Ճիշտ կոտորակի քառակուսին միշտ ավելի փոքր է, քան բուն կոտորակը: Անպատշաճ կոտորակ. Ո՞ր կոտորակն է կոչվում պատշաճ:

Դրանք բաժանվում են ճիշտ և սխալ:

Պատշաճ կոտորակներ

Պատշաճ կոտորակսովորական կոտորակ է, որի համարիչը փոքր է հայտարարից։

Պարզելու համար, թե արդյոք կոտորակը ճիշտ է, դուք պետք է համեմատեք դրա անդամները միմյանց հետ: Կոտորակի անդամները համեմատվում են բնական թվերի համեմատության կանոնի համաձայն։

Օրինակ.Դիտարկենք կոտորակը.

7

8

Օրինակ՝

8	= 1	1
7		7

Թարգմանության կանոններ և լրացուցիչ օրինակներԴուք կարող եք դիտել թեման Անպատշաճ կոտորակը խառը թվի վերածելը։ Դուք կարող եք նաև օգտագործել առցանց հաշվիչը՝ ոչ պատշաճ կոտորակը խառը թվի փոխարկելու համար:

Համեմատելով պատշաճ և ոչ պատշաճ կոտորակները

Ցանկացած անպատշաճ սովորական կոտորակ ավելի մեծ է, քան պատշաճ կոտորակը, քանի որ պատշաճ կոտորակը միշտ մեկից փոքր է, իսկ ոչ պատշաճ կոտորակը մեծ է կամ հավասար է մեկին:

Օրինակ՝

3	>	99
2		100

Համեմատության կանոններ և լրացուցիչ օրինակներ կարելի է գտնել Սովորական կոտորակների համեմատություն թեմայում։ Նաև կոտորակները համեմատելու կամ համեմատությունները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել

Պատշաճ և ոչ պատշաճ կոտորակներն իրենց անուններով վանում են 5-րդ դասարանի մաթեմատիկայի աշակերտներին. Սակայն այս թվերի մեջ ոչ մի սարսափելի բան չկա։ Հաշվարկներում սխալներից խուսափելու և այս թվերի հետ կապված բոլոր առեղծվածները ցրելու համար մենք մանրամասն կքննարկենք թեման:

Ի՞նչ է կոտորակը:

Կոտորակը անավարտ բաժանման գործողություն է: Մեկ այլ տարբերակ. կոտորակը ամբողջի մի մասն է: Համարիչը հաշվի առնված մասերի քանակն է։ Հայտարարը այն մասերի ընդհանուր թիվն է, որոնց բաժանվում է ամբողջը:

Կոտորակների տեսակները

Առանձնացվում են կոտորակների հետևյալ տեսակները.

• Սովորական կոտորակ. Սա այն կոտորակն է, որի համարիչը փոքր է հայտարարից։
• Անպատշաճ կոտորակ, որի համարիչը մեծ է հայտարարից։
• Խառը թիվ, որն ունի ամբողջ թիվ և կոտորակային մաս
• Տասնորդական։ Սա այն թիվն է, որի հայտարարը միշտ 10-ի աստիճան է: Նման կոտորակը գրվում է բաժանարար ստորակետով:

Ո՞ր կոտորակն է կոչվում պատշաճ:

Ճիշտ կոտորակը կոչվում է սովորական կոտորակ: Կոտորակների այս ենթատեսակը հայտնվել է ավելի վաղ, քան մյուսները։ Հետագայում ավելացան թվերի տեսակները, հայտնաբերվեցին ու ստեղծվեցին նոր թվեր ու կոտորակներ։ Առաջին կոտորակը կոչվում է պատշաճ, քանի որ այն արտացոլում է այն իմաստը, որը հին մաթեմատիկոսները տվել են կոտորակի հասկացության մեջ. այն թվի մաս է: Ընդ որում, այս մասը միշտ պակաս է ամբողջից, այսինքն՝ 1-ից։

Ինչո՞ւ է այդպես կոչվում ոչ պատշաճ կոտորակը:

