Ո՞րն է թվի սահմանման արմատը: Թվաբանական քառակուսի արմատ (8-րդ դասարան). Էքսպոենտացիա

• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ. Դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար:
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար).

Արմատային բանաձևեր. Քառակուսի արմատների հատկությունները.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Նախորդ դասում մենք պարզեցինք, թե ինչ է քառակուսի արմատը: Ժամանակն է պարզել, թե որոնք են բանաձեւեր արմատների համարինչ են արմատների հատկությունները, և ինչ կարելի է անել այս ամենով։

Արմատների բանաձևեր, արմատների հատկություններ և արմատների հետ աշխատելու կանոններ- Սա ըստ էության նույն բանն է։ Քառակուսի արմատների համար զարմանալիորեն քիչ բանաձևեր կան: Ինչն ինձ անշուշտ ուրախացնում է: Ավելի ճիշտ՝ կարելի է շատ տարբեր բանաձեւեր գրել, բայց արմատների հետ գործնական ու վստահ աշխատանքի համար բավական է միայն երեքը։ Մնացած ամեն ինչ բխում է այս երեքից։ Թեև շատերը շփոթվում են երեք արմատային բանաձևերում, այո...

Սկսենք ամենապարզից: Ահա այն.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Այս հոդվածում մենք կներկայացնենք թվի արմատ հասկացություն. Կշարունակենք հաջորդաբար՝ կսկսենք քառակուսի արմատից, այնտեղից կանցնենք խորանարդ արմատի նկարագրությանը, որից հետո կընդհանրացնենք արմատ հասկացությունը՝ սահմանելով n-րդ արմատը։ Միաժամանակ կներկայացնենք սահմանումներ, նշումներ, կտանք արմատների օրինակներ և կտանք անհրաժեշտ բացատրություններ ու մեկնաբանություններ։

Քառակուսի արմատ, թվաբանական քառակուսի արմատ

Թվի արմատի և մասնավորապես քառակուսի արմատի սահմանումը հասկանալու համար անհրաժեշտ է ունենալ . Այս պահին մենք հաճախ կհանդիպենք թվի երկրորդ հզորության՝ թվի քառակուսու։

Սկսենք նրանից քառակուսի արմատների սահմանումներ.

Սահմանում

քառակուսի արմատ աթիվ է, որի քառակուսին հավասար է a-ի:

Առաջնորդել քառակուսի արմատների օրինակներՎերցրեք մի քանի թվեր, օրինակ՝ 5, −0.3, 0.3, 0 և քառակուսիացրեք դրանք, ստանում ենք համապատասխանաբար 25, 0.09, 0.09 և 0 թվերը (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 և 0 2 =0·0=0): Այնուհետև, ըստ վերևում տրված սահմանման, 5 թիվը 25 թվի քառակուսի արմատն է, −0,3 և 0,3 թվերը 0,09-ի քառակուսի արմատներն են, իսկ 0-ը զրոյի քառակուսի արմատն է։

Պետք է նշել, որ ոչ մի թվի համար գոյություն չունի a, որի քառակուսին հավասար է a-ի: Այսինքն՝ ցանկացած բացասական a թվի համար չկա իրական b թիվ, որի քառակուսին հավասար է a-ի: Փաստորեն, a=b 2 հավասարությունն անհնար է որևէ բացասական a-ի համար, քանի որ b 2-ը ոչ բացասական թիվ է ցանկացած b-ի համար: Այսպիսով, Իրական թվերի բազմության վրա բացասական թվի քառակուսի արմատ չկա. Այսինքն՝ իրական թվերի բազմության վրա բացասական թվի քառակուսի արմատը սահմանված չէ և իմաստ չունի։

Սա հանգեցնում է տրամաբանական հարցի. «Արդյո՞ք a-ի քառակուսի արմատ կա որևէ ոչ բացասական a-ի համար»: Պատասխանը այո է: Այս փաստը կարելի է հիմնավորել քառակուսի արմատի արժեքը գտնելու կառուցողական մեթոդով։

Այնուհետև առաջանում է հաջորդ տրամաբանական հարցը. «Որքա՞ն է տրված ոչ բացասական a թվի բոլոր քառակուսի արմատների թիվը՝ մեկ, երկու, երեք կամ նույնիսկ ավելի»: Ահա պատասխանը. եթե a-ն զրո է, ապա զրոյի միակ քառակուսի արմատը զրո է. եթե a-ն ինչ-որ դրական թիվ է, ապա a թվի քառակուսի արմատների թիվը երկու է, իսկ արմատները՝ . Արի արդարացնենք սա.

Սկսենք a=0 դեպքից: Նախ, եկեք ցույց տանք, որ զրոն իսկապես զրոյի քառակուսի արմատն է: Սա բխում է 0 2 =0·0=0 ակնհայտ հավասարությունից և քառակուսի արմատի սահմանումից։

Հիմա ապացուցենք, որ 0-ն զրոյի միակ քառակուսի արմատն է։ Եկեք օգտագործենք հակառակ մեթոդը. Ենթադրենք, որ կա որևէ ոչ զրոյական b թիվ, որը զրոյի քառակուսի արմատն է: Այնուհետև պետք է բավարարվի b 2 =0 պայմանը, ինչը անհնար է, քանի որ ցանկացած ոչ զրոյական b-ի համար b 2 արտահայտության արժեքը դրական է։ Հասել ենք հակասության. Սա ապացուցում է, որ 0-ն զրոյի միակ քառակուսի արմատն է:

Անցնենք դեպքերին, երբ a-ն դրական թիվ է։ Վերևում ասացինք, որ ցանկացած ոչ բացասական թվի մեջ միշտ կա քառակուսի արմատ, թող a-ի քառակուսի արմատը լինի b թիվը։ Ասենք, որ կա c թիվ, որը նույնպես a-ի քառակուսի արմատն է։ Այնուհետև քառակուսի արմատի սահմանմամբ ճշմարիտ են b 2 =a և c 2 =a հավասարությունները, որից հետևում է, որ b 2 −c 2 =a−a=0, բայց քանի որ b 2 −c 2 =( b−c)·(b+c) , ապա (b−c)·(b+c)=0: Ստացված հավասարությունը վավեր է Իրական թվերով գործողությունների հատկություններըհնարավոր է միայն b−c=0 կամ b+c=0 . Այսպիսով, b և c թվերը հավասար են կամ հակադիր։

Եթե ​​ենթադրենք, որ կա d թիվ, որը a թվի մեկ այլ քառակուսի արմատն է, ապա արդեն տրվածներին նման պատճառաբանությամբ ապացուցվում է, որ d-ն հավասար է b թվին կամ c թվին։ Այսպիսով, դրական թվի քառակուսի արմատների թիվը երկու է, իսկ քառակուսի արմատները հակադիր թվեր են։

Քառակուսի արմատներով աշխատելու հարմարության համար բացասական արմատը «առանձնացվում է» դրականից։ Այդ նպատակով ներկայացվում է թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի թվաբանական քառակուսի արմատ աոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին հավասար է a-ի:

a-ի թվաբանական քառակուսի արմատի նշումն է. Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան։ Այն նաև կոչվում է արմատական ​​նշան: Հետևաբար, երբեմն կարող եք լսել և՛ «արմատ», և՛ «արմատական», ինչը նշանակում է նույն առարկան:

Թվաբանական քառակուսի արմատի նշանի տակ գտնվող թիվը կոչվում է արմատական ​​թիվ, իսկ արմատի նշանի տակ արտահայտությունն է արմատական ​​արտահայտություն, մինչդեռ «արմատական ​​թիվ» տերմինը հաճախ փոխարինվում է «արմատական ​​արտահայտությամբ»։ Օրինակ, նշման մեջ 151 թիվը արմատական ​​թիվ է, իսկ նշումում a արտահայտությունը արմատական ​​արտահայտություն է։

Ընթերցանության ժամանակ «թվաբանություն» բառը հաճախ բաց է թողնվում, օրինակ՝ մուտքն ընթերցվում է որպես «Յոթ կետի քսանինը քառակուսի արմատ»։ «Թվաբանություն» բառն օգտագործվում է միայն այն դեպքում, երբ ուզում են ընդգծել, որ խոսքը կոնկրետ թվի դրական քառակուսի արմատի մասին է։

Հաշվի առնելով ներկայացված նշումը, թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանումից հետևում է, որ ցանկացած ոչ բացասական թվի համար a .

Դրական a թվի քառակուսի արմատները գրվում են՝ օգտագործելով քառակուսի արմատի թվաբանական նշանը և . Օրինակ, 13-ի քառակուսի արմատներն են և . Զրոյի թվաբանական քառակուսի արմատը զրո է, այսինքն՝ . Բացասական a թվերի համար մենք նշանակություն չենք տա նշագրությանը, քանի դեռ չենք ուսումնասիրել կոմպլեքս թվեր. Օրինակ, արտահայտությունները եւ անիմաստ են։

Քառակուսի արմատի սահմանման հիման վրա ապացուցվում են քառակուսի արմատների հատկությունները, որոնք հաճախ կիրառվում են գործնականում։

Այս պարբերության վերջում մենք նշում ենք, որ a թվի քառակուսի արմատները x 2 =a ձևի լուծումներ են x փոփոխականի նկատմամբ:

Թվի խորանարդ արմատ

Խորանարդի արմատի սահմանումը a թիվը տրված է նույն կերպ, ինչպես քառակուսի արմատի սահմանումը: Միայն այն հիմնված է ոչ թե քառակուսի, այլ թվի խորանարդի գաղափարի վրա:

Սահմանում

A-ի խորանարդ արմատըթիվ է, որի խորանարդը հավասար է a-ի:

Եկեք տանք խորանարդի արմատների օրինակներ. Դա անելու համար վերցրեք մի քանի թվեր, օրինակ՝ 7, 0, −2/3, և դրանք խորանարդեք՝ 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Այնուհետև, հիմնվելով խորանարդի արմատի սահմանման վրա, կարող ենք ասել, որ 7 թիվը 343-ի խորանարդ արմատն է, 0-ը զրոյի խորանարդային արմատն է, իսկ −2/3-ը −8/27-ի խորանարդային արմատն է։

Կարելի է ցույց տալ, որ թվի խորանարդ արմատը, ի տարբերություն քառակուսի արմատի, միշտ գոյություն ունի ոչ միայն ոչ բացասական a, այլ նաև ցանկացած իրական թվի համար։ Դա անելու համար դուք կարող եք օգտագործել նույն մեթոդը, որը մենք նշեցինք քառակուսի արմատները ուսումնասիրելիս:

Ընդ որում, տրված a թվի միայն մեկ խորանարդ արմատ կա: Փաստենք վերջին հայտարարությունը. Դա անելու համար դիտարկենք երեք դեպք առանձին՝ a-ն դրական թիվ է, a=0, իսկ a-ն՝ բացասական թիվ:

Հեշտ է ցույց տալ, որ եթե a-ն դրական է, ապա a-ի խորանարդ արմատը չի կարող լինել ոչ բացասական թիվ, ոչ էլ զրո: Իսկապես, թող b լինի a-ի խորանարդային արմատը, ապա ըստ սահմանման մենք կարող ենք գրել b 3 =a հավասարությունը: Պարզ է, որ այս հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել b-ի և b=0-ի համար, քանի որ այս դեպքերում b 3 =b·b·b կլինի համապատասխանաբար բացասական թիվ կամ զրո: Այսպիսով, a դրական թվի խորանարդային արմատը դրական թիվ է:

Այժմ ենթադրենք, որ բացի b թվից կա a թվի մեկ այլ խորանարդ արմատ, նշանակենք այն c։ Ապա c 3 =a. Հետևաբար, b 3 −c 3 =a−a=0, բայց b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է խորանարդների տարբերությունը), որտեղից (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0։ Ստացված հավասարությունը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ b−c=0 կամ b 2 +b·c+c 2 =0։ Առաջին հավասարությունից ունենք b=c, իսկ երկրորդ հավասարությունը լուծումներ չունի, քանի որ նրա ձախ կողմը դրական թիվ է ցանկացած դրական b և c թվերի համար՝ որպես b 2, b·c և c 2 երեք դրական անդամների գումար։ Սա ապացուցում է a դրական թվի խորանարդային արմատի եզակիությունը։

Երբ a=0, a թվի խորանարդային արմատը միայն զրո թիվն է: Իսկապես, եթե ենթադրենք, որ կա b թիվը, որը զրոյից ոչ զրոյական խորանարդ արմատ է, ապա պետք է պահպանվի b 3 =0 հավասարությունը, որը հնարավոր է միայն b=0 դեպքում։

Բացասական a-ի համար կարող են տրվել դրական a-ի դեպքի նման արգումենտներ: Նախ՝ ցույց ենք տալիս, որ բացասական թվի խորանարդային արմատը չի կարող հավասար լինել ոչ դրական թվի, ոչ էլ զրոյի: Երկրորդ, մենք ենթադրում ենք, որ կա բացասական թվի երկրորդ խորանարդ արմատ և ցույց ենք տալիս, որ այն անպայման կհամընկնի առաջինի հետ:

Այսպիսով, ցանկացած իրական a թվի խորանարդ արմատը միշտ կա և եզակի:

Եկեք տանք թվաբանական խորանարդի արմատի սահմանում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի թվաբանական խորանարդ արմատը aոչ բացասական թիվ է, որի խորանարդը հավասար է a-ի:

Ոչ բացասական a թվի թվաբանական խորանարդի արմատը նշանակվում է որպես , նշանը կոչվում է թվաբանական խորանարդ արմատի նշան, այս նշման մեջ 3 թիվը կոչվում է. արմատային ինդեքս. Արմատային նշանի տակ թիվն է արմատական ​​թիվ, արմատային նշանի տակ արտահայտությունն է արմատական ​​արտահայտություն.

Չնայած թվաբանական խորանարդի արմատը սահմանվում է միայն ոչ բացասական a թվերի համար, սակայն հարմար է նաև օգտագործել նշումներ, որոնցում բացասական թվեր են հայտնաբերվել թվաբանական խորանարդի արմատի նշանի տակ։ Մենք դրանք կհասկանանք հետևյալ կերպ՝ , որտեղ a-ն դրական թիվ է։ Օրինակ՝ .

Արմատների հատկությունների ընդհանուր հոդվածում կխոսենք խորանարդի արմատների հատկությունների մասին։

Խորանարդային արմատի արժեքը հաշվարկելը կոչվում է խորանարդի արմատի արդյունահանում: Այս գործողությունը քննարկվում է արմատներ հանելու հոդվածում. մեթոդներ, օրինակներ, լուծումներ:

Այս կետը եզրափակելու համար ասենք, որ a թվի խորանարդային արմատը x 3 =a ձևի լուծումն է։

n-րդ արմատ, n աստիճանի թվաբանական արմատ

Ընդհանրացնենք թվի արմատ հասկացությունը. ներկայացնում ենք n-րդ արմատի սահմանումըհամար n.

Սահմանում

ա-ի n-րդ արմատըթիվ է, որի n-րդ աստիճանը հավասար է a-ի։

Այս սահմանումից պարզ է դառնում, որ a թվի առաջին աստիճանի արմատը հենց a թիվն է, քանի որ աստիճանը բնական ցուցիչով ուսումնասիրելիս վերցրել ենք 1 =a:

Վերևում մենք նայեցինք n-րդ արմատի հատուկ դեպքերը n=2 և n=3 - քառակուսի արմատ և խորանարդ արմատ: Այսինքն՝ քառակուսի արմատը երկրորդ աստիճանի արմատ է, իսկ խորանարդը՝ երրորդ աստիճանի արմատ։ n-րդ աստիճանի արմատներ ուսումնասիրելու համար n=4, 5, 6, ... համար հարմար է դրանք բաժանել երկու խմբի՝ առաջին խումբ՝ զույգ աստիճանի արմատներ (այսինքն՝ n=4, 6, 8-ի համար։ , ...), երկրորդ խումբը՝ արմատները կենտ աստիճաններ (այսինքն՝ n=5, 7, 9, ...-ով)։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ զույգ հզորությունների արմատները նման են քառակուսի արմատներին, իսկ կենտ հզորությունների արմատները՝ խորանարդ արմատներին։ Եկեք հերթով զբաղվենք դրանցով:

Սկսենք այն արմատներից, որոնց հզորություններն են 4, 6, 8, ... զույգ թվերը, ինչպես արդեն ասացինք, դրանք նման են a թվի քառակուսի արմատին։ Այսինքն՝ a թվի ցանկացած զույգ աստիճանի արմատ գոյություն ունի միայն ոչ բացասական a-ի համար։ Ընդ որում, եթե a=0, ապա a-ի արմատը եզակի է և հավասար է զրոյի, իսկ եթե a>0, ապա a թվի զույգ աստիճանի երկու արմատ կա, և դրանք հակադիր թվեր են։

Հիմնավորենք վերջին հայտարարությունը. Թող b լինի a թվի զույգ արմատը (նշանակում ենք 2·m, որտեղ m որոշ բնական թիվ է): Ենթադրենք, որ կա c թիվ՝ a թվից 2·m աստիճանի մեկ այլ արմատ: Ապա b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Բայց մենք գիտենք b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) ձևը: (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), ապա (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Այս հավասարությունից հետևում է, որ b−c=0, կամ b+c=0, կամ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Առաջին երկու հավասարությունները նշանակում են, որ b և c թվերը հավասար են, կամ b և c թվերը հակառակ են։ Իսկ վերջին հավասարությունը վավեր է միայն b=c=0-ի համար, քանի որ նրա ձախ կողմում կա արտահայտություն, որը ոչ բացասական է ցանկացած b-ի և c-ի համար՝ որպես ոչ բացասական թվերի գումար։

Ինչ վերաբերում է կենտ n-ի n-րդ աստիճանի արմատներին, ապա դրանք նման են խորանարդի արմատին։ Այսինքն՝ a թվի ցանկացած կենտ աստիճանի արմատ գոյություն ունի a ցանկացած իրական թվի համար, իսկ տրված a թվի համար այն եզակի է։

a թվի 2·m+1 կենտ աստիճանի արմատի եզակիությունն ապացուցվում է a-ի խորանարդ արմատի եզակիության ապացույցի անալոգիայով։ Միայն այստեղ՝ հավասարության փոխարեն a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)օգտագործվում է b 2 m+1 −c 2 m+1 = ձևի հավասարություն (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Վերջին փակագծում արտահայտությունը կարելի է վերագրել այսպես b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Օրինակ m=2-ով ունենք b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Երբ a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են կամ երկուսն էլ բացասական, նրանց արտադրյալը դրական թիվ է, ապա ամենաբարձր տեղադրված փակագծերում b 2 +c 2 +b·c արտահայտությունը դրական է որպես դրական թվերի գումար: Այժմ, հաջորդաբար անցնելով բնադրման նախորդ աստիճանների փակագծերի արտահայտություններին, համոզվում ենք, որ դրանք նույնպես դրական են որպես դրական թվերի գումար։ Արդյունքում մենք ստանում ենք, որ հավասարությունը b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0հնարավոր է միայն b−c=0, այսինքն՝ երբ b թիվը հավասար է c թվին։

Ժամանակն է հասկանալու n-րդ արմատների նշումը: Այդ նպատակով տրվում է n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատի սահմանում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատը aոչ բացասական թիվ է, որի n-րդ հզորությունը հավասար է a-ի:

Ոչ բացասական a թվի n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատը նշանակվում է որպես . a թիվը կոչվում է արմատական ​​թիվ, իսկ n թիվը արմատային ցուցիչ է։ Օրինակ, հաշվի առեք մուտքը, այստեղ արմատական ​​թիվը 125,36 է, իսկ արմատային ցուցանիշը 5 է:

Նկատենք, որ երբ n=2 գործ ունենք թվի քառակուսի արմատի հետ, այս դեպքում ընդունված է չգրել արմատային ցուցիչը, այսինքն՝ մուտքերը նշանակում են նույն թիվը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատի սահմանումը, ինչպես նաև դրա նշանակումը ներկայացվել է ոչ բացասական արմատական ​​թվերի համար, հարմարության համար, արմատի կենտ ցուցիչների և բացասական արմատական ​​թվերի համար մենք կօգտագործենք նշումներ. ձևի, որը մենք կհասկանանք որպես. Օրինակ՝ Եվ .

Բացասական ռադիկալներով զույգ աստիճանի արմատներին որևէ նշանակություն չենք տա (նախքան բարդ թվերի ուսումնասիրությունը սկսելը): Օրինակ՝ արտահայտությունները իմաստ չունեն։

Ելնելով վերը տրված սահմանումից՝ հիմնավորվում են n-րդ արմատների հատկությունները, որոնք ունեն լայն գործնական կիրառություն։

Եզրափակելով, արժե ասել, որ n-րդ աստիճանի արմատները x n =a ձևի հավասարումների արմատներն են։

Գործնականորեն կարևոր արդյունքներ

Առաջին գործնական կարևոր արդյունքը: .

Այս արդյունքը էապես արտացոլում է հավասար արմատի սահմանումը: ⇔ նշանը նշանակում է համարժեքություն։ Այսինքն՝ վերը նշված մուտքը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ՝ եթե , ապա , և եթե , ապա ։ Եվ հիմա նույնը, բայց բառերով. եթե b-ն a թվից 2·k զույգ աստիճանի արմատ է, ապա b-ն ոչ բացասական թիվ է, որը բավարարում է b 2·k =a հավասարությունը, և հակառակը, եթե. b-ն ոչ բացասական թիվ է, որը բավարարում է b 2·k =a հավասարությունը, ապա b-ն a թվից 2·k-ի զույգ արմատն է:

Համակարգի առաջին հավասարությունից պարզ է դառնում, որ a թիվը ոչ բացասական է, քանի որ այն հավասար է ոչ բացասական b թվին, որը բարձրացված է մինչև 2·k զույգ ուժ։

Այսպիսով, դպրոցում զույգ հզորությունների արմատները դիտարկում են միայն ոչ բացասական թվերից՝ դրանք հասկանալով որպես , իսկ բացասական թվերի զույգ հզորությունների արմատներին որևէ նշանակություն չի տրվում։

Երկրորդ գործնականորեն կարևոր արդյունք: .

Այն, ըստ էության, համատեղում է կենտ արմատի սահմանումը բացասական թվի կենտ արմատի սահմանման հետ: Եկեք բացատրենք սա.

Նախորդ պարբերություններում տրված սահմանումներից պարզ է դառնում, որ դրանք իմաստ են տալիս ցանկացած իրական թվերի կենտ հզորությունների արմատներին՝ ոչ միայն ոչ բացասական, այլև բացասական։ Ոչ բացասական b թվերի համար համարվում է, որ . Վերջին համակարգը ենթադրում է a≥0 պայման։ Բացասական թվերի համար −a (որտեղ a-ն դրական թիվ է) վերցրեք . Հասկանալի է, որ այս սահմանմամբ այն բացասական թիվ է, քանի որ այն հավասար է , և դրական թիվ է։ Հասկանալի է նաև, որ արմատը հասցնելով 2 k+1 հզորության, ստացվում է ռադիկան –a: Իսկապես, հաշվի առնելով լիազորությունների այս սահմանումը և հատկությունները, մենք ունենք

Այստեղից եզրակացնում ենք, որ −a բացասական թվի 2 k+1 կենտ աստիճանի արմատը բացասական b թիվ է, որի 2 k+1 աստիճանը հավասար է −a-ի՝ բառացի ձևով։ . Արդյունքների համադրում համար a≥0 և համար –a<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .

Այսպիսով, դպրոցում նրանք դիտարկում են ցանկացած իրական թվի կենտ հզորությունների արմատները և դրանք հասկանում են հետևյալ կերպ. .

Եզրափակելով, եկեք ևս մեկ անգամ գրենք մեզ հետաքրքրող երկու արդյունք. Եվ .

Ամուսին. արմատ, պարանոց, արմատ · քայքայում է. արհամարհական արմատ, խոշորացնող արմատ, ցանկացած բույսի ստորգետնյա հատված։ Ծառերի մեջ կան առաջնային և կողային արմատներ, նրանց հետ նաև արմատներ և մանր բլիթներ։ կլանող խոնավություն. Արմատը կարող է լինել՝ սոխուկ, ... ... Դալի բացատրական բառարան

ԱՐՄԱՏ, rn, հոգնակի։ rni, rni, ամուսին. 1. Բույսի ստորգետնյա հատվածը, որը ծառայում է հողի մեջ ամրացնելուն ու նրանից ջուրն ու սննդանյութերը կլանելուն։ Հիմնական, կողային, օժանդակ արմատներ (լիանների և գետնից բարձր որոշ այլ բույսերի մեջ: Օժեգովի բացատրական բառարան

- (ռադիքս), տերեւավոր բույսերի հիմնական վեգետատիվ օրգաններից մեկը, որը ծառայում է ենթաշերտին ամրացման, ջրի կլանման եւ դրանից սնվելու համար։ նյութեր. Ֆիլոգենետիկորեն Կ.-ն առաջացել է ցողունից ավելի ուշ, և հավանաբար առաջացել է արմատանման... ... Կենսաբանական հանրագիտարանային բառարան

Տե՛ս սկիզբ, պատճառ, ծագում, արմատախիլ անել, արմատավորել... Ռուսերեն հոմանիշների և նմանատիպ արտահայտությունների բառարան. տակ. խմբ. Ն. Աբրամովա, Մ.: Ռուսերեն բառարաններ, 1999. արմատ, սկիզբ, պատճառ, ծագում; արմատական; ողնաշարը, միջուկը, ...... Հոմանիշների բառարան

արմատ- ROOT, rnya, m 1. Ընկեր, ընկեր. 2. Տղամարդու սեռական օրգան Փոքրիկ տղամարդը աճում է արմատի արմատի մեջ: Ամուր արմատը հին, հավատարիմ ընկերն է: 1. հնարավոր է վարակվածություն կողակից... Ռուսերեն արգոտի բառարան

Մաթեմատիկայի մեջ..1) թվի n աստիճանի արմատը ցանկացած x թիվ է (նշվում է a-ով կոչվում է արմատական ​​արտահայտություն), որի n-րդ աստիճանը հավասար է a (-ի): Արմատը գտնելու գործողությունը կոչվում է արմատի հանում2)] Հավասարման արմատն այն թիվն է, որը հետո... ...

Առաջնային արմատը մնում է շատ փշատերևների մեջ ամբողջ կյանքի ընթացքում և զարգանում է հզոր ծորակ արմատի տեսքով, որից տարածվում են կողային արմատները։ Ավելի հազվադեպ, ինչպես որոշ սոճիներում, առաջնային արմատը թերզարգացած է և փոխարինվում է կողայիններով: Բացի երկարներից... ... Կենսաբանական հանրագիտարան

- (մաթեմատիկական), 1) a թվի n աստիճանի արմատը Այն թիվը, որի n-րդ աստիճանը հավասար է a թվին (նշվում է, a կոչվում է արմատական ​​արտահայտություն): Արմատը գտնելու գործողությունը կոչվում է արմատահանում: 2) Հավասարման արժեքի լուծում... ... Ժամանակակից հանրագիտարան

Կենսաբանության մեջ բույսերի հիմնական օրգաններից մեկն է, որը ծառայում է հողի ամրացմանը, ջրի, հանքանյութերի կլանմանը, օրգանական միացությունների սինթեզմանը, ինչպես նաև նյութափոխանակության որոշ արգասիքների արտազատմանը։ Արմատը կարող է պահեստային պահեստի տեղ լինել... ... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Լեզվաբանության մեջ ոչ ածանցյալ (պարզ) բառի հոլով, որը ոչ մի ածանց չի պարունակում։ Արմատը բառի բառային միջուկն է, այսինքն կրում է նրա հիմնական իրական իմաստը... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Գրքեր

• The Root of All Evil, Williams R. Donald Bailey-ն դժվար դեռահաս չէ, այլ պարզապես դժբախտ: Կատարելով անուղղելի արարք՝ նա կորցրել է ընկերների վստահությունը, մոր սերն ու սեփական խաղաղությունը։ Ի՞նչ է մնում նրան։ Փախիր...
• Խնդրի արմատը, Հենրի Ռ. Բրանդտ. Այս գրքի հեղինակն առաջարկում է մի շատ պարզ աստվածաշնչյան ճշմարտություն՝ բոլոր տեսակի հոգեկան խանգարումներից ազատվելու համար. մեղքի գիտակցումը՝ որպես բոլոր խնդիրների բուն պատճառ, և ապաշխարություն կատարված մեղքերի համար: ՄԵՋ…

Ես նորից նայեցի ցուցանակին... Եվ, արի գնանք։

Սկսենք մի պարզ բանից.

Ընդամենը մեկ րոպե: սա, ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք գրել այսպես.

Հասկացա՞ր: Ահա հաջորդը ձեզ համար.

Արդյո՞ք ստացված թվերի արմատները ճշգրիտ արդյունահանված չեն: Խնդիր չկա. ահա մի քանի օրինակ.

Իսկ եթե կան ոչ թե երկու, այլ ավելի շատ բազմապատկիչներ: Նույնը՜ Արմատները բազմապատկելու բանաձևը գործում է ցանկացած մի շարք գործոնների հետ.

Այժմ լիովին ինքնուրույն.

Պատասխաններ:Լավ արեցիր։ Համաձայն եմ, ամեն ինչ շատ հեշտ է, գլխավորը բազմապատկման աղյուսակն իմանալն է։

Արմատային բաժանում

Մենք դասավորել ենք արմատների բազմապատկումը, հիմա անցնենք բաժանման հատկությանը:

Հիշեցնեմ, որ ընդհանուր բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Ինչը նշանակում է, որ գործակիցի արմատը հավասար է արմատների գործակցին.

Դե, եկեք նայենք մի քանի օրինակների.

Գիտությունն այսքանն է: Ահա մի օրինակ.

Ամեն ինչ այնքան հարթ չէ, որքան առաջին օրինակում, բայց, ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա:

Իսկ եթե հանդիպեք այս արտահայտությանը.

Պարզապես անհրաժեշտ է կիրառել բանաձևը հակառակ ուղղությամբ.

Եվ ահա մի օրինակ.

Դուք կարող եք հանդիպել նաև այս արտահայտությանը.

Ամեն ինչ նույնն է, միայն այստեղ դուք պետք է հիշեք, թե ինչպես թարգմանել կոտորակները (եթե չեք հիշում, նայեք թեմային և վերադառնաք): Հիշու՞մ ես։ Հիմա եկեք որոշենք.

Համոզված եմ, որ դուք հաղթահարել եք ամեն ինչ, հիմա եկեք փորձենք արմատները բարձրացնել աստիճանների:

Էքսպոենտացիա

Ի՞նչ տեղի կունենա, եթե քառակուսի արմատը քառակուսի լինի: Պարզ է, հիշեք թվի քառակուսի արմատի նշանակությունը. սա այն թիվն է, որի քառակուսի արմատը հավասար է:

Այսպիսով, եթե քառակուսի դրենք այն թիվը, որի քառակուսի արմատը հավասար է, ի՞նչ ենք ստանում:

Դե իհարկե։

Դիտարկենք օրինակներ.

Պարզ է, չէ՞: Իսկ եթե արմատն այլ աստիճանի է: Ամեն ինչ լավ է:

Հետևեք նույն տրամաբանությանը և հիշեք հատկությունները և հնարավոր գործողությունները աստիճաններով:

Կարդացեք տեսությունը «» թեմայով և ամեն ինչ ձեզ համար չափազանց պարզ կդառնա:

Օրինակ, ահա մի արտահայտություն.

Այս օրինակում աստիճանը զույգ է, իսկ եթե այն կենտ է: Կրկին կիրառեք հզորությունների հատկությունները և գործադրեք ամեն ինչ.

Սրանով ամեն ինչ պարզ է թվում, բայց ինչպե՞ս կարելի է թվի արմատը հանել ուժի մեջ: Ահա, օրինակ, սա.

Բավականին պարզ, չէ՞: Իսկ եթե աստիճանը երկուսից ավելի է: Մենք հետևում ենք նույն տրամաբանությանը, օգտագործելով աստիճանների հատկությունները.

Դե, ամեն ինչ պարզ է? Ապա ինքներդ լուծեք օրինակները.

Եվ ահա պատասխանները.

Արմատի նշանի տակ մտնելը

Ի՞նչ չենք սովորել անել արմատների հետ: Մնում է միայն սովորել արմատային նշանի տակ թիվը մուտքագրել:

Դա իսկապես հեշտ է:

Ենթադրենք մի թիվ ունենք գրված

Ի՞նչ կարող ենք անել դրա հետ: Դե, իհարկե, երեքը թաքցրեք արմատի տակ՝ հիշելով, որ երեքը քառակուսի արմատն է։

Ինչու՞ է մեզ սա պետք: Այո, պարզապես օրինակներ լուծելիս մեր հնարավորություններն ընդլայնելու համար.

Ինչպե՞ս է ձեզ դուր գալիս արմատների այս հատկությունը: Արդյո՞ք դա շատ ավելի հեշտացնում է կյանքը: Ինձ համար դա ճիշտ է: Միայն Պետք է հիշել, որ քառակուսի արմատի նշանի տակ կարող ենք մուտքագրել միայն դրական թվեր։

Ինքներդ լուծեք այս օրինակը -
Դուք հասցրե՞լ եք: Եկեք տեսնենք, թե ինչ պետք է ստանաք.

Լավ արեցիր։ Դուք կարողացաք համարը մուտքագրել արմատային նշանի տակ: Եկեք անցնենք նույնքան կարևոր բանի. եկեք նայենք, թե ինչպես կարելի է համեմատել քառակուսի արմատ պարունակող թվերը:

Արմատների համեմատություն

Ինչու՞ պետք է սովորենք համեմատել քառակուսի արմատ պարունակող թվերը:

Շատ պարզ. Հաճախ, քննության ժամանակ հանդիպող մեծ և երկար արտահայտություններով մենք ստանում ենք իռացիոնալ պատասխան (հիշո՞ւմ եք, թե ինչ է սա: Մենք այսօր արդեն խոսեցինք այս մասին):

Ստացված պատասխանները պետք է տեղադրենք կոորդինատային գծի վրա, օրինակ, որոշենք, թե որ միջակայքն է հարմար հավասարումը լուծելու համար։ Եվ այստեղ խնդիր է առաջանում՝ քննության մեջ հաշվիչը չկա, իսկ առանց դրա ինչպե՞ս եք պատկերացնում, թե որ թիվն է մեծ, որը՝ պակաս։ Վե՛րջ:

Օրինակ, որոշեք, թե որն է ավելի մեծ.

Դուք չեք կարող անմիջապես ասել. Լավ, օգտագործենք արմատի նշանի տակ թիվ մուտքագրելու ապամոնտաժված հատկությո՞ւնը։

Ապա շարունակեք.

Դե, ակնհայտորեն, որքան մեծ է թիվը արմատային նշանի տակ, այնքան մեծ է հենց արմատը:

Նրանք. եթե, ապա, .

Այստեղից մենք հաստատապես եզրակացնում ենք, որ. Եվ ոչ ոք մեզ հակառակը չի համոզի։

Արմատներ հանելը մեծ թվերից

Մինչ այս արմատի նշանի տակ բազմապատկիչ էինք մտցնում, բայց ինչպե՞ս հեռացնել։ Դուք պարզապես պետք է այն գործոնավորեք գործոնների մեջ և հանեք այն, ինչ արդյունահանում եք:

Կարելի էր գնալ այլ ճանապարհով և ընդլայնվել այլ գործոնների մեջ.

Վատ չէ, չէ՞: Այս մոտեցումներից որևէ մեկը ճիշտ է, որոշեք այնպես, ինչպես ցանկանում եք:

Ֆակտորինգը շատ օգտակար է այնպիսի ոչ ստանդարտ խնդիրներ լուծելիս, ինչպիսիք են.

Եկեք չվախենանք, այլ գործենք։ Եկեք արմատի տակ գտնվող յուրաքանչյուր գործոն տարրալուծենք առանձին գործոնների.

Հիմա փորձեք ինքներդ (առանց հաշվիչի: Այն չի լինի քննության վրա).

Արդյո՞ք սա վերջն է: Եկեք կես ճանապարհին կանգ չառնենք։

Այսքանը, այնքան էլ սարսափելի չէ, չէ՞:

Արդյո՞ք դա աշխատեց: Լավ արեցիք, ճիշտ է:

Այժմ փորձեք այս օրինակը.

Բայց օրինակը կոշտ ընկույզ է, այնպես որ դուք չեք կարող անմիջապես հասկանալ, թե ինչպես մոտենալ դրան: Բայց, իհարկե, մենք կարող ենք գլուխ հանել դրան:

Դե, եկեք սկսենք ֆակտորինգը. Անմիջապես նշենք, որ կարող եք թիվը բաժանել (հիշեք բաժանելիության նշանները).

Հիմա փորձեք ինքներդ (կրկին, առանց հաշվիչի):

Դե, ստացվեց? Լավ արեցիք, ճիշտ է:

Եկեք ամփոփենք այն

1. Ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը (թվաբանական քառակուսի արմատ) այն ոչ բացասական թիվն է, որի քառակուսին հավասար է.
   .
2. Եթե ​​մենք ուղղակի վերցնում ենք ինչ-որ բանի քառակուսի արմատը, ապա միշտ ստանում ենք մեկ ոչ բացասական արդյունք:
3. Թվաբանական արմատի հատկությունները.
4. Քառակուսի արմատները համեմատելիս պետք է հիշել, որ որքան մեծ է թիվը արմատի նշանի տակ, այնքան մեծ է հենց արմատը։

Ինչպե՞ս է քառակուսի արմատը: Արդյո՞ք ամեն ինչ պարզ է:

Մենք փորձեցինք առանց աղմուկի բացատրել ձեզ այն ամենը, ինչ դուք պետք է իմանաք քննության ժամանակ քառակուսի արմատի մասին։

Հիմա ձեր հերթն է: Գրեք մեզ՝ դժվար է ձեզ համար այս թեման, թե ոչ։

Նոր բան սովորեցի՞ր, թե՞ արդեն ամեն ինչ պարզ էր։

Գրեք մեկնաբանություններում և հաջողություն ձեր քննություններին: