Շրջանագծի հավասարում. Շրջանի և ուղիղ գծի հավասարում Շրջանակի հավասարումն ըստ կենտրոնի և կետի

Դասարան: 8

Դասի նպատակը.ներկայացնել շրջանագծի հավասարումը, սովորեցնել ուսանողներին կազմել շրջանագծի հավասարում ըստ ավարտված գծագրի, շրջան կազմել ըստ տրված հավասարման:

Սարքավորումներինտերակտիվ տախտակ:

Դասի պլան:

1. Կազմակերպչական պահ - 3 ր.
2. Կրկնություն. Կազմակերպություն մտավոր գործունեություն- 7 րոպե
3. Նոր նյութի բացատրություն. Շրջանակի հավասարման ածանցում՝ 10 ր.
4. Ուսումնասիրված նյութի համախմբում - 20 ր.
5. Դասի ամփոփում – 5ր.

Դասերի ժամանակ

2. Կրկնություն.

− (Հավելված 1 սլայդ 2) գրեք հատվածի կեսի կոորդինատները գտնելու բանաձևը.

− (Սլայդ 3) Զգրեք կետերի միջև հեռավորության բանաձևը (հատվածի երկարությունը).

3. Նոր նյութի բացատրություն.

(Սլայդներ 4 - 6)Սահմանի՛ր շրջանագծի հավասարումը: Ստացրե՛ք շրջանագծի հավասարումները, որոնք կենտրոնացած են մի կետի վրա ( Ա;բ) և կենտրոնացած է սկզբնաղբյուրում:

(X – Ա ) 2 + (ժամը – բ ) 2 = Ռ 2 − շրջանագծի հավասարում կենտրոնով ՀԵՏ (Ա;բ) , շառավիղը Ռ , X Եվ ժամը – շրջանագծի կամայական կետի կոորդինատները .

X 2 + y 2 = Ռ 2-ը սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագծի հավասարումն է:

(Սլայդ 7)

Շրջանակի հավասարումը գրելու համար անհրաժեշտ է.

• իմանալ կենտրոնի կոորդինատները;
• իմանալ շառավիղի երկարությունը;
• կենտրոնի կոորդինատները և շառավիղի երկարությունը փոխարինի՛ր շրջանագծի հավասարման մեջ։

4. Խնդիրների լուծում.

Թիվ 1 - թիվ 6 առաջադրանքներում կազմի՛ր շրջանագծի հավասարումները՝ ըստ պատրաստի գծագրերի։

(Սլայդ 14)

№ 7. Լրացրե՛ք աղյուսակը.

(Սլայդ 15)

№ 8. Հավասարումներով տրված նոթատետրում շրջաններ կառուցե՛ք.

Ա) ( X – 5) 2 + (ժամը + 3) 2 = 36;
բ) (X + 1) 2 + (ժամը– 7) 2 = 7 2 .

(Սլայդ 16)

№ 9. Գտե՛ք կենտրոնի կոորդինատները և շառավիղի երկարությունը, եթե ԱԲշրջանագծի տրամագիծն է։

Տրված է.		Լուծում:
		Ռ	Կենտրոնի կոորդինատները
1	Ա(0 ; -6) IN(0 ; 2)	ԱԲ 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; ԱԲ 2 = 64; ԱԲ = 8 .	Ա(0; -6) IN(0 ; 2) ՀԵՏ(0 ; – 2) – կենտրոն
2	Ա(-2 ; 0) IN(4 ; 0)	ԱԲ 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; ԱԲ 2 = 36; ԱԲ = 6.	Ա (-2;0) IN (4 ;0) ՀԵՏ(1 ; 0) – կենտրոն

(Սլայդ 17)

№ 10. Գրի՛ր կետի միջով անցնող սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագծի հավասարումը TO(-12;5).

Լուծում.

R2 = Լավ 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Շրջանագծի հավասարումը` x 2 + y 2 = 169 .

(Սլայդ 18)

№ 11. Գրի՛ր սկզբնակետով անցնող և կետի վրա կենտրոնացած շրջանագծի հավասարումը ՀԵՏ(3; - 1).

Լուծում.

R2= ՕՀ 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Շրջանագծի հավասարումը. X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Սլայդ 19)

№ 12. Գրի՛ր կենտրոնով շրջանագծի հավասարումը Ա(3;2) անցնելով IN(7;5).

Լուծում.

1. Շրջանի կենտրոնը - Ա(3;2);
2.Ռ = ԱԲ;
ԱԲ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; ԱԲ = 5;
3. Շրջանային հավասարում ( X – 3) 2 + (ժամը − 2) 2 = 25.

(Սլայդ 20)

№ 13. Ստուգեք, արդյոք կետերը ստում են Ա(1; -1), IN(0;8), ՀԵՏ(-3; -1) հավասարմամբ տրված շրջանագծի վրա ( X + 3) 2 + (ժամը − 4) 2 = 25.

Լուծում.

Ի. Փոխարինի՛ր կետի կոորդինատները Ա(1; -1) շրջանագծի հավասարման մեջ.

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - հավասարությունը սխալ է, ինչը նշանակում է Ա(1; -1) չի ստումհավասարմամբ տրված շրջանագծի վրա ( X + 3) 2 + (ժամը − 4) 2 = 25.

II. Փոխարինի՛ր կետի կոորդինատները IN(0;8) շրջանագծի հավասարման մեջ.

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
IN(0;8)ստում X + 3) 2 + (ժամը − 4) 2 = 25.

III.Փոխարինի՛ր կետի կոորդինատները ՀԵՏ(-3; -1) շրջանագծի հավասարման մեջ.

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - հավասարությունը ճիշտ է, ուստի ՀԵՏ(-3; -1) ստումհավասարմամբ տրված շրջանագծի վրա ( X + 3) 2 + (ժամը − 4) 2 = 25.

Դասի ամփոփում.

1. Կրկնել՝ շրջանագծի հավասարում, սկզբնաղբյուրում կենտրոնացած շրջանագծի հավասարում:
2. (Սլայդ 21) Տնային աշխատանք.

Դասի թեման. Շրջանագծի հավասարում

Դասի նպատակները.

Ուսումնական: Բացի՛ր շրջանագծի հավասարումը, այս խնդրի լուծումը դիտարկելով որպես կոորդինատային մեթոդի կիրառման հնարավորություններից մեկը։

Ի վիճակի լինել:

– Ճանաչել շրջանագծի հավասարումը` ըստ առաջարկված հավասարման, սովորեցնել ուսանողներին կազմել շրջանագծի հավասարում` ըստ ավարտված գծագրի, կազմել շրջան` ըստ տրված հավասարման:

Ուսումնական : Քննադատական ​​մտածողության ձևավորում.

Ուսումնական : Ալգորիթմական դեղատոմսեր պատրաստելու ունակության և առաջարկվող ալգորիթմի համաձայն գործելու կարողության զարգացում:

Ի վիճակի լինել:

– Տեսեք խնդիրը և պլանավորեք դրա լուծման ուղիները:

– Ամփոփեք ձեր մտքերը բանավոր և գրավոր:

Դասի տեսակը. նոր գիտելիքների յուրացում.

Սարքավորումներ ԱՀ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, էկրան:

Դասի պլան:

1. ներածություն- 3 րոպե

2. Գիտելիքների թարմացում - 2 ր.

3. Խնդրի շարադրանքը և դրա լուծումը -10 ր.

4. Նոր նյութի ճակատային ամրացում՝ 7ր.

5. Անկախ աշխատանքխմբերով՝ 15ր.

6. Աշխատանքի ներկայացում՝ քննարկում – 5ր.

7. Դասի արդյունքը. Տնային առաջադրանք - 3ր.

Դասերի ժամանակ

Այս փուլի նպատակը. Ուսանողների հոգեբանական տրամադրություն; Բոլոր ուսանողների ներգրավվածությունը ուսումնական գործընթաց, ստեղծելով հաջողության իրավիճակ։

1. Կազմակերպման ժամանակ.

3 րոպե

Տղե՛րք։ Շրջանակին հանդիպեցիք դեռ 5-րդ և 8-րդ դասարաններում: Ի՞նչ գիտեք նրա մասին:

Դուք շատ բան գիտեք, և այս տվյալները կարող են օգտագործվել որոշելու համար երկրաչափական խնդիրներ. Բայց այն խնդիրների լուծման համար, որոնցում օգտագործվում է կոորդինատային մեթոդը, դա բավարար չէ։Ինչո՞ւ։

Բացարձակապես ճիշտ.

Հետևաբար, այսօրվա դասի հիմնական նպատակը ես դրեցի շրջանագծի հավասարման ածանցումը երկրաչափական հատկություններայս տողը և դրա կիրառումը երկրաչափական խնդիրների լուծման համար:

Թող գնադասի կարգախոսը Կենտրոնական Ասիայի գիտնական-հանրագիտարան Ալ-Բիրունիի խոսքերը կդառնան. Բոլորը ձգտում են դրան, բայց դա ինքնըստինքյան չի գալիս»։

Դասի թեման գրեք նոթատետրում:

Շրջանակի սահմանում.

Շառավիղ.

Տրամագիծը.

Ակորդ. և այլն:

Մենք դեռ չգիտենք ընդհանուր տեսարանշրջանագծի հավասարումներ.

Ուսանողները թվարկում են այն ամենը, ինչ գիտեն շրջանակի մասին:

սլայդ 2

սլայդ 3

Բեմի նպատակն է պատկերացում կազմել ուսանողների կողմից նյութի ուսուցման որակի մասին, որոշել հիմնական գիտելիքները:

2. Գիտելիքների թարմացում.

2 րոպե

Շրջանակի հավասարումը հանելիս Ձեզ անհրաժեշտ կլինի շրջանագծի արդեն հայտնի սահմանումը և բանաձևը, որը թույլ է տալիս գտնել երկու կետերի միջև հեռավորությունը դրանց կոորդինատներով:Հիշենք այս փաստերը /Պնյութի կրկնություն նախկինում ուսումնասիրված/:

– Գրի՛ր հատվածի միջնակետի կոորդինատները գտնելու բանաձևը.

– Գրեք վեկտորի երկարությունը հաշվարկելու բանաձևը.

– Գրի՛ր կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու բանաձևը (հատվածի երկարությունը):

Գրառումների խմբագրում...

Երկրաչափական վարժություն.

Տրված միավորներA (-1; 7) ԵվՄեջ (7; 1):

Հաշվի՛ր AB հատվածի միջնակետի և դրա երկարության կոորդինատները։

Ստուգում է կատարման ճիշտությունը, շտկում է հաշվարկները ...

Մեկ աշակերտ գրատախտակի մոտ, իսկ մնացածները տետրերում բանաձևեր են գրում

Շրջանակը կոչվում է երկրաչափական պատկեր, որը բաղկացած է բոլոր կետերից, որոնք գտնվում են տվյալ կետից որոշակի հեռավորության վրա։

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Հաշվել՝ C (3; 4)

| ԱԲ | = 10

ՀԵՏ պառկել 4

սլայդ 5

3. Նոր գիտելիքների ձևավորում.

12 րոպե

Նպատակը` հայեցակարգի ձևավորում` շրջանագծի հավասարում:

Լուծել խնդիրը.

A(x; y) կենտրոնով շրջանագիծը կառուցված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում: M(x; y) - շրջանագծի կամայական կետ. Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը։

Որևէ այլ կետի կոորդինատները կբավարարե՞ն այս հավասարությանը։ Ինչո՞ւ։

Եկեք քառակուսի դարձնենք հավասարման երկու կողմերը:Արդյունքում մենք ունենք.

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² շրջանագծի հավասարումն է, որտեղ (x; y) շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատներն են, (x; y) կամայականի կոորդինատներն են: կետը ընկած է շրջանագծի վրա, r-ը շրջանագծի շառավիղն է:

Լուծել խնդիրը.

Ո՞րն է լինելու սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագծի հավասարումը:

Այսպիսով, ի՞նչ է պետք իմանալ շրջանագծի հավասարումը գրելու համար:

Առաջարկեք ալգորիթմ շրջանակի հավասարումը կազմելու համար:

Եզրակացություն՝ ... գրեք նոթատետրում:

Շառավիղը շրջանագծի կենտրոնը շրջանագծի վրա ընկած կամայական կետի հետ կապող հատված է: Հետևաբար, r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Շրջանակի ցանկացած կետ ընկած է այդ շրջանագծի վրա:

Աշակերտները գրում են նոթատետրերում:

(0;0) - շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները:

x² + y² = r², որտեղ r-ը շրջանագծի շառավիղն է:

Շրջանակի կենտրոնի կոորդինատները, շառավիղը, շրջանագծի ցանկացած կետ...

Նրանք առաջարկում են ալգորիթմ...

Գրեք ալգորիթմը նոթատետրում:

սլայդ 6

Սլայդ 7

Սլայդ 8

Ուսուցիչը գրատախտակին գրում է հավասարումը:

Սլայդ 9

4. Առաջնային ամրացում.

23 րոպե

Թիրախ:Ուսանողների կողմից նոր ընկալված նյութի վերարտադրումը՝ կանխելու ձևավորված գաղափարների և հասկացությունների կորուստը.. Նոր գիտելիքների, գաղափարների, հասկացությունների համախմբում դրանց հիման վրահավելվածներ։

ZUN հսկողություն

Ստացված գիտելիքները կիրառենք հետեւյալ խնդիրների լուծման գործում.

Առաջադրանք. Առաջարկվող հավասարումներից նշե՛ք նրանց թվերը, որոնք շրջանագծի հավասարումներ են: Իսկ եթե հավասարումը շրջանագծի հավասարումն է, ապա նշե՛ք կենտրոնի կոորդինատները և նշե՛ք շառավիղը։

Երկու փոփոխականներով երկրորդ աստիճանի յուրաքանչյուր հավասարում չէ, որ սահմանում է շրջան:

4x² + y² \u003d 4-էլիպսի հավասարումը.

x²+y²=0-կետ.

x² + y² \u003d -4-այս հավասարումը չի սահմանում որևէ ցուցանիշ:

Տղե՛րք։ Ի՞նչ պետք է իմանաք շրջանագծի համար հավասարություն գրելու համար:

Լուծեք խնդիրը No 966 էջ 245 (դասագիրք).

Ուսուցիչը աշակերտին կանչում է գրատախտակի մոտ:

Խնդրի պայմանում նշված տվյալները բավարա՞ր են շրջանագծի համար հավասարում կազմելու համար:

Առաջադրանք.

Գրի՛ր սկզբնակետում կենտրոնացած և 8 տրամագծով շրջանագծի հավասարումը։

Առաջադրանք գծում է շրջան։

Կենտրոնը կոորդինատներ ունի՞

Որոշի՛ր շառավիղը... և կառուցի՛ր

Առաջադրանք էջ 243 (դասագիրք) հասկացվում է բանավոր.

Օգտագործելով խնդրի լուծման պլանը էջ 243-ից, լուծեք խնդիրը.

Գրե՛ք A(3;2) կետում կենտրոնացած շրջանագծի հավասարումը, եթե շրջանագիծն անցնում է B(7;5) կետով:

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - շրջանագծի հավասարում; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - շրջանագծի հավասարում; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - շրջանագծի հավասարում; (0; 0), r \u003d √7:

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- շրջանագծի հավասարում; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4-ը շրջանագծի հավասարում չէ:

6) x² + y² = 0- շրջանագծի հավասարում չէ:

7) x² + y² = -4- շրջանագծի հավասարում չէ:

Իմացեք շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները:

Շառավիղի երկարությունը.

Կենտրոնի կոորդինատները և շառավիղի երկարությունը փոխարինի՛ր շրջանագծի ընդհանուր հավասարմամբ:

Լուծել խնդիր թիվ 966 էջ 245 (դասագիրք).

Բավական տվյալներ։

Նրանք լուծում են խնդիրը։

Քանի որ շրջանագծի տրամագիծը նրա շառավիղի երկու անգամն է, ուրեմն r=8÷2=4։ Հետևաբար, x² + y² = 16:

Կատարել շրջանակների կառուցում

Դասագրքային աշխատանք. Առաջադրանք էջ 243.

Տրված է՝ A (3; 2) - շրջանագծի կենտրոնը; В(7;5)є(А;r)

Գտեք՝ շրջանագծի հավասարումը

Լուծում` r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Պատասխան՝ (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

սլայդ 10-13

Տիպիկ խնդիրների լուծում՝ լուծումը բարձրաձայն արտասանելով:

Ուսուցիչը կանչում է մեկ աշակերտի գրի առնելու ստացված հավասարումը:

Վերադարձ դեպի սլայդ 9

Այս խնդրի լուծման ծրագրի քննարկում։

Սլայդ. 15. Ուսուցիչը մեկ աշակերտի հրավիրում է գրատախտակ՝ այս խնդիրը լուծելու համար:

սլայդ 16.

սլայդ 17.

5. Դասի ամփոփում.

5 րոպե

Դասարանում գործունեության արտացոլումը:

Տնային առաջադրանք՝ §3, կետ 91, Վերահսկիչ հարցեր №16,17.

Խնդիրներ թիվ 959(բ, դ, ե), 967։

Լրացուցիչ գնահատման առաջադրանք (խնդիրային առաջադրանք). Կառուցե՛ք հավասարմամբ տրված շրջան

x² + 2x + y² -4y = 4:

Ինչի՞ մասին խոսեցինք դասարանում:

Ի՞նչ էիք ուզում ստանալ:

Ո՞րն էր դասի նպատակը:

Ի՞նչ խնդիրներ կարող է լուծել մեր «հայտնագործությունը»։

Ձեզնից ո՞վ է հավատում, որ դասում ուսուցչի առաջադրած նպատակին հասել եք 100%-ով, 50%-ով; չհասա՞ր նպատակին...

Գնահատում.

Գրիր տնային աշխատանքը:

Աշակերտները պատասխանում են ուսուցչի առաջադրած հարցերին: Իրականացնել սեփական կատարողականի ինքնագնահատում:

Աշակերտները պետք է մեկ բառով արտահայտեն արդյունքը և դրան հասնելու ուղիները:

Հարթության վրա գծի հավասարումը

Նախ ներկայացնենք երկչափ կոորդինատային համակարգում ուղիղի հավասարման հայեցակարգը: Թող դեկարտյան կոորդինատային համակարգում կառուցվի $L$ կամայական տող (նկ. 1):

Նկար 1. Կոորդինատների համակարգում կամայական գիծ

Սահմանում 1

$x$ և $y$ երկու փոփոխականներով հավասարումը կոչվում է $L$ տողի հավասարում, եթե այս հավասարումը բավարարվում է $L$ տողին պատկանող ցանկացած կետի կոորդինատներով և չի բավարարվում տողին չպատկանող որևէ կետով։ տող $L.$

Շրջանագծի հավասարում

Եկեք դուրս բերենք շրջանագծի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում $xOy$: Թող $C$ շրջանագծի կենտրոնը ունենա $(x_0,y_0)$ կոորդինատները, իսկ շրջանագծի շառավիղը հավասար լինի $r$-ի: Թող $M$ կետը $(x,y)$ կոորդինատներով լինի այս շրջանագծի կամայական կետ (նկ. 2):

Նկար 2. Շրջանագիծ դեկարտյան կոորդինատներով

Շրջանակի կենտրոնից մինչև $M$ կետի հեռավորությունը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ

Բայց քանի որ $M$-ն ընկած է շրջանագծի վրա, մենք ստանում ենք $CM=r$: Այնուհետև մենք ստանում ենք հետևյալը

Հավասարումը (1) շրջանագծի հավասարումն է, որը կենտրոնացած է $(x_0,y_0)$ կետում և $r$ շառավղով:

Մասնավորապես, եթե շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է ծագման հետ: Այնուհետև շրջանագծի հավասարումն ունի ձևը

Ուղիղ գծի հավասարում.

Եկեք դուրս բերենք $l$ ուղիղ գծի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում $xOy$: Թող $A$ և $B$ կետերն ունենան համապատասխանաբար $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ և $\(x_2,\ y_2\)$ կոորդինատները, իսկ $A$ և $B կետերը: $-ն ընտրված են այնպես, որ $l$ ուղիղը լինի $AB$ հատվածի ուղղահայաց կիսորդը: Ընտրում ենք $l$ տողին պատկանող $M=\(x,y\)$ կամայական կետ (նկ. 3):

Քանի որ $l$ ուղիղը $AB$ հատվածի ուղղահայաց կիսորդն է, $M$ կետը հավասար է այս հատվածի ծայրերից, այսինքն $AM=BM$։

Գտե՛ք այս կողմերի երկարությունները՝ օգտագործելով կետերի միջև հեռավորության բանաձևը.

Ուստի

Նշեք $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Ստանում ենք, որ դեկարտյան կոորդինատային համակարգում ուղիղ գծի հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում ուղիղների հավասարումները գտնելու խնդրի օրինակ

Օրինակ 1

Գտեք շրջանագծի հավասարումը, որը կենտրոնացած է $(2,\ 4)$ կետում: Անցնելով սկզբնակետով և նրա կենտրոնով անցնող $Ox,$ առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծով։

Լուծում.

Նախ գտնենք տրված շրջանագծի հավասարումը։ Դա անելու համար մենք կօգտագործենք շրջանագծի ընդհանուր հավասարումը (վերևում ստացված): Քանի որ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է $(2,\ 4)$ կետում, մենք ստանում ենք

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Գտեք շրջանագծի շառավիղը՝ որպես հեռավորություն $(2,\ 4)$ կետից մինչև $(0,0)$ կետը

Մենք ստանում ենք, որ շրջանագծի հավասարումը ունի ձև.

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Այժմ մենք գտնում ենք շրջանագծի հավասարումը, օգտագործելով հատուկ դեպք 1: Մենք ստանում ենք

շրջապատտվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերի բազմությունն է, որը կոչվում է կենտրոն:

Եթե ​​C կետը շրջանագծի կենտրոնն է, R-ը նրա շառավիղն է, իսկ M-ը կամայական կետ է շրջանագծի վրա, ապա շրջանագծի սահմանմամբ.

Հավասարությունը (1) է շրջանագծի հավասարումը R շառավիղը կենտրոնացած է C կետում:

Եկեք ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ (նկ. 104) և մի կետ C ( Ա; բ) R շառավղով շրջանագծի կենտրոնն է։ Թող М( X; ժամը) այս շրջանագծի կամայական կետն է:

Քանի որ |ԿՄ| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), ապա (1) հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = Ռ

(x-a) 2 + (y - բ) 2 = R 2 (2)

Կանչվում է (2) հավասարումը ընդհանուր հավասարումշրջանակներկամ R շառավղով շրջանագծի հավասարումը, որը կենտրոնացած է կետում ( Ա; բ) Օրինակ, հավասարումը

(x - լ) 2 + ( y + 3) 2 = 25

R = 5 շառավղով շրջանագծի հավասարումն է՝ կենտրոնացած (1; -3) կետում:

Եթե ​​շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է սկզբնակետին, ապա (2) հավասարումը ձև է ստանում

x 2 + ժամը 2 = R 2: (3)

Կանչվում է (3) հավասարումը շրջանագծի կանոնական հավասարումը .

Առաջադրանք 1.Գրե՛ք R = 7 շառավղով շրջանագծի հավասարումը, որը կենտրոնացած է սկզբնակետում:

Շառավիղի արժեքը ուղղակիորեն փոխարինելով (3) հավասարմամբ՝ մենք ստանում ենք

x 2 + ժամը 2 = 49.

Առաջադրանք 2.Գրե՛ք R = 9 շառավղով շրջանագծի հավասարումը, որը կենտրոնացած է C(3; -6) կետում:

Փոխարինելով C կետի կոորդինատների արժեքը և շառավիղի արժեքը (2) բանաձևով, մենք ստանում ենք

(X - 3) 2 + (ժամը- (-6)) 2 = 81 կամ ( X - 3) 2 + (ժամը + 6) 2 = 81.

Առաջադրանք 3.Գտե՛ք շրջանագծի կենտրոնը և շառավիղը

(X + 3) 2 + (ժամը-5) 2 =100.

Համեմատելով տրված հավասարումըընդհանուր շրջանագծի (2) հավասարմամբ մենք տեսնում ենք, որ Ա = -3, բ= 5, R = 10. Հետեւաբար, С(-3; 5), R = 10:

Առաջադրանք 4.Ապացուցեք, որ հավասարումը

x 2 + ժամը 2 + 4X - 2y - 4 = 0

շրջանագծի հավասարումն է։ Գտեք նրա կենտրոնը և շառավիղը:

Փոխակերպենք այս հավասարման ձախ կողմը.

x 2 + 4X + 4- 4 + ժամը 2 - 2ժամը +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (ժամը - 1) 2 = 9.

Այս հավասարումը շրջանագծի հավասարումն է (-2; 1); շրջանագծի շառավիղը 3 է։

Առաջադրանք 5.Գրե՛ք C(-1; -1) կետում կենտրոնացած շրջանագծի հավասարումը, որը դիպչում է AB ուղիղ գծին, եթե A (2; -1), B(-1; 3):

Գրենք AB ուղիղ գծի հավասարումը.

կամ 4 X + 3y-5 = 0.

Քանի որ շրջանագիծը շոշափում է տվյալ գծին, շփման կետին գծված շառավիղը ուղղահայաց է այս գծին: Շառավիղը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել հեռավորությունը C կետից (-1; -1) - շրջանագծի կենտրոնից մինչև ուղիղ գիծ 4: X + 3y-5 = 0:

Գրենք ցանկալի շրջանագծի հավասարումը

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված լինի շրջան x 2 + ժամը 2 = R 2: Դիտարկենք դրա կամայական կետը M( X; ժամը) (նկ. 105):

Թող շառավիղի վեկտորը Օ.Մ> M կետը կազմում է մեծության անկյուն տ O առանցքի դրական ուղղությամբ X, ապա M կետի աբսցիսան և օրդինատը փոխվում են՝ կախված տ

(0 տ x և y միջոցով տ, գտնում ենք

x= Rcos տ ; y= R մեղք տ , 0 տ

Կանչվում են (4) հավասարումները սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագծի պարամետրային հավասարումներ.

Առաջադրանք 6.Շրջանակը տրվում է հավասարումներով

x= \(\sqrt(3)\)cos տ, y= \(\sqrt(3)\) sin տ, 0 տ

Գրի՛ր այս շրջանագծի կանոնական հավասարումը:

Պայմանից բխում է x 2 = 3 co 2 տ, ժամը 2 = 3 մեղք 2 տ. Այս հավասարությունները տերմին առ տերմին ավելացնելով՝ ստանում ենք

x 2 + ժամը 2 = 3 (cos 2 տ+ մեղք 2 տ)

կամ x 2 + ժամը 2 = 3