Անպատշաճ կոտորակը 1-ից մեծ է: Այսինքն, այն այլևս փոքր-ինչ չի համապատասխանում առաջին սահմանմանը: Այն այլեւս ամբողջի մաս չէ։ Դուք կարող եք անպատշաճ կոտորակները համարել մի քանի կարկանդակի կտորներ: Ի վերջո, միշտ չէ, որ մեկ կարկանդակ կա: Սակայն կոտորակը համարվում է ոչ պատշաճ կոտորակ։

Ընդունված չէ հաշվարկների արդյունքում ոչ պատշաճ կոտորակ թողնել։ Ավելի լավ է այն վերածել խառը թվի։

Ինչպե՞ս ճիշտ կոտորակը վերածել ոչ պատշաճ կոտորակի:

Անհնար է ճիշտ կոտորակը վերածել ոչ պատշաճ կոտորակի կամ հակառակը: Սրանք թվերի տարբեր կատեգորիաներ են: Բայց որոշ ուսանողներ հաճախ շփոթում են հասկացությունները և անպատշաճ կոտորակը խառը թվերի վերածելը անվանում են անպատշաճ կոտորակը պատշաճ կոտորակի վերածում:

Անպատշաճ կոտորակները բավականին հաճախ վերածվում են խառը թվերի, ինչպես խառը թվերը վերածվում են ոչ պատշաճ կոտորակների։ Անպատշաճ կոտորակը խառը թվի վերածելու համար անհրաժեշտ է համարիչը բաժանել հայտարարի մնացորդով: Մնացածն այս դեպքում կդառնա կոտորակային մասի համարիչ, քանորդը՝ ամբողջ, իսկ հայտարարը կմնա նույնը։

Ի՞նչ ենք մենք սովորել:

Հիշեցինք, թե ինչ է կոտորակը։ Կրկնեցին բոլոր տեսակի կոտորակները և ասացին, թե որ կոտորակն է կոչվում պատշաճ: Նրանք առանձին-առանձին նշել են, թե ինչու է ոչ պատշաճ կոտորակը նման անվանում ստացել։ Նրանք ասում էին, որ հնարավոր չի լինի ոչ պատշաճ կոտորակը վերածել պատշաճ կոտորակի կամ հակառակը։ Վերջին պնդումը կարելի է համարել պատշաճ և ոչ պատշաճ կոտորակների կանոն։

Թեստ թեմայի շուրջ

Հոդվածների վարկանիշ

Միջին գնահատականը: 4.2. Ստացված ընդհանուր գնահատականները՝ 260:

Ընդհանուր կոտորակները բաժանվում են \textit (պատշաճ) և \textit (ոչ պատշաճ) կոտորակների։ Այս բաժանումը հիմնված է համարիչի և հայտարարի համեմատության վրա:

Պատշաճ կոտորակներ

Պատշաճ կոտորակԿանչվում է սովորական $\frac(m)(n)$ կոտորակը, որի համարիչը փոքր է հայտարարից, այսինքն. $մ

Օրինակ 1

Օրինակ՝ $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ կոտորակները ճիշտ են։ , ուրեմն ինչպես դրանցից յուրաքանչյուրում համարիչը փոքր է հայտարարից, որը համապատասխանում է պատշաճ կոտորակի սահմանմանը։

Կա պատշաճ կոտորակի սահմանում, որը հիմնված է կոտորակը մեկի հետ համեմատելու վրա։

ճիշտ, եթե այն մեկից պակաս է.

Օրինակ 2

Օրինակ՝ $\frac(6)(13)$ ընդհանուր կոտորակը ճիշտ է, քանի որ $\frac(6)(13) պայմանը բավարարված է

Անպատշաճ կոտորակներ

Անպատշաճ կոտորակԿանչվում է սովորական $\frac(m)(n)$ կոտորակը, որի համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին, այսինքն. $m\ge n$.

Օրինակ 3

Օրինակ՝ $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ կոտորակներն անկանոն են։ , ուրեմն ինչպես է դրանցից յուրաքանչյուրում համարիչը մեծ կամ հավասար է հայտարարին, որը համապատասխանում է ոչ պատշաճ կոտորակի սահմանմանը:

Տանք ոչ պատշաճ կոտորակի սահմանումը, որը հիմնված է դրա համեմատության վրա մեկի հետ:

$\frac(m)(n)$ ընդհանուր կոտորակը սխալ, եթե այն հավասար է կամ մեծ է մեկից.

