Ցիկլոմիսը (հունարեն khklpeidYut - կլոր) հարթ տրանսցենդենտալ կոր է։ Ցիկլոիդը կինեմատիկորեն սահմանվում է որպես r շառավղով գեներացնող շրջանագծի հաստատուն կետի հետագիծ, որը գլորվում է առանց ուղիղ գծով սահելու։

Հավասարումներ

Վերցնենք հորիզոնական կոորդինատային առանցքը որպես ուղիղ գիծ, ​​որի երկայնքով գլորվում է r շառավիղի գեներացնող շրջանակը։

· Ցիկլոիդը նկարագրվում է պարամետրային հավասարումներով

Հավասարում դեկարտյան կոորդինատներով.

· Ցիկլոիդը կարելի է ստանալ որպես դիֆերենցիալ հավասարման լուծում.

Հատկություններ

• · Ցիկլոիդ --պարբերական ֆունկցիա x առանցքի երկայնքով՝ 2рr պարբերությամբ։ Հարմար է որպես պարբերաշրջանի սահմաններ ընդունել t = 2рk ձևի եզակի կետերը (վերադարձի կետերը), որտեղ k-ն կամայական ամբողջ թիվ է։
• · Կամայական A կետում ցիկլոիդին շոշափող նկարելու համար բավական է այս կետը միացնել գեներացնող շրջանագծի վերին կետի հետ։ A-ն միացնելով գեներացնող շրջանագծի ստորին կետին՝ ստանում ենք նորմալը։
• · Ցիկլոիդ կամարի երկարությունը 8r է։ Այս գույքը հայտնաբերել է Քրիստոֆեր Ռենը (1658 թ.):
• · Ցիկլոիդի յուրաքանչյուր աղեղի տակ գտնվող տարածքը երեք անգամ ավելի մեծ է, քան գեներացնող շրջանի մակերեսը: Տորիչելլին պնդում է, որ այս փաստը հայտնաբերել է Գալիլեոն։
• · Ցիկլոիդի առաջին կամարի կորության շառավիղը հավասար է։

• · «Շրջված» ցիկլոիդը ամենից կտրուկ վայրէջքի կոր է (բրախիստոխրոն): Ավելին, այն ունի նաև տավոտոխրոնության հատկություն՝ ցիկլոիդ աղեղի ցանկացած կետում տեղադրված ծանր մարմինը միաժամանակ հասնում է հորիզոնականին։
• · Շրջված ցիկլոիդի երկայնքով սահող նյութական կետի տատանումների ժամանակաշրջանը կախված չէ այն ամպլիտուդից, որն օգտագործվել է Հյուգենսի կողմից ճշգրիտ մեխանիկական ժամացույցներ ստեղծելու համար:
• · Ցիկլոիդի էվոլյուցիան սկզբնականին համահունչ ցիկլոիդ է, այն է՝ զուգահեռ տեղաշարժված այնպես, որ գագաթները վերածվեն «կետերի»:
• · Մեքենայի մասերը, որոնք միաժամանակ կատարում են միատեսակ պտտվող և թարգմանական շարժումներ, նկարագրում են ցիկլոիդային կորեր (ցիկլոիդ, էպիցիկլոիդ, հիպոցիկլոիդ, տրոխոիդ, աստրոիդ) (տես Բեռնուլիի լեմնիսկատի կառուցումը):

(թարգմանված հունարենից. շրջանաձև) – հարթ տրանսցենդենտալ կոր, որը նկարագրվում է շառավղով շրջանագծի մի կետով rգլորվել ուղիղ գծով առանց սահելու (տրանսցենդենտալ կորը կոր է, որը չի կարող նկարագրվել ուղղանկյուն կոորդինատներով հանրահաշվական հավասարմամբ): Դրա պարամետրային հավասարումը

x = rt – r մեղք տ,
y= r – r cos t

Ցիկլոիդի հատման կետերը այն ուղիղ գծի հետ, որով պտտվում է շրջանագիծը (այս շրջանագիծը կոչվում է գեներացնող շրջան, իսկ ուղիղ գիծը, որով այն գլորվում է, կոչվում է դիրեկտիվ), իսկ ցիկլոիդի ամենաբարձր կետերը։ , որոնք գտնվում են մեջտեղում՝ հարակից ծայրակետերի միջև, կոչվում են ցիկլոիդի գագաթներ։

Գալիլեո Գալիլեյն առաջինն էր, ով ուսումնասիրեց ցիկլոիդը։ Մեկ ցիկլոիդ կամարի երկարությունը որոշվել է 1658 թվականին անգլիացի ճարտարապետ և մաթեմատիկոս Քրիստոֆեր Ռենի կողմից՝ Լոնդոնի Սուրբ Պողոսի տաճարի գմբեթի նախագծման և շինարարի հեղինակը։ Պարզվեց, որ ցիկլոիդի երկարությունը հավասար է գեներացնող շրջանագծի 8 շառավղին։
Ցիկլոիդի ուշագրավ հատկություններից մեկը, որը նրան տվել է իր անունը՝ բրախիստոխրոն (հունարեն «ամենակարճ» և «ժամանակ» բառերից) կապված է ամենադաժան ծագման խնդրի լուծման հետ: Հարց առաջացավ, թե ինչ ձև պետք է տալ լավ հղկված (շփումը գործնականում վերացնելու համար) ակոսը, որը միացնում է երկու կետեր, որպեսզի գնդակը հնարավորինս կարճ ժամանակում գլորվի մի կետից մյուսը: Բեռնուլի եղբայրներն ապացուցեցին, որ խրամատը պետք է ունենա դեպի ներքեւ ցիկլոիդի ձև։

Ցիկլոիդի հետ կապված կորերը կարելի է ստանալ՝ դիտարկելով գեներացնող շրջանի վրա չգտնվող կետերի հետագծերը։

Թող կետը 0-իցգտնվում է շրջանակի ներսում: Եթե ​​իրականացվում է 0-իցօժանդակ շրջան՝ նույն կենտրոնով, ինչ գեներացնող շրջանը, այնուհետև, երբ գեներացնող շրջանակը գլորվում է ուղիղ գծով ԱԲմի փոքր շրջանակ կպտտվի ուղիղ գծով Ա´ IN«, բայց դրա գլորումը կուղեկցվի սահումով և կետով 0-իցնկարագրում է մի կոր, որը կոչվում է կրճատված ցիկլոիդ:

Երկարացված ցիկլոիդը սահմանվում է նույն ձևով. սա այն կետի հետագիծն է, որը գտնվում է գեներացնող շրջանի շառավիղի երկարացման վրա, մինչդեռ գլորումը ուղեկցվում է հակառակ ուղղությամբ սահումով:

Ցիկլոիդային կորերը օգտագործվում են բազմաթիվ տեխնիկական հաշվարկներում, և դրանց հատկությունները օգտագործվում են, օրինակ, ատամների պրոֆիլներ կառուցելիս, ցիկլոիդային ճոճանակներում, օպտիկայի մեջ և, հետևաբար, այդ կորերի ուսումնասիրությունը կարևոր է կիրառական տեսանկյունից: Նույնքան կարևոր է, որ ուսումնասիրելով այս կորերը և դրանց հատկությունները, 17-րդ դ. մշակեց տեխնիկա, որը հանգեցրեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկների ստեղծմանը, իսկ բրախիստոխրոնի խնդիրը քայլ էր դեպի տատանումների հաշվարկի գյուտը:

Ելենա Մալիշևսկայա

Կորը կամ գիծը երկրաչափական հասկացություն է, որը տարբեր հատվածներում տարբեր կերպ է սահմանվում:

ԿՈՐ (գիծ), շարժվող կետի կամ մարմնի թողած հետք։ Սովորաբար կորը ներկայացված է միայն որպես սահուն կոր գիծ, ​​ինչպես պարաբոլան կամ շրջանագիծը: Բայց կորի մաթեմատիկական հասկացությունն ընդգրկում է ինչպես ուղիղ գիծ, ​​այնպես էլ ուղիղ հատվածներից կազմված թվեր, օրինակ՝ եռանկյուն կամ քառակուսի:

Կորերը կարելի է բաժանել հարթության և տարածականի: Հարթ կորը, ինչպիսին է պարաբոլան կամ ուղիղ գիծը, ձևավորվում է երկու հարթությունների կամ հարթության և մարմնի հատումից և, հետևաբար, ամբողջությամբ գտնվում է մեկ հարթության մեջ: Տարածական կորը, օրինակ՝ պարուրաձև զսպանակի ձևով պարուրաձևը, չի կարելի ստանալ որպես հարթության հետ ինչ-որ մակերևույթի կամ մարմնի հատում, և այն չի գտնվում նույն հարթության մեջ։ Կորերը նույնպես կարելի է բաժանել փակ և բաց: Փակ կորը, ինչպիսին է քառակուսին կամ շրջանագիծը, չունի ծայրեր, այսինքն. շարժվող կետը, որն առաջացնում է նման կոր, պարբերաբար կրկնում է իր ճանապարհը:

Կորը կետերի լոկուս կամ բազմություն է, որը բավարարում է որոշ մաթեմատիկական պայման կամ հավասարում:

Օրինակ՝ շրջանագիծը հարթության վրա գտնվող կետերի տեղն է, որոնք հավասար են տվյալ կետից: Հանրահաշվական հավասարումներով սահմանված կորերը կոչվում են հանրահաշվական կորեր։

Օրինակ՝ y = mx + b ուղիղ գծի հավասարումը, որտեղ m-ը թեքությունն է, իսկ b-ը՝ y առանցքի վրա կտրված հատվածը, հանրահաշվական է:

Կորերը, որոնց հավասարումները պարունակում են տրանսցենդենտալ ֆունկցիաներ, ինչպիսիք են լոգարիթմները կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, կոչվում են տրանսցենդենտալ կորեր։

Օրինակ, y = log x և y = tan x տրանսցենդենտալ կորերի հավասարումներ են:

Հանրահաշվական կորի ձևը կարելի է որոշել նրա հավասարման աստիճանով, որը համընկնում է հավասարման տերմինների ամենաբարձր աստիճանի հետ։

Եթե ​​հավասարումը առաջին աստիճանի է, օրինակ՝ Ax + By + C = 0, ապա կորը ունի ուղիղ գծի տեսք։

Եթե ​​երկրորդ աստիճանի հավասարումը, օրինակ.

Ax 2 + By + C = 0 կամ Ax 2 + By 2 + C = 0, ապա կորը քառակուսի է, այսինքն. ներկայացնում է կոնաձև հատվածներից մեկը. Այս կորերը ներառում են պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, էլիպսներ և շրջաններ:

Թվարկենք կոնական հատվածների հավասարումների ընդհանուր ձևերը.

x 2 + y 2 = r 2 - շրջան,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - էլիպս,

y = կացին 2 - պարաբոլա,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - հիպերբոլա:

Երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ, վեցերորդ և այլնի հավասարումներին համապատասխան կորեր։ աստիճանները կոչվում են երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ, վեցերորդ և այլն կորեր։ պատվեր. Ընդհանուր առմամբ, որքան բարձր է հավասարման աստիճանը, այնքան ավելի շատ թեքություններ կունենա բաց կորը:

Շատ բարդ կորեր ստացել են հատուկ անուններ:

Ցիկլոիդը հարթ կոր է, որը նկարագրվում է ֆիքսված կետով շրջանագծի վրա, որը գլորվում է ուղիղ գծով, որը կոչվում է ցիկլոիդի գեներատոր; ցիկլոիդը բաղկացած է մի շարք կրկնվող կամարներից։

Էպիցիկլոիդը հարթ կոր է, որը նկարագրվում է շրջանագծի վրա գտնվող ֆիքսված կետով, որը գլորվում է դրանից դուրս մեկ այլ ֆիքսված շրջանակի վրա:

Հիպոցիկլոիդը հարթ կոր է, որը նկարագրվում է ֆիքսված կետով շրջանագծի վրա, որը ներսից գլորվում է ֆիքսված շրջանով:

Պարույրը հարթ կոր է, որը պտտվում է շրջադարձով ֆիքսված կետից (կամ փաթաթվում դրա շուրջը):

Մաթեմատիկոսները ուսումնասիրում են կորերի հատկությունները հնագույն ժամանակներից, և շատ անսովոր կորերի անունները կապված են նրանց անունների հետ, ովքեր առաջին անգամ ուսումնասիրել են դրանք: Սրանք են, օրինակ, Արքիմեդի պարույրը, Ագնեսի գանգուրը, Դիոկլեսի ցիսոիդը, Նիկոմեդեսի կոխոիդը և Բեռնուլիի լեմնիսկատը։

Տարրական երկրաչափության շրջանակներում կոր հասկացությունը հստակ ձևակերպում չի ստանում և երբեմն սահմանվում է որպես «երկարություն առանց լայնության» կամ որպես «ֆիգուրի սահման»։ Ըստ էության, տարրական երկրաչափության մեջ կորերի ուսումնասիրությունը հանգում է օրինակների դիտարկմանը (, , , և այլն): Ընդհանուր մեթոդներից զուրկ տարրական երկրաչափությունը բավականին խորը ներթափանցեց կոնկրետ կորերի հատկությունների ուսումնասիրության մեջ (, ոմանքև նաև), յուրաքանչյուր դեպքում օգտագործելով հատուկ տեխնիկա:

Ամենից հաճախ կորը սահմանվում է որպես շարունակական քարտեզագրում մի հատվածից դեպի.

Միեւնույն ժամանակ, կորերը կարող են տարբեր լինել, նույնիսկ եթե դրանք լինենհամընկնում. Նման կորերը կոչվում ենպարամետրացված կորերկամ եթե[ ա , բ ] = , ուղիները.

Երբեմն կորը որոշվում է մինչև , այսինքն՝ մինչև նվազագույն համարժեքության հարաբերակցությունը այնպես, որ պարամետրական կորերը

համարժեք են, եթե կա շարունակական (երբեմն ոչ նվազող) հհատվածից [ ա 1 ,բ 1 ] յուրաքանչյուր հատվածի համար [ ա 2 ,բ 2 ], այնպիսին, որ

Այս հարաբերություններով սահմանվածները կոչվում են պարզապես կորեր:

Վերլուծական սահմանումներ

Վերլուծական երկրաչափության դասընթացներում ապացուցված է, որ դեկարտյան ուղղանկյուն (կամ նույնիսկ ընդհանուր աֆին) գրված տողերի մեջ կոորդինատները երկրորդ աստիճանի ընդհանուր հավասարմամբ են.

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(որտեղ A, B, C գործակիցներից առնվազն մեկը տարբերվում է զրոյից), հայտնաբերվել են միայն հետևյալ ութ տեսակի տողերը.

ա) էլիպս;

բ) հիպերբոլիա;

գ) պարաբոլա (երկրորդ կարգի ոչ այլասերված կորեր);

դ) մի զույգ հատվող ուղիղներ.

ե) զույգ զուգահեռ ուղիղներ.

զ) զույգ համընկնող գծեր (մեկ ուղիղ).

է) մեկ կետ (երկրորդ կարգի այլասերված գծեր).

ը) «գիծ», որն ընդհանրապես չի պարունակում կետեր:

Ընդհակառակը, նշված ութ տիպերից յուրաքանչյուրի ցանկացած տող գրված է դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատներով՝ ինչ-որ երկրորդ կարգի հավասարմամբ: (Վերլուծական երկրաչափության դասընթացներում նրանք սովորաբար խոսում են ինը (ոչ ութ) տեսակի կոնաձեւ հատվածների մասին, քանի որ դրանք տարբերում են «երևակայական էլիպսից» և «երևակայական զուգահեռ գծերից». երկրաչափական առումով այս «գծերը» նույնն են, քանի որ երկուսն էլ չեն պարունակում մեկ կետ, բայց վերլուծական առումով դրանք գրվում են տարբեր հավասարումներով։) Հետևաբար, (դեգեներատ և ոչ այլասերված) կոնական հատվածները կարող են սահմանվել նաև որպես երկրորդ կարգի գծեր։

INհարթության վրա կորը սահմանվում է որպես կետերի մի շարք, որոնց կոորդինատները բավարարում են հավասարումըՖ ( x , y ) = 0 . Միևնույն ժամանակ, գործառույթի համարՖ սահմանվում են սահմանափակումներ, որոնք երաշխավորում են, որ այս հավասարումն ունի անսահման թվով տարբերվող լուծումներ և

լուծումների այս հավաքածուն չի լրացնում «ինքնաթիռի կտորը»։

Հանրահաշվական կորեր

Կորերի կարևոր դաս են համարվում նրանք, որոնց համար ֆունկցիանՖ ( x , y ) Կաերկու փոփոխականներից. Այս դեպքում հավասարմամբ սահմանված կորըՖ ( x , y ) = 0 , կանչեց.

1-ին աստիճանի հավասարմամբ սահմանված հանրահաշվական կորերն են.

2-րդ աստիճանի հավասարումը, որն ունի անսահման թվով լուծումներ, որոշում է, այսինքն՝ այլասերված և ոչ այլասերված:

3-րդ աստիճանի հավասարումներով սահմանված կորերի օրինակներ՝ , .

4-րդ աստիճանի կորերի օրինակներ և.

6-րդ աստիճանի կորի օրինակ.

Զույգ աստիճանի հավասարմամբ սահմանված կորի օրինակ՝ (բազմաֆոկալ).

Դիտարկվում են հանրահաշվական կորեր, որոնք սահմանված են ավելի բարձր աստիճանի հավասարումներով: Միևնույն ժամանակ, նրանց տեսությունը դառնում է ավելի ներդաշնակ, եթե քննարկումն իրականացվի։ Այս դեպքում հանրահաշվական կորը որոշվում է ձևի հավասարմամբ

Ֆ ( զ 1 , զ 2 , զ 3 ) = 0 ,

Որտեղ Ֆ- երեք փոփոխականների բազմանդամ, որոնք կետեր են:

Կորերի տեսակները

Հարթ կորը կոր է, որի բոլոր կետերը գտնվում են նույն հարթության վրա:

(պարզ գիծ կամ Հորդանանի աղեղ, նաև ուրվագիծ) - հարթության կամ տարածության կետերի մի շարք, որոնք գտնվում են մեկ առ մեկ և փոխադարձ շարունակական համապատասխանության մեջ գծային հատվածների հետ։

Ճանապարհը հատված է .

վերլուծական կորեր, որոնք հանրահաշվական չեն: Ավելի ճիշտ՝ կորեր, որոնք կարող են սահմանվել վերլուծական ֆունկցիայի (կամ, բազմաչափ դեպքում՝ ֆունկցիաների համակարգի) միջոցով:

Սինուսային ալիք,

Ցիկլոիդ,

Արքիմեդի պարույր,

տրակտոր,

շղթայական գիծ,

Հիպերբոլիկ պարույր և այլն:

1. Կորերի սահմանման մեթոդներ.

վերլուծական – կորը տրված է մաթեմատիկական հավասարմամբ.

գրաֆիկական – կորը տեսողականորեն նշված է գրաֆիկական տեղեկատվության կրիչի վրա.

աղյուսակային – կորը նշված է կետերի հաջորդական շարքի կոորդինատներով:

պարամետրային (կորի հավասարումը որոշելու ամենատարածված եղանակը).

Որտեղ - սահուն պարամետրային գործառույթներտ, և

(x") 2 + (y") 2 + (զ«) 2 > 0 (կանոնավորության պայման):

Հաճախ հարմար է օգտագործել կորի հավասարման անփոփոխ և կոմպակտ ներկայացում՝ օգտագործելով.

որտեղ ձախ կողմում կան կորի կետեր, իսկ աջ կողմը որոշում է դրա կախվածությունը որոշ պարամետրից տ. Ընդլայնելով այս մուտքը կոորդինատներով, մենք ստանում ենք բանաձև (1):

1. Ցիկլոիդ.

Ցիկլոիդի ուսումնասիրության պատմությունը կապված է այնպիսի մեծ գիտնականների, փիլիսոփաների, մաթեմատիկոսների և ֆիզիկոսների անունների հետ, ինչպիսիք են Արիստոտելը, Պտղոմեոսը, Գալիլեոն, Հյուգենսը, Տորիչելին և այլք:

Ցիկլոիդ(իցκυκλοειδής - կլոր) -, որը կարող է սահմանվել որպես մի կետի հետագիծ, որը ընկած է շրջանագծի սահմանին, որը գլորվում է առանց ուղիղ գծով սահելու: Այս շրջանակը կոչվում է գեներացնող:

Կորերի ձևավորման հնագույն մեթոդներից է կինեմատիկական մեթոդը, որի դեպքում կորը ստացվում է որպես կետի հետագիծ։ Կորը, որը ստացվում է որպես շրջանագծի վրա ամրացված կետի հետագիծ, որը գլորվում է առանց ուղիղ գծի, շրջանագծի կամ այլ կորի երկայնքով սահելու, կոչվում է ցիկլոիդ, որը հունարենից թարգմանաբար նշանակում է շրջանաձև, շրջան հիշեցնող։

Եկեք նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ շրջանակը գլորվում է ուղիղ գծով: Շրջանի վրա ամրացված կետով նկարագրված կորը, որը գլորվում է առանց ուղիղ գծով սահելու, կոչվում է ցիկլոիդ:

Թող R շառավղով շրջանագիծը գլորվի ուղիղ գծով a. C-ն շրջանագծի վրա ամրագրված կետ է՝ ժամանակի սկզբնական պահին, որը գտնվում է A դիրքում (նկ. 1): Եկեք գծի վրա գծենք AB հատված, որը հավասար է շրջանագծի երկարությանը, այսինքն. AB = 2 π R. Այս հատվածը բաժանեք 8 հավասար մասերի A1, A2, ..., A8 = B կետերով:

Հասկանալի է, որ երբ շրջանը, գլորվելով a ուղիղ գծով, կատարում է մեկ պտույտ, այսինքն. պտտվում է 360, այնուհետև այն կզբաղեցնի դիրքը (8), իսկ C կետը A դիրքից կտեղափոխվի B դիրք:

Եթե ​​շրջանակը կատարում է կես լրիվ պտույտ, այսինքն. դառնում է 180, այնուհետև այն կզբաղեցնի դիրքը (4), իսկ C կետը կտեղափոխվի ամենաբարձր դիրքը C4:

Եթե ​​շրջանագիծը պտտվում է 45 անկյան միջով, ապա շրջանագիծը կտեղափոխվի դիրք (1), իսկ C կետը՝ C1 դիրք:

Նկար 1-ում ներկայացված են նաև ցիկլոիդի այլ կետեր, որոնք համապատասխանում են շրջանագծի պտտման մնացած անկյուններին՝ 45-ի բազմապատիկ:

Կառուցված կետերը հարթ կորով միացնելով՝ ստանում ենք ցիկլոիդի մի հատված, որը համապատասխանում է շրջանագծի մեկ լրիվ պտույտին։ Հաջորդ հեղափոխությունների ժամանակ ձեռք կբերվեն նույն բաժինները, այսինքն. Ցիկլոիդը բաղկացած կլինի պարբերաբար կրկնվող հատվածից, որը կոչվում է ցիկլոիդի կամար:

Ուշադրություն դարձնենք ցիկլոիդին շոշափողի դիրքին (նկ. 2): Եթե ​​հեծանվորդը վարում է թաց ճանապարհով, ապա անիվից իջնող կաթիլները շոշափում են դեպի ցիկլոիդը և, վահանների բացակայության դեպքում, կարող են շաղ տալ հեծանվորդի մեջքը:

Առաջին մարդը, ով ուսումնասիրել է ցիկլոիդը, եղել է Գալիլեո Գալիլեյը (1564 – 1642): Նա նաև հորինել է դրա անունը.

Ցիկլոիդի հատկությունները.

Ցիկլոիդն ունի մի շարք ուշագրավ հատկություններ. Նշենք դրանցից մի քանիսը.

Գույք 1. (Սառցե լեռ:) 1696 թվականին Ի. Բերնուլին առաջադրեց խնդիրը՝ գտնելու ամենաարագ անկման կորը, կամ, այլ կերպ ասած, խնդիրը, թե ինչպիսին պետք է լինի սառցե սահիկի ձևը, որպեսզի այն գլորվի ներքև՝ ճանապարհորդություն կատարելու համար: A մեկնարկային կետից մինչև B վերջնակետը ամենակարճ ժամանակում (նկ. 3, ա): Ցանկալի կորը կոչվում էր «բրախիստոխրոն», այսինքն. ամենակարճ ժամանակի կորը.

Պարզ է, որ A կետից B կետ ամենակարճ ճանապարհը AB հատվածն է: Սակայն նման ուղղագիծ շարժման դեպքում արագությունը ձեռք է բերվում դանդաղ, և իջնելիս ծախսված ժամանակը մեծ է ստացվում (նկ. 3, բ):

Որքան կտրուկ է իջնելը, այնքան արագությունը մեծանում է: Այնուամենայնիվ, կտրուկ վայրէջքի դեպքում կորի երկայնքով ուղին երկարում է և դրանով իսկ մեծացնում այն ​​ավարտելու համար անհրաժեշտ ժամանակը:

Այս խնդիրը լուծող մաթեմատիկոսներից են՝ Գ.Լայբնիցը, Ի.Նյուտոնը, Գ.Լ'Հոպիտալը և Ջ.Բեռնուլին։ Նրանք ապացուցեցին, որ ցանկալի կորը շրջված ցիկլոիդ է (նկ. 3, ա): Այս գիտնականների մշակած մեթոդները բրախիստոխրոնի խնդրի լուծման համար հիմք դրեցին մաթեմատիկայի նոր ուղղության՝ տատանումների հաշվարկի:

Գույք 2. (Ժամացույցը ճոճանակով:) Սովորական ճոճանակով ժամացույցը չի կարող ճշգրիտ աշխատել, քանի որ ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը կախված է դրա ամպլիտուդից. որքան մեծ է ամպլիտուդը, այնքան մեծ է պարբերությունը: Հոլանդացի գիտնական Քրիստիան Հյուգենսը (1629 – 1695) հետաքրքրվել է, թե ինչ կորով պետք է հետևի ճոճանակի պարանի վրա գտնվող գունդը, որպեսզի նրա տատանումների ժամանակաշրջանը կախված չլինի ամպլիտուդից: Նկատի ունեցեք, որ սովորական ճոճանակում կորը, որով շարժվում է գնդակը, շրջանագիծ է (նկ. 4):

Այն կորը, որը մենք փնտրում էինք, պարզվեց, որ շրջված ցիկլոիդ է: Եթե, օրինակ, շրջված ցիկլոիդի տեսքով խրամուղի են պատրաստում, և դրա երկայնքով գնդակ է արձակվում, ապա ծանրության ազդեցության տակ գնդակի շարժման ժամկետը կախված չի լինի նրա սկզբնական դիրքից և ամպլիտուդից (նկ. 5): ) Այս հատկության համար ցիկլոիդը կոչվում է նաև «տավտոքրոն»՝ հավասար ժամանակների կոր:

Հյուգենսը պատրաստեց երկու փայտե տախտակ՝ ցիկլոիդի ձևով եզրերով՝ սահմանափակելով թելի շարժումը աջ և ձախ (նկ. 6)։ Այս դեպքում գնդակն ինքնին կշարժվի շրջված ցիկլոիդի երկայնքով և, հետևաբար, նրա տատանումների ժամանակաշրջանը կախված չի լինի ամպլիտուդից:

Ցիկլոիդի այս հատկությունից, մասնավորապես, հետևում է, որ անկախ նրանից, թե շրջված ցիկլոիդի ձևով սառույցի որ տեղից էլ սկսենք իջնելը, մենք նույն ժամանակ կանցկացնենք մինչև վերջնակետը:

Ցիկլոիդ հավասարում

1. Հարմար է ցիկլոիդ հավասարումը գրել α-ով - շրջանագծի պտտման անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, նշենք, որ α-ն նույնպես հավասար է ուղիղ գծով գեներացնող շրջանի անցած ճանապարհին.

x=rα– rմեղք α

y=r – r cos α

2. Վերցնենք հորիզոնական կոորդինատային առանցքը որպես ուղիղ գիծ, ​​որի երկայնքով պտտվում է շառավիղի ստեղծող շրջանը։ r.

Ցիկլոիդը նկարագրվում է պարամետրային հավասարումներով

x = rt – rմեղք տ,

y = r – r cos տ.

Հավասարում հետևյալում.

Ցիկլոիդը կարելի է ստանալ՝ լուծելով դիֆերենցիալ հավասարումը.

Ցիկլոիդի պատմությունից

Առաջին գիտնականը, ով ուշադրություն դարձրեց ցիկլոիդինՎ, բայց այս կորի լուրջ հետազոտությունը սկսվել է միայն 2009 թ.

Առաջին մարդը, ով ուսումնասիրել է ցիկլոիդը, Գալիլեո Գալիլեյն էր (1564-1642), հայտնի իտալացի աստղագետ, ֆիզիկոս և մանկավարժ։ Նա նաև հորինել է «ցիկլոիդ» անունը, որը նշանակում է «շրջանակ հիշեցնող»։ Ինքը՝ Գալիլեոն, ոչինչ չի գրել ցիկլոիդի մասին, բայց այս ուղղությամբ նրա աշխատանքը հիշատակվում է Գալիլեոյի աշակերտների և հետևորդների կողմից՝ Վիվիանիի, Տորիչելլիի և այլք: Տորիչելլին՝ հայտնի ֆիզիկոս և բարոմետրի գյուտարարը, շատ ժամանակ է նվիրել մաթեմատիկային։ Վերածննդի դարաշրջանում չկային նեղ մասնագետ գիտնականներ։ Մի տաղանդավոր մարդ սովորում էր փիլիսոփայություն, ֆիզիկա և մաթեմատիկա և ամենուր հետաքրքիր արդյունքներ էր ստանում և մեծ բացահայտումներ անում։ Իտալացիներից մի փոքր ուշ, ֆրանսիացիներն ընդունեցին ցիկլոիդը՝ այն անվանելով «ռուլետկա» կամ «տրոխոիդ»։ 1634 թվականին Ռոբերվալը՝ կշեռքի հանրահայտ համակարգի գյուտարարը, հաշվարկեց ցիկլոիդի կամարի և դրա հիմքի սահմանափակված տարածքը։ Ցիկլոիդի էական ուսումնասիրությունն իրականացվել է Գալիլեոյի ժամանակակիցի կողմից: Ի թիվս, այսինքն, կորերի, որոնց հավասարումը չի կարող գրվել ձևով x , y, ցիկլոիդն առաջինն է ուսումնասիրվածներից։

Գրել է ցիկլոիդի մասին.

Ռուլետկան այնքան տարածված գիծ է, որ ուղիղ գծից և շրջանագծից հետո ավելի հաճախ հանդիպող գիծ չկա. այն այնքան հաճախ է ուրվագծվում բոլորի աչքի առաջ, որ պետք է զարմանալ, որ հին մարդիկ դա չէին նկատի ունենում... քանի որ դա ոչ այլ ինչ է, քան օդում նկարագրված ուղի անիվի մեխով:

Նոր կորը արագորեն ձեռք բերեց ժողովրդականություն և ենթարկվեց խորը վերլուծության, որը ներառում էր, , Նյուտոն,, Բեռնուլի եղբայրները և 17-18-րդ դարերի գիտության այլ լուսատուներ։ Ցիկլոիդի վրա ակտիվորեն հղկվեցին այդ տարիներին ի հայտ եկած մեթոդները. Այն փաստը, որ ցիկլոիդի վերլուծական ուսումնասիրությունը նույնքան հաջող է ստացվել, որքան հանրահաշվական կորերի վերլուծությունը, մեծ տպավորություն թողեց և դարձավ կարևոր փաստարկ հանրահաշվական և տրանսցենդենտալ կորերի «հավասար իրավունքների» օգտին: Էպիցիկլոիդ

Ցիկլոիդների որոշ տեսակներ

Էպիցիկլոիդ - A կետի հետագիծը, որը ընկած է D տրամագծով շրջանագծի վրա, որը գլորվում է առանց սահելու R շառավղով ուղեցույց շրջանագծի երկայնքով (արտաքին շփում):

Էպիցիկլոիդի կառուցումը կատարվում է հետևյալ հաջորդականությամբ.

0 կենտրոնից գծե՛ք 000=R+r-ին հավասար շառավղով օժանդակ աղեղ;

01, 02, ... 012 կետերից, ինչպես կենտրոններից, գծեք r շառավղով շրջանակներ, մինչև դրանք հատվեն օժանդակ աղեղներով A1, A2, ... A12 կետերում, որոնք պատկանում են էպիցիկլոիդին։

Հիպոցիկլոիդ

Հիպոցիկլոիդը A կետի հետագիծն է, որը ընկած է D տրամագծով շրջանագծի վրա, որը գլորվում է առանց R շառավղով ուղեցույց շրջանագծի երկայնքով (ներքին շոշափում) սահելու:

Հիպոցիկլոիդի կառուցումը կատարվում է հետևյալ հաջորդականությամբ.

R շառավիղի գեներացնող շրջանակը և R շառավիղի ուղղորդող շրջանագիծը գծված են այնպես, որ շոշափվեն A կետին.

Առաջացնող շրջանագիծը բաժանվում է 12 հավասար մասերի, ստացվում են 1, 2, ... 12 կետերը;

0 կենտրոնից գծե՛ք 000=R-r-ին հավասար շառավղով օժանդակ աղեղ;

Կենտրոնական անկյունը a որոշվում է a =360r/R բանաձեւով:

Ուղղորդող շրջանագծի աղեղը՝ a անկյան տակ սահմանափակված, բաժանել 12 հավասար մասերի՝ ստանալով 11, 21, ...121 կետերը;

0 կենտրոնից ուղիղ գծեր են գծվում 11, 21, ...121 կետերով, մինչև դրանք հատվեն օժանդակ աղեղով 01, 02, ...012 կետերում;

0 կենտրոնից օժանդակ աղեղները գծվում են գեներացնող շրջանի 1, 2, ... 12 բաժանման կետերով;

01, 02, ...012 կետերից, ինչպես կենտրոններից, գծեք r շառավղով շրջաններ, մինչև դրանք հատվեն օժանդակ աղեղներով A1, A2, ... A12 կետերում, որոնք պատկանում են հիպոցիկլոիդին։

1. Կարդիոիդ.

Կարդիոիդ ( καρδία - սիրտ, Կարդիոիդը հատուկ դեպք է «կարդիոիդ» տերմինը ներմուծել է Կաստիլյոնը 1741 թվականին։

Եթե ​​որպես բևեռ վերցնենք շրջանագիծը և դրա վրա գտնվող կետը, ապա կարդիոիդ կստանանք միայն այն դեպքում, եթե գծագրենք շրջանագծի տրամագծին հավասար հատվածներ։ Ավանդված հատվածների այլ չափերի համար կոնխոիդները կլինեն երկարացված կամ կրճատված կարդիոիդներ: Այս երկարաձգված և կրճատված կարդիոիդները այլ կերպ կոչվում են Պասկալի կոխլեա:

Cardioid-ը տարբեր կիրառություններ ունի տեխնոլոգիայի մեջ։ Կարդիոիդ ձևերը օգտագործվում են մեքենաների համար էքսցենտրիկներ և տեսախցիկներ պատրաստելու համար: Երբեմն այն օգտագործվում է շարժակների գծագրման ժամանակ: Բացի այդ, այն օգտագործվում է օպտիկական տեխնոլոգիայի մեջ։

Կարդիոիդի հատկությունները

Կարդիոիդ -Շարժվող շրջանագծի վրա B M-ը կնկարագրի փակ հետագիծ: Այս հարթ կորը կոչվում է կարդիոիդ:

2) Կարդիոիդը կարելի է ձեռք բերել այլ կերպ. Նշեք մի կետ շրջանագծի վրա ՄԱՍԻՆև եկեք դրանից ճառագայթ գծենք: Եթե ​​կետից Աայս ճառագայթի հատումը շրջանագծի հետ, գծեք հատված AM,երկարությունը հավասար է շրջանագծի տրամագծին, և ճառագայթը պտտվում է կետի շուրջ ՄԱՍԻՆ, ապա մատնանշեք Մկշարժվի կարդիոիդի երկայնքով:

3) Կարդիոիդը կարող է ներկայացվել նաև որպես կորի շոշափող բոլոր շրջանակներին, որոնք կենտրոններ ունեն տվյալ շրջանագծի վրա և անցնում են նրա ֆիքսված կետով: Երբ մի քանի շրջանակներ են կառուցվում, կարդիոիդը կարծես թե ինքնին կառուցված է:

4) Կա նաև կարդիոիդը տեսնելու նույնքան էլեգանտ և անսպասելի միջոց: Նկարում դուք կարող եք տեսնել կետային լույսի աղբյուր շրջանագծի վրա: Այն բանից հետո, երբ լույսի ճառագայթները առաջին անգամ արտացոլվում են շրջանագծից, նրանք շոշափում են կարդիոիդին: Պատկերացրեք, որ շրջանակը մի բաժակի եզրեր է, մի կետում արտացոլված է պայծառ լամպ: Սև սուրճը լցվում է բաժակի մեջ՝ թույլ տալով տեսնել վառ արտացոլված ճառագայթները։ Արդյունքում կարդիոիդն ընդգծվում է լույսի ճառագայթներով։

1. Աստրոիդ.

Աստրոիդ (հունարեն astron - աստղ և eidos - տեսարան), հարթ կոր, որը նկարագրված է շրջանագծի մի կետով, որը ներսից շոշափում է շառավղով չորս անգամ մեծ ֆիքսված շրջան և գլորվում է դրա երկայնքով՝ առանց սահելու։ Պատկանում է հիպոցիկլոիդներին։ Աստրոիդը 6-րդ կարգի հանրահաշվական կոր է։

Աստրոիդ.

Ամբողջ ասրոիդի երկարությունը հավասար է ֆիքսված շրջանագծի վեց շառավղին, իսկ դրանով սահմանափակված տարածքը ֆիքսված շրջանագծի երեք ութերորդն է։

Ասրոիդին շոշափող հատվածը, որը պարփակված է ասրոիդի ծայրերում գծված ֆիքսված շրջանագծի երկու փոխադարձ ուղղահայաց շառավիղների միջև, հավասար է ֆիքսված շրջանագծի շառավղին, անկախ նրանից, թե ինչպես է ընտրվել կետը։

Ասրոիդների հատկությունները

Կան չորսկասպա .

Աղեղի երկարությունը 0 կետից մինչև ծրար

հաստատուն երկարությամբ հատվածների ընտանիքներ, որոնց ծայրերը գտնվում են երկու փոխադարձ ուղղահայաց գծերի վրա:

Աստրոիդը 6-րդ կարգի է։

Աստրոիդների հավասարումներ

Հավասարում դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատներում.| x | 2 / 3 + | y | 2/3 = R 2/3պարամետրային հավասարում.x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Աստրոիդ կառուցելու մեթոդ

Մենք գծում ենք երկու փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղ գծեր և գծում երկարության մի շարք հատվածներՌ , որի ծայրերն ընկած են այս տողերի վրա։ Նկարում ներկայացված են 12 այդպիսի հատվածներ (ներառյալ հենց իրենք՝ փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղների հատվածները): Որքան շատ հատվածներ գծենք, այնքան ավելի ճշգրիտ կստանանք կորը: Այժմ կառուցենք այս բոլոր հատվածների ծրարը: Այս ծրարը կլինի աստրոիդը:

1. Եզրակացություն

Աշխատանքում բերված են տարբեր տեսակի կորերի հետ կապված խնդիրների օրինակներ, որոնք սահմանված են տարբեր հավասարումներով կամ բավարարում են որոշ մաթեմատիկական պայման: Մասնավորապես, ցիկլոիդային կորեր, դրանց սահմանման մեթոդներ, կառուցման տարբեր եղանակներ, այդ կորերի հատկությունները։

Ցիկլոիդային կորերի հատկությունները շատ հաճախ օգտագործվում են մեխանիկայի մեջ շարժակների մեջ, ինչը զգալիորեն մեծացնում է մասերի ուժը մեխանիզմներում:

Հիշեք այդ նարնջագույն պլաստիկ ka-ta-fo-you - լույսը--ից-ra-zha-te-li, կցված-la-yu-schi-e-sya-ին ve-lo-si-ped-no-ի ճառագայթներին: գնալ ko-le-sa? Կա-տա-ֆոտը ամրացրեք կո-լե-սա-ի եզրին և հետևեք դրա տրա-եկ-տո-րի-եյին: Ստացված կորերը գտնվում են ցիկլոիդների ընտանիքի վերին մասում։

Միևնույն ժամանակ, co-le-so-ն կոչվում է ցիկլ-o-i-dy-ի pro-from-a-circle (կամ շրջան):

Բայց եկեք վերադառնանք մեր դար և անցնենք ավելի ժամանակակից տեխնոլոգիաների: Ճանապարհին մի կա-մու-շեկ ընկավ, որը խրվեց կո-լե-սա-ի հոսքի մեջ։ Անիվով մի քանի շրջան պտտվելով՝ ո՞ւր է գնում քարը, երբ դուրս ես նետվում հոսքից։ Մոտոցիկլետի աջակողմյան շարժման դեմ, թե՞ աջ կողմի երկայնքով:

Ինչպես գիտեք, մարմնի ազատ շարժումը ճանապարհին է դեպի այն հետագիծը, որով այն շարժվել է: Կա-սա-տել-նայան դեպի ցիկլ-օ-ի-դե միշտ շարժման ուղղության երկայնքով դեպի աջ է և անցնում է կու վերին կետով շրջակա տարածքի շուրջ: Ըստ աջակողմյան շարժման ուղղության՝ մեր կա-մու-շեկը նույնպես շարժվում է երկայնքով։

Հիշու՞մ եք, թե ինչպես էիք մանկության տարիներին քշում ջրափոսերի միջով հեծանիվ առանց հետևի թևի: Մեջքիդ թաց շերտը կյանքի ակնկալիքի հաստատումն է, որ այն նոր է ստացել ռե-զուլ -տա-տա:

17-րդ դարը ցիկլի դար է։ Լավագույն գիտնականներն ուսումնասիրել են նրա զարմանալի հատկությունները։

Ինչ-որ տրա-էկ-տո-րիա քաշի ուժի ազդեցության տակ շարժվող մարմինը կարճ ժամանակում մի կետից մյուսը կբերի՞: Սա այդ na-u-ki-ի առաջին առաջադրանքներից մեկն էր, որն այժմ ունի va-ri-a-tsi-on-noe-use- համար:

Mi-ni-mi-zi-ro-vat (կամ max-si-mi-zi-ro-vat) դուք կարող եք ունենալ տարբեր բաներ՝ ճանապարհի երկարություն, արագություն, ժամանակ: Զա-դա-չեում bra-hi-sto-khron mi-ni-mi-zi-ru-et-sya-ի մասին ժամանակն է (ինչ դժոխք-կի-վա-ետ-սյա սա-միմե - անունը՝ հունարեն) բրաχιστος - նվազագույն, ժամանակ - ժամանակ):

Առաջին բանը, որ գալիս է մտքին, ուղիղ գծային tra-ek-to-ria է: Այո, մենք կդիտարկենք նաև շրջադարձի ցիկլը, որի հետադարձ կետը նշված կետերի վերևում է: Եվ, հետևելով Գա-լի-լեո Գա-լի-լե-եմին, - չորս ուղղահայաց շրջան, որը կապում է մեր կետերը:

Ինչու՞ Ga-li-leo Ga-li-lei-ն նայեց քառորդ ուղղահայաց շրջանագծին և մտածեց, որ սա լավագույնն էր le time-me-ni tra-ek-to-ria վայրէջքի առումով: Նա դրա մեջ գրեց կոտրվածները և նկատեց, որ քանի որ հղումների թիվը շատանում է, ժամանակն ավելի ուշ պակասում է։ Այստեղից Գա-լի-լեյը բնականաբար շարժվեց դեպի շրջան, բայց սխալ եզրակացություն արեց, որ այս տրաեկ -րիան լավագույնն է բոլոր հնարավորներից։ Ինչպես տեսնում ենք, լավագույն tra-ek-to-ri-ey-ը ցիկլ-ո-ի-դա է:

Երկու տրված կետերի միջոցով հնարավոր է ստեղծել մեկ ցիկլ՝ պայմանով, որ վերին կետում լինի ցիկլի վերադարձի կետ։ Եվ նույնիսկ այն ժամանակ, երբ ցիկլիկը ընկնում է մայրիկի տակով, որպեսզի անցնի երկրորդ կետը, այն դեռ կբղավի ամենաարագ վայրէջքի մասին:

Մեկ այլ գեղեցիկ զա-դա-չա՝ կապված ցիկլ-լո-ի-դա-ի հետ՝ զա-դա-չա տա-ու-տո-քրոնի մասին։ Հունարենից թարգմանված ταύτίς նշանակում է «նույնը», χρόνος, ինչպես արդեն գիտենք՝ «ժամանակ»։

Մենք մեկ-մեկ բլուր կկազմենք ցիկլերի տեսքով պրո-ֆի-լեմով, որպեսզի բլուրների ծայրերը հարթվեն և տեղավորվեն ցիկլի վերևում: Մենք երեք բո-բահ ենք ստեղծել տարբեր ձեզանից յուրաքանչյուրի համար և եկեք շարունակենք: Զարմանալի փաստ է, որ բոլորը մի օր կիջնեն:

Ձմռանը դուք կարող եք սառույցի սլայդ կառուցել ձեր բակում և ստուգել այս գույքը ուղիղ եթերում:

For-yes-cha- about that-chrono-it-in-the-look-up-of-a-curve-որը, սկսած ցանկացած-բո-գնա-սկիզբից- Բայց, ի վերջո, ժամանակը իջնելը դեպի տվյալ կետը նույնն է լինելու։

Քրիստիան Գայ-գենսը գիտի, որ միակ բանը, որը քրոնիկ է, ցիկլային է:

Իհարկե, Գայ-գեն-սան չի անցնում սառցե լեռների երկայնքով իջնելիս: Այն ժամանակ գիտնականները արվեստի հանդեպ սիրուց այդքան մեծ բան չունեին: Համար-այո-որ-մենք-ուսումնասիրվել ենք,-հո-դի-կյանքից և այն ժամանակների կողմնակիցներից: 17-րդ դարում արդեն ավարտվել էին հեռավոր ծովային ճանապարհորդությունները։ Shi-ro-tu ծովերն արդեն կարողացել են ճշգրիտ որոշել մինչև հարյուրը, բայց զարմանալի է, որ երկար ժամանակ նրանք չէին կարողանում որոշել - ամեն ինչով զբաղվել: Եվ շի-րո-յու-ի նախա-լա-գավ-շիհ մեթոդներից մեկը հիմնված էր ճշգրիտ քրո-նո-մեթ խրամատի առկայության վրա:

Առաջինը, ով մտածեց ստեղծել մա-յաթ-ոչ-նոր ժամացույցներ, որոնք ճշգրիտ կլինեն, Գա-լի-լեո Գա-լի-լեն էր: Սակայն այն պահին, երբ նա սկսում է վերստեղծել դրանք, նա արդեն ծեր է, կույր է, իսկ մնացած տարում գիտնականը չի հասցնում ավարտին հասցնել իր կյանքը։ Նա դա պատմում է իր որդուն, բայց նա երկմտում եւ սկսում է F ----------------- ներքեւ. Հաջորդ հայտնի գործիչը Քրիստիան Հյուգենսն էր։

Նա նկատեց, որ ko-le-ba-niya-ի շրջանը սովորաբար մա-յաթ-նի-կա, ռաս-սմատ-րի-վավ-շե-գո-սյա Գա-լի-լե-եմ, զա-վիս-սիտ է: po-lo-zhe-niya-ի սկիզբը, այսինքն. am-pl-tu-dy-ից: Մտածելով այն մասին, թե ինչպիսին պետք է լինի բեռի շարժման հետագիծը, որպեսզի ժամանակը դրանից կախված չլինի -se-lo am-pl-tu-dy-ից, նա որոշում է for-da-chu այդ-u-to-chron-ի մասին։ Բայց ինչպե՞ս կարող եք ստիպել բեռը շարժվել ցիկլային եղանակով: Theo-re-ti-che-re-studies-ի թարգմանությունը գործնականում-ti-che-plane, Guy-gens de-la-et «cheeks» , որի վրա on-ma-you-va-et-sya ve- rev-ka ma-yat-no-ka, և որոշում է ևս մի քանի ma-te-ma-ti-che -skih առաջադրանքներ: Նա պնդում է, որ «այտերը» պետք է ունենան նույն ցիկլի պրոֆիլը, դրանով իսկ ենթադրելով, որ էվոլյու-այդ ցիկլը-lo-i-dy-ը նույն pa-ra-met-ra-ով ցիկլ-lo-i-da է: -մի.

Ի լրումն, առաջարկվող Guy-gen-som կառուցումը ցիկլը-lo-and-distance-but-no-go pos-vo-la-et on-հաշվիր ցիկլերի երկարությունը: Եթե ​​կա կապույտ կետ, որի երկարությունը հավասար է այն, ինչի մասին խոսում եք շրջանից, որքան հնարավոր է թեքեք թելը, ապա դրա վերջը կլինի այն կետում, որտեղ «այտերը» և ցիկլային են. -tra-cross ek-to-rii, այսինքն. ցիկլի վերևում-and-dy-«cheeks». Քանի որ սա ar-ki cycl-o-i-dy երկարության կեսն է, ապա ամբողջ երկարությունը հավասար է ութ ra-di-u-sam pro-iz-vo-dyad շրջանագծին:

Քրիստ-ան Հույ-գենսը պատրաստեց ցիկլային և հեռավոր մա-յաթ-նիկ, և նրա հետ ժամերը ծովում Պու-տե-շե-ստվի-ն էին: հա, բայց չընտելացա դրան: Այնուամենայնիվ, նույնը, ինչ այս նպատակների համար սովորական մա-յաթ-նիկով ժամացույցը:

Ինչո՞ւ, առանձին-առանձին, մեր և սովորաբար երակավոր մա-յաթ-ոչ-ոքի միջև դեռևս մռութի ժամեր կան: Եթե ​​նայեք, ապա փոքր թերություններով, ինչպես կարմիրը, «այտերը» ցիկլային և հեռու-բայց մա-յաթը գրեթե ազդեցություն չունեն: Համապատասխանաբար, փոքր շեղումներով ցիկլային և շրջանաձև շարժումը գրեթե նույնական է, այո, այո:

«Երկրորդ ճաշատեսակի համար մատուցվեց ցիկլոիդի տեսքով կարկանդակ...»

J. Swift Gulliver's Travels

Շոշափող և նորմալ ցիկլոիդին

Շրջանակի ամենաբնական սահմանումը, հավանաբար, կլինի հետևյալը. «Շրջանակը հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի մասնիկի ուղին է»։ Այս սահմանումը պարզ է, դրանից հեշտ է բխել շրջանագծի բոլոր հատկությունները, և որ ամենակարևորն է, այն մեզ անմիջապես գծում է շրջան՝ որպես շարունակական կոր, ինչը բոլորովին պարզ չէ շրջանի դասական սահմանումից՝ որպես երկրաչափական։ մի կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության վրա գտնվող կետերի տեղանքը:

Ինչու՞ ենք մենք դպրոցում շրջանակ սահմանում: դեպի կետերի տեղանքը։ Ինչու՞ է շարժում (պտույտ) օգտագործող շրջանակ սահմանելը վատ: Եկեք մտածենք դրա մասին:

Երբ մենք ուսումնասիրում ենք մեխանիկա, մենք չենք ապացուցում երկրաչափական թեորեմները. մենք կարծում ենք, որ մենք արդեն գիտենք դրանք, մենք պարզապես երկրաչափությունը վերաբերվում ենք որպես արդեն հայտնի մի բանի:

Եթե ​​երկրաչափական թեորեմներն ապացուցելիս մեխանիկան վերաբերվում է որպես արդեն հայտնի բանի, ապա թույլ կտանք «տրամաբանական (արատավոր) շրջան» կոչվող սխալը. Առաջարկի A Կոպիտ ասած, Իվանը գլխով է անում Պետրոսին, իսկ Պետրոսը մատնացույց է անում Իվանին: Այս իրավիճակն անընդունելի է գիտական ​​առարկաներ ներկայացնելիս։ Ուստի թվաբանություն ներկայացնելիս փորձում են երկրաչափությունը չանդրադառնալ, մեխանիկա չանդրադառնալ և այլն։ Միևնույն ժամանակ, երկրաչափությունը ներկայացնելիս կարելի է անվախորեն օգտագործել թվաբանությունը, բայց մեխանիկա ներկայացնելիս՝ և՛ թվաբանությունը, և՛ երկրաչափությունը; , տրամաբանական շրջանակ չի աշխատի։

Ցիկլոիդի սահմանումը, որին մեզ հաջողվեց ծանոթանալ, երբեք չի գոհացրել գիտնականներին. ի վերջո, այն հիմնված է մեխանիկական հասկացությունների վրա՝ արագություն, շարժումների ավելացում և այլն։ Հետևաբար, երկրաչափերը միշտ ձգտել են ցիկլոիդին տալ զուտ երկրաչափական։ սահմանում. Բայց նման սահմանում տալու համար անհրաժեշտ է առաջին հերթին ուսումնասիրել ցիկլոիդի հիմնական հատկությունները՝ օգտագործելով նրա մեխանիկական սահմանումը։ Ընտրելով այս հատկություններից ամենապարզն ու հատկանշականը՝ մենք կարող ենք այն դնել երկրաչափական սահմանման հիմքում։

Սկսենք ուսումնասիրելով ցիկլոիդին շոշափողն ու նորմալը։ Թե ինչ է շոշափողը կոր գծին, բոլորը շատ հստակ հասկանում են. Շոշափողի ճշգրիտ սահմանումը տրված է մաթեմատիկայի բարձրագույն դասընթացներում, և մենք դա չենք տա այստեղ:

Բրինձ. 16. Կորին շոշափող և նորմալ:

Նորմալը շոշափողին ուղղահայացն է՝ վերականգնված շփման կետում։ Նկ. Նկար 16-ը ցույց է տալիս AB կորի շոշափողն ու նորմալը նրա կետում Դիտարկենք ցիկլոիդը (Նկար 17): Շրջանակը գլորվում է AB ուղիղ գծով:

Ենթադրենք, որ շրջանագծի ուղղահայաց շառավիղը, որը սկզբնական պահին անցել է ցիկլոիդի ստորին կետով, կարողացել է շրջվել անկյան միջով (հունարեն «phi» տառը) և գրավել OM դիրքը։ Այլ կերպ ասած, մենք կարծում ենք, որ MST հատվածը կազմում է հատվածի այնպիսի բաժին, ինչպիսին է 360° անկյունը (ամբողջական պտույտից): Այս դեպքում կետը հասավ Մ.

Բրինձ. 17. Ցիկլոիդին շոշափող:

M կետը մեզ հետաքրքրող ցիկլոիդի կետն է:

OH սլաքը պատկերում է պտտվող շրջանագծի կենտրոնի շարժման արագությունը: Շրջանակի բոլոր կետերը, ներառյալ M կետը, ունեն նույն հորիզոնական արագությունը, բայց, բացի այդ, M կետը մասնակցում է շրջանագծի պտույտին: MC արագությունը, որն այս պտույտի ընթացքում ստանում է շրջանագծի M կետը, ուղղված է շրջանագծին շոշափելի, այսինքն՝ OM շառավղին ուղղահայաց: Մենք արդեն գիտենք «երկու վեյուսիպեդիստների զրույցից» (տես էջ 6), որ MS արագությունը մեծությամբ հավասար է MR արագությանը (այսինքն՝ OH արագությանը): Ուստի արագությունների զուգահեռագիծը մեր շարժման դեպքում կլինի ռոմբ (ռոմբ MSKR նկ. 17-ում): Այս ռոմբի MK անկյունագիծը մեզ կտա ցիկլոիդին շոշափող:

Այժմ կարող ենք պատասխանել Սերգեյի և Վասյայի զրույցի վերջում տրված հարցին (էջ 7). Հեծանիվի անիվից անջատված կեղտի մի կտոր շոշափելիորեն շարժվում է անիվի մասնիկի հետագծին, որից այն առանձնացել է: Բայց հետագիծը կլինի ոչ թե շրջան, այլ ցիկլոիդ, քանի որ անիվը ոչ թե պարզապես պտտվում է, այլ գլորվում է, այսինքն՝ կատարում է շարժում՝ բաղկացած թարգմանական շարժումից և պտույտից։

Վերը նշված բոլորը հնարավորություն են տալիս լուծել հետևյալ «կառուցողական խնդիրը»՝ հաշվի առնելով ցիկլոիդի AB ուղղորդող գիծը, գեներացնող շրջանագծի շառավիղը և ցիկլոիդին պատկանող M կետը (նկ. 17):

Պահանջվում է MC-ին շոշափող կառուցել ցիկլոիդին:

Ունենալով M կետ, մենք հեշտությամբ կարող ենք ստեղծել գեներացնող շրջան, իր դիրքում, երբ շրջանագծի մի կետն ընկնում է M-ի մեջ: Դա անելու համար մենք նախ գտնում ենք O կենտրոնը՝ օգտագործելով շառավիղը (O կետը պետք է ընկած լինի ուղիղ գծի վրա, որը զուգահեռ է դրան. AB դրանից հեռավորության վրա): Այնուհետև մենք կառուցում ենք կամայական երկարության MR հատված, ուղեցույցի գծին զուգահեռ: Այնուհետև մենք կառուցում ենք ուղիղ գիծ OM-ին ուղղահայաց այս ուղիղ գծի վրա մենք անջատում ենք MC հատվածը, որը հավասար է M կետին: MC-ի և MR-ի վրա, ինչպես կողքերում, մենք կառուցում ենք ռոմբուս: Այս ռոմբի անկյունագիծը շոշափելու է ցիկլոիդին M կետում:

Այս շինարարությունը զուտ երկրաչափական է, թեև մենք այն ստացել ենք մեխանիկայի հասկացությունների միջոցով: Այժմ մենք կարող ենք հրաժեշտ տալ մեխանիկային և առանց նրա օգնության ձեռք բերել հետագա հետևանքներ։ Սկսենք պարզ թեորեմից.

Թեորեմ 1. Ցիկլոիդին շոշափողի (կամայական կետում) և ուղղորդող գծի միջև անկյունը հավասար է գեներացնող շրջանի շառավիղի պտտման անկյան կեսի 90° ավելացմանը:

Այսինքն՝ մեր թզ. 17 անկյուն KLT հավասար է կամ . Մենք հիմա կապացուցենք այս հավասարությունը։ Ելույթը կրճատելու համար մենք կհամաձայնվենք գեներացնող շրջանի շառավիղի պտտման անկյունը անվանել «հիմնական անկյուն»: Սա նշանակում է, որ MOT անկյունը Նկ. 17 - հիմնական անկյուն: Հիմնական անկյունը կհամարենք սուր։ Ընթերցողն ինքը կվերափոխի բութ անկյան դեպքի պատճառաբանությունը, այսինքն՝ այն դեպքի համար, երբ պտտվող շրջանը կատարում է ամբողջական պտույտի քառորդից ավելին։

Դիտարկենք SMR անկյունը: CM կողմը ուղղահայաց է OM-ին (շրջանի շոշափողը ուղղահայաց է շառավղին): MR կողմը (հորիզոնական) ուղղահայաց է OT-ին (ուղղահայաց): Բայց MOT անկյունը, պայմանականորեն, սուր է (մենք պայմանավորվեցինք դիտարկել շրջադարձի առաջին քառորդը), իսկ SMR անկյունը բութ է (ինչու՞): Սա նշանակում է, որ MOT և SMR անկյունները գումարվում են մինչև 180° (փոխադարձ ուղղահայաց կողմերով անկյուններ, որոնցից մեկը սուր է, իսկ մյուսը՝ բութ):

Այսպիսով, CMR անկյունը հավասար է: Բայց, ինչպես գիտեք, ռոմբի անկյունագիծը գագաթի անկյունը կիսում է կիսով չափ:

Հետևաբար, անկյունն այն է, ինչ պետք էր ապացուցել։

Այժմ եկեք մեր ուշադրությունը դարձնենք նորմալին դեպի ցիկլոիդ: Մենք արդեն ասացինք, որ կորի նորմալը շփման կետում գծված շոշափողին ուղղահայացն է (նկ. 16): Եկեք պատկերենք Նկ. 17-ն ավելի մեծ է, և մենք կնկարենք նորմալ (տես նկ. 18):

Սկսած Նկ. 18 հետևում է, որ EMR անկյունը հավասար է KME և KMR անկյունների տարբերությանը, այսինքն՝ այն հավասար է 90° - KMR-ի:

Բրինձ. 18. Թեորեմ 2-ին.

Բայց մենք պարզապես ապացուցեցինք, որ KMR անկյունն ինքնին հավասար է . Այսպիսով մենք ստանում ենք.

Մենք ապացուցել ենք պարզ, բայց օգտակար թեորեմ: Տանք դրա ձևակերպումը.

Թեորեմ 2. Նորմալի և ցիկլոիդի (ցանկացած կետում) և ուղղորդող գծի միջև անկյունը հավասար է «հիմնական անկյան» կեսին:

(Հիշեք, որ «առաջնային անկյունը» պտտվող շրջանագծի շառավղի պտտման անկյունն է)

Այժմ միացնենք M կետը (ցիկլոիդի «ընթացիկ» կետը) գեներացնող շրջանագծի «ստորին» կետի (T) հետ (գեներացնող շրջանագծի շոշափման կետով և ուղղորդող գծով - տե՛ս նկ. 18):

MOT եռանկյունը ակնհայտորեն հավասարաչափ է (OM և OT գեներացնող շրջանի շառավիղներն են): Այս եռանկյան հիմքի անկյունների գումարը հավասար է, իսկ հիմքի անկյուններից յուրաքանչյուրը այս գումարի կեսն է: Այսպիսով,

Եկեք ուշադրություն դարձնենք RMT անկյունին: Այն հավասար է OMT և OMR անկյունների տարբերությանը: Այժմ մենք տեսանք, որ այն հավասար է 90° -ի, ինչ վերաբերում է OMR անկյան վրա, ապա դժվար չէ պարզել, թե ինչին է այն հավասար։ Ի վերջո, OMP անկյունը հավասար է DOM անկյունին (ներքին խաչաձև անկյունները, երբ զուգահեռ են):

Բրինձ. 19. Ցիկլոիդին շոշափողի և նորմալի հիմնական հատկությունները:

Անմիջապես ակնհայտ է, որ այն հավասար է . Նշանակում է, . Այսպիսով մենք ստանում ենք.

Ստացվում է ուշագրավ արդյունք՝ RMT անկյունը հավասար է RME անկյան (տես թեորեմ 2): Հետևաբար, ուղիղ ME-ն և MT-ը կմիավորվեն: Մեր բրինձը։ 18-ը այնքան էլ ճիշտ չէ արված: Գծերի ճիշտ գտնվելու վայրը ցույց է տրված Նկ. 19.

Ինչպե՞ս ձևակերպել ստացված արդյունքը: Մենք այն ձևակերպում ենք 3-րդ թեորեմի տեսքով։

Թեորեմ 3 (ցիկլոիդի առաջին հիմնական հատկությունը). Նորմալը ցիկլոիդին անցնում է գեներացնող շրջանի «ներքևի» կետով:

Այս թեորեմն ունի պարզ հետևություն. Շոշափողի և նորմալի միջև անկյունը, ըստ սահմանման, ուղիղ գիծ է: Սա շրջանագծի մեջ գրված անկյունն է

Հետեւաբար, այն պետք է հենվի շրջանագծի տրամագծի վրա: Այսպիսով, տրամագիծն է և գեներացնող շրջանի «վերին» կետն է: Ձևակերպենք ստացված արդյունքը.

Հետևանք (ցիկլոիդի երկրորդ հիմնական հատկությունը). Ցիկլոիդին շոշափողն անցնում է գեներացնող շրջանագծի «վերին» կետով:

Այժմ եկեք վերարտադրենք ցիկլոիդի կառուցումը կետերով, ինչպես արեցինք Նկ. 6.

Բրինձ. 20. Ցիկլոիդ - նրա շոշափողների ծրարը:

Նկ. 20 ցիկլոիդի հիմքը բաժանված է 6 հավասար մասերի. Որքան մեծ է բաժանումների թիվը, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի գծագիրը, ինչպես գիտենք: Մեր կառուցած ցիկլոիդի յուրաքանչյուր կետում մենք գծում ենք տանգենս՝ կորի կետը միացնելով գեներացնող շրջանագծի «վերին» կետի հետ։ Մեր գծագրում մենք ունենք յոթ շոշափող (դրանցից երկուսը ուղղահայաց են): Այժմ ձեռքով գծելով ցիկլոիդը, մենք հոգ կտանենք, որ այն իրականում դիպչի այս շոշափողներից յուրաքանչյուրին. դա զգալիորեն կբարձրացնի գծագրի ճշգրտությունը: Այս դեպքում ցիկլոիդն ինքը կծկվի այս բոլոր շոշափողների շուրջ

Եկեք նկարենք նույն նկարի վրա: 20 նորմալ ցիկլոիդի բոլոր գտնված կետերում: Ընդհանուր հինգ նորմալ կլինի՝ չհաշված գիդը։ Դուք կարող եք կառուցել ազատ ձեռքով կռում այս նորմալներից:

Եթե ​​վեցի փոխարեն 12 կամ 16 բաժանման կետ վերցնեինք, ուրեմն գծագրում ավելի շատ նորմալներ կլինեին, իսկ ծրարն ավելի հստակ ուրվագծվեր։ Բոլոր նորմալների այս ծրարը կարևոր դեր է խաղում ցանկացած կոր գծի հատկությունների ուսումնասիրության մեջ: Ցիկլոիդի դեպքում բացահայտվում է մի հետաքրքիր փաստ՝ ցիկլոիդի նորմալների ծրարը ճիշտ նույն ցիկլոիդն է՝ միայն 2ա-ով ներքև և 2ա-ով շեղված աջ։ Մենք ստիպված կլինենք զբաղվել այս հետաքրքիր արդյունքի հետ, որը բնորոշ է հատուկ ցիկլոիդին:

Ցիկլոիդին շոշափողի և նորմալի հատկություններն առաջին անգամ ուրվագծել է Տորիչելլին (1608-1647) իր «Երկրաչափական աշխատություններ» (1644) գրքում։ Տորիչելլին օգտագործել է շարժումների հավելումը։ Որոշակիորեն ավելի ուշ, բայց ավելի լիարժեք, Ռոբերվալը (ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժիլ Պերսոնի կեղծանունը, 1602-1672) ուսումնասիրեց այս հարցերը։ Ցիկլոիդին շոշափողի հատկությունները նույնպես ուսումնասիրվել են Դեկարտի կողմից; նա ներկայացրել է իր արդյունքները՝ առանց մեխանիկայի դիմելու։