Շրջանակի մեծ աղեղը գտնելու բանաձևը. Շրջանակ։ Կենտրոնական և ներգծված անկյուն

Շրջանաձև աղեղի երկարությունը գտնելու բանաձևը բավականին պարզ է և շատ հաճախ կարևոր քննություններԻնչպես միասնական պետական ​​քննությունը, այնպես էլ կան խնդիրներ, որոնք հնարավոր չէ լուծել առանց դրա կիրառման։ Դա անհրաժեշտ է նաև միջազգային ստանդարտացված թեստեր անցնելու համար, ինչպիսիք են SAT-ը և այլն:

Որքա՞ն է շրջանագծի աղեղի երկարությունը:

Բանաձևն այսպիսի տեսք ունի.

l = πrα / 180 °

Ո՞րն է բանաձևի յուրաքանչյուր տարր.

• π - Pi համարը ( մշտական, հավասար է ≈ 3.14);
• r-ը տրված շրջանագծի շառավիղն է.
• α-ն այն անկյան մեծությունն է, որի վրա գտնվում է աղեղը (կենտրոնական, ոչ ներգծված):

Ինչպես տեսնում եք, խնդիրը լուծելու համար պայմանում պետք է ներկա լինեն r և α։ Առանց այս երկու մեծությունների անհնար է գտնել աղեղի երկարությունը։

Ինչպե՞ս է ստացվել այս բանաձևը և ինչու է այն այսպիսի տեսք ունենում:

Ամեն ինչ չափազանց հեշտ է. Շատ ավելի պարզ կդառնա, եթե հայտարարի մեջ դնեք 360°, իսկ դիմացի համարիչին գումարեք երկու: Դուք նույնպես կարող եք α չթողնել կոտորակի մեջ, հանել և գրել բազմապատկման նշանով։ Սա միանգամայն հնարավոր է, քանի որ այս տարրը գտնվում է համարիչում: Հետո ընդհանուր տեսարանկդառնա այսպես.

l = (2πr / 360°) × α

Պարզապես հարմարության համար մենք կրճատեցինք 2 և 360°: Եվ հիմա, եթե ուշադիր նայեք, կարող եք տեսնել մի շատ ծանոթ բանաձև ամբողջ շրջանի երկարության համար, այն է. 2πr.Ամբողջ շրջանակը բաղկացած է 360°-ից, ուստի ստացված չափը բաժանում ենք 360 մասի։ Այնուհետև մենք բազմապատկում ենք թվով α, այսինքն՝ մեզ անհրաժեշտ «կարկանդակի կտորների» քանակի համար։ Բայց բոլորը հաստատ գիտեն, որ թիվը (այսինքն ամբողջ շրջանի երկարությունը) չի կարող բաժանվել աստիճանի: Ի՞նչ անել այս դեպքում: Սովորաբար, որպես կանոն, աստիճանը կծկվում է կենտրոնական անկյան աստիճանի հետ, այսինքն՝ հետ α. Դրանից հետո մնում են միայն թվեր, իսկ վերջում ստացվում է վերջնական պատասխանը։

Սա կարող է բացատրել, թե ինչու է շրջանագծի աղեղի երկարությունը գտնվել այս կերպ և ունի այս ձևը:

Միջին բարդության խնդրի օրինակ՝ օգտագործելով այս բանաձևը

Վիճակը՝ 10 սանտիմետր շառավղով շրջան կա։ Կենտրոնական անկյան աստիճանը 90° է։ Գտե՛ք այս անկյունից գոյացած շրջանաձև աղեղի երկարությունը։

Լուծում` l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Պատասխան՝ l = 5π

Հնարավոր է նաև, որ աստիճանի չափման փոխարեն տրվի ռադիանի անկյան չափում։ Ոչ մի դեպքում չպետք է վախենաք, քանի որ այս անգամ խնդիրը շատ ավելի հեշտ է դարձել։ Ռադիանի չափումը աստիճանի չափման փոխարկելու համար անհրաժեշտ է տրված համարըբազմապատկել 180 ° / π. Սա նշանակում է, որ այժմ մենք կարող ենք փոխարինել α հետևյալ համակցությունը՝ m × 180° / π. Որտեղ m-ը ռադիանի արժեքն է: Եվ հետո 180 և համարը π կրճատվում են և ստացվում է լիովին պարզեցված բանաձև, որն ունի հետևյալ տեսքը.