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Օրինակ 4

Օրինակ՝ $\frac(21)(4)$ ընդհանուր կոտորակը սխալ է, քանի որ $\frac(21)(4) >1$ պայմանը բավարարված է.

ընդհանուր $\frac(8)(8)$ կոտորակը սխալ է, քանի որ $\frac(8)(8)=1$ պայմանը բավարարված է։

Եկեք ավելի սերտ նայենք ոչ պատշաճ կոտորակի հասկացությանը:

Որպես օրինակ վերցնենք ոչ պատշաճ կոտորակը $\frac(7)(7)$: Այս կոտորակի իմաստն այն է, որ վերցնենք յոթ մասնաբաժին առարկայից, որը բաժանված է յոթ հավասար մասերի։ Այսպիսով, յոթ բաժնետոմսերից, որոնք հասանելի են, ամբողջ օբյեկտը կարող է կազմվել: Նրանք. $\frac(7)(7)$ ոչ պատշաճ կոտորակը նկարագրում է ամբողջ օբյեկտը, իսկ $\frac(7)(7)=1$: Այսպիսով, ոչ պատշաճ կոտորակները, որոնցում համարիչը հավասար է հայտարարին, նկարագրում են մեկ ամբողջ առարկա, և այդպիսի կոտորակը կարող է փոխարինվել $1$ բնական թվով։

$\frac(5)(2)$ - միանգամայն ակնհայտ է, որ այս հինգ երկրորդ մասերից դուք կարող եք կազմել $2$ ամբողջական օբյեկտներ (մեկ ամբողջ օբյեկտը կազմված կլինի $2$ մասերից, և երկու ամբողջական օբյեկտ կազմելու համար ձեզ հարկավոր է. $2+2=4$ բաժնետոմս) և մնում է մեկ երկրորդ բաժնետոմս։ Այսինքն՝ ոչ պատշաճ $\frac(5)(2)$ կոտորակը նկարագրում է $2$ օբյեկտի և $\frac(1)(2)$-ի մասնաբաժինը:

$\frac(21)(7)$ -- քսանմեկ յոթերորդ մասերից դուք կարող եք $3$ ամբողջական օբյեկտներ պատրաստել ($3$ օբյեկտներ յուրաքանչյուրում $7$ բաժնետոմսերով): Նրանք. $\frac(21)(7)$ կոտորակը նկարագրում է $3$ ամբողջական օբյեկտներ:

Դիտարկված օրինակներից կարող ենք անել հետևյալ եզրակացությունը. ոչ պատշաճ կոտորակը կարող է փոխարինվել բնական թվով, եթե համարիչն ամբողջությամբ բաժանվում է հայտարարի վրա (օրինակ՝ $\frac(7)(7)=1$ և $\ frac(21)(7)=3$) կամ գումարը բնական թիվև պատշաճ կոտորակ, եթե համարիչն ամբողջությամբ չի բաժանվում հայտարարի վրա (օրինակ՝ $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$): Ահա թե ինչու են նման կոտորակները կոչվում սխալ.

Սահմանում 1

Անպատշաճ կոտորակը որպես բնական թվի և պատշաճ կոտորակի գումար ներկայացնելու գործընթացը (օրինակ՝ $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) կոչվում է. ամբողջ մասը բաժանելով ոչ պատշաճ կոտորակից.

Անպատշաճ կոտորակների հետ աշխատելիս սերտ կապ կա դրանց և խառը թվերի միջև։

Անպատշաճ կոտորակը հաճախ գրվում է այսպես խառը թիվ- մի թիվ, որը բաղկացած է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից:

Անպատշաճ կոտորակ որպես խառը թիվ գրելու համար պետք է համարիչը բաժանել հայտարարի վրա մնացորդով: Քաղորդը կլինի խառը թվի ամբողջ մասը, մնացորդը՝ կոտորակային մասի համարիչը, իսկ բաժանարարը՝ կոտորակայինի հայտարարը։

Օրինակ 5

Անպատշաճ $\frac(37)(12)$ կոտորակը գրի՛ր որպես խառը թիվ։

Լուծում.

Համարիչը մնացորդի վրա բաժանիր հայտարարի.

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (մնացորդ\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Պատասխանել.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$:

Խառը թիվը որպես ոչ պատշաճ կոտորակ գրելու համար անհրաժեշտ է հայտարարը բազմապատկել թվի ամբողջ մասով, ստացված արտադրյալին ավելացնել կոտորակային մասի համարիչը և ստացված գումարը գրել կոտորակի համարիչի մեջ։ Անպատշաճ կոտորակի հայտարարը հավասար կլինի խառը թվի կոտորակային մասի հայտարարին:

Օրինակ 6

Խառը $5\frac(3)(7)$ թիվը գրի՛ր որպես ոչ պատշաճ կոտորակ։

Լուծում.

Պատասխանել.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$:

Խառը թվերի և ճիշտ կոտորակների գումարում

Խառը թվերի ավելացում$a\frac(b)(c)$ և պատշաճ կոտորակ$\frac(d)(e)$-ը կատարվում է՝ տրված կոտորակի վրա ավելացնելով տրված խառը թվի կոտորակային մասը.

Օրինակ 7

Ավելացրե՛ք $\frac(4)(15)$ համապատասխան կոտորակը և $3\frac(2)(5)$ խառը թիվը։

Լուծում.

Եկեք օգտագործենք խառը թիվ և ճիշտ կոտորակ ավելացնելու բանաձևը.

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\աջ)=3+\ ձախ(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15) \]

\textit(5) թվի վրա բաժանելով՝ կարող ենք որոշել, որ $\frac(10)(15)$ կոտորակը կրճատելի է։ Կատարենք կրճատումը և գտնենք գումարման արդյունքը.

Այսպիսով, $\frac(4)(15)$ պատշաճ կոտորակը և $3\frac(2)(5)$ խառը թիվը գումարելու արդյունքը $3\frac(2)(3)$ է։

Պատասխան.$3\frac(2)(3)$

Խառը թվերի և անպատշաճ կոտորակների գումարում

Անպատշաճ կոտորակների և խառը թվերի գումարումնվազեցնում է երկու խառը թվերի գումարումը, որի համար բավական է ամբողջ մասը մեկուսացնել ոչ պատշաճ կոտորակից։

Օրինակ 8

Հաշվե՛ք $6\frac(2)(15)$ խառը թվի և $\frac(13)(5)$ անպատշաճ կոտորակի գումարը։

Լուծում.

Նախ, եկեք հանենք ամբողջ մասը $\frac(13)(5)$ ոչ պատշաճ կոտորակից.

Պատասխան.$8\frac(11)(15)$:

«Ֆրակցիաներ» բառը շատերին սագ է առաջացնում: Որովհետև ես հիշում եմ դպրոցը և մաթեմատիկայից լուծված առաջադրանքները: Սա պարտականություն էր, որը պետք է կատարվեր։ Իսկ եթե դուք ճիշտ և ոչ պատշաճ կոտորակների հետ կապված խնդիրներին վերաբերվեք որպես գլուխկոտրուկ: Ի վերջո, շատ մեծահասակներ լուծում են թվային և ճապոնական խաչբառեր: Մենք պարզեցինք կանոնները, և վերջ: Նույնն է այստեղ։ Մնում է միայն խորանալ տեսության մեջ, և ամեն ինչ իր տեղը կընկնի: Եվ օրինակները կվերածվեն ձեր ուղեղը մարզելու միջոցի։

Ի՞նչ տեսակի կոտորակներ կան:

Սկսենք նրանից, թե ինչ է դա: Կոտորակը այն թիվն է, որն ունի մեկի մաս: Այն կարելի է գրել երկու ձևով. Առաջինը կոչվում է սովորական։ Այսինքն, մեկը, որն ունի հորիզոնական կամ թեք գիծ: Այն համարժեք է բաժանման նշանին։

Այս նշումով տողից վերեւ գտնվող թիվը կոչվում է համարիչ, իսկ դրանից ներքեւ գտնվող թիվը՝ հայտարար։

Սովորական կոտորակներից առանձնանում են պատշաճ և ոչ պատշաճ կոտորակները։ Առաջինի համար համարիչի բացարձակ արժեքը միշտ պակաս է հայտարարից։ Սխալներին այդպես են անվանում, քանի որ նրանց մոտ ամեն ինչ հակառակն է: Ճիշտ կոտորակի արժեքը միշտ մեկից փոքր է: Մինչդեռ սխալը միշտ մեծ է այս թվից։

Կան նաև խառը թվեր, այսինքն՝ նրանք, որոնք ունեն ամբողջ թիվ և կոտորակային մաս։

Ձայնագրության երկրորդ տեսակն է տասնորդական. Նրա մասին առանձին խոսակցություն կա։

Ինչո՞վ են անպատշաճ կոտորակները տարբերվում խառը թվերից:

Ըստ էության՝ ոչինչ։ Սրանք ընդամենը նույն թվով տարբեր ձայնագրություններ են։ Անպատշաճ կոտորակները հեշտ քայլերից հետո դառնում են խառը թվեր: Եվ հակառակը։

Ամեն ինչ կախված է նրանից կոնկրետ իրավիճակ. Երբեմն ավելի հարմար է առաջադրանքներում օգտագործել ոչ պատշաճ կոտորակ: Եվ երբեմն անհրաժեշտ է այն վերածել խառը թվի և այդ դեպքում օրինակը շատ հեշտ կլուծվի։ Հետևաբար, ինչ օգտագործել՝ ոչ պատշաճ կոտորակներ, խառը թվեր, կախված է խնդիրը լուծող անձի դիտողական հմտություններից:

Խառը թիվը համեմատվում է նաև ամբողջ մասի և կոտորակային մասի գումարի հետ։ Ընդ որում, երկրորդը միշտ մեկից պակաս է։

Ինչպե՞ս խառը թիվը ներկայացնել ոչ պատշաճ կոտորակի տեսքով:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է որևէ գործողություն կատարել մի քանի թվերով, որոնք գրված են տարբեր տեսակներ, ապա դուք պետք է դրանք դարձնեք նույնը: Մեթոդներից մեկը թվերը որպես ոչ պատշաճ կոտորակներ ներկայացնելն է:

Այդ նպատակով ձեզ հարկավոր է կատարել հետևյալ ալգորիթմը.

• բազմապատկել հայտարարը ամբողջ մասով;
• արդյունքին ավելացրեք համարիչի արժեքը.
• պատասխանը գրեք տողի վերևում;
• թողեք հայտարարը նույնը.

Ահա խառը թվերից ոչ պատշաճ կոտորակներ գրելու օրինակներ.

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2:

Ինչպե՞ս գրել անպատշաճ կոտորակ որպես խառը թիվ:

Հաջորդ տեխնիկան վերը քննարկվածի հակառակն է: Այսինքն, երբ բոլոր խառը թվերը փոխարինվում են ոչ պատշաճ կոտորակներով։ Գործողությունների ալգորիթմը կլինի հետևյալը.

• մնացորդը ստանալու համար համարիչը բաժանեք հայտարարի վրա.
• խառը մասի ամբողջ մասի փոխարեն գրի՛ր քանորդը.
• մնացորդը պետք է տեղադրվի գծի վերևում.
• բաժանարարը կլինի հայտարարը:

Նման վերափոխման օրինակներ.

76/14; 76:14 = 5 մնացորդով 6; պատասխանը կլինի 5 ամբողջական և 6/14; Այս օրինակի կոտորակային մասը պետք է կրճատվի 2-ով, ինչի արդյունքում ստացվի 3/7; վերջնական պատասխանը՝ 5 կետ 3/7։

108/54; բաժանումից հետո 2-ի գործակիցը ստացվում է առանց մնացորդի. սա նշանակում է, որ ոչ բոլոր անպատշաճ կոտորակները կարող են ներկայացվել որպես խառը թիվ. պատասխանը կլինի ամբողջ թիվ՝ 2։

Ինչպե՞ս ամբողջ թիվը վերածել ոչ պատշաճ կոտորակի:

Կան իրավիճակներ, երբ անհրաժեշտ է նման գործողություն: Հայտնի հայտարարով ոչ պատշաճ կոտորակներ ստանալու համար ձեզ հարկավոր է կատարել հետևյալ ալգորիթմը.

