանումը և գումարումը: Արմատները հանելու և ավելացնելու համար դրանք պետք է միացվեն այս գործողություններին համապատասխանող նշանների միջոցով (օրինակ √x - √ տ ).
Եվ հետո արմատները բերեք նրանց ամենապարզ ձևը- եթե նրանց միջև կան նմանատիպեր, ապա անհրաժեշտ է գիպս պատրաստել: Այն բաղկացած է նրանից, որ համանման տերմինների գործակիցները վերցվում են համապատասխան տերմինների նշաններով, այնուհետև դրանք փակցվում են փակագծերում և ընդհանուր արմատը ցուցադրվում է բազմապատկիչ փակագծերից դուրս։ Մեր ստացած գործակիցը պարզեցված է սովորական կանոններով։

Քայլ 1. Քառակուսի արմատների արդյունահանում

Նախ, քառակուսի արմատներ ավելացնելու համար նախ պետք է հանել այս արմատները: Դա կարելի է անել, եթե արմատի նշանի տակ թվերը կատարյալ քառակուսիներ են: Օրինակ վերցրեք տրված արտահայտությունը √4 + √9 . Առաջին համարը 4 թվի քառակուսին է 2 . Երկրորդ համարը 9 թվի քառակուսին է 3 . Այսպիսով, կարելի է ստանալ հետևյալ հավասարությունը. √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Ամեն ինչ, օրինակը լուծված է։ Բայց միշտ չէ, որ այդպես է լինում։

Քայլ 2. Արմատի տակից հանելով թվի բազմապատկիչը

Եթե արմատի նշանի տակ լրիվ քառակուսիներ չկան, կարող եք փորձել արմատական նշանի տակից հանել թվի բազմապատկիչը։ Օրինակ, վերցրեք արտահայտությունը √24 + √54 .

Եկեք ֆակտորիզացնենք թվերը.
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Ի թիվս 24 մենք ունենք բազմապատկիչ 4 , այն կարելի է հանել քառակուսի արմատի նշանի տակից։ Ի թիվս 54 մենք ունենք բազմապատկիչ 9 .

Մենք ստանում ենք հավասարություն.
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Նկատի ունենալով այս օրինակը՝ ստանում ենք գործոնի հեռացում արմատի նշանի տակից՝ դրանով իսկ պարզեցնելով տրված արտահայտությունը։

Քայլ 3. Հայտարարի կրճատում

Դիտարկենք հետևյալ իրավիճակը. երկու քառակուսի արմատների գումարը կոտորակի հայտարարն է, օրինակ. A / (√a + √b).
Հիմա մեր առջեւ խնդիր է դրված «ձերբազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից»։
Կիրառենք հետևյալ մեթոդը՝ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք արտահայտությամբ. √a - √b.

Այժմ մենք ստանում ենք կրճատված բազմապատկման բանաձևը հայտարարի մեջ.
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Նմանապես, եթե հայտարարը պարունակում է արմատների տարբերությունը. √a - √b, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են արտահայտությամբ √a + √b.

Որպես օրինակ վերցնենք կոտորակը.
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Բարդ հայտարարի կրճատման օրինակ

Հիմա բավականաչափ համարենք բարդ օրինակիռացիոնալությունից ազատվել հայտարարի մեջ.

Որպես օրինակ վերցնենք կոտորակը. 12 / (√2 + √3 + √5) .
Դուք պետք է վերցնեք դրա համարիչը և հայտարարը և բազմապատկեք արտահայտությամբ √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Քայլ 4. Հաշվեք հաշվիչի մոտավոր արժեքը

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է միայն մոտավոր արժեք, ապա դա կարելի է անել հաշվիչի վրա՝ հաշվարկելով քառակուսի արմատների արժեքը: Առանձին-առանձին, յուրաքանչյուր թվի համար արժեքը հաշվարկվում և գրանցվում է պահանջվող ճշգրտությամբ, որը որոշվում է տասնորդական տեղերի քանակով: Այնուհետև կատարվում են բոլոր անհրաժեշտ գործողությունները, ինչպես սովորական թվերի դեպքում:

Մոտավոր հաշվարկի օրինակ

Անհրաժեշտ է հաշվարկել այս արտահայտության մոտավոր արժեքը √7 + √5 .

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ոչ մի դեպքում չպետք է քառակուսի արմատներ ավելացնել, ինչպես պարզ թվեր, սա միանգամայն անընդունելի է։ Այսինքն, եթե գումարեք հինգի և երեքի քառակուսի արմատը, մենք չենք կարող ստանալ ութի քառակուսի արմատը։

Օգտակար խորհուրդ. եթե որոշել եք թիվը ֆակտորիզացնել, արմատի նշանի տակից քառակուսի հանելու համար անհրաժեշտ է կատարել հակադարձ ստուգում, այսինքն՝ բազմապատկել բոլոր այն գործոնները, որոնք ստացվել են հաշվարկներից և դրա վերջնական արդյունքը. մաթեմատիկական հաշվարկը պետք է լինի այն թիվը, որը մեզ սկզբում տրվել է:

Գործողություն արմատներով՝ գումարում և հանում

Թվի քառակուսի արմատ հանելը միակ գործողությունը չէ, որ կարելի է կատարել այս մաթեմատիկական երևույթի հետ։ Ինչպես սովորական թվերը, այնպես էլ քառակուսի արմատները կարելի է գումարել և հանել:

Քառակուսի արմատներ գումարելու և հանելու կանոններ

Քառակուսի արմատ ավելացնելն ու հանելը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատային արտահայտությունը նույնն է:

Դուք կարող եք ավելացնել կամ հանել արտահայտությունները 2 3 և 6 3, բայց ոչ 5 6 Եվ 9 4 . Եթե կարելի է արտահայտությունը պարզեցնել և արմատների բերել նույն արմատային թվով, ապա պարզեցնել, հետո գումարել կամ հանել։

Արմատային գործողություններ. հիմունքներ

6 50 — 2 8 + 5 12

Պարզեցնել արմատային արտահայտությունը. Դրա համար անհրաժեշտ է արմատային արտահայտությունը տարրալուծել 2 գործոնի, որոնցից մեկը քառակուսի թիվ է (թիվը, որից հանվում է ամբողջ քառակուսի արմատը, օրինակ՝ 25 կամ 9)։
Այնուհետև պետք է վերցնել քառակուսի թվի արմատըև ստացված արժեքը գրի՛ր արմատային նշանից առաջ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երկրորդ գործոնը մուտքագրվում է արմատային նշանի տակ:
Պարզեցման գործընթացից հետո անհրաժեշտ է արմատները ընդգծել նույն արմատական արտահայտություններով՝ միայն դրանք կարելի է ավելացնել և հանել։
Նույն արմատական արտահայտություններով արմատների համար անհրաժեշտ է գումարել կամ հանել արմատային նշանին նախորդող գործոնները։ Արմատային արտահայտությունը մնում է անփոփոխ: Մի գումարեք կամ հանեք արմատային թվերը:

Եթե դուք ունեք մի օրինակ շատ նույնական արմատական արտահայտություններով, ապա ընդգծեք նման արտահայտությունները մեկ, կրկնակի և եռակի տողերով, որպեսզի հեշտացնեք հաշվարկի գործընթացը:

Փորձենք այս օրինակը.

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2: Նախ պետք է 50-ը քայքայել 2 գործոնի 25-ի և 2-ի, հետո վերցնել 25-ի արմատը, որը 5-ն է, իսկ արմատի տակից հանել 5-ը։ Դրանից հետո անհրաժեշտ է 5-ը բազմապատկել 6-ով (բազմապատկիչը արմատից) և ստանալ 30 2:

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2: Նախ պետք է 8-ը քայքայել 2 գործոնի՝ 4-ի և 2-ի, այնուհետև 4-ից հանել արմատը, որը հավասար է 2-ի, իսկ արմատի տակից հանել 2-ը։ Դրանից հետո պետք է 2-ը բազմապատկել 2-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 4 2:

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3: Նախ պետք է 12-ը քայքայել 2 գործոնի՝ 4-ի և 3-ի: Այնուհետև 4-ից հանել արմատը, որը 2-ն է, և հանել արմատի տակից: Դրանից հետո անհրաժեշտ է 2-ը բազմապատկել 5-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 10 3:

Պարզեցման արդյունք. 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Արդյունքում մենք տեսանք, թե որքան նույնական արմատական արտահայտություններ կան այս օրինակում: Հիմա եկեք պարապենք այլ օրինակներով։

Պարզեցնել (45) . Մենք գործոնացնում ենք 45. (45) = (9 × 5) ;
Արմատի տակից հանում ենք 3-ը (9 \u003d 3)՝ 45 \u003d 3 5;
Արմատներում ավելացնում ենք գործոնները՝ 3 5 + 4 5 = 7 5:
Պարզեցում 6 40 . Մենք գործոնացնում ենք 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
Արմատի տակից հանում ենք 2-ը (4 \u003d 2)՝ 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Բազմապատկում ենք այն գործոնները, որոնք գտնվում են արմատի դիմաց՝ 12 10;
Արտահայտությունը գրում ենք պարզեցված ձևով՝ 12 10 - 3 10 + 5;
Քանի որ առաջին երկու անդամներն ունեն նույն արմատային թվերը, մենք կարող ենք դրանք հանել՝ (12 - 3) 10 = 9 10 + 5:

Ինչպես տեսնում ենք, հնարավոր չէ պարզեցնել արմատական թվերը, հետևաբար օրինակում փնտրում ենք նույն արմատական թվերով անդամներ, կատարում մաթեմատիկական գործողություններ (գումարում, հանում և այլն) և արդյունքը գրում.

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Խորհուրդ.

Նախքան գումարելը կամ հանելը, անհրաժեշտ է պարզեցնել (հնարավորության դեպքում) արմատական արտահայտությունները:
Տարբեր արմատային արտահայտություններով արմատներ ավելացնելն ու հանելը խստիվ արգելվում է։
Մի գումարեք կամ հանեք ամբողջ թիվ կամ քառակուսի արմատ՝ 3 + (2 x) 1/2:
Կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս պետք է գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա, այնուհետև կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, ապա գումարել համարիչները, իսկ հայտարարները թողնել անփոփոխ։

Թվաբանական քառակուսի արմատի հատկությունները. Թվաբանական քառակուսի արմատի հզորությունը

Թվաբանական քառակուսի արմատների փոխակերպում. Քառակուսի արմատների թվաբանական փոխարկում

Քաղվածք հանելու համար բազմանդամի քառակուսի արմատ, անհրաժեշտ է հաշվել բազմանդամը և ստացված թվից հանել արմատը։

Ուշադրություն.Յուրաքանչյուր տերմինից (կրճատված և հանված) արմատը առանձին հանել հնարավոր չէ։

Շչոբը հաղթելու համար բազմանդամի քառակուսի արմատ, պահանջն է՝ հաշվարկել հարուստ անդամը և հանված թվից վերցնել արմատը։

Հարգանք.Անհնար է արմատը հանել մաշկի հավելումից (փոփոխված և տեսանելի) OKremo-ից:

Արտադրանքի քառակուսի արմատը հանելու համար (քանակավոր), կարող եք հաշվարկել յուրաքանչյուր գործոնի քառակուսի արմատը (շահաբաժին և բաժանարար), և ստացված արժեքները վերցնել արտադրյալով (քանակով):

Դոբուտկայի քառակուսի արմատը շահելու համար (մասեր), կարող եք հաշվարկել մաշկի բազմապատկիչի քառակուսի արմատը (բաժանված և դիլնիկ), իսկ արժեքը հանել՝ ընդունելով լրացուցիչ (հաճախակի):

Վերցնել կոտորակի քառակուսի արմատը, անհրաժեշտ է համարիչի և հայտարարի քառակուսի արմատը հանել առանձին, իսկ ստացված արժեքները թողնել որպես կոտորակ կամ հաշվարկել որպես գործակից (եթե հնարավոր է ըստ պայմանի):

Կոտորակի քառակուսի արմատը շահելու համար, պետք է վերցնել թվագրքի քառակուսի արմատը և օկրեմոյի դրոշակը և կոտորակի արժեքը զրկել կոտորակի արժեքից կամ հաշվել որպես մաս (ինչպես դա հնարավոր է մտքի համար):

Արմատային նշանի տակից կարելի է գործոն հանել և արմատային նշանի տակ գործոն ներմուծել։ Երբ գործոնը հանվում է, դրանից արմատը հանվում է, իսկ ներմուծվելիս՝ բարձրացվում է համապատասխան հզորության։

3-րդ արմատային նշանը կարելի է բազմապատկել, իսկ արմատային նշանը՝ բազմապատկել։ Բազմապատկիչի մեղքով արմատները ոլորվում են, իսկ ներդրմամբ՝ արմատները կառուցվում են ավելի բարձր ոտքերի մոտ։

Օրինակներ. Դիմել

Քառակուսի արմատների գումարը (տարբերությունը) փոխարկելու համար անհրաժեշտ է արմատային արտահայտությունները հասցնել աստիճանի մեկ հիմքի, հնարավորության դեպքում արմատները հանել աստիճաններից և գրել դրանք արմատների նշաններից առաջ, իսկ մնացած քառակուսի արմատները՝ կարելի է ավելացնել նույն արմատային արտահայտությունները, որոնց համար գործակիցները գումարվում են նշանի արմատից առաջ և ավելացվում նույն քառակուսի արմատը։

Քառակուսի արմատների գումարը (արժեքը) վերակազմավորելու համար անհրաժեշտ է ենթարմատային արմատները բերել աստիճանի հիմքերից մեկին, քանի որ դա հնարավոր է, կատարել արմատային քայլերը և դրանք գրել նախքան նշանների նշանները. արմատները, իսկ քառակուսի արմատները կարող եք լուծել նույն արմատային արմատներով գումարվելով, որոնց համար գործակիցները գումարվում են արմատի նշանի դիմաց և ավելացնում նույն քառակուսի արմատը։

Բոլոր արմատական արտահայտությունները բերում ենք 2-րդ հիմքին:

Զույգ աստիճանից արմատն ամբողջությամբ հանվում է, կենտ աստիճանից՝ 1 աստիճանի հիմքի արմատը մնում է արմատի նշանի տակ։

Տալիս ենք միանման ամբողջ թվեր և գումարում ենք նույն արմատներով գործակիցները։ Երկանդամը գրում ենք որպես թվի արտադրյալ և գումարի երկանդամ:

Վիրազիի բոլոր ենթ արմատները բերեք 2-րդ հիմքին:

Զույգ փուլից արմատները գծվում են անընդմեջ, չզույգված փուլից 1-ին փուլի հիմքի արմատները լցվում են արմատի նշանի տակ։

Առաջարկվում է նույն արմատներին գումարել համանման թվեր և գործակիցներ։ Երկանդամը գրում ենք որպես սումի երկանդամի i թվի լրացում։

Արմատական արտահայտությունները բերում ենք ամենափոքր հիմքին կամ ամենափոքր հիմքերով հզորությունների արտադրյալին։ Արմատը հանում ենք ռադիկալ արտահայտությունների հավասար աստիճաններից, մնացորդները թողնում ենք աստիճանի հիմքի տեսքով՝ 1 ցուցիչով կամ նման հիմքերի արտադրյալով արմատի նշանի տակ։ Մենք տալիս ենք նմանատիպ տերմիններ (ավելացնում ենք նույն արմատների գործակիցները):

Վիրազիի արմատը տանում ենք դեպի ամենափոքր հիմքը կամ ամենափոքր հիմքերով քայլերի ավելացումը։ Վիրազի արմատների տակ գտնվող գոլորշու աստիճաններից վերցվում են արմատները, 1-ին ցուցիչով աստիճանի հիմքում ավելցուկը կամ նման հիմքերի ավելացումը լրացվում է արմատի նշանի տակ։ Առաջարկում ենք նմանատիպ տերմիններ (գումարում ենք նույն արմատների գործակիցները)։

Կոտորակների բաժանումը փոխարինենք բազմապատկմամբ (երկրորդ կոտորակի փոխարինմամբ փոխադարձով)։ Առանձին-առանձին բազմապատկեք համարիչները և հայտարարները: Արմատի յուրաքանչյուր նշանի տակ մենք ընդգծում ենք աստիճանները: Չեղարկենք համարիչի և հայտարարի նույն գործոնները։ Մենք արմատներ ենք հանում նույնիսկ ուժերից:

Կոտորակների բաժանումը փոխարինում ենք բազմապատկմամբ (մեկ այլ կոտորակի փոխարինում վերադարձով): Բազմապատկեք okremo թվերը և կոտորակների դրոշակները: Արմատի մաշկային նշանի տակ քայլերը տեսանելի են։ Մենք կարագացնենք նույն բազմապատկիչները թվագրքում և դրոշակում: Մեղադրեք զույգ քայլերի արմատը:

Երկու քառակուսի արմատները համեմատելու համար, դրանց արմատական արտահայտությունները պետք է կրճատվեն միևնույն հիմքով աստիճանի, ապա որքան շատ ցույց տրվեն արմատական արտահայտության աստիճանները, այնքան մեծ կլինի քառակուսի արմատի արժեքը։

Այս օրինակում արմատական արտահայտությունները չեն կարող կրճատվել մեկ հիմքի, քանի որ հիմքը առաջինում 3 է, իսկ երկրորդում՝ 3 և 7:

Համեմատության երկրորդ եղանակը արմատական արտահայտության մեջ արմատի գործակիցը մուտքագրելն է և արմատական արտահայտությունների թվային արժեքները համեմատելը: Քառակուսի արմատի համար որքան մեծ է արմատային արտահայտությունը, այնքան մեծ է արմատի արժեքը:

Երկու քառակուսի արմատներին համապատասխանելու համար, դրանց ենթաարմատները նույն հիմքով պետք է հասցվեն մակարդակի, մինչդեռ որքան մեծ է վիրուսի ենթարմատի աստիճանի ցուցանիշը, այնքան մեծ է քառակուսի արմատի արժեքը։

Այս դեպքում հնարավոր չէ մի հիմքի վրա բերել վիրազիի արմատային արմատները, քանի որ առաջինում հիմքը 3-ն է, իսկ մյուսում՝ 3-ը և 7-ը։

Հավասարեցնելու մեկ այլ միջոց է արմատային վիրուսի գործակիցը ավելացնելը և արմատային վիրուսի թվային արժեքները հավասարեցնելը: Քառակուսի արմատն ավելի շատ ենթարմատ ունի վիրազ, այնքան արմատի արժեքը։

Օգտագործելով բազմապատկման բաշխիչ օրենքը և միևնույն ցուցիչներով արմատները (մեր դեպքում՝ քառակուսի արմատները) բազմապատկելու կանոնը՝ ստացանք երկու քառակուսի արմատների գումարը՝ արմատի նշանի տակ գտնվող արտադրյալով։ Մենք 91-ը տարրալուծում ենք պարզ գործոնների և արմատը հանում փակագծերից՝ ընդհանուր արմատական գործակիցներով (13 * 5):

Ստացել ենք արմատի և երկանդամի արտադրյալը, որի միանդամներից մեկն ամբողջ թիվ է (1):

Բազմապատկման Vikoristovuyuchi rozpodilny օրենքը և նույն ցուցանիշներով արմատների բազմապատկման կանոնը (մեր դեպքում՝ քառակուսի արմատներ), վերցրեց երկու քառակուսի արմատների գումարը՝ արմատի լրացուցիչ նշանով: Մենք կարող ենք պարզ ձևով դասավորել 91 բազմապատկիչ և կամարների արմատը վերցնել արմատային բազմապատկիչներից (13 * 5):

Վերցրինք արմատի և երկուականի գումարում, որն ունի ամբողջ թվի միանդամներից մեկը (1):

Օրինակ 9:

Արմատական արտահայտություններում մենք գործոններով ընտրում ենք այն թվերը, որոնցից կարող ենք հանել ամբողջ քառակուսի արմատը։ Հզորներից հանում ենք քառակուսի արմատները և թվերը դնում քառակուսի արմատների գործակիցներով։

Այս բազմանդամի անդամներն ունեն ընդհանուր գործակից √3, որը կարելի է հանել փակագծերից։ Ներկայացնենք նմանատիպ տերմիններ.

Ենթարմատային վիրուսներում այն դիտվում է որպես թվի բազմապատկիչներ, որոնցից կարելի է վերցնել քառակուսի արմատը։ Մենք մեղադրում ենք քայլերի քառակուսի արմատներին և թվերը դնում ենք քառակուսի արմատների գործակիցներով։

Այս բազմանդամի պայմանները ունեն ընդհանուր բազմապատկիչ √3, որը կարելի է մեղադրել բազուկների համար: Առաջարկում ենք նմանատիպ դոդանկիներ։

Երկուսի գումարի և տարբերության արտադրյալը նույն հիմքերը(3 և √5)՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը, կարելի է գրել որպես հիմքերի քառակուսիների տարբերություն։

Քառակուսի արմատը միշտ հավասար է արմատական արտահայտությանը, ուստի մենք կազատվենք արտահայտության մեջ արմատականից (արմատի նշան):

Արագ բազմապատկման բանաձևից երկու միանման հիմքերի (3 і √5) գումարը և տարբերությունը կարելի է գրել որպես քառակուսի հիմքերի տարբերություն։

Քառակուսու զավժդ քառակուսի արմատը հավասար է ենթարմատային վիրուսին, ուստի կանվանենք վիրուսի արմատական (արմատային նշան):

Վերադառնալ դպրոց. Արմատների ավելացում

Մեր օրերում ժամանակակից էլեկտրոն համակարգիչներթվի արմատի հաշվարկը ներկայացված չէ դժվար առաջադրանք. Օրինակ՝ √2704=52, ցանկացած հաշվիչ սա կհաշվի ձեզ համար: Բարեբախտաբար, հաշվիչը ոչ միայն Windows-ում է, այլև սովորական, նույնիսկ ամենապարզ հեռախոսում։ Ճիշտ է, եթե հանկարծ (հավանականության փոքր աստիճանով, որի հաշվարկը, ի դեպ, ներառում է արմատների ավելացում) դուք հայտնվեք առանց հասանելի միջոցների, ապա, ավաղ, ստիպված կլինեք ապավինել միայն ձեր ուղեղին։

Մտքի մարզումը երբեք չի ձախողվում: Հատկապես նրանց համար, ովքեր այդքան հաճախ չեն աշխատում թվերի հետ, իսկ առավել եւս՝ արմատներով։ Արմատներ ավելացնելն ու հանելը լավ մարզանք է ձանձրալի մտքի համար: Եվ ես քայլ առ քայլ ցույց կտամ արմատների ավելացումը: Արտահայտությունների օրինակներ կարող են լինել հետևյալը.

Պարզեցման ենթակա հավասարումը հետևյալն է.

Սա իռացիոնալ արտահայտություն է։ Այն պարզեցնելու համար դուք պետք է կրճատեք բոլոր արմատական արտահայտությունները ընդհանուր տեսարան. Մենք դա անում ենք փուլերով.

Առաջին համարն այլևս չի կարելի պարզեցնել։ Անցնենք երկրորդ ժամկետին։

3√48 մենք գործոնացնում ենք 48-ը՝ 48=2×24 կամ 48=3×16: Քառակուսի արմատ 24-ից ամբողջ թիվ չէ, այսինքն. ունի կոտորակային մնացորդ։ Քանի որ մեզ անհրաժեշտ է ճշգրիտ արժեք, մոտավոր արմատները մեզ հարմար չեն: 16-ի քառակուսի արմատը 4 է, հանեք այն արմատի նշանի տակից։ Ստանում ենք՝ 3×4×√3=12×√3

Մեր հաջորդ արտահայտությունը բացասական է, այսինքն. գրված է մինուս նշանով -4×√(27.) Ֆակտորինգ 27. Ստանում ենք 27=3×9։ Մենք չենք օգտագործում կոտորակային գործակիցներ, քանի որ քառակուսի արմատը կոտորակներից ավելի դժվար է հաշվարկել։ Նշանի տակից հանում ենք 9-ը, այսինքն. հաշվարկել քառակուսի արմատը. Ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը՝ -4×3×√3 = -12×√3

Հաջորդ √128 անդամը հաշվարկում է այն մասը, որը կարելի է հանել արմատի տակից։ 128=64×2 որտեղ √64=8: Եթե դա հեշտացնում է ձեզ համար, կարող եք այս արտահայտությունը ներկայացնել այսպես. √128=√(8^2×2)

Մենք վերագրում ենք արտահայտությունը պարզեցված տերմիններով.

Այժմ գումարում ենք նույն արմատական արտահայտությամբ թվերը։ Դուք չեք կարող ավելացնել կամ հանել արտահայտություններ տարբեր արմատական արտահայտություններով: Արմատների ավելացումը պահանջում է համապատասխանություն այս կանոնին:

Ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

√2=1×√2 - Հուսով եմ, որ հանրահաշիվում ընդունված է բաց թողնել նման տարրերը ձեզ համար նորություն չի լինի:

Արտահայտությունները կարող են ներկայացվել ոչ միայն քառակուսի արմատներով, այլև խորանարդով կամ n-րդ արմատներով։

Տարբեր ցուցիչներով, բայց համարժեք արմատային արտահայտությամբ արմատների գումարումն ու հանումը տեղի է ունենում հետևյալ կերպ.

Եթե ունենք √a+∛b+∜b նման արտահայտություն, ապա կարող ենք պարզեցնել այս արտահայտությունն այսպես.

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Մենք կրճատել ենք երկու նմանատիպ տերմիններ արմատի ընդհանուր արտահայտիչին: Այստեղ օգտագործվել է արմատների հատկությունը, որն ասում է՝ եթե արմատական արտահայտության աստիճանի թիվը և արմատային ցուցիչի թիվը բազմապատկվեն նույն թվով, ապա դրա հաշվարկը կմնա անփոփոխ։

Նշում. ցուցիչները ավելացվում են միայն բազմապատկելիս:

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ կոտորակները առկա են արտահայտության մեջ:

Եկեք քայլ առ քայլ լուծենք.

5√8=5*2√2 - արդյունահանված մասը հանում ենք արմատի տակից։

Եթե արմատի մարմինը ներկայացված է կոտորակով, ապա հաճախ այդ կոտորակը չի փոխվի, եթե վերցվի դիվիդենտի և բաժանարարի քառակուսի արմատը։ Արդյունքում մենք ստացել ենք վերը նկարագրված հավասարությունը։

Ահա պատասխանը.

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել, այն է, որ զույգ ցուցիչ ունեցող արմատը չի հանվում բացասական թվերից: Եթե նույնիսկ աստիճանի արմատական արտահայտությունը բացասական է, ապա արտահայտությունն անլուծելի է:

Արմատների ավելացումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատական արտահայտությունները համընկնում են, քանի որ դրանք նման տերմիններ են։ Նույնը վերաբերում է տարբերությանը.

Տարբեր թվային ցուցիչներով արմատների ավելացումն իրականացվում է երկու տերմիններն էլ ընդհանուր արմատային աստիճանի իջեցնելով։ Այս օրենքը գործում է այնպես, ինչպես կրճատումը ընդհանուր հայտարարի կոտորակներ գումարելիս կամ հանելիս:

Եթե արմատական արտահայտությունը պարունակում է մի թիվ, որը հասցված է աստիճանի, ապա այս արտահայտությունը կարող է պարզեցվել, պայմանով, որ արմատի և ցուցիչի միջև կա ընդհանուր հայտարար:

Արտադրանքի և կոտորակի քառակուսի արմատը

a-ի քառակուսի արմատը այն թիվն է, որի քառակուսին a է: Օրինակ, -5 և 5 թվերը 25 թվի քառակուսի արմատներն են: Այսինքն, x^2=25 հավասարման արմատները 25 թվի քառակուսի արմատներն են: Այժմ դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել թվի հետ: քառակուսի արմատի գործողություն. ուսումնասիրել դրա հիմնական հատկությունները.

Արտադրանքի քառակուսի արմատը

√(a*b)=√a*√b

Երկու ոչ բացասական թվերի արտադրյալի քառակուսի արմատը, հավասար է արտադրանքինայս թվերի քառակուսի արմատները: Օրինակ՝ √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Կարևոր է հասկանալ, որ այս հատկությունը վերաբերում է նաև այն դեպքում, երբ արմատական արտահայտությունը երեքի, չորսի և այլնի արտադրյալն է։ ոչ բացասական բազմապատկիչներ.

Երբեմն այս հատկության մեկ այլ ձևակերպում կա. Եթե a-ն և b-ն ոչ բացասական թվեր են, ապա գործում է հետևյալ հավասարությունը՝ √(a*b) =√a*√b: Նրանց միջև բացարձակապես ոչ մի տարբերություն չկա, կարող եք օգտագործել կամ մեկը, կամ մյուս ձևակերպումը (որն ավելի հարմար է հիշել):

Կոտորակի քառակուսի արմատը

Եթե a>=0 և b>0, ապա ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը.

√(a/b)=√a/√b.

Օրինակ՝ √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Այս հատկությունն ունի նաև այլ ձևակերպում, իմ կարծիքով՝ ավելի հարմար հիշելու համար։
Քառակուսի արմատը հավասար է արմատների գործակցին:

Հարկ է նշել, որ այս բանաձևերը գործում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Այսինքն՝ անհրաժեշտության դեպքում մենք կարող ենք արմատների արտադրանքը ներկայացնել որպես արտադրանքի արմատ։ Նույնը վերաբերում է երկրորդ գույքին:

Ինչպես տեսնում եք, այս հատկությունները շատ հարմար են, և ես կցանկանայի ունենալ նույն հատկությունները գումարման և հանման համար.

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Բայց, ցավոք, նման հատկությունները քառակուսի են արմատներ չունեն, եւ այսպես չի կարելի անել հաշվարկներում:.

13. Քշել երթևեկության խաչմերուկներով 2018 առցանց մեկնաբանություններով 13.1. Աջ կամ ձախ թեքվելիս վարորդը պետք է ճանապարհը զիջի հետիոտներին և հեծանվորդներին, ովքեր անցնում են այն երթևեկելի հատվածը, որի վրա նա թեքվում է: Այս հրահանգը վերաբերում է բոլոր […]
Ծնողների ժողով«Ծնողների իրավունքներ, պարտականություններ և պարտականություններ» Դասի ներկայացում Ներբեռնեք ներկայացում (536.6 kB) Ուշադրություն. ՆախադիտումՍլայդները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել բոլոր […]
Տարածաշրջանային մայրության մայրաքաղաք Օրելի մարզում Տարածաշրջանային մայրության մայրաքաղաքը (ՄԿ) Օրելում և Օրյոլի մարզում ստեղծվել է 2011թ. Այժմ դա սոցիալական աջակցության լրացուցիչ միջոց է։ մեծ ընտանիքներմիանվագ կանխիկ գումարի տեսքով [...]
2018 թվականին վաղաժամ գրանցման համար միանվագ նպաստի չափը Ձեր հայցած էջը չի գտնվել: Հնարավոր է՝ սխալ հասցե եք մուտքագրել, կամ էջը հեռացվել է։ Օգտագործեք […]
Իրավաբան տնտեսական հարցերով Տնտեսական ոլորտում հանցագործությունները բավականին ծավալուն հասկացություն է։ Նման գործողությունները ներառում են խարդախություն, անօրինական բիզնես, փողերի լվացում, անօրինական բանկային […]
Կենտրոնական բանկի մամուլի ծառայություն Ռուսաստանի Դաշնություն(Ռուսաստանի բանկ) Մամուլի ծառայություն 107016, Մոսկվա, փող. Նեգլիննայա, 12www.cbr.ru Ժամանակավոր ադմինիստրացիայի նշանակման մասին Ռուսաստանի Բանկի արտաքին և հասարակայնության հետ կապերի վարչությունը տեղեկացնում է, որ համաձայն 2-րդ կետի […]
ընդհանուր բնութագրերըԵվ կարճ ակնարկջրային ուղիներ Ջրային ավազանների դասակարգում Հաճույքների (փոքր) նավերի նավարկության համար ջրային ավազանների դասակարգումը, որը վերահսկվում է Ռուսաստանի GIMS-ի կողմից, իրականացվում է կախված […]
Կուչերենա = Վիկտոր Ցոյի փաստաբանը Եվ սա բացառություն է՝ Անատոլի Կուչերենայի այսօրվա նամակը։ Թեմայի շարունակության մեջ. Այս նամակը դեռ ոչ ոք չի հրապարակել։ Եվ դա պետք է, կարծում եմ: Մաս 1-ն առայժմ. Շուտով կհրապարակեմ երկրորդ մասը՝ հայտնի իրավաբանի ստորագրությամբ։ Ինչու՞ է դա կարևոր: […]

Բարև կատուներ: Անցյալ անգամ մենք մանրամասն վերլուծեցինք, թե ինչ են արմատները (եթե չեք հիշում, խորհուրդ եմ տալիս կարդալ): Այդ դասի հիմնական եզրակացությունը՝ կա արմատների միայն մեկ ունիվերսալ սահմանում, որը դուք պետք է իմանաք։ Մնացածը անհեթեթություն է ու ժամանակի վատնում։

Այսօր մենք ավելի հեռուն ենք գնում: Մենք կսովորենք բազմապատկել արմատները, կուսումնասիրենք բազմապատկման հետ կապված որոշ խնդիրներ (եթե այս խնդիրները չլուծվեն, ապա դրանք կարող են ճակատագրական դառնալ քննության ժամանակ) և կվարժվենք պատշաճ կերպով։ Այսպիսով, կուտակեք ադիբուդի, ձեզ հարմարավետ դարձրեք, և մենք կսկսենք: :)

Դուք դեռ չեք ծխել, չէ՞:

Դասը բավականին ծավալուն ստացվեց, ուստի ես այն բաժանեցի երկու մասի.

Նախ, մենք կանդրադառնանք բազմապատկման կանոններին: Գլխարկը կարծես հուշում է. սա այն դեպքում, երբ կան երկու արմատներ, նրանց միջև կա «բազմապատկման» նշան, և մենք ուզում ենք ինչ-որ բան անել դրա հետ:
Այնուհետև կվերլուծենք հակառակ իրավիճակը. կա մեկ մեծ արմատ, և մենք անհամբերությամբ այն ներկայացնում էինք որպես երկու արմատների արդյունք ավելի պարզ ձևով։ Թե ինչ վախով է դա անհրաժեշտ, առանձին հարց է։ Մենք միայն կվերլուծենք ալգորիթմը։

Նրանց համար, ովքեր չեն համբերում անցնելու հենց Մաս 2-ին, ողջունում եք: Սկսենք մնացածից ըստ հերթականության։

Հիմնական բազմապատկման կանոն

Սկսենք ամենապարզից՝ դասական քառակուսի արմատներից: Նրանք, որոնք նշվում են $\sqrt(a)$-ով և $\sqrt(b)$-ով: Նրանց համար, ընդհանուր առմամբ, ամեն ինչ պարզ է.

բազմապատկման կանոն. Մեկ քառակուսի արմատը մյուսով բազմապատկելու համար պարզապես անհրաժեշտ է բազմապատկել դրանց արմատական արտահայտությունները և արդյունքը գրել ընդհանուր արմատականի տակ.

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Աջ կամ ձախ թվերի վրա լրացուցիչ սահմանափակումներ չեն դրվում. եթե կան բազմապատկիչ արմատներ, ապա գոյություն ունի նաև արտադրյալը։

Օրինակներ. Դիտարկենք թվերով միանգամից չորս օրինակ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, այս կանոնի հիմնական իմաստը իռացիոնալ արտահայտությունների պարզեցումն է: Եվ եթե առաջին օրինակում մենք առանց նոր կանոնների կհանեինք 25-ից և 4-ից արմատները, ապա թիթեղը սկսվում է. $\sqrt(32)$ և $\sqrt(2)$ ինքնուրույն չեն հաշվում, բայց նրանց արտադրյալը պարզվում է, որ ճշգրիտ քառակուսի է, ուստի դրա արմատը հավասար է ռացիոնալ թվի.

Առանձին-առանձին կցանկանայի նշել վերջին տողը. Այնտեղ երկու արմատական արտահայտություններն էլ կոտորակներ են։ Արտադրանքի շնորհիվ շատ գործոններ ջնջվում են, և ամբողջ արտահայտությունը վերածվում է համարժեք թվի։

Իհարկե, միշտ չէ, որ ամեն ինչ այդքան գեղեցիկ կլինի։ Երբեմն արմատների տակ լրիվ խայտառակություն կլինի - պարզ չէ, թե ինչ անել դրա հետ և ինչպես վերափոխել բազմապատկելուց հետո: Մի փոքր ուշ, երբ սկսեք ուսումնասիրել իռացիոնալ հավասարումները և անհավասարությունները, կլինեն բոլոր տեսակի փոփոխականներ և ընդհանրապես ֆունկցիաներ: Եվ շատ հաճախ, խնդիրները կազմողները պարզապես ակնկալում են այն փաստը, որ դուք կգտնեք որոշ պայմանագրային պայմաններ կամ գործոններ, որից հետո խնդիրը մեծապես կպարզեցվի:

Բացի այդ, պետք չէ ճիշտ երկու արմատ բազմացնել։ Կարող եք միանգամից երեքը բազմապատկել, չորսը՝ այո, նույնիսկ տասը: Սա չի փոխի կանոնը։ Նայել:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Եւ կրկին մի փոքրիկ նշումըստ երկրորդ օրինակի. Ինչպես տեսնում եք, երրորդ բազմապատկիչում արմատի տակ կա տասնորդական կոտորակ - հաշվարկների գործընթացում մենք այն փոխարինում ենք սովորականով, որից հետո ամեն ինչ հեշտությամբ կրճատվում է: Այսպիսով, ես խորհուրդ եմ տալիս ազատվել տասնորդական կոտորակներից ցանկացած իռացիոնալ արտահայտությունում (այսինքն, որը պարունակում է առնվազն մեկ արմատական պատկերակ): Սա ապագայում ձեզ շատ ժամանակ և նյարդեր կխնայի:

Բայց դա լիրիկական շեղում էր։ Այժմ դիտարկենք ավելի ընդհանուր դեպք. երբ արմատային ցուցիչը պարունակում է կամայական $n$ թիվ, և ոչ միայն «դասական» երկուսը:

կամայական ցուցանիշի դեպք

Այսպիսով, մենք պարզեցինք քառակուսի արմատները: Իսկ ինչ անել խորանարդի հետ: Կամ ընդհանրապես $n$ կամայական աստիճանի արմատներով։ Այո, ամեն ինչ նույնն է. Կանոնը մնում է նույնը.

$n$ աստիճանի երկու արմատները բազմապատկելու համար բավական է բազմապատկել դրանց արմատական արտահայտությունները, որից հետո արդյունքը գրվում է մեկ ռադիկալի տակ։

Ընդհանուր առմամբ, ոչ մի բարդ բան. Եթե հաշվարկների ծավալը կարող է ավելի շատ լինել։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակներ. Հաշվարկել ապրանքները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(3)))=\frac(4)(25): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Եվ կրկին ուշադրություն երկրորդ արտահայտության վրա. Մենք բազմապատկում ենք խորանարդի արմատները, ազատվում տասնորդական կոտորակից և արդյունքում ստանում ենք 625 և 25 թվերի արտադրյալը հայտարարի մեջ։Սա բավականին մեծ թիվ է, անձամբ ես անմիջապես չեմ հաշվարկի, թե ինչին է հավասար։ դեպի.

Հետևաբար, մենք պարզապես ընտրեցինք ճշգրիտ խորանարդը համարիչի և հայտարարի մեջ, այնուհետև օգտագործեցինք $n$th աստիճանի արմատի հիմնական հատկություններից մեկը (կամ, եթե ցանկանում եք, սահմանումը).

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\ձախ| ա\իրավունք|. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Նման «խաբեությունները» կարող են ձեզ շատ ժամանակ խնայել քննության կամ վերահսկողական աշխատանքուրեմն հիշիր.

Մի շտապեք արմատական արտահայտության մեջ թվերը բազմապատկել։ Նախ, ստուգեք՝ իսկ եթե որևէ արտահայտության ճշգրիտ աստիճանը «գաղտնագրված է»:

Այս դիտողության ողջ ակնհայտությամբ, պետք է խոստովանեմ, որ անպատրաստ ուսանողների մեծ մասը դատարկ կետով չի տեսնում ճշգրիտ աստիճանները: Փոխարենը, նրանք բազմապատկում են ամեն ինչ առջևում, և հետո մտածում. ինչու՞ են նրանք ստացել այդքան դաժան թվեր: :)

Սակայն այս ամենը մանկական խաղ է այն ամենի համեմատ, ինչ մենք հիմա կուսումնասիրենք։

Արմատների բազմապատկում տարբեր ցուցիչներով

Դե, հիմա մենք կարող ենք արմատները բազմապատկել նույն ցուցիչներով: Իսկ եթե միավորները տարբեր են: Ասա, ինչպե՞ս կարելի է սովորական $\sqrt(2)$-ը բազմապատկել $\sqrt(23)$-ով: Հնարավո՞ր է նույնիսկ դա անել:

Այո, իհարկե, կարող ես։ Ամեն ինչ արվում է այս բանաձևի համաձայն.

Արմատների բազմապատկման կանոն. $\sqrt[n](a)$-ը $\sqrt[p](b)$-ով բազմապատկելու համար պարզապես կատարեք հետևյալ փոխակերպումը.

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Այնուամենայնիվ, այս բանաձեւը գործում է միայն այն դեպքում, եթե Արմատական արտահայտությունները ոչ բացասական են. Սա շատ կարևոր դիտողություն է, որին կանդրադառնանք մի փոքր ուշ։

Առայժմ դիտարկենք մի քանի օրինակ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա: Հիմա եկեք պարզենք, թե որտեղից է առաջացել ոչ բացասական պահանջը, և ինչ կլինի, եթե մենք խախտենք այն: :)

Հեշտ է բազմապատկել արմատները:

Ինչու՞ արմատական արտահայտությունները պետք է լինեն ոչ բացասական:

Իհարկե, դուք կարող եք նման լինել դպրոցի ուսուցիչներև խելամտորեն մեջբերել դասագիրքը.

Ոչ բացասականության պահանջը կապված է զույգ և կենտ աստիճանների արմատների տարբեր սահմանումների հետ (համապատասխանաբար դրանց սահմանման տիրույթները նույնպես տարբեր են)։

Դե, ավելի պարզ դարձավ. Անձամբ ես, երբ 8-րդ դասարանում կարդացի այս անհեթեթությունը, ինքս ինձ համար այսպիսի բան հասկացա. «Ոչ բացասականության պահանջը կապված է *#&^@(*#@^#)~%-ի հետ», - մի խոսքով, ես. էն ժամանակ չէի հասկանում: :)

Ուրեմն հիմա ամեն ինչ նորմալ կբացատրեմ։

Նախ, եկեք պարզենք, թե որտեղից է գալիս վերը նշված բազմապատկման բանաձևը: Դա անելու համար թույլ տվեք հիշեցնել արմատի մեկ կարևոր հատկության մասին.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Այլ կերպ ասած, մենք կարող ենք ապահով կերպով բարձրացնել արմատային արտահայտությունը ցանկացած բնական հզորության $k$ - այս դեպքում արմատային ինդեքսը պետք է բազմապատկվի նույն հզորությամբ: Հետեւաբար, մենք հեշտությամբ կարող ենք նվազեցնել ցանկացած արմատը ընդհանուր ցուցանիշի, որից հետո մենք բազմապատկվում ենք: Այստեղից է գալիս բազմապատկման բանաձևը.

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((բ)^(n)))\]

Բայց կա մեկ խնդիր, որը խիստ սահմանափակում է այս բոլոր բանաձեւերի կիրառումը։ Հաշվի առեք այս թիվը.

Համաձայն նոր տրված բանաձևի՝ մենք կարող ենք ավելացնել ցանկացած աստիճան։ Փորձենք ավելացնել $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \աջ))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Մենք հանեցինք մինուսը հենց այն պատճառով, որ քառակուսին այրում է մինուսը (ինչպես ցանկացած այլ զույգ աստիճան): Եվ հիմա կատարենք հակառակ փոխակերպումը. «կրճատել» երկուսը ցուցիչով և աստիճանով: Ի վերջո, ցանկացած հավասարություն կարելի է կարդալ ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ա); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Բայց հետո ինչ-որ խենթ բան է տեղի ունենում.

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Սա չի կարող լինել, քանի որ $\sqrt(-5) \lt 0$ և $\sqrt(5) \gt 0$: Սա նշանակում է, որ նույնիսկ հզորությունների և բացասական թվերի դեպքում մեր բանաձևն այլևս չի գործում։ Դրանից հետո մենք ունենք երկու տարբերակ.

Պատի դեմ պայքարել՝ հայտարարելու, որ մաթեմատիկան հիմար գիտություն է, որտեղ «կան կանոններ կան, բայց դա անճշտություն է».
Ներդրեք լրացուցիչ սահմանափակումներ, որոնց համաձայն բանաձևը կդառնա 100% գործող:

Առաջին տարբերակում մենք ստիպված կլինենք անընդհատ բռնել «չաշխատող» դեպքեր. սա դժվար է, երկար և ընդհանրապես ֆու: Հետևաբար, մաթեմատիկոսները նախընտրեցին երկրորդ տարբերակը: :)

Բայց մի անհանգստացեք. Գործնականում այս սահմանափակումը ոչ մի կերպ չի ազդում հաշվարկների վրա, քանի որ նկարագրված բոլոր խնդիրները վերաբերում են միայն կենտ աստիճանի արմատներին, և դրանցից կարելի է հանել մինուսները։

Հետևաբար, մենք ձևակերպում ենք մեկ այլ կանոն, որն ընդհանուր առմամբ վերաբերում է արմատներով բոլոր գործողություններին.

Արմատները բազմապատկելուց առաջ համոզվեք, որ արմատական արտահայտությունները ոչ բացասական են։

Օրինակ. $\sqrt(-5)$ թվի մեջ դուք կարող եք հանել մինուսը արմատային նշանի տակից, ապա ամեն ինչ լավ կլինի.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Աջ սլաք \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Զգո՞ւմ եք տարբերությունը: Եթե արմատի տակ մինուս եք թողնում, ապա երբ ռադիկալ արտահայտությունը քառակուսի լինի, այն կվերանա, և կսկսվի խայտառակություն: Եվ եթե դուք նախ հանեք մինուս, ապա կարող եք նույնիսկ բարձրացնել / հեռացնել քառակուսի, մինչև ձեր դեմքը կապույտ լինի, թիվը կմնա բացասական: :)

Այսպիսով, արմատները բազմապատկելու առավել ճիշտ և հուսալի միջոցը հետևյալն է.

Հեռացրեք բոլոր մինուսները ռադիկալների տակից: Մինուսները միայն կենտ բազմապատկության արմատներում են. դրանք կարող են տեղադրվել արմատի դիմաց և, անհրաժեշտության դեպքում, կրճատվել (օրինակ, եթե կան այդ մինուսներից երկուսը):
Կատարե՛ք բազմապատկում այսօրվա դասում վերևում քննարկված կանոնների համաձայն: Եթե արմատների ցուցանիշները նույնն են, ապա պարզապես բազմապատկեք արմատային արտահայտությունները: Իսկ եթե դրանք տարբեր են, մենք օգտագործում ենք չար բանաձևը \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\]։
3. Մենք վայելում ենք արդյունքը և լավ գնահատականները: :)

Դե? Պարապե՞նք։

Օրինակ 1. Պարզեցնել արտահայտությունը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \վերջ (հավասարեցնել)\]

Սա ամենապարզ տարբերակն է՝ արմատների ցուցիչները նույնն են և տարօրինակ, խնդիրը միայն երկրորդ բազմապատկիչի մինուսում է։ Մենք դիմանում ենք այս մինուս նաֆիգին, որից հետո ամեն ինչ հեշտությամբ դիտարկվում է։

Օրինակ 2. Պարզեցնել արտահայտությունը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \աջ))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \աջ))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \վերջ( շարել)\]

Այստեղ շատերը կշփոթվեին այն փաստից, որ ելքը իռացիոնալ թիվ է ստացվել։ Այո, դա տեղի է ունենում. մենք չկարողացանք ամբողջովին ազատվել արմատից, բայց գոնե զգալիորեն պարզեցրինք արտահայտությունը։

Օրինակ 3. Պարզեցնել արտահայտությունը.

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( ա)^(4)) \աջ))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24))) = \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \վերջ (հավասարեցնել)\]

Սա այն է, ինչի վրա կցանկանայի ձեր ուշադրությունը հրավիրել: Այստեղ երկու կետ կա.

Արմատի տակ ոչ թե կոնկրետ թիվ կամ աստիճան կա, այլ $a$ փոփոխականը։ Առաջին հայացքից սա մի փոքր անսովոր է, բայց իրականում մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելիս ամենից հաճախ ստիպված կլինեք գործ ունենալ փոփոխականների հետ։
Ի վերջո, մեզ հաջողվեց արմատական արտահայտության մեջ «նվազեցնել» արմատական ցուցիչն ու աստիճանը։ Դա տեղի է ունենում բավականին հաճախ: Իսկ դա նշանակում է, որ հնարավոր է եղել զգալիորեն պարզեցնել հաշվարկները, եթե չօգտագործես հիմնական բանաձեւը։

Օրինակ, դուք կարող եք դա անել.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \աջ))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Փաստորեն, բոլոր փոխակերպումները կատարվել են միայն երկրորդ ռադիկալով։ Եվ եթե դուք մանրակրկիտ չեք նկարում բոլոր միջանկյալ քայլերը, ապա ի վերջո հաշվարկների քանակը զգալիորեն կնվազի։

Փաստորեն, վերևում մենք արդեն հանդիպել ենք նմանատիպ առաջադրանքի $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ օրինակը լուծելիս։ Այժմ կարելի է շատ ավելի հեշտ գրել.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \աջ))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \աջ))^(2))) =\sqrt(75): \վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, մենք պարզեցինք արմատների բազմապատկումը: Հիմա հաշվի առեք հակադարձ գործողությունը. ի՞նչ անել, երբ արմատի տակ գործ կա:

Դուք պետք է բարդ հաշվարկներ անեք, բայց ձեռքի տակ չկա՞ր էլեկտրոնային հաշվողական սարք: Օգտագործեք առցանց արմատային հաշվիչը: Նա կօգնի.

գտնել տրված թվերի քառակուսի կամ խորանարդ արմատները;
կատարել մաթեմատիկական գործողություն կոտորակային հզորություններով.

Տասնորդական տեղերի քանակը.

√

Ինչպես հաշվարկել քառակուսի արմատը ձեռքով - օգտագործեք ընտրության մեթոդը համապատասխան արժեքներ գտնելու համար: Տեսնենք, թե ինչպես դա անել:

Ինչ է քառակուսի արմատը

Արմատ nաստիճան բնական թիվ ա- թիվ, nորի աստիճանը հավասար է ա(արմատական համար): Արմատը նշվում է √ նշանով։ Նրան անվանում են արմատական։

Յուրաքանչյուր մաթեմատիկական գործողություն ունի ռեակցիա՝ գումարում → հանում, բազմապատկում → բաժանում, հզորացում → արմատից հանում։

Թվի քառակուսի արմատը ակլինի մի թիվ, որի քառակուսին հավասար է ա. Սրանից բխում է այն հարցի պատասխանը, թե ինչպես կարելի է հաշվել թվի արմատը։ Դուք պետք է ընտրեք մի թիվ, որը երկրորդ ուժի համար հավասար կլինի արմատի տակ գտնվող արժեքին:

Սովորաբար 2-ը չի գրվում արմատային նշանի վերեւում։ Քանի որ սա ամենափոքր հզորությունն է, և, համապատասխանաբար, եթե թիվ չկա, ապա ենթադրվում է ցուցիչ 2: Մենք որոշում ենք. , կստացվի 16.

Մենք հաշվարկները կատարում ենք ձեռքով

Պարզ գործակիցների ֆակտորինգի միջոցով հաշվարկները կատարվում են երկու եղանակով՝ կախված նրանից, թե որ արմատային թվից.

1. Ամբողջ թիվ, որը կարելի է չափել քառակուսի գործակիցների մեջ և ստանալ ճշգրիտ պատասխանը:

Քառակուսի թվերը թվեր են, որոնք կարող են արմատավորվել առանց մնացորդի: Գործոնները թվեր են, որոնք բազմապատկելով տալիս են սկզբնական թիվը։

Օրինակ:

25, 36, 49-ը քառակուսի թվեր են, քանի որ.

Ստացվում է, որ քառակուսի գործակիցները քառակուսի թվեր են:

Վերցնենք 784-ը և դրանից հանենք արմատը։

Թիվը բաժանում ենք քառակուսի գործակիցների։ 784 թիվը 4-ի բազմապատիկն է, ուստի առաջինը քառակուսի գործակից- 4 x 4 \u003d 16. 784-ը բաժանեք 16-ի և ստացեք 49, սա նույնպես քառակուսի թիվ է 7 x 7 \u003d 16:

Կիրառեք կանոնը

Վերցնում ենք յուրաքանչյուր քառակուսի գործոնի արմատը, արդյունքները բազմապատկում և ստանում պատասխանը։

Պատասխանել.

2. Անբաժանելի. Այն չի կարող տարրալուծվել քառակուսի գործոնների:

Նման օրինակներն ավելի տարածված են, քան ամբողջ թվերի դեպքում։ Դրանց լուծումը ստույգ, այլ կերպ ասած՝ ամբողջական չի լինելու։ Դա կլինի կոտորակային և մոտավոր։ Առաջադրանքը պարզեցնելու համար կօգնի արմատային թվի ընդլայնումը քառակուսի գործակցի և թվի, որից անհնար է հանել քառակուսի արմատը։

252 թիվը բաժանում ենք քառակուսու և կանոնավոր գործակցի։
Մենք գնահատում ենք արմատի արժեքը: Դա անելու համար մենք ընտրում ենք երկու քառակուսի թվեր, որոնք գտնվում են թվային քանոնի արմատական թվի առջևում և հետևում:	Արմատի թիվը 7 է։ Այսպիսով, ամենամոտ մեծ քառակուսի թիվը կլինի 8, իսկ փոքրը՝ 4։ 2-ի և 4-ի միջև:
Արժեքի գնահատում	Ամենայն հավանականությամբ, √7-ն ավելի մոտ է 2-ին, այն ընտրում ենք այնպես, որ երբ այս թիվը բազմապատկվի ինքն իրեն, ստացվի 7: 2,7 x 2,7 = 7,2: Հարմար չէ, քանի որ 7.2>7, մենք վերցնում ենք ավելի փոքր 2.6 x 2.6 = 6.76: Մենք հեռանում ենք, քանի որ 6.76 ~ 7.
Հաշվիր արմատը

Ինչպե՞ս հաշվարկել բարդ թվի արմատը: Նաև արմատի արժեքների գնահատման մեթոդով:

Սյունակի բաժանելիս ամենաճիշտ պատասխանը ստացվում է արմատը հանելիս։

Վերցրեք մի թերթիկ և նկարեք այն այնպես, որ ուղղահայաց գիծը լինի մեջտեղում, իսկ հորիզոնական գիծը նրա աջ կողմում և սկզբից ներքև։
Արմատային թիվը բաժանեք զույգ թվերի։ Տասնորդականներբաժանել այսպես. - ամբողջ մասը աջից ձախ; ձախից աջ տասնորդական կետից հետո թիվն է:	Օրինակ՝ 3459842.825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Թույլատրվում է, որ սկզբում լինի չզուգակցված թիվ։
Առաջին համարի (կամ զույգի) համար մենք ընտրում ենք ամենամեծ թիվը n. Դրա քառակուսին պետք է լինի փոքր կամ հավասար առաջին թվի (զույգ թվերի) արժեքին։ Վերցրեք այս թվի արմատը՝ √n: Ստացված արդյունքը գրեք վերևի աջ մասում, իսկ այս թվի քառակուսին` ներքևի աջ մասում: Մենք ունենք առաջին 7-ը: Մոտակա քառակուսի թիվը 4-ն է: Այն փոքր է 7-ից, իսկ 4 =
Առաջին թվից (զույգից) հանել n թվի գտնված քառակուսին: Արդյունքը գրանցեք 7-ի տակ: Իսկ աջ կողմի վերին թիվը կրկնապատկեք և աջ կողմում գրեք 4_х_=_ արտահայտությունը։ Նշում. Թվերը պետք է լինեն նույնը:
Արտահայտության համար գծիկներով թիվ ենք ընտրում։ Դա անելու համար գտեք այնպիսի թիվ, որ ստացված արտադրյալը մեծ կամ հավասար չլինի ձախ կողմում գտնվող ընթացիկ թվին: Մեր դեպքում դա 8 է:
Վերևի աջ անկյունում գրի՛ր գտնված թիվը։ Սա ցանկալի արմատից երկրորդ թիվն է: Քանդեք հաջորդ զույգ թվերը և ստացված տարբերության կողքին գրեք ձախ կողմում:
Աջ կողմի արտադրյալը հանեք ձախ թվից: Կրկնապատկում ենք այն թիվը, որը գտնվում է վերևի աջ մասում, և արտահայտությունը գրում ենք գծիկներով։
Ստացված տարբերությանը մենք քանդում ենք ևս մի քանի թիվ: Եթե սրանք կոտորակային մասի թվեր են, այսինքն՝ գտնվում են ստորակետի հետևում, ապա վերևի աջ անկյունում ստորակետ ենք դնում ցանկալի քառակուսի արմատի վերջին թվանշանի մոտ։ Աջ արտահայտության մեջ լրացնում ենք գծիկները՝ այնպիսի թիվ ընտրելով, որ ստացված արտադրյալը փոքր լինի կամ հավասար լինի ձախ կողմի արտահայտության տարբերությանը։
Եթե ձեզ ավելի շատ տասնորդական թվեր են անհրաժեշտ, ապա ավելացրեք ձախ կողմում գտնվող ընթացիկ թվանշանի մոտ և կրկնեք քայլերը. ձախից հանեք, կրկնապատկեք թիվը վերևի աջ անկյունում, գրեք արտահայտությունը գծիկներով, ընտրեք դրա համար գործակիցներ և այլն:

Ի՞նչ եք կարծում, որքա՞ն ժամանակ կծախսեք նման հաշվարկների վրա։ Դժվար, երկար, շփոթեցնող: Այդ դեպքում ինչո՞ւ հեշտ չդարձնեք ինքներդ ձեզ: Օգտագործեք մեր ծրագիրը, որը կօգնի ձեզ արագ և ճշգրիտ հաշվարկներ կատարել:

Գործողությունների ալգորիթմ

1. Մուտքագրեք տասնորդական թվերի ցանկալի թիվը:

2. Նշեք արմատի աստիճանը (եթե այն 2-ից մեծ է):

3. Մուտքագրեք այն թիվը, որից նախատեսում եք հանել արմատը:

4. Սեղմեք «Լուծել» կոճակը:

Հաշվեք ամենաբարդ մաթեմատիկական գործողությունները առցանց հաշվիչդառնում է պարզ!

Արմատային բանաձևեր. քառակուսի արմատների հատկությունները.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»:
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Արմատային բանաձևեր, արմատային հատկություններ և արմատներով գործողությունների կանոններ-Ըստ էության նույն բանն է։ Քառակուսի արմատների համար զարմանալիորեն քիչ բանաձևեր կան: Ինչը, իհարկե, հաճելի է: Ավելի շուտ, դուք կարող եք գրել շատ բոլոր տեսակի բանաձևեր, բայց միայն երեքը բավարար են արմատների հետ գործնական և վստահ աշխատանքի համար: Մնացած ամեն ինչ բխում է այս երեքից։ Չնայած շատերը շեղվում են արմատների երեք բանաձևերում, այո…