Ինտեգրալի կոնվերգենցիան համեմատելու նշան: Անպատշաճ ինտեգրալներ. Համեմատության թեորեմ ոչ պատշաճ ինտեգրալների համար

Փոփոխական շարքերը շարքեր են, որոնց տերմինները հերթափոխով լինում են դրական և բացասական: . Ամենից հաճախ դիտարկվում են փոփոխական շարքեր, որոնցում տերմինները հերթով հերթափոխվում են. յուրաքանչյուր դրականին հաջորդում է բացասականը, իսկ յուրաքանչյուր բացասականին հաջորդում է դրականը: Բայց կան հերթափոխային շարքեր, որոնցում անդամները փոխարինվում են երկու, երեք և այլն:

Դիտարկենք այլընտրանքային շարքի օրինակ, որի սկիզբն ունի հետևյալ տեսքը.

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

և անմիջապես ընդհանուր կանոններփոխարինող տողերի գրառումներ.

Ինչպես ցանկացած շարքի դեպքում, տվյալ շարքը շարունակելու համար անհրաժեշտ է նշել մի ֆունկցիա, որը որոշում է շարքի ընդհանուր տերմինը: Մեր դեպքում դա այդպես է n + 2 .

Ինչպե՞ս սահմանել շարքի անդամների նշանների հերթափոխը: Որոշակի չափով ֆունկցիայի բազմապատկում մինուս մեկով: Որքանո՞վ։ Անմիջապես ընդգծենք, որ ամեն աստիճան չէ, որ ապահովում է շարքի տերմինների նշանների փոփոխությունը։

Ենթադրենք, մենք ցանկանում ենք, որ փոփոխական շարքի առաջին անդամը դրական նշան ունենա, ինչպես վերը նշված օրինակում է: Հետո մինուս մեկը պետք է լինի իշխանությանը n− 1. Սկսեք մեկից սկսած թվերը փոխարինել այս արտահայտությամբ և կստանաք որպես ցուցիչ մինուս մեկ, կամ նույնիսկ, թե ոչ զույգ թիվ. Սա այն է անհրաժեշտ պայմանփոփոխական նշաններ! Մենք ստանում ենք նույն արդյունքը, երբ n+ 1. Եթե ​​ցանկանում ենք, որ փոփոխական շարքի առաջին անդամը բացասական նշան ունենա, ապա կարող ենք սահմանել այս շարքը՝ ընդհանուր անդամի ֆունկցիան մեկով բազմապատկելով հզորության վրա։ n. Ստանում ենք զույգ թիվ, կենտ թիվ և այլն։ Ինչպես տեսնում ենք, փոխարինող նշանների արդեն նկարագրված պայմանը կատարված է։

Այսպիսով, վերը նշված փոփոխական շարքերը կարող ենք գրել ընդհանուր ձևով.

Շարքի անդամի նշանները փոխարինելու համար մինուս մեկ հզորությունը կարող է լինել գումարը nև ցանկացած դրական կամ բացասական, զույգ կամ կենտ թիվ: Նույնը վերաբերում է 3-ին n , 5n, ... Այսինքն՝ հերթափոխային շարքի անդամների նշանների փոխարինումն ապահովում է մինուս մեկ աստիճանը՝ գումարի տեսքով։ n, բազմապատկված ցանկացած կենտ թվով և ցանկացած թվով:

Որո՞նք են մինուս մեկ հզորությունները չեն ապահովում շարքի տերմինների նշանների փոփոխությունը: Նրանք, որոնք առկա են ձևի մեջ n, բազմապատկված ցանկացած զույգ թվով, որին ավելացվել է ցանկացած թիվ՝ ներառյալ զրո, զույգ կամ կենտ։ Նման աստիճանների ցուցիչների օրինակներ՝ 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... Նման հզորությունների դեպքում, կախված նրանից, թե ինչ թվին է գումարվում «en»-ը, բազմապատկվում է զույգ թվով, ստացվում են միայն զույգ կամ միայն կենտ թվեր, ինչը, ինչպես արդեն պարզեցինք, չի ստացվում. տալ շարքի պայմանների նշանների հերթափոխը:

Փոխարինվող սերիա - հատուկ դեպք փոփոխական շարքեր . Փոփոխական շարքերը կամայական նշաններով շարքեր են , այսինքն՝ նրանք, որոնք ցանկացած հերթականությամբ կարող են լինել դրական և բացասական։ Փոխարինվող շարքի օրինակ.

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Հաջորդը, մենք դիտարկում ենք փոփոխական և հերթափոխային շարքերի սերտաճման նշանները: Նշանների փոփոխվող շարքերի պայմանական կոնվերգենցիան կարելի է հաստատել Լայբնիցի թեստի միջոցով։ Իսկ շարքերի ավելի լայն շրջանակի համար՝ փոփոխական սերիաներ (այդ թվում՝ փոփոխական սերիաներ), գործում է բացարձակ կոնվերգենցիայի չափանիշը։

Նշանների հերթափոխային շարքերի կոնվերգենցիան: Լայբնիցի թեստը

Փոխարինվող նշանների շարքի դեպքում գործում է կոնվերգենցիայի հետևյալ չափանիշը՝ Լայբնիցի չափանիշը:

Թեորեմ (Լայբնիցի թեստ).Շարքը համընկնում է, և դրա գումարը չի գերազանցում առաջին անդամը, եթե միաժամանակ բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները.

• փոփոխական շարքի պայմանների բացարձակ արժեքները նվազում են. u1 > u 2 > u 3 > ... > u n>...;
• դրա ընդհանուր ժամկետի սահմանը՝ անսահմանափակ աճով nհավասար է զրոյի:

Հետևանք. Եթե ​​փոխարինող շարքերի գումարը վերցնենք որպես դրա գումար nպայմաններով, ապա թույլատրված սխալը չի ​​գերազանցի առաջին մերժված տերմինի բացարձակ արժեքը:

Օրինակ 1.Ուսումնասիրեք շարքի մերձեցումը

Լուծում. Սա այլընտրանքային շարք է: Նրա անդամների բացարձակ արժեքները նվազում են.

և ընդհանուր տերմինի սահմանը

հավասար է զրոյի:

Լայբնիցի թեստի երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ուստի շարքը համընկնում է:

Օրինակ 2.Ուսումնասիրեք շարքի մերձեցումը

Լուծում. Սա այլընտրանքային շարք է: Նախ մենք ապացուցում ենք, որ.

, .

Եթե Ն= 1, ապա բոլորի համար n > Ն 12 անհավասարությունը պահպանվում է n − 7 > n. Իր հերթին՝ բոլորի համար n. Հետեւաբար, այսինքն, շարքի պայմանները նվազում են բացարձակ արժեքով: Եկեք գտնենք շարքի ընդհանուր տերմինի սահմանը (օգտագործելով L'Hopital-ի կանոն):

Ընդհանուր տերմինի սահմանը զրոյական է: Լայբնիցի թեստի երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ուստի կոնվերգենցիայի հարցի պատասխանը դրական է։

Օրինակ 3.Ուսումնասիրեք շարքի մերձեցումը

Լուծում. Տրվում է փոփոխական շարք: Պարզենք՝ բավարարվա՞ծ է Լայբնիցի չափանիշի առաջին պայմանը, այն է՝ պահանջը։ Որպեսզի պահանջը կատարվի, անհրաժեշտ է, որ

Մենք համոզվել ենք, որ պահանջը կատարվի բոլորի համար n > 0 . Լայբնիցի առաջին չափանիշը բավարարված է. Գտնենք շարքի ընդհանուր տերմինի սահմանը.

.

Սահմանը զրոյական չէ. Այսպիսով, Լայբնիցի չափանիշի երկրորդ պայմանը բավարարված չէ, ուստի կոնվերգենցիան բացառվում է։

Օրինակ 4.Ուսումնասիրեք շարքի մերձեցումը

Լուծում. Այս շարքում երկու բացասական տերմինին հաջորդում են երկու դրական: Այս շարքը նույնպես փոփոխական է։ Պարզենք՝ բավարարվա՞ծ է Լայբնիցի թեստի առաջին պայմանը։

Պահանջը կատարվում է բոլորի համար n > 1 . Լայբնիցի առաջին չափանիշը բավարարված է. Եկեք պարզենք, թե արդյոք ընդհանուր տերմինի սահմանը հավասար է զրոյի (կիրառելով L'Hopital-ի կանոնը).

.

Մենք զրո ենք ստացել։ Այսպիսով, Լայբնիցի չափանիշի երկու պայմաններն էլ բավարարված են։ Կոնվերգենցիա է տեղի ունենում.

Օրինակ 5.Ուսումնասիրեք շարքի մերձեցումը

Լուծում. Սա այլընտրանքային շարք է: Պարզենք՝ բավարարվա՞ծ է Լայբնիցի թեստի առաջին պայմանը։ Որովհետև

,

Որովհետև n ≥ 0 , ապա 3 n+ 2 > 0. Իր հերթին բոլորի համար n, Ահա թե ինչու. Հետևաբար, շարքի պայմանները բացարձակ արժեքով նվազում են։ Լայբնիցի առաջին չափանիշը բավարարված է. Եկեք պարզենք, թե արդյոք շարքի ընդհանուր անդամի սահմանը հավասար է զրոյի (կիրառելով L'Hopital-ի կանոնը).

.

Մենք ստացանք զրոյական արժեք: Լայբնիցի թեստի երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ուստի այս շարքը համընկնում է:

Օրինակ 6.Ուսումնասիրեք շարքի մերձեցումը

Լուծում. Եկեք պարզենք, թե արդյոք Լայբնիցի թեստի առաջին պայմանը բավարարված է այս փոփոխական շարքի համար.

Շարքի պայմանները նվազում են բացարձակ արժեքով: Լայբնիցի առաջին չափանիշը բավարարված է. Եկեք պարզենք, թե արդյոք ընդհանուր անդամի սահմանը հավասար է զրոյի.

.

Ընդհանուր տերմինի սահմանը զրո չէ։ Լայբնիցի չափանիշի երկրորդ պայմանը չի բավարարվում. Հետևաբար, այս շարքը տարբերվում է:

Լայբնիցի թեստը նշան է պայմանական կոնվերգենցիաշարք. Սա նշանակում է, որ վերը թվարկված փոփոխական շարքերի մերձեցման և տարաձայնությունների մասին եզրակացությունները կարող են լրացվել.

Փոփոխական շարքերի բացարձակ կոնվերգենցիա

Թող շարքը

- փոփոխական նշան. Դիտարկենք մի շարք, որը կազմված է իր անդամների բացարձակ արժեքներից.

Սահմանում. Շարքը համարվում է բացարձակ կոնվերգենտ, եթե մի շարք, որը կազմված է իր անդամների բացարձակ արժեքներից, համընկնում է: Եթե ​​փոփոխական շարքը համընկնում է, և նրա անդամների բացարձակ արժեքներից կազմված շարքը շեղվում է, ապա այդպիսի փոփոխական շարքը կոչվում է. պայմանականորեն կամ ոչ բացարձակ կոնվերգենտ .

Թեորեմ.Եթե ​​շարքը զուգակցվում է բացարձակապես, ապա այն զուգակցվում է պայմանականորեն:

Օրինակ 7.Որոշեք, թե արդյոք շարքը համընկնում է

Լուծում. Դրական տերմինների կողքին այս շարքին համապատասխան է սա շարքը ընդհանրացված ներդաշնակ շարքեր, որում, հետևաբար շարքը տարբերվում է։ Եկեք ստուգենք, թե արդյոք Լայբնիցի թեստի պայմանները բավարարված են։

Գրենք շարքի առաջին հինգ անդամների բացարձակ արժեքները.

.

Ինչպես տեսնում ենք, շարքի պայմանները նվազում են բացարձակ արժեքով։ Լայբնիցի առաջին չափանիշը բավարարված է. Եկեք պարզենք, թե արդյոք ընդհանուր անդամի սահմանը հավասար է զրոյի.

Մենք ստացանք զրոյական արժեք: Լայբնիցի թեստի երկու պայմաններն էլ բավարարված են։ Այսինքն, ըստ Լայբնիցի չափանիշի, տեղի է ունենում կոնվերգենցիա։ Իսկ դրական տերմիններով համապատասխան շարքը տարբերվում է։ Հետևաբար, այս շարքը պայմանականորեն համընկնում է:

Օրինակ 8.Որոշեք, թե արդյոք շարքը համընկնում է

բացարձակապես, պայմանականորեն կամ տարբերվում է:

Լուծում. Դրական տերմինների կողքին այս շարքին համապատասխան է սերիան Սա ընդհանրացված ներդաշնակ շարք է, որում, հետևաբար, շարքը տարբերվում է: Եկեք ստուգենք, թե արդյոք Լայբնիցի թեստի պայմանները բավարարված են:

Շարք

Թող մի շարք տրվի ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n))Եվ α = lim ¯ n → ∞ ⁡ |ա ն |

n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty)(\sqrt[(n)](|a_(n)|))) . ՀետոԵվ Կոշիի և դ'Ալեմբերի թեստերում կոնվերգենցիայի մասին հայտարարությունը բխում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հետ համեմատությունից (հայտարարներով. lim ¯ n → ∞ ⁡ |

a n + 1 a n |

(\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\աջ|)

Թող մի շարք տրվի α (\displaystyle \alpha)համապատասխանաբար), տարաձայնությունների մասին - այն փաստից, որ շարքի ընդհանուր տերմինը չի ձգտում զրոյի: Քոշիի թեստն ավելի ուժեղ է, քան Դ'Ալեմբերի թեստը այն առումով, որ եթե Դ'Ալեմբերի թեստը ցույց է տալիս կոնվերգենցիա, ապա Կոշիի թեստը ցույց է տալիս կոնվերգենցիա; եթե Կոշիի թեստը թույլ չի տալիս եզրակացություն անել կոնվերգենցիայի մասին, ապա Դ'Ալեմբերի թեստը նույնպես թույլ չի տալիս որևէ եզրակացություն անել. Կան շարքեր, որոնց համար Կոշիի թեստը ցույց է տալիս կոնվերգենցիա, բայց Դ'Ալեմբերի թեստը ցույց չի տալիս կոնվերգենցիան:Ինտեգրալ Կոշի-Մակլաուրին թեստ

∑ n = 1 ∞ a n, a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)a_(n),a_(n)\geqslant 0) և գործառույթ f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) այնպիսին, որ.Հետո շարքը ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)a_(n))

և ինտեգրալ

Թող մի շարք տրվի ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \սահմանները _(1)^(\infty)f(x)dx)Եվ համընկնել կամ շեղվել միաժամանակ, և.

∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=ky)^(\ )a_(n)\geqslant \int \սահմանները _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

Ռաբեի նշանը

a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)

R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\աջ)) Ռաաբեի թեստը հիմնված է ընդհանրացված ներդաշնակ շարքի հետ համեմատության վրա. Այս շարքի համար.

Այսպիսով, Կոշիի թեստը ցույց է տալիս կոնվերգենցիան, մինչդեռ Դ'Ալեմբերի թեստը թույլ չի տալիս եզրակացություններ անել։

R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\աջ)) ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)2^(n-(-1)^(n)))

Այսպիսով, Կոշիի թեստը վկայում է տարաձայնության մասին, մինչդեռ Դ'Ալեմբերի թեստը մեզ թույլ չի տալիս որևէ եզրակացություն անել։

Շարք ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)(\frac (1)(n^(\alpha ))))համընկնում է α > 1 (\displaystyle \alpha >1)և շեղվում է α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), սակայն.

Այսպիսով, Կոշիի և դ'Ալեմբերի նշանները մեզ թույլ չեն տալիս որևէ եզրակացություն անել։

Շարք ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))պայմանականորեն համընկնում է Լայբնիցի չափանիշի համաձայն, բայց ոչ բացարձակ, քանի որ ներդաշնակ շարքը ∑ n = 1 ∞ |(− 1) n n |

= ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\աջ|=\գումար _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) տարբերվում է., անսահմանափակ է կետի ձախ հարեւանությամբ b (\displaystyle b). Երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալ ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \սահմանները _(a)^(b)f(x)dx)կանչեց բացարձակապես կոնվերգենտ.

, եթե ինտեգրալը համընկնում է

∫ ա բ |

f(x) |

d x (\displaystyle \int \սահմանները _(a)^(b)|f(x)|dx)

Այժմ մենք կանցնենք այն շարքերի ուսումնասիրությանը, որոնց անդամները ցանկացած նշանի իրական թվեր են:

Սահմանում 1. Մենք կանվանենք շարքը

բացարձակ կոնվերգենտ, եթե շարքը համընկնում է

Նկատի ունեցեք, որ այս սահմանումը ոչինչ չի ասում այն ​​մասին, թե արդյոք սերիան (1.49) ինքնին ենթադրվում է համընկնում: Ստացվում է, որ նման ենթադրությունն ավելորդ կլիներ, քանի որ ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 1.9. Շարքերի սերտաճումը (1.50) ենթադրում է սերիաների սերտաճում (1.49):

Ապացույց. Եկեք օգտագործենք Քոշիի չափանիշը շարքի համար (այսինքն, թեորեմ 1.1): Պահանջվում է ապացուցել, որ ցանկացած թվի համար կա այնպիսի թիվ, որ պայմանը բավարարող բոլոր թվերի և ցանկացած բնական թվի համար ճշմարիտ է հետևյալ անհավասարությունը.

Մենք ուղղում ենք ցանկացած. Քանի որ շարքը (1.50) համընկնում է, ուրեմն, թեորեմ 1.1-ի համաձայն, կա այնպիսի թիվ, որ պայմանը բավարարող բոլոր թվերի և ցանկացած բնական թվի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.

Այս շարքը բացարձակապես համընկնում է, քանի որ երբ (1.33) շարքը համընկնում է:

Բերենք պայմանականորեն կոնվերգենտ շարքի օրինակ։ Ապացուցենք շարքի պայմանական սերտաճումը

Քանի որ մոդուլների համապատասխան շարքը (ներդաշնակ շարքը), ինչպես արդեն գիտենք, շեղվում է, ապա շարքի պայմանական կոնվերգենցիան (1.54) ապացուցելու համար բավական է ապացուցել, որ այս շարքը համընկնում է։ Եկեք ապացուցենք, որ (1.54) շարքը համընկնում է թվի հետ: 2-րդ պարբերության 9-րդ գլխ. 6 մաս 1 մենք ստացանք տարրալուծումը ֆունկցիայի Maclaurin բանաձևի համաձայն

Այնտեղ հատվածից բոլոր x-ի համար ստացվել է մնացորդային անդամի հետևյալ գնահատականը.