• բազմապատկել ամբողջ թիվը ցանկալի հայտարարով;
• գրեք այս արժեքը տողի վերևում;
• դրեք հայտարարը դրա տակ:

Ամենապարզ տարբերակն այն է, երբ հայտարարը մեկին հավասար. Հետո ոչինչ պետք չէ բազմապատկել։ Բավական է պարզապես գրել օրինակում տրված ամբողջ թիվը, իսկ տողի տակ դնել մեկը։

Օրինակ 5-ը դարձրու 3 հայտարարով ոչ պատշաճ կոտորակ: 5-ը 3-ով բազմապատկելով՝ ստացվում է 15: Այս թիվը կլինի հայտարարը: Առաջադրանքի պատասխանը կոտորակ է՝ 15/3:

Տարբեր թվերով խնդիրների լուծման երկու մոտեցում

Օրինակը պահանջում է հաշվարկել գումարը և տարբերությունը, ինչպես նաև երկու թվերի արտադրյալն ու քանորդը՝ 2 ամբողջ թիվ 3/5 և 14/11։

Առաջին մոտեցման մեջխառը թիվը կներկայացվի որպես ոչ պատշաճ կոտորակ:

Վերը նկարագրված քայլերը կատարելուց հետո կստանաք հետևյալ արժեքը՝ 13/5։

Գումարը պարզելու համար պետք է կոտորակները կրճատել նույն հայտարարի վրա։ 13/5-ը 11-ով բազմապատկելուց հետո դառնում է 143/55: Իսկ 14/11-ը 5-ով բազմապատկելուց հետո նման կլինի՝ 70/55: Գումարը հաշվարկելու համար պետք է միայն գումարել համարիչները՝ 143 և 70, իսկ հետո գրել մեկ հայտարարով պատասխանը։ 213/55 - այս ոչ պատշաճ կոտորակը խնդրի պատասխանն է:

Տարբերությունը գտնելիս հանվում են նույն թվերը՝ 143 - 70 = 73։ Պատասխանը կլինի կոտորակ՝ 73/55։

13/5-ը և 14/11-ը բազմապատկելիս պետք չէ դրանք կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Բավական է բազմապատկել համարիչները և հայտարարները զույգերով։ Պատասխանը կլինի՝ 182/55։

Նույնը վերաբերում է բաժանմանը: Համար ճիշտ որոշումանհրաժեշտ է բաժանումը փոխարինել բազմապատկմամբ և շրջել բաժանարարը՝ 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70:

Երկրորդ մոտեցման մեջԱնպատշաճ կոտորակը դառնում է խառը թիվ:

Ալգորիթմի գործողությունները կատարելուց հետո 14/11-ը կվերածվի խառը թվի՝ 1-ի ամբողջ մասով և 3/11-ի կոտորակային մասով։

Գումարը հաշվարկելիս պետք է առանձին գումարել ամբողջը և կոտորակային մասերը։ 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55: Վերջնական պատասխանը՝ 3 կետ 48/55։ Առաջին մոտեցման դեպքում կոտորակը 213/55 էր։ Դուք կարող եք ստուգել դրա ճիշտությունը՝ այն վերածելով խառը թվի։ 213-ը 55-ի բաժանելուց հետո գործակիցը 3 է, իսկ մնացորդը՝ 48։ Հեշտ է հասկանալ, որ պատասխանը ճիշտ է։

Հանեցնելիս «+» նշանը փոխարինվում է «-»-ով: 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55: Ստուգելու համար նախորդ մոտեցման պատասխանը պետք է վերածել խառը թվի՝ 73-ը բաժանվում է 55-ի, իսկ գործակիցը 1 է, իսկ մնացածը՝ 18։

Արտադրյալն ու գործակիցը գտնելու համար անհարմար է խառը թվեր օգտագործելը։ Այստեղ միշտ խորհուրդ է տրվում անցնել ոչ պատշաճ կոտորակներին։

Ընդհանուր կոտորակները բաժանվում են \textit (պատշաճ) և \textit (ոչ պատշաճ) կոտորակների։ Այս բաժանումը հիմնված է համարիչի և հայտարարի համեմատության վրա:

Պատշաճ կոտորակներ

Պատշաճ կոտորակԿանչվում է սովորական $\frac(m)(n)$ կոտորակը, որի համարիչը փոքր է հայտարարից, այսինքն. $մ

Օրինակ 1

Օրինակ՝ $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ կոտորակները ճիշտ են։ , ուրեմն ինչպես դրանցից յուրաքանչյուրում համարիչը փոքր է հայտարարից, որը համապատասխանում է պատշաճ կոտորակի սահմանմանը։

Կա պատշաճ կոտորակի սահմանում, որը հիմնված է կոտորակը մեկի հետ համեմատելու վրա։

ճիշտ, եթե այն մեկից պակաս է.

Օրինակ 2

Օրինակ՝ $\frac(6)(13)$ ընդհանուր կոտորակը ճիշտ է, քանի որ $\frac(6)(13) պայմանը բավարարված է

Անպատշաճ կոտորակներ

Անպատշաճ կոտորակԿանչվում է սովորական $\frac(m)(n)$ կոտորակը, որի համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին, այսինքն. $m\ge n$.

Օրինակ 3

Օրինակ՝ $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ կոտորակներն անկանոն են։ , ուրեմն ինչպես է դրանցից յուրաքանչյուրում համարիչը մեծ կամ հավասար է հայտարարին, որը համապատասխանում է ոչ պատշաճ կոտորակի սահմանմանը:

Տանք ոչ պատշաճ կոտորակի սահմանումը, որը հիմնված է դրա համեմատության վրա մեկի հետ:

$\frac(m)(n)$ ընդհանուր կոտորակը սխալ, եթե այն հավասար է կամ մեծ է մեկից.

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Օրինակ 4

Օրինակ՝ $\frac(21)(4)$ ընդհանուր կոտորակը սխալ է, քանի որ $\frac(21)(4) >1$ պայմանը բավարարված է.

ընդհանուր $\frac(8)(8)$ կոտորակը սխալ է, քանի որ $\frac(8)(8)=1$ պայմանը բավարարված է։

Եկեք ավելի սերտ նայենք ոչ պատշաճ կոտորակի հասկացությանը:

Որպես օրինակ վերցնենք ոչ պատշաճ կոտորակը $\frac(7)(7)$: Այս կոտորակի իմաստն այն է, որ վերցնենք յոթ մասնաբաժին առարկայից, որը բաժանված է յոթ հավասար մասերի։ Այսպիսով, յոթ բաժնետոմսերից, որոնք հասանելի են, ամբողջ օբյեկտը կարող է կազմվել: Նրանք. $\frac(7)(7)$ ոչ պատշաճ կոտորակը նկարագրում է ամբողջ օբյեկտը, իսկ $\frac(7)(7)=1$: Այսպիսով, ոչ պատշաճ կոտորակները, որոնցում համարիչը հավասար է հայտարարին, նկարագրում են մեկ ամբողջ առարկա, և այդպիսի կոտորակը կարող է փոխարինվել $1$ բնական թվով։

$\frac(5)(2)$ - միանգամայն ակնհայտ է, որ այս հինգ երկրորդ մասերից դուք կարող եք կազմել $2$ ամբողջական օբյեկտներ (մեկ ամբողջ օբյեկտը կազմված կլինի $2$ մասերից, և երկու ամբողջական օբյեկտ կազմելու համար ձեզ հարկավոր է. $2+2=4$ բաժնետոմս) և մնում է մեկ երկրորդ բաժնետոմս։ Այսինքն՝ ոչ պատշաճ $\frac(5)(2)$ կոտորակը նկարագրում է $2$ օբյեկտի և $\frac(1)(2)$-ի մասնաբաժինը:

$\frac(21)(7)$ -- քսանմեկ յոթերորդ մասերից դուք կարող եք $3$ ամբողջական օբյեկտներ պատրաստել ($3$ օբյեկտներ յուրաքանչյուրում $7$ բաժնետոմսերով): Նրանք. $\frac(21)(7)$ կոտորակը նկարագրում է $3$ ամբողջական օբյեկտներ:

Դիտարկված օրինակներից կարող ենք անել հետևյալ եզրակացությունը. ոչ պատշաճ կոտորակը կարող է փոխարինվել բնական թվով, եթե համարիչն ամբողջությամբ բաժանվում է հայտարարի վրա (օրինակ՝ $\frac(7)(7)=1$ և $\ frac(21)(7)=3$) , կամ բնական թվի և պատշաճ կոտորակի գումարը, եթե համարիչն ամբողջությամբ չի բաժանվում հայտարարի վրա (օրինակ՝ $\ \frac(5)(2)=2 +\frac(1)(2)$). Ահա թե ինչու են նման կոտորակները կոչվում սխալ.

Սահմանում 1

Անպատշաճ կոտորակը որպես բնական թվի և պատշաճ կոտորակի գումար ներկայացնելու գործընթացը (օրինակ՝ $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) կոչվում է. ամբողջ մասը բաժանելով ոչ պատշաճ կոտորակից.

Անպատշաճ կոտորակների հետ աշխատելիս սերտ կապ կա դրանց և խառը թվերի միջև։

Անպատշաճ կոտորակը հաճախ գրվում է որպես խառը թիվ՝ մի թիվ, որը բաղկացած է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից:

Անպատշաճ կոտորակ որպես խառը թիվ գրելու համար պետք է համարիչը բաժանել հայտարարի վրա մնացորդով: Քաղորդը կլինի խառը թվի ամբողջ մասը, մնացորդը՝ կոտորակային մասի համարիչը, իսկ բաժանարարը՝ կոտորակայինի հայտարարը։

Օրինակ 5

Անպատշաճ $\frac(37)(12)$ կոտորակը գրի՛ր որպես խառը թիվ։

Լուծում.

Համարիչը մնացորդի վրա բաժանիր հայտարարի.

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (մնացորդ\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Պատասխանել.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$:

Խառը թիվը որպես ոչ պատշաճ կոտորակ գրելու համար անհրաժեշտ է հայտարարը բազմապատկել թվի ամբողջ մասով, ստացված արտադրյալին ավելացնել կոտորակային մասի համարիչը և ստացված գումարը գրել կոտորակի համարիչի մեջ։ Անպատշաճ կոտորակի հայտարարը հավասար կլինի խառը թվի կոտորակային մասի հայտարարին:

Օրինակ 6

Խառը $5\frac(3)(7)$ թիվը գրի՛ր որպես ոչ պատշաճ կոտորակ։

Լուծում.

Պատասխանել.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$:

Խառը թվերի և ճիշտ կոտորակների գումարում

Խառը թվերի ավելացում$a\frac(b)(c)$ և պատշաճ կոտորակ$\frac(d)(e)$-ը կատարվում է՝ տրված կոտորակի վրա ավելացնելով տրված խառը թվի կոտորակային մասը.

Օրինակ 7

Ավելացրե՛ք $\frac(4)(15)$ համապատասխան կոտորակը և $3\frac(2)(5)$ խառը թիվը։

Լուծում.

Եկեք օգտագործենք խառը թիվ և ճիշտ կոտորակ ավելացնելու բանաձևը.

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\աջ)=3+\ ձախ(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15) \]

\textit(5) թվի վրա բաժանելով՝ կարող ենք որոշել, որ $\frac(10)(15)$ կոտորակը կրճատելի է։ Կատարենք կրճատումը և գտնենք գումարման արդյունքը.

Այսպիսով, $\frac(4)(15)$ պատշաճ կոտորակը և $3\frac(2)(5)$ խառը թիվը գումարելու արդյունքը $3\frac(2)(3)$ է։

Պատասխան.$3\frac(2)(3)$

Խառը թվերի և անպատշաճ կոտորակների գումարում

Անպատշաճ կոտորակների և խառը թվերի գումարումնվազեցնում է երկու խառը թվերի գումարումը, որի համար բավական է ամբողջ մասը մեկուսացնել ոչ պատշաճ կոտորակից։

Օրինակ 8

Հաշվե՛ք $6\frac(2)(15)$ խառը թվի և $\frac(13)(5)$ անպատշաճ կոտորակի գումարը։

Լուծում.

Նախ, եկեք հանենք ամբողջ մասը $\frac(13)(5)$ ոչ պատշաճ կոտորակից.

Պատասխան.$8\frac(11)(15)$: