Որոշակի և անորոշ ինտեգրալների հաղորդագրություն: Ինտեգրալներ կեղծամների համար՝ ինչպես լուծել, հաշվարկի կանոններ, բացատրություն։ Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները

Ինտեգրալների լուծումը հեշտ խնդիր է, բայց միայն ընտրյալների համար: Այս հոդվածը նրանց համար է, ովքեր ցանկանում են սովորել հասկանալ ինտեգրալները, բայց ոչինչ չգիտեն կամ գրեթե ոչինչ չգիտեն դրանց մասին: Ինտեգրալ... Ինչու՞ է դա անհրաժեշտ: Ինչպե՞ս հաշվարկել այն: Որո՞նք են որոշակի և անորոշ ինտեգրալները:

Եթե ​​ինտեգրալի միակ օգտագործումը, որը դուք գիտեք, դա դժվար հասանելի վայրերից ինչ-որ օգտակար բան ստանալու համար ինտեգրալ պատկերակի ձևով հյուսված կարթ օգտագործելն է, ապա բարի գալուստ: Պարզեք, թե ինչպես լուծել ամենապարզ և այլ ինտեգրալները, և ինչու չեք կարող առանց դրա մաթեմատիկայից:

Մենք ուսումնասիրում ենք հայեցակարգը « ինտեգրալ »

Ինտեգրումը հայտնի էր դեռևս Հին Եգիպտոսում: Իհարկե ոչ ներս ժամանակակից ձև, բայց դեռ. Այդ ժամանակից ի վեր մաթեմատիկոսները բազմաթիվ գրքեր են գրել այս թեմայով: Հատկապես առանձնանում է Նյուտոն Եվ Լայբնիցը , բայց իրերի էությունը չի փոխվել։

Ինչպե՞ս հասկանալ ինտեգրալները զրոյից: Ոչ մի կերպ: Այս թեման հասկանալու համար ձեզ դեռևս անհրաժեշտ կլինի հիմունքների հիմնական ըմբռնում: մաթեմատիկական վերլուծություն. Ինտեգրալները հասկանալու համար անհրաժեշտ սահմանաչափերի և ածանցյալների մասին մեր բլոգում արդեն ունենք տեղեկատվություն։

Անորոշ ինտեգրալ

Եկեք որոշակի գործառույթ ունենանք f(x) .

Անորոշ ինտեգրալ ֆունկցիա f(x) այս ֆունկցիան կոչվում է F(x) , որի ածանցյալը հավասար է ֆունկցիային f(x) .

Այլ կերպ ասած, ինտեգրալը հակադարձ ածանցյալ է կամ հակաածանցյալ: Ի դեպ, կարդացեք մեր հոդվածը, թե ինչպես հաշվարկել ածանցյալները:

Հակաածանցյալ գոյություն ունի բոլոր շարունակական ֆունկցիաների համար: Նաև հակաածանցյալին հաճախ ավելացվում է հաստատուն նշան, քանի որ այն ֆունկցիաների ածանցյալները, որոնք տարբերվում են հաստատունով, համընկնում են։ Ինտեգրալը գտնելու գործընթացը կոչվում է ինտեգրացիա։

Պարզ օրինակ.

Անընդհատ հակաածանցյալները չհաշվելու համար տարրական գործառույթներ, հարմար է դրանք ամփոփել աղյուսակում և օգտագործել պատրաստի արժեքներ։

Ուսանողների համար ինտեգրալների ամբողջական աղյուսակ

Որոշակի ինտեգրալ

Երբ գործ ունենք ինտեգրալ հասկացության հետ, գործ ունենք անվերջ փոքր մեծությունների հետ։ Ինտեգրալը կօգնի հաշվարկել նկարի մակերեսը, անհամասեռ մարմնի զանգվածը, անցած հեռավորությունը։ անհավասար շարժումճանապարհ և շատ ավելին: Պետք է հիշել, որ ինտեգրալը անսահման գումար է մեծ քանակությամբանսահման փոքր տերմիններ.

Որպես օրինակ, պատկերացրեք ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Ինչպե՞ս գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված գործչի մակերեսը: Օգտագործելով ինտեգրալ: Եկեք բաժանենք կորագիծ տրապիզը, որը սահմանափակված է կոորդինատային առանցքներով և ֆունկցիայի գրաֆիկով, անվերջ փոքր հատվածների։ Այս կերպ գործիչը կբաժանվի բարակ սյունակների։ Սյուների տարածքների գումարը կլինի trapezoid-ի տարածքը: Բայց հիշեք, որ նման հաշվարկը մոտավոր արդյունք կտա։ Այնուամենայնիվ, որքան փոքր և նեղ հատվածները, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի հաշվարկը: Եթե ​​դրանք փոքրացնենք այնքան, որ երկարությունը ձգվի զրոյի, ապա հատվածների տարածքների գումարը կձգտի նկարի մակերեսին: Սա որոշակի ինտեգրալ է, որը գրված է այսպես.

a և b կետերը կոչվում են ինտեգրման սահմաններ:

« Ինտեգրալ »

Ի դեպ! Մեր ընթերցողների համար այժմ գործում է 10% զեղչ ցանկացած տեսակի աշխատանք

Կեղծիքների համար ինտեգրալների հաշվարկման կանոններ

Անորոշ ինտեգրալի հատկությունները

Ինչպե՞ս լուծել անորոշ ինտեգրալ: Այստեղ մենք կանդրադառնանք հատկություններին որոշակի ինտեգրալ, որն օգտակար կլինի օրինակներ լուծելիս։

• Ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանտին.

• Հաստատունը կարելի է հանել ինտեգրալ նշանի տակից.

• Գումարի ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին։ Սա ճիշտ է նաև տարբերության համար.

Որոշակի ինտեգրալի հատկությունները

• Գծայինություն:

• Ինտեգրացիայի նշանը փոխվում է, եթե փոխվում են ինտեգրման սահմանները.

• ժամը ցանկացածմիավորներ ա, բԵվ Հետ:

Մենք արդեն պարզել ենք, որ որոշակի ինտեգրալը գումարի սահմանն է։ Բայց ինչպե՞ս ստանալ կոնկրետ արժեք օրինակ լուծելիս: Դրա համար կա Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Ինտեգրալների լուծման օրինակներ

Ստորև կդիտարկենք անորոշ ինտեգրալը և լուծումներով օրինակներ։ Առաջարկում ենք ինքներդ պարզել լուծման բարդությունները, իսկ եթե ինչ-որ բան անհասկանալի է, հարցեր տվեք մեկնաբանություններում:

Նյութն ամրապնդելու համար դիտեք տեսանյութ, թե ինչպես են գործնականում լուծվում ինտեգրալները: Մի հուսահատվեք, եթե ինտեգրալը միանգամից չտրվի։ Կապվեք ուսանողների համար մասնագիտական ​​ծառայության հետ, և փակ մակերեսի վրա գտնվող ցանկացած եռակի կամ կոր ինտեգրալ ձեր ուժերի սահմաններում կլինի:

Այս հոդվածում մենք կթվարկենք որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները։ Այս հատկությունների մեծ մասն ապացուցված է Ռիմանի և Դարբուի որոշակի ինտեգրալի հասկացությունների հիման վրա:

Որոշակի ինտեգրալի հաշվարկը շատ հաճախ կատարվում է օգտագործելով առաջին հինգ հատկությունները, ուստի անհրաժեշտության դեպքում մենք կանդրադառնանք դրանց: Որոշակի ինտեգրալի մնացած հատկությունները հիմնականում օգտագործվում են տարբեր արտահայտություններ գնահատելու համար։

Նախքան առաջ անցնելը Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները, համաձայնենք, որ a-ն չի գերազանցում b-ն։

x = a-ով սահմանված y = f(x) ֆունկցիայի համար հավասարությունը ճշմարիտ է:

Այսինքն՝ ինտեգրման նույն սահմաններով որոշակի ինտեգրալի արժեքը հավասար է զրոյի։ Այս հատկությունը Ռիմանի ինտեգրալի սահմանման հետևանք է, քանի որ այս դեպքում յուրաքանչյուր ինտեգրալ գումար ինտերվալի ցանկացած բաժանման և կետերի ցանկացած ընտրության համար հավասար է զրոյի, քանի որ, հետևաբար, ինտեգրալ գումարների սահմանը զրո է։

Ինտերվալի վրա ինտեգրվող ֆունկցիայի համար, .

Այլ կերպ ասած, երբ ինտեգրման վերին և ստորին սահմանները փոխվում են տեղերը, որոշակի ինտեգրալի արժեքը փոխվում է հակառակը: Որոշակի ինտեգրալի այս հատկությունը բխում է նաև Ռիմանի ինտեգրալի հայեցակարգից, միայն հատվածի բաժանման համարակալումը պետք է սկսվի x = b կետից։

y = f(x) և y = g(x) միջակայքում ինտեգրվող ֆունկցիաների համար:

Ապացույց.

Գրենք ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարը հատվածի տրված բաժանման և կետերի տվյալ ընտրության համար.

որտեղ և են y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաների ինտեգրալ գումարները համապատասխանաբար հատվածի տվյալ բաժանման համար:

Գնա դեպի սահմանը ժամը մենք ստանում ենք, որ Ռիմանի ինտեգրալի սահմանմամբ համարժեք է ապացուցված սեփականության հայտարարությանը:

Որոշակի ինտեգրալի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը։ Այսինքն՝ y = f(x) ֆունկցիայի համար, որը ինտեգրելի է միջակայքի և կամայական k թվի վրա, գործում է հետևյալ հավասարությունը. .

Որոշակի ինտեգրալի այս հատկության ապացույցը բացարձակապես նման է նախորդին.


Թող y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի լինի X միջակայքում, և իսկ հետո .

Այս հատկությունը ճշմարիտ է և՛ և՛, և՛ համար:

Ապացուցումը կարող է իրականացվել որոշիչ ինտեգրալի նախորդ հատկությունների հիման վրա։

Եթե ​​ֆունկցիան ինտեգրելի է ինտերվալի վրա, ապա այն ինտեգրելի է ցանկացած ներքին ինտերվալի վրա:

Ապացույցը հիմնված է Դարբուի գումարների հատկության վրա. եթե հատվածի գոյություն ունեցող բաժանմանը ավելացվեն նոր կետեր, ապա ստորին Դարբուի գումարը չի նվազի, իսկ վերինը՝ չի ավելանա։

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի է արգումենտի միջակայքում և ցանկացած արժեքի համար, ապա .

Այս հատկությունն ապացուցվում է Ռիմանի ինտեգրալի սահմանման միջոցով. հատվածի բաժանման կետերի ցանկացած ընտրության և մոտ կետերի ցանկացած ինտեգրալ գումար կլինի ոչ բացասական (ոչ դրական):

Հետևանք.

y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաների համար, որոնք ինտեգրվում են ինտերվալի վրա, գործում են հետևյալ անհավասարությունները.


Այս հայտարարությունը նշանակում է, որ անհավասարությունների ինտեգրումը թույլատրելի է։ Մենք կօգտագործենք այս եզրակացությունը՝ ապացուցելու հետևյալ հատկությունները.

Թող y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի լինի ինտերվալի վրա, ապա անհավասարությունը պահպանվում է .

Ապացույց.

Ակնհայտ է, որ . Նախորդ հատկության մեջ պարզեցինք, որ անհավասարությունը կարող է ինտեգրվել տերմին առ տերմին, հետևաբար, դա ճիշտ է. . Այս կրկնակի անհավասարությունը կարելի է գրել այսպես .

Թող y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաները ինտեգրելի լինեն արգումենտի միջակայքում և ցանկացած արժեքի համար, ապա , Որտեղ Եվ .

Ապացուցումն իրականացվում է նույն կերպ. Քանի որ m-ը և M-ն ամենափոքրն են և ամենաբարձր արժեքը y = f(x) ֆունկցիան հատվածի վրա, ապա . Կրկնակի անհավասարությունը բազմապատկելով ոչ բացասական y = g(x) ֆունկցիայով մեզ տանում է հետևյալ կրկնակի անհավասարությունը. Ինտեգրելով այն միջակայքում, մենք հասնում ենք ապացուցվող հայտարարությանը:

Հետևանք.

Եթե ​​վերցնենք g(x) = 1, ապա անհավասարությունը ստանում է ձև .

Առաջին միջին բանաձևը.

Թող y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի լինի միջակայքում, Եվ , ապա կա այնպիսի թիվ, որ .

Հետևանք.

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան ինտերվալի վրա շարունակական է, ապա կա այնպիսի թիվ, որ .

Միջին արժեքի առաջին բանաձևը ընդհանրացված ձևով.

Թող y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաները ինտեգրելի լինեն միջակայքում, Եվ , և g(x) > 0 փաստարկի ցանկացած արժեքի համար: Հետո կա այնպիսի թիվ, որ .

Երկրորդ միջին բանաձևը.

Եթե ​​ինտերվալի վրա y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի է, իսկ y = g(x) միապաղաղ է, ապա գոյություն ունի այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը .

Այս հատկությունները օգտագործվում են ինտեգրալը փոխակերպելու համար՝ այն տարրական ինտեգրալներից մեկին նվազեցնելու և հետագա հաշվարկի համար։

1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին.

2. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրանտին.

3. Որոշակի ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիայի և կամայական հաստատունի գումարին.

4. Ինտեգրալ նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

Ավելին, a ≠ 0

5. Գումարի (տարբերության) ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին (տարբերությանը).

6. Սեփականությունը 4 և 5 հատկությունների համակցություն է.

Ավելին, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Անորոշ ինտեգրալի անփոփոխ հատկություն.

Եթե, ապա

8. Գույք:

Եթե, ապա

Իրականում այս գույքըներկայացնում է ինտեգրման հատուկ դեպք՝ օգտագործելով փոփոխական փոփոխության մեթոդը, որն ավելի մանրամասն կքննարկվի հաջորդ բաժնում:

Դիտարկենք օրինակ.

Սկզբում կիրառեցինք հատկությունը 5, հետո հատկություն 4, հետո օգտագործեցինք հակաածանցյալների աղյուսակը և ստացանք արդյունքը։

Մեր առցանց ինտեգրալ հաշվիչի ալգորիթմը աջակցում է վերը թվարկված բոլոր հատկություններին և կարող է հեշտությամբ գտնել մանրամասն լուծումձեր ինտեգրալի համար:

Այս հատկությունները օգտագործվում են ինտեգրալը փոխակերպելու համար՝ այն տարրական ինտեգրալներից մեկին նվազեցնելու և հետագա հաշվարկի համար։

1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին.

2. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրանտին.

3. Որոշակի ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիայի և կամայական հաստատունի գումարին.

4. Ինտեգրալ նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

Ավելին, a ≠ 0

5. Գումարի (տարբերության) ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին (տարբերությանը).

6. Սեփականությունը 4 և 5 հատկությունների համակցություն է.

Ավելին, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Անորոշ ինտեգրալի անփոփոխ հատկություն.

Եթե, ապա

8. Գույք:

Եթե, ապա

Փաստորեն, այս հատկությունը փոփոխական փոփոխության մեթոդի օգտագործմամբ ինտեգրման հատուկ դեպք է, որն ավելի մանրամասն կքննարկվի հաջորդ բաժնում։

Դիտարկենք օրինակ.

Սկզբում կիրառեցինք հատկությունը 5, հետո հատկություն 4, հետո օգտագործեցինք հակաածանցյալների աղյուսակը և ստացանք արդյունքը։

Մեր առցանց ինտեգրալ հաշվիչի ալգորիթմը աջակցում է վերը թվարկված բոլոր հատկություններին և հեշտությամբ կգտնի ձեր ինտեգրալի մանրամասն լուծումը:

Դիֆերենցիալ հաշվարկում խնդիրը լուծվում է. Այս ֆունկցիայի տակ ƒ(x) գտեք նրա ածանցյալը(կամ դիֆերենցիալ): Ինտեգրալ հաշվարկը լուծում է հակադարձ խնդիրը՝ գտե՛ք F(x) ֆունկցիան՝ իմանալով դրա ածանցյալը F "(x)=ƒ(x) (կամ դիֆերենցիալ): Փնտրվող F(x) ֆունկցիան կոչվում է ƒ(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալ: )

Կանչվում է F(x) ֆունկցիան հակաածանցյալƒ(x) ֆունկցիան (a; b), եթե որևէ x-ի համար (a; b) հավասարությունը

F "(x)=ƒ(x) (կամ dF(x)=ƒ(x)dx):

Օրինակ, y = x 2, x є R ֆունկցիայի հակաածանցյալը ֆունկցիան է, քանի որ.

Ակնհայտ է, որ ցանկացած գործառույթ նույնպես հակաածանցյալ է լինելու

որտեղ C-ն հաստատուն է, քանի որ

Թեորեմ 29. 1. Եթե F(x) ֆունկցիան (a;b) ƒ(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալն է, ապա ƒ(x)-ի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը տրվում է F(x)+ բանաձևով։ C, որտեղ C-ն հաստատուն թիվ է:

▲ F(x)+C ֆունկցիան ƒ(x) հակաածանցյալն է:

Իրոք, (F(x)+C) " =F" (x)=ƒ(x):

Թող Ф(х) լինի ƒ(x) ֆունկցիայի այլ հակաածանցյալ, որը տարբերվում է F(x-ից), այսինքն. Ф"(x)=ƒ(х): Այնուհետև ցանկացած x є (а; բ) մենք ունենք.

Իսկ սա նշանակում է (տես Հետևություն 25.1), որ

որտեղ C-ն հաստատուն թիվ է: Հետևաբար, Ф(x)=F(x)+С.▼

Բոլոր հակաածանցյալ ֆունկցիաների բազմությունը F(x)+С ƒ(x)-ի համար կոչվում է ƒ(x) ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալև նշանակվում է ∫ ƒ(x) dx նշանով։

Այսպիսով, ըստ սահմանման

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Այստեղ կոչվում է ƒ(x): ինտեգրացիոն ֆունկցիա, ƒ(x)dx — ինտեգրալ արտահայտություն, X - ինտեգրման փոփոխական, ∫ -նշան անորոշ ինտեգրալ .

Ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը գտնելու գործողությունը կոչվում է այս ֆունկցիայի ինտեգրում։

Երկրաչափական առումով անորոշ ինտեգրալը «զուգահեռ» կորերի ընտանիք է y=F(x)+C (C-ի յուրաքանչյուր թվային արժեքը համապատասխանում է ընտանիքի որոշակի կորին) (տե՛ս նկ. 166): Յուրաքանչյուր հակաածանցյալի (կորի) գրաֆիկը կոչվում է ինտեգրալ կոր.

Արդյո՞ք յուրաքանչյուր ֆունկցիա ունի անորոշ ինտեգրալ:

Կա մի թեորեմ, որը նշում է, որ «a;b) վրա շարունակական յուրաքանչյուր ֆունկցիա ունի հակաածանցյալ այս միջակայքում», և, հետևաբար, անորոշ ինտեգրալ:

Եկեք նշենք անորոշ ինտեգրալի մի շարք հատկություններ, որոնք բխում են դրա սահմանումից:

1. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրալին, իսկ անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրալին.

դ(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Իրոք, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F "(x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x):

Այս հատկության շնորհիվ ինտեգրման ճիշտությունը ստուգվում է տարբերակմամբ։ Օրինակ՝ հավասարությունը

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

ճիշտ է, քանի որ (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4:

2. Որոշակի ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիայի և կամայական հաստատունի գումարին.

∫dF(x)= F(x)+C.

Իսկապես,

3. Ինտեգրալ նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

α ≠ 0 հաստատուն է:

Իսկապես,

(դնել C 1 / a = C.)

4. Վերջավոր թվով շարունակական ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի անորոշ ինտեգրալը հավասար է ֆունկցիաների գումարելիների ինտեգրալների հանրահաշվական գումարին.

Թող F"(x)=ƒ(x) և G"(x)=g(x): Հետո

որտեղ C 1 ± C 2 = C.

5. (Ինտեգրման բանաձեւի անփոփոխություն):

Եթե , որտեղ u=φ(x) շարունակական ածանցյալով կամայական ֆունկցիա է։

▲ Թող x լինի անկախ փոփոխական, ƒ(x) - շարունակական գործառույթիսկ F(x) նրա հակագենն է: Հետո

Այժմ սահմանենք u=φ(x), որտեղ φ(x)-ը շարունակաբար տարբերվող ֆունկցիա է: Դիտարկենք բարդ ֆունկցիան F(u)=F(φ(x)): Ֆունկցիայի առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխության պատճառով (տե՛ս էջ 160) ունենք.

Այստեղից ▼

Այսպիսով, անորոշ ինտեգրալի բանաձևը մնում է ուժի մեջ՝ անկախ նրանից, թե ինտեգրման փոփոխականը անկախ փոփոխականն է, թե նրա որևէ ֆունկցիա, որն ունի շարունակական ածանցյալ։

Այսպիսով, բանաձեւից x-ը u-ով (u=φ(x)) փոխարինելով՝ ստանում ենք

Մասնավորապես,

Օրինակ 29.1.Գտե՛ք ինտեգրալը

որտեղ C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Օրինակ 29.2.Գտեք ամբողջական լուծումը.

• 29.3. Հիմնական անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ

Օգտվելով այն հանգամանքից, որ ինտեգրումը տարբերակման հակադարձ գործողություն է, կարելի է ստանալ հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ՝ շրջելով դիֆերենցիալ հաշվարկի համապատասխան բանաձևերը (դիֆերենցիալների աղյուսակ) և օգտագործելով անորոշ ինտեգրալի հատկությունները։

Օրինակ, քանի որ

d(sin u)=cos u . դու

Աղյուսակում մի շարք բանաձևերի ածանցումը տրվելու է ինտեգրման հիմնական մեթոդները դիտարկելիս:

Ստորև բերված աղյուսակի ինտեգրալները կոչվում են աղյուսակային: Նրանք պետք է անգիր հայտնի լինեն։ Ինտեգրալ հաշվարկում տարրական ֆունկցիաների հակաածանցյալներ գտնելու պարզ և համընդհանուր կանոններ չկան, ինչպես դիֆերենցիալ հաշվում։ Հակաածանցյալներ գտնելու մեթոդները (այսինքն՝ ֆունկցիայի ինտեգրում) կրճատվում են՝ ցույց տալու այն տեխնիկան, որը տվյալ (փնտրվող) ինտեգրալը բերում է աղյուսակայինին: Ուստի անհրաժեշտ է իմանալ աղյուսակի ինտեգրալները և կարողանալ ճանաչել դրանք։

Նկատի ունեցեք, որ հիմնական ինտեգրալների աղյուսակում ինտեգրման փոփոխականը կարող է նշանակել ինչպես անկախ փոփոխական, այնպես էլ անկախ փոփոխականի ֆունկցիա (ըստ ինտեգրման բանաձևի ինվարիանտության հատկության):

Ստորև բերված բանաձևերի վավերականությունը կարելի է ստուգել՝ վերցնելով աջ կողմի դիֆերենցիալը, որը հավասար կլինի բանաձևի ձախ կողմի ինտեգրմանը:

Եկեք ապացուցենք, օրինակ, 2-րդ բանաձևի վավերականությունը: 1/u ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է զրոյից բացի բոլոր արժեքների համար:

Եթե ​​u > 0, ապա ln|u|=lnu, ապա Ահա թե ինչու

Եթե ​​դուք<0, то ln|u|=ln(-u). НоՄիջոցներ

Այսպիսով, բանաձև 2-ը ճիշտ է: Նմանապես, եկեք ստուգենք 15-րդ բանաձևը.

Հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ

Ընկերնե՛ր։ Հրավիրում ենք քննարկելու։ Եթե ​​ունեք ձեր կարծիքը, գրեք մեզ մեկնաբանություններում։