Թվաբանական արմատները և դրանց հատկությունները. n-րդ արմատի որոշում. Հզորության ֆունկցիայի ինտեգրալ

«N-րդ արմատի հատկությունները.Թեորեմներ» թեմայով դաս և ներկայացում.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 11-րդ դասարանի համար
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 9-11-րդ դասարանների համար «Եռանկյունաչափություն»
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 10–11-րդ դասարանների համար «Լոգարիթմներ»

n-րդ արմատի հատկությունները. Թեորեմներ

Տղերք, մենք շարունակում ենք իրական թվի n-րդ արմատների ուսումնասիրությունը: Ինչպես գրեթե բոլոր մաթեմատիկական առարկաները, այնպես էլ n-րդ աստիճանի արմատներն ունեն որոշակի հատկություններ, այսօր մենք կուսումնասիրենք դրանք։
Բոլոր հատկությունները, որոնք մենք կքննարկենք, ձևակերպված և ապացուցված են միայն արմատային նշանի տակ պարունակվող փոփոխականների ոչ բացասական արժեքների համար:
Արմատային կենտ ցուցիչի դեպքում դրանք կատարվում են նաև բացասական փոփոխականների համար։

Թեորեմ 1. Երկու ոչ բացասական թվերի արտադրյալի n-րդ արմատը արտադրանքին հավասարԱյս թվերի n-րդ արմատները՝ $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](b)$ :

Եկեք ապացուցենք թեորեմը.
Ապացույց. Տղերք, թեորեմն ապացուցելու համար եկեք ներմուծենք նոր փոփոխականներ, նշանակենք դրանք.
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$:
$\sqrt[n](b)=z$.
Մենք պետք է ապացուցենք, որ $x=y*z$:
Նկատի ունեցեք, որ հետևյալ ինքնությունները նույնպես պահպանվում են.
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Այնուհետև գործում է հետևյալ նույնականությունը՝ $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$:
Երկու ոչ ժխտական ​​թվերի և դրանց չափորոշիչների ուժերը հավասար են, այնուհետև հավասար են իրենց ուժերի հիմքերը։ Սա նշանակում է $x=y*z$, ինչը պետք է ապացուցվեր:

Թեորեմ 2. Եթե ​​$а≥0$, $b>0$ և n – բնական թիվ, որը մեծ է 1-ից, ապա գործում է հետևյալ հավասարությունը՝ $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b )) $.

Այսինքն՝ քանորդի n-րդ արմատը հավասար է n-րդ արմատների քանորդին։

Ապացույց.
Դա ապացուցելու համար մենք կօգտագործենք պարզեցված դիագրամ աղյուսակի տեսքով.

n-րդ արմատը հաշվարկելու օրինակներ

Օրինակ.
Հաշվեք՝ $\sqrt(16*81*256)$։
Լուծում. Եկեք օգտագործենք թեորեմ 1. $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$:

Օրինակ.
Հաշվեք՝ $\sqrt(7\frac(19)(32))$:
Լուծում. Ներկայացնենք արմատական ​​արտահայտությունը ձևով ոչ պատշաճ կոտորակ$7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$:
Եկեք օգտագործենք թեորեմ 2. $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) ) (2)$.

Օրինակ.
Հաշվարկել.
ա) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
բ) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$:
Լուծում:
ա) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$:
բ) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$:

Թեորեմ 3. Եթե ​​$a≥0$, k և n-ը 1-ից մեծ բնական թվեր են, ապա հավասարությունը գործում է՝ $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$։

Բնական ուժի վրա արմատ բարձրացնելու համար բավական է արմատական ​​արտահայտությունը բարձրացնել այս իշխանության վրա։

Ապացույց.
Եկեք նայենք $k=3$-ի հատուկ դեպքին: Եկեք օգտագործենք թեորեմ 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Նույնը կարելի է ապացուցել ցանկացած այլ գործով։ Տղերք, ինքներդ ապացուցեք այն դեպքի համար, երբ $k=4$ և $k=6$։

Թեորեմ 4. Եթե ​​$a≥0$ b n,k բնական թվեր են 1-ից մեծ, ապա հավասարությունը գործում է՝ $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$։

Արմատից արմատ հանելու համար բավական է բազմապատկել արմատների ցուցանիշները։

Ապացույց.
Եկեք նորից համառոտ ապացուցենք՝ օգտագործելով աղյուսակը: Դա ապացուցելու համար մենք կօգտագործենք պարզեցված դիագրամ աղյուսակի տեսքով.

Օրինակ.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Թեորեմ 5. Եթե արմատի և արմատական ​​արտահայտության ցուցիչները բազմապատկվեն միևնույն բնական թվով, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի՝ $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$. .

Ապացույց.
Մեր թեորեմի ապացուցման սկզբունքը նույնն է, ինչ մյուս օրինակներում։ Ներկայացնենք նոր փոփոխականներ.
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ըստ սահմանման):
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ըստ սահմանման):
Վերջին հավասարությունը բարձրացնենք մինչև պ
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Ստացված:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Այսինքն՝ $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, ինչն ապացուցման կարիք ուներ։

Օրինակներ.
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (ցուցանիշները բաժանեց 5-ի):
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (ցուցանիշները բաժանեց 2-ի):
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (ցուցանիշները բազմապատկված են 3-ով):

Օրինակ.
Կատարեք գործողություններ՝ $\sqrt(a)*\sqrt(a)$:
Լուծում.
Արմատների ցուցիչները տարբեր թվեր են, ուստի մենք չենք կարող օգտագործել 1-ին թեորեմը, սակայն կիրառելով թեորեմ 5-ը, կարող ենք ստանալ հավասար ցուցիչներ։
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (ցուցանիշները բազմապատկված են 3-ով):
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (ցուցանիշները բազմապատկված են 4-ով):
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

1. Հաշվեք՝ $\sqrt(32*243*1024)$։
2. Հաշվեք՝ $\sqrt(7\frac(58)(81))$:
3. Հաշվել.
ա) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
բ) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$:
4. Պարզեցնել.
ա) $\sqrt(\sqrt(a))$.
բ) $\sqrt(\sqrt(a))$.
գ) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Կատարեք գործողություններ՝ $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$:

Շնորհավորում ենք. այսօր մենք կանդրադառնանք արմատներին՝ 8-րդ դասարանի ամենահուզիչ թեմաներից մեկը:

Շատերը շփոթվում են արմատների հետ կապված ոչ թե այն պատճառով, որ դրանք բարդ են (ինչն է այդքան բարդ՝ մի քանի սահմանում և ևս մի քանի հատկություն), այլ որովհետև դպրոցական դասագրքերի մեծ մասում արմատները սահմանվում են այնպիսի ջունգլիներում, որ միայն դասագրքերի հեղինակներն են։ իրենք կարող են հասկանալ այս գրությունը: Եվ նույնիսկ այդ դեպքում միայն մի շիշ լավ վիսկիով:

Հետևաբար, հիմա ես կտամ արմատի ամենաճիշտ և իրավասու սահմանումը. միակը, որը դուք իսկապես պետք է հիշեք: Եվ հետո ես կբացատրեմ, թե ինչու է այս ամենը անհրաժեշտ և ինչպես կիրառել այն գործնականում:

Բայց նախ հիշեք մեկը կարևոր կետ, որի մասին շատ դասագրքեր կազմողներ ինչ-ինչ պատճառներով «մոռանում են».

Արմատները կարող են լինել զույգ աստիճանի (մեր սիրելի $\sqrt(a)$, ինչպես նաև բոլոր տեսակի $\sqrt(a)$ և նույնիսկ $\sqrt(a)$) և կենտ աստիճանի (բոլոր տեսակի $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ և այլն): Իսկ կենտ աստիճանի արմատի սահմանումը որոշակիորեն տարբերվում է զույգից:

Հավանաբար արմատների հետ կապված բոլոր սխալների և թյուրիմացությունների 95%-ը թաքնված է այս «մի փոքր այլ կերպ» մեջ: Այսպիսով, եկեք մեկընդմիշտ պարզենք տերմինաբանությունը.

Սահմանում. Նույնիսկ արմատ n$a$ թվից ցանկացած է ոչ բացասական$b$ թիվն այնպիսին է, որ $((b)^(n))=a$: Իսկ նույն $a$ թվի կենտ արմատը սովորաբար ցանկացած $b$ թիվ է, որի համար գործում է նույն հավասարությունը՝ $((b)^(n))=a$:

Ամեն դեպքում, արմատը նշվում է այսպես.

\(ա)\]

Նման նշումով $n$ թիվը կոչվում է արմատային ցուցիչ, իսկ $a$ թիվը կոչվում է արմատական ​​արտահայտություն: Մասնավորապես, $n=2$-ի դիմաց մենք ստանում ենք մեր «սիրվածը» քառակուսի արմատ(ի դեպ, սա զույգ աստիճանի արմատ է), իսկ $n=3$-ի համար այն խորանարդ է (կենտ աստիճան), որը նույնպես հաճախ հանդիպում է խնդիրներում և հավասարումներում։

Օրինակներ. Դասական օրինակներ քառակուսի արմատներ:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ի դեպ, $\sqrt(0)=0$ և $\sqrt(1)=1$: Սա միանգամայն տրամաբանական է, քանի որ $((0)^(2))=0$ և $((1)^(2))=1$:

Սովորական են նաև խորանարդի արմատները, որոնցից վախենալ պետք չէ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, մի քանի «էկզոտիկ օրինակներ».

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Եթե ​​դուք չեք հասկանում, թե որն է տարբերությունը զույգ և կենտ աստիճանի միջև, նորից կարդացեք սահմանումը: Սա շատ կարևոր է։

Միևնույն ժամանակ մենք կանդրադառնանք արմատների մեկ տհաճ հատկանիշին, որի պատճառով անհրաժեշտ էր առանձին սահմանում մտցնել զույգ և կենտ ցուցիչների համար:

Ինչու՞ են ընդհանրապես անհրաժեշտ արմատները:

Սահմանումը կարդալուց հետո շատ ուսանողներ կհարցնեն. «Ի՞նչ էին ծխում մաթեմատիկոսները, երբ նրանք դա եկան»: Եվ իրոք՝ ինչի՞ն են պետք այս բոլոր արմատները։

Այս հարցին պատասխանելու համար մի պահ վերադառնանք տարրական դասարաններ. Հիշեք. այն հեռավոր ժամանակներում, երբ ծառերն ավելի կանաչ էին, իսկ պելմենինն ավելի համեղ, մեր հիմնական մտահոգությունը թվերը ճիշտ բազմապատկելն էր։ Դե, «հինգը հինգից - քսանհինգ» նման մի բան, դա բոլորն է: Բայց դուք կարող եք թվերը բազմապատկել ոչ թե զույգերով, այլ եռյակներով, քառապատիկներով և ընդհանրապես ամբողջ բազմություններով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \վերջ (հավասարեցնել)\]

Սակայն հարցը սա չէ։ Հնարքն այլ է՝ մաթեմատիկոսները ծույլ մարդիկ են, ուստի նրանք դժվարությամբ են գրել տասը հինգի բազմապատկումն այսպես.

Դրա համար էլ աստիճաններ են հորինել։ Ինչու երկար տողի փոխարեն չգրել գործոնների թիվը որպես վերնագիր: Նման մի բան.

Շատ հարմար է! Բոլոր հաշվարկները զգալիորեն կրճատվել են, և դուք պետք չէ վատնել մի փունջ մագաղաթյա թերթեր և նոթատետրեր՝ 5183-ը գրելու համար: Այս ռեկորդը կոչվում էր թվի ուժ, նրանում հայտնաբերվեցին մի շարք հատկություններ, բայց պարզվեց, որ երջանկությունը կարճատև է.

Խմելու մեծ խնջույքից հետո, որը կազմակերպվել էր հենց աստիճանների «բացահայտման» համար, ինչ-որ առանձնահատուկ համառ մաթեմատիկոս հանկարծ հարցրեց. Հիմա, իսկապես, եթե գիտենք, որ $b$ որոշակի թիվը, ասենք, 5-րդ աստիճանին տալիս է 243, ապա ինչպե՞ս կարող ենք կռահել, թե ինքնին $b$ թիվը ինչի է հավասար։

Այս խնդիրը պարզվեց, որ շատ ավելի գլոբալ է, քան կարող էր թվալ առաջին հայացքից։ Որովհետև պարզվեց, որ «պատրաստի» ուժերի մեծ մասի համար այդպիսի «նախնական» թվեր չկան։ Ինքներդ դատեք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((բ)^(3))=27\Աջ սլաք b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((բ)^(3))=64\Աջ սլաք b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Իսկ եթե $((b)^(3))=50$? Ստացվում է, որ մենք պետք է գտնենք որոշակի թիվ, որն իր վրա երեք անգամ բազմապատկելու դեպքում մեզ կտա 50։ Բայց ո՞րն է այս թիվը։ Այն ակնհայտորեն մեծ է 3-ից, քանի որ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Այսինքն այս թիվը գտնվում է երեքից չորսի միջակայքում, բայց դուք չեք հասկանա, թե դա ինչի է հավասար:

Հենց սա է պատճառը, որ մաթեմատիկոսները $n$th արմատներ են գտել: Հենց սա է պատճառը, որ ներդրվեց $\sqrt(*)$ արմատական ​​խորհրդանիշը։ Նշանակել հենց $b$ թիվը, որը նշված աստիճանով մեզ կտա նախկինում հայտնի արժեք

\[\sqrt[n](a)=b\Աջ սլաք ((b)^(n))=a\]

Ես չեմ վիճում. հաճախ այդ արմատները հեշտությամբ հաշվարկվում են, մենք վերևում տեսանք մի քանի նման օրինակ: Բայց այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում, եթե դուք մտածեք կամայական թվի մասին և հետո փորձեք դրանից հանել կամայական աստիճանի արմատը, դուք սարսափելի վտանգի առաջ կկանգնեք:

Ի՞նչ կա այնտեղ։ Նույնիսկ ամենապարզ և ծանոթ $\sqrt(2)$-ը չի կարող ներկայացվել մեր սովորական ձևով` որպես ամբողջ թիվ կամ կոտորակ: Եվ եթե այս թիվը մուտքագրեք հաշվիչի մեջ, կտեսնեք սա.

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Ինչպես տեսնում եք, տասնորդական կետից հետո գոյություն ունի թվերի անվերջ հաջորդականություն, որոնք չեն ենթարկվում ոչ մի տրամաբանության։ Դուք, իհարկե, կարող եք կլորացնել այս թիվը՝ այլ թվերի հետ արագ համեմատելու համար: Օրինակ.

\[\sqrt(2)=1.4142...\մոտ 1.4 \lt 1.5\]

Կամ ահա ևս մեկ օրինակ.

\[\sqrt(3)=1.73205...\մոտ 1.7 \gt 1.5\]

Բայց այս բոլոր կլորացումները, նախ, բավականին կոպիտ են. և երկրորդ, դուք նույնպես պետք է կարողանաք աշխատել մոտավոր արժեքներով, հակառակ դեպքում կարող եք բռնել մի շարք ոչ ակնհայտ սխալներ (ի դեպ, համեմատության և կլորացման հմտությունը պարտադիր է ստուգել միասնական պետական ​​քննության պրոֆիլում):

Հետևաբար, լուրջ մաթեմատիկայի մեջ դուք չեք կարող անել առանց արմատների. դրանք $\mathbb(R)$ բոլոր իրական թվերի բազմության նույն հավասար ներկայացուցիչներն են, ինչպես մեզ վաղուց ծանոթ կոտորակներն ու ամբողջ թվերը:

Արմատը որպես $\frac(p)(q)$ ձևի կոտորակ ներկայացնելու անկարողությունը նշանակում է, որ տրված արմատռացիոնալ թիվ չէ: Նման թվերը կոչվում են իռացիոնալ, և դրանք հնարավոր չէ ճշգրիտ ներկայացնել, բացառությամբ արմատականի կամ դրա համար հատուկ նախագծված այլ կառուցվածքների օգնությամբ (լոգարիթմներ, հզորություններ, սահմաններ և այլն): Բայց դրա մասին ավելին մեկ այլ անգամ:

Դիտարկենք մի քանի օրինակ, որտեղ բոլոր հաշվարկներից հետո իռացիոնալ թվերը դեռ կմնան պատասխանում։

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\մոտ 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\մոտ -1.2599... \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Բնականաբար, ըստ տեսքըարմատ գրեթե անհնար է կռահել, թե որ թվերը կգան տասնորդական կետից հետո: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք հույս դնել հաշվիչի վրա, բայց նույնիսկ ամենաառաջադեմ ամսաթվի հաշվիչը մեզ տալիս է միայն իռացիոնալ թվի առաջին մի քանի թվանշանները: Ուստի շատ ավելի ճիշտ է պատասխանները գրել $\sqrt(5)$ և $\sqrt(-2)$ ձևերով։

Հենց դրա համար էլ դրանք հորինվել են։ Պատասխանները հարմար ձայնագրելու համար:

Ինչու են անհրաժեշտ երկու սահմանումներ:

Ուշադիր ընթերցողը հավանաբար արդեն նկատել է, որ օրինակներում բերված բոլոր քառակուսի արմատները վերցված են դրական թվերից։ Դե, ներս որպես վերջին միջոցզրոյից: Բայց խորանարդի արմատները կարելի է հանգիստ հանել բացարձակապես ցանկացած թվից՝ լինի դա դրական, թե բացասական:

Ինչու է դա տեղի ունենում: Նայեք $y=((x)^(2))$ ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Ժամանակացույց քառակուսի ֆունկցիատալիս է երկու արմատ՝ դրական և բացասական

Փորձենք այս գրաֆիկով հաշվարկել $\sqrt(4)$: Դրա համար գրաֆիկի վրա գծվում է $y=4$ հորիզոնական գիծ (նշված կարմիրով), որը հատվում է պարաբոլի հետ երկու կետում՝ $((x)_(1))=2$ և $((x): )_(2)) =-2$. Սա միանգամայն տրամաբանական է, քանի որ

Առաջին թվով ամեն ինչ պարզ է, այն դրական է, ուստի այն արմատն է.

Բայց ի՞նչ անել երկրորդ կետի հետ: Չորսը միանգամից երկու արմատ ունի՞: Ի վերջո, եթե −2 թիվը քառակուսի տանենք, ապա կստանանք նաև 4։ Ինչո՞ւ չգրել $\sqrt(4)=-2$ այդ դեպքում։ Իսկ ինչո՞ւ են ուսուցիչները նման գրառումներին նայում, կարծես ուզում են քեզ ուտել :)

Դա է դժվարությունը, եթե որևէ մեկը չկիրառես լրացուցիչ պայմաններ, ապա քառապատիկը կունենա երկու քառակուսի արմատ՝ դրական և բացասական։ Եվ ցանկացած դրական թիվ կունենա նաև դրանցից երկուսը։ Բայց բացասական թվերն ընդհանրապես արմատներ չեն ունենա, դա երևում է նույն գրաֆիկից, քանի որ պարաբոլան երբեք չի ընկնում առանցքից ցածր: y, այսինքն. չի ընդունում բացասական արժեքներ.

Նմանատիպ խնդիր առաջանում է բոլոր արմատների համար՝ զույգ ցուցիչով.

1. Խստորեն ասած՝ յուրաքանչյուր դրական թիվ կունենա երկու արմատ՝ $n$ զույգ ցուցիչով;
2. Բացասական թվերից նույնիսկ $n$-ով արմատն ընդհանրապես չի հանվում։

Այդ իսկ պատճառով $n$-ի զույգ արմատի սահմանումը հատուկ սահմանում է, որ պատասխանը պետք է լինի ոչ բացասական թիվ։ Ահա թե ինչպես ենք մենք ազատվում երկիմաստությունից.

Բայց կենտ $n$-ի դեպքում նման խնդիր չկա։ Սա տեսնելու համար եկեք դիտենք $y=((x)^(3))$ ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Խորանարդային պարաբոլան կարող է վերցնել ցանկացած արժեք, ուստի խորանարդի արմատը կարելի է վերցնել ցանկացած թվից

Այս գրաֆիկից կարելի է երկու եզրակացություն անել.

1. Խորանարդ պարաբոլայի ճյուղերը, ի տարբերություն սովորականի, գնում են դեպի անսահմանություն երկու ուղղություններով՝ և՛ վերև, և՛ վար: Հետևաբար, անկախ նրանից, թե ինչ բարձրության վրա ենք հորիզոնական գիծ գծում, այս գիծը, անշուշտ, հատվելու է մեր գրաֆիկի հետ: Հետևաբար, խորանարդի արմատը միշտ կարելի է վերցնել բացարձակապես ցանկացած թվից.
2. Բացի այդ, նման խաչմերուկը միշտ եզակի կլինի, ուստի կարիք չկա մտածելու, թե որ թիվն է համարվում «ճիշտ» արմատը և որն անտեսել: Այդ իսկ պատճառով կենտ աստիճանի համար արմատներ որոշելն ավելի պարզ է, քան զույգ աստիճանի համար (ոչ բացասականության պահանջ չկա)։

Ափսոս, որ այս պարզ բաները չեն բացատրվում դասագրքերի մեծ մասում։ Փոխարենը, մեր ուղեղը սկսում է ճախրել բոլոր տեսակի թվաբանական արմատներով և դրանց հատկություններով:

Այո, ես չեմ վիճում. դուք նույնպես պետք է իմանաք, թե ինչ է թվաբանական արմատը: Եվ այս մասին մանրամասն կխոսեմ առանձին դասում։ Այսօր մենք կխոսենք նաև դրա մասին, քանի որ առանց դրա բոլոր մտքերը $n$-րդ բազմակիության արմատների մասին թերի կլինեն:

Բայց նախ դուք պետք է հստակ հասկանաք այն սահմանումը, որը ես տվեցի վերևում: Հակառակ դեպքում, տերմինների առատության պատճառով ձեր գլխում այնպիսի խառնաշփոթ կսկսվի, որ վերջում ընդհանրապես ոչինչ չեք հասկանա։

Ձեզ անհրաժեշտ է միայն հասկանալ զույգ և կենտ ցուցանիշների տարբերությունը: Հետևաբար, եկեք ևս մեկ անգամ հավաքենք այն ամենը, ինչ դուք իսկապես պետք է իմանաք արմատների մասին.

1. Զույգ աստիճանի արմատ գոյություն ունի միայն ոչ բացասական թվից և ինքնին միշտ ոչ բացասական թիվ է: Բացասական թվերի համար նման արմատն անորոշ է:
2. Բայց կենտ աստիճանի արմատը գոյություն ունի ցանկացած թվից և ինքնին կարող է լինել ցանկացած թիվ. դրական թվերի համար այն դրական է, իսկ բացասական թվերի համար, ինչպես գլխարկն է հուշում, այն բացասական է:

Դժվա՞ր է։ Ոչ, դա դժվար չէ: Պարզ է? Այո, դա լիովին ակնհայտ է! Այսպիսով, հիմա մենք մի փոքր կվարժվենք հաշվարկներով:

Հիմնական հատկություններ և սահմանափակումներ

Արմատները շատ տարօրինակ հատկություններ և սահմանափակումներ ունեն, դրա մասին ավելի ուշ առանձին դաս. Հետևաբար, այժմ մենք կքննարկենք միայն ամենակարևոր «հնարքը», որը վերաբերում է միայն հավասար ցուցանիշ ունեցող արմատներին: Եկեք այս հատկությունը գրենք որպես բանաձև.

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ձախ| x\աջ|\]

Այսինքն, եթե թիվը բարձրացնենք մինչև զույգ հզորության և հետո հանենք նույն հզորության արմատը, ապա մենք կստանանք ոչ թե սկզբնական թիվը, այլ դրա մոդուլը։ Սա պարզ թեորեմ է, որը կարելի է հեշտությամբ ապացուցել (բավական է առանձին դիտարկել ոչ բացասական $x$-ը, իսկ հետո՝ առանձին-առանձին բացասականները)։ Ուսուցիչները անընդհատ խոսում են այդ մասին, դա դասավանդվում է յուրաքանչյուրում դպրոցական դասագիրք. Բայց հենց որ բանը հասնում է իռացիոնալ հավասարումների (այսինքն՝ արմատական ​​նշան պարունակող հավասարումների) լուծմանը, ուսանողները միաձայն մոռանում են այս բանաձևը։

Խնդիրը մանրամասն հասկանալու համար եկեք մեկ րոպե մոռանանք բոլոր բանաձևերը և փորձենք անմիջապես հաշվարկել երկու թիվ.

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \աջ))^(4)))=?\]

Սա շատ պարզ օրինակներ. Մարդկանց մեծ մասը կլուծի առաջին օրինակը, բայց շատերը խրված են երկրորդի վրա: Ցանկացած նման անհեթեթություն առանց խնդիրների լուծելու համար միշտ հաշվի առեք ընթացակարգը.

1. Նախ՝ թիվը հասցվում է չորրորդ իշխանության։ Դե, դա մի տեսակ հեշտ է: Դուք կստանաք նոր թիվ, որը կարելի է գտնել նույնիսկ բազմապատկման աղյուսակում.
2. Եվ հիմա այս նոր թվից անհրաժեշտ է հանել չորրորդ արմատը։ Նրանք. արմատների և հզորությունների «կրճատում» չի լինում, դրանք հաջորդական գործողություններ են:

Դիտարկենք առաջին արտահայտությունը՝ $\sqrt((3)^(4)))$: Ակնհայտ է, որ նախ պետք է հաշվարկել արտահայտությունը արմատի տակ.

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Այնուհետև մենք հանում ենք 81 թվի չորրորդ արմատը.

Հիմա նույնն անենք երկրորդ արտահայտության հետ։ Նախ, մենք −3 թիվը բարձրացնում ենք չորրորդ աստիճանի, որը պահանջում է այն ինքն իրենով 4 անգամ բազմապատկել.

\[((\left(-3 \աջ))^(4))=\left(-3 \աջ)\cdot \left(-3 \աջ)\cdot \left(-3 \աջ)\cdot \ ձախ (-3 \աջ)=81\]

Մենք ստացանք դրական թիվ, քանի որ արտադրանքի մինուսների ընդհանուր թիվը 4 է, և նրանք բոլորը կչեղարկեն միմյանց (ի վերջո, մինուսի համար մինուսը տալիս է գումարած): Այնուհետև մենք նորից հանում ենք արմատը.

Սկզբունքորեն, այս տողը չէր կարող գրվել, քանի որ խելամիտ չէ, որ պատասխանը նույնը կլիներ: Նրանք. Նույն հավասարաչափ հզորության հավասար արմատը «այրում է» մինուսները, և այս առումով արդյունքը չի տարբերվում սովորական մոդուլից.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt((3)^(4)))=\ձախ| 3 \ճիշտ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \աջ))^(4)))=\ձախ| -3 \ճիշտ|=3. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այս հաշվարկները լավ համընկնում են հավասար աստիճանի արմատի սահմանման հետ. արդյունքը միշտ ոչ բացասական է, իսկ արմատական ​​նշանի տակ նույնպես միշտ չէ: բացասական թիվ. Հակառակ դեպքում, արմատն անորոշ է:

Նշում ընթացակարգի վերաբերյալ

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ նշումը նշանակում է, որ մենք սկզբում քառակուսի ենք դնում $a$ թիվը, այնուհետև վերցնում ենք ստացված արժեքի քառակուսի արմատը։ Հետևաբար, մենք կարող ենք վստահ լինել, որ արմատային նշանի տակ միշտ կա ոչ բացասական թիվ, քանի որ $((a)^(2))\ge ամեն դեպքում 0$;
2. Բայց $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ նշումը, ընդհակառակը, նշանակում է, որ մենք սկզբում վերցնում ենք $a$ որոշակի թվի արմատը և միայն դրանից հետո քառակուսի ենք բերում արդյունքը։ Հետևաբար, $a$ թիվը ոչ մի դեպքում չի կարող բացասական լինել. սա պարտադիր պահանջ է, որը ներառված է սահմանման մեջ:

Այսպիսով, ոչ մի դեպքում չի կարելի անմտորեն կրճատել արմատներն ու աստիճանները՝ դրանով իսկ իբր «պարզեցնելով» սկզբնական արտահայտությունը։ Որովհետև, եթե արմատը բացասական թիվ ունի, իսկ արտահայտիչը զույգ է, մենք ստանում ենք խնդիրների մի փունջ։

Սակայն այս բոլոր խնդիրները արդիական են միայն նույնիսկ ցուցանիշների համար։

Արմատային նշանի տակից հանելով մինուս նշանը

Բնականաբար, կենտ ցուցիչներով արմատները նույնպես ունեն իրենց առանձնահատկությունը, որը, սկզբունքորեն, գոյություն չունի զույգերի դեպքում։ Մասնավորապես.

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Մի խոսքով, դուք կարող եք հեռացնել մինուսը կենտ աստիճանի արմատների նշանի տակից: Սա շատ օգտակար հատկություն է, որը թույլ է տալիս «դուրս գցել» բոլոր թերությունները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \աջ)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այս պարզ հատկությունը մեծապես հեշտացնում է բազմաթիվ հաշվարկներ: Հիմա ձեզ պետք չէ անհանգստանալ. իսկ եթե բացասական արտահայտությունը թաքնված է արմատի տակ, բայց արմատի աստիճանը հավասար է: Բավական է միայն արմատներից դուրս «դուրս նետել» բոլոր մինուսները, որից հետո դրանք կարելի է բազմապատկել միմյանցով, բաժանել և ընդհանրապես շատ կասկածելի բաներ անել, որոնք «դասական» արմատների դեպքում երաշխավորված են մեզ տանելու։ սխալ.

Եվ այստեղ ասպարեզ է գալիս մեկ այլ սահմանում՝ նույնը, որով դպրոցներից շատերում սկսում են իռացիոնալ արտահայտությունների ուսումնասիրությունը: Եվ առանց որի մեր հիմնավորումը թերի կլիներ։ Հանդիպե՛ք

Թվաբանական արմատ

Մի պահ ենթադրենք, որ արմատային նշանի տակ կարող են լինել միայն դրական թվեր կամ ծայրահեղ դեպքում՝ զրո։ Եկեք մոռանանք զույգ/կենտ ցուցանիշների մասին, մոռանանք վերը տրված բոլոր սահմանումները՝ կաշխատենք միայն ոչ բացասական թվերով։ հետո ի՞նչ։

Եվ հետո մենք կստանանք թվաբանական արմատ. այն մասամբ համընկնում է մեր «ստանդարտ» սահմանումների հետ, բայց դեռ տարբերվում է դրանցից:

Սահմանում. Ոչ բացասական $a$ թվի $n$th աստիճանի թվաբանական արմատը ոչ բացասական $b$ թիվ է, որ $((b)^(n))=a$:

Ինչպես տեսնում ենք, մեզ այլևս չի հետաքրքրում պարիտետը։ Փոխարենը հայտնվեց նոր սահմանափակում՝ արմատական ​​արտահայտությունն այժմ միշտ ոչ բացասական է, իսկ արմատն ինքնին նույնպես ոչ բացասական է։

Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչպես է թվաբանական արմատը տարբերվում սովորականից, նայեք քառակուսի և խորանարդ պարաբոլայի գրաֆիկներին, որոնց արդեն ծանոթ ենք.

Թվաբանական արմատների որոնման տարածք - ոչ բացասական թվեր

Ինչպես տեսնում եք, այսուհետ մեզ հետաքրքրում են միայն գրաֆիկների այն կտորները, որոնք գտնվում են առաջին կոորդինատային եռամսյակում, որտեղ $x$ և $y$ կոորդինատները դրական են (կամ առնվազն զրո): Այլևս կարիք չկա ցուցիչին նայել՝ հասկանալու համար՝ իրավունք ունե՞նք արմատի տակ բացասական թիվ դնել, թե՞ ոչ։ Քանի որ բացասական թվերն այլեւս սկզբունքորեն չեն դիտարկվում։

Դուք կարող եք հարցնել. «Դե, ինչո՞ւ է մեզ անհրաժեշտ այդպիսի ստերիլիզացված սահմանում»: Կամ. «Ինչու՞ մենք չենք կարող հաղթահարել վերը նշված ստանդարտ սահմանումը»:

Դե, ես կտամ ընդամենը մեկ հատկություն, որի պատճառով նոր սահմանումը տեղին է դառնում։ Օրինակ, հզորության կանոնը.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. մենք կարող ենք արմատական ​​արտահայտությունը բարձրացնել ցանկացած հզորության և միևնույն ժամանակ բազմապատկել արմատային ցուցիչը նույն հզորությամբ, և արդյունքը կլինի նույն թիվը: Ահա օրինակներ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, ո՞րն է մեծ գործը: Ինչո՞ւ մենք չկարողացանք դա անել ավելի վաղ: Ահա թե ինչու. Դիտարկենք մի պարզ արտահայտություն՝ $\sqrt(-2)$ - այս թիվը միանգամայն նորմալ է մեր դասական ընկալման մեջ, բայց բացարձակապես անընդունելի թվաբանական արմատի տեսանկյունից։ Փորձենք փոխարկել այն.

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \աջ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)$

Ինչպես տեսնում եք, առաջին դեպքում մենք հանեցինք մինուսը ռադիկալի տակից (մենք բոլոր իրավունքներն ունենք, քանի որ ցուցանիշը կենտ է), իսկ երկրորդ դեպքում օգտագործեցինք վերը նշված բանաձևը։ Նրանք. Մաթեմատիկական տեսանկյունից ամեն ինչ արվում է ըստ կանոնների։

WTF?! Ինչպե՞ս կարող է նույն թիվը լինել և՛ դրական, և՛ բացասական: Ոչ մի կերպ: Պարզապես հզորացման բանաձևը, որը հիանալի է աշխատում դրական թվերի և զրոյի դեպքում, սկսում է լրիվ հերետիկոսություն առաջացնել բացասական թվերի դեպքում:

Հենց նման երկիմաստությունից ազատվելու համար էլ եկան թվաբանական արմատներ. Առանձին մեծ դաս է նվիրված նրանց, որտեղ մենք մանրամասն դիտարկում ենք նրանց բոլոր հատկությունները: Այսպիսով, մենք հիմա դրանց վրա չենք անդրադառնա, դասն արդեն չափազանց երկար է ստացվել:

Հանրահաշվական արմատ. նրանց համար, ովքեր ցանկանում են ավելին իմանալ

Երկար մտածում էի՝ այս թեման առանձին պարբերության մեջ դնե՞լ, թե՞ ոչ։ Ի վերջո որոշեցի թողնել այստեղ։ Այս նյութընախատեսված է նրանց համար, ովքեր ցանկանում են ավելի լավ հասկանալ արմատները՝ այլևս ոչ թե միջին «դպրոցական» մակարդակով, այլ օլիմպիադային մոտ մակարդակով:

Այսպիսով, ի լրումն թվի $n$th արմատի «դասական» սահմանմանը և հարակից բաժանմանը զույգ և կենտ ցուցիչների, կա ավելի «չափահաս» սահմանում, որն ամենևին էլ կախված չէ հավասարությունից և այլ նրբություններից: Սա կոչվում է հանրահաշվական արմատ:

Սահմանում. Ցանկացած $a$-ի հանրահաշվական $n$th արմատը $b$ բոլոր թվերի բազմությունն է, որպեսզի $((b)^(n))=a$: Նման արմատների համար հաստատված նշանակում չկա, ուստի մենք պարզապես գծիկ կդնենք վերևում.

\[\ overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \աջ. \աջ\) \]

Դասի սկզբում տրված ստանդարտ սահմանումից հիմնարար տարբերությունն այն է, որ հանրահաշվական արմատը կոնկրետ թիվ չէ, այլ բազմություն: Եվ քանի որ մենք աշխատում ենք իրական թվերով, այս հավաքածուն գալիս է միայն երեք տեսակի.

1. Դատարկ հավաքածու։ Առաջանում է, երբ բացասական թվից պետք է գտնել զույգ աստիճանի հանրահաշվական արմատ.
2. Հավաքածու, որը բաղկացած է մեկ տարրից: Այս կատեգորիային են պատկանում կենտ հզորությունների բոլոր արմատները, ինչպես նաև զրոյի զույգ հզորությունների արմատները.
3. Վերջապես, հավաքածուն կարող է ներառել երկու թիվ՝ նույն $((x)_(1))$ և $((x)_(2))=-((x)_(1))$, որոնք մենք տեսանք գրաֆիկի քառակուսի ֆունկցիա: Համապատասխանաբար, նման դասավորությունը հնարավոր է միայն դրական թվից զույգ աստիճանի արմատը հանելիս։

Վերջին դեպքն ավելի մանրամասն քննարկման է արժանի։ Տարբերությունը հասկանալու համար եկեք հաշվենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ. Գնահատեք արտահայտությունները.

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Լուծում. Առաջին արտահայտությունը պարզ է.

\[\ overline(\sqrt(4))=\ձախ\( 2;-2 \աջ\)\]

Դա երկու թվեր են, որոնք կազմում են հավաքածուի մի մասը: Որովհետև դրանցից յուրաքանչյուրը քառակուսի վրա տալիս է չորս:

\[\overline(\sqrt(-27))=\ձախ\( -3 \աջ\)\]

Այստեղ մենք տեսնում ենք մի շարք, որը բաղկացած է միայն մեկ թվից: Սա միանգամայն տրամաբանական է, քանի որ արմատային ցուցիչը տարօրինակ է:

Վերջապես, վերջին արտահայտությունը.

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Ստացել է դատարկ հավաքածու. Որովհետև չկա մեկ իրական թիվ, որը չորրորդ (այսինքն, նույնիսկ!) աստիճանի հասցնելու դեպքում մեզ կտա −16 բացասական թիվը:

Վերջնական նշում. Խնդրում եմ նկատի ունեցեք, պատահական չէ, որ ես ամենուր նշել եմ, որ մենք աշխատում ենք իրական թվերով։ Որովհետև կան նաև կոմպլեքս թվեր - այնտեղ միանգամայն հնարավոր է հաշվարկել $\sqrt(-16)$, և շատ այլ տարօրինակ բաներ։

Այնուամենայնիվ, ժամանակակից դպրոցական դասընթացՄաթեմատիկայում կոմպլեքս թվեր գրեթե երբեք չեն հանդիպում։ Դրանք հանվել են դասագրքերի մեծ մասից, քանի որ մեր պաշտոնյաները թեման համարում են «չափազանց դժվար հասկանալի»։

Այսքանը: Հաջորդ դասում մենք կդիտարկենք արմատների բոլոր հիմնական հատկությունները և վերջապես կսովորենք, թե ինչպես պարզեցնել իռացիոնալ արտահայտությունները:

Սահմանում
Հզորության ֆունկցիա p ցուցիչով f ֆունկցիան է (x) = xp, որի արժեքը x կետում հավասար է p կետում x հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի արժեքին։
Բացի այդ, զ (0) = 0 p = 0համար p > 0 .

Ցուցանիշի բնական արժեքների համար հզորության ֆունկցիան n թվերի արտադրյալն է, որը հավասար է x-ին.
.
Այն սահմանվում է բոլորի համար վավեր:

Ցուցանիշի դրական ռացիոնալ արժեքների համար հզորության ֆունկցիան x թվի m աստիճանի n արմատների արտադրյալն է.
.
Կենտ m-ի համար այն սահմանվում է բոլոր իրական x-ի համար:

Նույնիսկ m-ի համար իշխանության ֆունկցիան սահմանված է ոչ բացասականների համար:
.
Բացասականի համար հզորության ֆունկցիան որոշվում է բանաձևով.

Հետևաբար, այն կետում սահմանված չէ։
,
p ցուցիչի իռացիոնալ արժեքների համար հզորության ֆունկցիան որոշվում է բանաձևով. որտեղ a-ն կամայական դրական թիվ է, ոչ: .
մեկին հավասար
Երբ , այն սահմանվում է .

Երբ, հզորության ֆունկցիան սահմանված է .Շարունակականություն

. Հզորության ֆունկցիան իր սահմանման տիրույթում շարունակական է:

Հզորության ֆունկցիաների հատկությունները և բանաձևերը x ≥ 0-ի համար Այստեղ մենք կանդրադառնանք հատկություններինհզորության գործառույթը

x փաստարկի ոչ բացասական արժեքների համար:
(1.1) Ինչպես նշվեց վերևում, p ցուցիչի որոշ արժեքների համար հզորության ֆունկցիան սահմանվում է նաև x-ի բացասական արժեքների համար:
Այս դեպքում նրա հատկությունները կարելի է ձեռք բերել ի հատկություններից՝ օգտագործելով զույգ կամ կենտ: Այս դեպքերը մանրամասն քննարկվում և պատկերված են «» էջում։
P ցուցիչով y = x p ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.
(1.2) սահմանված և շարունակական հավաքածուի վրա
Այս դեպքում նրա հատկությունները կարելի է ձեռք բերել ի հատկություններից՝ օգտագործելով զույգ կամ կենտ: Այս դեպքերը մանրամասն քննարկվում և պատկերված են «» էջում։
P ցուցիչով y = x p ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.
(1.3) ժամը,
ժամը ;
(1.4) P ցուցիչով y = x p ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.
P ցուցիչով y = x p ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

շատ իմաստներ ունի

խստորեն ավելանում է,

Սահմանում
խստորեն նվազում է, քանի որ;Հատկությունների ապացույցը տրված է «Հզորության ֆունկցիա (շարունակականության և հատկությունների ապացույց)» էջում։
.
Արմատներ - սահմանում, բանաձևեր, հատկություններ 2, 3, 4, ... n աստիճանի x թվի արմատ

այն թիվն է, որը n-ի աստիճանին բարձրացնելիս տալիս է x.
.
Այստեղ n =

- մեկից մեծ բնական թիվ.Կարող եք նաև ասել, որ n աստիճանի x թվի արմատը հավասարման արմատն է (այսինքն՝ լուծումը):

Նկատի ունեցեք, որ ֆունկցիան ֆունկցիայի հակառակն է: x-ի քառակուսի արմատը

2 աստիճանի արմատ է:

x-ի խորանարդ արմատը 3 աստիճանի արմատ է:, արմատը սահմանվում է x ≥-ի համար 0 .
.
Հաճախ օգտագործվող բանաձևը վավեր է և՛ դրական, և՛ բացասական x-ի համար.
.

Քառակուսի արմատի համար.

Այստեղ կարևոր է գործողությունների կատարման հերթականությունը, այսինքն՝ սկզբում կատարվում է քառակուսին, որի արդյունքում ստացվում է ոչ բացասական թիվ, այնուհետև դրանից վերցվում է արմատը (քառակուսի արմատը կարելի է վերցնել ոչ բացասական թվից. ) Եթե ​​փոխեինք հերթականությունը՝ , ապա x բացասականի համար արմատը կլիներ անորոշ, և դրա հետ մեկտեղ ամբողջ արտահայտությունը կլիներ անորոշ:

Տարօրինակ աստիճան
;
.

Կենտ հզորությունների համար արմատը սահմանվում է բոլոր x-ի համար.

Արմատների հատկությունները և բանաձևերը
.
x-ի արմատը հզորության ֆունկցիա է. 0 Երբ x ≥
;
;
, ;
.

կիրառվում են հետևյալ բանաձևերը.

Այս բանաձևերը կարող են կիրառվել նաև փոփոխականների բացասական արժեքների համար:

Պարզապես պետք է համոզվել, որ նույնիսկ ուժերի արմատական ​​արտահայտությունը բացասական չէ։
Մասնավոր արժեքներ
0-ի արմատը 0 է:
Արմատ 1-ը հավասար է 1-ի:

0-ի քառակուսի արմատը 0 է:

1-ի քառակուսի արմատը 1 է:
.
Օրինակ. Արմատների արմատ
.
Եկեք նայենք արմատների քառակուսի արմատի օրինակին.
.
Եկեք վերափոխենք ներքին քառակուսի արմատը՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևերը.
.

Հիմա եկեք փոխակերպենք սկզբնական արմատը.

Այսպիսով,

y = x p ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Ահա x արգումենտի ոչ բացասական արժեքների ֆունկցիայի գրաֆիկները:

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկները, որոնք սահմանված են x-ի բացասական արժեքների համար, տրված են «Power ֆունկցիան, դրա հատկությունները և գրաֆիկները» էջում։

Հակադարձ ֆունկցիա

P ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հակադարձը 1/p ցուցիչով հզորության ֆունկցիա է:
;

Եթե, ապա.

Հզորության ֆունկցիայի ածանցյալ

n-րդ կարգի ածանցյալ. 1 ;
.

Բաղադրման բանաձևեր > > >

Հզորության ֆունկցիայի ինտեգրալ 1 < x < 1 P ≠ -

Հզորության շարքի ընդլայնում

ժամը -
տեղի է ունենում հետևյալ տարրալուծումը. Արտահայտություններ՝ օգտագործելով բարդ թվեր.
Դիտարկենք z բարդ փոփոխականի ֆունկցիան.
զ
(z) = z tԵկեք արտահայտենք z կոմպլեքս փոփոխականը r մոդուլի և φ (r = |z|) արգումենտով:
z = r e i φ .
Համալիր համարը

t կներկայացվի իրական և երևակայական մասերի տեսքով.
,

t = p + i q . 0 Մենք ունենք. Հաջորդը, մենք հաշվի ենք առնում, որ φ արգումենտը եզակիորեն սահմանված չէ.Դիտարկենք այն դեպքը, երբ q =
.

, այսինքն՝ ցուցիչ -
.
իրական թիվ , t = p.Հետո

Եթե ​​p-ն իռացիոնալ է, ապա kp արտադրյալները ցանկացած k-ի համար չեն արտադրում ամբողջ թիվ: Քանի որ k-ն անցնում է արժեքների անսահման շարքով k = 0, 1, 2, 3, ..., ապա z p ֆունկցիան ունի անսահման շատ արժեքներ։ Ամեն անգամ, երբ z արգումենտն ավելանում է 2պ(մեկ պտույտ), տեղափոխվում ենք ֆունկցիայի նոր ճյուղ։

Եթե ​​p-ն ռացիոնալ է, ապա այն կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.
, Որտեղ m, n- ամբողջ թվեր, որոնք չեն պարունակում ընդհանուր բաժանարարներ: Հետո
.
Առաջին n արժեքները, k = k-ով 0 = 0, 1, 2, ... n-1, տվեք kp-ի n տարբեր արժեքներ.
.
Այնուամենայնիվ, հետագա արժեքները տալիս են արժեքներ, որոնք նախորդներից տարբերվում են ամբողջ թվով: Օրինակ, երբ k = k 0+nմենք ունենք.
.
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, որոնց արգումենտները տարբերվում են արժեքներով, որոնք բազմապատիկ են 2պ, ունեն հավասար արժեքներ։ Հետևաբար, k-ի հետագա աճով մենք ստանում ենք z p-ի նույն արժեքները, ինչ k = k-ի համար 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Այսպիսով, էքսպոնենցիալ ֆունկցիան հետ ռացիոնալ ցուցանիշաստիճանը բազմարժեք է և ունի n արժեք (ճյուղ): Ամեն անգամ, երբ z արգումենտն ավելանում է 2պ(մեկ պտույտ), տեղափոխվում ենք ֆունկցիայի նոր ճյուղ։ Նման հեղափոխություններից հետո մենք վերադառնում ենք առաջին ճյուղին, որտեղից սկսվեց հետհաշվարկը։

Մասնավորապես, n աստիճանի արմատն ունի n արժեք: Որպես օրինակ, դիտարկենք իրական դրական թվի n-րդ արմատը z = x: Այս դեպքում φ, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
Այսպիսով, քառակուսի արմատի համար n = Նույնիսկ k-ի համար(- 1 ) k = 1 ..
Կենտ k-ի համար,

(- 1 ) k = - 1
Այսինքն՝ քառակուսի արմատն ունի երկու նշանակություն՝ + և -։

Օգտագործված գրականություն.Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և քոլեջի ուսանողների համար, «Լան», 2009 թ.

Դիպլոմային բանաձևեր օգտագործվում է բարդ արտահայտությունների կրճատման և պարզեցման գործընթացում, հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս։Համար nգ է- թվի թվի հզորությունը

ա

Երբ: Գործողություններ աստիճաններով. 1. Ք-ի բազմապատկվող հզորությունները

նույն հիմքըդրանց ցուցանիշները գումարվում են.

մի մ

·a n = a m + n. 2. Միևնույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց չափորոշիչները. 3. Արտադրանքի հզորությունը 2 կամ

ավելին

գործոնները հավասար են այս գործոնների հզորությունների արտադրյալին.

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Կոտորակի աստիճանը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի աստիճանների հարաբերությանը.

(a/b) n = a n /b n .

5. Բարձրացնելով հզորությունը հզորության՝ աստիճանները բազմապատկվում են.

(a m) n = a m n.. Վերը նշված յուրաքանչյուր բանաձև ճիշտ է ձախից աջ և հակառակ ուղղություններով:.

Օրինակ

1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.

2. վերաբերմունքի արմատ հարաբերակցությանը հավասարբաժնետոմսեր և արմատների բաժանարար.

3. Արմատը դեպի հզորություն բարձրացնելիս բավական է արմատական ​​թիվը հասցնել այս հզորության.

4. Եթե բարձրացնեք արմատի աստիճանը ներս nմեկ անգամ և միևնույն ժամանակ ներդնել nրդ հզորությունը արմատական ​​թիվ է, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

5. Եթե դուք նվազեցնում եք արմատի աստիճանը ներս nմիաժամանակ հանել արմատը n-արմատական ​​թվի թվի-րդ հզորությունը, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

Բացասական ցուցիչով աստիճան:Ոչ դրական (ամբողջ) ցուցիչով որոշակի թվի հզորությունը սահմանվում է որպես այն, որը բաժանվում է նույն թվի ուժի վրա, որի ցուցիչը հավասար է ոչ դրական ցուցիչի բացարձակ արժեքին.

Բանաձև նույն հիմքը:a n =a m - nկարող է օգտագործվել ոչ միայն մ> n, այլեւ հետ մ< n.

(a m) n = a m n.. է4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Բանաձևին նույն հիմքը:a n =a m - nդարձավ արդար, երբ m=n, զրոյական աստիճանի առկայությունը պարտադիր է։

Զրո ինդեքսով աստիճան։Զրո ցուցիչով զրոյի չհավասարվող ցանկացած թվի հզորությունը հավասար է մեկի:

(a m) n = a m n.. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Աստիճան կոտորակային ցուցիչով:Իրական թիվ բարձրացնելու համար Աաստիճանի մ/ն, դուք պետք է հանեք արմատը n-րդ աստիճանի մ- այս թվի երրորդ հզորությունը Ա.