• մ - անկյան ճառագայթային չափում;
• r-ը տրված շրջանագծի շառավիղն է:

Նկարի այն մասը, որը կազմում է շրջան, որի կետերը հավասար են, կոչվում է աղեղ: Եթե ​​շրջանագծի կենտրոնական կետից ճառագայթներ գծենք դեպի աղեղի ծայրերին համընկնող կետերը, կձևավորվի նրա կենտրոնական անկյունը։

Աղեղի երկարության որոշում

Արտադրվում է հետևյալ բանաձևի համաձայն.

որտեղ L-ը աղեղի ցանկալի երկարությունն է, π = 3,14, r-ը շրջանագծի շառավիղն է, α-ն կենտրոնական անկյունն է:

Լ

3.14 x 10 x 85

14,82

Պատասխան.

Շրջանակի աղեղի երկարությունը 14,82 սանտիմետր է։

Տարրական երկրաչափության մեջ աղեղը հասկացվում է որպես շրջանագծի ենթաբազմություն, որը գտնվում է դրա վրա գտնվող երկու կետերի միջև: Գործնականում լուծել խնդիրները սահմանումնրան երկարությունըինժեներներն ու ճարտարապետները ստիպված են դա անել բավականին հաճախ, քանի որ այս երկրաչափական տարրը լայնորեն տարածված է դիզայնի լայն տեսականիով:

Թերևս առաջինը, ով բախվեց այս խնդրին, հնագույն ճարտարապետներն էին, ովքեր այս կամ այն ​​կերպ պետք է որոշեին այս պարամետրը կամարների կառուցման համար, որոնք լայնորեն օգտագործվում էին կլոր, բազմանկյուն կամ էլիպսաձև շենքերի հենարանների միջև բացերը ծածկելու համար: Եթե ​​ուշադիր նայեք հին հունական, հին հռոմեական և հատկապես արաբական ճարտարապետության գլուխգործոցներին, որոնք պահպանվել են մինչ օրս, ապա կնկատեք, որ կամարներն ու կամարները չափազանց տարածված են իրենց ձևավորումներում: Ժամանակակից ճարտարապետների ստեղծագործություններն այնքան էլ հարուստ չեն դրանցով, բայց այդ երկրաչափական տարրերը, իհարկե, առկա են դրանցում։

Երկարությունբազմազան աղեղպետք է հաշվարկվի ավտոմեքենա կառուցելիս և երկաթուղիներ, ինչպես նաև ավտոմոբիլային մրցարշավների ուղիները, և շատ դեպքերում երթևեկության անվտանգությունը մեծապես կախված է հաշվարկների ճիշտությունից և ճշգրտությունից: Փաստն այն է, որ մայրուղիների շատ ոլորաններ, երկրաչափական տեսանկյունից, ճշգրիտ կամարներ են, և դրանց երկայնքով շարժվելիս տարբեր ֆիզիկական ուժեր են գործում տրանսպորտային միջոցների վրա: Դրանց արդյունքի պարամետրերը մեծապես որոշվում են աղեղի երկարությամբ, ինչպես նաև նրա կենտրոնական անկյունով և շառավղով:

Մեքենաների և մեխանիզմների նախագծողները պետք է հաշվարկեն տարբեր աղեղների երկարությունները ճիշտ և ճշգրիտ դասավորության համար բաղադրիչներըտարբեր միավորներ. Այս դեպքում հաշվարկների սխալները հղի են նրանով, որ կարևոր և կարևոր մասերը սխալ կգործեն միմյանց հետ, և մեխանիզմը պարզապես չի կարողանա գործել այնպես, ինչպես նախատեսում են դրա ստեղծողները: Կառուցվածքների օրինակները, որոնք հագեցած են երկրաչափական տարրերով, ինչպիսիք են աղեղները, ներառում են ներքին այրման շարժիչներ, փոխանցումատուփեր, փայտի և մետաղամշակման սարքավորումներ, մեքենաների և բեռնատարների մարմնի մասեր և այլն:

կամարներԴրանք բավականին տարածված են բժշկության մեջ, մասնավորապես՝ ստոմատոլոգիայում։ Օրինակ՝ դրանք օգտագործվում են անսարքությունները շտկելու համար։ Ուղղիչ տարրերը, որոնք կոչվում են բրեկետներ (կամ բրեկետային համակարգեր) և ունեն համապատասխան ձև, պատրաստված են հատուկ համաձուլվածքներից և տեղադրվում են այնպես, որ փոխում են ատամների դիրքը։ Անշուշտ պետք է ասել, որ որպեսզի բուժումը հաջող լինի, այդ աղեղները պետք է շատ ճշգրիտ հաշվարկվեն։ Բացի այդ, կամարները շատ լայնորեն օգտագործվում են վնասվածքաբանության մեջ, և, հավանաբար, դրա ամենավառ օրինակը հայտնի Իլիզարովի ապարատն է, որը հորինել է ռուս բժիշկը 1951 թվականին և չափազանց հաջողությամբ օգտագործվում է մինչ օրս: Դրա անբաժանելի մասերը մետաղական կամարներ են՝ հագեցած անցքերով, որոնց միջով անցնում են հատուկ տրիկոտաժե ասեղներ, և որոնք ամբողջ կառուցվածքի հիմնական հենարաններն են։

Շրջանակը, նրա մասերը, դրանց չափերն ու հարաբերությունները այնպիսի բաներ են, որոնց հետ անընդհատ հանդիպում է ոսկերիչը: Օղակներ, ապարանջաններ, կաստաներ, խողովակներ, գնդիկներ, պարույրներ - շատ կլոր իրեր պետք է պատրաստել: Ինչպե՞ս կարող ես հաշվարկել այս ամենը, հատկապես, եթե քեզ բախտ է վիճակվել բաց թողնել երկրաչափության դասերը դպրոցում:

Նախ նայենք, թե ինչ մասեր ունի շրջանագիծը և ինչպես են դրանք կոչվում:

• Շրջանակը գիծ է, որը պարփակում է շրջան։
• Աղեղը շրջանագծի մի մասն է։
• Շառավիղը շրջանագծի կենտրոնը շրջանագծի ցանկացած կետի հետ կապող հատված է:
• Ակորդը շրջանագծի երկու կետերը միացնող հատված է։
• Հատվածը շրջանագծի մի մասն է, որը սահմանափակված է ակորդով և աղեղով:
• Սեկտորը շրջանագծի մի մասն է, որը սահմանափակված է երկու շառավղով և աղեղով։

Մեզ հետաքրքրող քանակությունները և դրանց անվանումները.

Հիմա տեսնենք, թե շրջանագծի մասերի հետ կապված ինչ խնդիրներ պետք է լուծվեն։

• Գտեք մատանու (ապարանջանի) ցանկացած մասի զարգացման երկարությունը: Հաշվի առնելով տրամագիծը և ակորդը (տարբերակ՝ տրամագիծ և կենտրոնական անկյուն), գտե՛ք աղեղի երկարությունը։
• Ինքնաթիռի վրա կա գծանկար, որի չափը պետք է պարզել պրոյեկցիայի մեջ՝ այն աղեղի մեջ թեքելուց հետո։ Հաշվի առնելով աղեղի երկարությունը և տրամագիծը, գտե՛ք ակորդի երկարությունը:
• Պարզեք մասի բարձրությունը, որը ստացվում է հարթ աշխատանքային կտորը աղեղի մեջ թեքելով: Մուտքային տվյալների ընտրանքներ՝ աղեղի երկարություն և տրամագիծ, աղեղի երկարություն և ակորդ; գտնել հատվածի բարձրությունը.

Կյանքը ձեզ այլ օրինակներ կտա, բայց ես դրանք տվեցի միայն ցույց տալու համար, որ անհրաժեշտ է սահմանել երկու պարամետր՝ մնացած բոլորը գտնելու համար: Ահա թե ինչ ենք անելու։ Մասնավորապես, մենք վերցնում ենք հատվածի հինգ պարամետր՝ D, L, X, φ և H: Այնուհետև դրանցից ընտրելով բոլոր հնարավոր զույգերը, դրանք կդիտարկենք որպես նախնական տվյալներ և ըստ. ուղեղային փոթորիկգտեք բոլոր մյուսներին:

Ընթերցողին անտեղի չծանրաբեռնելու համար մանրամասն լուծումներ չեմ տա, այլ միայն արդյունքները կներկայացնեմ բանաձեւերի տեսքով (այն դեպքերը, երբ ֆորմալ լուծում չկա, կքննարկեմ ճանապարհին)։

Եվ ևս մեկ նշում՝ չափման միավորների մասին։ Բոլոր մեծությունները, բացի կենտրոնական անկյունից, չափվում են նույն վերացական միավորներով: Սա նշանակում է, որ եթե, օրինակ, դուք նշում եք մի արժեք միլիմետրերով, ապա մյուսը պետք չէ նշել սանտիմետրերով, և ստացված արժեքները չափվելու են նույն միլիմետրերով (և տարածքները քառակուսի միլիմետրերով): Նույնը կարելի է ասել դյույմների, ոտքերի և ծովային մղոնների համար:

Եվ միայն կենտրոնական անկյունը բոլոր դեպքերում չափվում է աստիճաններով և ուրիշ ոչինչ։ Քանի որ, որպես կանոն, մարդիկ, ովքեր նախագծում են ինչ-որ կլոր բան, հակված չեն անկյունները չափել ռադիաններով: «Անկյուն պի չորսով» արտահայտությունը շփոթեցնում է շատերին, մինչդեռ «քառասունհինգ աստիճանի անկյունը» հասկանալի է բոլորին, քանի որ այն նորմայից ընդամենը հինգ աստիճանով է բարձր։ Այնուամենայնիվ, բոլոր բանաձևերում կլինի ևս մեկ անկյուն՝ α- որպես միջանկյալ արժեք: Իմաստով սա կենտրոնական անկյան կեսն է, որը չափվում է ռադիաններով, բայց դուք կարող եք ապահով կերպով չխորանալ այս իմաստի մեջ:

1. Հաշվի առնելով D տրամագիծը և L աղեղի երկարությունը

; ակորդի երկարությունը ;
հատվածի բարձրությունը ; կենտրոնական անկյուն .

2. Տրվում է D տրամագիծը և ակորդի երկարությունը X

; աղեղի երկարությունը;
հատվածի բարձրությունը ; կենտրոնական անկյուն .

Քանի որ ակորդը շրջանագիծը բաժանում է երկու հատվածի, այս խնդիրը ոչ թե մեկ, այլ երկու լուծում ունի։ Երկրորդը ստանալու համար անհրաժեշտ է վերը նշված բանաձեւերում α անկյունը փոխարինել անկյան հետ:

3. Հաշվի առնելով D տրամագիծը և φ կենտրոնական անկյունը

; աղեղի երկարությունը;
ակորդի երկարությունը ; հատվածի բարձրությունը .

4. Հաշվի առնելով H հատվածի D տրամագիծը և բարձրությունը

; աղեղի երկարությունը;
ակորդի երկարությունը ; կենտրոնական անկյուն .

6. Տրված է աղեղի երկարությունը L և կենտրոնական անկյուն φ

; տրամագիծը;
ակորդի երկարությունը ; հատվածի բարձրությունը .

8. Հաշվի առնելով X ակորդի երկարությունը և φ կենտրոնական անկյունը

; աղեղի երկարությունը ;
տրամագիծը; հատվածի բարձրությունը .

9. Հաշվի առնելով X ակորդի երկարությունը և Հ հատվածի բարձրությունը

; աղեղի երկարությունը ;
տրամագիծը; կենտրոնական անկյուն .

10. Հաշվի առնելով φ կենտրոնական անկյունը և H հատվածի բարձրությունը

; տրամագիծը ;
աղեղի երկարությունը; ակորդի երկարությունը .

Ուշադիր ընթերցողը չէր կարող չնկատել, որ բաց եմ թողել երկու տարբերակ.

5. Տրված է աղեղի երկարությունը L և ակորդի երկարությունը X

7. Հաշվի առնելով L աղեղի երկարությունը և H հատվածի բարձրությունը

Սրանք ընդամենը այն երկու տհաճ դեպքերն են, երբ խնդիրը չունի լուծում, որը կարելի է գրել բանաձեւի տեսքով։ Իսկ առաջադրանքն այնքան էլ հազվադեպ չէ։ Օրինակ, դուք ունեք L երկարությամբ հարթ կտոր, և ցանկանում եք այն թեքել այնպես, որ երկարությունը դառնա X (կամ բարձրությունը՝ H): Ինչ տրամագծով պետք է վերցնեմ մանդրելը (խաչաձողը):

Այս խնդիրը հանգում է հավասարումների լուծմանը.
; - 5 տարբերակում
; - 7-րդ տարբերակում
և թեև դրանք չեն կարող լուծվել վերլուծական եղանակով, դրանք հեշտությամբ կարող են լուծվել ծրագրային եղանակով: Եվ ես նույնիսկ գիտեմ, թե որտեղից կարելի է նման ծրագիր ստանալ. հենց այս կայքում, անվան տակ: Այն ամենը, ինչ ես երկար պատմում եմ ձեզ այստեղ, նա անում է միկրովայրկյանների ընթացքում:

Պատկերը լրացնելու համար եկեք մեր հաշվարկների արդյունքներին ավելացնենք շրջագիծը և տարածքի երեք արժեքները՝ շրջան, հատված և հատված։ (Տարածքները մեզ շատ կօգնեն բոլոր կլոր և կիսաշրջանաձև մասերի զանգվածը հաշվարկելիս, բայց այս մասին ավելին առանձին հոդվածում:) Այս բոլոր քանակությունները հաշվարկվում են նույն բանաձևերով.

շրջապատ;
շրջանագծի տարածք ;
հատվածի տարածքը ;
հատվածի տարածքը ;

Եվ վերջում թույլ տվեք ևս մեկ անգամ հիշեցնել բացարձակ գոյության մասին անվճար ծրագիր, որը կատարում է վերը նշված բոլոր հաշվարկները՝ ազատելով ձեզ հիշելուց, թե ինչ է արկտանգենսը և որտեղ փնտրել այն։

Շրջանակի տարածքը գտնելու հետ կապված խնդիրները պարտադիր են պետական ​​միասնական քննության մասմաթեմատիկայի մեջ։ Որպես կանոն, այս թեման սերտիֆիկացման թեստում նշանակվում է միանգամից մի քանի առաջադրանք: Ավագ դպրոցի բոլոր աշակերտները, անկախ իրենց պատրաստվածության մակարդակից, պետք է հասկանան շրջանի շրջագիծը և մակերեսը գտնելու ալգորիթմը:

Եթե ​​նման պլանաչափական առաջադրանքները ձեզ դժվարություններ են առաջացնում, խորհուրդ ենք տալիս դիմել Շկոլկովո կրթական պորտալին: Մեզ հետ դուք կարող եք լրացնել գիտելիքների բացերը։

Կայքի համապատասխան բաժինը ներկայացնում է խնդիրների մեծ ընտրություն շրջանի շրջագիծը և տարածքը գտնելու համար, որոնք նման են միասնական պետական ​​քննությանը: Սովորելով դրանք ճիշտ կատարել՝ շրջանավարտը կկարողանա հաջողությամբ հաղթահարել քննությունը։

Առանձնահատկություններ

Խնդիրները, որոնք պահանջում են տարածքի բանաձևերի օգտագործումը, կարող են լինել ուղղակի կամ հակադարձ: Առաջին դեպքում հայտնի են գործչի տարրերի պարամետրերը։ Այս դեպքում պահանջվող քանակությունը տարածքն է։ Երկրորդ դեպքում, ընդհակառակը, տարածքը հայտնի է, և անհրաժեշտ է գտնել գործչի ինչ-որ տարր։ Նման առաջադրանքներում ճիշտ պատասխանը հաշվարկելու ալգորիթմը տարբերվում է միայն հիմնական բանաձևերի կիրառման հերթականությամբ։ Այդ իսկ պատճառով, երբ սկսելով լուծել նման խնդիրներ, անհրաժեշտ է կրկնել տեսական նյութը։

Միացված է կրթական պորտալ«Shkolkovo»-ն ներկայացնում է բոլոր հիմնական տեղեկությունները «Շրջանի կամ աղեղի երկարությունը և շրջանագծի մակերեսը գտնելը», ինչպես նաև այլ թեմաների վերաբերյալ, օրինակ՝ մեր մասնագետները պատրաստել և ներկայացրել են այն առավելագույնս: մատչելի ձև:

Հիշելով հիմնական բանաձևերը՝ ուսանողները կարող են սկսել առցանց լուծել միասնական պետական ​​քննության մեջ ներառված շրջանակի տարածքը գտնելու խնդիրները: Կայքի յուրաքանչյուր վարժության համար այն ներկայացված է մանրամասն լուծումև տրված է ճիշտ պատասխանը։ Անհրաժեշտության դեպքում ցանկացած առաջադրանք կարող է պահպանվել «Ընտրյալներ» բաժնում, որպեսզի հետագայում վերադառնան դրան և քննարկեն այն ուսուցչի հետ:

Խնդիր 10 (OGE - 2015)

O կենտրոն ունեցող շրջանագծի վրա A և B կետերը նշված են այնպես, որ ∠ AOB = 18°: AB փոքր աղեղի երկարությունը 5 է: Գտե՛ք շրջանագծի ավելի մեծ աղեղի երկարությունը:

Լուծում

∠ AOB = 18 °: Ամբողջ շրջանակը 360° է։ Հետևաբար ∠ AOB-ը շրջանագծի 18/360 = 1/20 է:

Սա նշանակում է, որ փոքր AB աղեղը ամբողջ շրջանագծի 1/20-ն է, ուստի ավելի մեծ աղեղը մնացածն է, այսինքն. 19/20 շրջագիծ.

Շրջանակի 1/20-ը համապատասխանում է 5 աղեղի երկարությանը: Այնուհետև ավելի մեծ աղեղի երկարությունը 5 * 19 = 95 է:

Խնդիր 10 (OGE - 2015)

O կենտրոն ունեցող շրջանագծի վրա A և B կետերը նշված են այնպես, որ ∠ AOB = 40°: AB փոքր աղեղի երկարությունը 50 է: Գտե՛ք շրջանագծի ավելի մեծ աղեղի երկարությունը:

Լուծում

∠ AOB = 40 °: Ամբողջ շրջանակը 360° է։ Հետևաբար ∠ AOB-ը 40/360 = շրջանագծի 1/9 է։

Սա նշանակում է, որ փոքր AB աղեղը ամբողջ շրջանագծի 1/9-ն է, ուստի ավելի մեծ աղեղը մնացածն է, այսինքն. 8/9 շրջան.

Շրջանակի 1/9-ը համապատասխանում է 50 աղեղի երկարությանը: Ապա ավելի մեծ աղեղի երկարությունը 50*8 = 400 է:

Պատասխան՝ 400։

Առաջադրանք 10 (GIA - 2014)

Շրջանակի ակորդի երկարությունը 72 է, իսկ շրջանագծի կենտրոնից այս ակորդը հեռավորությունը 27 է։ Գտե՛ք շրջանագծի տրամագիծը։

Լուծում

Համաձայն Պյութագորասի թեորեմի ուղղանկյուն եռանկյուն AOB մենք ստանում ենք.

AO 2 = OB 2 +AB 2,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Այնուհետեւ տրամագիծը 2R = 2 * 45 = 90 է:

Առաջադրանք 10 (GIA - 2014)

O կետն այն շրջանագծի կենտրոնն է, որի վրա ընկած են A, B և C կետերը: Հայտնի է, որ ∠ABC = 134° և ∠OAB = 75°: Գտեք BCO անկյունը:Տվեք ձեր պատասխանը աստիճաններով: