Եռանկյունի կառուցում, օգտագործելով երեք տարրեր. Եռանկյունի կառուցում երեք տարրերի միջոցով Եռանկյունի կառուցում երեք կողմերից

Դասարան: 7

Դասի նպատակները.

• հնարավորինս փոխանցել ուսումնասիրվող նյութը ուսանողներին.
• զարգացնել մտածողությունը, հիշողությունը և կողմնացույցն ազատորեն օգտագործելու կարողությունը.
• Առաջադրանքները կատարելիս փորձեք բարձրացնել ուսանողների ակտիվությունն ու անկախությունը:

Սարքավորումներ:

• դպրոցի կողմնացույց
• անկյունաչափ,
• քանոն,
• քարտեր անկախ աշխատանքի համար.

ԴԱՍԻ ԱՅՑԸ

Դասի թեման՝ «Շինարարական խնդիրներ»:

Այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես կարելի է կառուցել եռանկյուններ՝ օգտագործելով երեք տրված տարրեր՝ օգտագործելով կողմնացույց և քանոն:

Եռանկյուն կառուցելու համար նախ պետք է կարողանաք կառուցել տրվածին հավասար հատված և տրվածին հավասար անկյուն։ Իհարկե, դուք կարող եք դա անել բաժանումներով քանոնով և անկյունաչափով, բայց մաթեմատիկայի մեջ դուք նույնպես պետք է կարողանաք շինություններ իրականացնել՝ օգտագործելով կողմնացույց և քանոն առանց բաժանումների:

Ցանկացած շինարարական առաջադրանք ներառում է չորս հիմնական փուլ.

• վերլուծություն;
• շինարարություն;
• ապացույց;
• ուսումնասիրություն.

Խնդրի վերլուծությունն ու ուսումնասիրությունը նույնքան անհրաժեշտ են, որքան բուն շինարարությունը։ Պետք է տեսնել, թե որ դեպքերում խնդիրն ունի լուծում, իսկ որում՝ լուծում։

1. Տրվածին հավասար հատվածի կառուցում.

2. Կառուցի՛ր տրվածին հավասար անկյուն՝ օգտագործելով կողմնացույց և քանոն:

Այժմ եկեք անցնենք երեք տարրերի օգտագործմամբ եռանկյունների կառուցմանը:

3. Եռանկյունի կառուցել՝ օգտագործելով երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը:

Թիվ 3 սխեմա.

Տրված է	Պահանջվում է կառուցել	Շինարարություն
1. Կառուցեք A անկյունը, որը հավասար է տրված անկյունին: 2. Անկյունի մի կողմում նշել C կետը, որպեսզի AC հատվածը հավասար լինի տրված b հատվածին: 3. Անկյունի մյուս կողմում նշեք B կետը, որպեսզի AB հատվածը հավասար լինի տրված c հատվածին: 4. B և C կետերը միացրեք քանոնով: ACB եռանկյունը կառուցված է երկու կողմերից և նրանց միջև եղած անկյունից:

Անկախ աշխատանք դիագրամ 3-ի համար.

Տարբերակ 1.

Կառուցեք ВСН եռանկյուն, եթե ВС = 3 սմ, СН = 4 սմ, С = 35є:

Տարբերակ 2.

Կառուցեք SDE եռանկյուն, որի համար DS = 4 սմ, DE = 5 սմ, D = 110º:

Հուշում. Եռանկյունի կառուցելուց առաջ անհրաժեշտ է կատարել եռանկյունի գծանկարը, որը ցույց է տալիս բոլոր նշված տարրերը:

4. Եռանկյունի կառուցում` օգտագործելով կողմը և նրա հարակից անկյունները:

Տրված է	Պահանջվում է կառուցել	Շինարարություն
1. Կամայականորեն գծեք AB հատված, որը հավասար է տրված c հատվածին: 2. Կառուցի՛ր տրվածին հավասար A անկյուն: 3. Կառուցի՛ր տրվածին հավասար B անկյուն: A և B անկյունների երկու կողմերի հատման կետը C եռանկյան գագաթն է: Մենք կառուցեցինք ACB եռանկյուն՝ օգտագործելով կողմը և երկու տրված անկյունները:

Անկախ աշխատանք դիագրամ 4-ի համար:

Տարբերակ 1

Կառուցեք KMO եռանկյուն, եթե KO = 6 սմ, K = 130º, O = 20º:

Տարբերակ 2

Կառուցեք HRV եռանկյուն, եթե C = 15º, D = 50º, SD = 3 սմ:

5. Եռանկյունի կառուցում՝ օգտագործելով երեք կողմ:

Տրված է Ցանկացած եռանկյուն կառուցելուց հետո ինքնուրույն ապացուցեք, որ ստացված եռանկյունը հենց այն եռանկյունն է, որը փնտրում եք, և հնարավորության դեպքում կատարեք հետազոտություն:

Նկար 3 «Եռանկյունի 2» ներկայացումից«Եռանկյունի» թեմայով երկրաչափության դասերի համար

Չափերը՝ 720 x 540 պիքսել, ֆորմատը՝ jpg։

Երկրաչափության դասի անվճար պատկեր ներբեռնելու համար աջ սեղմեք նկարի վրա և սեղմեք «Պահպանել պատկերը որպես...»:

Դասի նկարները ցուցադրելու համար կարող եք նաև անվճար ներբեռնել «Եռանկյունի 2.ppt» պրեզենտացիան՝ բոլոր նկարներով, որոնք գտնվում են zip արխիվում: Արխիվի չափը 16 ԿԲ է։

Ներբեռնեք ներկայացումը

Եռանկյուն

«Վեկտորները տարածության մեջ» - համակողմանի վեկտորներ: k (a+b) = ka + kb - 1-ին բաշխման օրենք. a+b=b+a (փոխադարձ օրենք). Վեկտորը թվով բազմապատկելը. Վեկտորը ուղղորդված հատված է: Վեկտորները տարածության մեջ. Միակողմանի վեկտորները վեկտորներ են, որոնք ունեն նույն ուղղությունը: Եթե ​​վեկտորները միակողմանի են, և դրանց երկարությունները հավասար են, ապա այդ վեկտորները կոչվում են հավասար:

«Վեկտորների միջև անկյուն» - վեկտորների կոորդինատներ: Ուղղության վեկտորը ուղիղ է: Խնդիրների տեսողական վերլուծություն դասագրքից. Կոորդինատների համակարգի ներդրում. Դիտարկենք D1B և CB1 ուղիղ գծերի ուղեցույցները: Ինչպե՞ս եք գտնում կետերի միջև հեռավորությունը: Գտեք անկյունը ВD և CD1 տողերի միջև: Անկյուն AB և CD ուղիղ գծերի միջև: Անկյուն վեկտորների միջև: Ինչպե՞ս գտնել հատվածի միջնակետի կոորդինատները: «Մեծ մաթեմատիկոսներ» - Դեկարտի առաջարկած կոորդինատային համակարգը ստացավ նրա անունը: Դեկարտն արտահայտեց իմպուլսի պահպանման օրենքը և տվեց ուժի իմպուլսի հասկացություն։ «Մեթոդ» (կամ «Էֆոդ») և «Կանոնավոր յոթանկյուն»: Լայբնից Գոթֆրիդ Վիլհելմ. Կելդիշ Մստիսլավ Վսեվոլոդովիչ. Իսահակ Նյուտոն. Պյութագորաս Սամոսից. Գաուսը դոկտորի կոչում է ստացել 1799 թվականին Հելմշտեդտի համալսարանում։«Մաթեմատիկան որպես գիտություն» - «Հաշվարկիչ մեքենա» մրցույթը գիտելիքի երկու անբաժանելի ուղղություններ են, որը ծնվել է 1793 թ Նիժնի Նովգորոդի նահանգ. Լյուբաչևսկի - Մոսկվայի համալսարանի և կայսերական համալսարանի պրոֆեսոր

տեխնիկում . Փազլներ. Լեոնարդ Էյլեր. Համարիչ. Ալեքսանդրովի ծնողները դպրոցի ուսուցիչներ էին։«Եռանկյունների հավասարության նշաններ» - Ցանկացած եռանկյուն ունի երեք միջն. Հավասարակողմ և հարթ գործիչ. Եռանկյուն. Եռանկյան բարձրությունը. Եռանկյունների հավասարության նշաններ. Եռանկյան ուսումնասիրությունից առաջացել է եռանկյունաչափության գիտությունը։ Ցանկացած եռանկյուն ունի երեք բարձրություն: Եռանկյան գագաթից ուղիղ գծված ուղղահայաց:

«Սինուսի ֆունկցիա» - մայրամուտի գրաֆիկ: Ամսաթիվ. Նկարագրված է մայրամուտի ընթացքը եռանկյունաչափական ֆունկցիասինուս. Մայրամուտի միջին ժամանակը 18:00 է։ Օգտագործելով արցունքաբեր օրացույց՝ հեշտ է նշել մայրամուտի պահը: Թիրախ. Եզրակացություններ. Ժամանակը. Մայրամուտ. Եռանկյունաչափության տարբեր դեմքեր.

Թեմայում ընդհանուր առմամբ 42 ներկայացում կա

Ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացնում վիդեո դասընթաց «Եռանկյունի կառուցում երեք տարրերի միջոցով» թեմայով: Դուք կկարողանաք լուծել մի քանի օրինակներ շինարարական խնդիրների դասից։ Ուսուցիչը մանրամասն կվերլուծի երեք տարրերի միջոցով եռանկյունի կառուցելու խնդիրը, ինչպես նաև կհիշի եռանկյունների հավասարության թեորեմը։

Այս թեմանունի լայն գործնական կիրառություն, ուստի եկեք դիտարկենք խնդիրների լուծման որոշ տեսակներ: Հիշեցնենք, որ ցանկացած շինարարություն իրականացվում է բացառապես կողմնացույցի եւ քանոնի օգնությամբ։

Օրինակ 1:

Կառուցեք եռանկյուն՝ օգտագործելով երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը:

Տրված է. Ենթադրենք, վերլուծված եռանկյունը այսպիսի տեսք ունի

Բրինձ. 1.1. Վերլուծված եռանկյունի օրինակ 1

Թող տրված հատվածներկլինի c և a, իսկ տրված անկյունը կլինի

Բրինձ. 1.2. Տրված տարրեր, օրինակ 1

Շինարարություն:

Նախ պետք է մի կողմ դնել 1-ին անկյունը

Բրինձ. 1.3. Հետաձգված անկյուն 1 օրինակ 1

Այնուհետև տրված անկյան կողքերում կողմնացույցով գծում ենք երկու տրված կողմ՝ կողմնացույցով չափում ենք կողմի երկարությունը։ Աիսկ կողմնացույցի ծայրը տեղադրում ենք 1-ին անկյան գագաթին, իսկ մյուս մասով կտրում ենք 1-ին անկյան կողմում: Նմանատիպ պրոցեդուրա ենք անում կողքի հետ. Հետ

Բրինձ. 1.4. Մի կողմ դրեք ԱԵվ Հետօրինակ 1

Այնուհետև մենք միացնում ենք ստացված խազերը, և մենք ստանում ենք ցանկալի եռանկյունին ABC

Բրինձ. 1.5. Կառուցված եռանկյուն ABC օրինակ 1

Արդյո՞ք այս եռանկյունը հավասար կլինի սպասվածին: Դա կլինի, քանի որ ստացված եռանկյան տարրերը (երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը) համապատասխանաբար հավասար են պայմանում նշված երկու կողմերին և նրանց միջև եղած անկյունին: Հետևաբար, եռանկյունների հավասարության առաջին հատկությամբ - ցանկալին է:

Շինարարությունն ավարտված է։

Նշում.

Եկեք հիշենք, թե ինչպես կարելի է գծել տրվածին հավասար անկյուն:

Օրինակ 2

Տրված ճառագայթից հանել մի անկյուն, որը հավասար է տրվածին: Տրված են A անկյունը և ճառագայթը OM: Կառուցել.

Շինարարություն:

Բրինձ. 2.1. Վիճակը օրինակ 2

1. Կառուցեք շրջանագիծ Okr(A, r = AB): B և C կետերը հատման կետերն են A անկյան կողմերի հետ

Բրինձ. 2.2. Լուծում օրինակ 2

1. Կառուցեք շրջանագիծ Okr(D, r = CB): E և M կետերը A անկյան կողմերի հետ հատման կետերն են

Բրինձ. 2.3. Լուծում օրինակ 2

1. Angle MOE-ն ցանկալին է, քանի որ .

Շինարարությունն ավարտված է։

Օրինակ 3

Կառուցեք ABC եռանկյունը՝ օգտագործելով հայտնի կողմը և երկու հարակից անկյունները:

Թող վերլուծված եռանկյունը այսպիսի տեսք ունենա.

Բրինձ. 3.1. Վիճակը օրինակ 3

Այնուհետեւ տրված հատվածներն այսպիսի տեսք ունեն

Բրինձ. 3.2. Վիճակը օրինակ 3

Շինարարություն:

Եկեք գծենք անկյունը հարթության վրա

Բրինձ. 3.3. Լուծում օրինակ 3

Տրված անկյան կողմում մենք գծում ենք կողմի երկարությունը Ա

Բրինձ. 3.4. Լուծում օրինակ 3

Այնուհետև C գագաթից մի անկյուն ենք դնում։ γ և α անկյունների ոչ ընդհանուր կողմերը հատվում են A կետում

Բրինձ. 3.5. Լուծում օրինակ 3

Արդյո՞ք կառուցված եռանկյունը ցանկալին է: Արդյոք, քանի որ կառուցված եռանկյան կողմը և երկու հարակից անկյունները համապատասխանաբար հավասար են պայմանում տրված կողմին և նրանց միջև եղած անկյունին.

Փնտրվել է եռանկյունների հավասարության երկրորդ չափանիշով

Շինարարությունն ավարտված է

Օրինակ 4

Կառուցեք եռանկյունի 2 ոտքերի վրա

Թող վերլուծված եռանկյունը այսպիսի տեսք ունենա

Բրինձ. 4.1. Վիճակը օրինակ 4

Հայտնի տարրեր - ոտքեր

Բրինձ. 4.2. Վիճակը օրինակ 4

Այս առաջադրանքը տարբերվում է նախորդներից նրանով, որ կողմերի միջև անկյունը կարող է որոշվել լռելյայնորեն՝ 90 0

Շինարարություն:

Եկեք մի կողմ դնենք 90 0-ի հավասար անկյուն։ Մենք դա կանենք ճիշտ այնպես, ինչպես ցույց է տրված օրինակ 2-ում

Բրինձ. 4.3. Լուծում օրինակ 4

Այնուհետև այս անկյան կողմերի վրա մենք գծում ենք կողմերի երկարությունները ԱԵվ բ, տրված վիճակում

Բրինձ. 4.4. Լուծում օրինակ 4

Արդյունքում ստացված եռանկյունը ցանկալին է, քանի որ նրա երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են երկու կողմերին և նրանց միջև եղած անկյունին, որը տրված է պայմանում։

Նկատի ունեցեք, որ դուք կարող եք մի կողմ դնել 90 0 անկյուն՝ կառուցելով երկու ուղղահայաց գիծ: Մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես իրականացնել այս խնդիրը լրացուցիչ օրինակ

Լրացուցիչ օրինակ

Վերականգնել A կետով անցնող p ուղղին ուղղահայացը,

Տող p, և այս ուղիղի վրա ընկած կետը

Բրինձ. 5.1. Լրացուցիչ օրինակի պայման

Շինարարություն:

Նախ, եկեք կառուցենք կամայական շառավղով շրջան A կետում կենտրոնով

Բրինձ. 5.2. Լրացուցիչ օրինակի լուծում

Այս շրջանագիծը հատում է մի գիծ r K և E կետերում: Այնուհետև մենք կառուցում ենք երկու շրջան Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE): Այս շրջանագծերը հատվում են C և B կետերում: NE հատվածը պահանջվողն է,

Բրինձ. 5.3. Լրացուցիչ օրինակի պատասխան

1. Թվային մեկ հավաքածու կրթական ռեսուրսներ ().
2. Մաթեմատիկայի դասախոս ().

1. No 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. խմբագրել է Tikhonov A. N. Երկրաչափություն 7-9 դասարաններ: Մ.: Լուսավորություն. 2010 թ
2. Կառուցեք հավասարաչափ եռանկյուն՝ օգտագործելով հիմքին հակառակ կողմ և անկյուն:
3. Կառուցել ուղղանկյուն եռանկյունհիպոթենուզայով և սուր անկյունով
4. Կառուցե՛ք եռանկյուն՝ օգտագործելով տվյալ անկյան գագաթից գծված անկյունը, բարձրությունը և կիսադիրը:

Դրանց էությունը կայանում է նրանում, որ ցանկացած երկրաչափական օբյեկտ կառուցվի ըստ նախնական պայմանների ցանկացած բավարար փաթեթի՝ ձեռքի տակ ունենալով միայն կողմնացույց և քանոն: Դիտարկենք նման առաջադրանքների կատարման ընդհանուր սխեման.

Առաջադրանքի վերլուծություն.

Այս մասը ներառում է կապի հաստատում այն ​​տարրերի, որոնք պետք է կառուցվեն և խնդրի սկզբնական պայմանների միջև: Այս կետն ավարտելուց հետո մենք պետք է ունենանք մեր խնդիրը լուծելու ծրագիր։

Շինարարություն.

Այստեղ մենք շինարարություն ենք իրականացնում մեր վերը գծած հատակագծի համաձայն։

Ապացույց.

Այստեղ մենք ապացուցում ենք, որ մեր կառուցած պատկերն իրականում բավարարում է խնդրի սկզբնական պայմանները։

Ուսումնասիրել.

Այստեղ մենք պարզում ենք, թե որ տվյալների ներքո խնդիրն ունի մեկ լուծում, որի տակ կան մի քանիսը և որոնց տակ չկա:

Հաջորդը, մենք կքննարկենք եռանկյունների կառուցման խնդիրները՝ օգտագործելով տարբեր երեք տարրեր: Այստեղ մենք չենք դիտարկի տարրական կոնստրուկցիաներ, ինչպիսիք են հատվածը, անկյունը և այլն: Մինչ այժմ դուք արդեն պետք է ունենաք այս հմտությունները:

Եռանկյունի կառուցում, օգտագործելով երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը

Օրինակ 1

Կառուցեք եռանկյուն, եթե մեզ տրված է երկու կողմ և անկյուն այս կողմերի միջև:

Վերլուծություն.

Եկեք մեզ տրվեն $AB$ և $AC$ հատվածներ և $α$ անկյուն: Մենք պետք է կառուցենք $ABC$ եռանկյուն, որի անկյունը $C$ հավասար է $α$-ի:

Եկեք կազմենք շինարարական պլան.

1. Ընդունելով $AB$-ը որպես անկյան կողմերից մեկը, մենք նրանից մի կողմ ենք դնում $BAM$ անկյունը, որը հավասար է $α$ անկյան:
2. $AM$ ուղիղ գծի վրա մենք գծում ենք $AC$ հատվածը:
3. Միացնենք $B$ և $C$ կետերը։

Շինարարություն.

Կառուցենք գծագիր՝ ըստ վերը կազմված հատակագծի (նկ. 1):

Ապացույց.

Ուսումնասիրել.

Քանի որ եռանկյան անկյունների գումարը $180^\circ$ է։ Սա նշանակում է, որ եթե α անկյունը մեծ է կամ հավասար է $180^\circ$-ին, ապա խնդիրը լուծումներ չի ունենա։

Հակառակ դեպքում լուծում կա։ Քանի որ $a$ տողը կամայական ուղիղ է, անսահման թվով այդպիսի եռանկյուններ կլինեն։ Բայց, քանի որ նրանք բոլորն իրար հավասար են ըստ առաջին նշանի, մենք կենթադրենք, որ այս խնդրի լուծումը եզակի է։

Եռանկյունի կառուցում երեք կողմերից

Օրինակ 2

Կառուցեք եռանկյուն, եթե մեզ տրված է երեք կողմ:

Վերլուծություն.

Եկեք մեզ տրվեն $AB$ և $AC$ և $BC$ հատվածներ: Մենք պետք է կառուցենք $ABC$ եռանկյուն:

Եկեք կազմենք շինարարական պլան.

1. Եկեք $a$ ուղիղ գիծ գծենք և դրա վրա կառուցենք $AB$ հատված։
2. Եկեք կառուցենք $2$ շրջանակներ. առաջինը $A$ կենտրոնով և $AC$ շառավղով, իսկ երկրորդը $B$ կենտրոնով և $BC$ շառավղով:
3. Եկեք միացնենք շրջանագծերի հատման կետերից մեկը (որը կլինի $C$ կետը) $A$ և $B$ կետերի հետ։

Շինարարություն.

Կառուցենք գծագիր՝ համաձայն վերը կազմված հատակագծի (նկ. 2):

Ապացույց.

Շինարարությունից պարզ է դառնում, որ բոլոր նախնական պայմանները բավարարված են։

Ուսումնասիրել.

Եռանկյան անհավասարությունից մենք գիտենք, որ ցանկացած կողմ պետք է փոքր լինի մյուս երկուսի գումարից: Հետևաբար, երբ նման անհավասարությունը չի բավարարվում սկզբնական երեք հատվածների համար, խնդիրը լուծում չի ունենա։

Քանի որ շինարարության շրջանակները ունեն երկու հատման կետ, մենք կարող ենք կառուցել երկու այդպիսի եռանկյուն: Բայց, քանի որ երրորդ չափանիշով դրանք հավասար են միմյանց, կենթադրենք, որ այս խնդրի լուծումը եզակի է։

Եռանկյունի կառուցում` օգտագործելով մի կողմ և երկու հարակից անկյուններ

Օրինակ 3

Կառուցեք եռանկյուն, եթե մեզ տրված է մի կողմ և դրան կից $α$ և $β$ անկյուններ։

Վերլուծություն.

Եկեք մեզ տրվի $BC$ հատված և $α$ և $β$ անկյուններ: Մենք պետք է կառուցենք $ABC$ եռանկյուն, որտեղ $∠B=α$ և $∠C=β$:

Եկեք կազմենք շինարարական պլան.

1. Եկեք $a$ ուղիղ գիծ գծենք և դրա վրա կառուցենք $BC$ հատված։
2. Եկեք $∠ K=α$ անկյուն կառուցենք $B$ գագաթի վրա $BC$ կողմի նկատմամբ:
3. Եկեք $∠ M=β$ անկյուն կառուցենք $C$ գագաթի վրա $BC$ կողմի նկատմամբ:
4. Եկեք միացնենք $∠ K$ և $∠ M$ ճառագայթների հատման կետը (սա կլինի $A$ կետը) $C$ և $B$ կետերով,

Շինարարություն.

Կառուցենք գծագիր՝ համաձայն վերը կազմված հատակագծի (նկ. 3):

Ապացույց.

Շինարարությունից պարզ է դառնում, որ բոլոր նախնական պայմանները բավարարված են։

Ուսումնասիրել.

Քանի որ եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է $180^\circ$-ի, ապա եթե $α+β≥180^\circ$ խնդիրը լուծումներ չի ունենա։

Հակառակ դեպքում լուծում կա։ Քանի որ մենք կարող ենք անկյուններ կառուցել երկու կողմերից, մենք կարող ենք կառուցել երկու այդպիսի եռանկյուն: Բայց, քանի որ դրանք ըստ երկրորդ չափանիշի հավասար են միմյանց, կենթադրենք, որ այս խնդրի լուծումը եզակի է։