Նորմալ բաշխում վիճակագրության մեջ. Նորմալ բաշխումը և դրա պարամետրերը: Միակողմանի նորմալ բաշխման հողամասեր

Նորմալ բաշխումը բաշխման ամենատարածված տեսակն է: Մարդը հանդիպում է դրան, երբ վերլուծում է չափման սխալները, մոնիտորինգը տեխնոլոգիական գործընթացներև եղանակները, ինչպես նաև տարբեր երևույթների վերլուծության և կանխատեսման մեջ կենսաբանություն , դեղև գիտելիքի այլ ոլորտներ:

«Նորմալ բաշխում» տերմինը օգտագործվում է պայմանական իմաստով, ինչպես ընդհանուր առմամբ ընդունված է գրականության մեջ, թեև ոչ ամբողջությամբ հաջողված: Այսպիսով, այն պնդումը, որ որոշակի հատկանիշը ենթարկվում է բաշխման նորմալ օրենքին, ամենևին չի նշանակում որևէ անսասան նորմերի առկայություն, որոնք ենթադրաբար ընկած են այն երևույթի հիմքում, որի արտացոլումն է տվյալ հատկանիշը, և բաշխման այլ օրենքներին ենթարկվելը չի ​​նշանակում որևէ տեսակի: այս երևույթի աննորմալությունը:

Նորմալ բաշխման հիմնական առանձնահատկությունն այն է, որ այն սահմանն է, որին մոտենում են մյուս բաշխումները: Նորմալ բաշխումը հայտնաբերվեց առաջին անգամ Moivre 1733 թվականին։ Միայն շարունակական պատահական փոփոխականներն են ենթարկվում նորմալ օրենքին: Նորմալ բաշխման օրենքի խտությունն ունի ձև.

Նորմալ բաշխման օրենքի մաթեմատիկական ակնկալիքն է. Տարբերությունը հավասար է.

Նորմալ բաշխման հիմնական հատկությունները.

1. Բաշխման խտության ֆունկցիան սահմանվում է ամբողջ թվային առանցքի վրա Օ՜ , այսինքն՝ յուրաքանչյուր արժեք X համապատասխանում է ֆունկցիայի շատ կոնկրետ արժեքին:

2. Բոլոր արժեքների համար X (և՛ դրական, և՛ բացասական) խտության ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեքներ, այսինքն՝ նորմալ կորը գտնվում է առանցքի վերևում։ Օ՜ .

3. Խտության ֆունկցիայի սահմանը՝ անսահմանափակ աճով X հավասար է զրոյի, .

4. Նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիան մի կետում ունի առավելագույնը .

5. Խտության ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ուղիղ գծի նկատմամբ։

6. Բաշխման կորը ունի երկու թեքության կետ՝ կոորդինատներով Եվ .

7. Նորմալ բաշխման եղանակը և մեդիանը համընկնում են մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ Ա .

8. Պարամետրը փոխելիս նորմալ կորի ձևը չի փոխվում Ա .

9. Հնարավորություններ ասիմետրիաԵվ ավելցուկնորմալ բաշխումը հավասար է զրոյի:

Այս գործակիցների հաշվարկման կարևորությունը էմպիրիկ բաշխման շարքերի համար ակնհայտ է, քանի որ դրանք բնութագրում են այս շարքի թեքությունն ու թեքությունը սովորականի համեմատ:

Ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը հայտնաբերվում է բանաձևով , Որտեղ կենտ աղյուսակավորված ֆունկցիա:

Եկեք որոշենք նորմալ բաշխվածության հավանականությունը պատահական փոփոխականշեղվում է իր մաթեմատիկական ակնկալիքից փոքր քանակությամբ, այսինքն՝ մենք կգտնենք անհավասարության հավանականությունը , կամ կրկնակի անհավասարության հավանականությունը։ Փոխարինելով բանաձևի մեջ՝ մենք ստանում ենք

Պատահական փոփոխականի շեղման արտահայտում X ստանդարտ շեղման կոտորակներում, այսինքն՝ վերջին հավասարությունը դնելով, ստանում ենք .

Հետո երբ մենք ստանում ենք,

երբ մենք ստանում ենք,

երբ մենք ստանում ենք.

Վերջին անհավասարությունից հետևում է, որ գործնականում նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի ցրումը պարունակվում է տարածքում: Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը չի ընկնի այս տարածքում, շատ փոքր է, այսինքն՝ հավասար է 0,0027-ի, այսինքն՝ այս իրադարձությունը կարող է տեղի ունենալ 1000-ից միայն երեք դեպքում: Նման իրադարձությունները կարելի է համարել գրեթե անհնարին: Ելնելով վերը նշված պատճառաբանությունից երեքի կանոնսիգմա, որը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. եթե պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում, ապա այդ արժեքի շեղումը բացարձակ արժեքով մաթեմատիկական ակնկալիքից չի գերազանցում ստանդարտ շեղումը երեք անգամ..

Օրինակ 28. Ավտոմատ մեքենայի արտադրած հատվածը համարվում է հարմար, եթե դրա վերահսկվող չափի շեղումը նախագծայինից չի գերազանցում 10 մմ: Դիզայնից վերահսկվող չափի պատահական շեղումները ենթակա են նորմալ բաշխման օրենքին` մմ ստանդարտ շեղումով և մաթեմատիկական ակնկալիքով: Հարմար մասերի քանի՞ տոկոսն է արտադրում մեքենան:

Լուծում. Դիտարկենք պատահական փոփոխականը X - չափի շեղում դիզայնից. Մասը վավեր կհամարվի, եթե պատահական փոփոխականը պատկանում է միջակայքին: Համապատասխան մասի արտադրության հավանականությունը կարելի է գտնել բանաձևով . Հետևաբար, մեքենայի կողմից արտադրված հարմար մասերի տոկոսը կազմում է 95,44%:

Երկանդամ բաշխում

Երկանդամը առաջացման հավանականության բաշխումն է մ միջոցառումների քանակը n անկախ փորձարկումներ, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը հաստատուն է և հավասար r . Իրադարձության հնարավոր քանակի հավանականությունը հաշվարկվում է Բեռնուլիի բանաձևով.

Որտեղ. Մշտական n Եվ r , այս արտահայտության մեջ ներառված, երկանդամության օրենքի պարամետրերն են։ Երկանդամ բաշխումը նկարագրում է դիսկրետ պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումը:

Երկանդամ բաշխման հիմնական թվային բնութագրերը. Մաթեմատիկական ակնկալիքն է. Ցրվածությունհավասար է . Թեքության և կուրտոզի գործակիցները հավասար են և . Թեստերի քանակի անսահմանափակ աճով Ա Եվ Ե հակված են զրոյի, հետևաբար, մենք կարող ենք ենթադրել, որ երկանդամ բաշխումը զուգակցվում է նորմալին, քանի որ փորձարկումների թիվը մեծանում է:

Օրինակ 29. Իրադարձության առաջացման նույն հավանականությամբ կատարվում են անկախ թեստեր Ա յուրաքանչյուր թեստում: Գտեք իրադարձության հավանականությունը Ա մեկ փորձարկման ժամանակ, եթե երեք փորձարկումների ընթացքում տեղի ունեցած դեպքերի քանակի շեղումը 0,63 է:

Լուծում. Երկանդամ բաշխման համար . Փոխարինենք արժեքները, ստանում ենք այստեղից կամ ապա և .

Պուասոնի բաշխում

Հազվագյուտ երեւույթների բաշխման օրենքը

Պուասոնի բաշխումնկարագրում է իրադարձությունների քանակը մ , որը տեղի է ունենում հավասար ժամանակահատվածներում, պայմանով, որ իրադարձությունները տեղի են ունենում միմյանցից անկախ՝ մշտական ​​միջին ինտենսիվությամբ։ Ավելին, թեստերի քանակը n բարձր է, և դեպքի հավանականությունը յուրաքանչյուր փորձարկման ժամանակ r փոքր Հետևաբար, Պուասոնի բաշխումը կոչվում է հազվագյուտ իրադարձությունների օրենք կամ ամենապարզ հոսքը։ Պուասոնի բաշխման պարամետրը այն արժեքն է, որը բնութագրում է իրադարձությունների առաջացման ինտենսիվությունը n թեստեր. Պուասոնի բաշխման բանաձևը .

Poisson-ի բաշխումը լավ նկարագրում է տարեկան ապահովագրական գումարների վճարման պահանջների քանակը, որոշակի ժամանակահատվածում հեռախոսակայանում ստացված զանգերի քանակը, հուսալիության փորձարկման ընթացքում տարրերի խափանումների քանակը, թերի արտադրանքի քանակը և այլն: .

Պուասոնի բաշխման հիմնական թվային բնութագրերը: Մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է շեղմանը և հավասար է Ա . Այսինքն . Սա է տարբերակիչ հատկանիշայս բաշխումը. Անհամաչափության և կուրտոզի գործակիցները համապատասխանաբար հավասար են։

Օրինակ 30. Ապահովագրության վճարումների միջին թիվը օրական երկուսն է: Գտե՛ք հավանականությունը, որ հինգ օրից ստիպված կլինեք վճարել՝ 1) 6 ապահովագրական գումար. 2) վեցից պակաս գումար. 3) առնվազն վեց. կամ էքսպոնենցիալբաշխում.

Այս բաշխումը հաճախ նկատվում է տարբեր սարքերի ծառայության ժամկետն ուսումնասիրելիս, գործարկման ժամանակը առանձին տարրեր, համակարգի մասերը և համակարգը որպես ամբողջություն, երբ դիտարկվում են պատահական ժամանակային ընդմիջումներ երկու հաջորդական հազվագյուտ իրադարձությունների առաջացման միջև։

Էքսպոնենցիալ բաշխման խտությունը որոշվում է պարամետրով, որը կոչվում է ձախողման մակարդակը. Այս տերմինը կապված է կոնկրետ կիրառական ոլորտի՝ հուսալիության տեսության հետ:

Էքսպոնենցիալ բաշխման ինտեգրալ ֆունկցիայի արտահայտությունը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով դիֆերենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները.

Էքսպոնենցիալ բաշխման ակնկալիք, շեղում, ստանդարտ շեղում: Այսպիսով, այս բաշխմանը բնորոշ է, որ ստանդարտ շեղումը թվայինորեն հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին: Պարամետրի ցանկացած արժեքի համար ասիմետրիայի և կուրտոզի գործակիցներն են հաստատուններ.

Օրինակ 31. Հեռուստացույցի միջին աշխատանքային ժամանակը մինչև առաջին խափանումը 500 ժամ է: Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված հեռուստացույցը կաշխատի առանց խափանումների ավելի քան 1000 ժամ:

Լուծում. Քանի որ միջին գործառնական ժամանակը մինչև առաջին ձախողումը 500 է, ուրեմն . Բանաձևով մենք գտնում ենք ցանկալի հավանականությունը.

Սահմանում 1

$X$ պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում (Գաուսյան բաշխում), եթե դրա բաշխման խտությունը որոշվում է բանաձևով.

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

Այստեղ $aϵR$-ը մաթեմատիկական ակնկալիքն է, իսկ $\sigma >0$-ը ստանդարտ շեղումն է:

Նորմալ բաշխման խտությունը:

Եկեք ցույց տանք, որ այս ֆունկցիան իսկապես բաշխման խտություն է: Դա անելու համար մենք ստուգում ենք հետևյալ պայմանը.

Եկեք դիտարկենք ոչ պատշաճ ինտեգրալ$\int\limits^(+\infty)_(-\infty)(\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sigma)e^(\frac(-((x-a))^2)( 2(\sigma )^2))dx)$.

Կատարենք փոխարինումը՝ $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$։

Քանի որ $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$-ը զույգ ֆունկցիա է, ապա

Հավասարությունը բավարարված է, ինչը նշանակում է $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2 ֆունկցիան: )(2 (\sigma )^2))$-ն իսկապես որոշ պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունն է:

Դիտարկենք $\varphi \left(x\right)$ նորմալ բաշխման հավանականության խտության ֆունկցիայի մի քանի պարզ հատկություններ.

1. Նորմալ բաշխման հավանականության խտության ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է $x=a$ ուղիղ գծի նկատմամբ։
2. $\varphi \left(x\right)$ ֆունկցիան հասնում է իր առավելագույնին $x=a$-ում, իսկ $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
3. $\varphi \left(x\right)$ ֆունկցիան նվազում է որպես $x>a$ և մեծանում է որպես $x
4. $\varphi \left(x\right)$ ֆունկցիան ունի թեքման կետեր՝ $x=a+\sigma $ և $x=a-\sigma $:
5. $\varphi \left(x\right)$ ֆունկցիան ասիմպտոտիկորեն մոտենում է $Ox$ առանցքին որպես $x\to \pm \infty $:
6. Սխեմատիկ գրաֆիկն այսպիսի տեսք ունի (Նկար 1):

Նկար 1. Նկ. 1. Նորմալ բաշխման խտության գրաֆիկ

Նկատի ունեցեք, որ եթե $a=0$, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է $Oy$ առանցքի նկատմամբ։ Հետևաբար, $\varphi \left(x\right)$ ֆունկցիան զույգ է։

Հավանականության նորմալ բաշխման ֆունկցիա:

Նորմալ բաշխման հավանականության բաշխման ֆունկցիան գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ բանաձևը.

Հետևաբար,

Սահմանում 2

$F(x)$ ֆունկցիան կոչվում է ստանդարտ նորմալ բաշխում, եթե $a=0,\ \sigma =1$, այսինքն.

Այստեղ $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ - Լապլասի ֆունկցիան.

Սահմանում 3

Գործառույթ $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ կոչվում է հավանականության ինտեգրալ:

Նորմալ բաշխման թվային բնութագրերը.

Մաթեմատիկական ակնկալիք՝ $M\left(X\right)=a$:

Տարբերություն՝ $D\left(X\right)=(\sigma )^2$:

Միջին քառակուսի բաշխում՝ $\sigma \left(X\right)=\sigma $:

Օրինակ 1

Նորմալ բաշխման հայեցակարգի վերաբերյալ խնդրի լուծման օրինակ:

Խնդիր 1$X$ ուղու երկարությունը պատահական շարունակական փոփոխական է: $X$-ը բաշխվում է ըստ նորմալ բաշխման օրենքի, որի միջին արժեքը հավասար է $4$ կիլոմետրի, իսկ ստանդարտ շեղումը հավասար է $100$ մետրի։

1. Գտեք բաշխման խտության ֆունկցիան $X$:
2. Գծե՛ք բաշխման խտության սխեմատիկ գրաֆիկ:
3. Գտեք $X$ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան:
4. Գտեք շեղումը:

1. Սկզբից եկեք պատկերացնենք բոլոր քանակությունները մեկ հարթության մեջ՝ 100մ=0.1կմ.

Սահմանում 1-ից մենք ստանում ենք.

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0.1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0.02 ))\]

(քանի որ $a=4\ կմ, \ \sigma =0.1\ կմ)$

1. Օգտագործելով բաշխման խտության ֆունկցիայի հատկությունները, ունենք, որ $\varphi \left(x\right)$ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է $x=4$ ուղիղ գծի նկատմամբ։

Ֆունկցիան հասնում է իր առավելագույնին $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0.1\sqrt(2\) կետում: պի )))$

Սխեմատիկ գրաֆիկը նման է.

Նկար 2.

1. Բաշխման ֆունկցիայի սահմանմամբ $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty)(e^(\frac( -( (t-a))^2)(2(\sigma )^2))dt)$, ունենք.

\

1. $D\left(X\աջ)=(\sigma )^2=0.01$:

Հոդվածը մանրամասն ցույց է տալիս, թե ինչ է դա նորմալ օրենքպատահական փոփոխականի բաշխում և ինչպես օգտագործել այն գործնական խնդիրներ լուծելիս:

Նորմալ բաշխում վիճակագրության մեջ

Օրենքի պատմությունը հասնում է 300 տարվա հետ։ Առաջին հայտնագործողը Աբրահամ դե Մուիվրն էր, ով մոտարկում էր գտել դեռ 1733 թվականին։ Շատ տարիներ անց Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսը (1809) և Պիեռ-Սիմոն Լապլասը (1812) ստացան մաթեմատիկական ֆունկցիաներ։

Լապլասը նաև ուշագրավ օրինաչափություն է հայտնաբերել և ձևակերպել կենտրոնական սահմանային թեորեմ (ԽԿԿ), ըստ որի գումարը մեծ քանակությամբփոքր և անկախ քանակություններն ունի նորմալ բաշխում:

Նորմալ օրենքը մի փոփոխականի մյուսից կախվածության ֆիքսված հավասարում չէ: Արձանագրվում է միայն այս կախվածության բնույթը: Բաշխման հատուկ ձևը նշվում է հատուկ պարամետրերով: Օրինակ՝ y = կացին + բուղիղ գծի հավասարումն է։ Այնուամենայնիվ, թե կոնկրետ որտեղ է այն անցնում և ինչ անկյան տակ է որոշվում պարամետրերով ԱԵվ բ. Նույնը նորմալ բաշխման դեպքում: Հասկանալի է, որ սա գործառույթ է, որը նկարագրում է կենտրոնի շուրջ արժեքների բարձր կոնցենտրացիայի միտումը, սակայն դրա ճշգրիտ ձևը որոշվում է հատուկ պարամետրերով:

Գաուսի նորմալ բաշխման կորը այսպիսի տեսք ունի.

Նորմալ բաշխման գրաֆիկը հիշեցնում է զանգը, այդ իսկ պատճառով դուք կարող եք տեսնել անունը զանգի կորը. Գրաֆիկը մեջտեղում ունի «կուզ», իսկ ծայրերում՝ խտության կտրուկ նվազում։ Սա է նորմալ բաշխման էությունը: Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը կլինի կենտրոնի մոտ, շատ ավելի մեծ է, քան այն, որ այն մեծապես կշեղվի կենտրոնից:

Վերևի նկարը ցույց է տալիս Գաուսի կորի տակ գտնվող երկու տարածք՝ կապույտ և կանաչ: Պատճառները, այսինքն. Ընդմիջումները հավասար են երկու հատվածների համար: Բայց բարձունքները նկատելիորեն տարբեր են։ Կապույտ հատվածը կենտրոնից ավելի հեռու է և ունի զգալիորեն ցածր բարձրություն, քան կանաչ հատվածը, որը գտնվում է բաշխման հենց կենտրոնում: Հետեւաբար տարբերվում են նաեւ տարածքները, այսինքն՝ նախատեսված միջակայքերի մեջ ընկնելու հավանականությունները։

Նորմալ բաշխման (խտության) բանաձևը հետևյալն է.

Բանաձևը բաղկացած է երկու մաթեմատիկական հաստատուններից.

π – pi թիվ 3.142;

ե- բնական լոգարիթմի հիմք 2.718;

երկու փոփոխական պարամետր, որոնք սահմանում են կոնկրետ կորի ձևը.

մ- մաթեմատիկական ակնկալիք (in տարբեր աղբյուրներԿարող են օգտագործվել այլ նշումներ, օրինակ. µ կամ ա);

σ 2- ցրվածություն;

և ինքնին փոփոխականը x, որի համար հաշվարկվում է հավանականության խտությունը։

Նորմալ բաշխման հատուկ ձևը կախված է 2 պարամետրից. մ) Եվ ( σ 2) Համառոտ նշված N(m, σ 2)կամ N(m, σ). Պարամետր մ(մաթեմատիկական ակնկալիքը) որոշում է բաշխման կենտրոնը, որին այն համապատասխանում է առավելագույն բարձրությունգրաֆիկա։ Ցրվածություն σ 2բնութագրում է տատանումների շրջանակը, այսինքն՝ տվյալների «կեղտոտությունը»։

Մաթեմատիկական ակնկալիքի պարամետրը բաշխման կենտրոնը տեղափոխում է աջ կամ ձախ՝ առանց ազդելու հենց խտության կորի ձևի վրա:

Բայց դիսպերսիան որոշում է կորի սրությունը: Երբ տվյալներն ունեն փոքր ցրում, ապա դրա ողջ զանգվածը կենտրոնանում է կենտրոնում։ Եթե ​​տվյալները մեծ ցրվածություն ունեն, ապա դրանք «տարածվում են» լայն տիրույթում։

Բաշխման խտությունը ուղղակի չունի գործնական կիրառություն. Հավանականությունները հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ինտեգրել խտության ֆունկցիան։

Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը փոքր կլինի որոշակի արժեքից x, որոշված ​​է նորմալ բաշխման գործառույթ:

Օգտագործելով ցանկացած շարունակական բաշխման մաթեմատիկական հատկությունները, հեշտ է հաշվարկել ցանկացած այլ հավանականություն, քանի որ

P(a ≤ X< b) = Ф(b) – Ф(a)

Ստանդարտ նորմալ բաշխում

Նորմալ բաշխումը կախված է միջինի և դիսպերսիայի պարամետրերից, ինչի պատճառով դրա հատկությունները վատ տեսանելի են: Լավ կլիներ ունենալ բաշխման որոշակի ստանդարտ, որը կախված չէ տվյալների մասշտաբից: Եվ դա գոյություն ունի։ Կանչել ստանդարտ նորմալ բաշխում. Իրականում սա սովորական նորմալ բաշխում է, միայն մաթեմատիկական ակնկալիք 0 և շեղում 1 պարամետրերով, որոնք համառոտ գրված են N(0, 1):

Ցանկացած նորմալ բաշխում հեշտությամբ կարելի է վերածել ստանդարտ բաշխման՝ նորմալացնելով.

Որտեղ զ– փոխարենը օգտագործվող նոր փոփոխական x;
մ- մաթեմատիկական ակնկալիք;
σ - ստանդարտ շեղում.

Ընտրանքային տվյալների համար հաշվարկները վերցվում են.

Նոր փոփոխականի միջին թվաբանականը և շեղումը զայժմ նույնպես համապատասխանաբար 0 և 1 են: Սա հեշտությամբ կարելի է ստուգել տարրական հանրահաշվական փոխակերպումների միջոցով:

Անունը հայտնվում է գրականության մեջ z-score. Սա այն է՝ նորմալացված տվյալներ: Z- միավորկարելի է ուղղակիորեն համեմատել տեսական հավանականությունների հետ, քանի որ դրա մասշտաբը համընկնում է ստանդարտի հետ:

Այժմ տեսնենք, թե ինչ տեսք ունի ստանդարտ նորմալ բաշխման խտությունը (համար z- միավորներ) Հիշեցնեմ, որ Գաուսի ֆունկցիան ունի ձև.

Փոխարինենք (x-m)/σնամակ զ, և փոխարենը σ - մեկ, մենք ստանում ենք ստանդարտ նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիա:

Խտության աղյուսակ.

Կենտրոնը, ինչպես և սպասվում էր, գտնվում է 0-րդ կետում: Նույն կետում Գաուսի ֆունկցիան հասնում է իր առավելագույնին, որը համապատասխանում է պատահական փոփոխականին, որն ընդունում է իր միջին արժեքը (այսինքն. x-m=0) Խտությունը այս պահին 0,3989 է, որը կարելի է հաշվարկել նույնիսկ ձեր գլխում, քանի որ e 0 =1 և մնում է հաշվարկել 1-ի և 2 pi-ի արմատի հարաբերակցությունը:

Այսպիսով, գրաֆիկը հստակ ցույց է տալիս, որ արժեքները, որոնք ունեն միջինից փոքր շեղումներ, տեղի են ունենում ավելի հաճախ, քան մյուսները, և նրանք, որոնք շատ հեռու են կենտրոնից, շատ ավելի հազվադեպ են տեղի ունենում: X առանցքի սանդղակը չափվում է ստանդարտ շեղումներով, ինչը թույլ է տալիս ազատվել չափման միավորներից և ստանալ նորմալ բաշխման ունիվերսալ կառուցվածք: Նորմալացված տվյալների համար Գաուսի կորը հիանալի կերպով ցույց է տալիս նորմալ բաշխման այլ հատկություններ: Օրինակ, որ այն սիմետրիկ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ։ Բոլոր արժեքների մեծ մասը կենտրոնացած է թվաբանական միջինից ±1σ-ի սահմաններում (մենք առայժմ գնահատում ենք աչքով): Տվյալների մեծ մասը գտնվում է ±2σ-ի սահմաններում: Գրեթե բոլոր տվյալները գտնվում են ±3σ-ի սահմաններում: Վերջին գույքը լայնորեն հայտնի է որպես երեք սիգմայի կանոննորմալ բաշխման համար:

Ստանդարտ նորմալ բաշխման ֆունկցիան թույլ է տալիս հաշվարկել հավանականությունները:

Պարզ է, որ ոչ ոք ձեռքով չի հաշվում: Ամեն ինչ հաշվարկվում և տեղադրվում է հատուկ աղյուսակներում, որոնք գտնվում են վիճակագրության ցանկացած դասագրքի վերջում։

Նորմալ բաշխման աղյուսակ

Կան երկու տեսակի նորմալ բաշխման աղյուսակներ.

- սեղան խտությունը;

- սեղան գործառույթները(խտության ինտեգրալ):

Աղյուսակ խտությունըհազվադեպ է օգտագործվում: Այնուամենայնիվ, տեսնենք, թե ինչպես է այն նայում: Ենթադրենք, մենք պետք է ստանանք խտությունը z = 1, այսինքն. արժեքի խտությունը, որը բաժանված է ակնկալիքից 1 սիգմայով: Ստորև ներկայացված է սեղանի մի հատված:

Կախված տվյալների կազմակերպումից, որը մենք փնտրում ենք ցանկալի արժեքըստ սյունակների և տողերի անունների: Մեր օրինակում մենք վերցնում ենք գիծը 1,0 և սյունակ 0 , քանի որ հարյուրերորդականներ չկան։ Ձեր փնտրած արժեքը 0,2420 է (0-ը մինչև 2420-ը բաց է թողնված):

Գաուսի ֆունկցիան սիմետրիկ է օրդինատի նկատմամբ։ Ահա թե ինչու φ(z)= φ(-z), այսինքն. խտությունը համար 1 նույնական է խտության համար -1 , որը հստակ երևում է նկարում։

Թղթի վատնումից խուսափելու համար աղյուսակները տպագրվում են միայն դրական արժեքներով:

Գործնականում արժեքներն ավելի հաճախ են օգտագործվում գործառույթներըստանդարտ նորմալ բաշխում, այսինքն հավանականությունը տարբերի համար զ.

Նման աղյուսակները նույնպես պարունակում են միայն դրական արժեքներ: Հետեւաբար, հասկանալ եւ գտնել ցանկացածդուք պետք է իմանաք անհրաժեշտ հավանականությունները ստանդարտ նորմալ բաշխման հատկությունները.

Գործառույթ Ф(z)սիմետրիկ իր 0,5 արժեքի նկատմամբ (և ոչ թե օրդինատների առանցքի, ինչպես խտությունը): Այսպիսով, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Այս փաստը ներկայացված է նկարում.

Ֆունկցիոնալ արժեքներ Ф(-z)Եվ Ф(z)գրաֆիկը բաժանեք 3 մասի. Ընդ որում, վերին և ստորին մասերը հավասար են (նշված են ստուգման նշաններով): Հավանականությունը լրացնելու համար Ф(z) 1-ին, պարզապես ավելացրեք բացակայող արժեքը Ф(-z). Դուք ստանում եք հենց վերևում նշված հավասարությունը:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը (0; z), այսինքն՝ զրոյից շեղման հավանականությունը դրական ուղղությամբ մինչև որոշակի թվով ստանդարտ շեղումներ, բավական է ստանդարտ նորմալ բաշխման ֆունկցիայի արժեքից հանել 0,5.

Պարզության համար կարող եք նայել գծագրությանը:

Գաուսի կորի վրա այս նույն իրավիճակը նման է տարածքին աջ կենտրոնից զ.

Շատ հաճախ վերլուծաբանին հետաքրքրում է զրոյից երկու ուղղություններով շեղվելու հավանականությունը։ Եվ քանի որ ֆունկցիան սիմետրիկ է կենտրոնի նկատմամբ, ապա նախորդ բանաձեւը պետք է բազմապատկել 2-ով.

Ստորև նկարը:

Գաուսի կորի տակ գտնվում է կենտրոնական մաս, սահմանափակվում է ընտրված արժեքով – զձախ և զճիշտ.

Այս հատկությունները պետք է հաշվի առնել, քանի որ աղյուսակային արժեքները հազվադեպ են համապատասխանում հետաքրքրության միջակայքին:

Առաջադրանքը հեշտացնելու համար դասագրքերը սովորաբար հրապարակում են աղյուսակներ ձևի գործառույթների համար.

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է զրոյից երկու ուղղություններով շեղվելու հավանականությունը, ապա, ինչպես նոր տեսանք, այս ֆունկցիայի աղյուսակի արժեքը պարզապես բազմապատկվում է 2-ով:

Հիմա եկեք նայենք կոնկրետ օրինակներ. Ստորև բերված է ստանդարտ նորմալ բաշխման աղյուսակ: Եկեք գտնենք աղյուսակի արժեքները երեքի համար զ: 1.64, 1.96 և 3:

Ինչպե՞ս հասկանալ այս թվերի իմաստը: Սկսենք նրանից z=1,64, որի համար աղյուսակի արժեքն է 0,4495 . Իմաստը բացատրելու ամենահեշտ ձևը նկարում է:

Այսինքն, հավանականությունը, որ ստանդարտացված նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականը ընկնում է միջակայքում: 0 դեպի 1,64 , հավասար է 0,4495 . Խնդիրները լուծելիս սովորաբար պետք է հաշվարկել շեղման հավանականությունը երկու ուղղություններով, ուստի եկեք բազմապատկենք արժեքը 0,4495 2-ով և ստանում ենք մոտավորապես 0,9: Գաուսի կորի տակ զբաղեցրած տարածքը ներկայացված է ստորև։

Այսպիսով, բոլոր նորմալ բաշխված արժեքների 90% -ը ընկնում է միջակայքում ±1,64սմիջին թվաբանականից։ Պատահական չէր, որ ես ընտրեցի իմաստը z=1,64, քանի որ Թվաբանական միջինի շրջակայքը, որը զբաղեցնում է ամբողջ տարածքի 90%-ը, երբեմն օգտագործվում է վստահության միջակայքերը հաշվարկելու համար: Եթե ​​փորձարկվող արժեքը չի ընկնում նշանակված տարածքում, ապա դրա առաջացումը քիչ հավանական է (ընդամենը 10%):

Հիպոթեզները ստուգելու համար, սակայն, ավելի հաճախ օգտագործվում է բոլոր արժեքների 95%-ը ընդգրկող միջակայքը: Կես հնարավորություն 0,95 - Սա 0,4750 (տես աղյուսակի երկրորդ ընդգծված արժեքը):

Այս հավանականության համար z=1,96.Նրանք. ընթացքում գրեթե ±2σԱրժեքների 95%-ը միջինից է։ Միայն 5%-ն է դուրս գալիս այս սահմաններից:

Մեկ այլ հետաքրքիր և հաճախ օգտագործվող աղյուսակի արժեքը համապատասխանում է z=3, այն հավասար է մեր աղյուսակի համաձայն 0,4986 . Բազմապատկեք 2-ով և ստացեք 0,997 . Այսպիսով, ներսում ±3σԳրեթե բոլոր արժեքները ստացվում են թվաբանական միջինից:

Ահա թե ինչ տեսք ունի 3 սիգմա կանոնը դիագրամում նորմալ բաշխման համար:

Օգտագործելով վիճակագրական աղյուսակներ, կարող եք ստանալ ցանկացած հավանականություն: Այնուամենայնիվ, այս մեթոդը շատ դանդաղ է, անհարմար և շատ հնացած: Այսօր ամեն ինչ արվում է համակարգչով։ Հաջորդը, մենք անցնում ենք Excel- ում հաշվարկների պրակտիկային:

Նորմալ բաշխում Excel-ում

Excel-ն ունի մի քանի գործառույթ՝ նորմալ բաշխման հավանականությունները կամ հակադարձությունները հաշվարկելու համար։

NORMAL DIST ֆունկցիա

Գործառույթ NORM.ST.DIST.նախատեսված է խտությունը հաշվարկելու համար ϕ(z)կամ հավանականություններ Φ(z)ըստ նորմալացված տվյալների ( զ).

=NORM.ST.DIST(z;ինտեգրալ)

զ- ստանդարտացված փոփոխականի արժեքը

ինտեգրալ- եթե 0, ապա խտությունը հաշվարկվում էϕ(z) , եթե 1-ը Ф(z) ֆունկցիայի արժեքն է, այսինքն. հավանականություն P(Z

Եկեք հաշվարկենք խտությունը և ֆունկցիայի արժեքը տարբերի համար z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3(մենք դրանք կնշենք A2 բջիջում):

Խտությունը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է բանաձևը =NORM.ST.DIST(A2;0): Ստորև բերված դիագրամում սա կարմիր կետն է:

=NORM.ST.DIST(A2;1) ֆունկցիայի արժեքը հաշվարկելու համար: Դիագրամը ցույց է տալիս ստվերավորված տարածքը նորմալ կորի տակ:

Իրականում ավելի հաճախ անհրաժեշտ է հաշվարկել այն հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը չի անցնի միջինից որոշակի սահմաններից (փոփոխականին համապատասխանող ստանդարտ շեղումներով). զ), այսինքն. P(|Z| .

Եկեք որոշենք պատահական փոփոխականի սահմաններում ընկնելու հավանականությունը ±1z, ±2z և ±3zզրոյից։ Բանաձև է պետք 2Ф(z)-1, Excel-ում =2*NORM.ST.DIST(A2;1)-1:

Դիագրամը հստակ ցույց է տալիս նորմալ բաշխման հիմնական հիմնական հատկությունները, ներառյալ երեք սիգմա կանոնը: Գործառույթ NORM.ST.DIST. Excel-ում նորմալ բաշխման ֆունկցիայի արժեքների ավտոմատ աղյուսակ է:

Կարող է լինել նաև հակադարձ խնդիր՝ ըստ առկա հավանականության Պ(Զ գտնել ստանդարտացված արժեքը զ, այսինքն՝ ստանդարտ նորմալ բաշխման քվ.

NORM.ST.REV ֆունկցիա

NORM.ST.REVհաշվում է ստանդարտ նորմալ բաշխման ֆունկցիայի հակադարձությունը: Շարահյուսությունը բաղկացած է մեկ պարամետրից.

=NORM.ST.REV (հավանականություն)

հավանականությունըհավանականություն է։

Այս բանաձևը օգտագործվում է նույնքան հաճախ, որքան նախորդը, քանի որ օգտագործելով նույն աղյուսակները, դուք պետք է փնտրեք ոչ միայն հավանականություններ, այլև քանակներ:

Օրինակ՝ վստահության միջակայքերը հաշվարկելիս նշվում է վստահության հավանականություն, ըստ որի՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել արժեքը. զ.

Հաշվի առնելով, որ վստահության միջակայքը բաղկացած է վերին և ստորին սահմաններից, և որ նորմալ բաշխումը սիմետրիկ է զրոյի շուրջ, բավական է ստանալ վերին սահմանը (դրական շեղում): Ստորին սահմանը վերցված է բացասական նշանով։ Վստահության հավանականությունը նշենք որպես γ (գամմա), ապա վստահության միջակայքի վերին սահմանը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

Եկեք հաշվարկենք արժեքները Excel-ում զ(որը համապատասխանում է սիգմայի միջինից շեղմանը) մի քանի հավանականությունների համար, ներառյալ այն, որ ցանկացած վիճակագիր գիտի անգիր՝ 90%, 95% և 99%։ B2 բջիջում մենք նշում ենք բանաձևը՝ =NORM.ST.REV((1+A2)/2): Փոխելով փոփոխականի արժեքը (հավանականությունը A2 բջիջում) մենք ստանում ենք միջակայքերի տարբեր սահմաններ։

95% վստահության միջակայքը 1.96 է, այսինքն՝ գրեթե 2 ստանդարտ շեղում։ Այստեղից հեշտ է, նույնիսկ մտավոր, գնահատել նորմալ պատահական փոփոխականի հնարավոր տարածումը։ Ընդհանուր առմամբ, 90%, 95% և 99% վստահության միջակայքերը համապատասխանում են ±1.64, ±1.96 և ±2.58σ վստահության միջակայքերին:

Ընդհանուր առմամբ, NORM.ST.DIST և NORM.ST.REV ֆունկցիաները թույլ են տալիս կատարել ցանկացած հաշվարկ՝ կապված նորմալ բաշխման հետ։ Բայց ամեն ինչ ավելի հեշտ և ավելի քիչ բարդացնելու համար Excel-ն ունի մի քանի այլ հնարավորություններ: Օրինակ, դուք կարող եք օգտագործել ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄԸ միջինի վստահության միջակայքերը հաշվարկելու համար: Միջին թվաբանականը ստուգելու համար կա Z.TEST բանաձեւը:

Դիտարկենք ևս մի քանի օգտակար բանաձևեր օրինակներով:

NORMAL DIST ֆունկցիա

Գործառույթ ՆՈՐՄԱԼ ՇՐՋԱՆ.տարբերվում է NORM.ST.DIST.միայն այն պատճառով, որ այն օգտագործվում է ցանկացած մասշտաբի տվյալների մշակման համար, և ոչ միայն նորմալացված: Սովորական բաշխման պարամետրերը նշված են շարահյուսության մեջ:

=NORM.DIST (x, միջին, ստանդարտ_շեղում, ինտեգրալ)

միջին- մաթեմատիկական ակնկալիք, որն օգտագործվում է որպես նորմալ բաշխման մոդելի առաջին պարամետր

standard_off– ստանդարտ շեղում – մոդելի երկրորդ պարամետրը

ինտեգրալ– եթե 0, ապա հաշվարկվում է խտությունը, եթե 1 – ապա ֆունկցիայի արժեքը, այսինքն. P(X

Օրինակ, 15 արժեքի խտությունը, որը արդյունահանվել է նորմալ նմուշից 10-ի ակնկալիքով, ստանդարտ շեղում 3, հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Եթե ​​վերջին պարամետրը դրված է 1-ի, ապա մենք ստանում ենք հավանականություն, որ նորմալ պատահական փոփոխականը տվյալ բաշխման պարամետրերի համար կլինի 15-ից փոքր: Այսպիսով, հավանականությունները կարող են ուղղակիորեն հաշվարկվել սկզբնական տվյալներից:

NORM.REV ֆունկցիա

Սա նորմալ բաշխման քվենտիլն է, այսինքն. հակադարձ ֆունկցիայի արժեքը. Շարահյուսությունը հետևյալն է.

=NORM.REV (հավանականություն, միջին, ստանդարտ_շեղում)

հավանականությունը- հավանականություն

միջին- մաթեմատիկական ակնկալիք

standard_off- ստանդարտ շեղում

Նպատակը նույնն է, ինչ NORM.ST.REV, միայն ֆունկցիան է աշխատում ցանկացած մասշտաբի տվյալների հետ։

Հոդվածի վերջում տեսանյութում ներկայացված է օրինակ:

Նորմալ բաշխման մոդելավորում

Որոշ խնդիրներ պահանջում են նորմալ պատահական թվերի ստեղծում: Սրա համար պատրաստի ֆունկցիա չկա։ Այնուամենայնիվ, Excel-ն ունի երկու գործառույթ, որոնք վերադարձնում են պատահական թվեր. ԴԵՊՔ ՄԻՋԵՎԵվ ՌԱՆԴ.Առաջինը արտադրում է պատահական, միատեսակ բաշխված ամբողջ թվեր սահմանված սահմաններում: Երկրորդ ֆունկցիան առաջացնում է հավասարաչափ բաշխված պատահական թվեր 0-ի և 1-ի միջև: Ցանկացած բաշխմամբ արհեստական ​​նմուշ պատրաստելու համար անհրաժեշտ է ֆունկցիան: ՌԱՆԴ.

Ենթադրենք, որ փորձ անցկացնելու համար անհրաժեշտ է նմուշ ստանալ նորմալ բաշխված պոպուլյացիայից՝ 10 ակնկալիքով և 3 ստանդարտ շեղումով: Մեկ պատահական արժեքի համար Excel-ում բանաձև կգրենք:

NORM.INV(RAND();10;3)

Եկեք այն երկարացնենք անհրաժեշտ քանակությամբ բջիջների վրա, և նորմալ նմուշը պատրաստ է։

Ստանդարտացված տվյալների մոդելավորման համար դուք պետք է օգտագործեք NORM.ST.REV:

Միատեսակ թվերը նորմալ թվերի վերածելու գործընթացը կարելի է ցույց տալ հետևյալ գծապատկերում. Միատեսակ հավանականություններից, որոնք ստեղծվում են RAND բանաձևով, հորիզոնական գծեր են գծվում դեպի նորմալ բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այնուհետև գրաֆիկի հետ հավանականությունների հատման կետերից ելքերը իջեցվում են հորիզոնական առանցքի վրա։